Diplomarbeit CalculiX Hiller
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Transcript of Diplomarbeit CalculiX Hiller
Vorgelegt von: Jörg Hiller (183240) Externer Betreuer: Dr.-Ing. Jan Reger Hochschul Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Michael Wahle
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Evaluierung von Open-Source Finite-Elemente Solvern für den Einsatz in
Optimierungsprozessen
Sperrvermerk
Fachhochschule Aachen
Jörg Hiller, Mat.-Nr. 183240
I
Sperrvermerk
Die vorliegende Diplomarbeit beinhaltet vertrauliche Informationen der Firma P+Z
Engineering GmbH. Die Weitergabe des Inhaltes der Arbeit im Gesamten oder in
Auszügen ist grundsätzlich untersagt. Es dürfen keine Kopien oder Abschriften
angefertigt werden. Ausnahmen bedürfen der schriftlichen Genehmigung der Firma
P+Z Engineering GmbH.
Es wird jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die im Anhang dargestellten
Beispiele (Test1 – Test3 mit den dazugehörigen Ergebnissen und Abbildungen im
Hauptteil) vom Betreuer, Herrn Prof. Wahle, zu Lehrzwecken genutzt werden
dürfen.
München, Apri 2008
Dipl.- Ing. Jan Reger
P+Z Engineering GmbH
Anton-Ditt-Bogen 3
D - 80939 München
E-mail: [email protected]
Erklärung
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II
Erklärung
Hiermit erkläre ich, Jörg Hiller, geboren am 22.02.1978, in Düren, die vorliegende
Diplomarbeit selbständig angefertigt zu haben. Es wurden keine anderen, als die
angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt.
Kurzfassung
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III
Kurzfassung
In dieser Arbeit werden Open-Source Finite-Elemente-Programme auf ihre
Einsatzfähigkeit in Optimierungsprozessen untersucht.
Um eine Optimierung schnell durchzuführen, wird eine große Anzahl an
Simulationen benötigt. Häufig stehen jedoch nicht genügend Lizenzen zu
Verfügung. Hier bietet sich der Einsatz von frei verfügbaren Programmen an.
In Rahmen der Diplomarbeit werden verschiedene Programme aus
unterschiedlichen Anwendungsgebieten kurz vorgestellt. Geeignete Programme
werden anhand von Standard-Beispielsimulationen auf ihre Ergebnisqualität
untersucht und mit analytischen Lösungen und den Ergebnissen der kommerziellen
Programme NASTRAN und Abaqus verglichen. Anschließend wird die maximale
Modellgröße auf verschiedenen Computersystemen bestimmt und die benötigte
Rechenzeit sowie der Speicherverbrauch getestet. Zum Ende wird die Software in
einen Optimierungsprozess integriert.
Als Ergebnis der Arbeit wurde eine Software gefunden, die sich ohne Probleme in
schon bestehende Prozesse integrieren lässt. Das Programm ist kompatibel zu
kommerziellen Preprocessoren und hat ein einfaches Inputformat. Die
Lösungsqualität ist gut und größere Modelle können in einer angemessenen Zeit
berechnet werden. Ferner lässt sich die Software in Optimierungsprozesse
integrieren.
Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis.......................................................................................................... 2 Tabellenverzeichnis.............................................................................................................. 3 1 Einleitung ..................................................................................................................... 4 2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme............................................................. 5
2.1 Kriterien zur Auswahl der Open-Source Programme................................................... 6 2.2 Übersicht Open-Source FE-Programme..................................................................... 7
2.2.1 CalculiX ...................................................................................................... 10 2.2.2 Open Foam................................................................................................... 11 2.2.3 Impact......................................................................................................... 12 2.2.4 MBDyn........................................................................................................ 14 2.2.5 OOFEM....................................................................................................... 15
2.3 Besonderheiten von CalculiX/OOFEM.................................................................... 17 2.3.1 CalculiX ...................................................................................................... 17 2.3.2 OOFEM....................................................................................................... 20
3 Evaluation der FE-Programme.................................................................................... 22 3.1 Durchbiegung Blattfeder........................................................................................ 23
3.1.1 Fazit............................................................................................................ 26 3.2 Biegeeigenfrequenz Balken.................................................................................... 28
3.2.1 Fazit............................................................................................................ 31 3.3 Eigenfrequenzen Platte.......................................................................................... 32
3.3.1 Fazit............................................................................................................ 35 3.4 Test Modellgröße.................................................................................................. 36
3.4.1 Fazit............................................................................................................ 38 3.5 Zusammenfassung................................................................................................ 40
4 Optimierung ............................................................................................................... 42 4.1 Einführung Sensitivitätsanalyse / Robustheitsanalyse................................................ 43
4.1.1 Optimierungsprozess Finite-Elemente Querlenker............................................. 44 4.2 Fazit der Optimierung............................................................................................ 46
5 Steifigkeitsberechnung Motorhaube............................................................................ 49 5.1 Kopfaufpralldefinition........................................................................................... 50
5.1.1 Modellbeschreibung FE-Motorhaube............................................................... 50 5.2 Diskussion der Simulationsergebnisse..................................................................... 51
6 Diskussion der Ergebnisse........................................................................................... 54 A1 Open-Source FE-Programme.................................................................................. 57 A2 Inputdecks.............................................................................................................. 60
A2.1 Test 1.................................................................................................................. 60 A2.2 Test 2.................................................................................................................. 63 A2.3 Test 3.................................................................................................................. 65
A3 Analytische Herleitung............................................................................................ 67 A3.1 Test 1. Durchbiegung Blattfeder............................................................................. 68 A3.2 Test 2. Eigenfrequenz Biegebalken......................................................................... 72 A3.3 Test 3. Eigenfrequenzen fest eingespannte Platte...................................................... 79
A4 Literaturverzeichnis ................................................................................................ 84
Abbildungsverzeichnis
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Abbildungsverzeichnis
Abb. 2-1: Postprocessor CalculiX GraphiX [http://www.calculix.de/]................................... 10 Abb. 2-2: Pre-/Postprocessing Open Foam [http://www.opencfd.co.uk/openfoam/doc/] ..... 12 Abb. 2-3: Pre-/Postprocessor Impact [http://impact.sourceforge.net/]................................. 13 Abb. 2-4: Pre-/Postprocessing Blender [http://www.osengineer.com/blendedmbdynusersguide.htm].............................................. 14 Abb. 2-5: Postprocessing OOFEM [http://www.oofem.org/]................................................ 15 Abb. 2-6: Expansion Plattenelemente ................................................................................ 18 Abb. 2-7: Expansion Balkenelement .................................................................................. 19 Abb. 3-1: FE-Modell Test 1 ................................................................................................ 23 Abb. 3-2: Einfluss Elementdiskretisierung auf Verschiebung (Bild: CalculiX-GraphiX) ....... 24 Abb. 3-3: Vergleich analytische Lösung / Open-Source ..................................................... 25 Abb. 3-4: Varianten NASTRAN (Schubweich) / Open-Source............................................ 26 Abb. 3-5: Vergleich aller FE-Ergebnisse mit der analytischen Lösung. .............................. 27 Abb. 3-6: FE-Model Test 2................................................................................................. 28 Abb. 3-7: Eigenformen CalculiX (Bild: CalculiX-Graphix) ................................................... 29 Abb. 3-8: Vergleich analytische Lösung (nach Timoshenko und Bernoulli) / CalculiX......... 30 Abb. 3-9: Vergleich NASTRAN / CalculiX........................................................................... 30 Abb. 3-10: FE-Modell Test 3 .............................................................................................. 32 Abb. 3-11: Eigenformen CalculiX (Bild:CalculiX-CrunchiX) ................................................ 33 Abb. 3-12: Eigenformen NASTRAN (Bild: Patran).............................................................. 33 Abb. 3-13: Vergleich Eigenfrequenzen Hexaeder- / Schalenmodell ................................... 34 Abb. 3-14: Speicherbedarf / Modellgröße (64Bit-System) .................................................. 37 Abb. 3-15: Rechenzeit: Solver / Modellgröße..................................................................... 38 Abb. 4-1: "Robust Design" ................................................................................................. 43 Abb. 4-2: Querlenkermodell ............................................................................................... 44 Abb. 4-3: Ausschnitt Inputdeck CalculiX............................................................................. 45 Abb. 4-4: Dakotainput ........................................................................................................ 46 Abb. 4-5: Änderung E-Modul durch DAKOTA .................................................................... 47 Abb. 4-6: Scatterplot .......................................................................................................... 48 Abb. 5-1: Kopfaufprall [www.euroncap.com] ...................................................................... 50 Abb. 5-2: FE-Modell Motorhaube ....................................................................................... 51 Abb. 5-3: Verschiebung Motorhaube.................................................................................. 52 Abb. A3-1: Blattfeder.......................................................................................................... 68 Abb. A3-2: Bernoulli Annahme........................................................................................... 69 Abb. A3-3: Zusammenhang Verdrehung und Winkeländerung .......................................... 70 Abb. A3-4: Gesamtverschiebung ....................................................................................... 71 Abb. A3-5: Gedrungener Balken ........................................................................................ 72 Abb. A3-6: Verdrehung Balken .......................................................................................... 72 Abb. A3-7: Balkenelement ................................................................................................. 72 Abb. A3-8: Bewegungsgleichung Balken ........................................................................... 74 Abb. A3-9: Vergleich der Balkentheorien [GRA91]............................................................. 76 Abb. A3-10: Platte.............................................................................................................. 79 Abb. A3-11: Bewegungsgleichung Platte ........................................................................... 79 Abb. A3-12: Eigenformen einer quadratischen Platte mit Seitenlänge a und Biegesteifigkeit D[LEI61]............................................................................................................................. 80 Abb. A3-13: Schub- und Rotationsträgheitseinfluss auf die Wellengeschwindigkeit [MIN61].......................................................................................................................................... 81
Tabellenverzeichnis
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Tabellenverzeichnis
Tabelle 2-1. Übersicht Open-Source Programme ................................................................ 9 Tabelle 3-1: Modellgrößen des Benchmarks...................................................................... 36 Tabelle A3-1: Charakteristische Gleichungen für verschiedene Randbedingungen [GRO99].......................................................................................................................................... 74 Tabelle A3-2: Vergleich der Eigenfrequenzen nach Quellen .............................................. 77 Tabelle A3-3: Eigenfrequenzen.......................................................................................... 80 Tabelle A3-4: Einsatzgebiete Plattentheorie ...................................................................... 82
1 Einleitung
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1 Einleitung
Die Finite-Elemente Methode (FEM) ist derzeit das wichtigste Werkzeug im
Ingenieurbereich. Erstmals wurde die FEM im Bereich der Struktur- und
Strömungsmechanik 1956 von Boeing zur Untersuchung gepfeilter Flugzeugflügel
eingesetzt. Seitdem hat es eine rasante Entwicklung in den Simulationsverfahren
gegeben, die auf die steigenden Rechnerkapazitäten bei sinkenden Kosten, den
Einzug computergestützter Produktentwicklung und das rechnergestützte
Konstruieren beruht. Die Bedeutung der Finite-Elemente Methode ergibt sich aus
dem großen Einsatzspektrum. So können schon in der Entwurfsphase verschiedene
Konzepte auf ihre Tauglichkeit untersucht und die unterschiedlichsten Einflüsse
sondiert werden. Das Computer Aided Engineering (CAE) trägt so dazu bei, die
Entwicklungskosten und –zeit zu senken, die Anzahl von teuren Versuchsreihen zu
reduzieren und das Produkt optimal auszulegen. Voraussetzung für die Erfüllung
dieser Ziele ist dabei eine leistungsfähige Soft- und Hardware, hinreichende
Einarbeitungszeit in die verwendeten Softwareprodukte sowie eine kritische
Beurteilung der berechneten Ergebnisse. Um alle Vorteile des virtuellen Prototyping
ausnutzen zu können, ist ein großes Softwareportfolio notwendig, wodurch zum Teil
enorme Lizenzkosten anfallen. Dies ist insbesondere bei Optimierungen der Fall, wo
nach Möglichkeit viele Simulationen parallel laufen, um ein schnelles und
aussagekräftiges Ergebnis zu erhalten. Um die Lizenzkosten bei
Optimierungsprozessen niedrig zu halten bietet sich der Einsatz von Open-Source-
Software an. Hierbei muss beachtet werden, dass der Wegfall der Lizenzkosten
durch aufwendiges Einarbeiten in das neue Softwareprodukt oder durch
umständliches Integrieren in schon bestehende Prozesse relativiert werden kann.
Somit müssen bei der Verwendung von Open-Source-Softwareprogrammen die
Faktoren Einarbeitung, Integration, Ergebnisqualität und Kompatibilität bedacht
werden.
In dieser Arbeit wird einleitend ein Überblick über den Markt der Open-Source-
Finite-Elemente Programme gegeben und geeignete Pakete weiter untersucht.
Dazu werden einige Testbeispiele simuliert und die Ergebnisqualität anhand
Berechungen mit kommerziellen Programmen und einem analytischen Ergebnis
bewertet. Abschließend wird die Integration in einen Optimierungsprozess getestet.
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
In der Automobilindustrie ist heute das Simulieren von Gesamtfahrzeugen oder
einzelnen Komponenten integrativer Bestandteil des Entwicklungsprozesses.
Frühzeitig werden neue Entwicklungen in der Softwaretechnologie angewendet und
vorhandene Programme durch neue Anforderungen an den Hersteller erweitert. So
umfasst das Einsatzspektrum an Simulationen zum Beispiel:
• Fahreigenschaftsimulationen.
• Numerische Strömungssimulationen zur Bewertung des Klimakomforts.
• Festigkeitsberechnungen, um das Bauteilversagen vorherzusagen.
• Kontaktanalysen (Crash) für Unfallsimulationen.
• Akustikuntersuchungen zur Geräuschminderung.
• Dynamiksimulationen, um das Schwingungsverhalten zu bewerten.
Für jede der oben aufgeführten Simulationen kommen jeweils spezielle Programme
aus verschiedenen Bereichen der nummerischen Simulation zum Einsatz. Der
Großteil an Berechnungen mittels der Finite-Elemente-Theorie befasst sich jedoch
mit dem Gebiet der Statik und Dynamik. Jeder Ingenieur lernt an der Hochschule
die analytischen Grundlagen, um Festigkeitsprobleme und das dynamische
Verhalten von Körpern zu berechnen. Um den Studenten einen kostenlosen Zugang
zur Finite-Elemente-Theorie und diese durch Übungen zu verfestigen, werden
häufig an den Universitäten eigene Programme entwickelt. Daher ist der Umfang an
Software, mit der sich Probleme aus diesen Bereichen berechnen lassen, groß.
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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2.1 Kriterien zur Auswahl der Open-Source Programme
Bei der Recherche zu Open-Source-Programmen wurden weit über 100
Softwarepakete gefunden (siehe Anhang A1). Grundsätzlich lassen sich die
Programme in drei Kategorien einteilen.
Zum einen sind das die Softwarepakete aus dem Umfeld einer Universität. Hier liegt
der Schwerpunkt in der Simulation von kleinen Problemen, die sich auch mit einer
Handrechnung lösen lassen, um den Studenten den Einstieg in die Finite-Elemente-
Theorie zu ermöglichen. Die Benutzerfreundlichkeit bei der Erstellung des Inputs ist
dabei nicht immer gegeben. Auch sind die Darstellungsmöglichkeiten der
Ergebnisse beschränkt und es gibt keine Importschnittstellen zu anderen FE-
Programmen.
Die zweite Kategorie sind die „semi-professionellen“ Open-Source Projekte. Hierbei
handelt es sich um Programme, die schon länger existieren und durch Webseiten
einer breiten Öffentlichkeit zugänglich gemacht wurden. Dies hat zur Folge, dass
immer mehr Personen an der Entwicklung beteiligt sind und eine breite
Benutzergemeinde durch Anwenden des Programms zur Fehlerbeseitigung
beitragen. Diese Programme besitzen meist Importschnittstellen zu anderen
Programmen und ermöglichen eine grafische Darstellung der Ergebnisse. Der Code
lässt meist das Parallelisieren der Simulation zu und verfügt über effektiv arbeitende
Gleichungslöser, um auch große Probleme zu berechnen.
Als letzte Kategorie gibt es die „low-cost“ Programme. Diese Software bietet einen
mit kommerziellen Programmen vergleichbaren Funktionsumfang und liefert meist
ausgereifte Pre- und Postprocessoren mit. Für die Verwendung der Software und
den Support fallen geringe Lizenzkosten an.
Bei den für diese Diplomarbeit untersuchten Programmen handelt es sich
ausschließlich um frei verfügbare (Open-Source) Produkte. Zur Auswahl geeigneter
Programme werden folgende Kriterien formuliert, die in Teilen erfüllt werden sollten:
• Importfunktion für CAD-Formate, wie z.B.: IGES, STEP
• Importfilter für Finite-Elemente Netze aus anderen Programmen, wie
NASTRAN, Abaqus, ANSYS. Hierdurch besteht die Möglichkeit,
kommerzielle Preprocessoren für die Vernetzung zu nutzen. Vorteilhaft an
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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diesem Vorgehen ist, dass diese Programme mehr Funktionen für eine
Vernetzung zur Verfügung stellen.
• Einfaches und klar definiertes Inputformat, um die Einarbeitung zu erleichtern
und Fehler zu vermeiden.
• Eigener Preprocessor oder kompatibel zu kommerziellen Programmen.
