_____________________________ Hirt, U. / Wälti, B. Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte - Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht Band 2, 2008

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Pentominos auf der Hundertertafel Thema: Addition, Rechengesetze

Stufe: 3. bis 5. Schuljahr

Dauer: 2 bis 4 Lektionen

Material: Pentomino-Schablonen aus Folie, Karton oder Holzwürfeln (falls die entspre-chende geometrische Lernumgebung bearbeitet wurde). Hundertertafel mit Feldern in der Grösse der Pentominos

Aufgabe

1. Wähle ein Pentomino und lege sie auf

die 100er-Tafel. Berechne die Summe der fünf von ihr abgedeckten Zahlen. Verschiebe sie um ein Feld nach links oder rechts, dann nach oben oder un-ten und berechne jeweils die Summe. Was fällt dir auf?

Wiederhole mit einem andern Pento-mino.

2. Nimm einen Pentomino und lege ihn

so, dass die Summe der zugedeckten Zahlen möglichst 80 (150, 222, 333) beträgt.

Vergleiche mit Kameradinnen und Kameraden. Bestimme selber eine Summe und versuche, sie mit einer Pentomino zu erreichen.

3. Lege zwei verschiedene Pentominos

so auf die Hundertertafel, dass sie die gleiche Summe abdecken.

Die abgebildete Arbeit stammt von einem hochbegab-ten Jungen (3. Klasse), der die 3. Aufgabe gleich in doppelter Ausführung optisch sehr ansprechend gelöst hat.

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Worum geht es? Pentominos decken auf einer Hundertertafel mit ent-sprechender Rastergrösse fünf Zahlen ab. Diese fünf Zahlen werden in dieser Lernumgebung jeweils addiert. In der 1. Aufgabe bedeckt ein Pentomino vorerst eine möglichst einfache Summe. Dieses wird danach systematisch verschoben und die Auswirkungen auf die Summe untersucht. Die Summe ändert sich dabei wie folgt: • Ein Feld nach links: Die fünf Zahlen werden um

jeweils 1, die Summe um 5 kleiner. • Ein Feld nach rechts: Die fünf Zahlen werden um

jeweils 1, die Summe um 5 grösser. • Ein Feld nach oben: Die fünf Zahlen werden um

jeweils 10, die Summe um 50 kleiner. • Ein Feld nach unten: Die fünf Zahlen werden um

jeweils 10, die Summe um 50 grösser.

– 50

– 5

+ 50

+ 5

Beim Verschieben von Figuren kann sich die Summe daher nur um 5 oder um Vielfache von 5 verän-dern. Bei der Division durch 5 ergibt sich so bei jeder Figur immer der gleiche Rest. Die folgende Übersicht zeigt die Fünferreste der Pentominos in Abhängigkeit zu ihrer Lage auf. Fünferrest 0: Die ersten drei gefärbten Pento-mios sind punktsymmetrisch und haben daher unabhängig ihrer Lage den Fünferrest 0. Die weiteren Pentominos haben nur in den abgebil-deten Lagen den Fünferrest 0.

Fünferrest 1 ist mit sechs Pentominos in den jeweils zwei bzw. vier abgebildeten Lagen mög-lich. Das Pentomino links ist in dieser sowie den nächsten drei Zeilen gefärbt, da es je nach Lage Fünferreste von 1, 2, 3 oder 4 annehmen kann (siehe unten).

Fünferrest 2 ist mit sechs Pentominos in den abgebildeten Lagen möglich.

Fünferrest 3 ist mit den gleichen sechs Pento-minos wie Fünferrest zwei in den abgebildeten Lagen möglich.

Fünferrest 4 ist mit den fünf verschiedenen Pentominos in den abgebildeten Lagen mög-lich.

Aufgrund seiner Symmetrien kann das Kreuz auf der Zah-lentafel nur eine Lage einnehmen. Die andern Pentomi-nos können in 2, 4 oder 8 verschiedene Lagen gelegt werden. Für das Kreuz ergeben sich so «nur» 64 ver-schiedene Summen entsprechend den 64 möglichen Positionen auf der 100er-tafel. Die Summe ist jeweils das Fünffache des zentralen Fel-des. Die kleinstmögliche Summe mit dem Zentrum auf 12 beträgt 60.

12 19

1

22

20

Verschiebt man das Kreuz um jeweils ein Feld nach links ergeben sich die Summen 65, 70, 75, …95. Eine Zeile weiter unten ergeben sich die Summen 110, 115, … 145. Positionen mit den Summen 100, 105, 150, 155, 200, 205, … sind mit diesem Pentomino nicht möglich.

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Aufgabe 2 mit Beispiel Summe 150: Um mit einem Pentomino die Summe 150 abzude-cken, kommen lediglich die sechs Figuren mit dem Fünferrest 0 in Frage. «Das Kreuz» und der «Z» scheiden aus, da bei ihnen das Symmetriezentrum nicht über der Zahl 30 liegen kann. Bei der «Stange» in vertikaler Lage ist dies möglich. Die beiden Lösun-gen zum «T» sind rechts eingezeichnet. Ebenso gibt es zum «Tunnel» zwei Lösungen – mit den Zahlen 25, 26 ,27, 35, 37 sowie mit den Zahlen 23, 25, 33, 34, 35. Das Pentomino in den beiden unten darge-stellten Lösungen lässt sich jeweils noch vertikal spiegeln (31 ! 33, 23 ! 21). Insgesamt gibt es also neun Möglichkeiten, die Summe 150 abzudecken.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Wie kann man vorgehen Die Lernumgebung «Pentomino – Spiel mit Formen» in diesem Band oder eine ähnliche Sequenz aus einem Lehrmittel ist Voraussetzung zur Bearbeitung dieser Lernumgebung.

