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MNU Bremerhaven — November 2005 — 1

Die Mathematik des GPS

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MNU Tagung Bremerhaven, November 2005

richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 �

Das Programm

Was ist GPS? Eine sehr kurzer Uberblick.Drei Segmente des GPS

KoordinatensystemeNotwendige Lineare AlgebraPosition uber Entfernungen

Entfernungsmessung unter GPSBancroft-AlgorithmusKleusberg-Algorithmus

Fehler im GPSGPS und Relativitatstheorie

Dieser Vortrag will eine kurze Beschreibung des GPS liefern und insbesondere daraufeingehen, wo und welche Mathematik darin eine Rolle spielt.

Haben uns viel vorgenommen. Mal sehn, wie weit wir kommen. . .

Was ist GPS? Eine sehr kurzer Uberblick.


Was ist GPS? Eine sehr kurzer Uberblick.

Was ist GPS?Wer benutzt GPS?

Wie funktioniert GPS?Geschichte und Fakten

Was wir ansprechen werden und was nicht!

Wie die Uberschrift schon sagt: ein sehr kurzer Uberblick.

Was ist GPS? Eine sehr kurzer Uberblick. Was ist GPS?


Was ist GPS?

,GPS‘ ist ein Akronym und steht fur

Global Positioning System

Dabei handelt es sich um ein Satelliten Navigationssystem, welches einem weltweit undwetterunabhangig ermoglicht, seine genaue Position auf der Erde zu bestimmen.

Das GPS wurde von der amerikanischen Verteidigungsbehorde (DoD) entwickelt undwird von ihr betrieben (D.h., sie hat Kontrolle daruber).

Was ist GPS? Eine sehr kurzer Uberblick. Wer benutzt GPS?


Wer benutzt GPS?

Viele verschiedene Bereiche:

. Militar: Zurechtfinden auf fremden Terrain

. Auto: Navigationssystem und Verkehrsfuhrung

. Maut: Abrechnung von Autobahnkilometern

. Transport: exakte Uberwachung von Positionen

. Landwirtschaft: optimierte Lenkung von Mahmaschinen (USA)

. Seefahrt: exakte kustennahe Navigation

. Unterhaltung: ,Geo-Caching‘

. . . .

Was ist GPS? Eine sehr kurzer Uberblick. Wie funktioniert GPS?


Wie funktioniert GPS?

Ganz einfach und schnell gesagt funktioniert das GPS auf die folgende Art und Weise:

Ein Empfanger misst die Abstande zu Satelliten im Weltraum.Aufgrund der Abstande ist eine Umrechnung auf die Position desEmpfangers moglich:

Trilateration .

Abstande werden uber Laufzeiten von Radiosignalen bestimmt. Benotigt exakte Zeit-messung und exakte Kenntnis der Satellitenpositionen.

Das war die einfache Variante. Aber die technische und mathematische Umsetzungbenotigt dazu noch jede Menge Details.


Was ist GPS? Eine sehr kurzer Uberblick. Geschichte und Fakten


Geschichte und Fakten

. DoD ist Entwickler und Betreiber des GPS.

. GPS heisst offiziell NAVSTAR: Navigation Satellite Timing and Ranging.

. erster GPS Satellit wurde 1978 gestartet.

. die ersten 10 Satelliten (Block I) waren nur Entwicklungsmodelle.

. das aktuelle System besteht aus Satelliten der 2. Generation (Block II).

. zwischen 1989 und 1994 wurden 24 Satelliten (Block II) gestartet.

. DoD erklarte 1995 das GPS fur vollstandig operabel.

. am 2. Mai 2000 wurde SA (selective availibility) ausgeschaltet.

. die Kosten fur den Bau und Positionierung von 24 Satelliten betrugen 12 MilliardenDollar.

. in Russland gibt es GLONASS (Global Navigation Satellite System).

. in Europa wird GALILEO gebaut (ab 2008 in Betrieb).

Was ist GPS? Eine sehr kurzer Uberblick. Was wir ansprechen werden und was nicht!


Was wir ansprechen werden und was nicht!

Was wir ansprechen werden

• knappen Uberblick auf das System• einfache Mathematik des GPS: Lineare Algebra, quadratische Gleichung, Dreiecks-

beziehungen• . . .

Was wir nicht ansprechen werden

• Ausgleichsrechnung• technische Aspekte• Abstandmessung uber die Trager-Frequenzen• . . .und alles, was wirklich schwierig ist

Bemerkung: Unmengen von Informationen zum Thema GPS.

Eine Google-Suche ,GPS‘ liefert 22.600.000 Treffer. Eingeschrankt auf deutscheWebseiten: 1.280.000 Treffer.

Drei Segmente des GPS



WeltraumsegmentKontrollsegmentBenutzersegment

Das GPS besteht aus drei Segmenten oder Bausteinen:

1. dem ,Weltraumsegment‘, bestehend aus 24 Satelliten, die die Erde auf verschiede-nen Bahnen umkreisen,

2. dem ,Kontrollsegment‘, bestehend aus 5 Stationen, die die Satelliten kontrollierenund korrigieren, und

3. dem ,Benutzersegement‘, bestehend aus dem GPS-Empfanger und den anschlies-senden Anwendungen.

Fur den Anwender ist nur das Benutzersegment von Interesse. Fur das Funktionierenwerden naturlich alle drei Bausteine benotigt.



Kontrollsegment Benutzersegment

Weltraumsegment

Signale fliessen zwischen

. Weltraumsegment → Benutzersegment •

. Weltraumsegment → Kontrollsegment •

. Kontrollsegment → Weltraumsegment •

Drei Segmente des GPS Weltraumsegment


Weltraumsegment

Das ,Weltraumsegment‘ besteht aus 24 Satelliten (21 aktiv und 3 zur Reserve), die dieErde in einer Hohe von 20182 km umkreisen. (26560 km vom Erdmittelpunkt aus.)

Jeweils 4 Satelliten kreisen auf einer von sechs Umlaufbahnen knapp 2 mal am Tag umdie Erde (ein Orbit in 11h:58min).

Diese Verteilung ermoglicht es, dass stets eine genugende Anzahl von Satelliten (min-destens 4) auf der ganzen Erde (ohne politische Grenzen) zu jeder Zeit sichtbar ist.

Drei Segmente des GPS Weltraumsegment


Satelliten bewegen sich mit 3875 m/s, sind etwa 1660 kg schwer, und haben eineLebensdauer von 7.5 Jahren. Energieversorgung uber Solarkollektoren, fur den Notfallauch Batterien. Satelliten besitzen kleine Dusen zur Bahnkorrektur.

Satelliten senden Signale auf zwei unterschiedlichen Radio-Frequenzen:

1. L1 mit 1575.42 MHz = 154 · 10.23 MHz2. L2 mit 1227.60 MHz = 120 · 10.23 MHz

Diese Signale passieren Wolken, Glas und Plastik. Werden aber von Gebauden oderGebirgen abgeschirmt/abgelenkt. GPS funktioniert nicht in Gebauden.


Drei Segmente des GPS Kontrollsegment


Kontrollsegment

Die Satelliten bewegen sich nicht auf geostationaren Bahnen, damit jeder der Satelliteneinmal am Tag eine der Kontrollstationen passiert. Davon gibt es insgesamt 5:

eine Hauptstation und 4 unbemannte Stationen = ,Kontrollsegment‘.

• Hawaii (Pazifischer Ozean)• Kwajalein (Pazifischer Ozean)• Diego Garcia (Indischer Ozean)• Ascension Island (Atlantischer Ozean)• Colorado Springs, Falcon Air Base

Die Stationen erhalten standig Daten von den Satelliten, die in der Hauptstation aus-gewertet werden. Dort konnen diese Daten dazu fuhren, dass die Umlaufbahnen oderUhren der Satelliten korrigiert werden.

Drei Segmente des GPS Benutzersegment


Benutzersegment

Jeder, der GPS verwendet, gehort zu dem ,Benutzersegment‘: beispielsweise Autofahrer,Skipper, Piloten, Wanderer, Jager, Militar und viele mehr.