• Eine umfangreiche Elementbibliothek. Mindestens sollten hier Schalen- und
Volumenelemente vorhanden sein, die für eine Simulation im Raum (6
Freiheitsgrade) geeignet sind.
• Linear-elastisches Werkstoffverhalten.
• Fähigkeit stationäre, statische, transiente und dynamische Probleme zu
simulieren.
• Eigener Postprocessor oder kompatibel zu kommerziellen Programmen.
• Multiprozessorfähigkeit oder die Möglichkeit, Modelle parallel zu simulieren,
um die teilweise sehr großen Modelle berechnen zu können.
2.2 Übersicht Open-Source FE-Programme
Die im vorherigen Kapitel formulierten Anforderungen konnten nur wenige
Programme erfüllen. Viele Programme sind nur für die Berechnung von kleineren
Problemen geeignet, was daran liegt, dass der Hauptanteil der Programme in dem
Umfeld einer Universität entwickelt wurde. Somit waren meistens die
Grundvoraussetzungen wie Preprocessorfähigkeit, d.h. die Möglichkeit aus CAD-
Daten Finite-Elemente Netze zu erzeugen oder schon vorhandene Netze aus
anderen Formaten zu importieren, nicht gegeben. Oder Simulationen können nur in
der Ebene und nicht im dreidimensionalen Raum durchgeführt werden.
Aus den gefundenen Programmen werden nur zwei als aussichtsreiche Kandidaten
weiter untersucht. Das Programm OOFEM, welches an der Prager Universität für
Maschinenbau entwickelt wird und CalculiX, das von Mitarbeitern bei MTU in
München entwickelt wird.
In Tabelle 2-1 findet sich eine Funktionsübersicht der Programme. Hier sind auch
Open-Source Programme aus anderen Anwendungsgebieten aufgeführt, die im
Rahmen der Recherche gefunden wurden. Diese zeichnen sich durch einen sehr
fortgeschrittenen Entwicklungsstand aus oder sind die einzigen in ihrem
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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Einsatzbereich. Eine kurze Beschreibung der aufgeführten Programme findet sich in
den nachfolgenden Kapiteln.
Als sehr gutes Beispiel einer Open-Source Software muss das Programm
Code_Aster kurz erwähnt werden. Code-Aster wird von Electricitè de France (EDF),
dem französischen nationalen Energieversorgungsunternehmen, seit über 10
Jahren entwickelt und seit 2001 unter der GNU-Lizenz samt dem Quellcode zur
Verfügung gestellt wird. Das Programm kann unter http://www.code-aster.org/
herunter geladen werden. Es bietet den vollen Funktionsumfang einer
kommerziellen Software, wie z.B. MD NASTRAN, an und ist zu vielen Pre- und
Postprocessoren kompatibel. Ein gravierender Nachteil ist die französische
Dokumentation. Die notwendigen französischen Begriffe für das Inputformat und
den mitgelieferten Pre-/Postprocesor Salome lassen sich sicherlich erlernen,
machen einen Einstieg aber nicht gerade einfach.
Zur Zeit gibt es große Anstrengungen, um Code_Aster einer englischsprachigen
Benutzergemeinde zugänglich zu machen. Hier ist das Projekt CAElinux
[http://caelinux.com/CMS/] sehr weit fortgeschritten und bietet einen ersten Einstieg
in Code_Aster.
Aufgrund der Sprachbarriere und des großen Funktionsumfangs wird Code_Aster
nicht weiter in der Diplomarbeit untersucht.
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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Tabelle 2-1. Übersicht Open-Source Programme
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2.2.1 CalculiX
Die Simulationsumgebung CalculiX kann statische, dynamische, nichtlineare
Probleme sowie Wärmeleitung, inkompressible Flüssigkeiten und Kontaktprobleme
berechnen. In dem Softwarepaket sind der Solver CalculiX CrunchiX und der Pre-
/Postprocessor CalculiX GraphiX enthalten (Abb. 2-1). Zur Lösung der
Gleichungssysteme stehen zwei iterative und ein direktes Verfahren zur Auswahl.
Falls die Programmexecutables aus den Sourcedateien kompiliert werden,
bestehen zusätzlich die Optionen einen „out-of-core“ Solver einzubinden, Dual-Core
CPUs anzusteuern und das Message Passing Interface (MPI) für Clustersysteme zu
implementieren. Der Simulationsinput gleicht dem Abaqusformat, wodurch auch
kommerzielle Preprocessoren für die Erstellung des Inputdecks verwendet werden
können. Der mitgelieferte Preprocessor hat keine grafische Benutzeroberfläche. Die
Vernetzung von Strukturen erfolgt daher innerhalb der Linuxshell. Einige Eingaben
werden in dem Grafikfenster des Postprocessor durchgeführt und der Fortschritt
kann hier verfolgt werden. Für komplexere Strukturen kann daher nur das
automatische Vernetzen mit Tetraederelementen angewandt werden. Die
Elementbiliothek ist sehr umfangreich und beinhaltet sogar Sonderelementen wie
z.B.: Gapelemente oder Multi Point Constraint Equations (MPC).
Abb. 2-1: Postprocessor CalculiX GraphiX [http://www.calculix.de/]
Die Materialdatenbank umfasst linear-elastisches, hyperelastisches,
viskoelastisches und elastoplatisches Materialverhalten. Inputdecks aus den
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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Simulationsprogrammen NASTRAN, Abaqus, Ansys, Code_Aster, Duns, ISAAC
und OpenFOAM können importiert werden. Für die Darstellung der Ergebnisse
durch CaluliX GraphiX stehen Fringeplots und Vektorplots oder „time histoy plots“
zur Verfügung. Animierte Strukturen werden in Form von Gif-Animationen exportiert.
Auf der Homepage von CalculiX lassen sich Tutorials, Beispiele und die
Dokumentationen zu CalculiX CrunchiX und CalculiX GraphiX herunterladen. Für
Fragen, die nicht mit dem Manual geklärt werden, gibt es ein sehr aktives Forum.
2.2.2 Open Foam
Open Foam ist ein Programm zur Simulation von kompressiblen / inkompressiblen
Fluiden, Wärmekonvektionsströmungen und Elektrodynamik. Das Programm ist
eine Softwaresammlung bestehend aus verschiedenen C++ Modulen. So besteht
die Möglichkeit, die zur Verfügung stehenden Solver, Pre-/Postprocessoren,
Datenvisualisierungsmodule und Netz-/Inputmanipulierungsprogramme einzeln
anzusteuern oder aber die Bibliotheken im vordefinierten Prozess anzuwenden. Die
Aufspaltung in einzelne Module ermöglicht dem Anwender eine Anpassung an seine
speziellen Bedürfnisse. In Kombination mit der gängigen Programmiersprache C++
lassen sich so leicht neue Prozesse implementieren und das Programm erweitern,
ohne dass die gesamte Softwarestruktur bearbeitet werden muss. Für den Import
von vorhandenen Inputdateien stehen Schnittstellen zu den kommerziellen
Programmen Fluent und Star-CD zur Verfügung. Dadurch wird das Erstellen neuer
Simulationsaufgaben erheblich vereinfacht und das Einarbeiten in den Open Foam
Input durch Vergleichen der verschiedenen Formate erleichtert. Finite-Elemente
Netze können aus den Programmen ANSYS, CFX, Ideas, gmsh und Netgen
importiert oder durch das implementierte Vernetzungsmodul erstellt und bearbeitet
werden. Dafür wird die Struktur zuerst in einer ASCII-Datei definiert und
anschließend automatisch vernetzt. Hier ist es von Vorteil, dass das Netz in einem
kommerziellen Programm mit grafischer Benutzeroberfläche erstellt werden kann
und hinterher in einem importfähigen Format eingelesen wird. Zum Manipulieren
stehen innerhalb von Open Foam grundsätzliche Befehle wie z.B.
Zusammenführen, Anbinden, Überprüfen, Verfeinern, Trennen usw. zur Verfügung.
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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Abb. 2-2: Pre-/Postprocessing Open Foam [http://www.opencfd.co.uk/openfoam/doc/]
Um einen Simulationslauf zu definieren bzw. zu editieren wird auf den eigenen
grafischen Pre-/Postprocessor zurückgegriffen (Abb. 2-2). Hier können alle
Aufgaben von Vernetzung bis hin zum grafischen Darstellen der Ergebnisse
grafisch abgearbeitet werden. Für das Postprocessing bietet Open Foam ein
eigenes Tool an oder aber die Ergebnisse werden in VTK-Format heraus
geschrieben und in dem Open-Source Programm Paraview
[http://www.paraview.org] bzw. dem kommerziellen Tool Ensight dargestellt. Für
Fragen oder einen ersten Einstieg gibt es ein aktives Diskussionsforum sowie
Tutorials und eine sehr ausführliche Dokumentation.
2.2.3 Impact
Mit der Software Impact können Crashanalysen und Umformprozesse simuliert
werden. Impact ist in JAVA geschrieben wodurch sehr leicht Simulationen auf
verschiedenen Computerarchitekturen durchführen lassen, da JAVA eine
plattformunabhängige Programmiersprache ist. Das Programm befindet sich jedoch
noch in einer frühen Entwicklungsphase. Somit sind die Kontaktdefinitionen,
Materialmodelle sowie die Elementbibliothek noch nicht sehr fortgeschritten. Impact
liefert aber bereits eine komplette Pre-/Postprocessingumgebung für die
Vernetzung, Simulationsdefintion und die grafische Darstellung der Ergebnisse
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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(Abb. 2-3). Weiterhin wird der Pre-/Postprocessor GiD und die Open-Source
Vernetzungssoftware Gmsh unterstützt. Für das Importieren von vorhandenen
Strukturen bietet Impact eine rudimentäre Schnittstelle zu NASTRAN, wobei
Randbedingungen und Materialdefinitionen nicht mit übersetzt werden. In Zukunft
wird hier aber mehr unterstützt, um eine große Zielgruppe durch das weit verbreitete
Format anzusprechen bzw. größtmögliche Kompatibilität zu gewährleisten. Hierfür
werden dann auch in einer fortgeschrittenen Version die Inputformate der
kommerziellen Crashprogramme Radioss und PAM-CRASH importiert werden
können.
Abb. 2-3: Pre-/Postprocessor Impact [http://impact.sourceforge.net/]
Als Zusatzfeature kann mit Impact eine Topologieoptimierung durchgeführt werden.
Im ersten offiziellen stabilen Release soll dann auch noch eine Parametrisierung
des Modells bei der Topologieoptimierung möglich sein. Die gesamte
Dokumentation und die Anwenderbeispiele befinden sich ebenfalls noch in einer
Betaphase. Aus der Mailingliste lässt sich eine sehr aktive
Entwickler/Anwendergemeinde ableiten und Fragen werden relativ schnell und
kompetent beantwortet.
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2.2.4 MBDyn
MBDyn steht für MultiBody Dynamics Software. Es handelt sich hierbei um eine
Software zum Simulieren von Mehrkörpersystemen. Für das grafische Pre- und
Postprocessing stehen verschiedene Tools anderer Softwareprojekte zur
Verfügung. Da es sich (noch) um einen Forschungscode handelt, haben diese
Projekte die Entwicklung der grafischen Benutzeroberfläche übernommen (Abb.
2-4), während sich die Entwicklergruppe von MBDyn weiterhin um die Verbesserung
des Codes kümmert. Für nähere Informationen über die Pre-
/Postprocessorprogramme siehe:
• MBDyn sim suite Projekt [http://mbdynsimsuite.sourceforge.net/]
• Blender [http://www.osengineer.com/blendedmbdynintro.htm]
Neben den oben genannten Möglichkeiten steht noch eine Exportschnittstelle für die
Ergebnisanimation zu dem kommerziellen Programm ADAMS/View zur Verfügung.
Abb. 2-4: Pre-/Postprocessing Blender [http://www.osengineer.com/blendedmbdynusersguide.htm]
Um die Ergebnisqualität zu verbessern, können flexible Körper mit Hilfe von
NASTRAN generiert werden. Als Hilfe stehen neben den verschiedenen
Mailinglisten eine ausführliche Dokumentation sowie Tutorials und Beispiele zur
Verfügung.
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2.2.5 OOFEM
OOFEM steht für Object Oriented Finite Element Solver. Mit OOFEM können
dynamische, statische und strömungsmechanische Berechungen sowie
Wärmekonvektionsströmungen simuliert werden. OOFEM kann auf mehreren
Rechnern parallel ausgeführt werden. Hierdurch besteht die Möglichkeit, auch
größere Strukturen zu simulieren. Die Elementbibliothek beinhaltet alle gängigen
Elementtypen für strukturmechanische Berechnungen, wobei aber das
Haupteinsatzgebiet der Elemente im zweidimensionalen Raum liegt. Für die
räumliche Abbildung von Strukturen stehen Tetraederelemente zur Verfügung. In
der Materialdatenbank finden sich elastische, plastische und spezielle
Materialmodelle, wie z.B. zur Simulation der Rissfortbildung in einem Körper.
Abb. 2-5: Postprocessing OOFEM [http://www.oofem.org/]
Das Erstellen eines Finite-Elemente Netzes für OOFEM muss mit den externen
Programmen t3d und Targe2 erfolgen. Beide Vernetzer fallen unter die Rubrik „low
cost“-Programme und bieten für den nicht kommerziellen Einsatz kostenlose
Versionen auf Anfrage an. Für das Postprocessing wird das Programm OOFEG
mitgeliefert (Abb. 2-5). Hiermit lassen sich Contourplots, Animationen und Farbplots
erstellen. Die Ergebnisse können mittels externer Programme, wie z.B. GNUPlot
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oder auch Excel, zu X-Y Diagrammen weiter verarbeitet werden. Als alternative
Möglichkeit bietet sich das Exportieren der Ergebnisse in das VTK-Format an. Die
Darstellung erfolgt dann mit der Open-Source Software Paraview. Hilfe findet man
im Manual oder dem Userforum. Fragen im Forum werden aufgrund der kleinen
Benutzer-gemeinde im Moment überwiegend vom Entwickler beantwortet.
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2.3 Besonderheiten von CalculiX/OOFEM
Bei der Durchführung der Beispielsimulationen zur Klärung der Einsatzgrenzen und
der Ergebnisqualität der Programme CalculiX und OOFEM sind einige
Besonderheiten aufgefallen. So ist zum Beispiel die in der Dokumentation von
OOFEM beschriebene Elementbibliothek nicht so umfangreich bzw. einsatzfähig
und der Postprocessor konnte selbst nach ausführlichem Kontakt mit dem
Programmierern nicht zum Laufen gebracht werden. CalculiX verwendet eine
spezielle Vorgehensweise, um Schalen- und Balkenelemente abzubilden. Schalen-
und Balkenelemente werden zu Hexaederelementen expandiert. Um die
Durchbiegung richtig abzubilden, können nur Elemente mit quadratischer
Ansatzfunktion (Elementen mit Mittelknoten auf den Elementkanten) verwendet
werden. Durch dieses Vorgehen wird die Modellgröße künstlich vergrößert. Für
Strukturen mit Schalenelementen erhöht sich die Modellgröße um den Faktor 2,5
und für Balkenstrukturen sogar um den Faktor 6,7. Im folgenden Abschnitten
werden einige Features und besondere Eigenheiten der Open-Source Programme
aufgeführt.
2.3.1 CalculiX
CalculiX verwendet bei der Abbildung von Schalen- und Balkenelemente eine
besondere Strategie. Für Schalenelemente wird derselbe Ansatz wie in Abaqus
(SC8R Continuum Shell Element) für dicke Schalen angesetzt. Zweidimensionale
Elemente werden entlang der Schalenelementnormalen zu dreidimensionalen
Hexaederelementen bzw. dreieckige Schalen zu Keilelementen expandiert. Dabei
definiert das Originalschalenelement die Mittelfläche, von der aus jeweils die Hälfte
der Schalendicke in die positive und die negative Normalenachse extrudiert wird
(Abb. 2-6). Die Knotenanzahl für das Schalenelement erhöht sich hierdurch von
acht Knoten auf zwanzig und damit um den Faktor 2,5. Somit wird die noch
rechenfähige Modellgröße bei der Verwendung von Schalen- und Balkenelementen
deutlich reduziert. Hier wird sehr schnell die Leistungsgrenze eines Computers
erreicht und für die Simulation wird ein iteratives Verfahren notwendig. Eine
Übersicht der in CalculiX enthaltenen Gleichungslöser und deren Einsatzgrenzen
findet sich in Kapitel 3.4 Test Modellgröße.
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Abb. 2-6: Expansion Plattenelemente
Um die Verbindung der neu generierten Volumenelemente zu gewährleisten,
werden sogenannte „knot“ eingeführt. Die neuen Knoten sind in einem „knot“
nummerisch zusammengefasst und es wird sicher gestellt, dass bei Belastung der
rotatorischen Freiheitsgrade diese auf die translatorischen der Hexaederelemente
umgerechnet werden. „Knots“ werden generiert, wenn
• benachbarte Elemente eine unterschiedliche Elementnormalenrichtung
haben,
• verschiedene Elementtypen miteinander verbunden sind,
• die Dicke variiert,
• eine Randbedingung auf den rotatorischen Freiheitsgraden vorliegt oder
• ein Biege- oder Torsionsmoment angreift.
