Diploma - theo1.physik.uni-stuttgart.de · Diploma rb eit E ziente Messstrategien zur Rek...
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Diplomarbeit
EÆziente Messstrategien
zur Rekonstruktion,
Charakterisierung und Unterscheidung
von Quantennetzwerk-Zust�anden
vorgelegt von
Friedemann G. Tonner
10. August 2000
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Quantenmultiplexer
Ui; i = 1 : : : n
Hauptberichter : Prof. Dr. G. Mahler
Mitberichter : Prof. Dr. A. Muramatsu
Institut f�ur Theoretische Physik I
Universit�at StuttgartPfa�enwaldring 57, 70550 Stuttgart
Diplomarbeit
EÆziente Messstrategien
zur Rekonstruktion,
Charakterisierung und Unterscheidung
von Quantennetzwerk-Zust�anden
vorgelegt von
Friedemann Gerhard Tonner
10. August 2000
Hauptberichter : Prof. Dr. G. Mahler
Mitberichter : Prof. Dr. A. Muramatsu
Institut f�ur Theoretische Physik I
Universit�at StuttgartPfa�enwaldring 57, 70550 Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 51.1 Physik und Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Experimente und Messstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Struktur von Quanten-Experimenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Spezi�kation der Messstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Grundlagen 132.1 Dichteoperator und Zeitentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Unit�are Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Darstellungen von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Charakterisierung von Operatoren: Eigenwertspektren . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Invarianz der Eigenwerte unter unit�arer Transformation . . . . . . . . 152.4.2 Vollst�andiger Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.3 Trivialer Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.4 Operatoren mit zwei verschiedenen Eigenwerten . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Quantennetzwerke und Quantennetzwerk-Zust�ande . . . . . . . . . . . . . . 172.5.1 Bloch-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.2 Produktzust�ande und verschr�ankte Zust�ande . . . . . . . . . . . . . . 172.5.3 Verschr�ankungsma�e und lokale unit�are Transformationen . . . . . . 18
2.6 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6.1 Verallgemeinerte Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6.2 Quantenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Zustandsrekonstruktion 213.1 Rekonstruierbarkeit und das Pauli-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Das Quorum-Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Quorums f�ur allgemeine Spin-Zust�ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Quantennetzwerke im Quanten-Multiplex-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 [1!1]-Quantenmultiplexer: Austauschbarkeit von Messkan�alen . . . . 253.4.2 [Alles!1]-Quantenmultiplexer: Volle Rekonstruktion durch einen ein-
zigen Messkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.3 [Alles!1]-Quantenmultiplexer: Volle Rekonstruktion durch einen ein-
zigen, nicht vollst�andig bekannten Messkanal . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Angepasste Zustandsrekonstruktion f�ur die NMR . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.1 Rekonstruktion eines 2-Spin-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.2 Exkurs: Erzeugung pseudo-reiner Zust�ande in der NMR . . . . . . . . 42
3.6 Zustandssch�atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
3.6.1 Sch�atzung von Spinzust�anden (s=1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Zustandscharakterisierung 554.1 [Nicht-lokal! lokal]-Quantenmultiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Charakterisierung von Zustandsunterr�aumen . . . . . . . . . . . . . . 564.1.2 AV-Unterr�aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Direkte Messung von Ma�en im Quanten-Multiplex-Bild . . . . . . . . . . . 694.2.1 E�ektive Addition von Erwartungswerten hermitescher Operatoren . 704.2.2 E�ektive Multiplikation von Erwartungswerten hermitescher Opera-
toren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.3 Direkte Messung des Verschr�ankungsma�es � . . . . . . . . . . . . . 734.2.4 Direkte Messung des Verschr�ankungsma�es Tr f�2g . . . . . . . . . . 764.2.5 Vergleich mit verallgemeinerten Messungen und Quantenoperationen 77
5 Zustandsunterscheidung 795.1 Orthogonale Zust�ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Linear unabh�angige Zust�ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.1 IDP-Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Beschr�ankte Kenntnis der Zust�ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.1 Quanten-Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3.2 Quanten-Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3.3 Probabilistische inverse unit�are Transformationen . . . . . . . . . . . 845.3.4 Kolineare und orthogonale Zust�ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.5 Linear unabh�angige Zust�ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Zusammenfassung 89
Literaturverzeichnis 91
Abbildungsverzeichnis 94
Tabellenverzeichnis 95
Abk�urzungsverzeichnis 97
Danksagung 99
4
1 Einleitung
\The best way to predict the future is to invent it."Alan C. Kay, Xerox Palo Alto Research Center
(Miter�nder des ersten Personalcomputers)
Stehen Messungen in Einf�uhrungsvorlesungen �uber Quantenmechanik zur Debatte, someist im Zusammenhang mit Observablen wie Ort oder Magnetisierung und den damitverbundenen Erwartungswerten von hermiteschen Operatoren, die auf quantenmechanischeWellenfunktionen wirken. Dabei kann man den Eindruck gewinnen, nur den physikalisch di-rekt messbaren Observablen stehe eine realistische Bedeutung zu, w�ahrend die Wellenfunkti-on { die volle Beschreibung eines quantenmechanischen Zustands { abstrakt im Hintergrundverbleibt. Hinzu kommt, dass aus einer einzelnen standardm�a�igen Projektions-Messung aneinem Ensemble von Quantensystemen nicht auf die volle Wellenfunktion geschlossen wer-den kann. Das Konzept der Wellenfunktion ist in diesem Sinne nicht direkt der Messungzug�anglich.
Da allerdings zur Vorhersage beliebiger Messwerte die Wellenfunktion notwendig ist,stellt sich die Frage nach der prinzipiellen Bestimmung der Wellenfunktion, bzw. des allge-meineren Dichteoperators, die bzw. der den quantenmechanischen Zustand beschreibt, ausexperimentell zug�anglichen Messwerten. Je nach Messstrategie, die sich nach den vorhande-nen experimentellen Einschr�ankungen, dem Vor-Wissen �uber den Quantenzustand und derinteressierenden Zustandsgr�o�e (z. B. Dichteoperator oder charakteristisches Ma�) richtet,gibt es die unterschiedlichsten M�oglichkeiten f�ur die Wahl der notwendigen Messoperato-ren. Einschr�ankungen experimenteller Art ergeben aus der vorgegebenen M�oglichkeit vonentweder Einzelmessungen, oder auch der alleinigen M�oglichkeit von Ensemblemessungen,oder gar aus fest vorgegebenen Messoperatoren.
An die Frage nach der prinzipiellen Rekonstruierbarkeit schlie�t sich die f�ur die experi-mentelle Praxis wichtige Frage der m�oglichst eÆzienten Messung, das hei�t in einem gewissenSinn m�oglichst resourcenschonende Messung des Quantenzustands, an. So ist zur Unterschei-dung von Zust�anden keine vollst�andige Zustandsrekonstruktion notwendig, was sich in derAnzahl notwendiger Messungen niederschl�agt. Diese Arbeit widmet sich daher speziell derEntwicklung von Strategien zur eÆzienten Messung von Zust�anden von Quantennetzwerken.Quantennetzwerke setzen sich aus (miteinander koppelnden) diskreten Systemen zusammen.Ein Beispiel daf�ur sind die Kernspins von Atomen, die ein Molek�ul bilden; aber auch jedesbeliebige N -Niveau-System (System mit endlich vielen Energieeigenwerten) und Netzwerkedaraus kann als Quantennetzwerk beschrieben werden. Im Einzelnen werden Strategien zurvollen Rekonstruktion des Zustands als auch zur Charakterisierung und Unterscheidung vonZust�anden behandelt.
Insbesondere wird dabei auf Strategien eingegangen werden, die entsprechend dem Quan-tencomputing Berechnungen auf quantenmechanischer Ebene als wesentliches Element nut-zen. Zun�achst sollen daher die Physik der quantenmechanischen Messung und die Berech-nung auf einem Computer einander gegen�uber gestellt werden. Danach werden alle in dieser
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Arbeit vorkommenden Messstrategien kurz vorgestellt. Eine �Ubersicht �uber die verwendetengrundlegenden Konzepte wird in Kapitel 2 gegeben.
1.1 Physik und Berechnung
Jeder, der eine Berechnung explizit durchf�uhren will, muss diese Berechnung in Form einesphysikalischen Vorgangs implementieren. Umgekehrt kann aber jeder physikalische Vorgang,beispielsweise ein physikalisches Experiment, auch als Berechnung interpretiert werden. Eineobjektive Unterscheidung zwischen Berechnung und physikalischem Experiment ist dahernicht m�oglich. Allein unsere Absichten, unser Wissen und unsere Erwartungen lassen eineUnterscheidung zu [56].
Eine Berechnung kann in ein Schema wie in Abbildung 1.1 gefasst werden. Hierbei istdie Funktion f vollst�andig bekannt, sie stellt ein Programm dar, das auf die ebenfalls be-kannten Daten x wirkt. Die Ausgabe y ist das interessierende Ergebnis einer Berechnung.Obwohl die Struktur eines physikalischen Experiments (Abbildung 1.2) prinzipiell der einerBerechnung gleicht, ist in diesem Fall die Funktion f eine Eigenschaft der physikalischenWelt, die nicht bekannt ist. Durch versuchsweises Anbieten von bekannten Eingabedatenx und Beobachtung bzw. Messung der Ausgabe y soll auf die Funktion f teilweise odervollst�andig r�uckgeschlossen werden. Ist die Funktion f dann hinreichend bekannt, kann sieals Ausf�uhrung eines speziellen Programms angesehen werden.
yx f
Abbildung 1.1: Struktur einer Berechnung. f stellt einen Teil der physikalischen Welt dar.x ist der Anfangszustand, y ist der Endzustand [56].
yx f
Abbildung 1.2: Struktur eines physikalischen Experiments. f stellt einen Teil der physikali-schen Welt dar. x ist der Anfangszustand, y ist der Endzustand [56].
1.2 Experimente und Messstrategien
Komplette physikalische Experimente (incl. Auswertung) k�onnen operationell in mehrereSchritte untergliedert werden, die sich im Sinne des zuvor gesagten nur von der Interpretationher unterscheiden. Im Rahmen dieser Arbeit, in der die Messung von Quantenzust�andenbehandelt werden soll, bietet sich eine passende Unterteilung wie in Abbildung 1.3 an.
1.2.1 Struktur von Quanten-Experimenten
Ziel des Experiments ist die Extraktion von interessierenden Daten eines physikalischenSystems (in Abbildung 1.3 x5 genannt), so dass sich im Allgemeinen eine Berechnung miteinem klassisch zu behandelnden Computer, der durch die Funktion f45 versinnbildlicht wird,
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f23x1 x2f12
Klassische Behandlung
Berechnung
bekannt
x3 x4f34 x5f45
Berechnung
bekannt
Pr�aparation
unbekannt
/a priori -Wissen
Quantenmechanische Behandlung
Messung
bekannt
Abbildung 1.3: Struktur eines quantenphysikalischen Experiments: Gliederung inPr�aparations- und Berechnungsphasen.
an das Experiment im engeren Sinne anschlie�t. Die Schnittstelle zwischen diesem letztenSchritt und den vorherigen Schritten bezeichnet auch den �Ubergang von der quantenmecha-nischen Beschreibungsebene zur klassischen Ebene. Die Daten x4 stellen daher klassischeInformation dar, die durch eine Messung (Funktion f34) gewonnen wurde, im Gegensatz zux1, x2 und x3, die quantenmechanische Zust�ande darstellen sollen.
Des Weiteren ist es, falls entsprechende Kontrollm�oglichkeiten �uber die Funktion f23bereit stehen, m�oglich, Berechnungen direkt auf quantenmechanischer Ebene durchzuf�uhren.Diese transformieren das interessierende System, dessen Zustand durch x2 bezeichnet wird,noch vor einer Messung in bekannter Weise. Obwohl der quantenmechanische Zustand einesSystems unabh�angig von der Art und Weise der Pr�aparation dieses Zustands ist, kann apriori -Wissen bei der Wahl einer geeigneten Messstrategie hilfreich sein. Der Zustandsraumdes interessierenden Systems kann in diesem Fall eingegrenzt werden.
Ein Experiment zerf�allt also in eine quantenmechanische Pr�aparationsstufe, eine Berech-nung auf quantenmechanischer Ebene (Quantensystem als Quantencomputer) mit anschlie-�ender Messung und Weiterverarbeitung mit Hilfe eines externen klassischen Computers.Falls statistische Eigenschaften des Systems interessieren, ist dieser ganze Vorgang mehrereMale zu wiederholen, bevor das Endergebnis durch einen klassischen Computer berechnetwerden kann.
1.2.2 Spezi�kation der Messstrategie
Das volle Spektrum der m�oglichen Messstrategien ergibt sich folglich aus der genaueren Spe-zi�kation dieser einzelnen Teilschritte. Unter dem Gesichtspunkt der EÆzienz einer Mess-strategie kann jeder einzelne Spezi�kationspunkt mit einem Gewicht in Form eines verallge-meinerten Kostenfaktors versehen werden. Die eÆzienteste Strategie ist dann diejenige, diedie niedrigsten verallgemeinerten Kosten verursacht. Als optimale Messung wird hingegendiejenige Messung bezeichnet, die aus dem interessierenden System am meisten relevanteInformation extrahiert. In dieser Arbeit soll es weniger um diese optimalen Messungen ge-hen, sondern um das Ausloten der M�oglichkeiten, Messungen durchzuf�uhren, bei Vorgabeder verallgemeinerten Kosten.
In vielen F�allen lassen sich die verallgemeinerten Kosten zu null oder unendlich angeben,was sich im Vorliegen bzw. Nicht-Vorliegen bestimmter Eigenschaften der Messstrategiewiderspiegelt und sich damit im Fragen-Charakter der nachfolgenden Aufz�ahlung ausdr�uckt.
Im Einzelnen lassen sich Messstrategien durch die Beantwortung folgender Fragen n�aherspezi�zieren:
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� Systemde�nition:
Bezieht sich die Messstrategie auf Einzelsysteme, auf mehrere Systeme fester oder va-riabler Anzahl oder auf ein Ensemble von Einzelsystemen, das zumindest theoretischunendlich gro� sein darf? Welche Beschreibungsebene wird eingesetzt, z. B. reduzierteBeschreibung eines Ensembles unterschiedlich pr�aparierter Systeme durch eine e�ek-tive Dichtematrix (Coarse-graining), oder reine Zust�ande?
� Pr�aparation:
Welche Kenntnis besteht bez�uglich der Pr�aparation? Ist a priori -Wissen vorhandenoder nicht? Dies kann sich in einer Kenntnis des erlaubten Zustandsraums des Systemsausdr�ucken. (Beispiel: Es liegen reine bzw. gemischte Zust�ande vor.) Es bestimmt auchimplizit die Art der Zustandsmessung (siehe interessierende Systemparameter).
� Interessierende Systemparameter:
Diese bestimmen die Art der Messung und lassen sich grob in folgende drei Klassenunterteilen:
{ Zustandsrekonstruktion:
Der volle quantenmechanische Zustand soll rekonstruiert werden. Es ist keina priori -Wissen �uber das System (au�er der Systemde�nition) bekannt.
{ Zustandscharakterisierung:
Hier interessiert ein vorgegebenes Ma� (z. B. ein Verschr�ankungsma�). Diesessoll eÆzient bestimmt werden. Hierunter fallen auch Unterscheidungen zwischenKlassen von Zust�anden (z. B. separabel oder verschr�ankt; Erwartungswert einesOperators gr�o�er oder kleiner als ein bestimmter Wert), die sich auf ein bin�aresMa� zur�uckf�uhren lassen.
{ Zustandsunterscheidung:
Als a priori -Wissen ist hier eventuell die Einschr�ankung auf eine diskrete oderkontinuierliche Menge von Zust�anden gegeben. Gesucht sind Messungen, die in-nerhalb dieser Menge Zustandsunterscheidungen vornehmen.
� Quantenoperationen:
Sind Kontrollm�oglichkeiten �uber das Quantensystem vorhanden, z. B. die F�ahigkeitbeliebige unit�are Transformationen auf das System anzuwenden, die so etwas wieQuantencomputing erm�oglichen? K�onnen Hilfssysteme verwendet werden, um verall-gemeinerte Messungen (POVM1) zu implementieren?
� Messungen:
Gibt es die Einschr�ankung auf von-Neumannsche Projektionsmessungen oder sindverallgemeinerte Messungen (POVM) m�oglich? Ist die Messung an Einzelsystemenm�oglich oder sind nur Ensemble-Aspekte der Messung zug�anglich? Einschr�ankung derMessoperatoren: Lokale- oder nicht-lokale Messoperatoren. Liegen die Messungen zueinem festem Zeitpunkt vor oder wird das System kontinuierlich in der Zeit verfolgt?
1siehe Verzeichnis der Abk�urzungen auf Seite 97
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Rekonstruktion
Messung einesvollst�andigenQuorums
Sch�atzung vonEinzelspin-Zust�anden
NMR-Messungen
Systemde�nition"unendliches\ En-semble
endliches Ensembleidentischer Spins,reine Zust�ande
"unendliches\ En-semble: Beipiel:2-Spin-System, ge-mischte Zust�ande(evtl. pseudorein)
Pr�aparation - reine Zust�ande gemischte Zust�andeQuantenoperationen notwendig, falls
Beschr�ankungder Messopera-toren; unit�areTransformatio-nen: [Alles ! 1]-Quantenmultiplexer
nein lokale unit�areTransformationen,bilokale Kopplung
Messungen Projektionsmes-sungen am Ensem-ble
Projektionsmes-sungen am Subsys-tem
Projektionsmes-sung am Ensemble,Messdatenaufnah-me im Zeitbereich(FID2)
Messergebnisberech-nung
Nein / Ja, fallsandere Darstellunggesucht (z. B. Dich-tematrix)
Ja Nein / Ja, fallsandere Darstellunggesucht (z. B. Dich-tematrix)
G�ute der Messung exakt mittlerer Fehlervorher bekannt
exakt
Tabelle 1.1: Spezi�kation der behandelten Messstrategien, Rekonstruktion
� Messergebnisberechnung:
Beispiele sind die Berechnung der Dichtematrixelemente aus einem Quorum von Mess-werten (Rohdaten) oder die Berechnung eines interessierenden Ma�es. Die abschlie-�ende Berechnung muss aber nicht immer vorhanden sein. Eventuell kann der Rechen-aufwand auf die quantenmechanische Ebene verlagert werden (siehe Quantenoperatio-nen).
� G�ute der Messung:
Fehlerbehaftete Messungen: Ist die Messung im Sinne eines statistischen Grenz�uber-ganges exakt? Wo liegen die Fehlergrenzen von Strategien, die endlich viele Systemezur Messung nutzen?
Fehlerfreie Messungen: Immer erfolgreiche oder nur probabilistisch erfolgreiche Mes-sungen?
F�ur die in dieser Arbeit behandelten Messstrategien ergibt sich eine tabellarische Aus-wertung aller Kriterien in Tabelle 1.1, Tabelle 1.2 und Tabelle 1.3.
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Charakterisierung
Messung von Verschr�ankungs-aspekten �uber antipodisch ver-schr�ankte Zust�ande
Direkte Messung von Ma�-Funktionen
Systemde�nition Einzelsysteme oder Ensemble Ensemble, mit Kontrolle �ubereinzelne Subsysteme
Pr�aparation Maximal verschr�ankteZust�ande
-
Quantenoperationen Unit�are Transformatio-nen: [Nicht-lokal!lokal]-Quantenmultiplexer
Unit�are Transformationenmit Hilfssystem: Ma�-Quantenmultiplexer
Messungen lokale Messkan�ale, Projekti-onsmessung
ein fester Messkanal, Projek-tionsmessung an einer Gruppevon Subsystemen
Messergebnisberech-nung
Nicht notwendig Auf quantenmechanischerEbene: Ja; klassisch: Nein
G�ute der Messung exakt exakt
Tabelle 1.2: Spezi�kation der behandelten Messstrategien, Charakterisierung
Unterscheidung
Standard-Messungen IDP-Messungen2 Messung bei be-schr�ankter Zustands-kenntnis mithilfeeines Quantenpro-gramms
Systemde�nition Einzelne Quanten-systeme
Einzelne Quanten-systeme
Einzelne Qubits,zwei identischeKopien
Pr�aparation Bekannte orthogo-nale / linear un-abh�angige Zust�ande
Bekannte linear un-abh�angige Zust�ande
Nicht vollst�andig be-kannte orthogonale /linear unabh�angigeZust�ande
Quantenoperatio-nen
Nein Unit�are Transforma-tion mit Hilfssystem
Unit�are Transforma-tion mit Hilfssysteman beiden Kopien
Messungen Projektionsmessungenam Einzelsystem
Projektionsmessungam Hilfssystem undSystem
Projektionsmessungenan beiden Kopienund Hilfssystem
Messergebnisbe-rechnung
Nein Nein Ja, in gewissem Sinnkann die Kopie desSystems als Quan-tenprogramm aufge-fa�t werden
G�ute der Messung immer erfolgreich/ probabilistischerfolgreich
Probabilistischerfolgreich
Probabilistischerfolgreich
Tabelle 1.3: Spezi�kation der behandelten Messstrategien, Unterscheidung
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1.3 Zielsetzung
Insbesondere sollen in dieser Arbeit die Transformationsm�oglichkeiten eines Quantensys-tems genutzt werden, um Schritte einer Messung, die sonst klassisch beschrieben werdenm�ussen, auf die Quantenebene zu verlagern. Es werden Gatterelemente vorgestellt, die es�ahnlich dem schon etablierten Quantencomputing auf digitaler Ebene (Einschr�ankung aufendlich viele Zust�ande) nun auch auf analoger Ebene erm�oglichen, gezielt Messoperato-ren zu synthetisieren. In diesem Zusammenhang wird das sogenannte Multiplex-Bild derQuantenmessung eingef�uhrt. Es werden ausf�uhrlich prinzipielle Grenzen und M�oglichkei-ten ausgelotet. Des Weiteren sollen am Beispiel der magnetischen Kernresonanz (NMR) diedirekten Anwendungsm�oglichkeiten der theoretischen Konzepte demonstriert werden.
1.4 Aufbau der Arbeit
Entsprechend dem Titel dieser Arbeit werden, ausgehend von prinzipiellen �Uberlegungen zurZustandsrekonstruktion eines Quantennetzwerks, unterschiedliche Realisierungsm�oglichkei-ten hierf�ur vorgestellt. Anschlie�end werden Charakterisierungsmethoden besprochen, bevordie am meisten spezialisierten Messungen { Zustandsunterscheidungen { er�ortert werden.
Die Kapitel sind im Einzelnen wie folgt gegliedert:Nach dem Streifen der Grundlagen der Quantenmechanik in und der verwendeten No-
menklatur Kapitel 2 wird in Kapitel 3 zun�achst die Rekonstruierbarkeit von allgemeinenQuantensystemen er�ortert. F�ur Quantensysteme in endlichen Hilbertr�aumen wird daraufhindas bekannte Konzept des Quorums dargestellt, mit dem in der Literatur die volle Rekon-struktion von Spin-Zust�anden diskutiert wurde. In Kapitel 3.4 wird erstmals das Konzept desQuantenmultiplexers vorgestellt, der die volle Zustandsrekonstruktion �uber einen einzigenMesskanal erm�oglicht. In diesem Licht wird ein etabliertes Zustandsrekonstruktionsverfah-ren in der NMR untersucht (Kapitel 3.5). Abgeschlossen werden die Zustandsrekonstruk-tionsverfahren durch die Reproduktion und Erweiterung einer bekannten Sch�atzstrategie(Kapitel 3.6).
Als Charakterisierungsm�oglichkeiten von Quantenzust�anden (Kapitel 4) werden die Ei-genschaften von maximal verschr�ankten Zust�anden betrachtet, die durch den vorgestellten[Nicht-lokal!lokal]-Quantenmultiplexer auf lokalen Messkan�alen sichtbar wird. Au�erdemwird die direkte Messung von interessierenden Ma�en im Quanten-Multiplex-Bild diskutiert(Kapitel 4.2). Als Beispiel wird die direkte Messung zweier Verschr�ankungsma�e angegeben.
Schlie�lich werden in Kapitel 5 bekannte Verfahren zur Zustandsunterscheidung vorge-stellt und in Kapitel 5.3 um Strategien erweitert, die als a priori -Information nur beschr�ank-te Kenntnis �uber die zu unterscheidenden Zust�ande ben�otigen.
2siehe Verzeichnis der Abk�urzungen auf Seite 97
11
12
2 Grundlagen
Ohne Vollst�andigkeit zu behaupten, sollen hier die wichtigsten Konzepte der Quantenme-chanik, die in dieser Arbeit intensiv verwendet werden, als auch die verwendete Nomenklaturangesprochen werden. Ersch�opfende Darstellungen �nden sich in [43], [10] und [33].
2.1 Dichteoperator und Zeitentwicklung
Der allgemeinste Zustand in der Quantenmechanik wird durch den Dichteoperator � be-schrieben. F�ur einen reinen Zustand, der durch den normierten Zustandsvektor j i in einemHilbertraum H beschrieben werden kann, reduziert sich der Dichteoperator auf
� = j i h j : (2.1)
Der Dichteoperator ist nach der De�nition von Neumanns ein positiver, hermitescher Ope-rator mit Spur 1.
Die Dynamik des Dichteoperators ist durch die Liouville-Gleichung
{~@
@t� =
hH; �
i(2.2)
gegeben, wobei der hermitesche Hamiltonoperator H die Beschreibung des Quantensystemsenth�alt.
2.2 Unit�are Transformationen
Ist der Hamiltonoperator H zeitunabh�angig, so kann der Zeitentwicklungsoperator, durchden unit�aren Operator (U(t)�1 = U(t)y)
U(t) = e�{Ht=~ (2.3)
angegeben werden. Die L�osung der Liouville-Gleichung kann dann als
�(t) = U(t)�0U(t)y (2.4)
mit dem Anfangszustand �0 geschrieben werden. Im Rahmen von Quantencomputing werdenoft durch st�uckweise zeitunabh�angige Hamiltonoperatoren e�ektiv zeitabh�angige Hamilton-operatoren simuliert. Die gesamte Zeitentwicklung ergibt sich dann aus der schrittweisenAnwendung der entsprechenden unit�aren Transformationen U auf den Anfangszustand �0.In diesem Zusammenhang wird auch vom sogenannten Design-Hamiltonian gesprochen [47].
13
2.3 Darstellungen von Operatoren
Neben der Darstellung von Operatoren durch die Matrixelemente einer vollst�andigen Ba-sis im Hilbertraum, bieten sich eine speziellere Darstellung an: F�ur die Diskussion vonMessungen ist die Darstellung durch Erwartungswerte von hermiteschen Operatoren am ge-eignetsten. Die Generatoren der SU(n)-Gruppe bilden solch eine hermitesche orthogonaleOperatorbasis [43]. So l�asst sich mit den s = n2 � 1 SU(n)-Operatoren
~� = fu12; u13; u23; : : : ; v12; v13; v23; : : : ; !1; !2; : : : ; !n�1g (2.5)
mit
ujk = Pjk + Pkj (2.6)
vjk = {�Pjk � Pkj
�(2.7)
!l = �s
2
l(l + 1)
�P11 + : : : Pll � lPl+1;l+1
�(2.8)
1 � j < k � n; 1 � l � n� 1 (2.9)
und den Projektionsoperatoren Pjk = jki hlj jeder Operator A als
A =1
nA01 +
1
2
sXj=1
Aj�j (2.10)
mitA0 = Tr
nAo; Aj = Tr
nA�j
o(2.11)
darstellen [43]. Dabei gilt die Orthogonalit�at aller Elemente des Vektors~�:
Trn�j�k
o= 2Æjk: (2.12)
F�ur n = 2 sind die Operatoren �j zus�atzlich noch unit�ar. Die Generatoren der Gruppe SU(2)k�onnen bis auf Vorzeichen mit den Pauli-Operatoren �j (in der Drehimpulskonvention)identi�ziert werden:
�1 = u12 = P12 + P21 =
�0 +1+1 0
�= �x (2.13)
�2 = v12 = {�P12 � P21
�=
�0 {�{ 0
�= ��y (2.14)
�3 = w1 = �P11 + P22 =
��1 00 +1
�= ��z (2.15)
(2.16)
Daneben ist in der NMR die Verwendung der Bezeichnungen
Ix =1
2�x; Iy =
1
2�y; Iz =
1
2�z (2.17)
gebr�auchlich.
14
Als Zustandsbezeichnung wird im Quantencomputing f�ur die Eigenzust�ande des �3-Operators zu den Eigenwerten (�1; 1) die Bezeichnung (j0i ; j1i) gew�ahlt, bez�uglich des�z-Operators gilt diese Bezeichnung f�ur die Eigenzust�ande zu den Eigenwerten (1;�1).
Zusammengesetzte Systeme k�onnen durch Bildung aller Produktoperatoren (Clusterope-ratoren (m=1 und m=2-Cluster f�ur zweiteilige Systeme)) der Operatoren der Einzelsystemebeschrieben werden: F�ur ein zweiteiliges System ergibt sich die vollst�andige Operatorbasis
Q00 =1pn1n2
1 (2.18)
Qj0 =1p2�j(1) 1p
n21(2) (2.19)
Q0j =1pn11(1) 1p
2�k(2) (2.20)
Qjk =1
2�j(1) �k(2) (2.21)
mit der jeder Operator im Gesamtsystem durch
A =1+s1+s2+s1s2X
j;k=0
TrnAQjk
oQjk (2.22)
ausgedr�uckt werden kann [43]. Die Operatoren dieser Basis sind ebenfalls orthogonal:
TrnQjkQj0k0
o= Æjj0Ækk0: (2.23)
In dieser Arbeit werden die unnormierten Operatoren Kij, die sich nach dem gleichenSchema bilden, dem direkten Produkt aller Einzeloperatoren, benutzt. Entsprechende Ver-allgemeinerungen gibt es auch f�ur mehr als zwei Systeme [43].
2.4 Charakterisierung von Operatoren: Eigenwertspektren
F�ur die Diskussion von Messstrategien auf Erwartungswertebene ist die Eigenwertstrukturder Messoperatoren von entscheidender Bedeutung. Nachdem im Folgenden gezeigt wurde,da� die Eigenwerte eines Operators unter unit�arer Transformation invariant bleiben, werdentypische Eigenwertstrukturen vorgestellt.