Ein einzelner GPS Emfanger ist nicht grosser, als ein moderenes mobiles Telephon. Diesich anschliessenden Anwendungen (Aufbereiten der Daten) konnen zumeist deutlichgrosser sein.

Koordinatensysteme


Koordinatensysteme

Lange, Breite, HoheWGS-84

Umrechnungen

Man benotigt ein gemeinsames Koordinatensystem, um Positionen zu kommunizieren.

Mathematik (Lineare Algebra) bevorzugt das ,Kartesische Koordinatensystem‘ x, y, z.

Auf der Erde wird ein der Geometrie der Erdkugel angepasstes Koordinatensystemverwendet: mit ,Langen‘ und ,Breiten‘ und ,Hohen‘ λ, φ, h.

Alle Rechnungen fur GPS im kartesischen System. Fur viele Anwendungen und fur dasZurechtfinden auf der Erde noch umrechnen.

Das ist ein Thema fur sich! Hier nur ganz kurz.

Koordinatensysteme Lange, Breite, Hohe


Lange, Breite, Hohe

Die ublichen Positionsbeschreibungen auf der Weltkugel sind Lange λ, Breite φ undHohe h.

Die Erdkugel wird langs (Langengrade)und quer (Breitengrade) mit Kreisen uber-zogen.

Man kommuniziert den Langskreis undden Querkreis, die sich an der eigenenPosition schneiden.

Fur die genaue Position kommt die aktu-elle Hohe uber/unter dem Meeresspiegelhinzu.

Bemerkung: Die Erde ist eigentlich keine Kugel, sondern ein Ellipsoid mit grosserHalbachse a und kleiner Halbachse b. Diese werden lokal verschieden angegeben.

Bemerkung: Die Erde ist eigentlich kein Ellipsoid, sondern eine Kartoffel oder ,Geoid‘.

Koordinatensysteme WGS-84


WGS-84

,WGS-84‘, World Geodetic System, ist ein kartesisches System definiert uber

• Ursprung im Massenschwerpunkt der Erde

• z-Achse durch beide Pole

• x-Achse durch den Null-Meridian

• y-Achse orthogonal (Rechtssystem)

Dazu kommen noch die Halbachsen bzw. Abflachung des Ellipsoiden:

a = 6378137 m , f =a− b

a=

1

298.257223563

Wir werden alle weiteren Betrachtungen im x, y, z System des WGS-84 machen.

Koordinatensysteme Umrechnungen


Umrechnungen

Nur der Vollstandigkeit halber . . .

Von (φ, λ, h) nach (x, y, z):

x = (N + h) · cos φ cos λ

y = (N + h) · cos φ sin λ

z = ((1− f)2N + h) · sin φ

mit

N =a√

1− f(2− f) sin2 φ

Von (x, y, z) nach (φ, λ, h) nur iterativ (Start mit h = 0):

φ = arctan

(z√

x2 + y2

(1− (2− f)fN

N + h

)−1)

, h =

√x2 + y2

cos φ−N

und

λ = arctan(y

x)


Notwendige Lineare Algebra


Notwendige Lineare Algebra

VektorenSkalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm

Vektorprodukt im RaumGegenuberstellung Skalarprodukt, Vektorprodukt im Raum

Nur knappe Wiederholung notwendiger Linearer Algebra. Naturlich nicht vollstandig.

Verwendete Nomenklatur:

• kleine griechische Buchstaben fur Skalare: α, β, γ, λ, η, . . .• kleine lateinische Buchstaben fur Vektoren: s, v, w, p, . . .• grosse lateinische Buchstaben fur Matrizen: A, B, M , . . .

Was nicht immer gelingt.

Prominente Ausnahmen sind die Koordinaten eines Vektors. Wenn immer der Vektor imRaum definiert ist, werden die Koordinaten mit x, y und z bezeichnet. Daruberhinauswerden die echten Entfernungen zwischen Punkten mit r bezeichnet.

Alle Punkte/Positionen werden ebenfalls mit Grossbuchstaben bezeichnet.

Notwendige Lineare Algebra Vektoren


Vektoren

Betrachten die Vektorraume R2, R3 und R4.

v =

(ν1ν2

)∈ R2 , v =

ν1ν2ν3

∈ R3 , v =

ν1ν2ν3ν4

∈ R4

Mit Vektoren kann man rechnen (hier fur den R3): Addition und Multiplikation mitSkalar.

∀v, w ∈ R3: v + w =

ν1ν2ν3

+

ω1ω2ω3

=

ν1 + ω1ν2 + ω2ν3 + ω3

∈ R3

∀α ∈ R ∀v ∈ R3: α · v = α ·

ν1ν2ν3

=

α · ν1α · ν2α · ν3

∈ R3

Analog fur R2, R4, . . .

Notwendige Lineare Algebra Vektoren


Bemerkung: Vektoren sind etwas anderes als Koordinaten eines Punktes. Ein Vektorkann frei im Rn verschoben werden. Er gibt insbesondere eine Richtung an. EineKoordinate ist fest gegeben.

Der Vektor mit den Eintragen der Koordinate abgetragen an dem Ursprung desKoordinatensystems zeigt auf den Punkt.

x

y

P = (3, 2)T

v

v

v

Notwendige Lineare Algebra Skalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm


Skalarprodukt, Lorentz-Produkt, Norm

Vektoren konnen auch miteinander multipliziert werden.

Definition Eine Abbildung 〈·, ·〉: Rn×Rn → R heisst ,Skalarprodukt‘, wennsie die folgenden Eigenschaften besitzt:

1. distributiv: 〈u + v, w〉 = 〈u, w〉+ 〈v, w〉 ∀u, v, w ∈ Rn

2. kommutativ: 〈v, w〉 = 〈w, v〉 ∀v, w ∈ Rn

3. homogen: 〈α · v, w〉 = α · 〈v, w〉 ∀v, w ∈ Rn, ∀α ∈ R4. positiv definit: 〈v, v〉 > 0 ∀v ∈ Rn \ {o}

Standardbeispiel dazu

Definition Das ,euklidische Skalarprodukt‘ ist definiert uber

〈v, w〉2 = vT · w = ν1 · ω1 + . . . + νn · ωn ∀v, w ∈ Rn

Wir verwenden 〈v, w〉2 im R3.

Mussten noch zeigen, dass 〈v, w〉2 die Definition eines Skalarprodukts erfullt . . . !



Wir mussen auch noch Abstande messen. Dazu

Definition Die ,euklidische Norm‘ oder ,Lange‘ eines Vektors ist definiertuber

‖v‖2 =√〈v, v〉2 ∀v ∈ Rn.

Eigentlich gibt es eine allgemeine Definition einer Norm (vergl. Skalarprodukt). Brau-chen wir aber hier nicht.

Als ,Einheitsvektor‘ werden alle Vektoren mit der Lange 1 bezeichnet. Geben eine Rich-tung an. Durch Normierung kann jeder von Null verschiedene Vektor zu einem Ein-heitsvektor gemacht werden:

u =v

‖v‖2∀v ∈ Rn \ {o}

Mit dem euklidischen Skalarprodukt kann man Winkel messen.

Lemma Fur v, w ∈ Rn \ {o} gilt

〈v, w〉2 = ‖v‖2 · ‖w‖2 · cos(](v, w)) oder cos(](v, w)) =〈v, w〉2

‖v‖2 · ‖w‖2



Es gibt auch ,Skalarprodukte‘, die die (positive) Definitheit nicht erfullen, aber dennochsinnvoll sein konnen.

Ein Beispiel dafur ist das Lorentz-Produkt fur den R4.

Definition Die Abbildung 〈·, ·〉L: R4 × R4 → R definiert uber

〈v, w〉L = ν1 · ω1 + ν2 · ω2 + ν3 · ω3 − ν4 · ω4 ∀v, w ∈ R4

heisst ,Lorentz-Produkt‘.

