Die Bogomolov-Vermutung f r Kurven · B +t mit B abelsche Untervariet¨at und t ein Torsionspunkt...
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Die Bogomolov-Vermutung f¨ ur Kurven Walter Gubler Universit¨ at T¨ ubingen 20. Oktober 2009
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Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
Walter Gubler
Universitat Tubingen
20. Oktober 2009
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
1. Inhaltsverzeichnis
1 Inhaltsverzeichnis
2 Hohen
3 Bogomolov-Vermutung
4 Funktionenkorper
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
1. Inhaltsverzeichnis
Referenzen
[BG] E. Bombieri, W. Gubler: Heights in diophantine geometry.
[Fu] W. Fulton: Intersection theory.
[GH] Ph. Griffiths, J. Harris: Principles of algebraic geometry.
[Ha] R. Hartshorne: Algebraic geometry.
[So] C. Soule et al.: Arakelov geometry.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
1 Inhaltsverzeichnis
2 Hohen
3 Bogomolov-Vermutung
4 Funktionenkorper
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Algebraische Varietaten
K sei beliebiger Korper.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Algebraische Varietaten
K sei beliebiger Korper.
Affine Varietat = Nullstellenmenge von Polynomen aus K [x1, . . . , xn]
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Algebraische Varietaten
K sei beliebiger Korper.
Affine Varietat = Nullstellenmenge von Polynomen aus K [x1, . . . , xn]
Zariski-Topologie: Abgeschlossene Mengen = Teilmengen, die selberalgebraische Varietaten sind (Untervarietaten)
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Algebraische Varietaten
K sei beliebiger Korper.
Affine Varietat = Nullstellenmenge von Polynomen aus K [x1, . . . , xn]
Zariski-Topologie: Abgeschlossene Mengen = Teilmengen, die selberalgebraische Varietaten sind (Untervarietaten)
Projektive Varietat = Nullstellenmenge von homogenen Polynomen
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Algebraische Varietaten
K sei beliebiger Korper.
Affine Varietat = Nullstellenmenge von Polynomen aus K [x1, . . . , xn]
Zariski-Topologie: Abgeschlossene Mengen = Teilmengen, die selberalgebraische Varietaten sind (Untervarietaten)
Projektive Varietat = Nullstellenmenge von homogenen Polynomen
Abelsche Varietat = projektive Gruppenvarietat
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Algebraische Varietaten
K sei beliebiger Korper.
Affine Varietat = Nullstellenmenge von Polynomen aus K [x1, . . . , xn]
Zariski-Topologie: Abgeschlossene Mengen = Teilmengen, die selberalgebraische Varietaten sind (Untervarietaten)
Projektive Varietat = Nullstellenmenge von homogenen Polynomen
Abelsche Varietat = projektive Gruppenvarietat
Beispiel
Abelsche Varietaten der Dimension 1 heißen elliptische Kurven undkonnen durch eine polynomiale Gleichung y2 = x3 + ax + b beschriebenwerden.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Gruppengesetz elliptischer Kurven
r
r
r
r
P + Q
P
Q
y
x
R
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Diophantische Geometrie
Beispiel
Die diophantische Gleichung x4 − y4 = 5 hat nur endlich viele rationaleLosungen, z.B. (3
2,
12).
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Diophantische Geometrie
Beispiel
Die diophantische Gleichung x4 − y4 = 5 hat nur endlich viele rationaleLosungen, z.B. (3
2,
12).
Allgemeiner gilt fur einen Zahlkorper K die Mordell-Vermutung:
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Diophantische Geometrie
Beispiel
Die diophantische Gleichung x4 − y4 = 5 hat nur endlich viele rationaleLosungen, z.B. (3
2,
12).
Allgemeiner gilt fur einen Zahlkorper K die Mordell-Vermutung:
Theorem (Faltings 1983)
Eine algebraische Kurve vom Geschlecht g > 1 hat nur endlich viele
Punkte mit Koordinaten in K.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Diophantische Geometrie
Beispiel
Die diophantische Gleichung x4 − y4 = 5 hat nur endlich viele rationaleLosungen, z.B. (3
2,
12).
Allgemeiner gilt fur einen Zahlkorper K die Mordell-Vermutung:
Theorem (Faltings 1983)
Eine algebraische Kurve vom Geschlecht g > 1 hat nur endlich viele
Punkte mit Koordinaten in K.
Zentrales Hilfsmittel ist die Hohe eines Punktes.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Diophantische Geometrie
Beispiel
Die diophantische Gleichung x4 − y4 = 5 hat nur endlich viele rationaleLosungen, z.B. (3
2,
12).
Allgemeiner gilt fur einen Zahlkorper K die Mordell-Vermutung:
Theorem (Faltings 1983)
Eine algebraische Kurve vom Geschlecht g > 1 hat nur endlich viele
Punkte mit Koordinaten in K.