2.4.1 Invarianz der Eigenwerte unter unit�arer Transformation
Eine unit�are Transformation U ; U y = U�1 erh�alt das Eigenwertspektrum eines jedenhermiteschen Operators M = M y: Die Eigenwertgleichung vor der Transformation lautetmit den Eigenwerten mi und den Eigenvektoren jmii
M jmii = mi jmii (2.24)
und danach:M 0 jm0
ii = m0i jm0
ii (2.25)
Da M 0 durch M 0 = UMU y aus M hervorgeht erh�alt man f�ur Gleichung 2.25
UM U y jm0ii = m0
i jm0ii (2.26)
MU y jm0ii = m0
iUy jm0
ii : (2.27)
15
Auf der linken und rechten Seite von Gleichung 2.27 stehen die gleichen Vektoren U y jm0ii,
mit jmii = U y jm0ii kann diese Eigenwertgleichung auf die Form von Gleichung 2.24 gebracht
werden. Au�erdem l�a�t sich dann mi mit m0i identi�zieren. Damit ist auch die Erhaltung
aller Eigenwerte unter unit�arer Transformation gezeigt. Lediglich die Eigenvektoren �andernsich.
2.4.2 Vollst�andiger Operator
Unter einem vollst�andigen Operator A soll ein Operator mit nicht-entarteten Eigenwertenverstanden werden:
EW (A) = fu1; u2; u3; : : : ; ung; ui 6= uj 8 i; j 2 f1; : : : ; ng; i 6= j (2.28)
Ein vollst�andiger Messoperator erzeugt bei einer Messung eines einzelnen Quantensystemsdie maximale Anzahl n von Messergebnissen, wobei n die Dimension des Hilbertraums Hn
darstellt, in dem Messoperator und Dichteoperator des Quantensystems de�niert sind. Trotzseiner Vollst�andigkeit wird der vollst�andige Operator in der weiteren Arbeit keine besondereRolle spielen.
2.4.3 Trivialer Operator
Ein Operator A wird trivial genannt, wenn gilt
A = u1; u 2 R: (2.29)
Der triviale Messoperator A besitzt vollst�andig entartete Eigenwerte
EW (A) = fu; u; : : : ; ug: (2.30)
Ein trivialer Messoperator ergibt immer das gleiche Messergebnis. Da f�ur die Spur des
Dichteoperators Tr f�g = 1 gilt, ist der Erwartungswert TrnA�o
= u unabh�angig vom
gemessenen Quantensystem im Zustand �.
2.4.4 Operatoren mit zwei verschiedenen Eigenwerten
Ein Operator A mit zwei verschiedenen Eigenwerten ist der einfachste nicht triviale Opera-tor. In dieser Arbeit werden Operatoren zweier Formen dieses Typs verwendet:
Operatoren mit einem einzigen nicht entarteten Eigenwert
Der erste Operatortyp besitzt einen einzigen nicht entarteten Eigenwert, w�ahrend alle an-deren Eigenwerte identisch sind:
EW (A) = fu; v; v; : : : ; vg; u 6= v: (2.31)
Die Dichteoperatoren � der reinen Zust�ande j i mit � = j i h j geh�oren zu dieser Klasse,sie besitzen die zwei verschiedenen Eigenwerte u = 1 und v = 0. F�ur allgemeine (insgesamtnormierte) u; v ergeben sich die Dichteoperatoren der sogenannten pseudo-reinen Zust�ande[20], die man sich aus der Beimischung der Identit�at 1 zu den reinen Zust�anden entstan-den vorstellen kann. Pseudo-rein hei�en diese Zust�ande aufgrund der Tatsache, dass mittelsErwartungswerten spurloser Messoperatoren nicht zwischen pseudo-reinen Zust�anden undkorrespondierenden reinen Zust�anden unterschieden werden kann. Messoperatoren von be-schriebener Art werden Kapitel 3.4.1 und 3.4.2 verwendet.
16
Operatoren mit den Eigenwerten f-1, 1gF�ur den zweiten Operatortyp ist
EW (A) = [juj; uj = �1;Xj
uj = 0 (2.32)
Beispiel hierf�ur sind die SU(2)-Operatoren und deren Tensorprodukte untereinander alsauch mit dem 1-Operator gemischt (siehe Kapitel 3.4.1 f�ur eine ausf�uhrliche Diskussion).
2.5 Quantennetzwerke und Quantennetzwerk-Zust�ande
Bei einem Quantennetzwerk handelt es sich um eine Menge von Quantensubsystemen fH(1),H(2), : : :, H(N)g mit endlichen Hilbertr�aumen, die { weil beispielsweise eine Kopplungder Subsysteme auftritt { sinnvollerweise durch einen gemeinsamen Produkt-HilbertraumH = H(1)H(2) : : :H(N) beschrieben werden soll.
Der Hamilton-Operator H des Quantennetzwerks ist im Fall der Kopplung aller Sub-systeme nur noch im Produkt-Hilbertraum H schreibbar und dort beispielsweise wie inKapitel 2.3 in der SU(n)-Clusteroperatorbasis darstellbar.
2.5.1 Bloch-Bild
Entsprechend Kapitel 2.3 kann jeder Zustand � eines Spin-1=2-Systems in der SU(2)-Basisdurch
� =1
2
�1 + P1�1 + P2�2 + P3�3
�(2.33)
mit den Polarisationen
Pi = Trn�i�o; i = 1; 2; 3 (2.34)
dargestellt werden. Da f�ur reine Zust�ande
Tr��2=
1
2
�1 + P 2
1 + P 22 + P 2
3
�= 1 (2.35)
gilt, und damit auch
P 21 + P 2
2 + P 23 = 1 (2.36)
gilt, lassen sie sich als die Ober �ache einer Kugel in drei Dimensionen interpretieren. Dersogenannte Blochvektor besitzt als Elemente die Polarisationen Pi. F�ur reine Zust�ande istdamit die L�ange des Blochvektors gleich 1, f�ur gemischte Zust�ande ist die L�ange immerkleiner 1. Da unit�are Transformationen die L�ange des Blochvektors invariant lassen, k�onnensie als Rotationen des Blochvektors visualisiert werden (siehe Kapitel 3.6.1 und 5.3.3).
2.5.2 Produktzust�ande und verschr�ankte Zust�ande
Produktzust�ande liegen in Quantennetzwerken vor, wenn jedes Subsystem sich in einem rei-nen Zustand be�ndet. Der Gesamtzustand � ist dann als direktes Produkt (Tensorprodukt)der lokalen Dichteoperatoren �1; : : : ; �N schreibbar:
� = �1 �2 � � � �N ; (2.37)
17
man sagt auch, der Gesamtzustand ist separabel. In dieser Arbeit wird standardm�a�ig als
"Produktbasis\ f�ur 2-Niveau-Systeme die Darstellung mittels der lokalen Basiszust�ande j0iund j1i verwendet. Die (standardm�a�igen) Produktbasiszust�ande eines 2-Spin-Systems lau-ten damit fj00i=j0ij0i, j01i=j0ij1i, j10i=j1ij0i, j11i=j1ij1ig.
Im Gegensatz zu Produktzust�anden treten sogenannte verschr�ankte Zust�ande auf, wenndie Subsysteme nicht rein sind. Ist der Gesamtzustand rein, so besteht die Verschr�ankunginnerhalb des Systems, andernfalls mit der Umgebung. Jedoch: Wird der Dichteoperator-Formalismus zur Beschreibung der klassischen Unkenntnis verwendet, muss keine Verschr�an-kung auftreten, selbst wenn der Gesamtzustand gemischt ist. Der gemischte Zustand entstehthierbei durch das Mischen (im w�ortlichen Sinne) von reinen Zust�anden. In der NMR wirddiese Art der Mischung f�ur die Erzeugung pseudo-reiner Zust�ande angewandt (siehe Ka-pitel 3.5.2). Typische Vertreter verschr�ankter Zust�ande stellen die maximal verschr�anktenBell-Zust�ande (auch als EPR-Zust�ande bezeichnet) eines 2-Spin-Systems dar:����� = 1p
2(j00i � j11i) (2.38)���� = 1p
2(j01i � j10i) (2.39)
Diese Zust�ande sind nicht mehr als Produkt von lokaken Zust�anden schreibbar: Die Teil-systeme sind im maximal gemischten Zustand. Die Verallgemeinerung der Bell-Zust�andeauf mehrere Spins werden Katzen-Zust�ande genannt [43]. Maximal verschr�ankte Zust�andedieser Art werden in Kapitel 4.1 verwendet.
2.5.3 Verschr�ankungsma�e und lokale unit�are Transformationen
Durch allgemeine unit�are Transformationen �andern sich im allgemeinen die Verschr�ankungs-eigenschaften. Wendet man hingegen nur lokale unit�are Transformationen (LUT) auf einenZustand an, so bleiben die Verschr�ankungseigenschaften erhalten. Quantitative Ma�e f�urVerschr�ankung m�ussen daher invariant gegen�uber LUT sein. Schon in Kapitel 2.5.1 wurdebenutzt, da� der lokale Blochvektor f�ur reine Zust�ande die L�ange 1 besitzt, w�ahrend er beizunehmender Gemischtheit auf 0 schrumpft. Das Kriterium f�ur Gemischtheit
Tr��21
(2.40)
eines Teilsystems mit dem reduzierten Dichteoperator
�1 = Tr2 f�g ; (2.41)
kann daher als Ma� f�ur die Verschr�ankung des Teilsystems mit dem Rest des Gesamtsystemsmit dem Dichteoperator � dienen.
Im Allgemeinen wird jedoch als quantitatives Verschr�ankungsma� E(�) eines zweigeteil-ten reinen Systems � die von Neumann-Entropie eines Subsystems genutzt [9]:
E(�) = S(�1) = S(�2) = �Tr f�1 log2 �1g : (2.42)
In [52] wurde ein Ma� vorgestellt, das sich direkt aus der Darstellung in SU(2)-Operatorenberechnen l�asst: F�ur ein zweiteiliges 2-Niveau-System ist es wie folgt de�niert:
Mij(1; 2) = hKij(1; 2)i � h�i(1)ih�j(2)i (2.43)
� =1
3
Xi;j
(Mij(1; 2))2 (2.44)
0 � � � 1: (2.45)
Die Entropie E als auch das Ma� � sind maximal bzw. minimal bei maximaler bzw. mini-maler Verschr�ankung.
18
2.6 Messungen
Die einfachsten Messungen von Observablen, von Neumann-Projektionsmessungen, werdendurch hermitesche Operatoren A (Ay = A) modelliert. Der Erwartungswert der Observable,die durch den Operator A repr�asentiert wird, istD
AE= Tr
nA�o= Tr
n�Ao: (2.46)
In dieser Arbeit wird oft die Observable, der Begri� Messoperator als auch der Begri�Messkanal (siehe Kapitel 3.4) mit dem gleichen Symbol A wie der hermitesche Operatorbezeichnet.
Ein Messkanal A, der auf ein Quantennetzwerk wirkt, hei�t lokal, wenn der OperatorA nur auf ein lokales Subsystem des Quantennetzwerks wirkt. Wirkt ein Messkanal aufmehrere lokale Subsysteme, so wird er nicht-lokal genannt.
Nach der Messung be�ndet sich das Quantensystem in einem Eigenzustand des Ope-rators A (Projektionspostulat). Weitergehende Messstrategien wurden in Monogra�en vonHelstrom [34] und Holevo [35] dargestellt. Darunter fallen die verallgemeinerten Messungenund Quantenoperationen die nachfolgend kurz dargestellt werden, da sie in Kapitel 4.2.5 f�urden Vergleich mit der Messstrategie aus Kapitel 4.2 ben�otigt werden.
2.6.1 Verallgemeinerte Messungen
Messstrategien, die Projektionsmessungen auf das interessierende System und ein Hilfssys-tem benutzen, sollen hier beschrieben werden [34, 50]. Ein in einem bekannten Zustand�ancilla be�ndliches Hilfssystem wird an ein interessierendes System im Zustand �S angekop-pelt. Die unkorrelierten Systeme werden gemeinsam durch
(�S �ancilla) = (�S)mn(�ancilla)rs (2.47)
beschrieben (die fetten Indizes beziehen sich auf das Hilfssystem). Mit der orthogonalenAu �osung der Identit�at durch die orthogonalen Projektionsoperatoren P� im gemeinsamenHilbertraum
P�P� = ��P�;X�
P� = 1 (2.48)
l�asst sich jeder Zustand vollst�andig testen, d. h. einer der Messausg�ange muss eintreten. DieWahrscheinlichkeit W�S des Messausganges � nach der Pr�aparation S ist zu
W�S = Tr fP�(�S �ancilla)g �Xmr;ns
(P�)mr;ns(�S)nm(�ancilla)sr (2.49)
gegeben. Dies kann als
W�S = TrnA��S
o(2.50)
geschrieben werden, wobei
(A�)mn =Xrs
(P�)mr;ns(�ancilla)sr (2.51)
ein Operator ist, der nur im urspr�unglichen Hilbertraum des interessierenden Systems wirkt.Die positiven, hermiteschen Operatoren A� erf�ullenX
�
A� = 1: (2.52)
19
Die Menge der Operatoren A� wird positives operator-wertiges Ma� (positive operatorvalued measure, POVM) genannt. Durch POVM werden sogenannte verallgemeinerte Mes-sungen realisiert. Die Anzahl der Messausg�ange � kann im Gegensatz zu von Neumann-Projektionsmessungen nun gr�o�er als die Dimension des Hilbertraums des Systems S sein.
2.6.2 Quantenoperationen
Die allgemeinsten Quantenoperationen sind durch vollst�andig positive Abbildungen (com-pletely positive maps) gegeben [40, 53]. Ein System S im Zustand �S soll sich nach einerbeliebigen Entwicklung im Zustand �0S be�nden. Die Entwicklung kann im allgemeinstenFall durch eine Abbildung oben angegebener Art ES beschrieben werden:
�S ! �0S =ES(�S)
Tr fES(�S)g : (2.53)
Unter diesen Abbildung ES be�nden sich o�ensichtlich alle unit�aren Transformationen desZustands �0S = US �SU
yS. Ebenso beinhalten sie alle Wechselwirkungen mit einem Hilfssys-
tem. In diesem Fall kann ES dargestellt werden als eine unit�are Transformation auf dasSystem und ein Hilfssystem ancilla und die anschlie�ende Spurbildung �uber das Hilfssys-tem. Das Hilfssystem soll sich zu Beginn im Zustand j0iancilla be�nden:
ES(�S) = Trancilla
nUS;ancilla(�S j0iancilla h0jancilla)U y
S;ancilla
o: (2.54)
Diese Darstellung ist nicht eindeutig. Verschiedene unit�are Transformationen US;ancilla k�onnenzum gleichen Superoperator ES f�uhren [53].
Eine n�utzliche Darstellung, in der jeder Superoperator E geschrieben werden kann, istdie sogenannte Operator-Summen-Darstellung [17]:
ES(�S) =Xi
Ai�SAyi (2.55)
Die Operatoren Ai wirken nur im Raum des Systems S, beschreiben jedoch alle Zustands�ande-rungen des Systems, also alle m�oglichen unit�aren Transformationen, Projektionen (verall-gemeinerte Messungen) und Umgebungse�ekte (Dekoh�arenz).
20
3 Zustandsrekonstruktion
Schon f�ur die Pr�aparation eines Quantensystems ist eine empirische Zustandsrekonstruktionunerl�asslich. Nur durch sie ist eine unabh�angige �Uberpr�ufung eines gegebenen Pr�aparations-verfahrens m�oglich [3]. So muss beispielsweise empirisch entscheidbar sein, ob ein Pr�aparati-onsverfahren reine oder gemischte Zust�ande erzeugt. Des Weiteren ist zu einer vollst�andigenCharakterisierung eines Pr�aparationsverfahrens eine Methode n�otig, die keinerlei Annahmen�uber den Zustand des interessierenden Systems macht. Derartige Messstrategien werden Zu-standsrekonstruktionsverfahren genannt.
3.1 Rekonstruierbarkeit und das Pauli-Problem
Die Frage nach der prinzipiellen Rekonstruierbarkeit der Wellenfunktion ist keine trivialeFrage. Wolfgang Pauli warf in einer Fu�note eines Artikels im Handbuch der Physik dieFrage auf, ob die Wellenfunktion (q) eindeutig von den WahrscheinlichkeitsverteilungenW (x) � j (x)j2 und W (p) � j (p)j2 bestimmt wird. Zu dieser Zeit gab es keine Antworthierauf [31, 58].
Dieses sogenannte Pauli-Problem wurde in der Folgezeit von mehreren Autoren bearbei-tet [19], so wurde gezeigt, dass im Allgemeinen nicht auf die Wellenfunktion zur�uckge-schlossen werden kann. Die Wellenfunktion
(x) = r(x) + i i(x) (3.1)
mit linear unabh�angigem Real- und Imagin�arteil, d. h.
� r(x) + � i(x) = 0, � = � = 0 (3.2)
und einer festgelegten Parit�at (x) = � (�x) (3.3)
stellt ein einfaches Gegenbeispiel dar [58]. Konjugiert man die Wellenfunktion (x) komplex,so erh�alt man eine zu (x) linear unabh�angige Funktion, den sogenannten Pauli-Partner~ (x) = �(x) der Wellenfunktion (x): Beide Wellenfunktionen ergeben die gleichen Wahr-scheinlichkeitsverteilungen:
j ~ (x)j2 = j (x)j2 und j ~ (p)j2 = j� �(p)j2 = j (p)j2 : (3.4)
Die Daten, die zur Rekonstruktion des Quantenzustands verwendet werden k�onnen (hierdie Orts- und Impulsverteilungen), werden in diesem Zusammenhang auch Pauli-Daten ge-nannt.
Im gezeigten Beispiel ist ein R�uckschluss auf die Wellenfunktion nicht eindeutig m�oglich.Dennoch gibt es eine gro�e Klasse von Wellenfunktionen, f�ur die ein R�uckschluss m�oglichist. Insbesondere sind gebundene Zust�ande { im Gegensatz zu Streuzust�anden { eindeutigdurch ihre Orts- und Impulsverteilungen gegeben [19].
21
In einem �Ubersichtsartikel von Weigert [57] wird zusammenfassend festgestellt, dass dieWahrscheinlichkeitsverteilungen j (x)j2 und j (p)j2 nicht ausreichen, um den Quantenzu-stand zu bestimmen. Des Weiteren sei es nicht bekannt, wie die Menge der reinen Zust�ande,die mit gegebenen Pauli-Daten vereinbar ist, in vern�unftiger Art und Weise charakterisiertwerden kann. Es g�abe keinen theoretisch und experimentell �uberzeugenden Ansatz zur Zu-standsrekonstruktion durch Messungen.
Aber dies gilt nur f�ur die Teilchen-Version des Pauli-Problems. Denn im Fall von Syste-men mit endlichem Hilbertraum, z. B. Spins oder gekoppelten Spins, sogenannte Quanten-netzwerke, ist die L�osung des Pauli-Problems bekannt.
3.2 Das Quorum-Konzept
Ein gegebenes Quantensystem S wird beschrieben durch den Hamilton-Operator H, der aufdem Hilbertraum H wirkt, also Element der Algebra von Operatoren A ist, die auf denHilbertraum wirken. Jeder Zustand des Systems S { ob gemischt oder rein { kann durchden Dichteoperator � beschrieben werden. Observable werden durch hermitesche Operato-ren Mj = M y
j , Mj 2 A abgebildet. Die Ergebnisse der Messung solcher Observabler sind
statistische Gr�o�en und durch die Erwartungswerte hMji gegeben. Ist der Zustand � einesSystems S bekannt, so kann �uber die Spurformel
hMji = Trn�Mj
o(3.5)
der Erwartungswert bestimmt werden. Zur Bestimmung eines solchen Erwartungswertsben�otigt man im Allgemeinen ein Ensemble von Systemen, das insgesamt durch den Dichte-operator � beschrieben werden soll. Handelt es sich um einen reinen Zustand, so muss damitdas Ensemble aus identisch pr�aparierten Subsystemen bestehen. Zur exakten theoretischenBehandlung ist die Annahme eines unendlich gro�en Ensembles neben zuverl�assigen (feh-lerfreien) Detektoren notwendig. Auf dieser Beschreibungsebene, dem Vorliegen von einerAnzahl von Erwartungswerten, die durch ein idealisiertes Experiment gewonnen wurden,stellt die Zustandsrekonstruktion ein inverses Problem dar:
� = �([j=1:::JfhMjig) (3.6)
Der Dichteoperator � soll durch eine Menge von Erwartungswerten bestimmt werden. Indiesem Zusammenhang wurde der Begri� des Quorums gepr�agt [48]:
De�nition 1 (Quorum) Ein Quorum Q bezeichnet eine Menge von Operatoren, derenMessung ausreicht, den Quantenzustand � zu rekonstruieren [58].
� = �(Q) (3.7)
W�aren die Erwartungswerte aller hermiteschen Operatoren M 2 A gegeben, w�are derZustand � nat�urlich festgelegt. Da dies allerdings kein praktikabler Weg ist, stellt sich dieFrage nach dem
� minimalen Quorum: Es enth�alt die minimale Anzahl von Operatoren;
� experimentell realisierbaren Quorum: Die Observablen sollten mit einfach zu realisie-renden (oder zumindest prinzipiell realisierbaren) Messapparaturen messbar sein.
22
Beide Aspekte zusammen ergeben eine eÆziente Messung des vollst�andigen Quantenzu-stands auf der Ebene von Erwartungswerten.
Schon in der Einleitung (Kapitel 2.3) wurde die SU(n)-Darstellung eingef�uhrt. Sie stelltein minimales Quorum, das von n2 � 1 orthogonalen Operatoren gebildet wird, dar. Jedehermitesche orthogonale Operatorbasis stellt ein minimales Quorum dar. Jede hermitesche,aber nicht notwendigerweise orthogonale Operatorbasis stellt daher auch ein (nicht notwen-digerweise minimales) Quorum dar. W�ahrend f�ur Rechnungen orthogonale Basen (mit mini-maler Operatoranzahl) zu bevorzugen sind, werden f�ur Messungen wegen experminentellerBegrenzungen oft mehr Messwerte als freie Zustands-Parameter ben�otigt; die entstehendenQuorums sind also oft nicht die minimalen. Dies wird im folgenden Kapitel 3.3 deutlichwerden.
De�nition 2 (Teil-Quorum) Ein Teil-Quorum QT bezeichnet eine Menge von Operato-ren, deren Messung ausreicht, einen Teil des Quantenzustands � zu rekonstruieren.
Als Beispiel mag die sp�ater betrachtete Rekonstruktion der Dichtematrix-Diagonalelementedienen, bei der nur durch die Zusammenfassung mehrerer Messungen die Diagonalmatrix-elemente bestimmt werden k�onnen.
3.3 Quorums f�ur allgemeine Spin-Zust�ande
Zun�achst sollen Quantensysteme betrachtet werden, die aus einem einzigen Spin mit derQuantenzahl s bestehen. Entscheidend bei dieser Beschr�ankung ist, dass alle Messungen amSystem lokal ausgef�uhrt werden k�onnen. Die in Quantennetzwerken auftretenden nichtloka-len E�ekte werden erst sp�ater untersucht.
Wieviel Zustands-Parameter besitzt ein Spin mit der Spinquantenzahl s? Der Hilber-traum eines Spins s hat 2s+1 komplexe Dimensionen. Daher hat die allgemeine Dichtematrix� (2s+ 1)(2s+ 1) Elemente mit (2s+ 1)2 � 1 reellen Parametern (wegen der Normierungs-bedingung Tr f�g = 1 entf�allt ein Freiheitsgrad). Es gibt viele Vorschl�age zur Messung allerParameter [58]. Von Park und Band [48, 4] wurde gezeigt, dass die Erwartungswerte der4s(s + 1) linear unabh�angigen Spin-Multipole einen normierten Dichteoperator eindeutigfestlegen. Zwar stellt dies ein minimales Quorum dar, jedoch wurde nicht angegeben, wiediese Erwartungswerte experimentell zu messen sind.
Mit einer Apparatur nach Feynman [28], ein sogenannter Feynman-Filter, der einen pha-senemp�ndlichen Stern-Gerlach-Detektor darstellt, k�onnten die einzelnen Matrixelementedirekt bestimmt werden [30], doch auch hier ist unklar, ob solch ein Filter experimentellimplementiert werden kann.
Experimentell ist am einfachsten der Stern-Gerlach-Apparat zu implementieren. So wur-de von Newton und Young gezeigt [45], dass durch 4s+ 1 Stern-Gerlach-Messungen, derenProjektions-Richtungen auf einem Kegel um eine feste Achse liegen, die Dichtematrix be-stimmt ist. Die Zahl der experimentell bestimmten Parameter betr�agt dabei (4s+1)(2s+1)(2s+ 1 Intensit�aten treten auf).
Ein minimales Quorum wurde erst von Amiet und Weigert [2] konstruiert: Dort werdennur 2s+1 Mess-Richtungen eines Stern-Gerlach-Apparats ben�otigt. Es treten damit (2s+1)2
Messparameter auf. Bis auf die Normierung ist dies die minimale Anzahl von Messungendie notwendig ist, den vollst�andigen Quantenzustand zu rekonstruieren.
Erweitert man den Horizont auf zusammengesetzte Systeme, so treten neue Problemeauf: Es gibt dort nicht-lokale Eigenschaften, von denen nicht sofort klar ist, wie diese direkt
23
gemessen werden k�onnen. Das Quanten-Multiplex-Bild bietet M�oglichkeiten zur Rekonstruk-tion an, die wenige oder einen Projektionsmessoperator(en) nutzen, daf�ur aber allgemeineunit�are Transformationen am System erfordern.
3.4 Quantennetzwerke im Quanten-Multiplex-Bild
F�ur die Betrachtungen in diesem Kapitel sollen zun�achst die Begri�e des Quantennetzwerksund des Messkanals noch einmal aufgegri�en (siehe Kapitel 2.5) bzw. de�niert werden.
De�nition 3 (Quantennetzwerk) Bei einem Quantennetzwerk handelt es sich um eineMenge von Quantensubsystemen fH(1);H(2); : : : ;H(N)g mit endlichen Hilbertr�aumen, die{ weil beispielsweise eine Kopplung der Subsysteme auftritt { sinnvollerweise durch einengemeinsamen Produkt-Hilbertraum H = H(1)H(2) : : :H(N) beschrieben werden soll.
Beispiel f�ur die Subsysteme sind Spin-Systeme mit beliebiger Spin-Quantenzahl s.
De�nition 4 (Messkanal) Ein Messkanal ist ein durch eine physikalische Apparatur vor-gegebener hermitescher Operator, der eine von-Neumann-Projektionsmessung implemen-tiert.
In der experimentellen Praxis gibt es oft die Einschr�ankung
1. auf lokale Messkan�ale
2. und auf wenige direkt zug�angliche Messkan�ale.
In der NMR an Spin-1/2-Systemen sind beispielsweise nur die lokalen x- bzw. y-Komponentendes Spins direkt (d. h. durch die Auswahlregeln bestimmt) messbar. Die Messoperatoren sinddie Paul-Spinmatrizen �x und �y. (Des Weiteren sind nicht nur die Projektionen auf die x-bzw. y-Achse messbar, sondern jeder Projektor auf die x-y-Ebene.) Allerdings sind wederdie z-Komponente (�z) noch die nicht lokalen Operatoren Kij direkt messbar. Die einzigeM�oglichkeit, diese Messungen indirekt durchzuf�uhren, ist die Anwendung unit�arer Trans-formationen auf das Quantensystem. Mit Hilfe von elektromagnetischen Pulsen und derNutzung der inh�arenten Kopplung der Subsysteme ist es in vielen F�allen m�oglich, allgemei-ne unit�are Transformationen am NMR-System vorzunehmen (siehe auch Kapitel 3.5).
Verallgemeinert man das Konzept der Messung bei beschr�ankter Auswahl des Messkanalsund der Zulassung allgemeiner unit�arer Transformationen, so bietet sich f�ur diese Klasse vonMessungen das Bild des Quantenmultiplexers an.
De�nition 5 (Quantenmultiplexer) Eine unit�are Transformation U , die auf ein Quan-tensystem wirkt, kann als Implementation eines Quantenmultiplexers QMUX(U) interpre-tiert werden, wenn die Anwendung der Transformation U mit dem Ziel erfolgt, mehrere nurindirekt messbare Kan�ale Aj nacheinander auf einen festen direkt messbaren Messkanal Babzubilden (Abbildung 3.1)(siehe Kapitel 4.1 f�ur eine Erweiterung dieser De�nition). Diewiederholte Wahl einer unit�aren Transformation U durch den Experimentator entsprichtder Funktion eines aus der Elektronik bekannten Multiplexers, der es erm�oglicht, aus vielenKan�alen einen einzigen auszuw�ahlen und ihn �uber eine feste Datenleitung zur Verf�ugung zustellen.
Im Zusammenhang der vollst�andigen Zustandsmessung auf der Ebene des Quorums undder Anwendung des Quanten-Multiplex-Bildes sind die Aspekte des Austauschs von Mess-kan�alen (z. B. der Quorum-Elemente) (Kapitel 3.4.1) und der Rekonstruktion des Quanten-zustands �uber einen einzigen Messkanal (Kapitel 3.4.2) interessant.
24
3.4.1 [1!1]-Quantenmultiplexer: Austauschbarkeit von Messkan�alen
A2
A1
An
...QMUX B
Ui; i = 1 : : : n
Quantenmultiplexer
Abbildung 3.1: Quantenmultiplexer f�ur den Messkanalwechsel: Jeder der Messkan�ale Ai wirddurch einen entsprechenden Multiplexer QMUX(Ui) auf den Messkanal Babgebildet.
Messkan�ale mit identischem Eigenwertspektrum
Betrachte die Messkan�ale Ai und B = UiAiUyi . Die Messung des Operators Ai wird durch
Anwendung der entsprechenden unit�aren Transformation Ui und Messung des Operators Berreicht, da wegen der Invarianz der Spur gegen�uber zyklischer Vertauschung gilt:
hBi = TrnB�o= Tr
nUiAiU
yi �o= Tr
nAiU
yi �Ui
o= Tr
nAi�
0i
o; (3.8)
wobei �0i � U yi �Ui den invers zum Operator B transformierten Dichteoperator darstellt.
Eine unit�are Transformation U ; U y = U�1 erh�alt, wie schon in Kapitel 2.4.1 gezeigt, dasEigenwertspektrum eines jeden hermiteschen Operators M = M y.
Da der Quantenmultiplexer QMUX(Ui) durch die unit�are Transformation Ui beschriebenwird, ist der Austausch von Messkan�alen in dieser Art und Weise beschr�ankt: Nur Mess-kan�ale mit gleichem Eigenwertspektrum k�onnen durch einen Quantenmultiplexer ineinander�uberf�uhrt werden.