Bemerkung Vielleicht ist dem einen oder anderen die Lorentz-Transformation ausder Relativitatstheorie her bekannt. Diese ist so angelegt, dass sie Langen mit demLorentzprodukt misst.

Bemerkung In der Linearen Algebra wird das Lorentz-Produkt auch kurz geschriebenzu

〈v, w〉L = vT ·M · w ∀v, w ∈ R4

mit der Matrix




M =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

Hier kann man auch direkt ablesen, dass das Lorentz-Produkt nicht definit ist, dennM ist nicht positiv definit. Besitzt Eigenwert +1 und −1.



Noch einige Fakten zum Lorentz-Produkt.

Lemma Fur die Matrix M gilt

MT = M , M−1 = M

Lemma Das Lorentz-Produkt ist distributiv, kommutativ und homogen.Es ist nicht definit.

D.h., man kann mit dem Lorentz-Produkt wie ublich rechnen. Nur keine Langen messen.

Lemma Es gilt

〈Mv, Mw〉L = 〈v, w〉L ∀v, w ∈ R4

Notwendige Lineare Algebra Vektorprodukt im Raum


Vektorprodukt im Raum

Speziell fur den R3 gibt es eine zweite Moglichkeit, Vektoren miteinander zu Multipli-zieren.

Definition Fur zwei Vektoren v, w ∈ R3 ist das ,Vektorprodukt‘ oder,Kreuzprodukt‘ definert uber

v × w =

ν1ν2ν3

×

ω1ω2ω3

=

ν2ω3 − ν3ω2ν3ω1 − ν1ω3ν1ω2 − ν2ω1

∈ R3

Bemerkung Die Berechnungsvorschrift ist leicht zu merken, wenn Determinantenbekannt sind ∣∣∣∣∣∣

x ν1 ω1y ν2 ω2z ν3 ω3

∣∣∣∣∣∣

Notwendige Lineare Algebra Vektorprodukt im Raum


Einige Fakten zum Vektorprodukt.

Lemma Fur das Vektorprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:

• Antisymmetrie

v × w = −(w × v) ∀v, w ∈ R3

• Linearitat

(u+v)×w = u×w+v×w , (α·v)×w = α·(v×w) ∀u, v, w ∈ R3, α ∈ R

• Grassmann-Identitat (doppeltes Kreuzprodukt)

(u× v)× w = 〈u, w〉2 · v − 〈v, w〉2 · u ∀u, v, w ∈ R3

D.h., man kann mit dem Vektorprodukt rechnen. Und es hat was mit Winkeln zu tun.

Lemma Fur v, w ∈ R3 \ {o} gilt

‖v × w‖2 = ‖v‖2 · ‖w‖2 · sin(](v, w)) oder sin(](v, w)) =‖v × w‖2

‖v‖2 · ‖w‖2

Notwendige Lineare Algebra Gegenuberstellung Skalarprodukt, Vektorprodukt im Raum


Gegenuberstellung Skalarprodukt, Vektorprodukt im Raum

Skalarprodukt Vektorprodukt

Definition 〈v, w〉2 = ν1ω1 + ν2ω2 + ν3ω3 ∈ Rv × w =

ν2ω3 − ν3ω2

ν3ω1 − ν1ω3

ν1ω2 − ν2ω1

∈ R3

Interpretation 〈v, w〉2 ∈ R Skalar. Ist Maß fur dieLange der Projektion von w auf v.

v × w ∈ R3 Vektor senkrecht zu v undw. Lange ist ist Maß fur Flache desParallelogramms aus v, w.

Winkel 〈v, w〉2 = ‖v‖2 · ‖w‖2 · cos (](v, w)) ‖v × w‖2 = ‖v‖2 · ‖w‖2 · sin (](v, w))

Senkrechte v ⊥ w ⇒ 〈v, w〉2 = 0 v ⊥ w ⇒ ‖v × w‖2 = ‖v‖2 · ‖w‖2

Quadrat 〈v, v〉2 = ‖v‖22 v × v = o

Kommutativitat 〈v, w〉2 = 〈w, v〉2 v × w = −w × v

Linearitat 〈αv, w〉2 = α〈v, w〉2 ,〈u, v + w〉2 = 〈u, v〉2 + 〈u, w〉2

(α · v)× w = α · v × w ,u× (v + w) = u× v + u× w

Zusammenhang 〈v × w, v〉2 = 〈v × w,w〉2 = 0 , ‖v × w‖22 = ‖v‖2

2‖w‖22 − 〈v, w〉22

Position uber Entfernungen


Position uber Entfernungen

Auf der LinieIn der Ebene

Im Raum

Die Position uber Entfernungen zu bestimmen ist der naturliche Weg zur Navigation:

• Wahle in der Umgebung Landmarken mit bekannten Koordinaten.• Bestimme eigene Entfernung zu den Landmarken.• Berechne daraus eigene Koordinaten.

Wir spielen dies der Reihe nach geometrisch durch fur

• die Linie (1d), • die Ebene (2d), • und den Raum (3d).

Wir behandeln nicht, wie die Entfernungen gemessen werden. Gehen davon aus, dasswir diese exakt kennen. Kommen darauf aber fur das GPS spater zuruck.


Position uber Entfernungen Auf der Linie


Auf der Linie

Wir beginnen auf der Linie. Fangen langsam an. Hier sind noch keine Vektoren undkeine Lineare Algebra notwendig.

Der Ursprung liegt in O. Wir messen in x-Richtung.

xO

Unsere eigene Position P darauf ist

xOP

Dazu kommen die Landmarken oder ,,Satelliten“ S1, S2

xOP

S1S2

Die Koordinaten gemessen vom Ursprung O lauten

• P : x unbekannt • S1: x1 bekannt • S2: x2 bekannt



Vergessen nun, wo wir sind. Wir messen den Abstand (irgendwie)

r1 = ‖P − S1‖2 = |x− x1|

xO

S1S2

Wir wissen nur, dass wir einen Abstand r1 von S1 haben.

xO

S1S2

Wir konnen an zwei Orten auf der Linie sein. Brauchen eine weitere Messung

r2 = ‖P − S2‖2 = |x− x2|

xO

S1S2

Damit Losung eindeutig

xO

S1S2

P



Wir haben zeichnerisch das Gleichungssystem

|x− x1| − r1 = 0 , |x− x2| − r2 = 0

nach x aufgelost.

Wir haben eine Unbekannte, x, benotigen aber zwei Gleichungen zur eindeutigenLosung!

Warum?

Es geht bei den Betragen ein Vorzeichen verloren. Und dafur braucht man noch eineGleichung oder andere Vorabinformation.



Bemerkung ,Erde‘ ist ein begrenzter Streckenzug auf der Linie. Wahle Satellitenweit ausserhalb der Erde. Dann genugt eine Entfernungsmessung fur eindeutige Posi-tionsbestimmung. Zweite Losung liegt nicht auf der ,Erde‘.

xO

S1S2

Bemerkung Anders als bei vielen anderen mathematischen Problemen wissen wir,dass eine eindeutige Losung existiert. Denn wir stehen mit unserem Empfanger in derLosung. Keine Diskussion uber Losbarkeit und Eindeutigkeit.

Position uber Entfernungen In der Ebene


In der Ebene

Eine Dimension mehr. Jetzt brauchen wir auch Vektoren im R2. Wir haben unsereeigene Position P und drei Satelliten in S1, S2, S3.

x

y

O

P

S1

S2

S3

s1

s2

s3

p

Die Koordinaten gemessen vom Ur-sprung O lauten

• P : p = (x, y) unbekannt

• S1: s1 = (x1, y1) bekanntf

• S2: s2 = (x2, y2) bekannt

• S3: s3 = (x3, y3) bekannt



Jetzt vergessen wir, wo wir sind.

x

y

O

S1

S2

S3

Wir messen unsere Entfernung zu dem Punkt S1

r1 = ‖p− s1‖2





x

y

O

S1

S2

S3

Wir messen die Entfernung zu dem Punkt S1

r1 = ‖p− s1‖2

Wir sind irgendwo auf einer Kreislinie mit Radius r1 um S1.




x

y

O

S1

S2

S3

Wir messen die Entfernung zu dem Punkt S1

r1 = ‖p− s1‖2

Wir sind irgendwo auf einer Kreislinie mit Radius r1 um S1.