Zentrales Hilfsmittel ist die Hohe eines Punktes.
Sie misst arithmetische Komplexitat der Koordinaten.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Diophantische Geometrie
Beispiel
Die diophantische Gleichung x4 − y4 = 5 hat nur endlich viele rationaleLosungen, z.B. (3
2,
12).
Allgemeiner gilt fur einen Zahlkorper K die Mordell-Vermutung:
Theorem (Faltings 1983)
Eine algebraische Kurve vom Geschlecht g > 1 hat nur endlich viele
Punkte mit Koordinaten in K.
Zentrales Hilfsmittel ist die Hohe eines Punktes.
Sie misst arithmetische Komplexitat der Koordinaten.
z.B. gilt H(32,
12) = 3, da projektive Losung (2 : 3 : 1).
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Definition
Fur P = [x0 : · · · : xn] ∈ Pn(K ) sei
H(P) =∏
v∈MK
maxj
|xj |v .
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Definition
Fur P = [x0 : · · · : xn] ∈ Pn(K ) sei
H(P) =∏
v∈MK
maxj
|xj |v .
Wir benutzen h(P) = log(H(P)) ≥ 0, unabhangig von K .
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Definition
Fur P = [x0 : · · · : xn] ∈ Pn(K ) sei
H(P) =∏
v∈MK
maxj
|xj |v .
Wir benutzen h(P) = log(H(P)) ≥ 0, unabhangig von K .
Auf projektiver Varietat erhalten wir h durch Einschrankung.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Definition
Fur P = [x0 : · · · : xn] ∈ Pn(K ) sei
H(P) =∏
v∈MK
maxj
|xj |v .
Wir benutzen h(P) = log(H(P)) ≥ 0, unabhangig von K .
Auf projektiver Varietat erhalten wir h durch Einschrankung.
Definition
Sei A abelsche Varietat. Fur P ∈ A haben wir die Neron–Tate-Hohe
h(P) = limm→∞ m−2h(mP).
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Definition
Fur P = [x0 : · · · : xn] ∈ Pn(K ) sei
H(P) =∏
v∈MK
maxj
|xj |v .
Wir benutzen h(P) = log(H(P)) ≥ 0, unabhangig von K .
Auf projektiver Varietat erhalten wir h durch Einschrankung.
Definition
Sei A abelsche Varietat. Fur P ∈ A haben wir die Neron–Tate-Hohe
h(P) = limm→∞ m−2h(mP).
positiv semi-definite quadratische Form
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Definition
Fur P = [x0 : · · · : xn] ∈ Pn(K ) sei
H(P) =∏
v∈MK
maxj
|xj |v .
Wir benutzen h(P) = log(H(P)) ≥ 0, unabhangig von K .
Auf projektiver Varietat erhalten wir h durch Einschrankung.
Definition
Sei A abelsche Varietat. Fur P ∈ A haben wir die Neron–Tate-Hohe
h(P) = limm→∞ m−2h(mP).
positiv semi-definite quadratische Form
Kern der ass. Bilinearform = Torsionspunkte
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
2. Hohen
Definition
Fur P = [x0 : · · · : xn] ∈ Pn(K ) sei
H(P) =∏
v∈MK
maxj
|xj |v .
Wir benutzen h(P) = log(H(P)) ≥ 0, unabhangig von K .
Auf projektiver Varietat erhalten wir h durch Einschrankung.
Definition
Sei A abelsche Varietat. Fur P ∈ A haben wir die Neron–Tate-Hohe
h(P) = limm→∞ m−2h(mP).
positiv semi-definite quadratische Form
Kern der ass. Bilinearform = Torsionspunkte
Kanonische Semidistanz d(P, Q) := h(P − Q) auf A.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
3. Bogomolov-Vermutung
1 Inhaltsverzeichnis
2 Hohen
3 Bogomolov-Vermutung
4 Funktionenkorper
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
3. Bogomolov-Vermutung
Definition
Eine Torsionsuntervarietat einer abelschen Varietat A hat die FormB + t mit B abelsche Untervarietat und t ein Torsionspunkt in A.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
3. Bogomolov-Vermutung
Definition
Eine Torsionsuntervarietat einer abelschen Varietat A hat die FormB + t mit B abelsche Untervarietat und t ein Torsionspunkt in A.
Fur eine Untervarietat X von A haben wir die Bogomolov-Vermutung:
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
3. Bogomolov-Vermutung
Definition
Eine Torsionsuntervarietat einer abelschen Varietat A hat die FormB + t mit B abelsche Untervarietat und t ein Torsionspunkt in A.