Wenn einer der oben aufgeführten Punkte erfüllt ist, wird bei Balkenelementen, wie
für Schalenelemente, ein „knot“ generiert. Die Knotenanzahl erhöht sich dabei um
den Faktor 6,7 für Balkenelemente und um den Faktor 2,5 bei Schalenelementen
durch die Expansion (Abb. 2-7). Bei Belastung eines Schalenelementknotens mit
einer Punkkraft wird die Last auf den Referenzknoten des „knots“ aufgebracht. Falls
kein „knot“ vorhanden ist und ein Mittelknoten belastet wird, greift jeweils die Hälfte
der Kraft auf die expandierten Knoten an. Für die äußeren Elementknoten wird die
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Kraft zu 1/6 - 2/3 - 1/6 aufgeteilt. Bei Belastung eines Balkenknotens mit einer
Punktlast wird diese zu 1/4 - 1/4 - 1/4 - 1/4 für Elementmittenknoten bzw. zu (-1/12)
- (1/3) - (-1/12) - (1/3) - (-1/12) - (1/3) - (-1/12) - (1/3) für Endknoten aufgeteilt. Durch
die Generierung von Hexaederelementen für Balkenstrukturen (Abb. 2-7) können
nur rechteckige und elliptische bzw. als Sonderfall der Ellipse kreisförmige
Balkenquerschnitte verwendet werden.
Abb. 2-7: Expansion Balkenelement
Bei Modellen mit Schalen- oder Balkenelementen, wird wie oben erläutert, die zu
berechnende Modellgröße deutlich erhöht. Hier kann schnell die zu Verfügung
stehende Rechnerkapazität ausgeschöpft sein. Wenn CalculiX aus dem
Sourcecode selber kompiliert wird, kann ein „out-of-core“ Solver implementiert
werden. Vorteil hierbei ist, dass, falls die Rechnerkapazitäten nicht ausreichen, die
schon berechneten Gleichungen auf die Festplatte ausgelagert werden. Nachteilig
an dem Vorgehen ist die langsame Rechengeschwindigkeit, die durch den Schreib-
und Lesevorgang auf die Festplatte hervorgerufen wird. Das Implementierten des
„out-of-core“ Solvers bzw. das Kompilieren von CaluliX aus den Sourcedateien
erfordert jedoch einige Linux- und Programmierkenntnisse. Als weitere Möglichkeit
zur Simulation großer Modelle zu simulieren kann CalculiX auf
Computerclustersystemen installiert werden. Auch hierfür müssen die
Programmexecutables selber aus den Sourcedateien erstellt werden, damit das
benötigte Message Passing Interface (MPI) zur Verfügung steht. Als letzte Option
für eine effiziente Simulation von großen Modellen kann das Multiphreading aktiviert
werden, wodurch bei mehr Prozessorkernsystemen beide CPUs verwendet werden.
Da heutige Computersysteme immer häufiger mit Dual-Core CPUs (zwei
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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20
Prozessorkerne) ausgeliefert werden, bietet sich diese Option an und sollte immer
mit kompiliert werden.
CalculiX verwendet für die Definition des Simulationsinputs ein dem kommerziellen
Programm Abaqus ähnliches Format. Für Benutzer von Abaqus entsteht so keine
Einarbeitungszeit. Vorteilhaft an dem Vorgehen ist, dass jeder kommerzielle
Preprocessor für die Erstellung von CalculiX-Inputdateien benutzt werden kann.
Kommerzielle Programme bieten meist eine benutzerfreundliche grafische
Oberfläche, so dass die Erstellung der Inputdateien einfacher fällt. Auch bieten
kommerzielle Programme deutlich mehr Möglichkeiten an, um komplizierte
Strukturen zu vernetzen. Somit lässt sich CaluliX in schon bestehende Prozesse
einfach implementieren, ohne dass Ausfallzeiten oder Komplikationen für neue
Anwender anfallen. Anzumerken ist jedoch, dass das verwendete Format einem
älteren Abaqusstand entspricht, so dass für den Anfang immer im CalculiX-Manual
nach der genauen Definition der Einträge geschaut werden muss.
2.3.2 OOFEM
Bei OOFEM hat sich der sehr kompliziert zu erstellende Input als ein großes
Hindernis herausgestellt. So muss zum Beispiel bei der Knotenpunktdefinition für
jeden Knoten die Lasteinleitung und die Randbedingung angegeben werden (siehe
Kapitel A2.1). In Kombination mit der sehr technisch gehaltenen Dokumentation
unterlaufen so leicht Fehler im Inputdeck. Falls ein Fehler auftritt, erhält der
Benutzer kein Feedback vom Programm über die Art des Problems, was das
Beseitigen des Fehlers erschwert. Das zu OOFEM kompatible
Vernetzungsprogramm targe2 konnte nach einer ausführlichen Internetrecherche
nicht gefunden werden. Auf Nachfrage beim Entwickler von OOFEM hat sich
herausgestellt, dass die Entwicklung von targe2 eingestellt wurde. Der alternative
Preprocessor t3d besitzt keine Importschnittstelle für CAD-Formate, daher müssen
Geometriedaten neu in t3d erstellt werden. Finite-Elemente Netze aus anderen
Programmen können ebenfalls nicht verwendet werden. Eine Bewertung über die
Benutzerfreundlichkeit des Preprocessors t3d kann nicht erfolgen, da die
erforderlichen ASCII-Inputdateien für die durchgeführten Tests von Hand erzeugt
wurden. Eine genaue Beschreibung des Programms findet sich auf der Website
2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme
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http://mech.fsv.cvut.cz/~dr/t3d.html. Im Verlauf der Arbeit hat sich bei der
Durchführung der Beispieltests gezeigt, dass die Elementbibliothek weniger
umfangreich als angegeben ist. Es wurde festgestellt, dass der Haupteinsatzbereich
von OOFEM im zweidimensionalen Raum liegt, da hierfür die meisten Elemente
implementiert sind. Zur Simulation von dreidimensionenaler Probleme stehen nur
Tetraederelemente zur Verfügung und zum Berechnen von Schalen und Platten
können nur Dreieckselemente verwendet werden. Bei beiden Elementtypen muss
daher immer die schlechte Ergebnisqualität durch zu grobe Vernetzung beachtet
werden. Für die Darstellung der Ergebnisse liefert OOFEM den Postprocessor
OOFEG mit. Auf den verwendeten Computersystemen mit RedHat Linuxdistribution
stellten sich einige Fehler ein. Die simulierten Finite-Elemente Netze konnten zwar
dargestellt werden, aber die farbliche Kodierung der Ergebnisse funktionierte nicht.
Auch ist der Export in das VTK-Format, um den Simulationslauf mittels Paraview
darzustellen, noch nicht stabil. Auf Anfrage bei den Entwicklern hat sich
herausgestellt, dass OOFEG im Moment komplett umgeschrieben wird und daher
keine fehlerfrei lauffähige Version vorhanden ist. Die Probleme mit dem VTK-Format
liegen an dem frühen Entwicklungsstadium der Schnittstelle.
Abschließend sei darauf hingewiesen, dass OOFEM von der „Czech Technical
University“ in Prag entwickelt wird. Der Grund für die Programmierung von OOFEM
ist, den Studenten der technischen Fakultät zu einem kostenlosen Zugang zur
Finite-Elemente-Theorie zu verhelfen. Hiermit soll ermöglicht werden die
Vorlesungsinhalte durch praktische Anwendung zu vertiefen. OOFEM ist ein
weiteres FE-Programm, das aus dem universitären Umfeld kommt und wurde nur
deshalb einer tiefer gehenden Untersuchung unterzogen, um die Einsatzgrenzen zu
deutlich fortgeschritteneren Programmen aufzuführen. Bei all der Kritik und den
Einschränkungen sollte dies immer berücksichtig werden und es ändert nichts an
der Tatsache, dass es sich hier um ein voll einsatzfähiges Finite-Elemente Paket
handelt.
3 Evaluation der FE-Programme
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3 Evaluation der FE-Programme
Um einen Überblick über die Ergebnisqualität und Benutzerfreundlichkeit der Open-
Source Finite-Elemente Programme zu erhalten, werden drei Tests mit
Standardsimulationsarten durchgeführt. Eine statische Simulation, bei der die
Enddurchbiegung einer dünnen Schalenstruktur berechnet wird. Der zweite Test
simuliert die ersten drei Biegeeigenfrequenzen eines Balkens. Im letzten Test sollen
die ersten sechs Eigenfrequenzen einer quadratischen Plattenstruktur berechnet.
Um einen Überblick über die Lösungsqualität der verwendeten Elementdefinition zu
erhalten, werden die Finite-Elemente Netz der ersten beiden Tests iterativ
verfeinert. Die Ergebnisse der Simulationen werden anschließend mit den Lösungen
der kommerziellen Programme Abaqus und NASTRAN sowie einer analytischen
Lösung verglichen. Bei der Eigenschwingungssimulation der quadratischen Platte
wird auf eine Verfeinerung des Netzes verzichtet. Hier wird die
Benutzerfreundlichkeit des Postprocessors CalculiX-CrunchiX untersucht.
Zum Schluss werden durch verschieden große Simulationsmodelle die
Einsatzgrenzen von CalculiX bestimmt.
Die analytische Herleitungen zu den Tests findet sich im Anhang 3.
3 Evaluation der FE-Programme
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3.1 Durchbiegung Blattfeder
Simuliert wird eine dünne schlanke Struktur, Länge zu Dicke (mm
mm
t
l
2
100= ) und einer
Breite von mm10 , mit einseitiger fester Einspannung. Am gegenüberliegenden Ende
wird die Struktur mit einer Einheitslast belastet (Abb. 3-1). Ausgewertet wird die
maximale Verschiebung am Lastangriffspunkt. Durchgeführt werden neun
Rechnungen mit unterschiedlicher Elementdiskretisierung. Dabei ändert sich die
Verteilung der Elemente im Verhältnis über der Länge und Breite.
Abb. 3-1: FE-Modell Test 1
Aufgrund der Eigenheiten bei der Schalendefinition von CalculiX (Expansion zu
Hexaederelement mit 20 Knoten, siehe Kapitel 2.3.), verhält sich die Struktur bei
einer geringen Elementanzahl über der Länge zu steif. Es treten deutliche Locking-
Effekte auf, die sich in einer zu kleinen Verschiebung des Lastangriffspunktes
zeigen. In der Ergebnisauswertung (Abb. 3-3/Abb. 3-4) ist dieser Effekt deutlich zu
beobachten. Das relativ große Locking, das sich bei der anfänglichen geringen
Elementanzahl einstellt, lässt sich durch das schlechte Seitenverhältnis (engl.:
„aspect ratio“) bei der Berechnung dünner Strukturen durch Volumenelemente
erklären. Mit feiner werdender Diskretisierung über der Länge sinkt das Verhältnis
von 2
20=t
h
keElementdic
geElementlän auf
5
2
h
t= und es stellt sich ein brauchbares Ergebnis ein.
3 Evaluation der FE-Programme
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Die farbliche Auswertung der Verschiebung (Abb. 3-2) zeigt wie sich die
Durchbiegung durch Steigerung der Elementanzahl über der Länge zur
Einspannung hin verschiebt, d.h. die Struktur wird weicher.
Abb. 3-2: Einfluss Elementdiskretisierung auf Verschiebung (Bild: CalculiX-GraphiX)
Bei der Auswertung der Ergebnisse wird deutlich, dass das Lösungsverhalten
maßgeblich von der Elementdiskretisierung über der Länge abhängt (Abb. 3-3).
Mehr Elemente über die Breite verbessern die Ergebnisse kaum. Allgemein bleibt
die Differenz, gegenüber dem analytischen Ergebnis zwischen ca. 4 - 6% für die
grobe Diskretisierung und verringert sich auf 1,5% für die Feinste.
Im Vergleich mit der NASTRAN-Lösung, sowohl mit als auch ohne Mittelknoten auf
den Elementkanten, wird kein großer Unterschied zu den Ergebnissen der
analytischen Lösung festgestellt (Abb. 3-4). Die Simulation durch NASTRAN liefert
bei schon fünf Elementen über der Länge eine gute Lösung, die bei Erhöhung der
Elementanzahl weiterhin relativ konstant bleibt.
Eine Besonderheit von CalculiX ist, dass bei Simulationen von Schalen- und
Balkenelementen die Berechnung durch einen iterativen Solver erfolgt. Der
Gebrauch einer solchen Lösungsstrategie ist für diese Berechnung durchaus
fragwürdig. Durch die kleine Krafteinleitung kommt es nur zu sehr geringen
Verschiebungen im System. Hierdurch wird das Konvergenzkriterium schnell erfüllt
3 Evaluation der FE-Programme
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und die Rechnung wird zu frühzeitig abgebrochen, obwohl evtl. noch nicht die
richtige Lösung erreicht wurde.
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
5x1 10x1 20x1 5x2 10x2 20x2 5x3 10x3 20x3
Diskretisierung (Länge x Breite )
Diff
eren
z [%
]
CalculiX OOFem
Abb. 3-3: Vergleich analytische Lösung / Open-Source
Die Qualität der OOFEM Simulation liegt deutlich unter der von CalculiX. Im
Vergleich mit dem analytischen Ergebnis werden wie bei CalculiX zu geringe Werte
berechnet (Abb. 3-3). Eine Verbesserung wird auch nicht durch eine Erhöhung der
Elementanzahl erreicht.
Der Grund hierfür liegt darin, dass OOFEM für die Simulation von dünnen
Strukturen nur lineare dreieckige Plattenelemente ohne Knoten auf dem
Elementrand anbietet. Die hier verwendete Elementanzahl ist eindeutig zu gering,
um ein akzeptables Ergebnis zu erhalten. Es wäre ein deutlich feineres Finite-
Elemente Netz nötig, um den Fehler durch die zu steifen Biegeeigenschaften der
linearen Dreieckselemente zu verringern.
Nastran (lin) - OpenSource
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5x1 10x1 20x1 5x2 10x2 20x2 5x3 10x3 20x3
Diff
eren
z [%
]
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Nastran (quad) - OpenSource
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0
5x1 10x1 20x1 5x2 10x2 20x2 5x3 10x3 20x3
Diskretisierung (Länge x Breite)
Diff
eren
z [%
]
CalculiX OOFem
Abb. 3-4: Varianten NASTRAN (Schubweich) / Open-Source
3.1.1 Fazit
Allgemein ist die Ergebnisqualität von CalculiX bei einer sinnvollen Diskretisierung
zufrieden stellend. Die Elementabbildung von Schalenelementen, innerhalb von
CalculiX, durch Hexaederelemente führt zu einem steifen Strukturverhalten (Abb.
3-5). Als kritischer Parameter, von dem das Konvergenzverhalten der Lösung
abhängt, hat sich das Seitenverhältnis der Volumenelemente
t
l
keElementdic
tenlängeElementseigrößte = (engl. aspect ratio) heraus gestellt. Je feiner die
Diskretisierung ist, desto kleiner wird das Seitenverhältnis. Die Elemente werden
zunehmend weicher und die Lösung streb hin zum analytischen Ergebnis.
Die restliche Abweichung des Ergebnisses ergibt sich durch die iterative
Lösungsstrategie. Durch die Schalenelemente und die Randbedingung auf den
rotatorischen Freiheitsgraden (siehe Kapitel 2.3) erfolgt die Berechnung iterativ. Die
kleinen Verschiebungen im System führen zu einem schnellen erreichen des
Konvergenzkriteriums und die Rechnung wird zu früh beendet.
OOFEM ist für den professionellen Einsatz nicht geeignet. Das Fehlen von
Rechteckplattenelementen bzw. Elementen mit Knoten auf den Elementkanten
erweist sich doch als gravierender Nachteil, neben den schon in Kapitel 2.3.2
aufgeführten Einschränkungen. Es zeigt sich hier das deutlich schlechtere Verhalten
von Dreiecksplattenelementen.
Auch konnte der integrierte Postprocessor nicht zum Laufen gebracht werden,
wodurch keine grafische Auswertung erfolgen konnte. Als Alternative bietet sich das
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Exportieren der Ergebnisse in das VTK-Format an. Aber diese Möglichkeit
funktionierte nicht direkt und kann nur mit einigem Programmieraufwand erneut
funktionsfähig gemacht werden.
-2
-1,5
-1
-0,5
0
20x1 20x2 20x3
Diskretisierung (LxB)
Diff
eren
z [%
]
CalculiX Nastran linear Nastran quadratischAbaqus S8R Abaqus S8R5
Abb. 3-5: Vergleich aller FE-Ergebnisse mit der analytischen Lösung.
In Abb. 3-5 sind die Ergebnisse der kommerziellen Programme für das Problem
dargestellt. Auch hier lassen sich kleine Unterschiede zum analytischen Wert
beobachten. Jedoch ist die Ergebnisqualität schon bei der groben Diskretisierung
deutlich besser als bei den Open-Source Programmen.
3 Evaluation der FE-Programme
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3.2 Biegeeigenfrequenz Balken
Simuliert wird ein kurzer gedrungener Balken mit Rechteckquerschnitt, mit Hilfe von
Balkenelementen. Der Balken ist einfach gelagert, was bedeutet, dass keine
Zwangsbedingungen auf die rotatorischen Freiheitsgrade (Einspannung, Fixierung)
angewendet werden. Eine Verschiebung in x-Richtung ist am Lager A möglich (Abb.
3-6). Die anderen translatorischen Freiheitsgrade der Lagerung sind fixiert.