Sind die durch den Multiplexer zu transformierenden Messkan�ale Ai; (i = 1 : : : n) und Bgegeben, so ist die unit�are Transformation Ui �uber die unit�aren Diagonalisierungstransfor-mationen DAi
und DB konstruktiv gegeben:
DAiAiD
yAi
:= Diagfajig = ADi (3.9)
DBBDyB
:= Diagfbjg = BD; (3.10)
wobei die aji die geordneten Eigenwerte von Ai und die bj die geordneten Eigenwerte von Bsind. Nach Voraussetzung sind die Eigenwerte der Operatoren Ai und B identisch:
ADi � BD; (3.11)
so dass mit der De�nition der Ui
B = UiAiUyi (3.12)
die explizite Form von Ui
DAiAiD
yAi
= DBBDyB
(3.13)
B = DyBDAi
AiDyAiDB (3.14)
Ui = DyBDAi
(3.15)
25
folgt.
Messkan�ale mit unterschiedlichem Eigenwertspektrum
Zwar k�onnen Messkan�ale mit unterschiedlichen Eigenwerten nicht direkt durch den Quan-tenmultiplexer ausgetauscht werden, doch ist durch sukzessive Messung auf dem Kanal Bund Anwendung einer entsprechenden Multiplexer-Transformation Ui die gleiche Informati-on eines Messkanals C mit unterschiedlichen Eigenwerten EW(C) 6= EW(B) extrahierbar.
Statt den Operator C direkt zu messen betrachten wir die Messung des diagonalisiertenOperators CD
CD := DCCDyC = Diagfcjg (3.16)
Die cj sind die Eigenwerte von C. Der Erwartungswert von C l�asst sich nun wie folgtausdr�ucken:
hCi = TrnC�o
(3.17)
!= Tr
nCD�0
o(3.18)
= TrnCDy
C �0DC
o(3.19)
Damit dies gilt, muss �0 = DC �DyC gew�ahlt werden. Die Messung des diagonalisierten Ope-
rators CD im transformierten System �0 ergibt damit das gleiche Ergebnis wie die urspr�ung-lich betrachtete Messung. Der Erwartungswert des diagonalisierten Operators CD ist jetzteinfach durch die Diagonalelemente rj des Dichteoperators �
0 auszudr�ucken:
hCDi = TrnCD�0
o=Xj
cjrj (3.20)
Die unbekannten Variablen rj k�onnen, wie in Kapitel 3.4.2 gezeigt wird, �uber jeden belie-bigen (nicht-trivialen) hermiteschen Operator durch mehrfache Anwendung von Multiple-xertransformationen gemessen werden. Daraus kann dann nach Gleichung 3.20 und unterBeachtung von Gleichung 3.18 der Erwartungswert des Kanals C berechnet werden.
Eigenwerte von Quantennetzwerken
Die Subsysteme von Quantennetzwerken sind oft lokalisierte physikalische Systeme wie z. B.Spins. Messoperatoren werden sich meistens auf eines dieser physikalischen Systeme bezie-hen, also in einem Subraum leben. Kombiniert man mehrere �aquivalente Subsysteme, so istes sinnvoll nach der Eigenwertstruktur des entstandenen Quantennetzwerks zu fragen.
Da die Diagonalisierungsoperatoren Di von lokalen Messoperatoren Mi nur in ihremjeweiligen Teilraum H(i); i = 1 : : :N wirken, ergibt sich f�ur die Clusteroperatoren Mges =
Ni=1Mi dieser Messoperatoren ein Eigenwertspektrum, das aus den direkten Produkten der
Eigenwerte der lokalen Messoperatoren Mi besteht: EW(Mges) = Ni=1EW(Mi)
Einen Spezialfall stellen gekoppelte 2-Niveau-Systeme dar: Die SU(2)-Generatoren �i; i =1 : : : 3, die den Pauli-Spinmatrizen �x; �y; �z entsprechen, bilden mit der 2 2-Identit�at 1
eine hermitesche, unit�are und orthogonale Basis BSU(2). Die Eigenwerte der �i sind jeweils
EW(�i) = f�1; 1g. Es ergeben sich damit f�ur alle aus dieser Basis bildbaren Clusteropera-toren die Eigenwerte +1 und �1 in Multiplizit�at N .
Da die Basisoperatoren der BSU(2) hermitesch sind, stellen sie ein Quorum f�ur jedender Subr�aume H(i) dar, durch die Orthogonalit�ats-Eigenschaft ist es sogar ein minimales
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Quorum. Alle Clusteroperatoren bilden im GesamthilbertraumH = Ni=1H(i) ebenfalls eine
hermitesche, unit�are und orthogonale Basis BSU(2) dar. Somit kann mit Hilfe eines Multiple-xers, der im Gesamtraum H wirkt, jeder hermitesche Basisoperator aus BSU(2) durch jedenanderen gemessen werden. Hier ist also ein vollst�andiger Austausch aller Messkan�ale unter-einander m�oglich. Da der Dichteoperator � in der Basis BSU(2) eindeutig entwickelt werdenkann, ist damit die vollst�andige Rekonstruktion des Dichteoperators �uber jeden Messkanalder Basis m�oglich.
F�ur 3-Niveau-Systeme oder allgemein n-Niveau-Systeme ist f�ur n mod 2 6= 0 keine Zerle-gung in SU(2)-Cluster m�oglich. Die Eigenwerte der SU(n)-Generatoren sind dar�uber hinausnicht mehr alle identisch, eine Zustandsrekonstruktion �uber die SU(n)-Basisoperatoren mitHilfe eines Quantenmultiplexers daher nicht m�oglich. Jedoch wird in Kapitel 3.4.2 gezeigt,dass selbst im allgemeinen Fall eines Systems im Hn ein minimales Quorum konstruiertwerden kann.
Anwendungen
Als Anwendungsm�oglichkeiten ergeben sich folgende Bereiche:
� Indirekte Messung eines einzelnen Operators. Beispiel: Messung der �z-Komponente ei-nes halbzahligen Spinsystems in der NMR: Durch einen �=2-Puls in x- oder y-Richtungist die z-Komponente in die Nachweisebene klappbar.
� Zu den unit�aren Operationen geh�oren die Teilchenaustausch-Operationen. Steht einlokaler Messoperator in einem Quantennetzwerk zur Verf�ugung kann durch Anwen-dung einer Multiplexer-Transformation dieser lokale Messoperator indirekt auf jedender Subsysteme des Netzwerks wirken.
� Vollst�andige Zustandsrekonstruktion bei 2-Niveau-Systemen und Netzwerken aus 2-Niveau-Systemen. Wie gezeigt, ist die Rekonstruktion des Dichteoperators �uber jedender SU(2)-Clusteroperatoren, auch lokale wie in der NMR, m�oglich.
3.4.2 [Alles!1]-Quantenmultiplexer: Volle Rekonstruktion durcheinen einzigen Messkanal
A1
A2B hBii ) ��) hAii Ui; i = 1 : : : n
QMUX
An
...
Abbildung 3.2: Quantenmultiplexer zur Zustandsrekonstruktion: Der MultiplexerQMUX(Ui) bildet das Quorum der [ni=1fAig in n Schritten auf eineneinzigen Messkanal B ab. Die sukzessive ausgelesenen Messwerte hBiidienen als Grundlage der Rekonstruktion.
27
Im Folgenden soll die Dichteoperator-Rekonstruktion eines Quantennetzwerks durcheinen beliebigen (nicht trivialen) hermiteschen Operator und Quantenmultiplexer-Abbil-dungen gezeigt werden. Zun�achst soll die Rekonstruktion der Diagonalelemente der Dichte-matrix gezeigt werden, bevor auch die Rekonstruktion der Nicht-Diagonalelemente behan-delt wird.
Aufgabenstellung:
Gegeben sei ein Dichteoperator �. Gesucht sei seine Matrixdarstellung, ebenfalls mit � be-zeichnet, �uber die Messung eines hermiteschen Operators (Messkanal) B unter Verwendungdes Quantenmultiplexers QMUX, dessen Funktion durch die unit�are Transformation Ui be-schrieben wird.
Die Dichtematrix � besitze m �m Matrixelemente. Die reellen Variablen ri; i = 1 : : :mseien die Diagonalelemente von �.
Der Messoperator B soll nicht trivial gew�ahlt werden, d. h.
B 6= c1; c 2 R (3.21)
Damit besitzt B h�ochstens m� 1 entartete Eigenwerte. Der triviale Messoperator 1 liefertdie Normierungsbedingung Tr f�g = 1.
Der diagonalisierte Messoperator
BD = DBBDyB = Diagfb1; : : : ; bmg (3.22)
weist die geordneten Eigenwerte bi von B auf der Diagonalen auf. Ohne Beschr�ankung derAllgemeinheit sei b1 = max(EW(B)).
Im Allgemeinen ist eine Diagonalisierungtransformation nur bis auf die Permutationaller Eigenwerte bi eindeutig festgelegt. Der entstandene Freiheitsgrad l�asst sich nutzen: DieBildung von weiteren diagonalen Operatoren BD(p) aus BD durch Permutation (nummeriertdurch den Index p) der Eigenwerte und die Messung von deren Erwartungswerten hBD(p)ierm�oglicht die Berechnung der Diagonalelemente der Dichtematrix:
Rekonstruktion der Diagonalelemente der Dichtematrix
Im Folgenden sollen besondere zyklische Permutationen auf Vektoren ~v 2 Rm betrachtet wer-
den, P(s1;:::;s�)(p) soll die (p� 1)-fache Ausf�uhrung der zyklischen Permutation�1;2;:::;��1;��;1;2;:::;��1
�,
die nur auf die Elemente des Vektors vs1; : : : ; vs� wirkt { alle anderen Elemente des Vektors
~v bleiben erhalten, bedeuten. P(s1;:::;s�)(p) soll die unit�are Transformation darstellen, dieentsprechend der Operation auf Vektoren statt der Elemente eines Vektors die Zeilen- undSpaltenvektoren einer m�m-Matrix permutiert.
Ansatz 1 (Minimales Teil-Quorum f�ur die Dichtematrixdiagonale)
Die Vektoren~b(p) = P(1;:::;m)(p)(b1; : : : ; bm) (3.23)
sind die um p � 1-Elemente zyklisch permutierten Vektoren aus den Eigenwerten bi. Derzu jedem Vektor ~b(p) geh�orige Diagonalisierungsoperator DB(p) bestimmt die Multiplexer-Transformation
Up = DyB(p): (3.24)
28
Die gemessenen Erwartungswerte hBip und die Normierungsbedingung sollen zu einem Vek-tor
~e = (hBi1; : : : ; hBim�1; 1) (3.25)
zusammengefasst werden. Mit der Matrix E, deren Zeilenvektoren durch die Vektoren ~b(p)und ~1 = (1; 1; : : : ; 1) gegeben sind
Epq = ~b(p)q (p = 1 : : :m� 1); Emq = 1; (3.26)
l�asst sich ein lineares quadratisches Gleichungssystem aufstellen:
Epqrq = ep (3.27)
Dieses Gleichungssystem ist l�osbar, falls detE 6= 0. Dies ist der Fall genau dann, wenndie Vektoren ~b(p) und ~1 alle linear unabh�angig sind. Die Inversion der Matrix E ist dannm�oglich, die Elemente der Dichtematrixdiagonalen ergeben sich zu
rq = E�1pq ep: (3.28)
Die Dichtematrixdiagonalelemente werden damit indirekt bestimmt und m�ussen durch einenklassischen Computer extern berechnet werden.
Im Fall m = 2 und m = 3 gilt detE 6= 0 immer:Fall m = 2:
det
�u v1 1
�= u� v 6= 0: (u; v 2 R) (3.29)
Fall m = 3:
det
0@ u v ww u v1 1 1
1A = u2 � u v + v2 � uw� v w + w2; (u; v; w 2 R) (3.30)
) L = ffu! v + w �p3p�v2 + 2 v w � w2
2g; fu! v + w +
p3p�v2 + 2 v w � w2
2gg
(3.31)Der Wurzelausdruck W =
p�v2 + 2 v w � w2 =:pW 0 ist f�ur alle v; w Null oder imagin�ar,
da f�ur jedes feste w, das Maximum von W 0(v) an der Stelle v = w liegt und Null betr�agt:
@W 0
@v= �2 v + 2w
!= 0) v = w (3.32)
@2W 0
@v2= �2 < 0;) Maximum (3.33)
Reelle L�osungen der Gleichung 3.30 existieren also nur f�ur u = v = w, was nach Vorausset-zung (Gleichung 3.21) ausgeschlossen wurde. Es gilt daher immer
det
0@ u v ww u v1 1 1
1A 6= 0: (3.34)
Die minimale Anzahl von Messungen (m�1) zur Ermittlung der m�1 freien Parameter derDiagonale der Dichtematrix � wird damit im Fallm = 2; 3 erreicht. F�ur m � 4 ist die analo-ge Konstruktion des Teil-Quorums �uber zyklische Permutationen in vielen F�allen m�oglich.
29
In weiteren F�allen sind die zyklischen Permutationen durch allgemeine Permutationen zuersetzen. Es ist nicht bekannt, ob in jedem Fall ein minimales Teil-Quorum durch allgemei-ne Permutationen erzeugt werden kann. Im Allgemeinen wird der Satz der zu w�ahlendenPermutationen vom gew�ahlten Messkanal B abh�angig sein. Gesucht ist daher ein Verfahren,das zwar auf Kosten der EÆzienz geht, d. h. mehr Messungen ben�otigt, daf�ur aber von derWahl des Messkanals unabh�angig ist (bez�uglich der Anwendung der Permutationen).
Dies f�uhrt zum
Ansatz 2 (Direktes Ausmessen jedes Einzelelements der Diagonale)
Zur direkten Messung eines Elements der Diagonale einer Dichtematrix ist ein Messoperatorder Form
B0(p) = DiagfP(1;:::;m)(p)(u; v; : : : ; v)g; u; v 2 R; u 6= v; p = 1 : : :m� 1 (3.35)
n�otig. Das r�uhrt daher, da� das Messergebnis abgesehen vom Matrixelement �pp nur nochvon der bekannten Spur des Dichteoperators � = 1 abh�angen darf. Die Diagonalelementeergeben sich aus
TrnB0(p)�
o= (u� v)rp + v (3.36)
zu
rp =TrnB0(p)�
o� v
u� v (3.37)
und
rm = 1�m�1Xi=1
ri: (3.38)
Ziel ist es nun, das Messergebnis des Operators B0(p) zu rekonstruieren. Hierzu betrach-ten wir den schon bekannten Messoperator BD aus Gleichung 3.22. Wir bilden daraus dieOperatoren
BD� (p) = DiagfP(2;:::;m)(p)(b1; : : : ; bm)g; p = 1 : : :m� 1 (3.39)
Zu beachten ist, dass sich die zyklische Permutation nicht mehr auf das erste Element von~b erstreckt. Die Summation aller m� 1 Erwartungswerte ergibt
m�1Xp=1
hBD� (p)i =
m�1Xp=1
TrnBD� (p)�
o= (m� 1)r1b1 +
mXj=2
mXi=2
birj; (3.40)
was sich mit u = (m � 1)b1 und v =Pm
i=2 bi mit B0(1) aus Gleichung 3.36 identi�zieren
l�asst. Da b1 nach Voraussetzung das Maximum der bi ist, die nicht alle identisch sein d�urfen,gilt immer u > v und damit u 6= v. Der Erwartungswert des Operators B0(1) ist damitmit maximal m� 1 Messungen rekonstruierbar. Durch m� 1 Permutationen nach Art derGleichung 3.35, was der Verschiebung des Maximums b1 im ~b-Vektor entspricht, sind alleB0(p) rekonstruierbar und damit auch die vollst�andige Diagonale der Dichtematrix �.
Es bleibt daher festzuhalten:
Satz 1 (Rekonstruktion der Diagonalelemente der Dichtematrix �)Im Hilbertraum Hm ist mit jedem nicht trivialen hermiteschen Operator B 6= c1; c 2 R
und der Anwendung von allgemeinen unit�aren Transformationen U (Multiplexer-Funktion)die Diagonale der Dichtematrix � mit h�ochstens (m� 1)2 Messungen rekonstruierbar.
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Anders gesagt existieren unendlich viele Teil-Quorums aus hermiteschen Operatoren mitbeliebigem, festen und nicht trivialen Eigenwertspektrum zur Rekonstruktion der Dichte-matrixdiagonalen.
Satz 2 (Rekonstruktion der Diagonalelemente der Dichtematrix � im H2 und H3)Im Hilbertraum H2 (m = 2) und H3 (m = 3) ist mit jedem nicht trivialen hermiteschenOperator B 6= c1; c 2 R und der Anwendung von allgemeinen unit�aren TransformationenU (Multiplexer-Funktion) die Diagonale der Dichtematrix � mit der minimalen Anzahl vonm� 1 Messungen rekonstruierbar.
Rekonstruktion der Nicht-Diagonalelemente der Dichtematrix
Nachdem alle Diagonalelemente bekannt sind, m�ussen f�ur die Rekonstruktion der Nicht-Diagonalelemente noch unit�are Transformationen gefunden werden, die die Nicht-Diagonal-elemente auf die Diagonale abbilden. Dies ist mit unit�aren Transformationen
U�� : U�� = d; U�� = d; U�� = �c�; U�� = c; Uij = Æij; (i; j 6= �; �); (c 2 C ; d 2 R) (3.41)
m�oglich. In Matrixschreibweise hat diese Transformation andeutungsweise die Form
U�� =
0BBBBBBBBBBBBBBBBBB@
1. . .
1d 0 � � � 0 �c�0 1 0...
. . ....
0 1 0c 0 � � � 0 d
1. . .
1
1CCCCCCCCCCCCCCCCCCA
(3.42)
Hinreichende Bedingung f�ur Unitarit�at ist die Orthonormalit�at der Zeilen- oder Spalten-vektoren. Die Orthogonalit�at beider ver�anderter Vektoren gegen�uber der Einheitsmatrix istimmer erf�ullt:
(d c)���c�
d
�= 0 (3.43)
Des Weiteren sind beide ver�anderten Vektoren orthogonal zu allen anderen Vektoren, sodass nur noch die Normierungsbedingung
d2 + jcj2 = 1 (3.44)
erf�ullt sein muss (c 2 C ; d 2 R). Die Transformation �0 = U���Uy�� erh�alt alle Diagonalele-
mente der Dichtematrix � bis auf
�0�� = d2��� � cd���� � c�d��� + jcj2��� (3.45)
und
�0�� = jcj2��� + cd���� + c�d��� + d2���: (3.46)
31
Es gilt schon aus der Spurerhaltung unter unit�arer Transformation
�0�� + �0�� = ��� + ���: (3.47)
Der Messoperator BD besitzt mindestens zwei nicht identische Eigenwerte, bezeichnet mitu und v. Durch Transposition dieser Eigenwerte mit B�� und B�� erh�alt man den Operator
BDt und den Vektor ~bt = (bt1; : : : ; btm) seiner Eigenwerte, wobei bt� = u; bt� = v. Nach
Messung seines Erwartungswertes et ergibt sich die Gleichung
�0��u+ �0��v = et �mX
i=1;i6=�;�bti�
0ii (3.48)
Gleichung 3.47 und Gleichung 3.48 erm�oglichen den R�uckschluss auf �0�� und �0��. W�ahltman c 2 R so ist in Gleichung 3.45
cd���� + c�d��� = 2cd<(���); (3.49)
f�ur c 2 I ist in Gleichung 3.45
cd���� + c�d��� = 2jcjd=(���); (3.50)
wobei < den Realteil und = den Imagin�arteil bezeichnen soll. �Uber Gleichung 3.45 oderGleichung 3.46 und entsprechender Wahl der Parameter c und d ist damit das gesuchteElement ��� ermittelbar. Hierzu wurde nach der Messung der Diagonalen der Dichtematrix
nur noch zwei weitere Messungen ben�otigt. Alle m2�m2
Nicht-Diagonalelemente, die m2 �mFreiheitsgrade darstellen, lassen sich damit mit ebenso vielen zus�atzlichen Messungen wieFreiheitsgrade rekonstruieren. Die Gesamtzahl Z der Messungen betr�agt dann h�ochstens(vgl. Satz 1)
Zmax = (m2 �m) + (m� 1)2 = 2m2 � 3m+ 1 (3.51)
und mindestens (vgl. Satz 2)
Zmin = (m2 �m) + (m� 1) = m2 � 1: (3.52)
F�ur die vollst�andige Rekonstruktion ergeben sich damit folgende S�atze:
Satz 3 (Rekonstruktion der Dichtematrix �) Im Hilbertraum Hm ist mit jedem nichttrivialen hermiteschen Operator B 6= c1; c 2 R und der Anwendung von allgemeinenunit�aren Transformationen U (Multiplexer-Funktion) die Dichtematrix � mit h�ochstens 2m2�3m+ 1 Messungen rekonstruierbar.
Anders formuliert existieren unendlich viele Quorums aus hermiteschen Operatoren mitbeliebigem, festen und nicht trivialen Eigenwertspektrum zur Rekonstruktion der Dichte-matrix.
Satz 4 (Rekonstruktion der Dichtematrix � im H2 und H3) Im Hilbertraum H2
(m = 2) und H3 (m = 3) ist mit jedem nicht trivialen hermiteschen Operator B 6=c1; c 2 R und der Anwendung von allgemeinen unit�aren Transformationen U (Multiplexer-Funktion) die Diagonale der Dichtematrix � mit der minimalen Anzahl von m2�1 Messun-gen rekonstruierbar.
32
3.4.3 [Alles!1]-Quantenmultiplexer: Volle Rekonstruktion durcheinen einzigen, nicht vollst�andig bekannten Messkanal
Im Vorausgehenden wurde auf der Ebene eines unendlich gro�en Ensembles von Quantensys-temen der Zustand des Ensembles � durch Erwartungswerte hBii eines einzigen MesskanalsB unter Zuhilfenahme von beliebigen unit�aren Transformationen Ui in Form eines Quan-tenmultiplexers ausgemessen.
A1
A2B hBii ) ��) hAii Ui; i = 1 : : : n
QMUX
An
...B nicht vollst�andigbekannt
Abbildung 3.3: Quantenmultiplexer zur Zustandsrekonstruktion bei nicht vollst�andig be-kanntem Messkanal: Der Multiplexer QMUX(Ui) bildet das Quorum der[ni=1fAig in n Schritten auf einen einzigen Messkanal B ab. Der Messka-nal B soll bis auf einen einzigen Diagonalparameter unbekannt, aber festgew�ahlt sein.
Hier wird gezeigt, dass die vollst�andige Messung des Quantenzustands � selbst ohne volleKenntnis des festen Messoperators B m�oglich ist. Dies mag ein etwas konstruierter Fall sein,da er in der experimentellen Praxis kaum auftreten wird, aber im Sinne des Spiels
"Was
muss ich wissen, um einen Zustand zu rekonstruieren?\ ist diese Frage durchaus relevant. DieAufgabenstellung f�ur diesen Abschnitt ist daher, das notwendige a priori -Wissen bez�uglichder Messoperatorwahl zu untersuchen. Es ist, wie gezeigt werden wird, nur die Kontrolledes Systems durch beliebige unit�are Transformation und die Angabe eines Matrixelementsdes Messkanals notwendig, um beliebige Zust�ande zu rekonstruieren.
E�ektives L�oschen der Nicht-Diagonalelemente des Dichteoperators
Wesentlich f�ur diese Art der Messstragie ist das e�ektive Ausl�oschen aller Nicht-Diagonalele-mente des Dichteoperators. Dies ist eigentlich ein nicht-unit�arer Prozess, da die Eigenwertedes Dichteoperators unter dieser Operation im Allgemeinen keine Erhaltungsgr�o�en sind. Inder NMR wird diese Art der Transformation zur Herstellung von pseudo-reinen Zust�anden(Kapitel 3.5.2) verwendet. Dort wird sie entweder durch zeitliche Mittelung oder r�aumlicheMittelung �uber ein Ensemble, das einem B-Feld-Gradienten unterliegt, durchgef�uhrt. Hierjedoch soll kein Zustand pr�apariert werden, sondern nur e�ektive Messungen betrachtetwerden, die in ihrer Summe so wirken, als wenn sie auf den Dichteoperator mit gel�oschtenNicht-Diagonalelementen angewendet w�urden.
Eine Phasendrehung im Hm wie
Ujk = exp({�j)Æjk; j; k = 1 : : :m (3.53)
transformiert die einzelnen Dichtematrixelemente wie
�0lk = Uli�ij(Uy)jk; (3.54)
33
da U Diagonalform besitzt, ergeben sich nur Beitr�age f�ur l = i und k = j
�0ij = Uii�ij(Uy)jj = exp({�i)�ij exp(�{�j) = exp({(�i � �j))�ij: (3.55)
Es zeigt sich, dass f�ur i = j das Matrixelement erhalten bleibt und f�ur i 6= j dem Elementeine Phase aufgepr�agt wird, falls die Di�erenzen zwischen den Phasen �p nicht verschwinden.
W�ahlt man
�p = p�; p = 0 : : :m� 1; � 2 [0; 2�) (3.56)
so erh�alt das Element �ij die Phase (i� j)�. Die Integration �uber alle m�oglichen Werte f�ur� Z 2�
0
exp({(i� j)�)�ij d� = 2�Æij�ij (3.57)
l�oscht alle Nicht-Diagonalelemente des Dichteoperators �. Diese Art der kontinuierlichenSummation �uber alle Phasen wird zur Herstellung pseudo-reiner Zust�ande verwendet (sieheKapitel 3.5.2). Jedoch ist eine Summation �uber endlich viele Phasen ausreichend, um ineinem endlichen Hilbertraum diese Operation zu implementieren: Mit � = 2�=m, k = i� jund der Ersetzung des Integrals durch eine Summe erh�alt man
m�1Xl=0
exp(2�{kl
m); k = 1; : : : ; m� 1 (3.58)
Diese Summe l�asst sich als geometrische Reihe
sm�1 = 1 + q + q2 + � � �+ qm�1 =qm � 1
q � 1(3.59)
mit
q = exp(2�{k=m) (3.60)
ausdr�ucken. Man erh�alt damit
m�1Xl=0
exp(2�{kl
m) =
exp(2�{k)� 1
exp(2�{k=m)� 1= 0; k = 1; : : : ; m� 1: (3.61)
Die Summation �uber die m durch die Phasentransformationen
Ul : Uljk = exp({�lj)Æjk; j; k = 1; : : : ; m; l = 0; : : : ; m� 1 (3.62)
transformierten Dichteoperatoren � mit
�p = 2�pl=m; p; l = 0; : : : ; m� 1 (3.63)
ergeben das m-fache eines e�ektiven Dichteoperators �d mit gel�oschten Nicht-Diagonalele-menten:
�d = m�1m�1Xl=0
Ul�Uyl (3.64)
�d : �d;ij = �ijÆij i; j = 1; : : : ; m: (3.65)
34
Messung der Spur des Messkanals B
Im Hinblick auf Messungen mit einem unbekannten Messkanal B l�asst sich eine Summe vonErwartungswerten mit Hilfe des e�ektiven Dichteoperators �d ausdr�ucken:
m�1Xl=0
TrnBUl�U
yl
o= Tr
(B
m�1Xl=0
Ul�Uyl
)= mTr
nB�d
o(3.66)
Wie zuvor lassen sich alle Permutationen der Diagonalelemente des Messoperator B und desDichteoperators � bzw. indirekt �d durch unit�are Transformation erzeugen. Da auch f�ur �ddie Normierungsbedingung Tr f�dg = 1 gilt, kann mit der Identit�at 1, die durch Summation�uber m Permutationsoperationen
mXp=1
P(1;:::;m)(p)�dP(1;:::;m)(p)y = m1 (3.67)
erzeugt wird, die Spur des unbekannten Operators B
TrnB1o= Tr
nBo= tB (3.68)
aus der Summe von m2 Messungen ermittelt werden (m Permutationen zur Erzeugung einese�ektiven Dichteoperators mal m Permutationen zur Erzeugung der Identit�at).
Satz 5 (Messung der Spur eines (unbekannten) Messoperators) Im HilbertraumHm ist mit m2 Messungen die Spur jedes (unbekannten) hermiteschen Operators B messbar.
Bildung eines e�ektiven Messoperators bei bekanntem Diagonalelement
Da wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, der einzige reproduzierbare e�ektive Dichteope-rator die Identit�at 1 ist, der nur die Ausmessung der Spur des Operators B erm�oglicht,wird zur Bildung eines e�ektiven Messoperators mindestens eine weitere Information �uberden im Allgemeinen nicht die Diagonalform besitzenden Messoperators B ben�otigt. Ist einDiagonalelement gegeben, l�asst sich der e�ektive Messoperator wie folgt bilden: Ohne Be-schr�ankung der Allgemeinheit soll das bekannte Diagonalelement B11 sein. Der e�ektiveOperator
B0 = (m� 1)�1m�1Xp=1
P(2;:::;m)(p)BP(2;:::;m)(p)y (3.69)
hat in der Diagonale die Elemente
(m� 1)�1�B11;
tB �B11
m� 1; : : : ;
tB � B11
m� 1
�(3.70)
stehen. Die Wirkung einer allgemeinen unit�aren Transformation U auf einen allgemeinene�ektiven Messoperator Be� =
Pi UiBU
yi kann durch die Wirkung der unit�aren Transfor-
mation U auf die Einzeloperatoren UiBUyi bez�uglich der Messung ersetzt werden:
hUBe�Uyi = Tr
nUBe�U
y�o= Tr
(UXi
(UiBUyi )U
y�
)=Xi
TrnU UiBUi
yU y�
o(3.71)
Auf diese Art und Weise k�onnen also unit�are Transformationen auf einen e�ektiven Mess-operator wie B0 aus Gleichung 3.69 implementiert werden.
35
Bildung eines e�ektiven Messoperators bei bekanntem Nicht-Diagonalelement
Ist entweder der Real- oder Imagin�arteil eines Nicht-Diagonalelements des MessoperatorsB gegeben, l�asst sich der e�ektive Messoperator nach folgendem Schema bilden: Ohne Be-schr�ankung der Allgemeinheit soll das bekannte Nicht-Diagonalelement b = <(B21) oderb = =(B21) sein. Durch die Transformation U12(c; d) aus Gleichung 3.41 wird der Real- bzw.Imagin�arteil des Matrixelements B21 entsprechend Gleichung 3.49 und Gleichung 3.50 aufdie Diagonale gebracht.
