Digitale Messdatenverarbeitung mit Mikrorechnern

Digitale System- und Signalanalyse

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GliederungGliederung

• 5.1 Einführung• 5.2 Abtastung• 5.3 Differenzengleichung

• 5.4 Laplacetransformation• 5.5 Z-Transformation

• 5.6 Näherungsweise Z-Transformation• 5.7 Übersicht über die Transformationen

• Beispiel: Tiefpass 1. Ordnung

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5.1 Einführung

Die Fourier-Transformation erfolgt in der Praxis mit Hilfe von digitaler Signalverarbeitung, d.h. das zu analysierende Signal muss zunächst mit Hilfe eines Analog-Digital-Wandlers abgetastet und in der Amplitude quantisiert werden.

kontinuierliches Eingangssignal

zeitdiskretes Signal

Information über den Zeitverlauf gehen verloren

durch Abtastung:

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Digitale Signale und Systeme:

Ein Beispiel aus der Regelungstechnik:Der digitale Regelkreis

A/D Regler D/A H Strecke

w(t) e(t) ê(kT)e(kT) û(kT) u(kT) u(t) y(t)

H: Halteglied

Moderne A/D oder D/A-Wandler sind sehr hochauflösend.

Sie können daher in den weiteren Betrachtungen weg-gelassen werden !

Ihre Quantisierungsfehler sind somit vernachlässigbar.

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5.2 Abtastung und Aliasing-EffektAbtaster:Abtastung zu äquidistanten Zeitpunkten t = T (mit =0,1,...)Vereinfachung: t = Abtastfrequenz: T = 2/T mit T als Abtastzeit

Der Abtastvorgang eines analogen Signals entspricht der Modulation einer Impulsreihe von Dirac-ImpulsenDer Abtastvorgang eines analogen Signals entspricht der Modulation einer Impulsreihe von Dirac-Impulsen

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Die Bandbreite des Eingangssignals muss begrenzt sein, da andernfalls durch die Abtastung die Eindeutigkeit aufgrund von Aliasing-Effekten verloren geht. Nach dem Abtasttheorem von Shannon muss die Abtastfrequenz fA mindestens doppelt so hoch sein, wie die größte auftretende Frequenz des Eingangssignals.

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Wird das Abtasttheorem von Shannon T > 2max eingehalten, so kann kein Aliasing auftreten.

Da wichtige Signale in der Mess- und Regeltechnik nicht band-begrenzt sind (Sprung, Impuls), ist dies jedoch problematisch !

Aliasing-Effekt

Abhilfe: Antialiasing-Filter filtert Frequenzen > T /2 heraus Tiefpass

In der Folge können- versteckte Schwingungen auftreten oder- hochfrequente Störungen durch das Aliasing in einen tieferen Frequenzbereich transformiert werden.

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5.3 Differenzengleichungen

Lineare dynamische Systeme mit dem Eingangssignal u(t) und dem kontinuierlichen Ausgangssignal y(t) können durch DGL´n beschrieben werden:

dny/dtn + ... + a1 dy/dt + a0 y = bm dm u/dtm + ... + b1 du/dt + b0 u

Laplace-transformiert:

Y(s) (sn + ... + a1 s + a0) = U(s) (bm sm + ... + b1 s + b0)

Dann ist G(s) = Y(s) / U(s) die (kontinuierliche) Übertragungsfunktion

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Bei zeitdiskreten Signalen liegen diese n bzw. m Ableitungen nicht vor:Man kann die Ableitungen daher näherungsweise durch die Differenzenquotienten ersetzen:

dy/dt|t= T y(T) / T =y(T) – y(( - 1)T)

T(1. Ableitung)

Höhere Ableitungen werden als Differenzen der Differenzen gebildet:

y(T) – 2y(( - 1)T) + y(( - 2)T)

T2

d2y/dt2|t= T y(T) – y(( - 1)T)

T2

= (2. Ableitung)

( = 0,1,2,...)