Fur eine Untervarietat X von A haben wir die Bogomolov-Vermutung:
Theorem (Ullmo 1998 fur Kurven, Zhang 1998 allgemein)
Es gibt nur endlich viele maximale Torsionsuntervarietaten in X .
Auf ihrem Komplement in X ist h positiv nach unten beschrankt.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
3. Bogomolov-Vermutung
Definition
Eine Torsionsuntervarietat einer abelschen Varietat A hat die FormB + t mit B abelsche Untervarietat und t ein Torsionspunkt in A.
Fur eine Untervarietat X von A haben wir die Bogomolov-Vermutung:
Theorem (Ullmo 1998 fur Kurven, Zhang 1998 allgemein)
Es gibt nur endlich viele maximale Torsionsuntervarietaten in X .
Auf ihrem Komplement in X ist h positiv nach unten beschrankt.
Dies ist eine Aussage fur Punkte mit Koordinaten in K .
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
3. Bogomolov-Vermutung
Definition
Eine Torsionsuntervarietat einer abelschen Varietat A hat die FormB + t mit B abelsche Untervarietat und t ein Torsionspunkt in A.
Fur eine Untervarietat X von A haben wir die Bogomolov-Vermutung:
Theorem (Ullmo 1998 fur Kurven, Zhang 1998 allgemein)
Es gibt nur endlich viele maximale Torsionsuntervarietaten in X .
Auf ihrem Komplement in X ist h positiv nach unten beschrankt.
Dies ist eine Aussage fur Punkte mit Koordinaten in K .
Die Torsionspunkte sind dicht in jeder Torsionsuntervarietat.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
3. Bogomolov-Vermutung
Definition
Eine Torsionsuntervarietat einer abelschen Varietat A hat die FormB + t mit B abelsche Untervarietat und t ein Torsionspunkt in A.
Fur eine Untervarietat X von A haben wir die Bogomolov-Vermutung:
Theorem (Ullmo 1998 fur Kurven, Zhang 1998 allgemein)
Es gibt nur endlich viele maximale Torsionsuntervarietaten in X .
Auf ihrem Komplement in X ist h positiv nach unten beschrankt.
Dies ist eine Aussage fur Punkte mit Koordinaten in K .
Die Torsionspunkte sind dicht in jeder Torsionsuntervarietat.
Der Beweis benutzt Arakelov-Geometrie.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
4. Funktionenkorper
1 Inhaltsverzeichnis
2 Hohen
3 Bogomolov-Vermutung
4 Funktionenkorper
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
4. Funktionenkorper
Funktionenkorper
Sei ab jetzt K = k(B) Funktionenkorper einer glatten projektivenKurve B uber algebraisch abgeschlossenem Korper k .
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
4. Funktionenkorper
Funktionenkorper
Sei ab jetzt K = k(B) Funktionenkorper einer glatten projektivenKurve B uber algebraisch abgeschlossenem Korper k .
Analogie zwischen Zahlkorpern und Funktionenkorpern
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
4. Funktionenkorper
Funktionenkorper
Sei ab jetzt K = k(B) Funktionenkorper einer glatten projektivenKurve B uber algebraisch abgeschlossenem Korper k .
Analogie zwischen Zahlkorpern und Funktionenkorpern
Stellenmenge MK = B, Bewertungen = Multiplizitaten
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
4. Funktionenkorper
Funktionenkorper
Sei ab jetzt K = k(B) Funktionenkorper einer glatten projektivenKurve B uber algebraisch abgeschlossenem Korper k .
Analogie zwischen Zahlkorpern und Funktionenkorpern
Stellenmenge MK = B, Bewertungen = Multiplizitaten
Produktformel gilt und damit haben wir Hohentheorie.
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
4. Funktionenkorper
Funktionenkorper
Sei ab jetzt K = k(B) Funktionenkorper einer glatten projektivenKurve B uber algebraisch abgeschlossenem Korper k .
Analogie zwischen Zahlkorpern und Funktionenkorpern
Stellenmenge MK = B, Bewertungen = Multiplizitaten
Produktformel gilt und damit haben wir Hohentheorie.
Viele Beweise sind einfacher bei Funktionenkorpern:
Die Bogomolov-Vermutung fur Kurven
4. Funktionenkorper
Funktionenkorper
Sei ab jetzt K = k(B) Funktionenkorper einer glatten projektivenKurve B uber algebraisch abgeschlossenem Korper k .
Analogie zwischen Zahlkorpern und Funktionenkorpern
Stellenmenge MK = B, Bewertungen = Multiplizitaten
Produktformel gilt und damit haben wir Hohentheorie.
Viele Beweise sind einfacher bei Funktionenkorpern:
Fermatsche Vermutung:Tschebyscheff, Liouville, Korkine, 19. JahrhundertMordell Vermutung:Manin, Grauert, Samuel, 1963-1966