B01 = U12(c; d)BU
y12(c; d) (3.72)
B01;11 = d2B11 � 2jcjdb+ jcj2B22 (3.73)
B01;22 = jcj2B11 + 2jcjdb+ d2B22 (3.74)
B01;ij 6=1;2 = Bij (3.75)
Mit dem weiteren Messoperator
B02 = P(1;2)(2)BP(1;2)(2)
y (3.76)
ergibt sich der e�ektive Messoperator
B0 = B01 � (d2B + jcj2B0
2); (3.77)
dessen Diagonale die Elemente
(�2jcjdb; 2jcjdb; 0; : : : ; 0) (3.78)
aufweist. Schlie�lich ergibt sich der e�ektive Messoperator wie in Gleichung 3.69 zu
B00 = (m� 1)�1m�1Xp=1
P(2;:::;m)(p)B0P(2;:::;m)(p)
y: (3.79)
Messung des Dichteoperators � �uber Messung der Diagonalelemente des e�ektivenDichteoperators �d
Ist die Bedingung
B11 6= tB �B11
m� 1(3.80)
f�ur den Fall der Angabe eines Diagonalelements bzw.
b 6= 0 (3.81)
f�ur den Fall der Angabe des Real- oder Imagin�arteils (b = <(B21) bzw. b = =(B21)) ei-nes Nicht-Diagonalelements des Messoperators B zus�atzlich erf�ullt, handelt es sich bei dene�ektiven Messoperatoren B0 aus Gleichung 3.69 bzw. B00 aus Gleichung 3.79 um Messope-ratoren wie in Gleichung 3.35. Eine Zustandsrekonstruktion �uber die Einzelmessung jedesElementes des e�ektiven Dichteoperators �d ist dann durchf�uhrbar. Die Einhaltung der Be-dingungen (Gleichung 3.80, Gleichung 3.81) l�asst sich in beiden F�allen durch Messung derSpur des (e�ektiven) Operators �uberpr�ufen. F�ur den zweiten Fall ist jedoch die Messungder Spur nicht erforderlich, um das Verfahren anzuwenden.
Man beachte, dass hier nicht der zum gro�en Teil unbekannte Messoperator B diagonali-siert wurde, sondern e�ektiv eine L�oschung der Nicht-Diagonalelemente des Dichteoperators
36
� genutzt wurde, um das gleiche Ziel zu erreichen. Das Verfahren zur e�ektiven L�oschungaller Nicht-Diagonalelemente kann entsprechend, statt auf den Dichteoperator � auf denMessoperator B angewandt werden. Es resultiert:
Bd = BijÆij (3.82)
Letzlich ist auch in dieser Methode die interpretatorische Freiheit gegeben, entweder voneinem Messoperator oder von einem Dichteoperator zu sprechen, dessen Nicht-Diagonalele-mente e�ektiv gel�oscht wurden. Dieses Verfahren funktioniert nat�urlich auch bei vollst�andigbekanntem Messkanal B und kann damit zur Rekonstruktion ohne Diagonalisierung desMessoperators B, die f�ur gro�e m rechentechnisch im Allgemeinen exponentiell skaliert,eingesetzt werden.
Satz 6 (Dichteoperatorrekonstruktion mit unvollst�andig bekanntem Messoperator)Im Hilbertraum Hm ist die Rekonstruktion des Dichteoperators � mit einem hermiteschenOperator B m�oglich, von dem nur ein Diagonalelement d bekannt sein muss, das die Be-
dingung d 6= (TrnBo� d)=(m� 1) erf�ullt. Der Mehraufwand gegen�uber einem vollst�andig
bekannten Operator ist ein Faktor m(m� 1) in der Anzahl der n�otigen Messungen (Satz 3)neben dem konstanten Aufwand f�ur die Messung der Spur des Operators B (Satz 5) von m2
Messungen.
Satz 7 (Dichteoperatorrekonstruktion mit unvollst�andig bekanntem Messoperator)Im Hilbertraum Hm ist die Rekonstruktion des Dichteoperators � mit einem hermiteschenOperator B m�oglich, von dem nur der Imagin�ar- bzw. Realteil b eines Nicht-Diagonalelementsbekannt sein muss, das die Bedingung b 6= 0 erf�ullt. Der Mehraufwand gegen�uber einemvollst�andig bekannten Operator ist ein Faktor 3m(m � 1) in der Anzahl der n�otigen Mes-sungen (Satz 3).
37
3.5 Angepasste Zustandsrekonstruktion f�ur die NMR
In der NMR ist man aufgrund der Beschr�ankung in der Wahl des Messoperators daraufangewiesen, unit�are Transformationen auf das betrachtete System wirken zu lassen, umden vollst�andigen Zustand des Systems zu rekonstruieren. Als Messoperatoren stehen ineinem Spin-System (s=1/2) die Pauli-Operatoren �x und �y zur Verf�ugung. Die eigentlichenMessdaten bestehen in der Puls-NMR aber aus Daten des Zeitbereichs, dem sogenanntenFree-Induction-Decay (FID) [26]. Aufgrund dieser speziellen Gegebenheiten stellt sich dieFrage nach einem an die NMR angepassten Zustandsrekonstruktionsverfahren. Dies wird inKapitel 3.5.1 diskutiert.
Im Zusammenhang mit Quantencomputing auf NMR-Systemen gibt es das Problem derErzeugung eines Anfangszustands, der die Eigenschaften eines reinen Zustands besitzt, ausdem Ensemble von Systemen, die sich im thermischen Gleichgewicht be�nden. Eine spezielle,einfach implementierbare und an die NMR angepasste Vorgehensweise f�ur 3-Spin-Systemewird in einem Exkurs in Kapitel 3.5.2 vorgestellt.
3.5.1 Rekonstruktion eines 2-Spin-Systems
La amme et al. benutzen in [41] ein Zustandsrekonstruktionsverfahren zum Nachweis ei-nes Anteils von Greenberger-Horne-Zeilinger-Zust�anden in der Dichtematrix eines 3-Spin-Systems, sagen aber nichts spezi�sches zum verwendeten Rekonstruktionsverfahren.
Chuang et al. [16] stellen hingegen ein Zustandsrekonstruktionsverfahren an einem 2-Spin-System vor. Das System besteht dabei aus Kohlensto�-13-markiertem Chloroform, beidem die aktiven Spins die beiden benachbarten Kohlensto�- und Wassersto�kerne sind. DieProbe wurde in �ussiger Form pr�apariert, alle Experimente wurden bei Zimmertemperaturdurchgef�uhrt. Der Hamilton-Operator f�ur dieses System ist
H = !AIzA + !B IzB + 2!AB IzAIzB + Henv; (3.83)
wobei Henv die Kopplung mit der Umgebung und IzA = 12�zA = 1
2�z 1 der Drehimpuls-
operator in der z-Richtung ist f�ur Spin A (hier: der Protonenspin), entsprechendes gilt f�urIzB. Die Umgebung beinhaltet kleine Wechselwirkungen mit anderen Kernen wie den Chlor-Kernen, die aber keine wesentliche Rolle spielen. Terme h�oherer Ordnung in der Spin-Spin-Wechselwirkung z�ahlen ebenfalls zur Umgebungswechselwirkung. Die Hauptwechselwirkungwird durch die Elektronen der Bindung vermittelt statt �uber Dipol-Dipol-Wechselwirkung.In Fl�ussigkeiten in einem hohen Magnetfeld werden durch die Eigenbewegung der Molek�uleau�erdem alle Wechselwirkungen untereinander ausgemittelt, �ubrig bleibt damit die schwa-che J-Kopplung JIzAIzB.
Die Messdaten, die vom Spektrometer aufgezeichnet werden, bestehen aus dem FID-Signal
V (t) � V0e�t=T1Tr
ne{Ht�e�{HtA
o(3.84)
A = {IxA + IyA + {IxB + IyB: (3.85)
Fouriertransformiert man dieses Signal ergibt sich ein Spektrum mit vier Lorentz-Linien.Integriert man �uber die Fl�achen der vier Resonanz-Peaks sowohl im Real- wie Imagin�arteil,erh�alt man acht reelle Messgr�o�en in jedem Experimentaldurchlauf. Um alle Elemente derDichtematrix zu rekonstruieren, w�ahlen Chuang et al. in [16] zwei verschiedene Strategien.Die einfachere Strategie besteht aus der Anwendung von �=2-Pulsen auf beide Spins in x-
38
bzw. y-Richtung, die schwierigere Strategie beinhaltet phase-cycling, um das Signal-Rausch-Verh�altnis zu erh�ohen, wird aber nicht im einzelnen beschrieben.
F�ur die einfachere Rekonstruktionsmethode wurden die neun Puls-Programme EE, EX,EY , XE, XX, XY , Y E, Y X und Y Y verwendet (E steht f�ur keine Rotation, X/Y f�urRotation um die x=y-Achse um den Winkel �=2; Die erste Position bezieht sich dabei aufSpin A, die zweite Position auf Spin B; Das Programm EY bedeutet damit keine Rotationauf Spin A und eine Rotation von �=2 um die y-Achse auf Spin B). �Uber ein Verfahrenzur Minimierung der Fehlerquadrate wird aus allen gewonnenen Daten die Dichtematrix �rekonstruiert. Die Pulse sind durch die unit�aren Transformationen Rx(�) = exp(�{�x�=2)und Ry(�) = exp({�y�=2) auf die einzelnen Spins beschreibbar.
Analysiert man diese kurze Darstellung in [16] genauer, so stellt sich zun�achst die Frage,wie es m�oglich ist, nur �uber lokale Messkan�ale auch nicht lokale Messkan�ale abzufragen,da selbst die Pulse-Programme, die auf die Spins wirken, ebenfalls lokale Transformationensind. Entscheidend dabei ist ein Verst�andnis daf�ur, welche Operatoren durch ein Experimentmit FID e�ektiv gemessen werden.
Die Wirkung der Dynamik der Systems U(t) = e{Ht w�ahrend des FID (Gleichung 3.84)kann als zeitabh�angiger Messoperator
B(t) = U(t)yAU(t) (3.86)
aufgefasst werden. In der Matrix-Darstellung der Produktbasis (Kapitel 2.5.2) ergibt sichmit
A =
0BB@0 1 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 0
1CCA (3.87)
und
U(t) =
0BB@e�{2(!A+!B�!AB) t 0 0 0
0 e�{2(!A�!B+!AB) t 0 0
0 0 e{2(!A�!B�!AB) t 0
0 0 0 e{2(!A+!B+!AB) t
1CCA (3.88)
der zeitabh�angige Messoperator zu
B(t) =
0BB@0 e{ (!B�!AB) t e{ (!A�!AB) t 00 0 0 e{ (!A+!AB) t
0 0 0 e{ (!B+!AB) t
0 0 0 0
1CCA : (3.89)
F�ur den Spurausdruck im FID (Gleichung 3.84) erh�alt man damit
TrnB(t)�
o= e{ (!A+!AB) t �42 + e{ (!B+!AB) t �43 + e{ (!B�!AB) t �21 + e{ (!A�!AB) t �31: (3.90)
Aus den beobachteten vier Peaks mit den entsprechenden Frequenzen k�onnen damit direktdie acht Parameter der vier komplexwertigen Matrixelemente �42; �43; �21; �31 abgelesen wer-den. Diese werden in der NMR �ublicherweise als Ein-Quanten-Koh�arenzen bezeichnet [27].Im Allgemeinen wird unter einer n-Quantenkoh�arenz ein nicht verschwindendes Matrixele-ment �ij = hij � jji mit n = jFz(jii)�Fz(jji)j bezeichnet. Fz(j i) ist dabei die Addition derz-Komponenten aller k Spins des Systems im Zustand j i: Fz =
Pk Iz(k).
39
Entwickelt man die Matrix
� =
0BB@
0 ��21 ��31 0�21 0 0 ��42�31 0 0 ��430 �42 �43 0
1CCA (3.91)
in SU(2)-Clusteroperatoren, erh�alt man
� =1
2
�(<�42 + <�31)�1(1) + (<�43 + <�21)�1(2)
+(=�42 + =�31)�2(1) + (=�43 + =�21)�2(2)+(<�42 � <�31)K13(1; 2)� (=�42 �=�31)K23(1; 2)
+(<�43 � <�21)K31(1; 2)� (=�43 �=�21)K32(1; 2)�: (3.92)
Die Kenntnis der vier Matrixelemente der Dichtematrix ist damit �aquivalent der Kennt-nis von acht Erwartungswerten der Clusteroperatoren �1(1), �1(2), �2(1), �2(2), K13(1; 2),K23(1; 2), K31(1; 2) und K32(1; 2). E�ektiv bedeutet die Ausmessung der Peaks durch Fourier-Transformation der FID-Zeitbereichsmessung daher die Kenntnis dieser SU(2)-Clusteropera-toren zu Beginn der Messung des FIDs. O�ensichtlich ist nun, dass e�ektiv auch die nicht-lokalen Messoperatoren K13(1; 2), K23(1; 2), K31(1; 2) und K32(1; 2) gemessen werden, stattnur der lokalen Messoperatoren �1(1), �1(2), �2(1) und �2(2).
Da die Dichtematrix eines 2-Spin-Systems 15 reelle Parameter besitzt, von denen direkt,wie gezeigt, nur acht gemessen werden k�onnen, stellt sich die Frage, wieviele der neun Puls-Programme und nachfolgende Messungen (FIDs) notwendig sind, um alle 15 Parameter zuerhalten.
Die schon beschriebenen Pulsprogramme wirken sich wie in Tabelle 3.1 gezeigt auf denDichteoperator in SU(2)-Darstellung aus. Es ist eindeutig zu erkennen, dass bei Anwendungaller Pulsprogramme, alle Basisoperatoren auf e�ektive Messoperatoren abgebildet werden.
W�ahlt man weniger Pulsprogramme aus, so ergibt sich folgendes Verhalten. Ist dieAnzahl der gew�ahlten Pulsprogramme kleiner oder gleich 3, ergibt sich keine vollst�andi-ge Rekonstruktion. Bei 4 Pulsprogrammen f�uhren 81 von 126 m�oglichen Kombinationen zurRekonstruktion. Bei 5 Pulsprogrammen sind 117 von 126 erfolgreich. Ab einer Wahl von6 beliebigen Pulsprogrammen k�onnen alle Parameter der Dichtematrix bestimmt werden.Diese Minimalwerte werden nat�urlich nicht das experimentelle Optimum sein, da durch Red-undanz und variierte Mehrfachmessung Fehler (z. B. in den Winkeln der Pulsprogramme)kompensiert werden k�onnen. Theoretisch m�ussen aber mindestens 4 FID-Experimente mitentsprechend gew�ahltem Pulsprogramm durchgef�uhrt werden, um alle Information, die im2-Spin-Quantensystem steckt, zu extrahieren.
Im Quanten-Multiplex-Bild kann man diese Messstrategie e�ektiv als Abbildung vonnicht-lokalen Messkan�alen (und den lokalen Messkan�alen �3(1); �3(1)) auf die lokalen Mess-kan�ale �1(1); �2(1); �1(2); �2(2) betrachten. Die unit�are Multiplexer-Transformation wir da-bei e�ektiv von der Art der Messung im Zeitbereich, bei der die nat�urliche Kopplung derSpins genutzt wird (nicht-lokaler-Anteil), und von kontrollierten Pulsprogrammen (lokalerAnteil) bestimmt.
40
^ �1(1)^ �2(1)
^ �3(1)
^ �1(2)^ �2(2)
^ �3(2)
^ K11
^ K12
^ K13
^ K21
^ K22
^ K23
^ K31
^ K32
^ K33
EE
^ �1(1)^ �2(1)
^ �1(2)^ �2(2)
^ K13
^ K23
^ K31
^ K32
EX
^ �1(1)^ �2(1)
^ �1(2)
�^ �2(2)
^ K13
^ K23
^ K31
�^ K32
EY
^ �1(1)^ �2(1)
^ �2(2)
^ �1(2)
�^ K13
�^ K23
^ K32
^ K31
XE
^ �1(1)
�^ �2(1)^ �1(2)^ �2(2)
^ K13
^ K31
^ K32
�^ K23
XX
^ �1(1)
�^ �2(1)^ �1(2)
�^ �2(2)
^ K13
^ K31
�^ K32
�^ K23
XY
^ �1(1)
�^ �2(1)
^ �2(2)
^ �1(2)
�^ K13
^ K32
^ K31
^ K23
YE
^ �2(1)
^ �1(1)
^ �1(2)^ �2(2)
�^ K31
�^ K32
^ K23
^ K13
YX
^ �2(1)
^ �1(1)
^ �1(2)
�^ �2(2)�^ K31
^ K32
^ K23
^ K13
YY
^ �2(1)
^ �1(1)
^ �2(2)
^ �1(2)
�^ K32
�^ K31
�^ K23
�^ K13
Tabelle3.1:AuswirkungderPulsprogrammeaufdieSU(2)SU(2)-Basisoperatoren:JedesPulsprogramm(E=keinPuls,X=�=2-
Pulsinx-Achsenrichtung,Y=�=2-Pulsiny-Achsenrichtung,jeweilsalsgeordnetesPaaraufSpinAB)transformiertdie
BasisoperatorenindieinjederZeiledargestelltenOperatoren.Zur� Ubersichtlichkeitsindnurdiee�ektivenMesskan�alebei
NMR-FID-Experimentenangegeben.DieseAnteilederDichtematrixsindprodurchgef �uhrtesExperimentmitentsprechendem
Pulsprogrammsichtbar.DieOperatoren^ KbeziehensichimmeraufdieSpins(1;2).
41
3.5.2 Exkurs: Erzeugung pseudo-reiner Zust�ande in der NMR
Bei der NMR geht man von einem Ensemble von Quantensystemen in einem Magnetfeldaus, das sich im thermischen Gleichgewicht be�ndet. Die Energieniveaus sind nach Boltz-mann besetzt, es bestehen keine Quantenkoh�arenzen (die Nicht-Diagonal-Elemente in derDichtematrix sind unbesetzt).
Der erste Schritt zur Implementation von Quantencomputing ist daher die Herstel-lung eines Zustands, der wie ein reiner Zustand wirkt. Diese Zust�ande werden pseudo-reine Zust�ande genannt [20]. Sie sind durch eine Dichtematrix mit einem einzigen nicht-entarteten Eigenwert gekennzeichnet, wobei alle anderen Eigenwerte identisch entartet sind[54]. Der dazugeh�orige Eigenvektor transformiert sich wie der Zustandsvektor eines reinenSystems. Die Erwartungswerte von spurlosen Messoperatoren sind daher identisch f�ur reineund pseudo-reine Zust�ande.
Bisher wurden verschiedene Methoden vorgestellt, pseudo-reine Zust�ande zu erzeugen,darunter logisches Markieren [32], r�aumliches Mitteln [20] und zeitliches Mitteln [38] (sieheauch Referenzen in [54]).
Das in der Gruppe Mehring1 des 2. Physikalischen Instituts der Universit�at Stuttgartverwendete Verfahren ist das des r�aumlichen Mittelns mit Hilfe von Gradientenpulsen. Bis-her wurde das Verfahren an zwei Spins angewandt. In [21] �ndet man eine Beschreibung desverwendeten Verfahrens. Dort ist auch explizit die Verallgemeinerung auf drei Spins ange-geben. Es basiert auf dem selektiven Ausschalten der Wechselwirkung zwischen bestimmtenSpins durch selektive �-Pulse. Unabh�angig von [21] wurde eine andere L�osung gefunden:F�ur den Fall von drei Spins l�asst sich das gleiche Ziel auch noch ohne selektive �-Pulse zurKopplungskontrolle erreichen. E�ektiv werden damit weniger selektive Pulse ben�otigt, wasjedoch auf Kosten der Anschaulichkeit geht, au�erdem ist die Skalierung f�ur noch gr�o�e-re Systeme nicht m�oglich. Ein anderes skalierendes Verfahren wurde von Knill et al. [39]vorgestellt.
Hier soll die L�osung zur Herstellung pseudo-reiner Zust�ande �uber Gradientenpulse f�urdrei Spins angegeben werden.
Durch die Gradientenpulse werden alle Quantenkoh�arenzen gel�oscht, d. h. durch das un-terschiedliche Magnetfeld, das die Spins an unterschiedlichen r�aumlichen Stellen erfahren,mitteln sich die Koh�arenzen weg [21]. Bei Fl�ussigkeits-NMR werden alle Koh�arenzen au�erden Null-Quanten-Koh�arenzen zerst�ort. Wie in Kapitel 3.5.1 soll das betrachtete Systemein schwach J-gekoppeltes System sein, wobei nur Spin 1 und 2 und Spin 2 und 3 mitgleicher St�arke koppeln sollen. Da nur die Transformation der Diagonalelemente der Dich-tematrix betrachtet werden soll (die Nicht-Diagonalelemente werden gel�oscht), bietet sichdie Beschreibung durch die diagonalen Operatoren �3(1), �3(2), �3(3), K33(1; 2), K33(2; 3),K33(1; 3) und K333(1; 2; 3) an. Der Boltzmann-Zustand
�B = qDiagf3; 1; 1;�1; 1;�1;�1;�3g; q 2 R (3.93)
ist mit diesen Operatoren zu
�B = q(�1;�1;�1; 0; 0; 0; 0) ~D (3.94)
~D =��3(1); �3(2); �3(3); K33(1; 2); K33(2; 3); K33(1; 3); K333(1; 2; 3)
�(3.95)
1Sven Z�uhlsdor�, S. Kr�amer, M. Mehring: Vortrag"Spin Quantum Computing with two 19F Spins\ am
5. Stuttgarter Tag der magnetischen Resonanz, 11.04.2000
42
gegeben. Ziel ist der Zustand
�P = Diagf7p;�p;�p;�p;�p;�p;�p;�pg; p 2 R (3.96)
was sich mit den Diagonaloperatoren als
�P = p(�1;�1;�1; 1; 1; 1;�1) ~D (3.97)
schreiben l�asst. Dies soll durch Anwendung von anf�anglichen Rotationen um die x� undy-Achse
Rx(�) =
�cos �=2 �{ sin �=2�{ sin �=2 cos �=2
�(3.98)
Ry(�) =
�cos �=2 sin �=2� sin �=2 cos �=2
�(3.99)
auf alle Spins (und anschlie�endem Gradientenpuls), gefolgt von Operationen des Typs
Rsx(�)� E � Rs
x=y(�)�Gradz (3.100)
erreicht werden. Dabei bezieht sich die Rotation nur auf jeweils einen Spin s und der Zeit-entwicklungsoperator
E(t) = e�{Jt=4(K33(1;2)+K33(2;3)) (3.101)
wird nur f�ur die feste Zeit t = 2�=(2J) = �=J
E = E(�=J) = e�{�=4(K33(1;2)+K33(2;3)) (3.102)
verwendet (Kopplungskonstante J). Eine reine J-Evolution der beschriebenen Art kanndurch einen nicht-selektiven �-Puls nach der halben Evolutionszeit erreicht werden. Im Ein-zelnen wurden die Transformationen
T1 = R1x(�1)R
2x(�2)R
3x(�3) (3.103)
T2 = R1y(�4)ER
1x(�4) (3.104)
T3 = R2x(�5)ER
2x(�5) (3.105)
T4 = R3y(�6)ER
3x(�6) (3.106)
f�ur die L�osung des Problems verwendet (mit anschlie�endem Gradientenpuls). Transfor-
miert man die Operatoren im Vektor ~D mit der unit�aren Transformation U und dr�uckt dasErgebnis wieder in der Diagonalbasis ~D aus ergibt sich die Matrix M
Mij =1
23TrnDiUDjU
yo; (3.107)
die anschaulich die Mischung zwischen den unterschiedlichen Operatoren zeigt. F�ur diebenutzten Transformationen anstelle von U ergibt sich explizit f�ur M :
T1 :M = (3.108)0BBBBBBBB@
cos �1 0 0 0 0 0 00 cos �2 0 0 0 0 00 0 cos �3 0 0 0 00 0 0 cos �1 cos �2 0 0 00 0 0 0 cos �1 cos �3 0 00 0 0 0 0 cos �2 cos �3 00 0 0 0 0 0 cos �1 cos �2 cos �3
1CCCCCCCCA
43
T2 :M =
0BBBBBBBB@
cos(�4)2 0 0 �sin(�4)2 0 0 0
0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0
�sin(�4)2 0 0 cos(�4)2 0 0 0
0 0 0 0 cos(�4)2 0 �sin(�4)2
0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 �sin(�4)2 0 cos(�4)
2
1CCCCCCCCA
(3.109)
T3 :M =
0BBBBBBBB@
1 0 0 0 0 0 00 cos(�5)
2 0 0 0 0 sin(�5)2
0 0 1 0 0 0 00 0 0 cos(�5)
2 0 sin(�5)2 0
0 0 0 0 1 0 00 0 0 sin(�5)
2 0 cos(�5)2 0
0 sin(�5)2 0 0 0 0 cos(�5)
2
1CCCCCCCCA
(3.110)
T4 :M =
0BBBBBBBB@
1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 cos(�6)
2 0 0 �sin(�6)2 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 cos(�6)
2 0 �sin(�6)20 0 �sin(�6)2 0 0 cos(�6)
2 00 0 0 0 �sin(�6)2 0 cos(�6)
2
1CCCCCCCCA
(3.111)
Leicht einsichtig ist nun, dass die geforderte Operation nur in der Reihenfolge
T1 �Gradz � T2 �Gradz � T3 �Gradz � T4 �Gradz (3.112)
zum Erfolg f�uhren kann. Es gibt mehrere L�osungen, die den pseudo-reinen Zustand
�P = 1=4(�1;�1;�1; 1; 1; 1;�1) ~D (3.113)
aus dem Boltzmann-Zustand
�B = (�1;�1;�1; 0; 0; 0; 0) ~D (3.114)
erzeugen, eine davon ist:
f�1 = 0; �2 = arccos3
4; �3 =
�
2; �4 =
�
3; �5 = arccos
1p3; �6 =
�
4g (3.115)
Das gezeigte Verfahren kommt also mit insgesamt 8 selektiven Pulsen aus. Zwischen denPulsen soll nur die reine J-Kopplung wirken. Im Gegensatz zu 3.4.3, wo durch Kombi-nation von Messwerten der Erwartungswert einer e�ektiven Dichtematrix mit gel�oschtenNicht-Diagonalelementen bestimmt wird, wird hier durch die Gradientenpulse die Nicht-Diagonalelemente tats�achlich gel�oscht. Als Fazit erh�alt man, dass es schwieriger ist, einenbestimmten Zustand zu pr�aparieren, als beliebige Zust�ande zu rekonstruieren: Im Gegensatzzur Rekonstruktion, bei der prinzipiell beliebig viele Messungen (an identisch pr�apariertenSystemen) verwendet werden d�urfen und die Endzust�ande der Systeme nicht interessieren,ist bei der Pr�aparation das Ziel, einen bestimmten Zustand durch eines einziges Experiment(an einem einzigen System) dynamisch zu erzeugen. Deshalb m�ussen nicht-unit�are Prozes-se als solche implementiert werden. Somit bietet die Extraktion von Zustandsinformation(Rekonstruktion) prinzipiell mehr Freiheiten als die Pr�aparation von Zust�anden.
44
3.6 Zustandssch�atzung
3.6.1 Sch�atzung von Spinzust�anden (s=1/2)
In Kapitel 3.3 wurde die Zustandsrekonstruktion auf Erwartungswertebene diskutiert. Zurexakten Zustandsrekonstruktion ist immer ein unendlich gro�es Ensemble von Systemenn�otig. In der Praxis liegen jedoch immer endliche, wenn auch meist sehr gro�e, Ensemblesvor. Optimale Messungen beziehen sich immer auf das ganze endliche Ensemble und lassensich im Rahmen von positiven operator-wertigen Ma�en (POVM) formulieren [22, 42, 1].Optimale Messung hei�t in diesem Zusammenhang, da� die Treue der Sch�atzung maximalist. Alle anderen Messstrategien werden zwangsl�au�g nicht optimal sein. Projektionsmes-sungen sind allerdings viel einfacher durchzuf�uhren als POVM-Strategien, wenn sie sichauf Einzelsysteme beziehen. Im Folgenden sollen selbst-lernende Messstrategien mit Einzel-messungen an Mitgliedern eines endlichen Ensembles von N Spin-1/2 Systemen (Qubits)betrachtet werden. Ein Vergleich mit optimalen Messungen in der Treue der Sch�atzung desQuantenzustands wird die Einsch�atzung der EÆzienz dieser Messstrategien erm�oglichen.
Messstrategien, die einfache Projektionsmessungen auf einzelne Spins beinhalten { imGegensatz zu optimalenMessungen, die sich auf das ganze Ensemble beziehen { , wurden vonFischer, Kienle und Freyberger [29] vorgestellt. Da jede Messung an einem weiteren Spin vonden bisher gemessenen Daten abh�angt, wird sie von den Autoren als
"selbst-lernende Mes-
sung\ bezeichnet. Die in [29] vorgestellten Strategien und numerischen Ergebnisse wurdenunabh�angig nachvollzogen und um eine weitere, vereinfachte und damit eÆzientere Mess-strategie erg�anzt. Die nachfolgenden Ausf�uhrungen folgen daher weitgehend der Darstellungin [29].
Messoperatoren
Die N identischen Zwei-Niveau Systeme sollen sich im unbekannten reinen Zustand j ibe�nden. Die Aufgabe ist es, den Zustand j i mit Projektionsmessungen, die jeweils auf dieeinzelnen Zwei-Niveau Systeme wirken, zu sch�atzen.
In der Bloch-Kugel-Darstellung be�nden sich die reinen Zust�ande auf der Kugelschaleund k�onnen mit den Variablen � 2 [0; �] und � 2 [0; 2�), die einen Punkt (�; �) auf derBloch-Kugelschale bezeichnen, und den orthogonalen Basis-Zust�anden j0i und j1i durch
j�; �i = cos�
2j0i+ sin
�
2e{� j1i (3.116)
eineindeutig parametrisiert werden. Eine allgemeine Verteilung der Zust�ande j�; �i ergibtden allgemeinen Dichteoperator
� =
Z �
0
d � sin �
Z 2�
0
d � w(�; �) j�; �i h�; �j ; (3.117)
wobei die normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung w(�; �) verwendet wurde:Z �
0
d � sin �
Z 2�
0
d � w(�; �) = 1: (3.118)
Als Messungen werden von Neumann-Projektionsmessung in Richtung einer Achse, die mit(�m; �m) bezeichnet werden soll, zugelassen. Der Messoperator ist daher der Projektor
�(�m; �m) = j�m; �mi h�m; �mj (3.119)
45
mit
j�m; �mi = cos�m2j0i+ sin
�m2e{�m j1i : (3.120)
Nach der Projektionsmessung �ndet man das System entweder im Zustand j�; �i oderj� � �m; � + �mi. Das erste Ergebnis soll mit der Zahl 1 und das zweite Ergebnis mit derZahl 0 bezeichnet werden. Die Wahrscheinlichkeiten f�ur beide Messausg�ange ergeben sichaus dem Betragsquadrat des �Uberlapps der Anfangs- und Endzust�ande:
P1(�; �j�m; �m) = jh�m; �mj �; �ij2
= cos2� � �m
2cos2
�� �m2
+ cos2� + �m
2sin2
�� �m2
(3.121)
P0(�; �j�m; �m) = 1� P1(�; �j�m; �m)= sin2
� � �m2
cos2�� �m
2+ sin2
� + �m2
sin2�� �m
2(3.122)
Selbst-lernende Algorithmen (Mess-R�uckkopplungen)
Die selbst-lernende Messstrategie soll den Zustand
j i = cos�
2j0i+ sin
�
2e{� j1i (3.123)
sch�atzen, ausgehend von einem Ensemble aus N identisch pr�aparierten Quantensystemen,die Bloch-Winkel (�;�) sollen also f�ur jedes System die gleichen sein.