Bei Unterrichtsbeginn wird eine Folie mit der Hundertertafel projiziert. Ein Pentomino (Schablone) wird auf die Folie gelegt und deckt fünf Zahlen ab. Die Kinder werden aufgefordert, diese Zahlen zu addie-ren. Die zu addierenden Zahlen sowie das Resultat werden an der Wandtafel festgehalten.

Beispiel mit dem Pentomino «L»

1 + 11 + 21 + 31 + 32 = 96

2 + 12 + 22 + 32 + 33 = 101

3 + 13 + 23 + 33 + 34 = 106

13 + 23 + 33 + 43 + 44 = 156

Nachdem mehrere Additionen an der Tafel stehen, wird darüber diskutiert, wie man aus einer berech-neten Summe die nächste herleiten kann. So wird die nun mit Resultaten illustrierte «Reise» der Pen-tomino auf der Hundertertafel nochmals nachgezeichnet.

Bei Aufgabe 2 können weitere analoge Aufgaben an die Wandtafel notiert und mündlich erläutert wer-den. Dadurch werden ausgedehnte Erkundungen begünstigt.

Nun werden die Schülerinnen und Schüler mit weiteren Pentominos auf «Entdeckungsreise» auf der Hundertertafel geschickt.

Mögliche ergänzende Fragen zu Aufgabe 2:

Wer landet am nächsten bei:

• 100 • 140 • 270 • 321 • 688

Oder: Wer legt zwei Figuren, deren Summen sich um folgenden Betrag unterscheiden:

• 100 • 137

Die Kinder werden aufgefordert, einige Lösungen sichtbar (z.B. an der Wandtafel) festzuhalten. Eine Schülerin könnte auf die Zeile zu 321 schreiben: «321: Mit der Stange: 44 + 54 + 64 + 74 + 84 = 320.» Die Kinder werden nun versuchen, nach Möglichkeit noch präzisere Lösungen zu finden und festzu-halten.

Aufgabe 3 ist sehr anspruchsvoll, obwohl es dazu eine Vielzahl von Lösungen gibt. Lernschwache Kinder sollten sich daher auf die ersten beiden Aufgaben konzentrieren. Wer allerdings bei seinen Untersuchungen konsequent berücksichtigt, dass das Verschieben von Figuren die Summen immer um Vielfache von 5 verändert, wird mit etwas Beharrlichkeit die eine oder andere Lösung finden.

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Dokumente aus der Erprobung (3. Klasse) Einfache Lösungen

Delilah hat wie die meisten Kinder für ihre «Reise» eine einfache Pentomino ausgesucht und die Summe 150 (2. Aufgabe) in der Spalte ganz rechts markiert. Sie hat den Stab nach links, dann wieder nach rechts verschoben, aufgrund der Reihenfolge der Rechnungen jedoch nicht systematisch. Bei systematische-rem Vorgehen hätte sie möglicherweise den Zusammenhang zwischen Summe und Ver-schieben gefunden.

Mittlere Lösungen Nachdem Fabienne mit dem «L» die Summe 150 nicht abdecken konnte, versucht sie es mit dem «Tunnel». Bei ihrem ersten Versuch mit der Summe 158 ist die Summe der Zehner 150, diejenige der Einer 8. Sie stellt fest, dass die Summe der Einer ein Vielfaches von 10 betragen muss. Dazu dreht sie die Figur und schiebt sie in die gewünschte Position.

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Andrin bemerkt, dass ein Verschieben des «Tunnels» um 3 Felder nach rechts die Summe um 15 vergrössert.

Anspruchsvolle Lösung

Kai nutzt die Struktur der Hundertertafel: Ver-schieben des Stabs nach rechts vergrössert die Summe um 5. Er nutzt diese Einsicht und verschiebt den Stab mit der Summe 145 um 1 Feld nach rechts. Der «Tunnel» zeichnet er korrekt ein, dokumentiert jedoch seine Überle-gungen nicht.

Merreth hat die Summe 150 mit 3 (von vier möglichen) Pentominos erreicht. Die „T-Figur“ zeichnet sie ein Feld zu weit rechts und erhält so die Summe 155. Vermutlich war ihr klar, dass die Figur jetzt noch verschoben werden müsste – leider hat sie das jedoch nicht mehr festgehalten. Es würde sich lohnen, Merreth aufzufordern, ihre Arbeit in der nächsten Lek-tion kurz vorzustellen.

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Jonathan bemerkt und dokumentiert sowohl die Veränderung der Summen um 5 bzw. um 50 beim Verschieben eines Pentominos nach rechts bzw. nach unten. Auch Jennifer bemerkt, dass sich die Summen beim Verschieben um 50 bzw. um 5 verändern. Weil ihre Deutschkenntnisse noch nicht so gut sind, formuliert sie ihre Erkenntnisse in Englisch.

Zur Heterogenität Kinder mit einfachen Lösungen … … verschieben eine oder mehrere Pentominos schrittweise auf dem Hunderterfeld und berechnen die entsprechenden Summen. … erreichen vorgegebene Summen näherungsweise. … berechnen Summen auch ohne Berücksichtigung von Rechengesetzen. … operieren auf der Hundertertafel mit Pentominos.

Kinder mit anspruchsvollen Lösungen … … klären Zusammenhänge zwischen Summe, Position und Form eines Pentominos. … decken vorgegebene Summen mit entsprechenden Pentominos ab. … wenden Rechengesetze beim Addieren an. … verstehen den Zusammenhang zwischen Lage der Pentominos und dem Fünferrest. (Symmetrieei-genschaften).