Berechnet werden die ersten drei Biegeeigenfrequenzen, bei unterschiedlichen
Diskretisierungsgrad des Balkens.
Abb. 3-6: FE-Model Test 2
Die Elementanzahl der verschiedenen Eigenfrequenzsimulationen beträgt 3, 5, 6
und 30 Balkenelemente. Dabei ändert sich die Elementlänge von
3
30mm
n
l
ElementeAnzahl
BalkensdeseGesamtläng == auf 30
30
l mm
n= .
Die Eigenformen der Biegemoden werden von CalculiX richtig berechnet. Die
Darstellung durch den Postprocessor CalculiX-CrunchiX funktioniert problemlos
(Abb. 3-7). Auffällig ist, dass der dritte Eigenmode mit nur fünf Balkenelementen
richtig dargestellt wird. Dies erklärt sich dadurch, dass die Balkenelemente zu
3 Evaluation der FE-Programme
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Hexaederelementen mit Mittelknoten (siehe Kapitel 2.3.) expandiert werden.
Hierdurch wird eine Verformung der Balkenelementmitte möglich, während bei der
Simulation mit NASTRAN und Abaqus lineare Balkenelemente verwendet werden.
I Mode / 5 Elm
II Mode / 5 Elm
III Mode / 5 Elm
I Mode / 30 Elm
II Mode / 30 Elm
III Mode / 30 Elm
Abb. 3-7: Eigenformen CalculiX (Bild: CalculiX-Grap hix)
Im Vergleich mit der analytischen Lösung nach Bernoulli liefert CalculiX bei drei
Elementen ein gutes Ergebnis für die ersten drei Eigenfrequenzen. Mit steigender
Elementanzahl und höheren Eigenmoden wird die FE-Struktur zunehmend weicher
(Abb. 3-8) und die FE-Lösung divergiert zunehmend zu niedrigen Eigenfrequenzen.
Für die Eigenfrequenzen nach der Timoshenkotheorie fallen die Ergebnisse für die
kleinen Diskretisierungsgrade bei steigendem Eigenmode schlechter aus. Eine
Erhöhung der Elementanzahl verbessert die Werte für die Eigenfrequenzen und das
Ergebnis konvergiert hin zu den analytischen Werten (Abb. 3-8).
Der Vergleich mit NASTRAN ergibt ein anderes Bild der Lösungsqualität von
CalculiX. Hier fällt auf, dass für drei Balkenelemente kein Ergebnis für den dritten
Eigenmode vorliegt. NASTRAN liefert hierfür keinen Wert, was daran liegt, dass die
Eigenform mit drei linearen Balkenelementen nicht abgebildet werden kann,
während bei CalculiX durch die Expansion zu Hexaederelementen mit Mittelknoten
eine Deformation in der Balkenmitte zulässig ist. Die Ergebnisse der beiden
Simulation differieren in den Schranken von ±8% im Vergleich mit der NASTRAN-
Lösung und korrelieren deutlich besser als im Vergleich mit den analytischen
Lösungen.
3 Evaluation der FE-Programme
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30
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
3 5 6 30Elementanzahl
Diff
eren
z [%
]
Mode 1 (Bernoulli) Mode 2 (Bernoulli) Mode 3 (Bernoulli)
Mode 1 (Timoshenko) Mode 2 (Timoshenko) Mode 3 (Timoshenko) Abb. 3-8: Vergleich analytische Lösung (nach Timoshenko und Bernoulli) / CalculiX
Im Vergleich mit den NASTRAN-Bernoulli-Lösungen wird das Strukturverhalten zu
weich wiedergegeben. Mit zunehmender Elementanzahl und Eigenmode
divergieren die Ergebnisse schnell (Abb. 3-9). Ein ähnliches Ergebnis lässt sich für
die NASTRAN-Timoshenko-Lösungen feststellen, wobei jedoch die
Eigenfrequenzen anfänglich zu hoch berechnet. Nastran
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
3 5 6 30Elementanzahl
Diff
eren
z [%
]
Mode 1 (Bernoulli) Mode 2 (Bernoulli) Mode 3 (Bernoulli)Mode 1 (Timoshenko) Mode 2 (Timoshenko) Mode 3 (Timoshenko)
Abb. 3-9: Vergleich NASTRAN / CalculiX
3 Evaluation der FE-Programme
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3.2.1 Fazit
CalculiX berechnet die Eigenfrequenzen mit relativ guter Übereinstimmung zu den
Werten von NASTRAN (Abb. 3-9). Es lässt sich feststellen, dass CalculiX immer
niedrigere Werte im Vergleich mit NASTRAN liefert. Der verwendete Ansatz von
CalculiX, Balkenelemente durch Hexaederelemente abzubilden, kann durchaus
verwendet werden und zeigt bei vernünftiger Diskretisierung eine gute
Ergebnisqualität. Mit zunehmender Elementanzahl divergiert das Ergebnis jedoch
deutlich zu niedrigeren Eigenfrequenzen, was darauf schließen lässt, dass das
Strukturverhalten bei Simulationen mit Balkenelementen zu weich wiedergegeben
wird. Im Vergleich mit der analytischen Lösung nach der Bernoulli-Theorie werden
die Ergebnisse von CalculiX zu niedrig berechnet. Bezüglich der Timoshenko-
Theorie sind die Werte anfangs jedoch zu hoch, während bei steigender
Elementanzahl konvergiert das Ergebnis zu dieser analytischen Lösung konvergiert.
3 Evaluation der FE-Programme
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3.3 Eigenfrequenzen Platte
In der hier durchgeführten Simulation werden die ersten sechs Eigenfrequenzen
einer dünnen quadratischen Platte berechnet (Abb. 3-10). Die Struktur ist an den
Rändern fest eingespannt, so dass in den sechs Freiheitsgraden der
Plattenelementrandknoten keine Verschiebung stattfinden kann.
Abb. 3-10: FE-Modell Test 3
Die Eigenformen der verschiedenen Eigenmoden werden von CalculiX-GraphiX
(Postprocessor siehe Kapitel 2.3) richtig dargestellt. Hierfür wird die Möglichkeit
Farbplots (engl. fringe plot) zu erstellen genutzt, wodurch die unterschiedlichen
Deformationsgrade der einzelnen Elemente farblich getrennt aufgetragen werden.
Im direkten Vergleich der Plots mit NASTRAN (diese wurden mit dem
Postprocessor PATRAN erstellt) lässt sich jedoch eine kleine Drehung bei der
Plattendeformation der Modes 2 und 6 um die Symmetrieachsen erkennen. Diese
Abweichung ist kein Fehler in der grafischen Darstellung, sondern kann leicht durch
nummerische Ungenauigkeiten bei der Berechnung (Nachkommastellenanzahl,
64/32 Bit Betriebsystem) oder Vernetzung (Knotenkoordinaten nicht exakt genug)
entstehen.
3 Evaluation der FE-Programme
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33
Abb. 3-11: Eigenformen CalculiX (Bild:CalculiX-Crun chiX)
Grundsätzlich wird das Schwingungsverhalten der Platte in guter Korrelation zu den
Farbplots von NASTRAN dargestellt (vergleiche Abb. 3-11 / Abb. 3-12). Ein Nachteil
bei der farblichen Darstellung von Ergebnissen mittels CalculiX-GraphiX ist, dass
sich die Farbskalierung nicht verändern lässt. Es werden immer die in CalculiX-
GraphiX voreingestellten Farben für die Darstellung benutzt. Nur die dazugehörige
Werteskalierung kann geändert werden.
Generell ist der Postprocessor sehr intuitiv zu bedienen, und nach kurzer
Einarbeitung kann der volle Funktionsumfang genutzt werden (Siehe Kapitel 2.3).
Abb. 3-12: Eigenformen NASTRAN (Bild: Patran)
Da durch die Expansion der CalculiX-Schalenelemente zu Volumenelementen
immer ein Hexaederelementnetz berechnet wird und in den vorhergehenden Test
eine teilweise gute Übereinstimmung der Ergebnisse mit Schalen- und
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Balkenelementen festgestellt wurde, wird hier das Referenzergebnis durch eine
Volumenstruktur ermittelt, um einen Vergleich mit der „speziellen Schalen-
/Hexaederelementdiskretisierung“ zu ermöglichen. Für diesen Vergleich wird die
Platte mit derselben Elementanzahl von 100x100 Elementen über der Länge und
Breite (der Schalenstrukturen) mit Hexaederelementen diskretisiert. Über der Dicke
wird mit drei Elementen vernetzt. Die Berechnung der Eigenfrequenzen der
Volumenstruktur erfolgt mittels Abaqus. Alle anderen Ergebnisse der kommerziellen
Programme beziehen sich auf die Simulation mit Schalenelementen.
Die mittels CalculiX berechneten Eigenfrequenzen weisen eine konstante Differenz
zu der Lösung der Hexaederstruktur auf. Es lässt sich keine Änderung im Ergebnis
feststellen. Da hier nur ein Finite-Elemente-Netz berechnet wird, kann keine
Aussage über das Lösungsverhalten (Konvergenzverhalten, Lockingphänomene)
gemacht werden. Das im zweiten Test festgestellte zu weiche Verhalten durch die
Hexaederelementabbildung lässt sich hier wieder beobachten. Mit aber nur
ca. -1,7% Differenz zur Volumenstruktur und 1,5% zu den NASTRAN-Lösungen
wird hier eine sehr gute Ergebnisqualität erreicht.
Hexaedermodel
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
1 2 3 4 5 6Mode
Diff
eren
z [%
]
Calculix Abaqus S8R5 Nastran linearNastran quadratisch Analytisch
Abb. 3-13: Vergleich Eigenfrequenzen Hexaeder- / Schalenmodell
In Abb. 3-13 ist neben den Finite-Elemente-Ergebnissen eine analytische Lösung
der Eigenfrequenzen für eine fest eingespannte Platte dargestellt (nach Young
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[LEI61]). Diese wurde im Rahmen einer Untersuchung der Nasa [LEI69] zum
Schwingungsverhalten von Schalen- und Plattenstrukturen veröffentlicht. Im Anhang
sind die Berechnungsformel und die Eigenformen aus der Untersuchung aufgeführt.
Auf eine Bewertung der Eigenfrequenzwerte der analytischen Lösung bzw. der
Finite-Elemente Simulation wird hier verzichtet. Eine Diskussion zum Thema ist im
Anhang zu finden.
3.3.1 Fazit
Das Ergebnis der Eigenfrequenzsimulation mittels CalculiX ist durchaus zufrieden
stellend. Für die hier verwendete feine Vernetzung der Platte ergibt sich eine gute
Lösungsqualität. Auch hier lässt sich ein kleiner Unterschied zu den Werten der
kommerziellen Programmen feststellen, der durch die spezielle
Schalenelementabbildung hervorgerufen wird. Durch dieses Vorgehen wird das
Strukturverhalten zu weich bei dynamischen Simulationen abgebildet. Bei weiterer
Verfeinerung des Netzes ist davon auszugehen, dass, wie in der
Eigenfrequenzberechnung der Balkenstruktur festgestellt wurde, eine weitere
Steigerung der Genauigkeit erfolgt. Grundsätzlich ist jedoch eine gute Näherung zur
Referenzlösung mit einer konstanten Differenz von ca. 1,8% gefunden worden. Das
Auswerten der Ergebnisse durch CalculiX-GraphiX erfolgt nach kurzer
Einarbeitungszeit ohne weitere Probleme. Die Oberfläche des Postprocessors ist
sehr einfach gehalten und intuitiv zu bedienen. Alle wichtigen Funktionen werden
mittels der rechten Maustaste aktiviert. Negativ aufgefallen ist nur, dass sich die
Farben für die Darstellung der Ergebnisse nicht einstellen lassen. Hierfür werden
immer Voreinstellungen verwendet und nur die dazugehörigen Skalierungswerte
können geändert werden.
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3.4 Test Modellgröße
Die Einsatzfähigkeit eines Finite-Elemente Programms wird hauptsächlich durch die
Größe der rechenfähigen Finite-Elemente Netze bestimmt. Bei Simulationen in der
Automobilindustrie werden Strukturen mit mehreren Millionen Elementen berechnet.
In Optimierungsprozessen sind meist nur Teilssysteme mit einigen tausend
Elementen zu simulieren, wobei es hier auf die Schnelligkeit der Lösung ankommt,
um den Optimierungsprozess zeitlich nicht unnötig zu verlängern. Um die maximal
mögliche Modellgröße der simulationsfähigen Finite-Elemente-Strukturen zu
bestimmen, wird ein Quader mit Hexaederelementen vernetzt. Die Anzahl der
Elemente wird für die Simulation sukzessive erhöht. Für die durchgeführten
Rechnungen ergibt sich folgende Element-/Knotenanzahl (Tabelle 3-1).
Simulation I II III IV V Elementanzahl 8000 64000 216000 512000 1020100 Knotenanzahl 9261 68921 226981 531441 1050804
Tabelle 3-1: Modellgrößen des Benchmarks
Die Volumenstruktur ist an der unteren Fläche fest eingespannt. Eine
Einheitsflächenlast wird auf der gegenüberliegenden Seite aufgebracht. Zur
Durchführung der Simulationen werden ein 32Bit und ein 64 Bit System verwendet,
die jeweils mit 2 Prozessoren ausgestattet sind. Der 32Bit Computer kann bei einer
Simulationen pro CPU maximal 2GB Arbeitsspeicher (RAM) adressieren. Für das
64Bit System können höchstens 12GB Arbeitspeicher für die Rechnung allokiert
werden, also pro CPU 6Gb RAM.
CalculiX bietet für die Berechnung von Finite-Elemente Modellen drei verschiedene
Lösungsverfahren an. Einen direkten Gleichungslöser und zwei iterative Verfahren.
Bei kleinen Modellen und genügend Arbeitsspeicher kann der direkte
Lösungsalgorithmus „SPOOLES“ verwendet werden. Bei dem direkten Verfahren
werden die Systemmatrizen komplett in den Arbeitsspeicher geschrieben
(gespeichert) und gelöst. Hierdurch wird die maximale Modellgröße durch den zur
Verfügung stehenden Arbeitsspeicher beschränkt. Die iterativen Verfahren
benötigen deutlich weniger Arbeitsspeicher, da nur die aktuell zu berechnenden
Matrixeinträge und Lösungen der vorher durchgeführten Operationen gespeichert
werden. Vorzugsweise werden diese Verfahren bei Simulationen mit vielen
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Elementen oder bei nichtlinearen Problemstellungen verwendet. Hierfür bietet
CaculiX die iterativen Verfahren „iterative Scaling“ und „iterative Cholesky“ an.
In Abb. 3-14 ist der Vorteil der iterativen Verfahren in Bezug auf den benötigten
Arbeitsspeicher deutlich zu erkennen. Der Speicherverbrauch der iterativen Solver
ist bei dem hier simulierten Modell um den Faktor 4 kleiner als bei der Berechung
mit dem direkten Solver „SPOOLES“. Ab einer Problemgröße von ca. 100 000
Elementen stellt sich auch ein Unterschied bei den iterativen Verfahren
ein.
0
2
4
6
8
10
12
14
10000 100000 1000000
Elementanzahl
Spe
iche
r [G
b]
SPOOLES Iterative Scaling Iterative Cholesky Abb. 3-14: Speicherbedarf / Modellgröße (64Bit-System)
Hierfür ist die vorgeschaltete Konditionierungsstrategie (engl.: Preconditioner)
verantwortlich. Das „iterative Scaling“ Verfahren bearbeitet nur die Diagonaleinträge
der Matrix, wodurch weniger gespeichert werden muss. Der „iterative Cholesky“
Algorithmus bearbeitet die gesamten Matrixeinträge. Dies führt zu einem höheren
Speicherverbrauch. Durch das Verbessern der gesamten Matrixstruktur arbeitet das
„iteratve Cholesky“ Verfahren bei größeren Finite-Element Netzen effektiver, da
durch die bessere Struktur der Matrix schneller Konvergenz erreicht wird (Abb.
3-15).
Im Geschwindigkeitsvergleich arbeitet das direkte Verfahren weniger effizient als die
iterativen Verfahren. Die Simulationszeit steigt doch deutlich mit zunehmender
Modellgröße an. Im Vergleich ist die Rechenzeit bei nur 100000 Elementen circa um
den Faktor 1000 langsamer.
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0
1000
2000
3000
4000
10000 100000 1000000Volumenelemente
Rec
henz
eit [
sec]
iter.Cholesky 32 Bit iter.Scaling 32 Bit SPOOLES 32 Bititer.Cholesky 64 Bit iter.Scaling 64 Bit SPOOLES 64 Bit
Abb. 3-15: Rechenzeit: Solver / Modellgröße
Auch die iterativen Verfahren unterscheiden sich in der benötigten Rechenzeit, wie
in Abbildung 3-15 zu beobachten ist. Bei großen Modellen ist die Rechenzeit beim
„iterative Cholesky-Verfahren“ im Gegensatz zum iterativen Scaling-Verfahren
geringer. Dieser Geschwindigkeitsvorteil wird durch die bessere Matrixstruktur
hervor gerufen. Zwar braucht das Cholesky-Verfahren länger als das Scaling-
Verfahren, um die Struktur der Systemmatrizen zu verbessern, der anfängliche
hohe Zeitaufwand wird jedoch dann durch das einfachere Berechnen der
Gleichungen gut gemacht.