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Nach Einsetzen der Differentialquotienten in die DGL entsteht eine Differenzengleichung, die eine Beziehung zwischen n zeitlich zurückliegenden Abtastwerten des Ausgangssignals und n zurückliegenden Werten des Eingangsignals herstellt (Annahme m=n) :

Sind die letzten n Werte des Ausgangs und m Werte des Eingangs als Anfangswerte bekannt so lässt sich die Differenzengleichung rekursiv lösen, indem sie nach y(T) aufgelöst wird (T weggelassen) :

Anfangswerte (nm) :y(i) = y0i i= -n+1, -n+2,...,0u(j) = u0j j= -m+1, -m+2,...,0

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Damit wird deutlich:

1. Ein dynamisches System bildet den Verlauf der Eingangsgröße in den Verlauf der Ausgangsgröße ab.

2. Die Differenzengleichung beschreibt das Systemverhalten „lokal“ in dem Sinne, dass die Werte der Eingangs- und Ausgangsgrößen zu n Abtastzeitpunkten ausreichen, um den nächsten Wert der Ausgangsgröße zu bestimmen.

3. Das zeitdiskrete System ist kausal, denn in die Bestimmung von y() gehen nur Werte von u und y ein, die zum selben Zeitpunkt oder früher aufgetreten sind.

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Analog zum Kontinuierlichen lässt sich beispielsweise für ein System 2.Ordnung folgendes Blockschaltbild (in BNF) zeichnen:

u()

y()

T T

b0b1b2

a1a2

Die Nummerierung der Koeffizienten isthier jedoch entgegengesetzt !

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Beispiel Aufstellen einer Differenzengleichung aus einer DGL

DGL eines PT1 : T1 dy/dt + y = u

Einsetzen des Differenzenoperators liefert:

y(T) – y(( - 1)T)T

T1 + y(T) = u(T)

(T1/T + 1) y(T) – T1/T y(( - 1)T) = u(T)

Aufgelöst nach dem neusten Ausgangselemententsteht eine Differenzengleichung:

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Fouriertransformation DFT

Laplace Transformation Z-Transformation

kontinuierlich diskret

Übersicht Transformationen

FFT

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Von der Fourier- zur LaplacetransformationVon der Fourier- zur Laplacetransformation

Fouriertransformation

Probleme

• technische Signale beginnen zu einem bestimmten Zeitpunkt• viele Signale sind nicht fouriertransformierbar, weil das Integral nicht existiert

Fourierrücktransformation

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Lösung:• Beginn zum Nullzeitpunkt:

rechtsseitige Laplacetransformation f(x)=0, für x < 0

• Konvergenz für viele Funktionen durch „Dämpfung“ erzwingen

Einfügen eines Faktors exp(-t)

mit

Laplace-Integral

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5.4 Definition Laplace - Transformation

Es werden bei der System- und Signalanalyse mit der Laplace-Transformation nur Zeitfunktionen f(t) betrachtet, deren Funktionswerte für t < 0 verschwinden.

Zeitfunktionen mit der Eigenschaft

f t für t( ) 0 0

heißen kausale Zeitfunktionen. Betrachtet man also nur kausale Zeitfunktionen, dann läßt sich folgende Definition der einseitigen Laplace-Transformation geben, bei der die untere Integrationsgrenze über den Zeitbereich bei t = 0 beginnt:

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Unter der Laplace-Transformierten L{f(t)} der Zeitfunktion f(t) versteht man die durch die Funktionaltransformation

L f t F(s f t e dtst( ) ) ( )

0

definierte Funktion F(s). Dabei ist s = + j eine komplexe Variable, durch die Konvergenz für alle praktisch vorkommen-den Zeitfunktionen erreicht werden kann.

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Laplace-Transformation einer Stufenfunktionf

t 1T 2T 3T nT (n+1)T

n

Das Laplace-Integral für die abschnittsweise konstante Funktion ergibt:

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HaltegliedHalteglied

Geht man vom analogen Ursprungssignal y1(t) aus erhält man nach Abtastung, A/D und D/A –Wandlung als Ausgangsignal des Haltegliedes y2(t) :

A/D

D/A H

Das Halteglied GH (s) tritt bei jeder Laplacetransformation einer Stufenfunktion auf

• Es ist das mathematische Modell des A/D-Umsetzers

• Da es immer auftritt, kann es zur Vereinfachung weggelassen werden

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• Durch die Abtastung ist die Laplace- Transformierte periodisch

j

j /2A

jA

• Um zu einer nichtperiodischen Darstellung zu kommen wird die komplexe Variable z eingeführt

Die komplexe s-Ebene

• gesucht ist also eine konforme Abbildung, die die periodischen Wiederholungen der s-Ebene auf sich selbst abbilden:

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5.5 Die z-Transformation

mit

folgt die Definition der z-Transformation

• z-n trennt die Funktionswerte voneinander

• z-n entspricht einer Zeitverzögerung von n mal T von t=0 aus gesehen

Aus der Laplace-Transformierten einer Impulsreihe

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Eigenschaften der Z-Transformation

Die Z-Transformation geht aus der Laplace-Transformation hervor und weist daher auch ähnliche Rechenregeln auf.