Die selbst-lernende Eigenschaft wird durch Anwendung einer Bayes'schen Aktualisie-rungsmethode erreicht, die sukzessiv erlangtes Wissen �uber das Quantenensemble benutzt,um den Messoperator der n�achsten Messung zu w�ahlen. Im Einzelnen l�asst sich die Mess-strategie in f�unf Schritte zerlegen (siehe auch Abbildung 3.4):
1. Am ersten Quantensystem (n = 1) der N Quantensysteme wird eine Messung mitzuf�allig gew�ahlter Richtung (�m; �m) vorgenommen.
Als a priori -Wahrscheinlichkeitsverteilung wird die Gleichverteilung auf der Bloch-Kugelober �ache gew�ahlt:
w0(�; �) =1
4�: (3.124)
Nur diese Verteilung hat im �Ubrigen die Eigenschaft, unter unit�aren Transformationeninvariant zu bleiben [55]. Diese Gleichverteilung wird in einem gr�o�eren Zustandsraumauch in Kapitel 4.1.2 benutzt werden.
2. Nach der Messung ergibt sich als Messergebnis entweder i = 0 oder i = 1. Aufgrunddieser neuen Information kann die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung wn(�; �) desgesch�atzten Dichteoperators
�n =
Z �
0
d � sin �
Z 2�
0
d � wn(�; �) j�; �i h�; �j (3.125)
nach der Bayes'schen Regel [6, 50]
wn(�; �) = Z�1Pi(�; �j�m; �m)wn�1(�; �) (3.126)
46
nte Messung:
Ergebnis:
0 oder 1
�n�1 ! �n
(n + 1)ten Messung
optimierten
Design der
n! n + 1! ! !
Abbildung 3.4: Schritteschema des selbst-lernenden Algorithmus: Das Ergebnis dernten Messung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung derZust�ande, repr�asentiert durch den Dichteoperator �n, zu aktualisieren. Dar-aufhin wird ein neuer Messoperator in Abh�angigkeit von der aktuellen Ver-teilung generiert und das Verfahren wiederholt, solange ungemessene Quan-tensystem vorhanden sind.
mit den Wahrscheinlichkeiten Pi (Gleichung 3.121 bzw. 3.122) und der Normierungs-konstante
Z =
Z �
0
d � sin �
Z 2�
0
d �Pi(�; �j�m�m)wn�1(�; �) (3.127)
aus der alten Wahrscheinlichkeitsverteilung wn�1(�; �) berechnet werden. Jede weitereInformation aus einer Messung schl�agt sich in einer aktualisierten Wahrscheinlichkeits-verteilung wn und dem damit verbundenen Dichteoperator �n nieder.
3. Die momentane Kenntnis �uber den Zustand j i, die aktualisierte Wahrscheinlichkeits-verteilung wn(�; �) wird dazu verwendet, den (n + 1)ten Messoperator P (�m; �m) zubestimmen. Dabei sollte die neue Messung ein Maximimum an Informationszuwachs�uber den Zustand j i erlauben. Die einzelnen Auswahlstrategien werden weiter untendargestellt.
4. Mit dem neuen Messoperator wird ein weiteres Quantensystem gemessen. Solangenoch weitere Systeme �ubrig sind, wird mit Schritt 2 fortgefahren.
5. Nachdem alle Quantensysteme gemessen wurden, ist das gesamte Wissen in der end-g�ultigen Wahrscheinlichkeitsverteilung wN(�; �) gespeichert. Da als a priori -Wissensich die Quantensysteme in einem reinen Zustand be�nden, wird einer der Zust�andej ei = j�e; �ei aus der Verteilung wN(�; �) als gesch�atzter Zustand gew�ahlt.
Als Ma� f�ur die Qualit�at der Zustandssch�atzung wird die Treue (Fidelity) des gesch�atz-ten Zustands gegen�uber dem tats�achlichen Zustand
F = jh ej ij2 = jh�e; �ej �;�ij2 (3.128)
verwendet.
Optimierungs-Strategien
Bei der Wahl des Projektors �(�m; �m) = j�mi h�m; �mj und des endg�ultigen Sch�atzzustandesj ei gibt es mehrere M�oglichkeiten:
47
� Zuf�allige Messoperatorwahl ([29])
Die einfachste Messstrategie ist die nicht-selbst-lernende Messstrategie. Dabei wirdder Messoperator �(�m; �m) so gew�ahlt, dass die Parameter �m und �m zuf�allig �uberder Bloch-Kugelober �ache verteilt sind. Die Verteilung f�ur �m und �m entspricht da-mit derjenigen in Gleichung 3.124. Als Sch�atzzustand j ei wird nach Abschluss derMessungen der wahrscheinlichste Zustand aus wN gew�ahlt
wN(�e; �e) = maxf�;�gwN(�; �): (3.129)
� Maximierung des mittleren Informationszuwachses ([29])
Betrachtet man die Messung vom informationstheoretischen Gesichtspunkt, so kannman fordern, dass die mittlere klassische Information, die man bei jeder Einzelmessungerlangt, maximiert wird. Die mittlere Information ist im Allgemeinen als
S = �Xi
pi ln pi (3.130)
de�niert, mit den Wahrscheinlichkeiten pi f�ur den Messausgang i. Als Grundlage f�urdie Informationsmaximierung kann nur das bisher angesammelte Wissen in Form desDichteoperators �n�1 genutzt werden, da der Zustand j i nicht bekannt ist. Es handeltsich daher um eine gesch�atzte mittlere Informationsmaximierung. Im hier vorkommen-den Spezialfall von zwei Messausg�angen i = 0 und i = 1 ergeben sich die gesch�atztenWahrscheinlichkeiten pi zu
p1(�m; �m) = h�m; �mj �n�1 j�m; �mi =Z �
0
d � sin �
Z 2�
0
d �wn�1(�; �) jh�m; �mj �; �ij2
(3.131)
p0(�m; �m) = 1� p1(�m; �m): (3.132)
Damit erh�alt man f�ur den mittleren gesch�atzten Informationszuwachs in Abh�angigkeitvon den Parametern �m und �m des Messoperators �(�m; �m):
S(�m; �m) = �p1(�m; �m) ln p1(�m; �m)� p0(�m; �m) ln p0(�m; �m): (3.133)
Maximiert man S(�m; �m), so erh�alt man den maximalen mittleren gesch�atzten In-formationzuwachs. Der endg�ultig gesch�atzte Zustand j�e; �ei ergibt sich wie zuvor alswahrscheinlichster reiner Zustand aus wN .
� Vereinfachte, randomisierte Maximierung des mittleren Informationszuwachses (Er-weiterung gegen�uber [29])
Betrachten wir die mittlere Information S(�m; �m) f�ur den vorliegenden Fall von zweiMessausg�angen,
S(�m; �m) = �p1(�m; �m) ln p1(�m; �m)� (1� p1(�m; �m)) ln(1� p1(�m; �m)); (3.134)
so �nden wir, dass S(�m; �m) sein Maximum bei p1 = p0 = 1=2 annimmt (siehe Ab-bildung 3.5). Vom informationstheoretischer Warte aus betrachtet, gewinnt man ammeisten Information, wenn die Mess-Erwartung maximal unscharf ist, beide Mess-ausg�ange sind dann gleich wahrscheinlich.
48
S(p1)
p1
0:1
0:2
0:2
0:3
0:4
0:4
0:5
0:6
0:6
0:7
0:8 1
Abbildung 3.5: Information S(p1) bei zwei Messausg�angen: S(p1) = �p1 ln p1�(1�p1) ln(1�p1) nimmt sein Maximum an der Stelle p1 = 1=2 an und f�allt nur langsamf�ur p1 > 1=2 bzw. p1 < 1=2 ab.
Geht man von dem bekannten Zustand j bi = j�b; �bi und dem zu j bi orthogonalenZustand j 0
bi = j� � �b; � + �bi aus, so ergibt sich f�ur den Projektor � = j mi h mjmit
j mi = 1p2(j bi+ e{�m j 0
bi) (3.135)
die Wahrscheinlichkeitp1 = jh bj mij2 = 1=2 (3.136)
f�ur die Projektion auf den Zustand j bi. Im Blochbild stehen die Blochvektoren zuden Zust�anden j mi senkrecht auf den Blochvektoren zu den Zust�anden j bi und j 0
bi.Die Blochvektoren der Zust�ande j mi liegen damit auf einem Kreis, der senkrecht zuj mi steht und durch �m parametrisiert wird.
Eine vereinfachte Messstrategie ergibt sich, wenn als bester Sch�atzwert f�ur den Quan-tenzustand j i das Maximum j ei aus wn(�; �) gew�ahlt wird und der n�achste Mess-operator durch � = j mi h mj mit
j mi = 1p2(j ei+ e{�m j 0
ei) (3.137)
gegeben ist, wobei j 0ei der zu j ei orthogonale Zustand ist und �m zuf�allig (gleich-
verteilt auf dem Intervall [0; 2�)) gew�ahlt wird. Statt die Information S zu berech-nen und dar�uber zu maximieren ist nur noch eine Maximierung auf wn(�; �) notwen-dig. Da diese Optimierungs-Strategie eindimensional randomisiert ist { im Gegensatzzur nicht-selbst-lernenden Messung, in der zwei Parameter zuf�allig gew�ahlt wurden{ aber auf der Maximierung des mittleren Informationszuwachses basiert, steht dieseOptimierungs-Strategie in der Vorgehensweise zwischen beiden Extremen.
� Maximierung der Treue ([29])
Das Kriterium f�ur die Qualit�at der Zustandssch�atzung ist die Treue F aus Gleichung 3.128,letztendlich soll diese Gr�o�e maximiert werden. Eine Strategie zur direkten Maximierungder mittleren Treue nach jeder Messung ist daher sinnvoll.
49
Vor der nten Messung besitzen wir als Kenntnis �uber den Zustand j i den Dichteoperator�n�1. Mit ihm k�onnen wir nach der nten Messung, die das Ergebnis i = 0 oder i = 1 liefernwird, den gesch�atzten Dichteoperator (vgl. Gleichung 3.125)
�(i)n =
Z �
0
d � sin �
Z 2�
0
d � w(i)n (�; �) j�; �i h�; �j (3.138)
bestimmen. Die dann aktuelle Wahrscheinlichkeitsverteilung w(i)n (�; �) kann durch die vor-
herige Verteilung wn�1(�; �) ausgedr�uckt werden (vgl. Gleichung 3.126 und Gleichung 3.127)
w(i)n (�; �) = Z�1Pi(�; �j�m; �m)wn�1(�; �): (3.139)
w(i)n h�angt nat�urlich explizit von den noch zu w�ahlenden Parametern �m und �m ab. Die
erwartete mittlere Treue �Fn nach der n�achsten Messung ist damit
�Fn =1X
i=0
pi(�m; �m)�(i)n ; �
(i)n
�� �(i)n ���(i)n ; �(i)n � ; (3.140)
wobei pi(�m; �m) die gesch�atzten Wahrscheinlichkeiten darstellen, das Messergebnis i zu�nden (siehe Gleichung 3.131 und Gleichung 3.132), falls der Messoperator �(�m; �m) ange-
wandt wurde. Die Zust�ande j�(i)n ; �(i)n i sind die reinen Zust�ande, die nach der nten Messunggesch�atzt w�urden, falls das Messergebnis i gefunden werden w�urde. Da es kein Kriteriumgibt, wie der zu sch�atztende Zustand zu w�ahlen ist, k�onnen die Parameter (�
(i)n ; �
(i)n ) und
(�m; �m) unabh�angig voneinander variiert werden. Die erwartete mittlere Treue
�Fn = �Fn(�m; �m; �(0)n ; �(0)n ; �(1)n ; �(1)n ) (3.141)
ist daher eine Funktion von sechs unabh�angigen Ver�anderlichen. Der Messoperator �(�m; �m)soll nun so gew�ahlt werden, da� �Fn maximiert wird.
�F optn (�optm ; �optm ; �(0);optn ; �(0);optn ; �(1);opt)n ; �(1);opt)n ) = max �Fn(�m; �m; �
(0)n ; �(0)n ; �(1)n ; �(1)n ) (3.142)
Nachdem die optimale erwartete Treue �F optn gefunden wurde, kann die Messung mit dem
Messoperator �(�optm ; �optm ) durchgef�uhrt werden. Erst am Schluss, nach der Nten Messung
mit demMessausgang i = 0 bzw. i = 1, muss der gesch�atzte Zustand����(i);optN ; �
(i);optN
Egew�ahlt
werden.
Ergebnisse aus numerischer Simulation
Hier sollen Simulationen der beschriebenen Messstrategien vorgestellt werden. Ziel der Si-mulationen soll es sein, die mittlere Treue der Zustandssch�atzung in Abh�angigkeit von derGr�o�e N des Ensembles zu ermitteln. Ein simuliertes Experiment besteht aus einer Reihevon Einzelmessungen an N Systemen, die sich alle im gleichen Zustand j i be�nden. Nachjeder Messung wird der Zustand durch j�e; �ei gesch�atzt und �uber Gleichung 3.128 die Treueberechnet. Um die mittlere Treue
hfi = jh ej ij2� (3.143)
zu �nden, muss �uber mehrere simulierte Experimente gemittelt werden. Der zu sch�atzendeZustand wurde f�ur jedes Experiment nach der Gleichverteilung auf der Bloch-Kugelober �ache
50
(Gleichung 3.124) gew�ahlt, es wurde �uber 104 Experimente gemittelt. F�ur Vergleiche ist dieGr�o�e des mittleren Fehlers
f = 1� hF i (3.144)
praktischer im Gebrauch. Als Vergleichsgr�o�e kann der mittlere Fehler der optimalen Mess-strategie [22, 42, 1]
fopt = 1� hFopti = 1� N + 1
N + 2=
1
N + 2(3.145)
gew�ahlt werden. In Abbildung 3.6 ist die Gr�o�e des relativen Unterschieds zwischen demmittleren Fehler f der selbst-lernenden und der optimalen Strategien
:=f � foptfopt
=f
fopt� 1 (3.146)
�uber N f�ur alle Optimierungsstrategien aufgetragen.
N
0:1
0:2
0:3
10 20 30 40 50 60
Abbildung 3.6: Auftragung der numerisch ermittelten Gr�o�e = (f � fopt)=fopt �uber derAnzahl der gemessenen Systeme N . Die gr�o�ten Fehler erh�alt man f�urdie zuf�allige Wahl des Messoperators (Rhomben). Die Treue-Maximierungs-Strategie (Dreiecke) ergibt das beste Ergebnis. Dazwischen liegen die Stra-tegie der Informationszuwachsmaximierung (Sterne) und als Erweiterunggegen�uber [29] die vereinfachte, randomisierte Maximierung des Informati-onszuwachses. Die vereinfachte Strategie ist in der Leistungsf�ahigkeit mitder urspr�unglichen zu vergleichen.
Das Verhalten der Gr�o�e konnte durch eigene numerische Simulationen unabh�angigbest�atigt werden. W�ahrend bei der zuf�allige Wahl des Messoperators der Fehler gegen�uberder optimalen Messung bis zu 39% gr�o�er ist, wird durch die Optimierungs-Strategien die-ser Wert auf 21% bei den Informationszuwachsmaximierungs-Strategien bzw. 13% bei derTreue-Maximierungs-Strategie gedr�uckt. Fischer et al. [29] �nden etwas geringere Werte f�urdie Fehler-Maxima, jedoch �nden sich in der dortigen Auftragung nur Punkte im Abstand�N = 10. Der qualitative Verlauf der Punktkurven ist allerdings der gleiche. In [29] sind kei-ne n�aheren Angaben �uber das verwendete numerische Verfahren zur Maximierung zu �nden.
51
hF ihFopti
N10 20 30 40 50 60
0:95
0:96
0:97
0:98
0:99
1
Abbildung 3.7: Verh�altnis der Treue hF i der betrachteten Einzelmessungsstrategien zurTreue hFopti der optimalen Messung veranschaulicht durch die Auftragungder Division der beiden Terme �uber der Gr�o�e des Ensembles N . Die Ko-dierung entspricht der in Abbildung 3.6.
Auf Nachfrage jedoch wurde mir mitgeteilt2, dass ein Gradientenverfahren auf einem Rasterin der Gr�o�enordnung von 100 mal 100 bis 200 mal 200 Punkten (entsprechend der Anzahlder Punkte der Wahrscheinlichkeitsverteilung wn(�; �), die st�andig im Speicher gehaltenwird) zur Maximierung verwendet wurde. Analytische Verfahren sind im Gegensatz dazuzu zeitaufwendig. Da jedoch globale Maximierungsprobleme im allgemeinen sehr schwierigeProbleme sind [51] (mit Gradientenmethoden �ndet man streng genommen nur lokale Ma-xima) wurde hier die Maximierung �uber die Berechnung aller diskreten M�oglichkeiten aufeinem Raster durchgef�uhrt. Die auftretenden Integrale (e�ektive Summen) wurden dabeiauf Faltungen zur�uckgef�uhrt und mit Hilfe des Faltungstheorems eÆzient im Fourierraumberechnet. Da dieses Verfahren trotzdem rechenintensiv ist (wenige Stunden bis im Fall derTreue-Maximierung ca. eine Woche Rechenzeit auf einem Alpha-Server), wurde eine Ras-tergr�o�e von 16 mal 32 bei der Treue-Maximierung und von 64 mal 128 Punkten bei denanderen Strategien f�ur alle auftretenden Verteilungen gew�ahlt. Mit dieser Methode �ndetman immer das globale Maximum, allerdings ist die Maximalstelle gegen�uber [29] durch diegeringere Rastergr�o�e nicht so genau bekannt. Dies wirkt sich allerdings erst im Bereich vongro�en Werten f�ur N aus, wo die Treue nahe bei 1 liegt. Es sind daher etwas gr�o�ere Wertef�ur zu erwarten. Insgesamt konnte unabh�angig durch ein anderes numerisches Verfahrender wesentliche Verlauf von �uber N reproduziert werden.
Die vereinfachte, randomisierte Strategie Informationszuwachsmaximierung verh�alt sichdabei nicht viel anders als die urspr�ungliche Strategie zur Informationszuwachsmaximierung,obwohl der Messoperator einen zuf�alligen Parameter enth�alt. Dies ist ein erstaunliches Er-gebnis. Im Bereich von gro�en N ist die vereinfachte Strategie sogar besser.
Die Treue-Maximierung stellt sich als beste Strategie heraus, was nicht verwunderlichist, da die Treue ja die zu maximierende Zielfunktion darstellt. Sie stellt daher eine unte-re Fehlerschranke f�ur alle anderen Messstrategien dar. Verbessert werden kann die Treue-
2Nach Holger Mack aus der gleichen Arbeitsgruppe auf der DPG-F�uhjahrstagung 2000 in Bonn
52
Maximierungs-Strategie nur noch durch Optimierung bez�uglich weiterer noch kommenderMessungen statt der Optimierung bez�uglich der n�achsten Messung. Abschlie�end soll dasVerh�altnis der mittleren Treue f�ur selbst-lernende Algorithmen zur Treue der optimalenMessungen aufgetragen werden (Abbildung 3.7). Es zeigt sich sehr deutlich, dass Einzelmes-sungen nur marginal hinter den optimalen Messungen zur�uckliegen. Optimale Messungenbesitzen nur f�ur kleine N einen wesentlichen Vorteil.
Mit der hier vorgestellten vereinfachte Optimierungsstrategie steht au�erdem eine Stra-tegie zur Verf�ugung, die besser ist als die rein zuf�alligeWahl des Messoperators und trotzdemvom Experimentator neben der Vorhaltung der Wahrscheinlichkeitsverteilung wn(�; �) alsmomentanes Wissen �uber den Zustand j i nur noch die Suche nach dem globalen Maximumdieser Verteilung verlangt. Weitere Berechnungen sind nicht anzustellen. Damit ist diesesvereinfachte Verfahren als besonders eÆzient einzustufen.
53
54
4 Zustandscharakterisierung
4.1 [Nicht-lokal ! lokal]-Quantenmultiplexer
A1
A2nicht-lokal
QMUX
An
...
B1
Bm
B2
m � n
lokal...Ui
Abbildung 4.1: [Nicht-lokal ! lokal]-Quantenmultiplexer: Wieviel Information, die ur-spr�unglich nicht-lokal vorliegt (Erwartungswerte der Messkan�ale Aj) kann
durch eine einzige Transformation Ui auf lokale Kan�ale Bk abgebildet wer-den? Die m�ogliche Anzahl der nicht-lokalen Kan�ale �ubersteigt die Anzahlder lokalen Kan�ale (siehe Text). Es liegt damit eine Multiplex-Funktion vor:Man muss eine Auswahl der zu transformierenden Kan�ale (Anzahl m) ausden n vorhandenen Kan�alen tre�en.
Auf der Ebene von Erwartungswerten als Messgr�o�en ist die Extraktion von Daten �ubernicht lokale Zust�ande nur �uber nicht-lokal wirkende Observable Aj m�oglich. Stehen aller-
dings nur die lokalen Messkan�ale Bk zur Verf�ugung, ist der einzige Ausweg, passende unit�areTransformationen Ui des Systems zu �nden, die die nicht-lokalen Observablen Aj auf lokale
Observablen Bk abbilden. Da die Anzahl der lokalen Parameter eines jeden Zustands einesQuantennetzwerks immer kleiner als die Anzahl der nicht-lokalen Parameter ist, kann eseine Transformation aller nicht-lokalen Parameter auf lokale Parameter in einem Schrittnicht geben. In einem Spin-1
2-Netzwerk mit N Spins skaliert die Anzahl der lokalen SU(2)-
Clusteroperatoren mit 3N gegen�uber der Anzahl der nicht-lokalen SU(2)-Clusteroperatorenmit 22N � 3N � 1. Es sind daher mehrere Transformationen Ui n�otig. Jede dieser Transfor-mationen wird nur einen beschr�ankten Satz von Parametern lokal verf�ugbar machen, alsoe�ektiv nur einen Unterraum der Messung zug�anglich machen.
Hier sollen insbesondere maximal verschr�ankte Zust�ande in SU(2)-Quantennetzwerkenbetrachtet werden. Die bekannteste und einfachste Klasse stellen in SU(2) SU(2) diesogenannten Bellzust�ande j��i ; j�i dar.
����� = 1p2(j00i � j11i) (4.1)���� = 1p
2(j01i � j10i) (4.2)
55
Die Bellzust�ande bilden eine vollst�andige orthogonale Basis des SU(2)�SU(2). Ihre Abbil-dung auf eine Produktbasis kann auf mehrere Weisen erfolgen. Da jedem Bellzustand jederProduktzustand zugeordenet werden kann, gibt es insgesamt 4! = 24 M�oglichkeiten. EineM�oglichkeit davon ist:
Basis 1U�! Basis 2
1p2(j00i+ j11i) ! j00i
1p2(j00i � j11i) ! j01i
1p2(j10i+ j01i) ! j10i
1p2(j10i � j01i) ! j11i (4.3)
Die maximal-verschr�ankten Bellzust�ande in Basis 1 werden durch die Transformation Uin separierbare Produktzust�ande in Basis 2 �uberf�uhrt.
4.1.1 Charakterisierung von Zustandsunterr�aumen
Liegt als a� priori-Information die Existenz einer der Bell-Zust�ande vor, so ist durch exaktzwei Messungen entscheidbar, welcher Zustand vorliegt. Da die Messungen scharf sind, reichttheoretisch ein einziges Quantensystem zur Messung aus.
In der Basis 1 sind die Erwartungswerte der Operatoren K11(1; 2) und K33(1; 2) zumessen (im folgenden als geordnete Listen
"Messoperator: (Zust�ande):(Erwartungswerte
des Messoperators)\ angegeben): Der Operator
K11(1; 2) : (���+
�;����� ; ��+
�;����) : (1;�1; 1;�1) (4.4)
unterscheidet zwischen dem Vorzeichen + und -, der Operator
K33(1; 2) : (���+
�;����� ; ��+
�;����) : (1; 1;�1;�1) (4.5)
unterscheidet zwischen j��i und j�i. Im Beispiel Gleichung 4.3 wird die unit�are Transfor-mation
U =1p2
0BB@1 0 0 11 0 0 �10 1 1 00 1 �1 0
1CCA (4.6)
angewandt. In Basis 2 ergeben sich damit die transformierten Messoperatoren
UK11(1; 2)Uy = �3(2) (4.7)
UK33(1; 2)Uy = �3(1): (4.8)
Die Bell-Zust�ande aus Basis 1 werden in Basis 2 durch lokale Messkan�ale charakterisiert.Der Spielraum m�oglicher Transformationen wird eingeschr�ankt, wenn gefordert wird,
dass durch dieselbe Transformation ein in Basis 2 maximal-verschr�ankter Bellzustand inBasis 1 ein separierbarer Produktzustand ist. Diese Bedingung ist in Gleichung 4.3 nichterf�ullt. Transformationen der geforderten Art wirken in beiden Richtungen wie ein Quan-tenmultiplexer.
Die wechselseitig bez�uglich der Verschr�ankungseigenschaften transformierten Unterr�aumewerden im Folgenden als antipodisch verschr�ankte Unterr�aume (AV-Unterr�aume) bezeich-net. Die zwischen den AV-Unterr�aumen wirkende Transformation soll AV-Transformationgenannt werden.
56
4.1.2 AV-Unterr�aume
Nachdem im letzten Abschnitt (Kapitel 4.1.1) gezeigt wurde, wie Unterr�aume in einer Basisdurch nicht-lokale Messoperatoren und in einer transformierten Basis durch lokale Mess-operatoren charakterisiert werden k�onnen, sollen hier diese Unterr�aume und die zwischenihnen vermittelnden Quantenmultiplexer-Transformationen n�aher untersucht werden. Dabeiwollen wir uns haupts�achlich auf AV-Unterr�aume beschr�anken. Es ergibt sich daher folgen-de Aufgabenstellung: Gesucht werden Quantenmultiplexer-Transformationen, die in zwein�aher bezeichneten Unterr�aumen maximal verschr�ankte Zust�ande des einen Unterraums inseparable Zust�ande des anderen Unterraums und umgekehrt transformieren.
Basis 1Ui�! Basis 2
maximal verschr�ankt ! ProduktzustandProduktzustand ! maximal verschr�ankt
Dabei sollen zun�achst diskrete AV-Unterr�aume behandelt werden, daraufhin werden konti-nuierlich parametrisierte AV-Unterr�aume und das Transformationsverhalten allgemeinerer2-Spin-Zust�ande betrachtet.
Diskrete AV-Unterr�aume
Eine Gleichung 4.3 entsprechende Transformation mit der AV-Eigenschaft, stellt diese Zu-ordnung dar:
Basis 1U�! Basis 2
1p2(j00i+ j11i) ! j01i
1p2(j00i � j11i) ! j10i
1p2(j10i+ j01i) ! j11i
1p2(j10i � j01i) ! j00i
j00i ! 1p2(j01i+ j10i)
j11i ! 1p2(j01i � j10i)
j10i ! 1p2(j11i+ j00i)
j01i ! 1p2(j11i � j00i)
Die unit�are Transformation, die dies bewirkt, besitzt die Gestalt
U =1p2
0BB@0 �1 1 01 0 0 11 0 0 �10 1 1 0
1CCA : (4.9)
Die Anzahl der m�oglichen Transformationen ergibt sich aus der Konstruktion dieser: JedemKatzen-Zustands-Paar (verallgemeinerte Bell-Zust�ande) wird ein Paar von Produktbasis-Zust�anden zugeordnet der Art, dass
1p2(jai+ j�ai) ! jbi (4.10)
1p2(jai � j�ai) ! ���b� (4.11)
57
wobei �a die Bitinversion der Dualzahl a darstellen soll. Pro Paar ergibt sich also nur ei-ne Wahlm�oglichkeit aus der Menge der verbliebenen Produktbasis-Zust�anden. F�ur ein N -Teilchen-System bedeutet dies, dass
ZAV =2(N�1)�1Y
i=0
(2N � 2i) (4.12)
AV-Transformationen existieren. Es gibt im SU(2) SU(2) insgesamt 8 solcher Transfor-mationen.
Mehrmaliges Ausf�uhren dieser Transformation wechselt zwar immer wieder die Sicht-barkeit eines festen Zustands durch einmal lokale das andere Mal nicht-lokale Messkan�ale,kehrt jedoch nach zweimaliger Ausf�uhrung nicht mehr zum Ursprungszustand zur�uck. Dazumuss die unit�are Transformation auch noch hermitesch sein:
U U = U U y = U U�1 = 1: (4.13)
Im SU(2) SU(2) sieht die entsprechende Transformation wie folgt aus:
U =1p2
0BB@1 0 0 10 1 1 00 1 �1 01 0 0 �1
1CCA (4.14)
Es gibt jetzt keine Wahlm�oglichkeiten mehr,
1p2(jai+ j�ai) ! jai (4.15)
1p2(jai � j�ai) ! j�ai : (4.16)
Verallgemeinert man dieses Konzept der hermiteschen und unit�aren AV-Transformationenauf Systeme mit N > 2 l�asst sich die Transformation schreiben als
U =1p2
��3(1) + K1���1(1; : : : ; N)
�: (4.17)
Die beiden ineinander transformierten Unterr�aume auf der einen Seite die verallgemeinertenKatzen-Zust�ande und auf der anderen Seite alle Produktbasis-Zust�ande. Da dieser Typ vonTransformationen f�ur jedes N eindeutig bestimmt ist, soll sie kanonische AV-Transformationgenannt werden.
Im allgemeinen (nicht kanonischen Fall) l�asst sich sagen: Da die Unterr�aume, in dieTransformation, die die Eigenschaft der antipodischen Verschr�ankung aufweist, aus endlichvielen orthogonalen Zust�anden besteht, ist die Existenz solch einer Transformation rechttrivial.
Nicht so trivial ist hingegen die Frage nach kontinuierlich parametrisierten antipodischverschr�ankter Unterr�aume.
Kontinuierlich parametrisierte AV-Unterr�aume
In diesem Abschnitt wollen wir uns auf Zust�ande im SU(2) SU(2) beschr�anken undderen Sichtbarkeit nach einer Quantenmultiplexer-Transformation auf lokalen Messkan�alenbetrachten.