3.4.1 Fazit
CalculiX bietet für die Berechnung der Systemmatrizen eine ausreichende Auswahl
an Gleichungslösern. Mit dem direkten Verfahren lassen sich bei einem 32Bit
System Modelle mit bis zu ca. 70000 Elementen berechnen. Bei 64Bit Systemen
und 12GB Arbeitsspeicher können Simulationen mit ca. 200000 Elementen
durchgeführt werden. Die Rechenzeit ist im Gegensatz zu den iterativen Verfahren
deutlich länger. Dafür sind die iterativen Verfahren effektiver in der
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Speichernutzung. Bei vorsichtiger Abschätzung können hier Modelle mit bis zu
2000000 Elementen simuliert werden. Hierfür ist jedoch ein 64Bit Computersystem
mit 12 GB Arbeitsspeicher nötig. Ein 32Bit System kann Modelle mit circa 200000
Elementen berechnen. Das „iterative Scaling“ Verfahren hat einen
Geschwindigkeitsvorteil gegenüber dem „iterative Cholesky“ Verfahren, welcher sich
jedoch bei größeren Modellen schnell relativiert. In der Speichernutzung ist das
„iterative Scaling“ Verfahren geringfügig effektiver.
Grundsätzlich handelt es sich bei den hier angegebenen Modellgrößen, für die eine
Berechnung noch möglich ist, um Schätzwerte. Bei dem hier verwendeten
Testmodell handelt es sich um ein einfaches Hexaederelementmodell. Für
komplexeren Modelle, z.B. Simulationen mit Zwangsbedingungen oder nichtlineare
Simulationen, kann sich die maximale Elementgrenze verringern. Weiterhin kann
sich die Berechung mittels des direkten Verfahrens, bedingt durch das schlechte
Konvergenzverhalten von komplexen Strukturen, als vorteilhafter herausstellen und
schneller zu einem Ergebnis führen.
Nicht mehr getestet wurden die MPI (Message Passing Interface) Schnittstelle und
ein „out-of-core“ Solver. Beide konnten aufgrund des erhöhten Zeitaufwandes beim
Kompilieren von CalculiX nicht mehr in das Programm implementiert werden. Die
MPI-Schnittstelle ermöglicht eine Simulation auf einem Clustersystem bzw. auf
mehreren Computern parallel. Hierzu wird das Modell in kleinere Teile gesplittet und
dann jeweils auf einem Rechner gelöst. Der „out-of-core“ Solver schreibt Teile der
Systemmatrizen auf die Festplatte, wenn der zur Verfügung stehende
Arbeitsspeicher nicht mehr ausreicht. Grundsätzlich wird durch diese beiden
Features die maximale Modellgröße erhöht.
3 Evaluation der FE-Programme
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40
3.5 Zusammenfassung
Durch die verschiedenen Simulationen sind einige Besonderheiten durch die
speziellen Schalen- und Balkenelementdefinition innerhalb von CalculiX aufgefallen.
Grundsätzlich können nur quadratische Schalen- und Balkenelemente verwendet
werden, d.h. Elemente mit Knoten auf den Elementkanten, da die Elemente, wie in
Kapitel 2.3 beschrieben zu Hexaederelementen mit 20 Knoten (Abb. 2-6/Abb. 2-7)
expandiert werden. Durch kleine Veränderungen in Abaqusinputdateien lassen sich
leicht Inputdecks für CalculiX erstellen. Hierbei sollte jedoch im Kapitel „Input Deck
Format“ des CalculiX-Manuals nach Unterschieden und Einschränkungen geschaut
werden.
Bei statischen Simulationen verhalten sich die Schalenelemente bei zu groben
Finite-Elemente Netzen zu steif. Durch Steigerung der Elementanzahl und das
dadurch verbesserte Seitenverhältnis der Hexaederelemente konvergiert die
Lösung hin zu den Ergebnissen von NASTRAN bzw. der analytischen Lösung.
Die Eigenfrequenzsimulation für schubsteife Balkenelemente (Bernoulli-Theorie) mit
CalculiX ergab zu niedrige Frequenzen im Vergleich mit der NASTRAN-Lösung und
den analytischen Werten. Mit steigendem Vernetzungsgrad und höheren
Eigenmoden verschlechtern sich die Ergebnisse zunehmend.
Für schubweiche Balkenelemente (Timoshenko-Theorie) werden die
Eigenfrequenzen anfänglich zu hoch (zu große Steifigkeit) berechnet. Durch
Verfeinerung des Netzes konvergiert das Ergebnis hin zu den analytisch
berechneten Werten. Im Vergleich mit NASTRAN werden jedoch die
Eigenfrequenzen mit steigender Netzfeinheit zu niedrig berechnet.
Bei der dynamischen Simulation mittels Schalenelemente wird eine zu weiche
Steifigkeit festgestellt. Hierfür wurde als Referenzlösung eine Platte mit
Hexaederelementen vernetzt, um einen Vergleich der Lösungsqualität durch die
speziellen Schalen-/Balkenelemente zu erhalten. Die berechneten Eigenfrequenzen
der Platte durch CalculiX liegen leicht unter denen von NASTRAN und der
Referenzlösung der Hexaederelementstruktur.
Das Auswerten der Ergebnisse von CalculiX durch den mitgelieferten Pre-
/Postprocessor CalculiX-GraphiX erfolgt nach kurzer Einarbeitungszeit und unter
Verwendung des gelungenen Manuals intuitiv. Der Funktionsumfang umfasst alle
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41
wichtigen Darstellungsmöglichkeiten von kommerziellen Programmen, wie z.B.
Farbplots, Animationen oder Erstellen von Bilddateien, um die
Simulationsergebnisse grafisch auszuwerten. CalculiX-GraphiX bietet ebenfalls
grundlegende Funktionen für die Vernetzung von CAD-Daten, Konvertieren von
Simulationsinputdecks und Erstellen von simplen Finite-Elemente-Netzen.
Da verschiedene Simulationsinputdateien für die Tests benötigt werden, sind alle
Strukturen mit dem kommerziellen Preprocessorprogramm ANSA vernetzt. Daher
lässt sich keine Aussage über die Qualität der Vernetzung mittels CalculiX-GraphiX
bzw. der Benutzerfreundlichkeit machen. Der Vorteil durch dieses Vorgehen liegt
darin, nur ein Finite-Elemente-Netz zu erstellen und dieses in die verschiedenen
Formate von NASTRAN, Abaqus und CalculiX zu überführen.
CalculiX bietet eine gute Grundausstattung an direkten und iterativen Solvern. Die
maximale Modellgröße für das direkte Verfahren liegt bei ca. 70 000 Elementen für
das 32Bit System bzw. 200 000 Elementen für das 64Bit Computersystem. Mit
einem 32Bit Computer können die iterativen Lösungsalgorithmen je nach Verfahren
bis ca. 500 000 Elemente simulieren und bei dem hier verwendeten 64Bit Rechner
bis ca. 2 000 000 Elementen, wobei nur bis 1 000 000 getestet wurde und die hier
angegebenen Grenze eine vorsichtige Hochrechnung ist.
Die durchgeführte Simulation mittels OOFEM weist sehr schlechte Werte auf. Im
Vergleich zu CalculiX, NASTRAN und dem analytischen Ergebnis ist die berechnete
Verschiebung deutlich zu klein und selbst bei Verfeinerung des Netzes wird keine
Verbesserung erreicht. Hier besteht noch Entwicklungsbedarf bei der
Elementbibliothek. Diese ist deutlich zu klein und bietet nur lineare dreieckige
Schalenelemente für Strukturberechnungen. Das implementierte Element kann nicht
in dynamischen Simulationen verwendet werden. Der Input der Simulationsdateien
ist sehr kryptisch und es lassen sich vorhandene Finite-Elemente Netze nicht in
OOFEM-Dateien konvertieren.
4 Optimierung
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42
4 Optimierung
Neben der Finite-Elemente-Methode hat sich die Optimierung als weiteres
Werkzeug zur Lösung technischer Probleme etabliert. Soll zum Beispiel ein Bauteil
möglichst leicht werden, aber gleichzeitig die Steifigkeit erhöht werden, nutzt man
eine Optimierungsschleife, um diesen Zielkonflikt schnell und effizient zu lösen.
Hierfür bieten die Optimierungssoftwareprogramme eine Vielzahl von
Optimierungsarten und –algorithmen an, um eine wirkungsvolle Durchführung, bei
gegebener Rechnerkapazität und Problemstellung zu gewährleisten. Einen
einführenden Überblick über das Thema der Optimierung bietet [BAI94].
Frei verfügbare Finite-Elemente Programme sind für den Einsatz in
Optimierungsanalysen sehr interessant. Hier ist es oft notwendig, viele Rechnungen
parallel laufen zu lassen, um schnell zu einem Ergebnis zu gelangen. Dabei fallen
schnell immense Lizenzkosten an, die durch den Einsatz von Open-Source-
Software minimiert werden können.
Um zu testen, ob sich CalculiX in einen Optimierungsprozess implementieren lässt,
wird eine Sensitivitätsanalyse durchgeführt. Hierfür wird ein Querträger aus einem
aktuellen Fahrzeugmodell untersucht. Die Optimierung wird von dem Open-Source-
Softwarepaket DAKOTA gesteuert.
4 Optimierung
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43
4.1 Einführung Sensitivitätsanalyse / Robustheitsan alyse
Die Simulation von Bauteilen bzw. des Bauteilverhaltens mittels der Finite-
Elemente-Methode oder die Optimierung eines Designentwurfs wird meistens unter
der Annahme deterministischer Eingangsgrößen durchgeführt. Dabei wird außer
Acht gelassen, dass aufgrund verschiedener Einflüsse diese gar nicht genau
eingestellt werden können. Die Einflüsse, die zur Streuungen in den
Eingangsparametern führen, ergeben sich zum Beispiel aus Fertigungsprozessen
(Material, Geometrie) oder durch äußere Parameter wie Temperatur und
Belastungsschwankungen. Die Streuungen in den Eingangsparametern eines
Bauteildesigns führen dazu, dass sich das Bauteilverhalten nicht mehr genau
beschreiben lässt und somit die Zielgrößen bei der Bewertung des Systems
erheblich streuen können. Halten sich die Streuungen in gewissen (tolerierbaren)
Grenzen bzw. lässt sich das Bauteilverhalten, trotz Variation in den
Eingangsgrößen, annähernd genau vorhersagen, spricht man von einem robusten
Design (Abb. 4-1). Das bedeutet, dass kleine Änderungen im Input zu kleinen
Änderungen in der Antwort führen.
Abb. 4-1: "Robust Design"
Robustheit beschreibt somit die Sensitivität der Zielgrößen gegenüber Variabilität in
den Eingangsparametern. Somit lässt sich die Robustheitsoptimierung als die
Suche nach dem optimalen Punkt bei gleichzeitig minimaler Streuung der Zielgröße
4 Optimierung
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44
beschreiben. Bei ungeschickter Wahl der Eingangsvariablen kann sich der
Rechenaufwand für die Optimierung auf eine große Anzahl von Varianten
vergrößern. Um die Anzahl der Eingangsvariablen zu minimieren, führt man im
Vorfeld eine Sensitivitätsanalyse durch. Hierbei werden die Eingangsparameter auf
die reduziert, die besonders großen Einfluss auf das Bauteilverhalten haben.
4.1.1 Optimierungsprozess Finite-Elemente Querlenke r
Zur Durchführung der Sensitivitätsanalyse wird ein Querlenker aus einem fertig
vernetzten Fahrzeugmodell genutzt. Das Modell (Abb. 4-2) besteht aus 24110
Tetraederelementen mit 10 Knoten pro Element bzw. 41399 Knoten im gesamten
Modell.
Abb. 4-2: Querlenkermodell
Als Material wird ein isotroper Stahl mit elastoplastischem Verhalten gewählt. Die
Randbedingungen sind im Punkt
• A: Translation z fixiert (rote Markierung)
• B: Translation y,z fixiert, Masterknoten der RBE-Spinne
• C: Translation x,y,z fixiert, Masterknoten der RBE-Spinne
4 Optimierung
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45
Belastet wird die Struktur durch eine Kraft von 16000 N in X – Richtung im Punkt A.
Im rot markierten Auswertungsbereich wird die plastische Dehnung der Elemente
ausgegeben.
Für die Steuerung der Optimierung und Definition der Variablen muss der Finite-
Elemente-Input des Querlenkers modifiziert werden. Die Optimierungsvariablen
werden in der ASCII-Datei des Inputs durch geschweifte Klammern deklariert (siehe
Abb. 4-3). Die so markierten Einträge werden dann während der Optimierung durch
DAKOTA mit den entsprechenden Optimierungsparameter ausgetauscht.
Abb. 4-3: Ausschnitt Inputdeck CalculiX
Als Parameter wird die Position des Kraftangriffpunktes in den drei Raumrichtungen
variiert. Weiterhin wird das Materialverhalten durch den Elastizitätsmodul sowie der
Spannungs-Dehnungskurvendefinition des „Hardening“-Eintrages gestreut.
Die Grenzen der Optimierungsvariablen werden im Steuerungsfile von DAKOTA
definiert. Hierfür müssen die entsprechenden Einträge in der ASCII-Datei eingefügt
werden (Abb. 4-4). Die diskreten Werte für den Spannungsoffset
(Parallelverschiebung der Kurven), die Variation des E-Moduls und die Änderung
der Krafteinleitungsposition werden dann durch statistische Algorithmen des
Optimierers generiert und in die CalculiX-Inputdatei neu eingefügt.
4 Optimierung
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46
Abb. 4-4: Dakotainput
Zum Schluss werden noch die Optimierungsstrategie und die Art des Outputs der
Optimierung bestimmt.
Abschließend werden die Dateien des Finite-Elemente Inputs für CalculiX und der
Dakota-Steuerungsfile in ein Queingsystem importiert. Das Queingsystem
koordiniert die einzelnen Simulationen auf den verschiedenen Rechnern. Hierfür
wurden vorher Computersysteme reserviert, auf denen CalculiX installiert wurde
und ausschließlich die Optimierungsrechnungen laufen.
4.2 Fazit der Optimierung
Ziel dieser Optimierung ist es zu zeigen, dass sich CalculiX in eine Optimierung
mittels DAKOTA integrieren lässt und die berechneten Ergebnisse sich weiter
verarbeiten bzw. auswerten lassen. Die Integration von CalculiX in den Prozess und
die Auswertung der berechneten Ergebnisse mittels Excel und Knut verlief ohne
Schwierigkeiten. Auf eine explizite Ergebnissauswertung, dass heißt eine
Bewertung der Sensitivitäten wird an dieser Stelle verzichtet.
Für die Optimierung wurden insgesamt 2000 Simulationen auf bis zu 100
Computersystemen gleichzeitig durchgeführt. Die Optimierung dauerte 6,5 Stunden,
4 Optimierung
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47
wobei im Schnitt eine Rechnung ca. 5 Minuten benötigt. Die Installation von
CalculiX auf den verschiedenen Computern verlief ohne Schwierigkeiten. Hierbei ist
es von Vorteil gewesen, dass CalculiX auf der verwendeten Linuxdistribution neu
kompiliert wurde und so alle benötigten Programme und Pfaddefinitionen auf allen
Rechner identisch waren. Die Verwaltung der Rechnungen durch das
Queingsystem verlief dabei problemlos und es wurde kein Computerabsturz
beobachtet.
Wie die meisten Finite-Elemente-Programme verwendet auch CalculiX für die
Definition des Inputs eine ASCII-Datei. Hierdurch ist es dem Optimierungsprogramm
DAKOTA möglich, änderung im Input vorzunehmen bzw. die Optimierungsvariablen
einzufügen. Die vorgenommenen Änderungen im Input lassen sich z.B. mit Excel
visualisieren. In Abbildung 4-5 ist beispielhaft die durch DAKOTA vorgenommene
Variation im Elastizitätsmodul in der Inputdatei aufgetragen. Es lässt sich hier sehr
gut die Streuung in den einzelnen Samples beobachten.
Variation E-Modul
207000
208000
209000
210000
211000
212000
213000
Samples
E-M
odul
[N/m
m²]
Abb. 4-5: Änderung E-Modul durch DAKOTA
Die Ergebnisse der einzelnen Simulationen der Optimierung können im ASCII-
Format heraus geschrieben werden und anschließend mit Programmen, wie z.B.
Excel oder der speziell für DAKOTA entwickelten Tool „Knut“, ausgewertet werden.
Standardmäßig wird für das Postprocessing einer DAKOTA Optimierung bei P+Z
Knut verwendet. Knut ist eine eigene Entwicklung, die für die mathematische
Manipulation und das Visualisieren der Ergebnisse auf Matlab zurückgreift. Hierfür
müssen die Ergebnisse in einem speziellen zeilenorientierten ASCII Format
vorliegen, um ausgewertet werden zu können. Die CalculiX-Ergebnisse lassen sich
4 Optimierung
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48
problemlos in das spezielle Format importieren bzw. zu einem Gesamtergebnisfile
umschreiben. Ein typisches Beispiel für einen Auswerteplot einer
Sensitivitätsanalyse ist der Abbildung 4-6 zu entnehmen.
Scatterplot
z-Position
max
. Deh
nun
g
Abb. 4-6: Scatterplot
In dem sogenannten Scatterplot lassen sich Abhängigkeiten von Variablen
identifizieren. Hier ist zu erkennen, dass die maximale Dehnung von der
Lastangriffsposition in der Z-Richtung abhängt. Wenn zwei Parameter unabhängig
voneinander sind oder nur eine schwache Abhängigkeit zueinander aufweisen, wäre
eine Punktewolke ohne Struktur oder eine willkürliche Verteilung der Punkte im Plot
aufgetragen.