Überlagerungssatz: Die Z-Transformation ist eine lineare Transformation d.h., es gilt

Z{a f1() + b f2()} = a Z{ f1()} + b Z{f2()}

Verschiebungssatz: Verschiebung um ganze kT (k 0):

Z{f( - k)} = Z{f()} z –k

z auch als Verschiebeoperator bezeichnet.Da Systeme i.A. verzögernden Charakter haben, wird meist mit negativen Potenzen von z gerechnet.Die Multiplikation von F(z) mit z –1 bedeutet, dass die Folge f(k) um einen Abtastschritt nach rechts verschoben wird.z–1 ist also ein Verzögerungsoperator!

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Eigenschaften der Z-Transformation

Faltungssatz: Für die Faltung zweier Folgen f1(k)f2(k) gilt:

Grenzwertsätze:Satz vom Anfangswert: f(0) kann aus Z{f()} für z bestimmt werden, vorrausgesetzt dieser Grenzwert existiert:

Satz vom Endwert: Falls dieser Grenzwert existiert gilt:

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Summensatz: Es wird die aus der Folge f(k) durch Summenbildung erhaltene Folge betrachtet:

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Übertragungsfunktion

Die bekannte Differenzengleichung

Führt man für die Wertefolgen y() und u() die Z-Transformierten ein, so lässt sich der Verschiebungssatz der Z-Transformation anwenden:

Yz(z)(1 + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + anz -n )

= Uz(z)(b0 + b1 z -1 + b2 z -2 + ... + bnz -n )

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Gz(z) = Yz(z)Uz(z)

=b0 z n + b1 z n-1 + b2 z n-2 + ... + bn z n + a1 z n-1 + a2 z n-2 + ... + an

=b0 + b1 z -1 + b2 z -2 + ... + bnz -n

1 + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + anz -n

Als Quotient der Signale entseht eine Übertragungsfunktion, die Impulsübertragungsfunktion:

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Die komplexe z-Ebene

Re{z}

Im{z}

j

• Die (stabile) linke Halbebene wird auf das Innere des Einheitskreises abgebildet.• Die j-Achse wird auf den Einheitskreises abgebildet.

• s=0 wird auf z=1 abgebildet.

S=0Z=1

S= 0,25 j

S= 0,5 j =- 0,5 j

=j/2

s z

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Rücktransformation

Der Integrationsweg des Ringintegrals ist so zu wählen, dass er alle Singularitäten des Integranden umschließt.

Die Zuordnung einer Z-Transformierten zu einer Folge ist umkehrbar eindeutig.Direkte Rücktransformation

PBZ und KorrrespondenztabelleDie Z-Transformierte wird mit einer Partialbruchzerlegung in Summanden zerlegt und in Tabellen rücktransformiert.

PolynomdivisionDie Z-Transformierte wird mit z -n erweitert und der Zähler abdividiert. Es entsteht eine Potenzreihe in z -k, die direkt der Folge entspricht.

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Zeitdiskret vs. kontinuierlich!Zeitdiskret vs. kontinuierlich!

Eine Impulsübertragungsfunktion ist als Anregung

für kontinuierliche Systeme technisch nicht

realisierbar. In der Praxis werden statt Impulsen,

Stufenfunktionen verwendet, die durch ein

Halteglied modelliert werden können.

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Die Dynamik des Haltegliedes wird im

zeitdiskreten mit dem Term:

z

zGH

1

berücksichtigt.

Um aus einer Impulsübertragungsfunktion die Stufenübertragungsfunktion zu berechnen muss demzufolge die Übertragungsfunktion des Haltegliedes mit der Impulsübertragungsfunktion multipliziert werden.

