Die Bestimmung von Value-at-Risk-Werten mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation

Studiengang Informatik

Jens Schiborowski

8. Januar 2009

Otto-von-Guericke-Universität MagdeburgFakultät für Informatik

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AbstractIn dieser Arbeit wird an Hand der Bestimmung von Value-at-Risk-Werten die Funktionsweise der Monte-Carlo-Simulation dargelegt. Dazu erläutere ich zuerst die Grundlagen, auf denen die Monte-Carlo-Simulation beruht und gebe einige Anwendungsbeispiele an. Anschließend gehe ich auf den Value-at-Risk ein, indem ich die Berechnungsgrundlagen für sie erläutere. Danach zeige ich die Anwendung der Monte-Carlo-Simulation zur Berechnung der Value-at-Risk-Werten von zwei Aktienkursen. Abschließend gehe ich dann auf die Vor- und Nachteile der Monte-Carlo-Simulation ein.

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Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 4

2 Monte-Carlo-Simulation 4

2.1 Definition von Monte-Carlo-Simulation 4

2.2 Einsatzgebiete für Monte-Carlo-Simulation 7

3 Value-at-Risk 7

3.1 Definition von Value-at-Risk 7

3.2 Bestimmen von Value-at-Risk-Werten 7

4 Anwendungsbeispiel 9

5 Zusammenfassung/Fazit 11

6 Literaturverzeichnis 12

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Abb. 1: Zufallsgröße Ẍ(n)

Abb. 2: Schwaches Gesetz der großen Zahlen

1 EinführungDer Begriff der Monte-Carlo-Simulation wurde in den 1940er Jahren geprägt, das Verfahren auf dem sie beruht ist, an sich jedoch ist schon einige Jahrhunderte in Verwendung. Ihren Namen hat die Monte-Carlo-Simulation von der monegassischen Stadt Monte-Carlo, da die Zufälligkeit und die sich wiederholende Natur der Experimente viele Analogien zu Glücksspielen aufweist und Monte Carlo sehr bekannte für seine Kasinos ist. Eine Anwendung für die Monte-Carlo-Simulation ist die Möglichkeit der Bestimmung von Value-at-Risk-Werten. Diese Werte dienen dem Risikomanagement, also dem Einschätzen von Risiken von zum Beispiel Aktienkursen. Dem Risikomanagement kommt heut zu Tage eine hohe Bedeutung zu, da sich alle Risiken direkt auf das Eigenkapital und somit auch auf den Wert eines Unternehmens auswirken. Um nun effizient auf die Risiken Rücksicht nehmen zu können, muss natürlich zu erst festgestellt werden, welche Einzelrisiken den größten Einfluss auf das gesamte Risikomaß haben. Ich werde mich in dieser Arbeit auf die Berechnung des Value-at-Risk von Aktienkursen beschränken und im nun folgenden Kapitel die Grundlagen der Monte-Carlo-Simulation näher bringen.

2 Monte-Carlo-Simulation

2.1 Definition von Monte-Carlo-SimulationAls Grundlage für die Monte-Carlo-Simulation dient das Gesetz der großen Zahl. Dieses besagt simpel formuliert, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer stärker an seine Wahrscheinlichkeit annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.Zur mathematischen Beschreibung des Sachverhalts wählt man sich zunächst eine Zufallsgröße Ẍ(n).

Diese Variable wird zur Mittelbildung der Häufigkeit genutzt und hat den Erwartungswert μ. Das Gesetz der großen Zahl lässt sich in zwei andere Gesetze aufteilen. Zum einen in das schwache Gesetz der großen Zahlen, dass besagt, dass die Folge der arithmetischen Mittel Ẍ(n) in Wahrscheinlichkeit gegen μ konvergiert, d.h. für jedes ε >0 gilt

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Abb. 3: Starkes Gesetz der großen Zahlen

Zum anderen in das starke Gesetz der großen Zahlen, welches besagt, dass die Folge der arithmetischen Mittel Ẍ(n) fast sicher gegen μ konvergiert, d.h. es gilt

Die Richtigkeit dieser Gesetze möchte ich kurz an einem allgemein bekannten Beispiel, dem Werfen einer Münze, demonstrieren.

Diese Grafik demonstriert die Häufigkeit für das Werfen von „Kopf“. Wie man erkennen kann, schwankt die ersten 200 Würfe die Häufigkeit noch sehr stark, jedoch ab ca. 700 Würfen hat sich die Häufigkeit auf etwa den Wert 0,5 eingependelt, was der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses entspricht.