Eine genaue Beschreibung der Inputparameter von DAKOTA und ein kompletter
Überblick der Optimierungsalgorithmen würden den Umfang der Arbeit übersteigen.
Verwiesen sei hierfür auf das Manual, das sich im Internet unter der Adresse
http://www.cs.sandia.gov/DAKOTA befindet.
5 Steifigkeitsberechnung Motorhaube
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5 Steifigkeitsberechnung Motorhaube
Für einen abschließenden Test wird eine relativ große komplexe Schalenstruktur
gewählt. Hierbei ist es von Interesse, ob Simulationen mit den meist sehr
detaillierten Modellen aus der Automobilindustrie durchgeführt werden können.
Um eine Aussage über die Qualität der Berechnung zu machen, wird dieselbe
Struktur in Abaqus simuliert. Das Ergebnis wird hinsichtlich der maximalen
Durchbiegung aufgrund eines Kopfaufpralls und der Rechenzeit verglichen.
Bei der hier simulierten Motorhaube handelt es sich um ein vernetztes
Fahrzeugmodell eines Ford Taurus, Baujahr 2001. Das Finite-Elemente-Modell ist
ein frei verfügbares Crashmodell, was im Internet
(http://www.ncac.gwu.edu/vml/models.html) herunter geladen werden kann. Das
amerikanische „FHWA/NHTSA National Crash Analysis Center“ in Ashburn, Virigina
stellt verschiedene Fahrzeugmodelle und Crashbarrieren zum Download bereit. Die
Modelle sind im LS-Dyna-Inputformat definiert. Durch einen kommerziellen
Preprocessors können die Daten in das Abaqus-Format und somit auch in das
CalculiX-Format konvertiert werden.
5 Steifigkeitsberechnung Motorhaube
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50
5.1 Kopfaufpralldefinition
Für die Simulation wird ein Kopfaufpralltest nach EEVC WG-17 bzw. EURO-NCAP
durchgeführt. Der Kopfaufpralltest nach EEVC WG-17 fordert für einen Dummy-
Kopf eines erwachsenen Menschen einen resultierenden HIC-Wert von 1000 oder
niedriger. Das Kopfmodell wird in einem Winkel von 65° mit 40km/h auf
verschiedene Bereiche der Motorhaube geschossen (Abb. 5-1). Eine genaue
Beschreibung der Testprozedur findet sich im Internet unter der Adresse
http://www.EuroNCAP.com. Das Gesetz der Europäischen Union für die Berechung
des HIC-Wertes und weitere Einzelheiten der EEVC WG-17 können
http://ec.europa.eu/enterprise/automotive/directives/vehicles/dir2003_102_ce.htm
entnommen werden. Der HIC-Wert errechnet sich aus der Kopfbeschleunigung, die
über ein Zeitfenster von 3ms erreicht wird, nach der Formel
5,2
1212
2
1
1)(
−•−= ∫
t
t
r ttdtattHIC , mit
g
aar = .
Die Aufschlagbereiche werden für die verschiedenen Fahrzeugtypen bzw. Formen
individuell bestimmt, wobei die resultierende Kopfbeschleunigung bei modernen
Fahrzeugstrukturen im Mittel bei ca. 2
11m
s liegt, um den HIC-Wert von 1000 zu
unterschreiten.
Abb. 5-1: Kopfaufprall [ www.euroncap.com]
5.1.1 Modellbeschreibung FE-Motorhaube
Für die Simulation wird nur eine Hälfte der Motorhaube berechnet. Das
Motorhaubenmodell hat 12250 Schalenelemente (Abb. 5-2) und es erfolgt eine
statische Berechung. Ausgewertet wird die maximale Durchbiegung aufgrund einer
Flächenlast. Als Randbedingungen gilt für das Gelenk und das
5 Steifigkeitsberechnung Motorhaube
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51
Motorhaubenschloss, dass in allen Richtungen keine Verschiebung möglich ist. Für
die Symmetrieebene gilt keine Verschiebung in y und keine Rotation um y, z. Die
Lasteinleitung erfolgt kreisflächig an einer sehr steifen Stelle der Motorhaube. Die
Fläche der Lasteinleitung ergibt sich aus dem Kopfdurchmesser eines
Erwachsenenkopfes von 165mm. Mit einer mittleren Kopfbeschleunigung von 2
11m
s
und einen Gewicht von 4,8 kg für den Erwachsenenkopf ergibt sich eine
resultierende mittlere Kraft von F=52,8 N. Um die zu erwartenden hohen
Verformungen mit plastischer Deformation abbilden zu können, wird ein
Stahlmaterial mit elastoplastischem Verhalten gewählt. Hierdurch wird eine
nichtlineare Simulation erforderlich.
Abb. 5-2: FE-Modell Motorhaube
5.2 Diskussion der Simulationsergebnisse
Die Simulation wird in der Automobilindustrie durch eine Kontaktsimulation
durchgeführt. Die Kontaktdefinitionen von CalculiX befinden sich jedoch noch in
einem Prereleasestadium. Um Probleme bei der Simulation zu vermeiden, wurde
hier eine vereinfachte statische Simulation durchgeführt.
5 Steifigkeitsberechnung Motorhaube
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52
CalculiX berechnet für die maximale Verschiebung in Z-Richtung im Lastbereich
einen Wert von 53mm auf einem 32Bit System. Dasselbe Modell auf einem 64Bit
System ergibt ebenfalls einen Wert von 53mm. Hier kann sehr schön der
Unterschied, der durch die maximal mitgeführten Nachkommastellen bei 64Bit
Computersystemen entsteht, beobachten werden. Die Anzahl der
Nachkommastellen die für eine Berechnung verwendet werden können, ist bei 64Bit
um den Faktor 1010 größer. Daher wird das Konvergenzkriterium aufgrund der
höheren Genauigkeit später erreicht. Eine Kontrollrechnung mit Abaqus ergibt bei
gleicher Modellierung eine maximale Verschiebung von 61mm.
Abb. 5-3: Verschiebung Motorhaube
Bei realen Motorhaubenstrukturen werden heute im Mittel circa 60mm durch den
Aufschlag des erwachsenen Kopfes erreicht. Somit würde das mit CalculiX
ermittelte Ergebnis zu einer falschen Bewertung der Motorhaube führen.
Das zu steife Verhalten der Struktur lässt sich, wie in Kapitel 3.1 erwähnt, auf das
schlechte Seitenverhältnis der Elemente zurückführen. Hier kann eine weitere
Netzverfeinerung das Ergebnis positiv beeinflussen. Weiterhin werden, wie in
Kapitel 2.3.1 aufgeführt, durch die gebogene Motorhaubenstruktur und das
Festhalten der rotatorischen Freiheitsgrade an der Symmetrieebene „knots“, also
Zwangsbedingungen eingeführt. Diese behindern die Struktur an der freien
Durchbiegung.
5 Steifigkeitsberechnung Motorhaube
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53
CalculiX benötigt für die Simulation ca. 30min., während Abaqus in ca. 2min. das
Ergebnis berechnete. Der Rechenzeitunterschied lässt sich auf die zusätzliche
Einführung der Zwangsbedingungen und die Expansion der Elemente zu
Hexaedern zurückführen. Auch muss ein deutlich größeres Modell berechnet
werden, da sich die Knotenanzahl durch die neuen Knoten der Hexaederelemente
vergrößert. Die grafische Darstellung durch CalculiX-GraphiX lässt eine gute
Korrelation zu dem Abaqusergebnis erkennen (Abb. 5-3: Verschiebung
Motorhaube). Hier ist leider, wie schon erwähnt, von Nachteil, dass sich die
Farbverläufe in CalculiX-GraphiX nicht einstellen lassen.
Allgemein ist das Ergebnis des Tests durchaus zufrieden stellend. Wenn bei
komplexeren Schalenstrukturen bedacht wird, dass sich die Modellgröße erhöht und
auf eine feine Diskretisierung geachtet wird, können die Simulationsergebnisse mit
kommerziellen Programmen mithalten. Hier begrenzt jedoch der Arbeitsspeicher die
maximale Modellgröße.
6 Diskussion der Ergebnisse
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Jörg Hiller, Mat.-Nr. 183240
54
6 Diskussion der Ergebnisse
Das Programm OOFEM ist für einen Einsatz in Optimierungsprozessen bzw. zur
Berechnung komplexer Strukturen nicht geeignet. Es bietet nur eine beschränkte
Elementbibliothek mit linearen Elementtypen an, also jeweils kein Knoten auf der
Elementkantenmitte. Das Fehlen eines lauffähigen Pre-/Postprocessors und die
sehr komplexe Inputdefinition erschweren ein Einarbeiten deutlich.
Für den ersten Test, der statischen Balkenverformung, errechnet OOFEM viel zu
niedrige Werte. Durch die lineare Elementabbildung sind hier deutlich mehr
Elemente erforderlich, um ein zufriedenstellendes Ergebnis zu erhalten.
Dynamische Berechnungen (Test 2/3) sind im jetzigen Entwicklungsstand und mit
Balken- und Schalenelementen nicht möglich.
Das Softwarepaket CalculiX, mit dem Solver CalculiX-CrunchiX und dem Pre-
/Postprocessor CalculiX-GraphiX, lässt sich ohne Schwierigkeiten in Optimierungs-
prozesse einbinden. Auch können komplexe Strukturen, nichtlineare und Kontakt
Berechnungen durchgeführt werden.
CalculiX verwendet, wie in Kapitel 2.3.1 beschrieben, eine eigene Strategie, um
Berechnungen mit Schalen- und Balkenelementen durchzuführen. Die statische
Simulation ergibt ein gutes Ergebnis für die statische Balkenverformung und somit
für die Steifigkeit der Schalenelemente. Für das feinste Modell beträgt die Differenz
1,8%. Der Vergleich mit der Lösung von NASTRAN ergibt eine Differenz von ca.
1,5%. Allgemein korreliert das Ergebnis jedoch gut.
Als kritischer Parameter für die Ergebnisqualität konnte die Elementkantenlänge in
Balkenlängsrichtung identifiziert werden. Eine Verfeinerung des Netzes über der
Breite beeinflusst das Ergebnis nicht.
Durch den Test der Eigenfrequenzen einer Balkenstruktur wird festgestellt, dass
durch die Abbildung der Elemente als Hexaeder der Schubeinfluss mit
berücksichtigt wird. Also werden die Frequenzen in Analogie zur Timoshenko-
Theorie berechnet. Im Vergleich mit der analytischen Lösung nach Bernoulli und der
NASTRAN-Simulation mit schubsteifen Balkenelementen ergeben sich zu niedrige
6 Diskussion der Ergebnisse
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55
Werte. Die Differenz steigt mit der Anzahl an Balkenelemente und höherem
Eigenmode deutlich und das Strukturverhalten wird zu weich abgebildet.
Für die schubweichen Ergebnisse korrelieren die Lösungen besser. Bei 30
Elementen beträgt die Differenz zur analytischen Lösung kaum 0,5%. Im Vergleich
mit NASTRAN werden die Frequenzen jedoch mit steigendem Eigenmode und
höherer Elementanzahl zu niedrig berechnet. Ein Vergleich der von NASTRAN
berechneten Ergebnisse zeigte auch eine Differenz zu den analytischen Werten.
Die Eigenfrequenzsimulation der quadratischen Platte ergibt eine gute
Übereinstimmung zu den Werten der Lösung von NASTRAN. Hier liegen die Werte
von CalculiX wie bei den vorherigen Tests um die 1,5% unter denen der
Referenzlösung von NASTRAN. Eine weitere Steigerung der Lösungsqualität lässt
sich durch die Verfeinerung des FE-Netzes erreichen.
Der Test mit einer realen Motorhaubenstruktur (statische Analyse) ergibt ein
anderes Bild der Lösungsqualität von CalculiX. Bei der komplexen Struktur wird die
Durchbiegung im Gegensatz zu der Referenzlösung von Abaqus zu gering
berechnet. Auch ist die Rechenzeit um ein Vielfaches länger. Durch die Expansion
wird ein großer Teil der Rechenzeit für den Aufbau der Systemmatrizen benötigt.
Das abweichende Ergebnis ist durch die schlechte Elementqualität zu erklären. Für
die Berechnung ist ein feineres Netz erforderlich, um das schlechte Verhalten der
Hexaederelemente bei komplexen Strukturen zu kompensieren.
Grundsätzlich sind die Ergebnisse aller Tests zufrieden stellend im Hinblick auf die
Ergebnisqualität. Im Vergleich mit NASTRAN und der analytischen Lösung lässt
sich bei einer der Problemstellung angemessenen Vernetzung eine gute Korrelation
erreichen.
Die Untersuchung der in CalculiX implementierten Solver ergab maximale
Modellgrößen, die noch zu berechnen sind, von ca. 70000 Elementen für den
direkten Solver und ca. 200000 Elementen für die iterativen Verfahren bei einem 32
Bit Computersystem. Auf 64 Bit Systemen verschieben sich die Grenzen hin zu ca.
200000 Elementen für den direkten Gleichungslöser und ca. 2000000 Elementen für
die iterativen Solver. Die hier ermittelten Modellgrößen sind für eine Open-Source
6 Diskussion der Ergebnisse
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56
Software sehr gut. Der Haupteinflussfaktor für die Modellgrößen ist der verfügbare
Arbeitsspeicher. Durch das Implementieren eines „out-of-core“ Solvers oder der
MPI-Schnittstelle in CalculiX lassen sich diese Grenzen weiter nach oben
verschieben. Problematisch hat sich die Expansion der Elemente zu Hexaedern
heraus gestellt. Hierdurch ist das tatsächlich berechnete Modell deutlich größer als
die des Schalenmodells.
Das Implementieren von CalculiX in die Optimierungsschleife verlief ohne
Schwierigkeiten. Die Lösungsdauer für die Optimierung ist mit ca. 6,5 Stunden
zufriedenstellend. Das relativ große FE-Modell wurde im Schnitt in ca. 5 Minuten
gelöst. Die Ergebnisse konnten mittels Excel und Knut weiter verarbeitet werden.
Abschließend kann gesagt werden, dass die Open-Source Software CalculiX für
einen Einsatz in Optimierungsprozessen geeignet ist. Durch das zu Abaqus
kompatible Inputformat erfolgt eine Einarbeitung relativ schnell. Ein weiterer Vorteil
ist, dass kommerzielle Preprocessoren für die Vernetzung verwendet werden
können. Die Ergebnisqualität von CalculiX ist zufriedenstellend. Bei komplexen
Schalenelementstrukturen verhalten sich jedoch die Elemente von CalculiX zu steif
im Vergleich zu „richtigen“ Schalenelementen. Der Fehler kann jedoch durch eine
feinere Vernetzung korrigiert werden. Mit den implementierten Gleichungslösern
können auf einem 64Bit Computer Modelle mit bis zu 2000000 Elementen simuliert
werden. Der mitgelieferte Postprocessor bietet grundlegende
Auswertemöglichkeiten und ist intuitiv zu bedienen. Das Integrieren in einen
Optimierungsprozess mit DAKOTA verläuft aufgrund des im ASCII-Format
definierten Inputs ohne Probleme.