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5.6 Näherungsweise Z-Transformationexakte Z-Transformation z = eTs

Umkehrfunktion für s = 1/T ln z nicht zu einer gebrochen rationalen Funktion auflösbareinfachere Beziehungen gesucht, die auf gebrochen rationalen Zuordnungen beruhen.

Integration nach der Rechteckregel:Dazu betrachtet man die Sprungantwort eines einzelnen Integrators:

t = Tu

()

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Obersumme : y = y() - y(-1)

In z geschrieben lautet der Zusammenhang:

Mit G(s) = Y(s) / U(s) = 1/s (Integrator !) folgt:

y = u dt dy/dt = u() y = t u()

y() - y(+1) = T u()

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Entsprechend erhält man für die Untersumme, indem man der Fläche y u(-1)T statt u()T zuordnet:y() - y(+1) = T u(-1) und damit schließlich:

Untersumme:

t = T

u()

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TrapezregelHier erhält man:

y() - y(+1) = T (u() + u( - 1)) / 2

Dies ergibt transformiert:

und damit:

Das selbe Ergebnis erhält man, wenn man in s = 1/T ln z (exakte Z-Trafo)den Logarithmus durch eine Reihenentwicklung annähert:

Abbruch nach dem ersten Gliedführt wieder auf die Tustinformel

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Graphische Gegenüberstellung

Die exakte Z – Transformation bildet Geraden parallel zur imaginären Achse auf Kreise um den Ursprung in z ab. Die imaginäre Achse selbst wird auf den Einheitskreis in z abgebildet. Parallelen zur reellen Achse werden auf Geraden durch den Ursprung in z abgebildet.

Exakte Transformation

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Transformation nach der Rechteckregel - Untersumme

Die Abbildung nach der Untersumme liefert optisch die schlechteste Anpassung.

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Die Abbildung nach der Obersumme wirkt optisch etwas besser, weist aber noch erhebliche Verzerrungen auf.

Transformation nach der Rechteckregel - Obersumme

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Transformation nach der Trapezregel

Für kleine Abtastzeiten in Relation zur Lage der Pole liefert die Tustinformel (Trapezregel) relativ gute Abbildungseigenschaften.

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Ist eine bilineare Abbildung. Sie lässt sich immer als näherungsweise Z-Transformation verwenden, weil sich jede lineare DGL n-ter Ordnung in ein System linearer DGL´n erster Ordnung umschreiben lässt.

Wird für z wieder die komplexe Variable s eingeführt, erhält man den Zusammenhang zwischen der Frequenz a des kontinuierlichen analogen Systems und der Frequenz d des durch die bilineare Transformation genähertenzeitdiskreten digitalen Übertragungssystems, wenn man z = eTa s = e jdTa setzt :

s = j a = 2/Ta e jdTa - 1 e jdTa + 1

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a = 2/Ta

(1/2j) (e jdTa /2 - e -jdTa /2 )

(1/2) (e jdTa /2 + e -jdTa /2 )

sin (dTa /2)

cos (dTa /2)

= 2/Ta tan (dTa /2)

Ist das Verhältnis s/ a zu berechnen, entfällt aus Normierungsgründen bei der Tustin-Formel der Faktor 2/Ta.

In diesem Fall ist

umgeformt: fa = 1/Ta tan (fdTa )nach fd aufgelöst: fd = 1/Ta arctan (faTa )

s = j a = 2/Ta e jdTa - 1 e jdTa + 1

* e -jdTa/2

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5.7 Übersicht Transformationen

Abgetastete Impulsantwort Impuls-Übertragungsfunktion

kontinuierlich

diskret

Impulsantwort g(t)

Z

Z -1

Übertragungsfunktion G(s)L

L-1

Rek

onst

rukt

ione

n

Abt

astu

ng

Näherung

exakt (nicht praktikabel !)

G(s) G(z) (exakt) : Die Abhängigkeit von s und z entsteht durch das Abtast-Halteglied

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Beispiel: Tiefpass 1. Ordnung

1. Übertragungsfunktion in s aufstellen

2. Bilineare Transformation nach z

3. Umformen, so dass sich eine Gleichung in z-1 ergibt

4. Nach Y(z) auflösen

5. In den Zeitbereich zurücktransformieren

6. Filterkoeffizienten ermitteln

7. Filter testen