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Abb. 4: Relative Häufigkeit des Werfens von "Kopf"

Zu der Monte-Carlo-Methode im Allgemeinen ist nun zu sagen, dass es nicht eine spezielle Methode gibt, sondern eher ein Muster nach dem die Monte-Carlo-Methode arbeitet. Dieses Muster beinhaltet vier Schritte. Zuerst wird ein Bereich für mögliche Eingaben festgelegt. Anschließend werden zufällig aus diesem Bereich Eingaben gewählt und diese mit Hilfe eines deterministischen Algorithmus verarbeitet. Am Ende werden die Ergebnisse die mit dem Algorithmus gewonnen wurden, in das Endergebnis überführt.

Ein gutes Beispiel für diese Methodik ist die Möglichkeit der Berechnung von Π. Als Eingabebereich wird ein Rechteck mit einem Innenkreis gewählt. Die Eingabe besteht hier in Punkten im Rechteck und als Algorithmus wird die Anzahl der Punkte im Kreis mit vier multipliziert und anschließend durch die Gesamtanzahl der Objekte geteilt.

Eine mögliche Verteilung für diese Ergebnisse in Abhängigkeit zur Objektanzahl zeigt diese Grafik. Zunächst entstehen noch starke Abweichungen zwischen den einzelnen Ergebnissen, jedoch pendeln sich die Ergebnisse sehr oft in den Bereich um 3,14, welches auch das erwartete Endergebnis darstellt.

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Abb. 5: Verteilung der Ergebnisse eines Experiments zur Berechnung von Π

2.2 Einsatzgebiete für Monte-Carlo-SimulationNeben der schon erwähnten Berechnung von Π bietet die Monte-Carlo-Simulation noch viele andere Anwendungsgebiete, wie zum Beispiel die Vereinfachung der Berechnung von Integralen, um unter anderem die Fläche oder das Volumen von Körpern zu bestimmen. Während diese beiden Problemstellungen den mathematischen Problemen zugeordnet sind, kann man auch Probleme, die die Verteilungseigenschaften von Zufallsvariablen unbekannten Verteilungstyps mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation lösen. Zu diesen Problemen zählen unter anderem die Bestimmung der Eigenschaften von Schätzfunktionen, wenn diese sogenannte Ausreißer, also Werte, die nicht den erwarteten Werten entsprechen, enthalten, da in einem solchen Fall das arithmetische Mittel nicht mehr die optimale Schätzmöglichkeit für den Erwartungswert darstellt. Eine andere wichtige Anwendungszweig für die Monte-Carlo-Simulation ist die Teilchenphysik. Dort wird mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulation unter anderen die Kollisionen an Teilchenbeschleunigern, mit deren Hilfe neue, instabile Teilchen nachgewiesen werden können. Die Berechnung von Value-at-Risk-Werten, auf die ich im nächsten Kapitel eingehen werde, stellt ein weiteres Anwendungsgebiet für die Monte-Carlo-Simulation dar.

3 Value-at-Risk

3.1 Definition von Value-at-RiskDie Abschätzung von Marktrisiken, insbesondere das Abschätzen von Aktienkursrisikos, ist heut zu Tage wichtiger denn je, da eine Fehleinschätzung Milliardenverluste nach sich ziehen kann. Zunächst einmal eine kurze Erläuterung des Begriffs „Aktienkursrisiko“. Unter dem Aktienkursrisiko versteht mandas durch Kursschwankungen hervorgerufene Risiko, also die kalkulierte Prognose eines möglichen Verlustes, eines Portfolios aus Aktien. Die am weitesten verbreitete Methode zur Darstellung des Aktienkursrisikos stellt das sogenannte Value-at-Risk dar. Value-at-Risk ist definiert als die in Währungseinheiten ausgedrückte maximale ungünstige Abweichung des tatsächlichen Werts einer erwarteten Position von ihrem erwarteten Wert innerhalb eines definierten Zeitraums. Auf die Vorgehensweise zur Berechnung des Value-at-Risk-Wertes möchte ich nun im nächsten Kapitel näher eingehen.

3.2 Bestimmen von Value-at-Risk-WertenDie Grundlage der Bestimmung von Value-at-Risk-Werten ist der Wert des Aktienportfolios zum Zeitpunkt i pi. Der zukünftige Wert des Portfolios zu dem Zeitpunkt i+τ ist gegeben durch pi+τ. Dem entsprechend ist der Value-at-Risk eine Abschätzung für die nächsten τ Tage. Daraus ergibt sich folgende Formel:

P(pi-pi+τ > VaR(α)τ|i) = α.