Das hilft noch nicht richtig weiter. Messen unsere Entfernung zum Punkt S2

r2 = ‖p− s2‖2




x

y

O

S1

S2

S3

r1 = ‖p− s1‖2 , r2 = ‖p− s2‖2

Dies liefert zweiten Kreis mit Radius r2. Wir mussen auf einem von zwei Schnittpunktenstehen. Hierzu eine dritten Entfernungsmessung zu S3

r3 = ‖p− s3‖2




x

y

O

S1

S2

S3

P

Der dritte Kreis schneidet in unserer Position P . Die Losung ist eindeutig.�

Wir haben das folgende Gleichungssystem geometrisch gelost

‖p− s1‖2 − r1 =√

(x1 − x)2 + (y1 − y)2 − r1 = 0

‖p− s2‖2 − r2 =√

(x2 − x)2 + (y2 − y)2 − r2 = 0

‖p− s3‖2 − r3 =√

(x3 − x)2 + (y3 − y)2 − r3 = 0



Bemerkung Fur den Fall einer endlichen Erde und weit ausserhalb aufgehangtenSatelliten genugen zumeist zwei Entfernungsmessungen, um die aktuelle Position ein-deutig zu bestimmen. Die zweite Losung liegt zu weit von der Erde entfernt.

x

y

O

P

S1

S2

S3

Position uber Entfernungen Im Raum


Im Raum

Wieder eine Dimension mehr. Aus Kreisen werden Kugeln.

Jeweils zwei Kugeln schneiden sich in einem Kreis.

Zwei Kreise in zwei Punkten.

Die vierte Kugel liefert die gesuchte Position.

Das Gleichungssystem dazu lautet

‖p− s1‖2 − r1 =√

(x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2 − r1 = 0

‖p− s2‖2 − r2 =√

(x2 − x)2 + (y2 − y)2 + (z2 − z)2 − r2 = 0

‖p− s3‖2 − r3 =√

(x3 − x)2 + (y3 − y)2 + (z3 − z)2 − r3 = 0

‖p− s4‖2 − r4 =√

(x4 − x)2 + (y4 − y)2 + (z4 − z)2 − r4 = 0

Bemerkung Fur den Fall der Erde und weit aus-serhalb aufgehangten Satelliten genugen drei Ent-fernungsmessungen, um die aktuelle Position ein-deutig zu bestimmen. Die noch offene zweite Losungliegt meist zu weit von der Erde entfernt.

Befindet man sich auf dem Wasser, so kommt die Erde selber als vierte Kugel hinzu.


Entfernungsmessung unter GPS


Entfernungsmessung unter GPS

Positionen der SatellitenLaufzeitmessung

Wissen jetzt, wie aus bekannten exakten Entfernungen eigene Position bestimmt wird.Aber wie kommen wir an die Entfernungen?

Dazu zwei Fragen zu klaren:

1. Wo stehen die Satelliten?

2. Wie messe ich deren Abstand?

Schnelle Antworten darauf

1. Schlag nach im Almanach.

2. Uber Signallaufzeiten.

Entfernungsmessung unter GPS Positionen der Satelliten


Positionen der Satelliten

GPS Satelliten bewegen sich auf sehr hohem Orbit (20180km uber NN).

Satellitenbewegung lasst sich beschreiben mit Newton-Gesetz und als 2 Korper-Problem

F = m · a , Kraft = Masse × Beschleunigung

Analytische Losung mit Gravitation F fuhrt auf ,Kepler-Bahnen‘. (Ein Thema fursich . . . ).

Kepler-Modell im GPS-Empfanger implementiert: ,Almanach‘.

Daraus grobe Positionierung der Satelliten moglich.

Feinjustierung der Bahnen uber ,Ephemeriden‘: akkurater Orbit als Funktion der Zeit.

Die notwendigen Ephemeriden-Daten (16 Parameter) werden von jedem einzelnen Sa-telliten an den Empfanger ubertragen. Valide fur 4–6 Stunden.

Anderungen der Bahnen werden von den Kontrollstationen uberwacht und korrigiertbzw. kommuniziert (uber Satelliten).

Entfernungsmessung unter GPS Laufzeitmessung


Laufzeitmessung

Abstandmessung eigentlich einfach. Und ahnlich der Bestimmung des Abstandes zueinem Gewitter:

Man sieht den Blitz und fangt an zu zahlen bis man den Donner hort. Die gemes-sene Zeit wird mit cs = 300 m/s (der Schallgeschwindigkeit) mal genommenund man hat den Abstand zur Gewitterfront.

Der Blitz gilt als Marke, wann das Signal (der Donner) losgeschickt wurde. Da dasLicht wahnsinnig schnell ist, gilt auf der Erde die Verzogerung durch die Laufzeit desLichtes von der Gewitterfront bis zu unserem Auge als vernachlassigbar.

Abstand = Laufzeit × Geschwindigkeit

r = ∆t · cs

Bei GPS werden die Laufzeiten von elektromagnetischen Wellen zwischen Satellitenund Empfanger gemessen. Wellen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit c.



Wann beginnt Empfanger zu zahlen?

Satellit und Empfanger erzeugen gleichzeitig denselben eindeutigen Code (das Signal):

Pseudo-Random Code

,Zufallige‘ Folge von 0en und 1en. Vergleichbar einem Zufallsgenerator im Computer.

Empfanger bestimmt Zeitshift ∆t, mit dem Satellitensignal verzogert werden muss, umperfekt zum eigenen Signal zu passen. Das ist die Laufzeit.

t

s

0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0erzeugt&sendet

t

erzeugt

t

empfangt

∆t

Berechnung von ∆t uber Kreuzkorrelation empfangener und erzeugter Signale.



In der Laufzeitmessung steckt der Teufel im Detail. Und der Grund, warum man vier-dimensional denken muss:

Satellit und Empfanger mussen Code gleichzeitig erzeugen

Zeit in den Satelliten lauft synchron. Jeder ausgestattet mit 4 Atomuhren und Kontrolleuber Bodenstation.

Aber GPS Empfanger mit Atomuhr zu teuer (100.000 ¤) und zu schwer. Hier werdennormale Quartzuhren verwendet. Also:

Zeit zwischen Satellit und Empfanger nicht synchron. Zeitoffset dt.

Macht das was aus?



Atomuhr besitzt relative Genauigkeit von 10−12, d.h.

• in 1 h = 60 min einen Fehler von 60 · 10−12 min• in 1 d = 24 · 60 min einen Fehler von 24 · 60 · 10−12 min

=⇒ 0.0000000864 s ≈ 10−7 s pro Tag

Ist das viel?Eigentlich nicht. Aber das wird ja noch mit der Lichtgeschwindigkeit

c = 299792458.0 m/s

multipliziert:

c · 0.000000086 s ≈ 26 m

In der Praxis Fehler durch Satellitenuhren weniger als 1 m, da Korrekturen durch Bo-denstation.

Und was ist mit der Uhr im Empfanger?




Quartzuhren haben relative Genauigkeit von 10−6. Nochmal rechnen

• in 1 h = 60 min einen Fehler von 60 · 10−6 min• in 1 d = 24 · 60 min einen Fehler von 24 · 60 · 10−6 min

=⇒ 0.0864 s ≈ 10−1 s pro Tag

Zusammen mit der Lichtgeschwindigkeit

c · 0.086 s ≈ 25902068 m ≈ 26000 km

Das kann man nicht ignorieren.

Bemerkung Naturlich ist das eine ,worst-case‘ Rechnung.



Wir haben also ein Zeitproblem. Aber:

Uhren-Offset dt des Empfangers gegenuber den Satellitenuhren ist fur alle Satellitengleich. Alle Entfernungsmessungen sind um den gleichen Anteil

c · dt

zu kurz oder zu lang.