A1 Anhang
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57
A1 Open-Source FE-Programme
(Stand Juni 2007)
ALADDIN:
http://www.isr.umd.edu/~austin/aladdin.htm
l
AxisVM: http://www.axisvm.com
ADVENTURE:
http://adventure.q.t.u-tokyo.ac.jp/software
AFEMS:
http://www.femengineering.com/index2.ht
ml
ALBERTA: http://www.albertafem.de
Ansoft: http://www.ansoft.com
AnyBody: http://www.anybodytech.com
BASIN:
mailto:[email protected]
CAPCAST: http://www.ekkinc.com
Channelflow:
http://www.cns.gatech.edu/channelflow
CLAWPACK:
http://www.amath.-washington.edu/~claw
COSMOS: http://www.cosmosm.com
CURLY3D: http://curly3d.sourceforge.net
COSHELL:
http://www.digitaladdis.com/sk/programs.h
tm
CodeAster: http://www.codeaster.org
COMSOL: http://www.femlab.com
DANSOFT: mailto:[email protected]
Deal II: http://www.dealii.org
DOLFIN:
http://www.nada.kth.se/~jhoffman/software/i
ndex.html
DUNS: http://sourceforge.net/projects/duns
DIANA:
http://www2.tnodiana.com/gs/rdas/papp.asp?
cmd=Applications
DOUG:
http://www.maths.bath.ac.uk/~parsoft/doug
DOLFIN: http://www.fenics.org/projects
EMAP:
http://www.emclab.umr.edu/emap.html
EXPDE:
http://www10.informatik.unierlangen.de/~pfl
aum/expde/public_html
EULER:
http://www.iee.cas.cz/staff/solin/euler
ELFEN: http://rsazure.swan.ac.uk/elfen.htm
FeatFlow: http://www.featflow.de
FeaTure:
http://www.tm.ctw.utwente.nl/onderzoek/Di
ekA/Feature
FEC: ftp://ftp.math.uh.edu/pub/Math
FELIB:
http://www.softeng.cse.-clrc.ac.uk/felib4
FemObject:
http://www.zace.com/femobj.htm
FieldMagic: http://www.intactsolutions.com
A1 Anhang
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58
FEMLAB:
http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe
_resources/node164.html
FE/Pipe: http://www.paulin.com
FELyX: http://felyx.sourceforge.net
FreeFem: http://www.freefem.org/ff++
FEMLIB:
http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe
_resources/node165.html
Femlisp: http://www.femlisp.org
FELIPE: http://www.felipe.co.uk
FEMM: http://femm.fostermiller.com
FEMOctave:
http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe
_resources/node168.html
FEMSET:
http://www.hawhamburg.de/rzbt/dnksoft/ca
mmpus/femset.html
Free Finite Element Package:
http://www.free-finite-
elementpackage.smial.de
FEAP:
http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/feap
Felt: http://felt.sourceforge.net
FreeFEM, FreeFEM3D:
http://www.freefem.org
Geocrack:
http://ww2.mne.ksu.edu/~geocrack
Gerris: http://gfs.sourceforge.net
GeoFEM: http://geofem.tokyo.rist.or.jp
GEODE: http://www.geodesol.com
Getfem++:
http://www-gmm.insatoulouse.fr/getfem
Haplo: http://haplo.info
HMD: http://www.heldeneng.com
Impact: http://impact.sourceforge.net
ISAAC: http://isaac-cfd.sourceforge.net
Infolytica: http://www.infolytica.com
IMTEK:
http://www.imtek.unifreiburg.de/simulation/
mathematica/IMSweb
KASKADE:
http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe_r
esources/node181.html
KeyFE2:
http://users.skynet.be/keyFE2/keyFE2.html
KFEM: http://kfem.sourceforge.net
LUGR:
http://homepages.cwi.nl/~gollum/LUGR/ind
ex.html
LISA: http://www.lisa-fet.com/index640.htm
LUSAS: http://www.lusas.com
MODFE:
http://water.usgs.gov/software/modfe.html
MOUSE:
http://www.vug.uniduisburg.de/MOUSE
MOLDFLOW:
http://www.moldflow.com/stp
MiniFem:
http://www.rwthaachen.de/mmw/minifem/m
inifem.html
MEANS: http://www.femcad.de
MGGHAT:
http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe_r
esources/node190.html
A1 Anhang
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59
NASTRAN (NASA):
http://www.openchannelsoftware.org/projec
ts/NASTRAN
NaSt3DGP: http://wissrech.iam.uni-
bonn.de/research/projects/Na-St3DGP
NIKE3D:
http://wwweng.llnl.gov/mdg/mdg_codes_ni
ke3d.html
NIST:
http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe
_resources/node191.html
NLFET: http://nlfet.sourceforge.net
OFELI: http://ofeli.sourceforge.net
OpenSees: http://opensees.berkeley.edu
Open Foam:
http://www.opencfd.co.uk/openfoam
Open Flower:
http://openflower.sourceforge.net
OpenFem:
http://wwwrocq.inria.fr/OpenFEM
ParaFEM:
http://www.sve.man.ac.uk/Research/AtoZ/
ParaFEM
PARSYS:
http://www.iee.cas.cz/staff/solin/parsys
PHYSICA:
http://www.sofistik.de/loesungen/statik-
fem/multiphysics-cfd
PolyDE:
http://www.tuharburg.de/mst/english/polyd
e/PolyDE.html
PHOENICS: http://www.cham.co.uk
PSU: http://www.isd.uni-stuttgart.-de/psu
Rheolef:
http://www.sai.msu.su/sal/B/2/RHEOLEF.ht
ml
STAAD: http://www.reiusa.com
Solvia: http://www.solvia.se
Straus 7: http://www.straus7.com
STARS:
http://www.openchannelfoundation.org/order
s/index.php?group_id=191
STRAP: http://www.atirsoft.com
SLFFEA:
http://www.geocities.com/Athens/2099/slffe
a.html
TOCHNOG: http://tochnog.sourceforge.net
VAMUCH:
http://www.mae.usu.edu/faculty/wenbin/ht_d
ocs/vamuch.html
VAPAS:
http://www.mae.usu.edu/faculty/wenbin/ht_d
ocs/vapas.html
Warp3D:
http://cern49.cee.uiuc.edu/cfm/warp3d.html
Zebulon:
http://www.nwnumerics.com/Zebulon
Z88: http://www.z88.org
A2 Anhang
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60
A2 Inputdecks
Für die einzelnen Testbeispiele ist im folgenden Abschnitt beispielhaft jeweils ein
Inputdeck aufgeführt.
A2.1 Test 1
Calculix
*HEADING
** Test 1 20x3 Elemente
**
** Knotenkoordinaten
**
*NODE,NSET=ALL
1, 0., 100., 0.
…….
653, 6.6666675, 95., 0.
654, 8.333334, 95., 0.
655, 6.6666675, 97.5, 0.
**
** Elementdefinition, quadratisches Plattenelement mit 8-Knoten mit voller Integration
**
*ELEMENT, TYPE=S8, ELSET=PSHELL
1, 17, 464, 523, 512, 483, 522, 521, 515
2, 512, 523, 527, 511, 521, 525, 524, 514
…….
**
** Zuweisen der Eigenschaften der Plattenelemente
**
*SHELL SECTION, ELSET=PSHELL, MATERIAL=STEEL
2.,
**
** Materialparameter
**
*MATERIAL, NAME=STEEL
*DENSITY
7.85e-09,
A2 Anhang
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61
*ELASTIC
210000., 0.3
**
** Definition der Rechnung, Statik
**
*STEP
*STATIC
**
** Lastendefinition, Einheitskraft in neg. Z-Richtung
**
*CLOAD
17, 3, -1.
**
** Randbedingung, fest Eingespannt in allen Raumrichtungen
**
*BOUNDARY, TYPE=DISPLACEMENT
1, 1, 6, 0.
516, 1, 6, 0.
517, 1, 6, 0.
518, 1, 6, 0.
519, 1, 6, 0.
520, 1, 6, 0.
3, 1, 6, 0.
**
** Definition des Outputs
**
** Verschiebung und Reaktionskräfte der Knoten
*NODE PRINT, NSET=ALL
U, RF
**
** Spannungen und Dehnungen für die Elemente
*ELEMENT PRINT, ELSET=PSHELL
S,E
*N FILE
U, RF
*EL FILE
S,E
*END STEP
A2 Anhang
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62
OOFem
# Name Outputfile
test1_20x3.out
# Testbeschreibung
job description: small beam test
# Analyseart, Statik
LinearStatic nsteps 1
# OOFem spezifische Parameter (siehe Dokumentation)
domain 3dShell
OutputManager tstep_all dofman_all element_all
# Knotenanzahl|Elementanzahl|Querschnitt|Material|Randbedingungen|
ndofman 84 nelem 120 ncrossSect 1 nmat 1 nbc 2
# Knotendefinition mit Lasteinleitung und Randbedingungen
nodes 1 coords 3 100. 0. 0.0 bc 6 1 1 0 1 0 1 load 1 2
nodes 2 coords 3 100. 3.33333 0.0 bc 6 1 1 0 1 0 1
nodes 3 coords 3 100. 6.66667 0.0 bc 6 1 1 0 1 0 1
…….
# Elementdefinition (Dreiecksplatte) mit Querschnitts- ,Material- und Intergrationspunktdefinition
rershell 1 nodes 3 1 2 6 crossSect 1 mat 1 NIP 1
rershell 2 nodes 3 6 5 1 crossSect 1 mat 1 NIP 1
…….
# Querschnitsparameter
SimpleCS 1 thick 2.0
# Materialdaten
IsoLE 1 d 7.85e-9 E 2.1e5 n 0.3 talpha 0.0
# Randbedingungen mit Lastaufbringung
BoundaryCondition 1 loadTimeFunction 1 prescribedvalue 0.0
NodalLoad 2 loadTimeFunction 1 Components 6 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
ConstantFunction 1 f(t) 1.0
A2 Anhang
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63
A2.2 Test 2
Calculix
*HEADING
**
*NODE
1, 0., 0.
2, 0.5, 0.
…….
** Elementdefinition, Balken mit Zwischenknoten
*ELEMENT, TYPE=B32 , ELSET=BEAM
1, 1, 2, 3
2, 3, 4, 5
…….
**
** Balkeneigenschaften
*BEAM SECTION, ELSET=BEAM, SECTION=RECT, MATERIAL=STEEL
3., 5.
0.,0.,-1.
**
*MATERIAL, NAME=STEEL
*DENSITY
7.8e-09,
*ELASTIC
210000., 0.3
**
** Eigenfrequenzanalyse, ersten 20 Frequenzen warden berechnet
**
*STEP
*FREQUENCY
20,
**
**
** Output wird für jede Frequenz rausgeschrieben
**EL PRINT,FREQUENCY=1
**NODE PRINT, FREQUENCY=1
*NODE FILE
U
A2 Anhang
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64
** Zur Darstellung des Querschnittes wird der Output in 3-Dimensionaler Form angefordert
*EL FILE,OUTPUT=3D
S
*BOUNDARY
1,2,3
61,1,3
*END STEP
OOFem
Eine Berechnung des Problems mit OOFem ist nicht möglich.
A2 Anhang
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65
A2.3 Test 3
Calculix
**
*HEADING
**
**
**
*NODE
1, 0., 100., 0.
28, 100., 100., 0.
55, 100., 0., 0.
82, 0., 0., 0.
…..
**
** Elementdefinition, quadratisches Plattenelement mit 8-Knoten mit reduzierter Integration
**
*ELEMENT, TYPE=S8R, ELSET= PSHELL
1, 1443, 1135, 82, 1238, 1442, 1237, 1339, 1441
2, 1134, 1135, 1443, 1448, 1236, 1442, 1446, 1444
3, 1238, 1239, 1449, 1443, 1340, 1445, 1447, 1441
…….
**
**
** SECTION DATA
**
*SHELL SECTION, ELSET=PSHELL, MATERIAL=STEEL
2.,
**
**
*MATERIAL, NAME=STEEL
*DENSITY
2.7E-9,
*ELASTIC, TYPE=ISOTROPIC
70000., 0.3
**
** Setdefinition um Randbedingungen komfortabler aufzubringen
A2 Anhang
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66
**
*NSET, NSET=BC
1, 28, 55, 82, 629, 630, 631, 632, 633, 634,
…….
**
**
*STEP
*FREQUENCY
20
**
** BOUNDARY
**
*BOUNDARY, TYPE=DISPLACEMENT
BC, 1, 6, 0.
*NODE FILE
U,
*END STEP
OOFem
Eine Berechnung ist mit der vorliegenden Version nicht möglich.
A3 Anhang
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67
A3 Analytische Herleitung
An dieser Stelle erfolgt eine Herleitung analytischer Ergebnisse für die
Testbeispiele.
Für das erste Testbeispiel wird die Durchbiegung infolge der Belastung einer
exzentrisch angreifenden Kraft berechnet. Die Gesamtverschiebung des flachen
langen Kragträgers ergibt sich aus Biege-, Schub- und Torsionseinfluss.
Für den zweiten Test werden die ersten drei Biegeeigenfrequenzen eines kurzen
dicken Balkens ermittelt. Dabei findet eine Erweiterung der klassischen
Bernoullitheorie um die Wirkung Schub- und Rotationsträgheitseinfluss nach
Timoshenko statt. Es werden die Grenzen der einzelnen Theorien gezeigt und
weitere aus der Literatur entnommene Formeln für die Bestimmung der
Biegeeigenfrequenzen aufgeführt.
Das dritte Beispiel behandelt die Eigenschwingungen von quadratischen, fest
eingespannten Platten. Für diesen Fall werden die Ergebnisse aus der
Literaturrecherche aufgeführt, die Bewegungsgleichung für die Platte in Analogie
zur Timoshenko-Theorie angegeben und die Grenzen der klassischen
Plattentheorie für den Einsatz in der Dynamik gezeigt.
A3 Anhang
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68
A3.1 Test 1. Durchbiegung Blattfeder
Im Test 1 wird die Durchbiegung eines schlanken Balkens )( bt << aufgrund einer
exzentrisch angreifenden Kraft berechnet (Abb. A3-1). Dabei wird die Absenkung im
Lastangriffpunkt betrachtet, die sich aus den Anteilen Biegung, Schub sowie Torsion
ergibt.
Abb. A3-1: Blattfeder
Den Biegeanteil erhält man aus den Gleichgewichtsbedingungen für den Balken
Q q′ = − , M Q′ = ,
dem Elastizitätsgesetz für das Biegemoment
M EI ′= ψ
und bei Annahme, dass die Schubsteifigkeit sehr groß ist ( GAχ → ∞ ), wird aus dem
Elastizitätsgesetz für die Querkraft
( )Q GA w′= χ + ψ
0w′ + ψ =
w′′ ′= −ψ .
durch Eliminieren von ′ψ die Differentialgleichung der Biegelinie zu
M
wEI
′′ = − .
Für das Moment gilt ( )M F l x= − − Einsetzen und Integrieren führt zu
2
1
3 2
1 2
( )
2
6 2
EIw F x l
xEIw F lx C
x lxEIw F C x C
′′ = − +
−′ = + +
= − + + +
E,G
x
l
F
b
t
A3 Anhang
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69
Mit den Randbedingungen (0) 0w′ = , (0) 0w = folgt für die Integrationskonstanten
1 0C = , 2 0C = .
Damit wird der Biegeverlauf zu
3 3 2
3 2( ) 3
6
Fl x xw x
EI l l
= − +
.
Die maximale Durchbiegung tritt an der Krafteinleitungsstelle x l= auf:
3
max 3B
Flw f
EI= = .
Bei der bis hier gemachten Herleitung wird davon ausgegangen, dass der Balken
schubstarr ist, was bedeutet, dass der Querkrafteinfluss keine Winkeländerung
hervorruft und Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht zur neutralen
Faser standen, auch nach der Deformation senkrecht zu ihr stehen bleiben (Abb.
A3-2).
Abb. A3-2: Bernoulli Annahme
Als nächstes wird der Schubeinfluss auf den Biegebalken betrachtet. Das
Elastizitätsgesetz für die Querkraft lautet
S
Qw
GA′ + ψ =
Mit Einführung eines Schubkorrekturfaktors für einen Rechteckquerschnitt5
6χ = ,
SA A= χ und Bw′ = −ψ , ergibt sich für die Gesamtneigung (Indizies B: Biegung und
S: Schub)
B Sw w w′ ′ ′= +
mit SS
Qw
GA′ = . Durch Integration und unter Beachtung der Randbedingungen
(0) 0Sw = wird nun der Biegeverlauf des Balkens aufgrund des Schubeinflusses zu
xz
w
w′−ψ
A3 Anhang
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70
SS
Qw x
GA= .
Die größte Durchbiegung des Balken tritt an der Kraftangriffstelle x l= auf und mit
Q F= wird die Gesamtdurchbiegung aufgrund von Biege- und Schubeinfluss zu
3
3 S
Fl Flw
EI GA= + .
Für den Torsionseinfluss auf die Balkenbiegung werden folgende Annahmen
getroffen [GRO99]:
• Querschnitte verdrehen sich unter Torsionseinfluss als Ganzes, d.h. Punkte
des Querschnitts, die vor der Verformung auf einer Geraden liegen, sind
auch nach der Verformung auf einer Geraden.
• Ebene Querschnitte bleiben eben. Es tritt keine Verformung aus der Ebene
heraus auf (keine Verwölbung).
Abb. A3-3: Zusammenhang Verdrehung und Winkeländerung
Bei kleinen Verformungen gilt für die Verdrehung dυ und die Winkeländerung γ der
folgende Zusammenhang (Abb. A3-3)
2 2
b b dd dx
dx
υυ = γ → γ = .
Mit dem Elastizitätsgesetz Gτ = γ folgt dann
2 2
b d bG G
dx
υ ′τ = = υ .
Für das Torsionsmoment gilt
2T
bM dA= τ∫
2
4T
bM G dA′= υ ∫
T PM G I′= υ .
γdυ
dx b
A3 Anhang
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71
B Sw w+
Tw
F
Dabei wird die neu eingeführte Größe PI als das polare Flächenträgheitsmoment
bezeichnet, das im weiteren Verlauf als Torsionsträgheitsmoment TI bezeichnet
wird. Durch die exzentrisch angreifende Kraft wirkt ein konstantes Torsionsmoment
2T
bM F= . Mittels Integration über die Balkenlänge von
T
T
M
GI′υ =
ergibt sich die Verdrehung am Balkenende aufgrund des Torsionsmomentes zu
T
T
M l
GIυ = und die Verschiebung zu
2T
bw = υ .
Die resultierende Gesamtverschiebung (Abb. A3-4) setzt sich aus einem Biege-,
Schub- und Torsionsanteil zusammen.
Abb. A3-4: Gesamtverschiebung
Somit folgt für die Gesamtverschiebung
3 2
3 4S T
Fl Fl b Flw
EI GA GI= + +
und mit
3
12
btI = , 31
3TI bt= , 5
6SA bt=
wird die resultierende Verschiebung zu
2 2 2
3
4 6 3
5 4
Fl l t bw
bt E G G
= + +
.
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72
A3.2 Test 2. Eigenfrequenz Biegebalken
In Test 2 werden die ersten drei Biegeeigenfrequenzen eines kurzen dicken Balkens
(Abb. A3-5) 3
30=t
l
eBalkentief
eBalkenläng ermittelt. Dabei ist der Balken statisch bestimmt
gelagert und der Einfluss der Rotationsträgheit sowie des Schubes werden
berücksichtigt (Timoshenkotheorie).