58
Von einem der Bell-Zust�ande ausgehend k�onnen durch die Anwendung von beliebigenlokalen unit�aren Transformationen alle maximal verschr�ankten Zust�ande gewonnen werden.Ein Verschr�ankungsma� ist ja gerade als diejenige Gr�o�e de�niert, die unter lokalen unit�arenTransformationen invariant bleibt (Kapitel 2.5.3).
Ebenso sind durch lokale unit�are Transformationen aus einem der Produkt-Zust�andealle anderen separablen reinen Zust�ande erzeugbar. Daher bieten sich zur Parametrisierungsowohl der maximal verschr�ankten als auch separablen Zust�ande die Parameter der lokalenunit�aren Transformationen an:
Jede unit�are 2 � 2-Matrix Ul kann bis auf einen Phasenfaktor durch drei Gr�o�en para-metrisiert werden [5]:
Ul(�; �; �) =
�e{�=2 00 e�{�=2
��cos �=2 sin �=2� sin �=2 cos �=2
��e{�=2 00 e�{�=2
�: (4.18)
Die einzelnen Matrizen stellen Rotationen um die z- bzw. y-Achse um den Winkel � bzw. �dar,
Rz(�) =
�e{�=2 00 e�{�=2
�(4.19)
Ry(�) =
�cos �=2 sin �=2� sin �=2 cos �=2
�(4.20)
In einem System mit aus N Subsystemen ergibt sich die Darstellung aller lokalen unit�arenTransformationen (LUT) zu
ULUT(N) = Ul(�1; �1; �1) Ul(�2; �2; �2) � � � Ul(�N ; �N ; �N) (4.21)
Der bisher nicht beachtete Phasenfaktor l�asst sich zu einer einzigen globalen Phase zusam-menfassen, die keine physikalische Bedeutung hat und damit unerheblich ist.
Wendet man die Transformation ULUT(2) auf den Zustand j00i an, ergibt sich eineParametrisierung mit 4 Parametern �1; �1; �2; �2. Die anf�angliche Rotation um die z-Achseerzeugt nur einen globalen Phasenfaktor e{(�1+�2):
ULUT(2) j00i = e{=2(�1+�2+�1+�2) cos(�1=2) cos(�2=2) j00i�e{=2(�1��2+�1+�2) cos(�1=2) sin(�2=2) j01i�e{=2(��1+�2+�1+�2) sin(�1=2) cos(�2=2) j10i+e{=2(��1��2+�1+�2) sin(�1=2) sin(�2=2) j11i (4.22)
= e{(�1+�2)(e{=2(�1+�2) cos(�1=2) cos(�2=2) j00i�e{=2(�1��2) cos(�1=2) sin(�2=2) j01i�e{=2(��1+�2) sin(�1=2) cos(�2=2) j10i+e{=2(��1��2) sin(�1=2) sin(�2=2) j11i) (4.23)
Alle separablen reinen Zust�ande lassen sich damit durch 2N -Drehwinkeln parametrisieren.Dies sind pro Spin im Blochbild die 2 Winkel, die zur Bestimmung eines Punktes auf derBlochsph�are n�otig sind.
Ganz anders verhalten sich die maximal verschr�ankten Zust�ande. Sie bestehen immeraus einer Superposition von Zust�anden, so dass ein weiterer Parameter als Phase zwischendiesen Superpositionen hinzukommt.
Wendet man die Transformation ULUT(2) auf den Bell-Zustand �+ = 1p2(j00i+ j11i)
an, ergibt sich eine Parametrisierung mit 5 Parametern �1; �1; �2; �2; = �1 + �2.
59
ULUT(2)�+ =
1p2
�e{=2(�1+�2��1��2) �sin(�1=2) sin(�2=2) + e{(�1+�2) cos(�1=2) cos(�2=2)
� j00i�e{=2(�1��2��1��2) �sin(�1=2) cos(�2=2)� e{(�1+�2) cos(�1=2) sin(�2=2)
� j01i�e{=2(��1+�2��1��2) �cos(�1=2) sin(�2=2)� e{(�1+�2) sin(�1=2) cos(�2=2)
� j10i+e{=2(��1��2��1��2) �cos(�1=2) cos(�2=2) + e{(�1+�2) sin(�1=2) sin(�2=2)
� j11i�=
1p2e�{
�e{=2(�1+�2) (sin(�1=2) sin(�2=2) + e{ cos(�1=2) cos(�2=2)) j00i
�e{=2(�1��2) (sin(�1=2) cos(�2=2)� e{ cos(�1=2) sin(�2=2)) j01i�e{=2(��1+�2) (cos(�1=2) sin(�2=2)� e{ sin(�1=2) cos(�2=2)) j10i+e{=2(��1��2) (cos(�1=2) cos(�2=2) + e{ sin(�1=2) sin(�2=2)) j11i
�(4.24)
Im Folgenden soll gekl�art werden, inwiefern diese speziell gew�ahlten reellen Parame-ter ; �1; �2; �1 und �2, die innerhalb der Klasse der maximal verschr�ankten Zust�ande denZustand charakterisieren, durch Quantenmultiplexer-Transformationen auf lokalen Mess-kan�alen sichtbar werden k�onnen.
Ein Zustand
j i = 1p2(e{ =2 j00i+ e{ =2 j11i ; (4.25)
wie er f�ur �1 = �2 = �1 = �2 = 0 entsteht, kann nicht mehr durch eine Transformation,die einen Bell-Basis-Zustand in einen Produkt-Basis-Zustand wandelt, f�ur alle Werte von in einen separablen Zustand gebracht werden. Die kanonische AV-Transformation ausGleichung 4.14 w�urde den Zustand
j 0i = 1p2(cos =2 j00i+ { sin =2 j11i (4.26)
erzeugen.
Als Ma� f�ur Verschr�ankung, d. h. als Kriterium f�ur maximale Verschr�ankung oder sepa-rable Zust�ande, f�ur das System � l�asst sich nach Ausspuren eines Teilsystems, die Spur desquadrierten verbliebenen Systems verwenden (vgl. Kapitel 2.5.3):
�1 = Tr2 f�g (4.27)
Die Spur Tr f�21g ist im Fall eines 2-Niveau-Systems f�ur reine Zust�ande 1 und f�ur maximalgemischte Zust�ande 1
21 gleich 1=2. F�ur j 0i ist
Tr��21=
1
4(3 + cos 2 ) (4.28)
und schwankt damit zwischen rein ( = 0) und maximal verschr�ankt ( = �=2). Da derParameter in diesem Beispiel einem Paar von Zust�anden aufgepr�agt ist, die superponierteinen Bell-Zustand bilden, muss dieses Paar vielmehr auf ein Paar abbgebildet werden, dassuperponiert immer noch einen Produktzustand bildet.
Charakterisiert werden die Paare von Zust�anden, aus dessen Superpositionen die Bell-Zust�ande bestehen, durch Zustandskennungen, die Dualzahlen in der Hamming-Distanz
60
2 darstellen. Die Hamming-Distanz dH f�ur zwei Zahlen ergibt sich aus dem Betrag derDi�erenz der Anzahl der gesetzten Bits beider Zahlen. F�ur zwei 2-Niveau-Systeme (N=2):
j 1i = jb1b2i b1; b2 2 0; 1 (4.29)
j 2i = jc1c2i c1; c2 2 0; 1 (4.30)
dH =
�����NXi
bi �NXi
ci
����� = jb1 + b2 � c1 � c2j (4.31)
Dualzahlpaare mit der Hamming-Distanz 1 sind die Kennung der gesuchten separierba-ren Zust�ande.
Die Anzahl aller m�oglichen Transformationen ergibt sich wie folgt: F�ur die Zuordnungdes Paares j00i = j11i zu einem Paar aus der Menge fj00i ; j01i ; j10i ; j11ig gibt es 4 � 2 =8 M�oglichkeiten, da zun�achst freie Wahl unter den Zust�anden herrscht (4 M�oglichkeiten)und jeder Zustand genau 2 Partnerzust�ande in der Hamming-Distanz dH = 1 besitzt. Ausder Existenz des Gray-Codes [00; 01; 11; 10], der aus einer Codierung besteht, bei dem derVorg�anger und Nachfolger eines Element aus einem Element in der Hamming-Distanz 1besteht, folgt, dass f�ur das zweite Paar j01i = j10i immer ein Zustandspaar in Hamming-Distanz 1 �ubrigbleibt, das in 2 M�oglichkeiten (Permutation) dem Paar j01i = j10i zugeordentwerden kann. Insgesamt kommt man damit auf 16 M�oglichkeiten f�ur den geforderten Typvon Transformationen: (dH = 2)-Paare ! (dH = 1)-Paare. Durch alle Kombinationen vonlokalen Bitinversionen UNOT =
�0110
�, n�amlich 1 UNOT; UNOT 1 und UNOT UNOT
bleiben allerdings nur ein Viertel aller M�oglichkeiten �ubrig. Diese 4 M�oglichkeiten stellendie Anzahl der rein nicht-lokal operierenden Transformationen dar. Ohne Beschr�ankung derAllgemeinheit k�onnen daher die Transformationen so gew�ahlt werden, dass der Zustand j00iauf sich selbst abgebildet wird:
U1 =
0BB@1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 0
1CCA (4.32)
U2 =
0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0
1CCA (4.33)
U 01 =
0BB@1 0 0 00 0 1 00 0 0 10 1 0 0
1CCA (4.34)
U 02 =
0BB@1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
1CCA (4.35)
Diese schon geringe Anzahl wird dadurch weiter auf die H�alfte reduziert, dass die Ver-tauschung der Teilchen durch eine Transformation keinen weiteren Freiheitsgrad darstellt,der zur L�osung unseres Problems beitr�agt. Die Parameterindizes der folgenden Aussagenm�ussen einfach vertauscht werden, um alle m�oglichen Transformationen zu erhalten. Wieschon durch die Indizierung bei U 0
1 und U02 angedeutet, stellen diese Transformationen die
61
gleichen Transformationen wie U1 bzw. U2 bei Teilchenvertauschung dar. Bei der Transfor-mation U2 handelt es sich um das sogenannte controlled not-Gatter (CNOT-Gatter).
Untersucht man die Verschr�ankungseigenschaften eines mit reellen Variablen vollst�andigparametrisierten, reinen Zustand eines SU(2) SU(2)-Systemsj vi = �1 j00i+ �2e
{�2 j01i+ �3e{�3 j10i+ �4e
{�4 j11i ; �21 + �22 + �23 + �24 = 1 (4.36)
so ergibt sich mit �v = (j vi h vj) und �v1 = Tr2 f�vgTr��2v1= �41+�
42+2�21(�
22+�
23)+2�22�
24+(�23+�
24)
2+4�1�2�3�4 cos (�2 + �3 � �4) (4.37)
Bis auf den letzten Term 4�1�2�3�4 cos (�2 + �3 � �4) sind alle Beitr�age positiv. Je kleinerTr f�2v1g wird desto mehr Verschr�ankung liegt vor (vgl. Kapitel 2.5.3). Das Vorzeichen desletzten Terms wird daher bei vielen Zust�ande �uber das Ma� an Verschr�ankung entscheidenund im Fall von Verschr�ankung negativ sein. Durch eine Phasentransformation des Typs
U5 =
0BB@�1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA (4.38)
l�asst sich selektiv das Vorzeichen dieses Terms umkehren.Der Satz von Kandidaten f�ur Transformationen, die kontinuierlich parametrisierte Un-
terr�aume von maximal verschr�ankten Zust�anden gleichzeitig in separierbare umwandeln,ergibt sich damit zu:
fU1; U2; U3 = U5U1; U4 = U5U2; U5g: (4.39)
Wir wollen uns jetzt dem Verhalten dieser Transformationen bei ihrer Wirkung auf dieZust�ande ULUT(2)�
+ aus Gleichung 4.24 zuwenden.
� Transformation U1:
j (1)i = U1ULUT(2)�+; �1(1) = Tr2 fj (1)i h (1)jg (4.40)
Tr��1(1)
2=
1
128
�� 4 cos(2�2)� 6 cos(2 (� + �2))� 6 cos(2 ( + �2))� 2 cos(2 ( � �1))
�6 cos(2 (�2 � �1)) + 3 cos(2 (� + �2 � �1)) + 3 cos(2 ( + �2 � �1))�2 cos(2 ( + �1))� 6 cos(2 (�2 + �1)) + 3 cos(2 (� + �2 + �1)) +
3 cos(2 ( + �2 + �1)) + 4 cos(2 �1)�1 + 6 cos(�2)
2 cos(2 �2)�+ cos(2 )�
4� 16 cos(�2)2 cos(2 �2) sin(�1)
2�+ 4�27 + 8 sin(2�2)
�cos(�2) sin(2 )
sin(�1)2 � sin( ) sin(2 �1) sin(�2)
�+ 2 cos(�2)
2
(cos(2 �2) + 4 cos( ) sin(2 �1) sin(2 �2))��
(4.41)
Bis auf den Parameter �1 kommen alle anderen Parameter vor. Das Verschr�ankungs-ma� ist also unabh�angig von der Wahl von �1. Bedingung f�ur die lokale Sichtbarkeitder Parameter ist, dass
Tr��1(1)
2= 1 (4.42)
gilt. Diese Forderung ist unabh�angig von der Wahl von �1 erf�ullbar, �1 parametrisiertdamit nach der Transformation eine Schar lokaler Zust�ande. Lokal sichtbar sind damitder lineare Parameter �1 und h�ochstens drei weitere, aus der L�osung der Gleichung 4.42resultierende Parameter.
62
� Transformation U2:
j (2)i = U2ULUT(2)�+; �1(2) = Tr2 fj (2)i h (2)jg (4.43)
Tr��1(2)
2= Tr
��1(1)
2
(4.44)
Die Transformation U2 erzeugt zwar nicht den gleichen Zustand wie U1, verh�alt sichaber bez�uglich der Verschr�ankungseigenschaften wie U1.
� Transformation U3:
j (3)i = U3ULUT(2)�+; �1(3) = Tr2 fj (3)i h (3)jg (4.45)
Tr��1(3)
2=
1
128
�4 cos(2�2) + 6 cos(2 (� + �2)) + 6 cos(2 ( + �2))� 2 cos(2 ( � �1)) +
6 cos(2 (�2 � �1))� 3 cos(2 (� + �2 � �1))� 3 cos(2 ( + �2 � �1))�2 cos(2 ( + �1)) + 6 cos(2 (�2 + �1))� 3 cos(2 (� + �2 + �1))� (4.46)
3 cos(2 ( + �2 + �1)) + 4 cos(2 �1)�1 + 6 cos(2 �2) sin(�2)
2�+ cos(2 )�4� 16 cos(2 �2) sin(�2)
2 sin(�1)2�+ 4
�27 + 8 sin(2�2)
�� � cos(�2) sin(2 )sin(�1)
2�+ sin( ) sin(2 �1) sin(�2)�+ 2 sin(�2)
2
(cos(2 �2) + 4 cos( ) sin(2 �1) sin(2 �2))��
(4.47)
Auch dieser Ausdruck ist unabh�angig vom Parameter �1. Jedoch ist f�ur die spezielleWahl = 0 und �2 = 0 der Ausdruck gleich 1 und damit sind die Parameter �1; �1und �2 lokal sichtbar. Wird hingegen �1 = 0 und �2 = 0 gesetzt, sind die Parameter ; �1 und �2 lokal sichtbar. Es handelt sich in beiden Spezialf�allen um die Messungeines urspr�unglich nicht-lokalen durch drei Parameter einer unit�aren Transformationaufgespannten Unterraums nur �uber lokale Messkan�ale.
� Transformation U4:
j (4)i = U4ULUT(2)�+; �1(4) = Tr2 fj (4)i h (4)jg (4.48)
Tr��1(4)
2= Tr
��1(3)
2
(4.49)
Die Transformation U4 erzeugt zwar nicht den gleichen Zustand wie U3, verh�alt sichaber bez�uglich der Verschr�ankungseigenschaften wie U3.
� Transformation U5:
j (5)i = U5ULUT(2)�+; �1(5) = Tr2 fj (5)i h (5)jg (4.50)
Tr��1(5)
2=
1
32
�cos(2 �1)
��2� 6 cos(2 �2) + 4 cos(2 ) sin(�2)2��
2��13 + cos(2 �2) + 2 cos(2 ) sin(�2)
2 + 4 cos( ) sin(2 �1) sin(2 �2)� �(4.51)
Das Verschr�ankungsma� ist nur noch von ; �1 und �2 abh�angig, �1 und �2 tretennicht mehr auf. Werden die zwei verbliebenen Parameter �1 = 0 und �2 = �=2 gesetzt,so sind die Parameter �1 und �2 lokal sichtbar. tritt allerdings nicht unabh�angigvon �1 und �2 auf, da �1=2 und beide Drehung um die z-Achse parametrisieren.
63
W�ahrend durch die Transformationen U1; U2; U3 und U4 nur in einem eindimensional pa-rametrisierten Unterraum den Parameter (�1) direkt lokal sichtbar machen, ist es bei derTransformation U5 ein zweidimensional parametrisierter Unterraum (�1 und �2 als Para-meter). Die betrachteten Transformationen erhalten daher bei maximal 2 Parametern ihrenunabh�angigen Charakter, d. h. die Parametrisierung von nicht-lokalen Zust�anden und dieParametrisierung von lokalen Zust�anden durch lineare unit�are Transformationen enth�althier maximal 2 identische Parameter. Der Grund daf�ur ist exemplarisch an der Transforma-tion U5 in ihrer Diagonalgestalt zu �nden. U5 vertauscht damit mit der letzten Operationder Parametrisierung, die eine Rotation um die z-Achsen darstellt und somit auch diagonalist. Die Rotationen um die y-Achsen kommutieren allerdings nicht mit U5. Die nicht-lokaleParametrisierung stimmt daher mit der lokalen Parametrisierung nur f�ur die zwei Winkelder z-Rotationen �uberein.
Da die Transformationen U1; U2 und U3; U4 sich identisch auf die Verschr�ankung aus-wirken (zumindest auf das hier verwendete Ma�), k�onnen die Transformationen U2 und U4
wegen ihrer Hermitezit�at bevorzugt werden. U2; U4 und U5 weisen damit den antipodischenCharakter auf, die Multiplexer-Transformation wirkt also in beiden Richtungen gleichartig.
Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zust�ande unter AV-Transformation
Bisher wurden nur die Abbildungen von maximal verschr�ankten Zust�anden auf separierbareZust�ande und umgekehrt betrachtet. Welche Auswirkung hat eine solche Abbildung aufZust�ande die weder der einen noch der anderen Klasse von Zust�anden angeh�oren, derenVerschr�ankungseigenschaften also nicht so ausgepr�agt sind?
Die schon in Gleichung 4.14 benutzte kanonische AV-Transformation hat die Eigenschaft,alle maximal verschr�ankten Zust�ande, die in der Menge der Zust�ande
j (~r)i = r1 j00i+r2 j01i+r3 j10i+r4 j11i ; r1; r2; r3; r4 2 R; r21+r22+r
23+r
24 = 1 (4.52)
enthalten sind, in Produktzust�ande zu transformieren. Um diese Eigenschaft zu zeigen be-rechnen wir das Verschr�ankungsma� Tr f�21g f�ur alle ~r vor und nach der Transformationmit
U =1p2
0BB@1 0 0 10 1 1 00 1 �1 01 0 0 �1
1CCA (4.53)
�(~r)1 = Tr2 fj (~r)i h (~r)jg (4.54)
�(~r)01 = Tr2
nU j (~r)i h (~r)j U y
o: (4.55)
Vor der Transformation ergibt sich
Tr��(~r)21
= r1
4 + r24 + 2 r1
2�r2
2 + r32�+ 4 r1 r2 r3 r4 + 2 r2
2 r42 +
�r3
2 + r42�2
(4.56)
w�ahrend nach der Transformation
Tr��(~r)021
=r1
4 + r24 + r3
4 + 6 r32 r4
2 + r44 + 2 r2
2 (3 r32 + r4
2) + 2 r12 (3 r2
2 + r32 + 3 r4
2)
2(4.57)
vorliegt. In beiden F�allen gibt es Zust�ande, die in Abh�angigkeit von ~r nicht maximal ver-schr�ankt sind und auch keine Produktzust�ande darstellen. Betrachtet man die Summe beider
64
Verschr�ankungsma�e und beachtet die Normierungsbedingung ergibt sich ein Ausdruck dereine untere Grenze besitzt:
Tr��(~r)21
+ Tr
��(~r)021
=
3
2+ 2 (r1r2 + r3r4)
2 � 3
2: (4.58)
Ist Tr f�(~r)21g = 1=2, liegt also ein maximal verschr�ankter Zustand vor, so folgt daraus, dassTr f�(~r)021 g = 1 sein muss, da die Spur nach oben durch die 1 begrenzt ist. Der transformier-te Zustand wird also immer ein Produktzustand sein. Wegen dem antipodisch wirkendenCharakter der Transformation U gilt dies auch in umgekehrter Richtung.
F�ur beliebige Zust�ande j (~r)i folgt aus Gleichung 4.58, dass schon durch die Kenntnis desVerschr�ankungma�es Tr f�(~r)21g die Gr�o�e der Verschr�ankungsma�es Tr f�(~r)021 g beschr�anktist.
Um zu kl�aren, wie sich typische Zust�ande j (~r)i im Einzelnen verhalten, sollen diezuvor gemachten Aussagen numerisch �uberpr�uft werden. Hierzu werden die Parameter imVektor ~r durch einen Zufallsgenerator gew�ahlt und die beiden Ma�e x = Tr f�(~r)21g undy = Tr f�(~r)021 g �ubereinander aufgetragen.
Da wir Aussagen �uber einen"typischen\ Zustand machen wollen, stellt sich die Frage
nach der"richtigen\ Wahrscheinlichkeitsverteilung, nach der der Zufallsgenerator ~r w�ahlen
soll. W�ahrend es in der Statistik ohne zus�atzliche Annahmen keine a priori-Wahrscheinlich-keitsverteilung den Vorzug vor einer anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzt, siehtdie Situation in der Quantenmechanik anders aus. Es existiert nur eine einzige Verteilungvon Zust�anden, die unter unit�arer Transformation invariant bleibt [55]. Diese stellt damitzurecht eine typische Verteilung von Zust�anden dar und kann Gleichverteilung �uber derEinheitskugel in einem N-dimensionalen komplexen Vektorraum genannt werden. �Uber denWahrscheinlichkeitsraum, den (N�1)-dimensionalen Raum der normierten Wahrscheinlich-keitsverteilungen, ist diese Verteilung gleichf�ormig [55].
Erzeugt man die Parameter r1 bis rn durch einen Zufallsgenerator so, dass sie nach einerStandard-Normalverteilung
P (ri) =1p2�
e�r2i =2 (4.59)
gezogen werden, ergibt sich f�ur die gemeinsameWahrscheinlichkeitsverteilung der unabh�angi-gen ri
P (~r) =4Y
i=1
P (ri) =1
4p2�
e�(r21+r
22+r
23+r
24)=2 (4.60)
und nach der Normierung des Vektors ~r eine Gleichverteilung im Wahrscheinlichkeitsraum[60].
F�ur Abbildung 4.2 wurde dieses Verfahren zur Erzeugung einer Gleichverteilung im Zu-standsraum eingesetzt. Die Abbildung zeigt, dass f�ur typische Zust�ande alle Werte derVerschr�ankungsma�e unter Beachtung der Schranke aus 4.58 vorkommen. Des weiterensind H�aufungspunkte bei (x; y) = (0:5; 1) und (x; y) = (1; 0:5) zu erkennen. Diese werdendurch Zust�ande besetzt, die in der Ausgangsbasis bzw. in der transformierten Basis Pro-duktzust�ande darstellen. Zur direkten Messung von Tr f�2g vergleiche auch Kapitel 4.92.Best�atigt werden sollen diese Beobachtungen durch den Vergleich mit zwei weiteren Ver-schr�ankungsma�en:
Zun�achst soll die von Neumann-Entropie eines Subsystems betrachtet werden (vgl. Ka-pitel 2.5.3): Angewandt auf die schon betrachteten Zust�ande ergibt sich
E(�(~r)) = �Tr f�(~r)1 log2 �(~r)1g =
65
=1
log(4)
�log(4) + log(1�
q�(r2 + r3)
2 + (r1 � r4)2� �
(r2 � r3)2 + (r1 + r4)2�)�
�1 +q�
(r2 + r3)2 + (r1 � r4)2
� �(r2 � r3)2 + (r1 + r4)
2���log(1 +
q�(r2 + r3)
2 + (r1 � r4)2� �
(r2 � r3)2 + (r1 + r4)2�)�
1 +q�
(r2 + r3)2 + (r1 � r4)2
� �(r2 � r3)2 + (r1 + r4)
2��� (4.61)
und
E(�(~r)0) = �Tr f�(~r)01 log2 �(~r)01g=
1
log(4)
�log(4) + log(1� 2
pr12 + r32
pr22 + r42)
��1 + 2
pr12 + r32
pr22 + r42
��
log(1 + 2pr12 + r32
pr22 + r42)
�1 + 2
pr12 + r32
pr22 + r42
��: (4.62)
In Abbildung 4.3 wurde zum Vergleich dieses quantitative Verschr�ankungsma� in beidenBasen f�ur die gleichen Zust�ande wie in Abbildung 4.2 dargestellt.
Abschlie�end soll noch ein weiteres Ma� dargestellt werden, das invariant unter loka-len unit�aren Transformationen ist und maximal bei maximaler Verschr�ankung: Das Ver-schr�ankungsma� � (vgl. Kapitel 2.5.3).
Explizit berechnet f�ur j (~r)i:�(�(~r)) =
1
3
�r1
8 + r28 + 16 r1
5 r2 r3 r4 + r16��2 + 4 r2
2 + 4 r32 � 4 r4
2�+
16 r13 r2 r3 r4
��1 + 2 r22 + 2 r3
2 � 2 r42�+ r2
6��2� 4 r3
2 + 4 r42�+
r24�1 + 6 r3
4 � 6 r42 + 6 r4
4 + r32�2� 4 r4
2��
+�r3
4 + r42��1 + r4
2�+
r32��1 + 2 r4
2� �2
+ r14�1 + 6 r2
4 + 6 r34 + 2 r4
2 + 6 r44 + r2
2��6 + 4 r3
2 � 4 r42��
2 r32�3 + 2 r4
2� �
+ 16 r1 r2 r3 r4�� 1 + r2
4 + r34 � r42 + r4
4 + r32��1 + 2 r4
2�+
r22��1� 2 r3
2 + 2 r42� �
+ 2 r22�� 2 r3
6 + r42 � 3 r4
4 + 2 r46 + r3
4�1� 2 r4
2�+
r32�5� 2 r4
2 + 2 r44� �
+ 2 r12�2 r2
6 + 2 r36 + 5 r4
2 + r44 � 2 r4
6 + r34��3 + 2 r4
2�+
r24��3� 2 r3
2 + 2 r42�+ r3
2�1� 2 r4
2 � 2 r44�� r22 �� 1 + 2 r3
4 + 2 r42 + 2 r4
4 +
r32�2� 44 r4
2� ���
(4.63)
�(�(~r)0) =1
3
�3 r3
4 + r24�3� 8 r3
2 + 16 r34�� 2 r3
2 r42 � 8 r3
4 r42 + 3 r4
4 � 8 r32 r4
4 + 16 r34 r4
4 +
r14�3 + 16 r2
4 � 8 r42 + 16 r4
4 + 8 r22��1 + 4 r4
2��
+ 2 r22�3 r4
2 + 4 r34��1 + 4 r4
2��
r32�1 + 8 r4
2� �
+ 2 r12�4 r2
4��1 + 4 r3
2�� r42 �1 + 4 r4
2�+ r3
2�3� 8 r4
2 + 16 r44�+
r22��1� 8 r4
2 + 8 r32��1 + 4 r4
2�� ��
(4.64)
Zur direkten Messung von � vergleiche auch Kapitel 4.2.Als generelles Fazit bleibt festzuhalten: Trotz der unterschiedlichen analytischen Struktur
der drei Verschr�ankungsma�e sind die wesentlichen Merkmale der Verteilungen die gleichen.
66
Die einzige Ausnahme bildet der H�aufungspunkt bei separierbaren Zust�anden in beidenBasen: Dieser ist in Abbildung 4.2 bei (1; 1) als auch in Abbildung 4.4 bei (0; 0) enthalten,jedoch nicht so ausgepr�agt in Abbildung 4.3 bei (0; 0).
In allen drei F�allen ist die Summe der Verschr�ankungsma�e in beiden Basen beschr�ankt,wobei sich in einem Fall eine feste obere Schranke ergibt (Abbildung 4.2), w�ahrend in denbeiden anderen F�allen die Schranke vom Wert des Ma�es in einer Basis abh�angt (Abbil-dung 4.3, Abbildung 4.4). Sobald der Wert eines beliebigen Verschr�ankungsma�es f�ur einenfesten Zustands nach Gleichung 4.52 in einer Basis bekannt ist, kann man ohne diesen Zu-stand zu kennen eine obere Schranke f�ur den Wert des Verschr�ankungsma�es unter derTransformation nach Gleichung 4.53 angeben. Da die Zust�ande nach Gleichung 4.52 durchdrei unabh�angige Variablen parametrisiert werden, die Kenntnis des Verschr�ankungsma�esaber nur einen Parameter darstellt, ist die M�oglichkeit einer solchen Aussage �uber eine obereSchranke recht erstaunlich, auch wenn man nicht aus den Augen verlieren sollte, dass diebetrachteten Zust�ande speziell gew�ahlt wurden.
Tr��(~r)2
1
Tr��(~r)02
1
0:6
0:6
0:7
0:7
0:8
0:8
0:9
0:9
1
1
Abbildung 4.2: Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zust�ande unter AV-Transformation: Ver-schr�ankungsma� Tr f�(~r)21g gegen Tr f�(~r)021 g aufgetragen. Dargestellt sinddie Ma�e von 3000 Zust�anden, die gleichverteilt (Verteilung invariant unterunit�arer Transformation) generiert wurden.
67
E(�(~r))
E(�(~r)0)
0:2
0:2
0:4
0:4
0:6
0:6
0:8
0:8
1
1
Abbildung 4.3: Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zust�ande unter AV-Transformation: Ver-schr�ankungsma� E(�(~r)) gegen E(�(~r)0) aufgetragen. Dargestellt sind dieMa�e von den gleichen 3000 Zust�anden wie in Abbildung 4.2.
�(�(~r))
�(�(~r)0)
0:2
0:2
0:4
0:4
0:6
0:6
0:8
0:8
1
1
Abbildung 4.4: Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zust�ande unter AV-Transformation: Ver-schr�ankungsma� �(�(~r)) gegen �(�(~r)0) aufgetragen. Dargestellt sind dieMa�e von den gleichen 3000 Zust�anden wie in Abbildung 4.2.