Si P

ri c dt

ρi

Da dier Messungen nicht die wirklichen Entfernungen ri liefern, werden sie auch ,Pseudo-Entfernungen‘ (pseudo-range) ρi genannt. Anstelle von

ri = ‖si − p‖2

messen wir

ρi = ‖si − p‖2 + c · dt = ri + c · dt.



Hier nochmal die Situation in der Ebene mit festem Uhrenoffset. Kreise haben Radiusρi = ri + c · dt:

x

y

O

S1

S2

S3

P

�

Die Kreise schneiden sich nicht mehr in einem Punkt!



Alle vorhergehenden Betrachtungen mussen wir nun revidieren. Konnen nicht mehreinfach geometrisch die gesuchte Position in P konstruieren, da eine weitere vierteUnbekannte dt im System!

Gehen wir davon aus, dass wir im Raum bisher drei Gleichungen brauchten, um x, y, zzu bestimmen, so brauchen wir nun eine weitere mehr, um auch dt in den Griff zubekommen.

Das zu losende Gleichungssystem lautet

ρ1 = ‖s1 − p‖2 + c · dt =√

(x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2 + c · dt

ρ2 = ‖s2 − p‖2 + c · dt =√

(x2 − x)2 + (y2 − y)2 + (z2 − z)2 + c · dt

ρ3 = ‖s3 − p‖2 + c · dt =√

(x3 − x)2 + (y3 − y)2 + (z3 − z)2 + c · dt

ρ4 = ‖s4 − p‖2 + c · dt =√

(x4 − x)2 + (y4 − y)2 + (z4 − z)2 + c · dt

Dafur zwei Algorithmen:

− Bancroft (1985) − Kleusberg (1994)

Bancroft-Algorithmus


Bancroft-Algorithmus

AusgangslageGleichungssystem

,Zeit‘ als vierte Dimension,Lineares‘ System

Quadratische GleichungAlgorithmus

Wir berechnen unsere Position P im Raum, wenn wir vier Pseudo-Entfernungen vonbekannten Satellitenpositionen S1, S2, S3 und S4 kennen.

Bancroft-Algorithmus Ausgangslage


Ausgangslage

Wir betrachten folgende Konstellation im Raum

x

yz

O

P

S1

S2

S3

S4

p

s1

s2

s3

s4

• P : p =

xyz

unbekannt

• S1: s1 =

x1

y1

z1

bekannt

• S2: s2 =

x2

y2

z2

bekannt�

• S3: s3 =

x3

y3

z3

bekannt

• S4: s4 =

x4

y4

z4

bekannt

Uber gemessene Signallaufzeiten ∆ti zwischen Si und P bekannte Pseudo-Entfernungen:

ρi = c ·∆ti fur i = 1, 2, 3, 4.


Bancroft-Algorithmus Gleichungssystem


Gleichungssystem

Entfernungen mit Uhren-Offset dt

Si P

ri c dt

ρi

Lineare Algebra liefert den Zusammenhang

ρi = ri + c · dt = ‖si − p‖2 + c · dt

=√

(xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 + c · dt fur i = 1, 2, 3, 4

Setzen abkurzend

β = c · dt

und schreiben

ρi − β = ‖si − p‖2 =√

(xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 fur i = 1, 2, 3, 4.



Bisher

ρi − β =√

(xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 fur i = 1, 2, 3, 4.

Beide Seiten quadriert und voll ausgeschrieben

(ρ1 − β)2 = (x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2

(ρ2 − β)2 = (x2 − x)2 + (y2 − y)2 + (z2 − z)2

(ρ3 − β)2 = (x3 − x)2 + (y3 − y)2 + (z3 − z)2

(ρ4 − β)2 = (x4 − x)2 + (y4 − y)2 + (z4 − z)2

Dies ist das Gleichungssystem, welches wir losen wollen, um die vier Unbekannten

x, y, z und β = c · dt

zu bestimmen.

Vier Gleichungen in vier Unbekannten, dass musste doch zu schaffen sein.

Aber! Das System ist nichtlinear und damit dann doch nicht so einfach.

(ρi − β)2 = (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 fur i = 1, 2, 3, 4.



Erst noch ein wenig umformen. Beginnen mit

(ρi − β)2 = (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 fur i = 1, 2, 3, 4.

Klammern ausrechnen (zweite binomische Formel)

ρ2i −2βρi +β2 = x2

i −2xix+x2 +y2i −2yiy +y2 +z2

i −2ziz +z2 fur i = 1, 2, 3, 4

,Geschickt‘ umstellen

x2i +y2

i +z2i −ρ2

i−2 (xxi + yyi + zzi − βρi) = −(x2+y2+z2−β2) fur i = 1, 2, 3, 4

Sieht auch nicht einfacher aus, oder ?!

Bancroft-Algorithmus ,Zeit‘ als vierte Dimension


,Zeit‘ als vierte Dimension

Nun kommt ein Trick! In zwei Schritten . . .

Erster Schritt: wir gehen in den vierdimensionalen Raum.

Erweitern alle 3d Vektoren um eine ,Zeit‘-Komponente zu 4d Vektoren.

si = (xi, yi, zi)T ∈ R3 −→ si = (xi, yi, zi, ρi)

T ∈ R4

p = (x, y, z)T ∈ R3 −→ p = (x, y, z, β)T ∈ R4

Bemerkung Die Grossen ρi und β haben ebenfalls die Einheit einer Lange.

Bemerkung In dem neuen Vektor p sind alle unsere Unbekannten versammelt. Inden neuen si alles, was wir wissen.

Zweiter Schritt: wir verwenden das Lorentz-Produkt im R4.

〈v, w〉L = v1w1 + v2w2 + v3w3 − v4w4 = vTMw mit M =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

Mit 〈v, w〉L kann man normal rechnen, nur keine Langen messen!

Bancroft-Algorithmus ,Zeit‘ als vierte Dimension


Wozu das ?

Weil nun fur i = 1, 2, 3, 4 gilt

〈si, si〉L = x2i + y2

i + z2i − ρ2

i , 〈p, p〉L = x2 + y2 + z2 − β2

〈p, si〉L = 〈si, p〉L = x · xi + y · yi + z · zi − β · ρi

Damit wird aus

x2i +y2

i +z2i −ρ2

i−2 (xxi + yyi + zzi − βρi)+x2+y2+z2−β2 = 0 fur i = 1, 2, 3, 4

〈si, si〉L − 2 · 〈p, si〉L + 〈p, p〉L = 0 fur i = 1, 2, 3, 4.

Oder ausgeschrieben

〈s1, s1〉L − 2 · 〈p, s1〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s2, s2〉L − 2 · 〈p, s2〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s3, s3〉L − 2 · 〈p, s3〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s4, s4〉L − 2 · 〈p, s4〉L + 〈p, p〉L = 0

Daraus bauen wir jetzt ein ,lineares‘ Gleichungssystem. . .

Bancroft-Algorithmus ,Lineares‘ System


,Lineares‘ System

Betrachten

〈s1, s1〉L − 2 · 〈p, s1〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s2, s2〉L − 2 · 〈p, s2〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s3, s3〉L − 2 · 〈p, s3〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s4, s4〉L − 2 · 〈p, s4〉L + 〈p, p〉L = 0

Setzen

a =

〈s1, s1〉L〈s2, s2〉L〈s3, s3〉L〈s4, s4〉L

∈ R4

Und 〈p, p〉L〈p, p〉L〈p, p〉L〈p, p〉L

= λ · e mit λ = 〈p, p〉L ∈ R, e =

1111

∈ R4

Damit linke und rechte Spalte erledigt. Fehlt noch die mittlere Spalte . . .




