Die Faszination der...

FaszinationPrimzahlen

Jurg Kramer

Grundlegendeszu Primzahlen

NutzlichkeitPrimzahlen

Formeln furPrimzahlen

Zahlen vonPrimzahlen

RiemannscheZetafunktion

Die Faszinationder Primzahlen

Jurg Kramer

Institut fur MathematikHumboldt-Universitat zu Berlin

27. April 2015

Jurg Kramer

Grundlegendes zu Primzahlen

Die naturlichen Zahlen.

Die Menge der naturlichen Zahlen:

N = {0, 1, 2, 3, . . . }.

Rechenoperationen:

Addition +

n,m ∈ N =⇒ n+m ∈ N.

Multiplikation •

n,m ∈ N =⇒ n•m ∈ N.

Jurg Kramer

Die naturlichen Zahlen.

Die Menge der naturlichen Zahlen:

N = {0, 1, 2, 3, . . . }.

Rechenoperationen:

Addition +

n,m ∈ N =⇒ n+m ∈ N.

Multiplikation •

n,m ∈ N =⇒ n•m ∈ N.

Jurg Kramer

Bausteine der naturlichen Zahlen.

Alle naturlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsendarstellen, z.B.

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Die Zahl 1 ist der additive Baustein von N.

Welches sind die multiplikativen Bausteine von N?

Jurg Kramer

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Jurg Kramer

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Jurg Kramer

Definition.

Eine naturliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist undp nur die Teiler 1 und p besitzt.

Fundamentalsatz der Arithmetik.

Die Primzahlen sind die multiplikativen Bausteine von N.

Mit anderen Worten:

Alle naturlichen Zahlen lassen sich (bis auf die Reihenfolge)eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen, z.B.

1 456 848 = 24 · 32 · 67 · 151.

Jurg Kramer

Definition.

Eine naturliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist undp nur die Teiler 1 und p besitzt.

Fundamentalsatz der Arithmetik.

Die Primzahlen sind die multiplikativen Bausteine von N.

Mit anderen Worten:

Alle naturlichen Zahlen lassen sich (bis auf die Reihenfolge)eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen, z.B.

1 456 848 = 24 · 32 · 67 · 151.

Jurg Kramer

Liste von Primzahlen.

Beispiel: Die Primzahlen zwischen 1 und 100:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}.

Man erhalt also 25 Primzahlen.

Im Folgenden bezeichne P die Menge der Primzahlen.

Jurg Kramer

Sieb des Eratosthenes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Jurg Kramer

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Jurg Kramer

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Jurg Kramer

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Jurg Kramer

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Jurg Kramer

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Jurg Kramer

Satz (Euklid).

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis.

Annahme:

Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1, p2, . . . , pn.

Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.

Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.

Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Mengeder Primzahlen p1, p2, . . . , pn enthalten.

Dies widerspricht unserer Annahme. �

Jurg Kramer

Satz (Euklid).

Beweis.

Annahme:

Jurg Kramer

Satz (Euklid).

Beweis.

Annahme:

Jurg Kramer

Satz (Euklid).

Beweis.

Annahme:

Jurg Kramer

Satz (Euklid).

Beweis.

Annahme:

Jurg Kramer

Satz (Euklid).

Beweis.

Annahme:

Jurg Kramer

Nutzlichkeit vonPrimzahlen

Jurg Kramer

Nutzlichkeit von Primzahlen

Primzahlen und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei:

Verwendung von EC-Karten.

Sicheren Kommunizieren.

Verwendung des Internets.

Jurg Kramer

Mathematische Grundlage: Kleiner Satz von Fermat.

Es sei p eine Primzahl und es bedeute Rp(b) den Rest vonb ∈ N nach Division durch p. Dann besteht fur a ∈ N mitp 6 |a die Beziehung

Rp(ap−1) = 1 ⇐⇒ Rp(ap) = a.

Beispiele: p = 5 und a = 2, 3, 4:

R5(21) = 2, R5(22) = 4, R5(23) = 3, R5(24) = 1.

R5(31) = 3, R5(32) = 4, R5(33) = 2, R5(34) = 1.

R5(41) = 4, R5(42) = 1, R5(43) = 4, R5(44) = 1.

Jurg Kramer

Mathematische Grundlage: Kleiner Satz von Fermat.

Es sei p eine Primzahl und es bedeute Rp(b) den Rest vonb ∈ N nach Division durch p. Dann besteht fur a ∈ N mitp 6 |a die Beziehung

Rp(ap−1) = 1 ⇐⇒ Rp(ap) = a.

Beispiele: p = 5 und a = 2, 3, 4:

R5(21) = 2, R5(22) = 4, R5(23) = 3, R5(24) = 1.

R5(31) = 3, R5(32) = 4, R5(33) = 2, R5(34) = 1.

R5(41) = 4, R5(42) = 1, R5(43) = 4, R5(44) = 1.

Jurg Kramer

Die”Public Key Cryptography“ verwendet allgemeiner:

Satz von Euler. Es seien p, q zwei verschiedene Prim-zahlen und m = p · q. Dann besteht fur zu m teilerfrem-de a ∈ N die Beziehung

(a(p−1)(q−1)

)= 1⇐⇒ Rm

(a(p−1)(q−1)+1

Sicherheit der Verschlusselung:

Schwierigkeit der schnellen Faktorisierung von m in diePrimfaktoren p und q, falls p, q jeweils etwa 200-stelligsind.