68
4.2 Direkte Messung von Ma�en im
Quanten-Multiplex-Bild
QMUX
B
hBii = fi(�)
�Ui
Abbildung 4.5: Quantenmultiplexer zur direkten Messung eines Ma�es fi(�) auf einemMess-kanal B. Die unit�are Transformation Ui implementiert die Berechnung desskalaren Ma�es fi(�) auf Quantenebene.
Oft ist man nicht am vollst�andigen Zustand eines Quantenzustands interessiert. Stattden Zustand wie in Kapitel 3 vollst�andig auszumessen wird dann auf Messstrategien zur�uck-gegri�en, die mit weniger Messungen ein gesuchtes Ma�, zum Beispiel den Grad der Ver-schr�ankung, ermitteln. Doch in beiden F�allen wird das interessierende Ma� erst nach Ab-schluss der Messungen auf einem klassischen Computer berechnet. Es stellt sich die Frage,inwiefern solche Ma�e direkt, d. h. auf Erwartungswertebene durch einen einzigen Messkanalermittelbar sind. Alle Berechnungen m�ussen dazu auf Quantenebene mit unit�aren Trans-formationen durchgef�uhrt werden. Hier liegt wieder eine Multiplexer-Funktion der unit�arenTransformation vor. Statt des kompletten Quantenzustands interessiert nur ein (skalares)Ma�.
In diesem Kapitel sollen daher allgemeine Strategien zur direkten Messung von interes-sierenden Ma�en auf der Ebene der Erwartungswerte untersucht werden: Es werden unterNutzung des Quanten-Multiplex-Bilds elementare Gatter angegeben, die eine eÆziente Be-rechnung des Ma�es auf Quantenebene erm�oglichen (siehe Kapitel 4.2.1 und 4.2.2). AmBeispiel zweier Verschr�ankungsma�e (Kapitel 4.2.3 und 4.2.4) sollen die allgemeinen Er-kenntnisse angewandt werden. Schlie�lich wird die hier vorgestellte Messstrategie mit exis-tierenden Konzepten verglichen (siehe Kapitel 4.2.5).
In gewisser Weise stellen die hier zu behandelnden Messstrategien eine Quantencompu-ting-Sichtweise der Quantenmessung dar. Gesucht werden Strukturelemente, die �ahnlichden universellen Gattern im Quantencomputing die eÆziente Implementierung der Messungeines interessierenden Ma�es erm�oglichen.
Im Folgenden soll angenommen werden, dass sich das Ma� von Interesse durch eineganzrationale Funktion von Erwartungswerten von hermiteschen Operatoren schreiben l�asst.Wie in Kapitel 3.2 gezeigt, l�asst sich der Quantenzustand durch einen Satz von hermiteschenOperatoren (Quorum) vollst�andig beschreiben. In Kapitel 3.4.2 wurde die Existenz undKonstruktion von Quorums mit identischem Eigenwertsprektrum nachgewiesen; dies ist wieschon zuvor notwendig f�ur die Messung �uber einen einzigen Messkanal. Auf der Ebene derErwartungswerte besteht zun�achst also keine Einschr�ankung bez�uglich der Berechenbarkeiteines Ma�es. Andere, nicht polynomiale Ma�e m�ussen allerdings nach Taylor entwickeltwerden.
Zur Berechnung ganzrationaler Funktionen von Erwartungswerten ist die e�ektive
69
� Addition und
� Multiplikation
von Erwartungswerten hermitescher Operatoren auf Quantenebene notwendig.
4.2.1 E�ektive Addition von Erwartungswerten hermitescherOperatoren
Aus der Addition der hermiteschen Operatoren A1; A2
A3 = A1 + A2; A1 = Ay1; A2 = Ay
2 (4.65)
ergibt sich, dass der resultierende Operator A3 ebenfalls hermitesch ist
Ay3 = (A1 + A2)
y = Ay1 + Ay
2 = A1 + A2 = A3: (4.66)
Die Messung von hA1i + hA2i kann daher alternativ durch die direkte Messung von hA3ierfolgen. Soll jedoch das Eigenwertspektrum aller Operatoren identisch sein { wie es hierf�ur die Messung �uber einen einzigen Messkanal mit festem Eigenwertspektrum notwendigist {, muss man im Allgemeinen eine andere Strategie anwenden.
Betrachten wir ein zusammengesetztes System
�ges = �ancilla �S (4.67)
�S soll den Zustand des Quantennetzwerks von Interesse darstellen. Das Hilfsystem �ancillawird im reinen Zustand
�ancilla = j ancillai h ancillaj (4.68)
j ancillai = a j0i+ b j1i ; a; b 2 C ; jaj2 + jbj2 = 1 (4.69)
�ancilla =
� jaj2 a� ba b� jbj2
�(4.70)
pr�apariert. Mit den unit�aren Transformationen U1 und U2, die im gleichen Raum wie dasSystem von Interesse �S wirken, ergibt sich f�ur die unit�are Transformation im Gesamtsystem
U =
�U1 00 U2
�(4.71)
bei der Transformation von
�ges =
� jaj2 �S a� b �Sa b� �S jbj2 �S
�(4.72)
�0ges = U �gesUy (4.73)
�ges =
� jaj2 U1�SUy1 a� b U1�SU
y2
a b� U2�SUy1 jbj2 U2�SU
y2
�: (4.74)
Spurt man das Hilfsystem wieder aus, so erh�alt man die gew�unschte Transformation
�0S = Trancilla��0ges
= jaj2U1�SU
y1 + jbj2U2�SU
y2 : (4.75)
70
W�ahlt man U1 und U2 so, dassB = U y
1 A1U1 (4.76)
undB = U y
2 A2U2 (4.77)
so istTrnB�0S
o= jaj2Tr
nA1�S
o+ jbj2Tr
nA2�S
o: (4.78)
Mit Unterst�utzung eines Hilfsystems kann damit ein Quantenaddierer wie in Abbildung 4.6realisiert werden.
QADD
B
hBi = jaj2hA1i+U
�ancilla
A1
A2�S
jbj2hA2i
Abbildung 4.6: Quantenaddierer: Durch entsprechende Wahl des Zustands �ancilla inAbh�angigkeit von a; b und Wahl einer unit�aren Transformation U inAbh�angigkeit von den Operatoren A1; A2 und B mit gleichem Eigenwert-spektrum l�asst sich die gewichtete Addition der Erwartunswerte der Ope-ratoren A1 und A2 auf einem einzigen Messkanal B als Erwartungswertmessen.
Verallgemeinert lassen sich bei Anpassung der Gr�o�e des Hilfssystems auf N-Niveau-Systeme gewichtete Additionen der Art
�0S =NXi=1
ciUyi AiUi; ci 2 C ;
NXi=1
jcij2 = 1 (4.79)
erzeugen und damit gewichtete Additionen von Erwartungswerten
TrnB�0S
o=
NXi=1
ciTrnAi�s
o(4.80)
auf einem einzigen Messkanal B messen.Es handelt sich bei dieser Art von Transformationen U um durch das Hilfssystem kon-
trollierte Operationen (Abbildung 4.7). Das einfachste Quantengatter im herk�ommlichenQuantencomputing mit einer �ahnlichen Struktur ist das controlled not-Gatter. Nur wenndas Kontrollbit eins ist, wird eine Not-Operation ausgef�uhrt, im anderen Fall die trivialeOperation 1. Hier jedoch wird die Kontrolle durch das Hilfsystem nur ben�otigt, um eine f�ursich gesehene nicht-unit�are Operation unit�ar einzubetten.
Die Anzahl der Summanden in Gleichung 4.80 w�achst direkt linear mit der Dimensiondes Hilbertraums des Hilfesystems �ancilla. W�ahlt man daher als Hilfsystem Qubits, also einQuantennetzwerk aus 2-Niveau-Systemen, so w�achst die Anzahl der Summanden exponenti-ell mit der Anzahl der Qubits des Hilfssystems. Auf diese Art kann selbst eine gro�e Anzahlvon Summanden eÆzient addiert werden.
71
�01�02
�1
�2
�0ancilla�0S
�ancilla
�S U1 U2
Abbildung 4.7: Quantenaddierer als kontrollierte Operation: Am Beispiel einer Additionvon zwei Summanden wird deutlich, wie der Zustand des Hilfsqubits �ancilladie Transformationen U1 und U2 kontrolliert (links). Im Vergleich dazu diesinnbildliche Darstellung des controlled not-Gatters (rechts) [33].
4.2.2 E�ektive Multiplikation von Erwartungswerten hermitescherOperatoren
Die direkte Messung von Produkten von Erwartungswerten �uber einen einzigen MesskanalB ist m�oglich, wenn Kopien des interessierenden Systems �S zur Verf�ugung stehen.
hBi = hA1ihA2i (4.81)
Mit zwei Kopien des Systems �S�ges = �S �S (4.82)
ergibt sich f�ur den Korrelationsmessoperator
KA = A1 A2 (4.83)
mit den Abk�urzungen
M1 = A1�S (4.84)
M2 = A2�S (4.85)
der Erwartungswert
hKAi = TrnKA�ges
o= Tr
n(A1 A2)(�S �S)
o= Tr
nA1�S A2�S
o= Tr
nM1 M2
o=
Xi;j
M1;iiM2;jj =Xi
M1;ii
Xj
M2;jj
= TrnA1�
oTrnA2�
o(4.86)
= hA1ihA2i: (4.87)
W�ahlt man eine unit�are Transformation U so, dass
B = UKAUy (4.88)
ergibt sich ein elementarer Baustein zur Multiplikation von Erwartungswerten nach Abbil-dung 4.8.
Im Gegensatz zur Addition bestehen folgende Einschr�ankungen bei der Multiplikationvon Erwartungswerten:
72
QMUL
B
hBi = hA1ihA2iU
A2
A1�S
�S
Abbildung 4.8: Quantenmultiplizierer: Wird die unit�are Transformation U so gew�ahlt, dasssie den Korrelationsoperator A1 A2 auf den Messkanal B abbildet, ist aufdiesem Messkanal das Produkt der Erwartungswerte von A1 und A2 messbar.Notwendig ist das Vorliegen des Systems �S in zwei Kopien.
� Es m�ussen Kopien des Systems vorliegen. Klassisch ist die Operation des Kopierens ei-nes Systems kein Problem, doch quantenmechanisch ist es nicht m�oglich ein System ineinem unbekannten Zustand zu kopieren. Das No-Cloning-Theorem schiebt dem einenRiegel vor [61, 33]. Eine universelle
"Quantenkopiermaschine\, also eine Vorrichtung
die jeden Zustand exakt kopiert, existiert nicht. Allerdings wurden Strategien zumn�aherungsweisen Kopieren [12, 11] von beliebigen Zust�anden betrachtet, bei denendie Qualit�at der Kopie nicht vom Zustand abh�angt. Nur bekannte linear unabh�angigeZust�ande k�onnen exakt kopiert werden [62]. Derartige Strategien h�angen eng mit derprobabilistischen Identi�kation von linear unabh�angigen Zust�anden zusammen (sieheKapitel 5). Eine nicht-lineare Transformation, die die Elemente der Dichtematrix qua-driert, wurde in [7] behandelt. Kopien k�onnen also nicht erstellt werden, sie m�ussenschon vorliegen. Jedoch sind in jedem identisch pr�aparierten Ensemble Quantensys-teme im { der De�nition nach { gleichen Zustand enthalten. Da die Messstrategie,die hier er�ortert wird, auf Messungen von Ensembleerwartungswerten basiert, ist nurnoch die Kontrolle �uber die Ensemble-Mitglieder bei der Ausf�uhrung der Funktionendes Quantenmultiplizierers vonn�oten.
� Da die Eigenwertstruktur des Messkanals B vorgegeben ist, muss auch der Korrelati-onsoperator KA die selben Eigenwerte besitzen. Soll zus�atzlich einer der OperatorenA1 oder A2 in einer Addition ber�ucksichtigt werden, m�ussen selbstverst�andlich auchderen Eigenwerte mit denen von B und KA �ubereinstimmen. F�ur die Messoperatorenkommen daher nur die Eigenwerte �1 und 1 in gleicher Multiplizit�at in Frage. Bei2-Niveau-Quantennetzwerken bilden die SU(2)-Clusteroperatoren wie schon in Kapi-tel 3.4.1 gezeigt eine vollst�andige Basis mit identischen Eigenwerten �1 und 1. Be-liebige Potenzen von Erwartungswerten solcher Clusteroperatoren k�onnen daher miteiner entsprechenden Anzahl von Kopien des Systems gemessen werden.
4.2.3 Direkte Messung des Verschr�ankungsma�es �
Als Anwendung der neu eingef�uhrten Grundelemente des Quantenaddierers und Quanten-multiplizierers soll die Messung des Verschr�ankungsma�es � f�ur ein Quantennetzwerk auszwei 2-Niveau-Systemen explizit angegeben werden. Das Verschr�ankungsma� � setzt sichaus den Erwartungswerten der SU(2)-Clusteroperatoren zusammen:
Mij(1; 2) = hKij(1; 2)i � h�i(1)ih�j(2)i (4.89)
73
� =1
3
Xi;j
(Mij(1; 2))2 (4.90)
0 � � � 1 (4.91)
Die strukturell einfachste Implementierung benutzt f�ur jeden auftretenden Term eine wei-tere Kopie des Systems �S und bildet die klassische Rechnung direkt nach. Damit ist im-mer die Unabh�angigkeit der Parameter gew�ahrleistet, die Korrelationsoperatoren bei derVerwendung des Quantenmultiplizierers sind nicht quantenmechanisch korreliert. Um dieTeilberechnung von M2
ij (zu festem i; j) zu bewerkstelligen sind damit sechs Kopien des
Systems �S und 2 Qubit-Hilfssysteme �ancilla im Zustand mit (a = 1=p2; b = 1=
p2) n�otig
(Abbildung 4.9).
�ancilla
Kij(1; 2)
��i(1)
�j(2)
�ancilla
Kij(1; 2)
��i(1)
�j(2)
14M
2ij
12Mij
12Mij
12Mij
12Mij
QMUL
QADD
�S
�S
�S
QMUL
QADD
�S
�S
�S
QMUL
1
3
4
2
6
5
Kopie
Abbildung 4.9:"Horizontale\ Berechnung von M2
ij auf quantenmechanischer Ebene. Aus-gehend von sechs Kopien des Quantensystems von Interesse �S wird durchAnwendung der Elemente des Quantenaddierers QADD und des Quanten-multiplizierers QMUL unter Verwendung von 2 Hilfsqubits �ancilla die Kom-ponente M2
ij des Ma�es � berechnet.
Als �Ubergabekan�ale zwischen den einzelnen Gatterelementen k�onnen beliebige Kan�alemit den Eigenwerten �1; 1 verwendet werden, der Kanal wird also physisch durch ein Qubittransportiert. Die Addierer QADD wirken physisch auf einen Zustand von 3 Qubits, dieMultiplizierer QMUL immer auf 2 Qubits. Diese Art der Nutzung der Quantengatter sollals horizontale Nutzung bezeichnet werden, da ausgehend von einer Kopie eines Quanten-systems oder einem Hilfsqubit der Fluss der Information von links nach rechts statt�ndet.Es werden, wie gezeigt werden wird, mehr Systeme und Hilfssysteme verwendet als n�otig.
74
Ebenfalls auf recht einfache, aber auch ineÆziente Weise lassen sich alle M2ij zum Ma� �
addieren (Abbildung 4.10).
�ancilla114M
22
14M
21
(1:1)
�ancilla214M
23
(1:2)
�ancilla8
: : :
14M
29
(1:8)112�
: : :
QADD
QADD
QADD
Abbildung 4.10: Berechnung von � auf quantenmechanischer Ebene mit Einzelqubits alsHilfsysteme: Die acht Hilfsqubits �ancillai werden in einer Superposition vonj0i und j1i im Verh�altnis 1 : i pr�apariert. Nach Addition der Komponenten14M2
k =14M2
(i+3(j�1)) =14M2
ij ergibt sich das Ma� 112�.
Insgesamt werden f�ur diese Art der Implementierung 6 � 9 = 54 Kopien von �S und2 � 9 + 8 = 26 Hilfsqubits ben�otigt.
Ber�ucksichtigt man aber, dass nur f�ur den Quantenmultiplizierer durch Verwenden vonKopien des Systems �S nur Korrelationsfreiheit gew�ahrleistet werden muss, so reduziertsich die Anzahl der Kopien auf 4. Dies entspricht auch der maximalen Multiplizit�at von Er-wartungswerten in Erwartungswertprodukten in den Summanden von �. F�ur die Quanten-Addition wird, falls das gesamte System �ges an den Quantenaddierer �ubergeben wird, keinweiteres System � ben�otigt (Abbildung 4.11). Da nun nicht mehr pro Eingang eines Quan-tengatters ein weiteres System ben�otigt wird, also der Weg des Quantensystems nicht mehrdem der Messkan�ale entspricht, soll diese Art der Benutzung von Quantengattern vertikalgenannt werden.
Die Addition der Komponenten Mij bezieht sich nun auf das Gesamtsystem �ges, dieBerechnung der Komponente Mij und deren Addition wird durch die kontrollierte unit�areTransformation (Gleichung 4.79) auf �ges f�ur alle i; j implementiert (Abbildung 4.12).
Insgesamt werden bei der vertikale Anwendung der Quantengatter f�ur die Messung desVerschr�ankungma�es � in einem System �S von 2 Qubits also 4 Kopien des Systems �S und 6Hilfsqubits ben�otigt. Ein beliebiger Messkanal mit den Eigenwerten -1 und 1 in Multiplizit�at211 kann in diesem Gesamtsystem � von 12 Qubits als Messkanal B f�ur das Ma� � dienen.
Der Erwartungswert dieses Messkanals �uber ein Ensemble solcher Gesamtsysteme � er-gibt 1=12 �.
Der Quantenmultiplexer in Abbildung 4.5 wirkt auf dieses Gesamtsystem �. Jedoch istklar, dass das Ma� fi(�) { resultierend aus der Nicht-Linearit�at des Ma�es � und die n�otige
75
Einbettung mit Hilfsystemen { e�ektiv nur vom Untersystem �S abbh�angt: fi(�) � fi(�S).Generell gilt, dass je mehr Nichtlinearit�aten im Ma� fi(�S) vorhanden sind, desto mehr
Kopien von �S werden ben�otigt. Au�erdem nimmt der"Kontrast\, also der e�ektiv nutzbare
Messbereich, ab. Im Spezialfall des Ma�es � ist der Faktor zwischen Ma� und Messung schon1=12. Das liegt daran, dass die Additionen als gewichtete Additionen mit Normierung 1implementiert werden. Generell gilt damit, dass je mehr Addition im Ma� fi(�S) auftreten,der Kontrast geringer wird.
Es konnte gezeigt werden, dass ohne Rekonstruktion des vollst�andigen Quantenzustandsdas Verschr�ankungsma� � direkt messbar ist, falls beliebige unit�are Transformationen aufeine Untermenge des Ensembles des interessierenden Systems und pr�aparierte Hilfssystemezur Verf�ugung stehen.
�ancilla
Kij(1; 2)
��i(1)
�j(2)
14M
2ij
�ancilla
Kij(1; 2)
��i(1)
�j(2)
12Mij
12Mij
12Mij
12Mij
QMUL
QADD
�S
�S
QMUL
QMUL
QADD
�S
�S
�ges = �ancilla �S �S �ancilla �S �S
�0ges
4
Kopie
2
1
3
Abbildung 4.11:"Vertikale\ Berechnung von M2
ij auf quantenmechanischer Ebene. Ausge-hend von vier Kopien des Quantensystems von Interesse �S wird durchAnwendung der Elemente des Quantenaddierers QADD und des Quan-tenmultiplizierers QMUL unter Verwendung von 2 Hilfsqubits �ancilla dieKomponente M2
ij des Ma�es � berechnet.
4.2.4 Direkte Messung des Verschr�ankungsma�es Tr��2
Wie in Kapitel 2.5.1 angegeben, l�asst sich das Gemischtheitssma� (bzw. Reinheitsma�)Tr f�2g eines 2-Niveau-Systems mit den Erwartungswerten �i der SU(2)-Operatoren �i als
Tr��2=
1
2
�1 + �21 + �22 + �23
�(4.92)
76
�ancilla214M
29
(1:8)
�ancilla1
�ancilla1
�ancilla1
14M
28
14M
21
112�
QADD
...�0ges
QADD
Abbildung 4.12: Berechnung von � auf quantenmechanischer Ebene mit eÆzientem Ein-satz der Qubit-Hilfssysteme: Die ersten drei Hilfsqubits �ancilla1 werden ineiner Superposition von j0i und j1i im Verh�altnis 1 : 1 pr�apariert. DasHilfsqubibt �ancilla2 wird im Verh�altnis 1 : 8 pr�apariert. Ausgehend vomgesamten Zustand �0ges (Abbildung 4.11) werden zun�achst die acht Kom-ponenten 1
4M2
1 bis 14M2
8 addiert, dann separat 14M2
9 . Nach Addition allerKomponenten 1
4M2
k =14M2
(i+3(j�1)) =14M2
ij ergibt sich das Ma� 112�.
schreiben. In einem 2-Spin-Gesamtsystem steht dieses Ma� f�ur die Verschr�ankung des Ge-samtsystems. Nach dem ausf�uhrlichen Beispiel in Kapitel 4.2.3 sollte klar sein, dass f�ur einedirekte Messung des Ma�es Tr f�2g aufgrund des Auftretens von quadratischen Gliedernzwei Kopien des Systems notwendig sind, auf sie wirkt das Gatter QMUL. Der konstanteSummand 1 in Gleichung 4.92 kann durch die Pr�aparation eines Hilfsqubits in de�niertemreinem Zustand erzeugt werden (Welcher Zustand pr�apariert wird, ist im Wesentlichen egal,da durch das Gatter QADD eine unit�are Transformation auf diesen Zustand angewandtwerden kann). Die Summation wird durch die zweimalige Anwendung des Gatters QADDmit einem Hilfsqubit, das im Verh�altnis 1:1 pr�apariert wurde, realisiert. Insgesamt werdenalso 3 Hilfsqubits ben�otigt. Es resultiert damit der auf einem Messkanal wie in Kapitel 4.2.3direkt messbare Erwartungswert 1=2Tr f�2g.
4.2.5 Vergleich mit verallgemeinerten Messungen undQuantenoperationen
Da bei dieser Art von Messstrategie keine expliziten unit�aren Transformationen zugelassensind, muss das Konzept der Messung wie es mit Hilfe der verallgemeinerten Messung be-schrieben wird (Kapitel 2.6.1) nochmals erweitert werden, um es auf den vorliegenden Fallanwenden zu k�onnen.
Da in der Quantenmultiplex-Messstrategie zur direkten Messung eines Ma�es ein Hilfs-system genutzt wird, das mit dem interessiernden System �uber eine unit�are Transformationkoppelt, und Projektionsmessungen am Gesamtsystem anschlie�en, handelt es sich um denSpezialfall einer allgemeinen Quantenoperation (Kapitel 2.6.2).
Hier ist nach der Messbarkeit eines Ma�es gefragt. Danach richtet sich das System (An-
77
zahl der Kopien), das Hilfssystem (Gr�o�e und Pr�aparation) und die unit�are Transformationdes Gesamtsystems. Ziel ist die Messung des Ma�es auf einem Messkanal �uber von Neu-mann-Projektionsmessungen nach der Transformation.
Vorgestellt wurde daher ein konstruktives Verfahren, um beliebige polynomiale Ma�evon Erwartungswerten nach der Art des Quantencomputings �uber Gatter zu messen. DasGewicht liegt dabei also auf der Kontruktion und Implementation der allgemeinen Quan-tentransformation.
78
5 Zustandsunterscheidung
In Kapitel 3 wurde der vollst�andige Zustand eines Quantensystems rekonstruiert. Dazu istimmer ein Ensemble von Einzelsystemen notwendig. In Kapitel 4 wurden M�oglichkeitenvorgestellt, die die Extraktion von relevanten Informationen erm�oglichen ohne den Zustandauszumessen. Hier sollen Messstrategien er�ortert werden, die bestm�oglich zwischen Quan-tenzust�anden unterscheiden. Ziel ist, mit einer m�oglichst geringen Anzahl von Messungenund Quantensystemen auszukommen.
5.1 Orthogonale Zust�ande
Nur orthogonale Zust�ande k�onnen mit Sicherheit durch von Neumann-Projektionsmessungenunterschieden werden [44]: Jeder Eigenschaft P kann eine Gr�o�e zugeordnet werden, derenMessung �uber das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein der Eigenschaft entscheidet undden Wert 1 bzw. 0 annimmt, wenn die Eigenschaft P vorhanden ist bzw. nicht vorhandenist. Die Gr�o�e selbst soll auch mit P bezeichnet werden. Da P nur die Werte 0 und 1 an-nimmt bringt es das Polynom F (�) = �(1��) zum Verschwinden. Der Operator von P sollP sein, F (P ) hat dann den Operator F (P ) = P � P 2. Es folgt daher da� P � P 2 = 0 unddamit P = P 2 sein muss. P ist also ein Projektionsoperator. Liegt ein Quantensystem imZustand � vor und wollen wir entscheiden, ob die Eigenschaft P vorliegt oder nicht, so istdie Eigenschaft P zu messen. Die Wahrscheinlichkeit W das Vorliegen von P zu erhalten ist
W = TrnP �o; (5.1)
die Wahrscheinlichkeit, P nicht zu erhalten ist
�W = 1�W = Trn(1� P )�
o� Tr
n�P�o: (5.2)
Die Operatoren P und �P sind orthogonal zueinander. Werden Quantensysteme in einem
Zustand pr�apariert, der aus einer Mischung von P und �P besteht, in der Art, dass sich jedes
Einzelsystem im Zustand P oder �P be�ndet, kann durch die Messung fP ; �Pg exakt derZustand jedes Einzelsystems festgestellt werden [36].
5.2 Linear unabh�angige Zust�ande
Werden allerdings nicht orthogonale Zust�ande P und Q pr�apariert (zuf�allig f�ur jedes Ein-zelsystem, mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 f�ur jeden Zustand), so kann wegen des endlichen�Uberlapps durch Projektionsmessungen nicht immer mit Sicherheit zwischen dem Vorliegen
von P und Q unterschieden werden. Nur wenn �P im Fall der Messung von fP ; �Pg eintritt,kann man darauf schlie�en, dass vor der Messung der Zustand Q vorlag. Ebenso kann nur
79
wenn �Q bei der Messung fQ; �Qg eintritt, auf das Vorliegen des Zustands P vor der Messunggeschlossen werden. Die Wahrscheinlichkeit WS der sicheren Unterscheidung zwischen dennicht-orthogonalen Zust�anden P ; Q mit Standardmessungen ist damit
WS = TrnP �Q
o: (5.3)
Wendet man statt Standardmessungen verallgemeinerte Messungen an, so l�asst sich die-se Erfolgswahrscheinlichkeit steigern. Ivanovic [36] stellte als Erster solch eine auf Quan-tenoperationen basierende Zustandsunterscheidung von zwei nicht-orthogonalen Zust�andenvor. Mit Modi�kationen von Dieks [23] und Peres [49] konnte gezeigt werden, dass dieseMessstrategie die optimale ist, falls mit Sicherheit zwischen den Zust�anden unterschiedenwerden soll. Durch Che es und Barnett [15] wurden diese Ivanovic-Dieks-Peres-Messungen(IDP-Messungen) verallgemeinert auf Strategien, bei denen Fehler erlaubt sind. Che es [13]konnte zeigen, dass eine unzweideutige Unterscheidung zwischen mehreren Zust�anden nurm�oglich ist, falls diese linear unabh�angig sind. Die vollst�andige L�osung f�ur beliebige a priori -Wahrscheinlichkeiten von P und Q wurde von Jaeger und Shimony [37] gefunden, w�ahrendChe es und Barnett [14] die analytische L�osung f�ur beliebig viele Zust�ande angaben.
Eng verwandt mit dieser probabilistischen Messstrategie sind Stategien zum probabilis-tischen Klonen von Zust�anden [24] und zur Verschr�ankungs-Konzentration [13].
Bisher wurde jedoch immer die a priori -Kenntnis der Zust�ande angenommen. Sie m�ussenaus einer bekannten endlichen Menge M = fj i1 ; : : : ; j iNg stammen. Als Erweiterungder schon bekannten Messstrategien zur fehlerlosen Zustandsunterscheidung, sollen daherin Kapitel 5.3 die Unterscheidung von zwei Zust�anden diskutiert werden, die aus einerunendlichen Menge M von Zust�anden gew�ahlt werden. Die Zust�ande in der Menge wirddabei durch eine reellen Variable r parametrisiert: M = [r j i (r).
Da sich diese Erweiterung auf zwei Zust�ande beschr�ankt, soll in diesem Zusammenhangnur die urspr�ungliche IDP-Messung betrachtet werden.
5.2.1 IDP-Messungen
Die Messung nach Inavanovic [36], Dieks [23] und Peres [49] basiert auf der Nutzung einesHilfssystems. Das Gesamtsystem wird unit�ar transformiert. Schlie�lich wird eine Projekti-onsmessung am Hilfssystem durchgef�uhrt. Deren Ergebnis gibt an, ob die Messung erfolg-reich oder nicht erfolgreich ist. Das endg�ultige Messergebnis (P oder Q lag vor) kann imFalle von Erfolg am interessierenden System abgelesen werden. Im Falle eines Misserfolgsist das Messergebnis unentschieden. Im Einzelnen werden die nicht-orthogonalen Zust�ande
jpSi = a1=2 j0i+ (1� a)1=2 j1i (5.4)
und
jqSi = a1=2 j0i � (1� a)1=2 j1i ; a >1
2(5.5)
des interessierenden Systems S betrachtet. Jedes System S soll sich mit gleicher Wahrschein-lichkeit entweder im Zustand jpSi oder im Zustand jqSi pr�apariert worden sein (a priori -Wissen). Es reicht, den zweidimensionalen Unterraum, der von jpSi und jqSi aufgespanntwird, zu ber�ucksichtigen. Das Hilfssystem A selbst soll sich anf�anglich im Zustand
jpAi = j0i (5.6)
be�nden. Das Gesamtsystem ist damit im Zustand
j �i = a1=2 j00i � (1� a)1=2 j10i ; (5.7)
80
das �-Zeichen bezieht sich damit auf die Anfangszust�ande jpSi und jqSi. Mit der unit�arenTransformation U des Gesamtzustands nach Peres [49], die im Unterraum, der durch j00iund j11i aufgespannt wird, wirkt
U : a1=2 j00i ! (1� a)1=2 j00i+ (2a� 1)1=2 j11i (5.8)
ergibt sich der Endzustand�� 0��= (1� a)1=2(j0i � j1i) j0i+ (2a� 1)1=2 j11i : (5.9)
Die Hilfssysteme A die im Zustand j0i aufgefunden werden sind jetzt mit orthogonalenZust�anden des Systems S n�amlich j0i+ j1i und j0i � j1i korreliert, die ohne Zweifel unter-schieden werden k�onnen. Die Wahrscheinlichkeit WIDP f�ur den Erfolg dieser Messung istdaher
WIDP = 2(1� a): (5.10)
Erst k�urzlich wurde die IDP-Messung an zwei nicht-orthogonalen Zust�anden des Lichtserstmals vollst�andig experimentell implementiert [18].
