Die Satzgruppe des Pythagoras Pythagoreischer Lehrsatz 1 Höhensatz Pythagoreischer Lehrsatz 2...
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Die Satzgruppe des Pythagoras
Pythagoreischer Lehrsatz 1
Höhensatz
Pythagoreischer Lehrsatz 2
Kathetensatz
Einführung
© D. Ortner 2004
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.
Wenn man in einem Rechteck …
eine Diagonale zieht, …
so erhält man ein rechtwinkeliges Dreieck …
mit den beiden Katheten a und b …
und der Hypotenuse c.
a
b c
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Die alten Ägypter wussten bereits:
Ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges Dreieck.
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
3 4
5
rechter Winkel
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Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben (Pythagoras war Vegetarier).
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
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Der Satz des Pythagoras.
a2
b2
c2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der beiden Kathetenquadrate.
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Pythagoras 1
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c2 = a2 + b2
.
Pythagoras 1
c2
c2 = ?
...
c
c
c
ca
a
b
bb2
a2
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Pythagoras 2
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.
.
.
Pythagoras 2
c2c
c2 = a2 + b2c2 = ?
c
c
ca
aa2
b2
b
b
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Höhensatz
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Höhensatz
p
b
.h
.
ah2
h2 = pq
h2 = ?
h
p
q
pq
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Kathetensatz
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..
a2 = ?a2 = cp
Kathetensatz
p
b
q
a2
p
h
.
a c ahcp
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Kathetensatz
a2 = cp
b2 = cq
Das Quadrat über einer Kathete ist gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
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