Jurg Kramer

Die”Public Key Cryptography“ verwendet allgemeiner:

Satz von Euler. Es seien p, q zwei verschiedene Prim-zahlen und m = p · q. Dann besteht fur zu m teilerfrem-de a ∈ N die Beziehung

(a(p−1)(q−1)

)= 1⇐⇒ Rm

(a(p−1)(q−1)+1

Sicherheit der Verschlusselung:

Schwierigkeit der schnellen Faktorisierung von m in diePrimfaktoren p und q, falls p, q jeweils etwa 200-stelligsind.

Jurg Kramer

Ein”

bescheidenes“ Beispiel:

m = 11438162575788886766923577997614

66120102182967212423625625618429

35706935245733897830597123563958

705058989075147599290026879543541.

p = 34905295108476509491478496199038

98133417764638493387843990820577,

q = 32769132993266709549961988190834

461413177642967992942539798288533.

Jurg Kramer

Ein”

bescheidenes“ Beispiel:

m = 11438162575788886766923577997614

66120102182967212423625625618429

35706935245733897830597123563958

705058989075147599290026879543541.

p = 34905295108476509491478496199038

98133417764638493387843990820577,

q = 32769132993266709549961988190834

461413177642967992942539798288533.

Jurg Kramer

Formeln fur Primzahlen

Jurg Kramer

Mersennesche Primzahlen:

p = 2n − 1,

wobei notwendigerweise n selbstauch eine Primzahl ist.

n = 2: 22 − 1 = 3.

n = 3: 23 − 1 = 7.

n = 5: 25 − 1 = 31.

Gegenbeispiel: 211 − 1 = 2047 = 23 · 89.

Jurg Kramer

Mersennesche Primzahlen:

p = 2n − 1,

wobei notwendigerweise n selbstauch eine Primzahl ist.

n = 2: 22 − 1 = 3.

n = 3: 23 − 1 = 7.

n = 5: 25 − 1 = 31.

Gegenbeispiel: 211 − 1 = 2047 = 23 · 89.

Jurg Kramer

Fermatsche Primzahlen:

p = 2n + 1,

wobei n = 2m mit m ∈ N ist.

n = 20: p = 21 + 1 = 3.

n = 21: p = 22 + 1 = 5.

n = 22: p = 24 + 1 = 17.

n = 23: p = 28 + 1 = 257.

n = 24: p = 216 + 1 = 65 537.

Gegenbeispiel (Euler):p = 22

5+ 1 = 4 294 967 297 hat den Teiler 641.

Jurg Kramer

Fermatsche Primzahlen:

p = 2n + 1,

wobei n = 2m mit m ∈ N ist.

n = 20: p = 21 + 1 = 3.

n = 21: p = 22 + 1 = 5.

n = 22: p = 24 + 1 = 17.

n = 23: p = 28 + 1 = 257.

n = 24: p = 216 + 1 = 65 537.

Gegenbeispiel (Euler):p = 22

5+ 1 = 4 294 967 297 hat den Teiler 641.

Jurg Kramer

Die Formel von Matjasevich. Wir betrachten das folgendePolynom P = P(A,B, . . . ,Y ,Z ) mit den 26 Buchstaben desAlphabets als Variablen:

(K + 2)(1− [WZ + H + J − Q]2 − [(GK + 2G + K + 1)·

(H + J) + H − Z ]2 − [16(K + 1)3(K + 2)(N + 1)2 + 1− F 2]2−[2N + P + Q + Z − E ]2 − [E 3(E + 2)(A + 1)2 + 1− O2]2−[(A2 − 1)Y 2 + 1− X 2]2 − [16R2Y 4(A2 − 1) + 1− U2]2−[N + L + V − Y ]2 − [(A2 − 1)L2 + 1−M2]2 − [AI + K + 1−L− I ]2 − [((A + U2(U2 − A))2 − 1)(N + 4DY )2 + 1−(X + CU)2]2 − [P + L(A− N − 1) + B(2AN + 2A− N2−2N − 2)−M]2 − [Q + Y (A− P − 1) + S(2AP + 2A− P2−2P − 2)− X ]2 − [Z + PL(A− P) + T (2AP − P2 − 1)− PM]2

Jurg Kramer

Satz von Matjasevich. Fur jede Primzahl p ∈ P gibt esa, b, . . . , y , z ∈ N mit der Eigenschaft

p = P(a, b, . . . , y , z).

Das ist naturlich nicht sehr nutzlich!

Jurg Kramer

Die derzeit großte bekannte Primzahl (gefunden: 2013):

p = 257 885 161 − 1.

Dies ist eine Zahl mit 17 425 170 Stellen.

http://primes.utm.edu/largest.html

Etwa 4900 eng bedruckte DIN-A4 Seiten, beginnend mit

581887266232246442175100212113232368636370852325421589325781704480584492761707442316428281349423376942979071335489886655517752224731316967316601101080371457923021838436917492197333394648729851218665756323673512565202964097437803696250542088744968273344617858384022131920787583935917496283612402707082209797985800006635414921583881775901 . . .

Jurg Kramer

Zahlen von Primzahlen

Jurg Kramer

Die Primzahlfunktion. Fur x ∈ R>0, definieren wir dieTreppenfunktion

π(x) := Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x

= ]{p ∈ P | p ≤ x}.