Nochmal

〈s1, s1〉L − 2 · 〈p, s1〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s2, s2〉L − 2 · 〈p, s2〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s3, s3〉L − 2 · 〈p, s3〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s4, s4〉L − 2 · 〈p, s4〉L + 〈p, p〉L = 0

Fur die mittlere Spalte gilt

〈p, si〉L = 〈si, p〉L = sTi Mp fur i = 1, 2, 3, 4.

Definere nun die Matrix

B =

sT1

sT2

sT3

sT4

=

x1 y1 z1 ρ1

x2 y2 z2 ρ2

x3 y3 z3 ρ3

x4 y4 z4 ρ4

∈ R4×4

Damit 〈s1, p〉L〈s2, p〉L〈s3, p〉L〈s4, p〉L

= BMp

Bemerkung In B stehen alle bekannten Eingangsdaten, in p alle gesuchten Grossen.



Aus

〈s1, s1〉L − 2 · 〈p, s1〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s2, s2〉L − 2 · 〈p, s2〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s3, s3〉L − 2 · 〈p, s3〉L + 〈p, p〉L = 0

〈s4, s4〉L − 2 · 〈p, s4〉L + 〈p, p〉L = 0

wird

a− 2 ·BMp + λ · e = o

mit

o =

0000

∈ R4



Es gilt

a− 2 ·BMp + λ · e = o

In p steckt alles, was wir wissen wollen. Deshalb stellen wir nach p um

a− 2 ·BMp + λ · e = o

⇐⇒ 2 ·BMp = (a + λ · e)

⇐⇒ BMp =1

2· (a + λ · e)

⇐⇒ Mp =1

2·B−1 (a + λ · e)

⇐⇒ p =1

2·MB−1 (a + λ · e)

Wir haben benutzt, dass M−1 = M gilt.

Ist das die Losung?

p =1

2·MB−1 (a + λ · e)

Sind wir fertig? Ist das wirklich so einfach?

Das war doch eigentlich ein nichtlineares System (quadratische Gleichungen). Und nuneine Losung uber ein lineares System?!

Bancroft-Algorithmus Quadratische Gleichung


Quadratische Gleichung

Schau’n wir nochmal genau hin:

p =1

2·MB−1 (a + λ · e)

Oops! Die Unbekannten treten noch auf der rechten Seite auf, denn

λ = 〈p, p〉L

Jetzt kommt noch ein Trick!

Wir setzen unsere obige Darstellung von p in die untere Definition von λ ein.

Mal sehn was passiert . . .



Dann mal los:

λ = 〈p, p〉L = 〈12MB−1 (a + λe),

1

2MB−1 (a + λe)〉L

⇔ λ =1

4· 〈B−1 (a + λe), B−1 (a + λe)〉L

⇔ 4λ = 〈B−1a, B−1a〉L + 〈B−1a, λB−1e〉L+ 〈λB−1e,B−1a〉L + 〈λB−1e, λB−1e〉L

⇔ 4λ = 〈B−1a, B−1a〉L + 2 · 〈B−1a, λB−1e〉L + 〈λB−1e, λB−1e〉L⇔ 4λ = 〈B−1a, B−1a〉L + 2λ · 〈B−1a, B−1e〉L + λ2 · 〈B−1e,B−1e〉L⇔ 〈B−1a, B−1a〉L + 2λ

(〈B−1a, B−1e〉L − 2

)+ λ2 · 〈B−1e,B−1e〉L = 0

Und nun steht eine quadratische Gleichung fur λ da

α2 · λ2 + 2 · α1 · λ + α0 = 0

mit den Koeffizienten

α2 = 〈B−1e,B−1e〉L , α1 = 〈B−1a, B−1e〉L − 2 , α0 = 〈B−1a, B−1a〉L.

In diese Koeffizienten spielen nur die bekannten Eingangsdaten fur die Satellitenposi-tionen und die Pseudo-Entfernungen hinein: B, a.



Die quadratische Gleichung

α2 · λ2 + 2 · α1 · λ + α0 = 0

hat zwei reelle Losungen

λ1,2 =1

α2·(−α1 ±

√α2

1 − α2 · α0

)Bemerkung Wir mussen uns keine Gedanken uber die reelle Losbarkeit dieser Glei-chung machen! Wir wissen ja, dass eine reelle Losung existiert, weil wir darin stehen.Und damit ist die zweite Nullstelle auch reell.

Wir bekommen zwei reelle Losungen fur λ und damit zwei Losungen fur p. Eine ist gut,die andere unpassend zu den Daten.

p1,2 =1

2·MB−1 (a + λ1,2 · e)

Fertig!


Bancroft-Algorithmus Algorithmus


Algorithmus

Nochmal alles zusammengefasst

Input: Satellitenpositionen und PseudoentfernungenInput: s1, s2, s3, s4, ρ1, ρ2, ρ3, ρ41 Erweitere Vektoren um ,Zeit‘komponente: (si, ρi)2 Bestimme Vektor a, Matrix B3 Formuliere quadratische Gleichung α2λ

2 + 2α1λ + α0 = 04 Bestimme Losungen der quadratischen Gleichung: λ1, λ25 Bestimme Losungen des Positionsproblems: p1, p26 Verifiziere korrekte LosungOutput: Empfangerposition und Uhrenoffset: p, dt



Spielen den Bancroft-Algorithmus einmal durch fur die Eingangsdaten

s1 = (−11716227.778,−10118754.628, 21741083.973)T , ρ1 = 22163882.029

s2 = (−12082643.974,−20428242.179, 11741374.154)T , ρ2 = 21492579.823

s3 = (14373286.650,−10448439.349, 19596404.858)T , ρ3 = 21492492.771

s4 = (10278432.244,−21116508.618,−12689101.970)T , ρ4 = 25284588.982

Erweiterte Vektoren si und Matrix B kann man direkt oben ablesen. Und

a =(2.21096276 · 1014, 2.39232229 · 1014, 2.37853091 · 1014, 7.32559940 · 1013)

Quadratische Gleichung lautet

−1.08886617274 · 10−15 · λ2 − 3.62020402411 · λ + 1.48672796195 · 1014 = 0

Als Losungen ergeben sich

λ1 = −3.36531893223 · 1015 , λ2 = 4.0572407133 · 1013

Oder als Positionsvektoren (inkl. ,Zeit‘)

p1 = (−1709347.365, 10519733.795,−7696634.911, 59482298.112)T

p2 = (595024.880,−4856499.09, 4078329.21, 145.892213)T



Wer macht Sinn? p1 oder p2? Plausibilitatsprufung:

‖s1 − p‖2 ≈ ρ1

Mal sehn

ρ1 = 22163882.029 , ‖s1−p1‖2 = 37318416.0232 , ‖s1−p2‖2 = 22163735.9578

Damit ist

p2 = (595024.880,−4856499.09, 4078329.21)T

unsere Position und

dt = β/c = 145.892213 m/c = 4.86644039093 · 10−7 s

unser Uhren-Offset.

Bemerkung Keine Angst vor grossen Zahlen. Aber diese machen numerische Schwie-rigkeiten.

Kleusberg-Algorithmus



Abstande und EinheitsvektorenDreiecksbeziehungen

VektorproduktKleusberg-Algorithmus

Ok, nun zum zweiten Algorithmus zur Berechnung der Positionen aus fehlerhaftenEntfernungen.



Zuerst die geometrische Grundidee des Kleusberg-Algorithmus.

Betrachte zwei gleichzeitige Messungen mit Uhrenfehler dt

ρ1 = r1 + c · dt , ρ2 = r2 + c · dt

Differenz hat keinen Uhrenfehler mehr.

ρ1 − ρ2 = r1 − r2

Empfanger muss auf einem Hyperboloiden liegen mit den Satelliten als Foki. Dies istder Graph aller der Punkte im Raum, deren Abstand zu den Satelliten sich durch ρ1−ρ2unterscheiden.

Eine dritte Messung liefert einen weiteren Hyperboloiden, der den ersten in einer Kurveschneidet.

Eine vierte Messung liefert eine weitere Kurve, die die eben berechnete zumeist in zweiPunkten schneidet. Normalerweise liegt einer davon so weit ausserhalb des Raumes,dass er nicht in Frage kommt.