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Ein weiterer wichtiger Wert ist die Portfoliorendite τi zum Zeitpunkt i. Dieser Variable beschreibt die Effektivverzinsung der Wertpapiere, die sich aus dessen Kurs ableiten lässt. Dargestellt wird die Portfoliorendite durch folgende Formel:

τi = ln(pi/pi-1). Da ein Portfolio aber aus m Wertpapieren besteht, stellt man die Rendite eines Wertpapiers τk,i analog zur einfachen Portfoliorendite berechnen. Der letzte wichtige Wert der zur Berechnung des Value-at-Risk benötigt wird, ist q(α)τ|i das α-Quantil der bedingten Verteilung von τi+τ, wobei ein Quantil einen Punkt einer nach Rang oder Größe sortierten statistischen Verteilung darstellt. Die Formel für das α-Quantil lautet wie folgt:

P( τi+τ < q(α) τ|i) = αMit Hilfe dieser Gleichungen lässt sich nun der Value-at-Risk des Aktienportfolios für die Zeitperiode τ wie folgt darstellen:

VaR(α)τ|i = pi(1-exp(q(α)τ|i).Der Knackpunkt in der Berechnung des Value-at-Risks stellt nun die Bestimmung des α-Quantil dar. Die generelle Vorgehensweise besteht aus drei Schritten: Die Bewertung des aktuelle Portfolios, die Schätzung der Verteilung der Portfoliorenditen und abschließend die Berechnung des Value-at-Risk des Portfolios. Zur Schätzung der Verteilung der Portfoliorenditen existieren nun unterschiedliche Ansätze, die sich in der Berechnung des α-Quantils. Da wäre zum Ersten der nicht-parametrische Ansatz, bei dem das α-Quantil direkt aus der bekannten historischen Verteilung geschätzt. Wesentlich bei diesem Ansatz ist die Festlegung des Zeitfensters, da dieses den ermittelten Value-at-Risk stark beeinflussen. Extreme Ereignisse, wie zum Beispiel Terroranschläge beeinflussen das komplette Zeitfenster. Der augenscheinliche Vorteil dieses Ansatzes ist die geringe Komplexität der Berechnung, kritisiert wird jedoch, dass eine Normalverteilung der Renditewerte angenommen wird, die jedoch in zahlreichen Studien widerlegt wurde, da Renditewerte in Wirklichkeit eine starke Volatilität, also positive und negative Schwankungen aufweisen können. Der zweite Ansatz ist der parametrische Ansatz, bei dem eine angenommene Normalverteilung der Portfoliorenditen mit der Annahme einer konstanten Schwankung im Zeitverlauf angenommen wird. Der Vorteil dieses Ansatzes liegt in der Möglichkeit stärker und effizienter auf empirische Sachverhalte eingehen zu können, was mit dem ersten Ansatz nicht möglich war. Die Schwachstelle dieses Ansatzes liegt in der oftmals sehr hohen Anzahl von Parametern, was die Gefahr einer Fehlspezifikation der Modellierung beinhaltet. Der dritte Ansatz ist eine Kombination der vorangegangen Ansätze. Hier werden nicht alle Abschnitte der Renditeverteilung parametrisch beschrieben, sondern nur ausgewählte Teilabschnitte. Die verbleibenden Abschnitte werden mit Hilfe des nicht-parametrischen Ansatzes beschrieben. Vorteil ist, dass die Berechnung sehr genau erfolgt, jedoch ist die Berechnung wesentlich aufwendiger als bei dem nicht-parametrischen und dem parametrischen Ansatz.

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4 AnwendungsbeispielUm nun an einem Beispiel zu zeigen, wie man mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation den Value-at-Risk eines Aktienportfolios bestimmt, erstelle ich ein Szenario aufbauend auf folgenden Schritten. Zuerst wird das Portfolio auf vorgegebene Aktien abgebildet. Aufgrund dieser Daten wird nun die Korrelationsmatrix R, die den Zusammenhang zwischen den Daten darstellt, von n verschieden Aktien auf der Basis von bekannten Korrelations- und Volatilitätsdaten. Das Ziel der Monte-Carlo-Simulation ist es nun, n verschiedene Reihen zu simulieren, deren Korrelationen kongruent sind. Dazu ist es erforderlich, die Matrix R mit Hilfe der Cholesky-Zerlegung in die Form einer unteren Dreiecksmatrix zu bringen.

Nun werden unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen Yi (1≤i≤n) generiert. Unter Verwendung dieser Variablen und der Cholesky Matrix A werden anschließend multivariate, also mehrere Unbekannte enthaltende, normalverteilte Zufallsvariablen Zi

(1≤i≤n) abgeleitet. Abschließend werden nun die Preise für die Aktien simuliert und aus ihnen ein Portfolio gebildet. Daraus ergibt sich nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung des ursprünglichen Portfolios und damit auch des Value-at-Risk.