Abb. A3-5: Gedrungener Balken
Schwingt der Balken um seine y-Achse, so erfolgt eine Verschiebung ( ),w x t in z-
Richtung (Abb. A3-5) und eine Drehung ( ),x tψ um die y-Achse (Abb. A3-6).
Abb. A3-6: Verdrehung Balken
Folglich lassen sich für das Balkenelement der Schwerpunktsatz in z-Richtung und
der Drallsatz durch den Schwerpunkt (parallel zur y-Achse) formulieren (Abb. A3-7).
2
2
w QAdx Q Q dx
t x
∂ ∂ρ = − + +∂ ∂
2
2
MI dx M M dx Qdx
t x
∂ ψ ∂ρ = − + + −∂ ∂
Abb. A3-7: Balkenelement
xz
dx
Q
M
QQ dx
x
∂+∂
MM dx
x
∂+∂
xz
( )w x, t
( )x, tψ
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73
Weiterhin wird das Elastizitätsgesetz für das Biegemoment
M EI ′= ψ
und für die Querkraft
( )SQ GA w′= + ψ
benötigt.
Durch die vier Differentialgleichungen werden der Biegeeinfluss, der Einfluss der
Schubdeformation sowie die Drehträgheit beschrieben.
Um die Bewegungsgleichung des Balkens zu erhalten, wird das
Momentengleichgewicht in der Form
( )2 2
2 20I w I w M Q
t t
∂ ∂′ ′ ′ρ + ψ − ρ − + =∂ ∂
geschrieben. Durch Einsetzen des Elastizitätsgesetzes für das Biegemoment in der
Form ( )M EI w EIw′′ ′′= + ψ − und Differenzieren nach x wird die Gleichung für das
Momentengleichgewicht zu
( ) ( )2 2
2 20IVI w I w EI w EIw Q
t t
∂ ∂′ ′′′′ ′′ ′ ′ρ + ψ − ρ − + ψ + + =∂ ∂
.
Mit
2
2Q A w
t
∂′ = ρ∂
und ( )S
Qw
GA′ + ψ =
wird die Differentialgleichung zu
21 0IV
S S
EA IAEIw Aw I w w
GA GA
′′+ ρ − ρ + + ρ =
&&&& && && .
Dies ist die Bewegungsgleichung einer freien Schwingung nach der Timoshenko
Balkentheorie [TIM55].
Mit dem Ansatz für harmonische Schwingungen
( ) ( ) ( ), cosw x t W x t= ω − α
ergibt sich die Differentialgleichung
4 2
2 2 2 44 2
1 0S S
d W EA d W IAEI A W I W
dx GA dx GA
− ρ ω − ρ ω + + ρ ω =
.
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Für den Fall des beidseitig frei drehbaren Balkens und unter Einbeziehung der
Randbedingungen gilt folgende Lösungsansatz
( ) sin ,k k
k xW x B
l
π= 1,2....k = .
Durch Einsetzen der Lösung in die Differentialgleichung werden die Eigenwerte
bestimmt und es ergibt sich
Abb. A3-8: Bewegungsgleichung Balken
oder mit 4 2 Aa
EI
ρ= ω und 2 Ii
A= folgt
4 2
4 4 2 8 41 0S S
k EA k EAa a i a i
l GA l GA
π π− − + + =
In Tabelle A3-1 sind weitere charakteristische Gleichungen für verschiedene
Lagerungen aufgeführt.
Lagerung charakt. Gleichung klκ
gelenkig-gelenkig sin 0lκ = κπ
eingespannt-gelenkig tan tanh 0l lκ − κ = ( )4 1
4k
π≈ +
eingespannt-frei cosh cos 1 0l lκ κ + = ( )2 1
2k
π≈ −
eingespannt-eingespannt
frei-frei
cosh cos 1 0l lκ κ − =
cosh cos 1 0l lκ κ − = ( )2 1
2k
π≈ +
Tabelle A3-1: Charakteristische Gleichungen für verschiedene Randbedingungen [GRO99]
Wie in Abb. 2-1 gezeigt, lassen sich die einzelnen Terme der Bewegungsgleichung
den verschiedenen Theorien zuordnen. Werden nur die ersten beiden Terme
betrachtet, so erhält man den Euler-Bernoulli-Balken mit
Bernoulli Timoshenko (Rotationsträgheit & Schubeinfluss)
4 22 2 2 41 0
S S
k EA k AIEI A I
l GA l GA
π π − ρ ω − ρ ω + + ρ ω =
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2 24k
EIkAl
ω = πρ
.
Der zweite Term beschreibt die Erweiterungen um Schub- und
Rotationsträgheitseinfluss, welche erstmals von Stepan Prokofyevich Timoshenko
[MIN51] eingeführt wurden. Dabei berücksichtigt der erste Teil die Rotationsträgheit
und der Zweite den Schubeinfluss. Durch Hinzufügen des einen oder anderen
Terms lässt sich so die Bewegungsgleichung herleiten, die nur die Rotationsträgheit
oder den Schubeinfluss mit einbezieht. Der letzte Term, der die Rotationsträgheit
und Schubeinfluss koppelt, ist bei praktischen Anwendungsfällen, bei denen davon
ausgegangen wird, dass 1<<l
kiπ, von sekundärer Bedeutung (es ergibt sich auch
keinerlei technische Aussage, die aus diesem Term gewonnen werden könnte).
Um die relative Größe des letzten Terms im Vergleich zum „Timoshenko-Term“ zu
bilden, wird dieser mittels 4
4 ka
l
π= zu
2 2
8 4 4 2
S S
EA k ki EAa i a i
GA l l GA
π π≡
umgeformt. Nun wird erkennbar, dass
,12
2422
24
+
<<
SS GÁ
EA
l
kia
GÁ
EA
l
ki
l
kia
πππ
da 1<<l
kiπ ist. Der letzte Teil wird für die Bestimmung der Eigenfrequenzen nicht
weiter berücksichtigt. Die Eigenkreisfrequenzen nach der Timoshenko-Theorie
ergeben sich somit zu
122 2
21 1k
S
k EA k EIi
l GA l A
−
π πω = + +ρ
.
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In Abb. A3-9 findet ein Vergleich der verschiedenen Balkentheorien statt.
Es wird deutlich, dass ab einer bestimmten Wellenlänge (Wellenlänge und -
geschwindigkeit sind dimensionslos angegeben.) bzw. einer entsprechenden
Frequenz, der Einfluss des Schubes sowie die Rotationsträgheit nicht mehr
vernachlässigt werden dürfen. Es ist bemerkenswert wie gut die Timoshenko-
Theorie mit dem exakten Ergebnis übereinstimmt. Im Vergleich dazu weist die
Bernoulli- und Rayleightheorie (nur Rotationsträgheit) zu hohe Werte auf und die
Struktur wird zu steif bewertet.
Abb. A3-9: Vergleich der Balkentheorien [GRA91]
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Durch eine Literaturrecherche wurden weitere Formeln für die Timoshenko-Theorie
recherchiert. Die Differenzen dieser Formeln lassen sich dadurch erklären, dass
verschiedene Näherungen oder Potenzreihenentwicklungen benutzt wurden.
Anzumerken ist dabei, dass alle Autoren den letzten Term in der
Differenzialgleichung wegfallen lassen und dass durch die unterschiedlichen
Näherungen die Ergebnisse sich teilweise stark voneinander unterscheiden.
Tabelle A3-2 listet die Ergebnisse der ersten drei Biegeeigenfrequenzen für die
verschiedenen Balkentheorien auf. Deutlich erkennbar ist, wie sich der Schub- bzw.
Rotationsträgheitseinfluss bei höheren Frequenzen auf das Ergebnis auswirkt.
Quelle
Erste Biegeeigen-
frequenz [Hz]
Zweite Biegeeigen-
frequenz [Hz]
Dritte Biegeeigen-
frequenz [Hz] [TIM55] Bernoulli 7817,769 31271,075 70359,919
1. [TIM55] Bernoulli+Rotationsträgheit
7785,619 30756,686 67755,826
2. [NUK99] Bernoulli+Schubeinfluss
7743,608 30132,725 64958,676
3. [TIM55] 7685,314 29151,794 59631,059 Diplomarbeit 7688,588 29345,472 61592,089
4. [GRO99] 7619,086 28092,154 54266,629 5. [CLO75] 7718,427 29681,614 62313,274
Tabelle A3-2: Vergleich der Eigenfrequenzen nach Quellen
1. 2 2
11
2k
k EI k i
l A l
π π ω = − ρ
2.
12 2 2
1kS
k EI k i EA
l A l GA
− π π ω = + ρ
3. 2 2
11 1
2kS
k EI k i EA
l A l GA
π π ω = − + ρ
4. 2
2 24
1 1kS
EI EA k ik
Al GA l
π ω = π − + ρ
5. 2
2 24
11 1
2kS
EI ki EAk
Al l GA
π ω = π − + ρ
A3 Anhang
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Die verschiedenen Werte in Tabelle A3-2 ergeben sich hauptsächlich durch
numerische Ungenauigkeiten. Bei einer Vergleichsrechnung der durch EXCEL und
mittels Matlab ermittelten Werte, wurden weitere Abweichungen beobachtet. Auch
ist zu beobachten, dass verschiedene Werte für die Formeln 3 und 5 errechnet
werden, obwohl die Formeln sich nur durch die Position der Länge (In der Wurzel
oder vor die Wurzel gezogen.) unterscheiden.
A3 Anhang
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A3.3 Test 3. Eigenfrequenzen fest eingespannte Plat te
Beim dritten Testbeispiel werden die ersten sechs Eigenfrequenzen für eine fest
eingespannte homogene quadratische Platte (Abb. A3-10) berechnet. Für eine
Herleitung der Schwingungsgleichung für eine Platte, die die klassische
Plattengleichung um Schub- und Rotationsträgheit erweitert, sei an dieser Stelle auf
[MIN51] verwiesen.
Abb. A3-10: Platte
Die Differentialgleichung der Platte lautet in Analogie zur Schwingungsgleichung
nach Timoshenko für den Balken
3 2 2 2 3 4 2
22 2 4 2
012 12
h hB w w B w w h w
t G t G t t
ρ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂∆ − ∆ − ∆ + + ρ =′ ′∂ ∂ ∂ ∂
mit
( )3
212 1
EhB =
− υ Biegesteifigkeit und 2G G′ = κ
korrigierter Schubmodul mit 2 0.3 0.76κ ≈ × υ + .
Hierbei lassen sich die einzelnen Terme für Schub-, Biege- und Rotationsträgheits-
einfluss identifizieren (Abb. A3-11):
Abb. A3-11: Bewegungsgleichung Platte
mit .:2
2
OperatorLaplacex
−∂∂=∆
Biegeeinfluss Rotations-trägheit
(Rotationsträgheit & Schubeinfluss)
Schubeinfluss
3 2 2 2 3 4 22
2 2 4 20
12 12
h hB w w B w w h w
t G t G t t
ρ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂∆ − ∆ − ∆ + + ρ =′ ′∂ ∂ ∂ ∂
h
ab
a b=
Alle Ränder fest
eingespannt.
A3 Anhang
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80
Der Fall der quadratischen Platte ist ein Spezialfall der rechteckigen Platte. Die
Lösung der Bewegungsgleichung mit der Ansatzfunktion, die auch die
Randbedingungen mitberücksichtigt, würde den Umfang dieser Arbeit weit
überschreiten. Meist wird auch in der Fachliteratur nur der Fall der rechteckigen
Platte bzw. Membran mit Auflagerrandbedingungen (an den Rändern frei drehbar)
behandelt.
Einen umfangreichen Überblick zum Thema Schwingungen von Platten gibt Leissa
[LEI61] in seiner Arbeit „Vibration of Plates (NASA SP-160)“, die im Auftrag der
NASA erstellt wurde. Dabei werden verschiedene Randbedingungen sowie Formen
von Platten ausführlich behandelt.
Für dem hier vorliegenden Fall ergeben sich aus der Veröffentlichung für die ersten
sechs Eigenfrequenzen nach Young [LEI61], mit )1(12 2
3
υ−= Eh
D und h×= ρρ ,
folgende Werte:
Eigenmode 1 2 3 4 5 6
Young 1793,063 3657,370 5394,134 6558,454 6588,845 8227,961
Tabelle A3-3: Eigenfrequenzen
Die Eigenformen einer fest eingespannten quadratischen Platte können Abb. A3-12
entnommen werden.
Abb. A3-12: Eigenformen einer quadratischen Platte mit Seitenlänge a und Biegesteifigkeit D[LEI61]
Leider wird weder der Schubeinfluss noch der Einfluss der Rotationsträgheit in den
oben genannten Formeln berücksichtigt.
Die in Abb. A3-11 betrachtete Formel beinhaltet alle Einflüsse, die auf eine Platte
wirken und ist aus der Arbeit von Mindlin „Influence of Rotatory Inertia and Shear on
Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates” [MIN51] hergeleitet. Welche
Auswirkungen diese Terme auf die Eigenfrequenzen haben, geht aus Abb. A3-13
A3 Anhang
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hervor. Es lässt sich erkennen, dass Oberhalb eines Verhältnisses von Plattendicke
zu Wellenlänge, Schwingungtei
eWellenläng
i
l
−==λ , von 0,125
h ≈λ
die klassische
Plattentheorie nicht mehr gilt.
In unserem Beispiel würde bei einer Plattendicke von 2mm eine charakteristische
Wellenlänge von mm16≈λ vorliegen (Abb. A3-14). Damit ergibt sich eine
Grenzfrequenz, für die die Rotationsträgheit und der Schubeinfluss nicht mehr
vernachlässig werden darf, von 760f Hz≈ .
Abb. A3-13: Schub- und Rotationsträgheitseinfluss auf die Wellengeschwindigkeit [MIN61]
A3 Anhang
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Obwohl nach der allgemeinen Definition hier eine dünne Platte mit dem Verhältnis
mm
mm
b
h
a
h
100
2== vorliegt (siehe Tabelle A3-4), zeigen doch die vorherigen
Annahmen, dass diese Definition nicht für die Bestimmung der Eigenfrequenzen
zutrifft (Dynamik). Die wesentlichen Vereinfachungen der Plattentheorie sind:
• linear elastisches Materialverhalten (gilt nur für kleine Verformungen)
• konstante Plattendicke h
• die Spannungen normal zur Schalenmittelfläche sind vernachlässigbar
( 0, 0Z Zσ = ε = ).
• dicke Platte:
� Reissner-Mindlin (Timoshenko-Theorie bei Balken): Die Normalen zur
Mittelfläche sind vor der Verformung gerade, nach der Verformung auch
gerade, müssen jedoch nicht senkrecht zur Mittelfläche stehen.
• dünne Platte:
� Kirchhoff-Theorie (Bernoulli-Theorie bei Balken): Die Normalen zur
Mittelfläche stehen auch nach der Verformung noch senkrecht auf der
Mittelfläche
Dicke Platte Dünne Platte
;h h
a b
1 1
5 10L
1 1
10 50L
Plattentheorie Reissner-Mindlin
(Schubweich)
Kirchhoff
(Schubstarr)
Tabelle A3-4: Einsatzgebiete Plattentheorie
Besonders bei der Betrachtung von höheren Frequenzen, wo in Analogie zur
Balkentheorie der Schubeinfluss mit höheren Frequenzen immer weiter dominiert,
darf die Theorie nach Kirchhoff nicht benutzt werden. Dieser Theorie folgend, würde
sich die Struktur zu steif verhalten, wodurch es zu höheren Werten der
Eigenfrequenzen kommt.
A3 Anhang
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83
Abb. A3-14: Charakteristische Wellenlänge (λ ) über Frequenz ( f ) für Eisenplatten [CRE67]
A4 Anhang
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84
A4 Literaturverzeichnis
[TIM55] Timoshenko, Stephan P.: Vibration Problems in Engineering,
New York 1955
[CLO75] Clough, Ray W.; Penzien, Joseph : Dynamics of Structures,
Tokio 1975
[GRO99] Gross, Dietmar; Hauger, Werner; Schnell, Walter; Wriggers,
Peter: Technische Mechanik Bnd. 4, Berlin 1999
[NUK99] Nukala, Phani K.: Implementation of Rotary Inertia Effect on the
Free Vibration Response of Beams, Lawrence Livermore National
Laboratory 1999
[LEI69] Leissa, Arthur W.: Vibration of Plates (NASA SP-160),
Washington D.C. 1969
[MIN51] Mindlin, Raymond D., Influence of Rotatory Inertia and Shear on
Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates, New York 1951
[CRE67] Cremer, Lothar; Heckl, Manfred : Körperschall, Berlin 1967
[GRA91] Graff, Karl F.: Wave Motion in Elastic Solids, New York 1991
[Cal1.6] Dokumentation CalculiX, http://www.dhondt.de/
[B2000] Dokumentation B2000,
http://www.smr.ch/local/doc/B2000/html/index.html
[OOFem] Dokumentation Object Oriented Finite Element Solver,
http://www.oofem.org/documentation/manual.html
[DAK07] Homepage Dakota (Stand Julie 2007),
http://www.cs.sandia.gov/DAKOTA/software.html, Sandia National
Labroatories
[BAI94] Baier, Horst, Seeßelberg, Christoph, Specht, Bernhard : Optimierung
in der Strukturmechanik, Wiesbaden 1994