Dies ist ein geometrischer Weg, die Losung unter fehllaufender Uhr zu bestimmen.

Kleusberg-Algorithmus Abstande und Einheitsvektoren


Abstande und Einheitsvektoren

Ausgangslage ist

x

yz

O

P

S1

S2

S3

S4

s1

s2

s3

s4

p

• P : p =

xyz

unbekannt

• S1: s1 =

x1

y1

z1

bekannt

• S2: s2 =

x2

y2

z2

bekanntf

• S3: s3 =

x3

y3

z3

bekannt

• S4: s4 =

x4

y4

z4

bekannt

• ri: tatsachlicher Abstand zwischen Si und P • ρi: gemessener Abstand

ρi = ri + c · dt =√

(xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 + c · dt fur i = 1, 2, 3, 4




Uhrenfehler verschwindet, wenn wir Differenzen von Pseudo-Entfernungen anschauen.

Hier Differenzen bezogen auf S1

δi = ρi − ρ1

=√

(xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 −√

(x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2

= ri − r1 fur i = 2, 3, 4.

In diesen drei Gleichungen kommen als Unbekannte nur noch die Koordinaten x, y, zvon P vor.



Kennen exakten Positionen der Satelliten. D.h. wir konnen auch Entfernungen zwischenden Satelliten bestimmen. Hier Abstande zu S1:

βi = ‖si − s1‖2 fur i = 2, 3, 4.

x

yz

O

P

S1

S2

S3

S4

s1

β2e2

β3e3

β4

e4

r1

e

f

Einheitsvektoren

e2 =s2 − s1

‖s2 − s1‖2, e3 =

s3 − s1

‖s3 − s1‖2, e4 =

s4 − s1

‖s4 − s1‖2, e =

p− s1

‖p− s1‖2

Kleusberg-Algorithmus Dreiecksbeziehungen


Dreiecksbeziehungen

Erst ein wenig Geometrie. In einem schiefwinkeligen Dreieck

a

bc

γ

α

β

gilt der Kosinussatz c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ).

Betrachten nun fur i = 2, 3, 4 die Dreiecke

S1 P

Si

ϕi = ](e, ei)

mit

cos(ϕi) = cos (](e, ei)) = 〈e, ei〉2 = eT ei



Kosinussatz fur das erste Dreieck

f

x

yz

O

P

S1

S2

S3

S4

β2

r2

r1

e2

e

](e, e2)

r22 = β2

2 +r21−2·β2 ·r1 ·〈e, e2〉2



Kosinussatz fur das zweite Dreieck

x

yz

O

P

S1

S2

S3

S4

β3

r3

r1

e3

e](e, e3)

f

r22 = β2

2 + r21 − 2 · β2 · r1 · 〈e, e2〉2

r23 = β2

3 + r21 − 2 · β3 · r1 · 〈e, e3〉2



Kosinussatz fur das dritte Dreieck

x

yz

O

P

S1

S2

S3

S4

β4

r4

r1

e4

e](e, e4)

f

r22 = β2

2 + r21 − 2 · β2 · r1 · 〈e, e2〉2

r23 = β2

3 + r21 − 2 · β3 · r1 · 〈e, e3〉2

r24 = β2

4 + r21 − 2 · β4 · r1 · 〈e, e4〉2




Bisher

r2i = β2

i + r21 − 2 · βi · r1 · eT ei fur i = 2, 3, 4.

Hatten schon

δi = ρi − ρ1 = ri − r1 fur i = 2, 3, 4

oder

ri = δi + r1 fur i = 2, 3, 4

oder

r2i = (δi + r1)

2 = δ2i + 2δir1 + r2

1 fur i = 2, 3, 4

Gleichsetzen eleminiert ri und liefert

δ2i + 2δir1 + r2

1 = β2i + r2

1 − 2 · βi · r1 · eT ei fur i = 2, 3, 4



Bisher

δ2i + 2δir1 + r2

1 = β2i + r2

1 − 2 · βi · r1 · eT ei fur i = 2, 3, 4

Auflosen nach r1

δ2i + 2δir1 + r2

1 = β2i + r2

1 − 2 · βi · r1 · eT ei

δ2i + 2δir1 = β2

i − 2 · βi · r1 · eT ei

2δir1 + 2 · βi · r1 · eT ei = β2i − δ2

i

2r1

(δi + βi · eT ei

)= β2

i − δ2i

2r1 =β2

i − δ2i

δi + βi · eT eifur i = 2, 3, 4

Ausschreiben fur i = 2, 3, 4 und gleichsetzten eleminiert r1

β22 − δ2

2

δ2 + β2 · eT e2=

β23 − δ2

3

δ3 + β3 · eT e3=

β24 − δ2

4

δ4 + β4 · eT e4



Gesucht wird e ∈ R3 aus zwei Gleichungen.

β22 − δ2

2

δ2 + β2 · eT e2=

β23 − δ2

3

δ3 + β3 · eT e3

β23 − δ2

3

δ3 + β3 · eT e3=

β24 − δ2

4

δ4 + β4 · eT e4

Reicht das?

Ja, denn bei e handelt es sich um einen Einheitsvektor: ‖e‖2 = 1. Und das ist die dritteGleichung.



Mit ein wenig Rechnerei lasst sich in beiden Gleichungen e ausklammern. Wir spielendas nur fur die erste Gleichung durch

β22 − δ2

2

δ2 + β2 · eT e2=

β23 − δ2

3

δ3 + β3 · eT e3

δ2 + β2 · eT e2

β22 − δ2

2=

δ3 + β3 · eT e3

β23 − δ2

3δ2

β22 − δ2

2+

β2

β22 − δ2

2· eT e2 =

δ3

β23 − δ2

3+

β3

β23 − δ2

3· eT e3

β2

β22 − δ2

2· eT e2 −

β3

β23 − δ2

3· eT e3 =

δ3

β23 − δ2

3− δ2

β22 − δ2

2(β2

β22 − δ2

2· e2 −

β3

β23 − δ2

3· e3

)T

e =δ3

β23 − δ2

3− δ2

β22 − δ2

2

Und analog (β3

β23 − δ2

3· e3 −

β4

β24 − δ2

4· e4

)T

e =δ4

β24 − δ2

4− δ3

β23 − δ2

3



Ergebnis (β2

β22 − δ2

2

· e2 −β3

β23 − δ2

3

· e3

)T

e =δ3

β23 − δ2

3

− δ2

β22 − δ2

2(β3

β23 − δ2

3

· e3 −β4

β24 − δ2

4

· e4

)T

e =δ4

β24 − δ2

4

− δ3

β23 − δ2

3

sieht kompliziert aus.

Aber alles darin, bis auf e, ist bekannt!Vereinfachen durch Umbenennen

f2 =β2

β22 − δ2

2· e2 −

β3

β23 − δ2

3· e3 ∈ R3

f3 =β3

β23 − δ2

3· e3 −

β4

β24 − δ2

4· e4 ∈ R3

und

η2 =δ3

β23 − δ2

3− δ2

β22 − δ2

2∈ R

η3 =δ4

β24 − δ2

4− δ3

β23 − δ2

3∈ R

Dann schon und knapp

〈f2, e〉2 = η2 , 〈f3, e〉2 = η3 , ‖e‖2 = 1

Kleusberg-Algorithmus Vektorprodukt


Vektorprodukt

Betrachten einen algebraischer Weg zur Losung von

〈f2, e〉2 = η2 , 〈f3, e〉2 = η3 , ‖e‖2 = 1

Geht uber ein doppeltes Vektorprodukt

e× (f2 × f3) = 〈e, f3〉2 · f2 − 〈e, f2〉2 · f3 = η3 · f2 − η2 · f3

Nochmal Vereinfachen durch Umbenennen. Mit

g = f2 × f3 , h = η3 · f2 − η2 · f3

gilt

e× g = h.