Nun werde ich mich konkret einem Beispiel zuwenden, in welchem ich für zwei Aktienkurse den Value-at-Risk berechne. Der zwei Aktienkurse sind zum einen der 5Y EUR Zerobond und zum anderen der DAX. Zunächst wähle ich mir zufällige Werte für die Korrelationsmatrix R und deren Cholesky-Matrix:

Anschließend werden in 260 Simulationen verschiedene Werte für Y1 und Y2

generiert:

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Abb. 6: Cholesky-Zerlegung

Abb. 7: Beispielwerte für R und A

Abb. 8: Simulationen für die Zufallsvariablen Y1 und Y2

Mit Hilfe dieser Werte und der Matrix A erstelle ich nun die Zufallsvariablen Z1 und Z2 nach der Formel aus Abbildung 9 und erhalte die in Abbildung 10 dargestellten Werte.

Setzt man nun für die täglichen Volatilitäten für den 5Y EUR Zerobond einen Wert von 0,37% und für den DAX einen Wert von 1,39% lassen sich die simulierten Aktienkurse für den ersten Simulationsschritt wie folgt berechnen:

Analog werden nun die Aktienkurse für die restlichen 259 Simulationsschritte berechnet, woraus sich folgende Tabelle ergibt:

Diese Tabelle kann wie folgt interpretiert werden: Als Wert des 5Y EUR Zerobond liegt der Wert von 81,52% und der Wert des DAX liegt als 5260 vor (Stand 12. August 1999). Im ersten Simulationsschritt sinkt nun der Wert des 5Y EUR Zerobond auf 81,12 % und der Wert des DAX auf 5253. Die mit Hilfe dieser Simulationen berechnete Volatilität liegt mit 0,391% bzw. 1,404% sehr nah an den gegebenen Werten von 0,37% bzw. 1,39%. Eine steigende Anzahl der Simulationen verbessert dieses Ergebnis.

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Abb. 11: Berechnung des Wertes des Aktienkurs für Simulation 1

Abb. 10: Berechnungsgrundlage für Zufallsvariablen Z1 und Z2

Abb.9: Simulationen für die Zufallsvariablen Z1 und Z2

Abb. 12: Simulationen für die Aktienkurse des 5Y EUR Zerobond und des DAX

Der Wert des gegebenen Portfolios beträgt 1'559'380 € und der Anteil des 5Y EUR Zerobond beträgt 137% und der Anteil des DAX beträgt -37%. Aufgrund der Werte aus Abbildung 12 lassen sich nun die Portfoliowerte für die einzelnen Simulationsschritte bestimmen.

Nach der Berechnung der Werte werden diese der Größe nach geordnet, wobei dem dreizehnten Wert besondere Beachtung geschenkt wird, da von einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% ausgegangen wird. Der dreizehnte Wert des Portfolios beträgt 1'536'830 € und liegt damit 22'550 €. Dieser Wert stellt den maximalen Verlust für den nächsten Handelstag und damit das gesuchte Value-at-Risk dar.

5 FazitIn dieser Arbeit wurde dargelegt, wie mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation der Value-at-Risk eines Aktienportfolios bestimmt werden kann, indem zuerst die Grundlagen der Monte-Carlo-Simulation und des Value-at-Risk gegeben wurden. Die Anwendung dieser Grundlagen wurde anschließend in einem Beispiel zur Berechnung des Value-at-Risk des Portfolios aus DAX und 5Y EUR Zerobond gezeigt. Der Vorteil der Monte-Carlo-Simulation bei der Berechnung von Value-at-Risk-Werten im Vergleich zu anderen Methoden liegt zum einen in der relativ hohen Genauigkeit des Ergebnisses, die größer wird, je mehr Simulationen durchgeführt werden. Da zum anderen keine bestimmte Verteilung der Ergebnisse angenommen werden muss, bietet diese Methode eine gut verwendbare Möglichkeit zur Bestimmung von Value-at-Risks. Ein Nachteil ist der zum Teil mögliche hohe Rechenaufwand durch eine sehr hohe Anzahl von Simulationen, wobei man diesem Nachteil zwar entgegen wirken kann, indem weniger Simulationen durchgeführt werden, jedoch hat das zur Folge, dass das Ergebnis an Genauigkeit verliert.

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Abb. 13: Simulationen für den Wert der Portfolios aus beiden Positionen

6 Literaturnachweis

▪ Value-at-Risk Ansätze zur Abschätzung von Marktrisiken, Jens Fricke, Wiesbaden, 2006

▪ Mathematik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik unter Einbeziehung von elektronischen Rechnern, Zufallszahlen, Monte-Carlo-Methode und Simulation, H. Gundel, P. Schupp, U. Schweizer

▪ Monte Carlo Simulation im Risikomanagement aus WiSt Heft 7 – Juli 2000, Prof. Dr. Markus Rudolf

• Abbildungen 1 bis 5 aus Mathematik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik unter Einbeziehung von elektronischen Rechnern

• Abbildungen 6 bis 13 aus Monte Carlo Simulation im Risikomanagement

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