Horst Steibl 1

Der Satz von Haga

o

o

A B

CD

E

F

G

H

J

ZDie drei überstehenden

Dreiecke sind Pythagoräische (3, 4, 5)-

Dreiecke

Satz:

Faltet man in einem Quadrat eine Ecke auf die gegenüberliegende

Seitenmitte so gilt:

Horst Steibl 2

Das (3,4,5)-Dreieck auf dem Geobrett

Das (5, 10, 11)Dreieck wird durch die Höhe (zweite 11-er-Linie) in zwei zum Ausgangdreieck ähnliche Dreiecke geteilt. Die Katheten stehen in allen drei (blau, lila, lila-blau) Dreiecken im Verhältnis 1 : 2. Damit ergibt sich für das lila und das blaue Dreieck 1 : 2 = 2 : 4. Die eine 11-Linie wird also im Verhältnis 1: 4, die andere im Verhältnis 2 : 3 geteilt. Die Hypotenuse des grünen Dreiecks ist damit 5 solcher Einheiten lang

-5,5 -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

x

y

1

24

3

Damit ist gezeigt, dass das grüne Dreieck ein ägyptisches (3,4,5)-Dreieck ist

Horst Steibl 3

Die Winkel im ägyptischen DreieckDen spitzesten Winkel im (5,10,11)-Dreieck nennen wir Tom (o) , den spitzen Winkel im(5,11,14)-Dreieck nennen wir Tim (i).

î + o = 45° R = o + i + i + o

Damit gilt: Genau dann ist ein rechtwinkliges Dreieck ein ägyptisches Dreieck, wenn ein spitzer Winkel ein oo-Winkel oder ein ii-Winkel ist

Ein gestreckter Winkel kann zerlegt werden in oiiooiio bzw. iooiiooi. Gestreckter Winkel heißt also 4 o + 4 i. Ein rechter Winkel hat immer 2 o und 2 i Winkel. Die Winkelsumme im Dreieck immer 4 o und 4 i.-5,5 -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

-1

-0,5

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

x

y

o

io

o

io

Horst Steibl 4

Trigonometrische Einsichten

26,6 °

53,1 °

Im blauen Dreieck gilt:

o = arc tan( ½ ) = 26,6..

Im lila Dreieck gilt:

oo = arc tan ( 4/3 ) = 53,1..

Damit ist auch gezeigt:

2 * arc tan ( ½ ) = arc tan ( 4/3 )

Horst Steibl 5

Der Satz von Haga

A B

CD

E

F

G

H

J

Z

Falte die Mittelparallele des Quadrates (C auf D). Öffne und falte B auf F. Öffne und falte E auf Z. Du hast im rechten Doppelquadrat (bzw Halbquadtrat) die Diagonale und deren Mittelsenkrechte gefaltet. Öffne und falte wieder B auf F. Knicke die überstehenden Dreiecke um und wieder zurück.

Begründe die Winkelangaben in der Reihenfolge ihres Erscheinens

o

o oiiii

oo

oo

ii

iioo

ooiioo

iio

oii

oii

ooiio

Horst Steibl 6

Begründung

A B

CD

E

F

G

H

J

Z

o

o oiiii

oo

oo

ii

iioo

ooiioo

iio

oii

oii

ooiio

Der spitzeste Winkel im (5,10,11)-Dreieck laut Definition o

Durch Faltung o = o

ii rechter Winkel im blauen Viereck

ii rechter Winkel rechten Doppelquadratoo 2. Winkel im rechtwinkligen Dreieck

oo rechter Winkel im linken Doppelquadrat

ii 2. Winkel im rechtwinkligen Dreieck

ii Scheitelwinkel

oo 2. Winkel im rechtwinkligen Dreieck

ooiioo gestreckter Winkel

iio oii Winkelsumme im stumpfwinkligen Dreieck

oii Winkelsumme im blauen Viereck

oo Scheitelwinkeliio gestreckter WinkelAlles klar?

Horst Steibl 7

Längen der Abschnitte auf den Quadratseiten

A B

CD

E

F

G

H

J

Z

Wir gehen von einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 aus. Wie lang sind die Seiten der ägyptischen Dreiecke? Oder: Wie teilen E, G und J die Quadratseiten?

CE = ? ¼ * ½ *3 = 3/8

DG = ? 1/3 * ½ * 4 = 2/3

GJ =? 1/8 * 1/3 * 5 = 5 / 24

JA = ? 1/8 * 1/3 * 3 = 3 / 24 = 1/8

Begründe die Rechnung!!!

Horst Steibl 8

Begründung der Berechnung

A B

CD

E

F

G

H

J

Z

CE = ?

¼ * ½ *3 = 3/8 DG = ?

1/3 * ½ * 4 = 2/3

FC sind 4 Einheiten. Eine Einheit ist also ¼ * ½ . Davon muss ich 3 Einheiten für CE haben

DF entspricht 3 Einheiten. Eine Einheit ist also 1/3 * ½ . Für DG brauche ich 4 davon .

Die Dreiecke GKJ und AHJ sind kongruent. Der Strecke GA entsprechen also

5 + 3 = 8 Einheiten. GA ist 1/3. GJ somit 5/8 * 1/3 und JA somit 3/8 * 1/3 .

Horst Steibl 9

Noch ein ägyptisches Dreieck!!!

Faltet man die zwei überstehenden großen ägyptischen Dreiecke nach innen, so setzen sich diese zu einem weiteren ägyptischen Dreieck zusammen.

Der spitze Winkel bei E berechnet sich iio – oo ~ 10,2... °, der stumpfe Winkel bei G mit ooiioo – ii = oooo = 106,5..°, der Winkel bei J ist oii = 63,.. °. Damit ergibt sich die Winkelsumme im blauen Dreieck iiooooii

A B

CD

E

F

G

H

J

Z

Berechne die Seitenlängen des Dreiecks GEF

Horst Steibl 10

Berechnung der Seitenlängen des Dreiecks GEF

EF sind 5 Einheiten von den 4 Einheiten von FC

EF = EB = 5 * 1/4 * ½ = 5/8

LFL == ½

GL = DG = 2/3

FG =5 * 1/3 * ½ = = 5/6

GE = 2/3 + 3/8 = 25/24

EL = EC =3/8

o o

A B

CD

E

F

G

H

J

Z

L

6,25 cm

8,33 cm

6,67 cm

3,75 cm

5 cm

10,42 cm

25/24

1,042