5.3 Beschr�ankte Kenntnis der Zust�ande
Inwiefern k�onnen zwei Zust�ande, die nicht vollst�andig bekannt sind, unzweideutig unter-schieden werden? Es ist klar, dass falls kein a priori -Wissen �uber die Zust�ande vorliegt,sich die Situation wie bei der vollst�andigen Zustandsrekonstruktion (Kapitel 3) darstellt.Es werden unendlich viele Messungen und damit ein unendlich gro�es Ensemble identischpr�aparierter Systeme notwendig sein, um mit Sicherheit zu sagen, welcher Zustand vorlag..
Im Fall, dass die Menge der Zust�ande, aus der die zwei zu unterscheidenden Zust�andegew�ahlt werden, zwar unendlich gro� ist, aber nicht den vollst�andigen Zustandsraum eines2-Niveau-Systems ausf�ullt, kann man jedoch eine Strategie �nden, die in der H�alfte allerF�alle die unzweideutige Unterscheidung von zwei Zust�anden nach Kapitel 5.1, Kapitel 5.2oder Kapitel 5.2.1 vorbereitet und nur zwei Kopien des Quantensystems ben�otigt. Abgeleitetwird dieses Verfahren aus der abgewandelten Anwendung (Probabilistische inverse unit�areTransformation) eines probabilistisch arbeitenden Quantenprogramms, das wiederum aufeinem Quanten-Teleportations-Schema basiert. Es sollen daher, um den Bezug zu schonbekanntem herzustellen, die beiden urspr�unglichen Konzepte hier erl�autert werden.
5.3.1 Quanten-Teleportation
Bei der Quanten-Teleportation nach Bennett et al. [8] wird ein unbekannter Quantenzustandjdi eines einzelnen Quantensystems von Alice mittels der Resourcen eines geteilten EPR-Zustands j�+i und zwei klassischen Bits zu Bob �ubertragen (Abbildung 5.1). Dabei wird derurspr�ungliche Zustand, den Alice besa�, durch die Bell-Messung M zerst�ort. Das Ergebnisder Bell-Messung (2 klassische Bits) wird �uber einen klassischen Kanal Bob mitgeteilt. Bobw�ahlt entsprechend dieser klassischen Information eine der vier unit�aren TransformationenUi aus und wendet sie auf sein Qubit des gemeinsam geteilten EPR-Zustands j�+i an.Schlie�lich ist Bob im Besitz eines Qubits im Zustand jdi. Durch die Notwendigkeit einerklassichen �Ubertragung von Information von zwei Bits gibt es keine Kon ikte mit demPrinzip der Kausalit�at. Instantane Informations�ubertragung ist mit diesem Schema nichtm�oglich.
81
Bob
j�+i
jdi?
Alice
2 klassische Bits
jdiUi
M
Abbildung 5.1: Quanten-Teleportation: Mit Hilfe der geteilten Resource des EPR-Zustandsj�+i kann Alice den unbekannten Zustand jdi nach klassichen �Ubertragungder Bell-MessungM zu Bob teleportieren, der das Messergebnis benutzt, umeine der vier unit�aren Transformationen Ui auf sein Qubit des urspr�unglichenEPR-Zustands j�+i anzuwenden.
Dieses Quanten-Teleportations-Protokoll l�auft in den mathematischen Einzelheiten wiefolgt ab:
Der unbekannte Zustand
jdi = a j0i+ b j1i ; a; b 2 C ; jaj2 + jbj2 = 1 (5.11)
wird von Alice an den EPR-Zustand���+�= 1p
2(j00i+ j11i) (5.12)
gekoppelt. Entscheidend ist nun, da� der Zustand jdi mit Hilfe der Bell-Basis j��i,j�iumgeschrieben werden kann. ����� = 1p
2(j00i � j11i) (5.13)���� = 1p
2(j01i � j10i) (5.14)
Die Produktbasis-Zust�ande lassen sich in der Bell-Basis schreiben:
j00i = 1p2(���+
�+�����) (5.15)
j01i = 1p2(��+
�+����) (5.16)
j10i = 1p2(��+
�� ����) (5.17)
j11i = 1p2(���+
�� �����) (5.18)
Die Einzelterme des Gesamtzustands
j i = jdi ���+�= 1p
2(a j000i+ a j011i+ b j100i+ b j111i) (5.19)
lassen sich daher als
a j000i = a j00i j0i = 1p2(a���+
� j0i+ a����� j0i) (5.20)
a j011i = a j01i j1i = 1p2(a��+
� j1i+ a���� j1i) (5.21)
b j100i = b j10i j0i = 1p2(b��+
� j0i � b ���� j0i) (5.22)
b j111i = b j11i j1i = 1p2(b���+
� j1i � b ����� j1i) (5.23)
82
schreiben. Wir erhalten damit
j i =1
2
� ���+�(a j0i+ b j1i) + ����� (a j0i � b j1i)
+��+
�(a j1i+ b j0i) + ���� (a j1i � b j0i)� (5.24)
Wenn Alice nun eine Bell-Messung auf den ersten beiden Qubits von j i durchf�uhrt, alsoeine Messung, die alle vier Zust�ande der Bell-Basis unterscheidet, so wird j i auf einen derZust�ande j ii(j 1i ; j 2i ; j 3i ; j 4i) = ( 1p
2(a j0i+ b j1i); 1p
2(a j0i � b j1i); 1p
2(a j1i+ b j0i); 1p
2(a j1i � b j0i))
(5.25)reduziert. Mittels zwei Bit klassischer Information kann Alice das Ergebnis ihrer Messungi = 1; 2; 3 oder 4 Bob mitteilen, der entsprechend die Transformation Ui
(U1; U2; U3; U4) = (1; �z; �x; {�y) (5.26)
auf das Qubit anwendet, das urspr�unglich ein Qubit der Resource des EPR-Zustands j�+idarstellte. Erst dann ist Bob im Besitz eines Qubits im Zustand jdi.
5.3.2 Quanten-Programme
Das Teleportations-Protokoll wurde von Nielsen und Chuang [46] abgewandelt, um ein uni-verselles Quanten-Gatterarray zu implementieren, das probabilistisch arbeitet. Nielsen undChuang konnten zeigen, dass es ein deterministisches universelles Quanten-Gatterarray, al-so ein festes Quanten-Gatterarray, das jedes beliebige Quanten-Programm implementiert,nicht geben kann. Es ist daher notwendig, dass ein solches universelles Quanten-Gatterarrayprobabilistisch arbeitet. Hier soll nur die Implementation f�ur ein einzelnes Datenqubit an-gegeben werden.
M ?
Bob
jdi
Alice
U jdi
jP 0Uij�+i
jPUi
U
Abbildung 5.2: Quanten-Programm: Bob soll die unit�are Transformation auf das Qubit jdiausf�uhren. Von Alice bekommt er dazu nur das Qubit jdi und ein Quanten-programm jPUi. Nachdem Bob eine Bell-Messung durchgef�uhrt hat, weisser, ob die Transformation erfolgreich war. Im Falle des Erfolgs f�uhrt er nocheine Swap-Operation (bestehend aus drei CNOT-Gattern) aus.
Bleibt man im Bild der zwei Parteien Alice und Bob, so stellt sich die universelle Quan-tenprogrammierung wie folgt dar (Abbildung 5.2): Alice m�ochte, dass Bob f�ur sie die unit�are
83
Transformation U auf das Qubit jdi anwendet. Nur Alice kennt die Transformation U . Sieerstellt das Quantenprogramm jPU i und das Qubit im Zustand jdi Bob zur Verf�ugung. DesWeiteren �ndet keine klassische Kommunikation zwischen beiden Parteien statt.
Der Gesamtzustand j i = jdi jPUi l�asst sich wie bei der Teleportation als
j i = (a j0i+ b j1i) j0i U j0i+ j1i U j1ip2
(5.27)
=1
2
�a����+
�+������ U j0i+ a
���+�+����� U j1i
+b���+
�� ����� U j0i+ b����+
�� ������ U j1i� (5.28)
=1
2
� ���+�(aU j0i+ bU j1i) + ����� (aU j0i � bU j1i)
+��+
�(aU j1i+ bU j0i) + ���� (aU j1i � bU j0i)� (5.29)
=1
2
� ���+�(U jdi) + ����� (U �z jdi)
+��+
�(U �x jdi) + {
���� (U �y jdi)� (5.30)
umschreiben.F�uhrt Bob nun eine Bell-Messung M auf die ersten beiden Qubits aus und erh�alt eine
Projektion auf den Zustand j�+i, so be�ndet sich das dritte Qubit im Zustand U jdi. Dieunbekannte Transformation U wurde erfolgreich auf das Qubit im unbekannten Zustand jdiangewendet. Nach einer Swap-Operation, die durch drei controlled-NOT Gatter ausgef�uhrtwird, be�ndet sich das Ergebnis auf dem ersten Bit, auf dem der Zustand jdi �ubergebenwurde. Die Erfolgswahrscheinlichkeit f�ur diese nichtdeterministische Operation betr�agt 1=4.
5.3.3 Probabilistische inverse unit�are Transformationen
In diesem Abschnitt sollen die soeben behandelten probabilistischen Quanten-Programmef�ur die probabilistische Inversion einer parametrisierten unit�aren Transformation eingesetztwerden. Der kontinuierliche Parameter dieser Transformation sei nicht bekannt. Wird solcheine unbekannte Transformation angewandt auf einen bekannten Zustand, so besteht nurnoch beschr�ankte Kenntnis �uber den resultierenden Zustand. Die Inversion der unbekanntenTransformation auf Quantenebene soll diese beschr�ankte Kenntnis wieder beseitigen unddamit als Vorstufe f�ur eine anschlie�ende Zustandsunterscheidung dienen. Im Einzelnenergibt sich folgendes Szenario:
Die Zust�ande, �uber die beschr�ankte Kenntnis vorliegen soll, sollen dadurch eingeschr�anktsein, dass sie im Blochbild auf einem Kreis liegen, also durch eine Rotation eines festenZustands um eine beliebige aber feste und bekannte Achse hervorgehen. F�ur die folgendenBetrachtungen, soll die x�Achse als Rotationsachse verwendet werden (Abbildung 5.3).
Die Zust�ande j�1i und j�2i gehen aus dem Zustand j1i durch Rotation um die x�Achseum �1 bzw. �2 hervor.
Rx(�) = e�{�x�=2 (5.31)
j�1i = Rx(�1) j1i � U1 j1i (5.32)
j�2i = Rx(�2) j1i � U2 j1i (5.33)
Die Zust�ande j�1i und j�2i k�onnen geschrieben werden als
j�1i = Rx(�1) j1i (5.34)
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z
x
y
�2�1
j�1i
j�2i
Abbildung 5.3: Eingeschr�ankte Wahl der zu unterscheidenden Zust�ande: Im Blochbild sollenalle Zust�ande auf einem Kreis (gestrichelt) liegen. Die Rotationsachse (hierx) soll bekannt sein.
j�2i = Rx(�2 � �1)Rx(�1) j1i : (5.35)
Ziel in diesem Abschnitt soll die Invertierung der ersten Rotation Rx(�1) sein. Eine allgemei-ne unit�are Transformation l�asst sich nur invertieren, wenn sie bekannt ist. Dann k�onnte sieauch als (probabilistisches) Quantenprogramm implementiert werden. Als Ausgangspunktsollen hier jedoch nur die beiden Qubits in den Zust�anden j�1i und j�2i vorliegen. DurchErweiterung der Strategie aus Kapitel 5.3.2, indem das zweite Qubit als Quantenprogrammaufgefasst wird, l�asst sich die Inversion der ersten Rotation erreichen:
Wendet man wieder das Bild aus der Quanten-Teleportation an, so stellt Alice Bob diezwei Qubits in den Zust�anden j�1i und j�2i zur Verf�ugung. Bob soll daraus die Zust�ande
j�01i = Rx(�(�2 � �1)) j1i (5.36)
undj�02i = j1i (5.37)
generieren (Abbildung 5.4). Bob kennt nur die Rotationsachse (x). Zun�achst verschr�anktBob das zweite Qubit von Alice mit einem Hilfsqubit im Zustand 1p
2(j0i+ j1i) �uber ein
controlled-NOT-Gatter. Da dieses Gatter mit der Rotation um die x-Achse kommutierth1 Rx(�); UCNOT
i= 0; (5.38)
liegt danach der gleiche Zustand wie jPUi in Kapitel 5.3.2 mit U = U2 vor und stellt damitein probabilistisches Quantenprogramm f�ur die Drehung um �2 um die x-Achse dar. DemDatenqubit im Zustand jdi aus Kapitel 5.3.2 entspricht das Qubit im Zustand j�1i. Abererst nach einer Rotation um 180 Grad um die y-Achse und einer R�uckrotation UB
1 nach derBell-MessungM im Erfolgsfall (Ergebnis: j�+i lag vor) ist die Wirkung der TransformationU2 auf das erste Qubit die gew�unschte:
Ry(�) = e{�y�=2 (5.39)
UB1 U2Ry(�)U1 = Ry(��)Rx(�2 � �1)Rx(�1)Ry(�)Rx(�1) = Rx(�(�2 � �1)): (5.40)
j�01i = UB1 U2Ry(�) j�1i = Rx(�(�2 � �1)) j1i : (5.41)
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M ?
BobAlice
1p2(j0i + j1i)
j1i U1
j1i j�01i
j�02ij1i
Ry(�)
j�2i
j�1i
UBiU2
Abbildung 5.4: Probabilistische inverse unit�are Transformation: Die unbekannte unit�areTransformation U1 = Rx(�1) kann von Bob invertiert werden. Bob erzeugtaus den Zust�anden j�1i = Rx(�1) j1i und j�2i = Rx(�2) j1i den Zustandj�01i = Rx(�(�2 � �1)) j1i.
Falls bei der Bell-Messung ein Eigenwert gemessen wurde, der dem Vorliegen von j+ientspricht, so wird nicht U2 als Quantenprogramm ausgef�uhrt sondern U2�x (siehe Glei-chung 5.30). Da beide Transformationen vertauschenh
Rx(�); �x
i= 0; (5.42)
kann die �x-Transformation auch nachtr�aglich mit UB2 = �xRy(��) r�uckg�angig gemacht
werden:
UB2 U2�xRy(�)U1 = �xRy(��)Rx(�2 � �1)Rx(�1)�xRy(�)Rx(�1) = Rx(�(�2 � �1)): (5.43)
j�01i = UB2 U2�xRy(�) j�1i = Rx(�(�2 � �1)) j1i : (5.44)
Die restlichen Ausg�ange der Bell-Messung erzeugen Transformationen, die nicht mit denRotationen um die x-Achse kommutieren. Die Erfolgswahrscheinlichkeit, den Zustand j�01iherzustellen, betr�agt damit 1/2. Den Referenzzustand j�2i kann Bob aus einem Hilfsbit oderdurch Weiterverwendung der Bell-Zust�ande auf den Qubits 1 und 2 generieren.
Durch Nutzung des zweiten Qubits als probabilistisches Quantenprogramm, ist es ge-lungen, die beiden Qubits auferlegte Rotation um �1 r�uckg�angig zu machen. Es handelt sichalso um eine spezielle probabilistische inverse unit�are Transformation.
5.3.4 Kolineare und orthogonale Zust�ande
Das Schema nach Kapitel 5.3.3 l�asst sich zur Unterscheidung von orthogonalen und kolinea-ren Zust�anden verwenden. Alice w�ahlt aus den unendlich vielen Zust�anden, die auf einemKreis auf der Blochkugel liegen, entweder zweimal den gleichen Zustand oder zwei Zust�ande,die orthogonal zueinander stehen, aus und �ubergibt diese beiden Zust�ande in Form von zweiQubits an Bob. Da
�2 � �1 = 0 (5.45)
im Fall von kolinearen Zust�anden ist und
j�2 � �1j = � (5.46)
86
im Fall von orthogonalen Zust�anden ist, liegt nach Anwendung der probabilistischen inversenunit�aren Transformation Bob der Zustand
j�01i = j1i (5.47)
bei kolinearen bzw.j�01i = j0i (5.48)
bei orthogonalen Zust�anden bis auf einen nicht messbaren globalen Phasenfaktor vor. DieseZust�ande k�onnen ohne Zweifel unterschieden werden (Kapitel 5.1). Die Erfolgswahrschein-lichkeit, die F�alle kolinear und orthogonal zu unterscheiden, liegt daher bei 1/2.
Bob muss als a priori -Kenntnis wissen, da� Alice nur orthogonale bzw. kolineare Zust�andepr�apariert, au�erdem m�ussen sich beide Parteien �uber die Lage einer Achse ihrer Koordi-natensysteme einig werden (hier: x�Achse). Die unit�are Transformation um die x-Achsekann auch als passive Rotation der Koordinatensysteme zueinander interpretiert werdenoder einfach als Unkenntnis eines reellen Winkelparameters bei der Festlegung der Koordi-natensysteme.
5.3.5 Linear unabh�angige Zust�ande
W�ahlt Alice zwei linear unabh�angige Zust�ande nach dem Schema aus Kapitel 5.3.3 mit
�2 � �1 = � 6= 0; (5.49)
und schickt sie Bob, so muss Alice Bob au�erdem nur noch den Winkel � mitteilen, damiter beide Zust�ande nach Kapitel 5.2 oder Kapitel 5.2.1 unterscheiden kann. Die Erfolgswahr-scheinlichkeit nimmt dabei nur um den Faktor 1/2 ab. F�ur das weitere a priori -Wissen giltdas in Kapitel 5.3.4 gesagte.
Es ist erstaunlich, dass die Kenntnis des (gerichteten) Di�erenzwinkels zwischen zweiZust�anden auf einem Kreis im Blochbild ausreicht, um eine Unterscheidung beider Zust�andeohne Fehler (Bob wei� immer, wann die Unterscheidung erfolgreich war und wann nicht) zuerm�oglichen.
87
88
6 Zusammenfassung
\The best way to predict the future was to invent it."Steven Jobs, Mitgr�under von Apple Computer
Die Grenzen zwischen Berechnung und physikalischem Experiment verschwimmen beiden betrachteten Messstrategien zusehends: Im Allgemeinen wird vor der Anwendung einesQuanten-Algorithmus ein de�nierter Anfangszustand pr�apariert, der die Eingabedaten dar-stellt. F�ur Messungen hingegen sind die Eingabedaten unbekannte Quantenzust�ande. Aberauch hier ist die Sprache der Quanten-Informationsverarbeitung sinnvoll, wenn vor dem Aus-lesen der Messwerte Quanten-Rechenschritte ausgef�uhrt werden. Die interessierende Gr�o�ebei Quantenalgorithmen ist das unbekannte Rechenergebnis, bei Messungen ist es der un-bekannte Zustand eines Quantensystems zu Beginn der Berechnung. Bis auf diese durch diePragmatik bestimmten und damit subjektiven Interpretationsdi�erenzen gibt es zwischenBerechnung und physikalischem Experiment keine objektiv erkennbaren Unterschiede.
Mit Ausnahme der Sch�atzstrategie liegt bei allen neu vorgestellten Messstrategien die
"RaÆnesse\ der Messung in der verwendeten Quantentransformation. Es hat sich damitgezeigt, dass die
"RaÆnesse\ der Messung in vielen F�allen eÆzient vom klassischen Bereich
auf die quantenmechanische Ebene �ubertragen werden kann. EÆzient in dem Sinne, dassdurch die M�oglichkeiten der Manipulation des Quantensystems �uber Quantenoperationendie eigentliche Messung (auf lokalen, wenigen oder einem einzigen Messkanal) und Messer-gebnisberechnung vereinfacht wird, als auch in dem Sinne, dass die Anzahl der notwendigenMessungen und Hilfssysteme g�unstig skaliert.
Im Einzelnen wurden mehrere erweiterte Messstrategien diskutiert:
Insbesondere wurden
� eine vereinfachte Messstrategie zur Sch�atzung von Spinzust�anden, die weniger Berech-nungen vom Experimentator verlangt { ohne an EÆzienz zu verlieren (Kapitel 3.6),und
� Strategien, die selbst bei beschr�ankter Kenntnis der beiden zu unterscheidenden Zu-st�ande eine Unterscheidung ohne Zweifel m�oglich machen, und dabei nur die Verwen-dung einer weiteren Kopie des betrachteten Quantensystems ben�otigen (Kapitel 5.3),
vorgestellt. W�ahrend im ersten Fall an klassischer Berechnung gespart wird, wird im zweitenFall die Kopie des betrachteten Quantensystems als probabilistisches Quantenprogramminterpretiert, das die klassische Unkenntnis �uber die zu unterscheidenden Zust�ande in einemreellen Parameter probabilistisch kompensiert.
Im neu vorgestellten Bild des Quantenmultiplexers konnten konstruktiv
� der Wechsel des Messkanals und die Ersetzung von Messkan�alen durch andere Mess-kan�ale ([1!1]-Quantenmultiplexer; Kapitel 3.4.1)
89
� Zustandsrekonstruktionsstrategien, die nur einen Messkanal, der nicht einmal vollst�an-dig bekannt sein muss, und die Anwendung allgemeinen unit�arer Transformationenben�otigen ([Alles !1]-Quantenmultiplexer; Kapitel 3.4.2 und 3.4.3)
� die Zustandsrekonstruktion an einem NMR-System (Kapitel 3.5) (daneben wurde nochdie eÆziente Herstellung von pseudo-reinen Zust�anden diskutiert; Kapitel 3.5.2)
� Zustandscharakterisierungsstrategien f�ur maximal verschr�ankte Zust�ande, die die ge-w�unschten Parameter auf lokalenMesskan�alen bereitstellen ([Nicht-lokal!lokal]-Quan-tenmultiplexer; Kapitel 4.1),
� Strategien zur direkten Messung von interessierenden Ma�en unter Verwendung vonHilfssystemen im Allgemeinen und am Beispiel zweier Verschr�ankungsma�e (Ma�-Quantenmultiplexer; Kapitel 4.2)
betrachtet werden.Die Frage, ob auch f�ur Hilbertr�aume der Dimension gr�o�er als 3 ein minimales Quorum
aus Messoperatoren mit identischem, aber beliebig w�ahlbarem Eigenwertspektrum konstru-ierbar ist (Kapitel 3.4.2), bleibt hier noch unbeantwortet.
Auf einer grunds�atzliche Ebene stellt sich die Frage nach der konsistenten Formulierungdes quantenmechanischen Messprozesses [59], der in dieser Arbeit { wie allgemein �ublich {nur axiomatisch vorausgesetzt wurde. Selbst nach hundert Jahren Quantentheorie kommtman nicht umhin, bei der Beschreibung von experimentellen Aufbauten auf klassische Kon-zepte wie Messger�at, betrachtetes System und Beobachter zur�uckzugreifen. Schon die beijeder Messung anfallende klassische Information, also das Scha�en von Fakten durch physi-kalische Ereignisse gem�a� vorgegebener Wahrscheinlichkeiten bzw. Wahrscheinlichkeitsam-plituden, ergibt sich nicht �uber die unit�are Dynamik aus dem Quantenformalismus. Bevordie Quantentheorie als fundamentale Theorie gelten kann, m�ussen solche Fragestellungeninnerhalb der Theorie gekl�art werden k�onnen.
90
Literaturverzeichnis
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94
Abbildungsverzeichnis
1.1 Struktur einer Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Struktur eines physikalischen Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Struktur eines quantenphysikalischen Experiments: Gliederung in Pr�aparations-
und Berechnungsphasen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Quantenmultiplexer f�ur den Messkanalwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Quantenmultiplexer zur Zustandsrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Quantenmultiplexer zur Zustandsrekonstruktion bei nicht vollst�andig bekann-
tem Messkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Schritteschema des selbst-lernenden Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Information S(p1) bei zwei Messausg�angen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6 Auftragung der numerisch ermittelten Gr�o�e . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7 Verh�altnis der Treue der betrachteten Einzelmessungsstrategien zur Treue
der optimalen Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1 [Nicht-lokal ! lokal]-Quantenmultiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zust�ande unter AV-Transformation:
Verschr�ankungsma� Tr��1
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zust�ande unter AV-Transformation:Verschr�ankungsma� E(�) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Verhalten allgemeinerer 2-Spin-Zust�ande unter AV-Transformation:Verschr�ankungsma� �(�) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Quantenmultiplexer zur direkten Messung eines Ma�es . . . . . . . . . . . . 694.6 Quantenaddierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.7 Quantenaddierer als kontrollierte Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.8 Quantenmultiplizierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.9
"Horizontale\ Berechnung von M2
ij auf quantenmechanischer Ebene. . . . . . 744.10 Berechnung von � auf quantenmechanischer Ebene mit Einzelqubits als Hilf-
systeme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.11
"Vertikale\ Berechnung von M2
ij auf quantenmechanischer Ebene . . . . . . . 764.12 Berechnung von � auf quantenmechanischer Ebene mit eÆzientem Einsatz
der Qubit-Hilfssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1 Quanten-Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2 Quanten-Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3 Eingeschr�ankte Wahl der zu unterscheidenden Zust�ande . . . . . . . . . . . . 855.4 Probabilistische inverse unit�are Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 86
95
Tabellenverzeichnis
1.1 Spezi�kation der behandelten Messstrategien, Rekonstruktion . . . . . . . . 91.2 Spezi�kation der behandelten Messstrategien, Charakterisierung . . . . . . . 101.3 Spezi�kation der behandelten Messstrategien, Unterscheidung . . . . . . . . 10
3.1 Auswirkung der Pulsprogramme auf die SU(2) SU(2)-Basisoperatoren . . 41
96
Abk�urzungsverzeichnis
AV Antipodisch verschr�ankt: AV-Unterr�aume sind Unterr�aume, in denen maximal ver-schr�ankte Zust�ande in minimal verschr�ankte Zust�ande und umgekehrt durch eineunit�are Transformation (AV-Transformation) (siehe Kapitel 4.1.1 und 4.1.2).
CNOT Controlled-NOT: Unit�are Transformation, die auf zwei Qubits wirkt. Abh�angig vomersten Qubit wird eine NOT-Operation (nicht) auf das zweite Qubit angewandt. DasCNOT entspricht dem exclusiv-oder (XOR) in der booleschen Logik (das Kontrollqubitmuss erhalten bleiben, damit die Operation reversibel ist, daher zwei Ausg�ange imGegensatz zum XOR).
EPR Einstein-Podolsky-Rosen: Die Autoren eines Artikels [25] zur (Un)-Vollst�andigkeitder Quantentheorie, in dem durch Orts- und Impulsmessungen die nicht-lokale Wir-kung des quantenmechanischen Messprozesses beschrieben wird: EPR-Paradoxon. AlsEPR-Zustand wird im allgemeinen ein Spin-Zustand (Bohmsche Formulierung desEPR-Paradoxons) verstanden, der nur nicht-lokale Eigenschaften aufweist (siehe Ka-pitel 2.5.2).
EW Eigenwert; EW (A): Menge der Eigenwerte des Operators A.
FID Free induction decay (Freier Induktionszerfall): Induktionssignal, das in der Messs-pule eines NMR-Experiments durch die freie Pr�azession der Kernspins im statischenMagnetfeld erzeugt wird. Durch Dekoh�arenzprozesse f�allt das Signal ab (siehe Kapi-tel 3.5.1).
IDP Ivanovic-Dieks-Peres-Messung: Verallgemeinerte Messung, die die Unterscheidung zwi-schen nicht-orthogonalen Zust�anden mit einer h�oheren Wahrscheinlichkeit als mit Pro-jektionsmessungen erm�oglicht (siehe Kapitel 5.2.1).
LUT Lokale unit�are Transformation: Im Gegensatz zu allgemeinen unit�aren Transforma-tionen lassen die lokalen unit�aren Transformationen alle nicht-lokalen Eigenschafteneines Quantensystems invariant (siehe Kapitel 2.5.3).
NMR Nuclear magnetic resonance (Magnetische Kernresonanz): Durch resonante elektro-magnetische Felder (CW oder Pulse) im Radiobereich werden Kernspins in einemMagnetfeld manipuliert (siehe Kapitel 3.5).
POVM Positive operator-valued Measure: positives operator-wertiges Ma�. De�nition sieheKapitel 2.6.1.
QADD Quantenaddierer (siehe Kapitel 4.2.1)
QMUL Quantenmultiplizierer (siehe Kapitel 4.2.2)
QMUX Quantenmultiplexer (siehe Kapitel 3.4)
97
SU(n) Generatoren der speziellen unit�aren Gruppe in einem n-dimensionalen Hilbert-Raum(siehe Kapitel 2.3).
98
Danksagung
Hilfreich bei der Erstellung meiner Diplomarbeit waren folgende Personen, denen ich daf�urmeinen Dank aussprechen m�ochte:
Danken m�ochte ich
Prof. Dr. G. Mahler, der als kollegialer Betreuer dieser Arbeit F�uhrung gab, ohne ein-zuschr�anken,
Prof. Dr. G. Wunner f�ur die Aufnahme am Institut f�ur Theoretische Physik I,
Prof. Dr. A. Muramatsu f�ur die freundliche �Ubernahme des Mitberichts,
allen Mitarbeitern am Institut,
der Arbeitsgruppe, insbesondere f�ur anregende Montagsma(h)ler-Diskussionen und die guteZusammenarbeit: Jochen Gemmer, Dr. Claus Granzow, Martin Karremann, Dr. Ilki Kim,Alexander Otte, Peter Pangritz, Marcus Stollsteimer und Thomas Wahl,
meinem Zimmergenossen Marcus Stollsteimer sowohl f�ur viele hilfreiche fachliche Gespr�acheals auch daf�ur, dass er mir das (Tee)-Wasser reichen kann,
der Ka�eerunde f�ur die kontroversen Diskussionen,
meinen Eltern Anneliese und Gerhard Tonner f�ur die mir gew�ahrte �nanzielle und intel-lektuelle Freiheit, die f�ur die Dauer der Diplomarbeit eine HIWI-T�atigkeit ersparte, jedochnicht meinen B�ucherkonsum drosselte
und schlie�lich meiner Freundin Carolin Roth f�ur das Korrekturlesen dieser Arbeit unddas Besondere im allt�aglichen Leben.
99