Beide Seiten von links mit g Vektor-multiplizieren

g × (e× g) = g × h

Wieder doppeltes Vektorprodukt links auswerten

〈g, g〉2 · e− 〈g, e〉2 · g = g × h




Wir wissen

〈g, e〉2 = ‖g‖2 · ‖e‖2 · cos(](g, e)) = ‖g‖2 · cos(](g, e))

und√〈h, h〉2 = ‖h‖2 = ‖e× g‖2 = ‖e‖2 · ‖g‖2 · sin(](g, e)) = ‖g‖2 · sin(](g, e))

Umarrangieren

cos(](g, e)) =〈g, e〉2‖g‖2

, sin(](g, e)) =

√〈h, h〉2‖g‖2

=

√〈h, h〉2√〈g, g〉

Im Kosinus kommt e noch vor. Im Sinus nicht. Erinnern uns an

(cos θ)2 + (sin θ)2 = 1

Damit

cos(](g, e)) = ±√

1− sin(](g, e))2 = ±

√1− 〈h, h〉2

〈g, g〉

Also auch der Kosinus ohne e. Aber zwei Moglichkeiten!



Setzen

〈g, e〉2 = ‖g‖2 · cos(](g, e)) = ±‖g‖2 ·

√1− 〈h, h〉2

〈g, g〉

in

〈g, g〉2 · e− 〈g, e〉2 · g = g × h

ein und stellen nach e um:

e± =1

gT g

(g × h±

√gT g − hTh · g

)Jetzt wissen wir die Richtung von S1 nach P . Fehlt noch der Abstand r1. Dafur eeinsetzen in (beispielsweise)

r1± =1

2

β22 − δ2

2

δ2 + β2 · eT±e2

Insgesamt zwei mogliche Positionen

p± = s1 + r1± · e±

Kleusberg-Algorithmus Kleusberg-Algorithmus



Input: Satellitenpositionen s1, s2, s3, s4Input: Pseudoentfernungen ρ1, ρ2, rho3, ρ41 Berechne Abstande2 Berechne Richtungsvektoren3 Bestimme Ebenenvektoren4 Bilde Vektoren g und h5 Berechne zwei Losungsvektoren und Abstande6 Verifiziere korrekte LosungOutput: Empfangerposition p

Fehler im GPS


Fehler im GPS

Oder warum es doch nicht so einfach ist.

Bisher eine einfache Sicht auf das System. Viele Fehlerquellen spielen mit hinein. Etwa:

• Fehlerhafte Satellitenpositionen

Obwohl immer wieder aktualisiert, sind die Ephemeriden-Daten fehlerhaft (ubergewisse Zeitraume): Fehler ≈ 2 m.

• Fehlerhafte Satellitenzeiten

Auch Atomuhren konnen falsch laufen. Werden aber kontrolliert: Fehler ≈ 1 m

EE

• Ionospharenfehler

Zwischen 50 km und 1000 km oberhalb der Erde ist die Ionosphare. Das GPSSignal wird dort abgebremst, bewegt sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit:Fehler ≈ 4 m.

Die Signalverzogerung ist abhangig von der Frequenz des Signals. Signal wirdauf zwei Frequenzen gesendet (L1, L2), daraus Fehlerkorrektur moglich.

Fehler im GPS


EE

• Tropospharenfehler

Der untere Teil der Atmosphare. Auch hier wird nicht mit Lichgeschwindigkeitgeflogen: Fehler ≈ 1 m.

• Multipath-Fehler

Durch Ablenkung an Gebauden kann eine Signal zweimal im Empfangerlanden und verwirren: Fehler ≈ 2 m.

• Ungunstige Geometrie

Satelliten stehen zu eng beieinander. Dann

s1 ≈ s2 ≈ s3 ≈ s4 ⇒ B = (s1, s2, s3, s3)T fast singular.

Fehler im GPS


• Bewegte Uhren im Gravitationsfeld

Es treten relativistische Effekte auf.

• Gewollte Storungen

Zu Beginn hat das DoD kunstlich das GPS Signal verfalscht (S/A). Wurde im Jahr2000 abgestellt. Aber immer noch moglich.

• . . .


GPS und Relativitatstheorie


GPS und Relativitatstheorie

GPS und spezielle RelativitatGPS und allgemeine Relativitat

Bei GPS bewegen sich Satelliten im Weltraum und Benutzer auf der Erde sehr schnellin einem Gravitationsfeld umeinander. Und beide fuhren Uhren mit sich. Die Relati-vitatstheorie sagt, jeder misst ,seine‘ Zeit:

Bewegte Uhren und Uhren in Gravitationsfeldern laufen scheinbar langsamer.

Die Effekte sind zwar gering, aber genugen, um im GPS-System Korrekturen notwendigzu machen.

Wahlen hier eine einfache Sicht auf das Problem.

GPS und Relativitatstheorie GPS und spezielle Relativitat


GPS und spezielle Relativitat

Erde

N, δt′

S, δtv

Die Uhren der Satelliten S bewegen sich am ,ruhenden‘ GPS-Nutzer Nsehr schnell vorbei. Oder umgekehrt fliegt der Nutzer sehr schnell amruhenden Satelliten vorbei.

Das periodische Ticken der Uhr im Satelliten habe eine Zeitdauer δtoder eine Frequenz f im Ruhesystem des Satelliten.

In dem mit v bewegten System des Nutzers wird die Zeitdauer δt′ oderdie Frequenz f ′ gemessen.

Beide hangen zusammen nach der speziellen Relativitatstheorie uber

δt = δt′ ·√

1−(v

c

)2bzw. f ′ = f ·

√1−

(v

c

)2

Es gilt δt′ > δt bzw. f ′ < f .

Fur den Nutzer tickt die Uhr im Satelliten langsamer als die eigene.Bzw. die Frequenz im Satelliten ist schneller als die eigene.

GPS und Relativitatstheorie GPS und spezielle Relativitat


Wie gross ist der Effekt?

Es gilt

v = 3874 m/s , c = 299792458 m/s

Und daraus folgt

δt

δt′= 0.99999999991650745 = 1− 0.83492546210095497 · 10−10

D.h. die Zeiten im Satelliten werden vom Nutzer um ca. 0.835 · 10−8 % uberschatztund die Frequenzen unterschatzt.

GPS und Relativitatstheorie GPS und allgemeine Relativitat


GPS und allgemeine Relativitat

Erde

N, δt′

S, δt

rS

rN

Auch Gravitationsfelder beeinflussen die Zeiten in Uhren. Denken wiruns die Zeit im Satelliten wieder zu δt. Betrachtet von der Erde istdie Zeit δt′.

Beide sind verknupft nach der allgemeinen Relativitatstheorie uber

δt = δt′ ·(

1 +∆U

c2

)Darin ist ∆U die Potentialdifferenz zwischen Benutzer und Satelliten(vereinfacht):

∆U = G M ·(

1

rN− 1

rS

).

Mit den Grossen

G M = 3.986 · 1014 m3/s2 , rN = 6378 km , rS = 26560 km

ergibt sich



δt

δt′= 1.0000000005283813 = 1 + 5.284 · 10−10

D.h. die Zeiten im Satelliten werden vom Nutzer um ca. 5.284 · 10−8 % unterschatztund Frequenzen uberschatzt.

Der Effekt der allgemeinen Relativitatstheorie ist grosser als der der speziellen.



Insgesamt werden die Zeiten im Satelliten vom Nutzer um ca.

5.28 · 10−8 − 0.835 · 10−8 = 4.449 · 10−8

Prozent unterschatzt und Frequenzen uberschatzt.

Die Uhren im Satelliten ticken normalerweise mit einer Frequenz von 10.23 MHz. Bevorman die Satelliten in den Orbit schickt korrigiert man dies um 4.449 · 10−8 % zu

10.22999999543 MHz

und niemand muss danach mehr etwas von Relativitat wissen.


Ok, das wars.

Und vielen Dank fur Ihr Interesse.

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Die Mathematik des GPS - mevis-research.derichard/mnu05-slides.pdf · MNU Bremerhaven — November...

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