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Diplomarbeit: FGC-Ringe und der Satz uber

Geschachtelte Basen

Nicole Hulsmann

Oktober 2003

2

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 2

Notationen 5

1 FGC-Ringe 61.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Bewertungsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Bezoutringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4 Fackelringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5 Ein FGC-Ring hat nur endlich viele minimale Primideale . . 381.6 Charakterisierung von FGC-Ringen . . . . . . . . . . . . . . . 451.7 Eindeutigkeit der Zerlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Geschachtelte Basen fur endlich erzeugteModuln uber FGC-Ringen 572.1 Liften von Zerlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2 Geschachtelte Basen fur unzerlegbare FGC-Ringe . . . . . . . 662.3 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Einleitung

In der vorliegenden Arbeit wollen wir uns zum einen der Charakterisierungvon FGC-Ringen und zum anderen dem Satz uber geschachtelte Basen furendlich erzeugte Moduln uber FGC-Ringen widmen. Dabei heißt ein kom-mutativer Ring R FGC-Ring, wenn jeder endlich erzeugte R-Modul eineendliche direkte Summe von zyklischen Teilmoduln ist.Der erste Teil dieser Arbeit beschaftigt sich mit der Charakterisierung vonFGC-Ringen. Wir werden zeigen, dass ein kommutativer Ring R genau dannein FGC-Ring ist, wenn er ein endliches Produkt von Ringen ist, die jeweilseiner der folgenden drei Klassen angehoren:

1. maximale Bewertungsringe,

2. fast-maximale Bezoutbereiche,

3. Fackelringe.

Bis 1950 waren Hauptidealbereiche die einzigen bekannten FGC-Ringe.Kaplansky bewies 1952 in [K], dass jeder endlich erzeugte Modul uber ei-nem fast-maximalen Bewertungsbereich eine direkte Summe von zyklischenTeilmoduln ist. Pierce [P] charakterisierte 1967 die kommutativen regularenFGC-Ringe als endliche Produkte von Korpern. Hierbei verband er als ersterdie Zerlegung eines Moduls mit toplogischen Betrachtungen des Spektrumseines Rings. 1973 zeigte Brandal in [B1], dass jeder fast-maximale Bezout-bereich ein FGC-Ring ist. Unabhangig hiervon entwickelten auch Shoresund R. Wiegand dieses Resultat in [SW]. Desweiteren fuhrten Shores undWiegand Fackelringe zunachst unter der Bezeichnung ”?“-Ringe ein. Die-se wurden so definiert, dass jeder Fackelring ein FGC-Ring ist. Zu diesemZeitpunkt waren damit maximale Bewertungsringe, fast-maximale Bezout-bereiche und Fackelringe als FGC-Ringe bekannt. Es blieb nun zu zeigen,dass dies die einzigen sind. S. Wiegand [W] gelang es 1975 zu zeigen, dass ineinem FGC-Bereich jedes Primideal ungleich Null nur in einem maximalenIdeal enthalten ist. Ein Jahr spater zeigten Brandal und R. Wiegand in [BW]mit Hilfe von topologischen Betrachtungen des Spektrums eines FGC-Rings,dass jeder FGC-Ring nur endlich viele minimale Primideale besitzt. Hiermitkonnten R. Wiegand und S. Wiegand Ende 1976 in [WW] eine vollstandigeCharakterisierung von FGC-Ringen angeben.In dieser Arbeit folgen wir bei der Charakterisierung von FGC-Ringen imwesentlichen Brandal [B2]. Hierzu haben wir unser erstes Kapitel in sechsAbschnitte eingeteilt. Im ersten Abschnitt werden wir uns mit grundlegen-den Definitionen und Aussagen beschaftigen. In den anschließenden drei Ab-schnitten betrachten wir jeweils separat Bewertungsringe, Bezoutringe undFackelringe. Im funften Abschnitt widmen wir uns dann dem Resultat vonBrandal und R. Wiegand aus [BW], dass jeder FGC-Ring nur endlich vie-le minimale Primideale hat. Hierzu werden wir uns mit den topologischen

Einleitung 4

Eigenschaften des Spektrums eines FGC-Rings beschaftigen. Im nachstenAbschnitt werden wir dann mit Hilfe dieser Aussage das oben angefuhrteResultat beweisen und im letzten Abschnitt des ersten Kapitels Satze uberdie Eindeutigkeit einer Zerlegung in zyklische Teilmoduln betrachten.Im zweiten Teil dieser Arbeit widmen wir uns dem Satz uber geschachtelteBasen fur endlich erzeugte Moduln uber FGC-Ringen. Wir werden zeigen,dass dieser fur eine große Klasse von FGC-Ringen gilt.Die beiden altesten Resultate in diesem Zusammenhang sind der wohlbe-kannte Satz uber geschachtelte Basen fur abelsche Gruppen (siehe z. B.:[F]) und der Satz uber invariante Faktoren fur endlich erzeugte Modulnuber Dedekind-Bereichen von Steinitz [S]. Als Antwort auf eine Frage vonKaplansky aus dem Jahr 1954 verallgemeinerten Cohen und Gluck 1970[CG] ersteren fur Moduln uber Hauptidealbereichen. Sie zeigten, dass einfreier Modul F und ein Teilmodul H von F genau dann geschachtelte Ba-sen besitzen, wenn F/H eine direkte Summe von zyklischen Moduln ist. Hillund Megibben leiteten 1989 dieses Ergebnis aus einem Satz uber aquivalentePrasentationen ab. Generalov und Zheludev [GZ] zeigten auf die gleiche Wei-se, dass der Satz uber geschachtelte Basen auch fur Dedekind-Bereiche gilt.Im Jahr 1987 bewiesen Brewer und Klingler [BKl] den Satz uber invarianteFaktoren fur Dedekind-Bereiche und Pruferbereiche endlichen Charakters(endlicher Charakter bedeutet, dass jedes Element ungleich Null nur in end-lich vielen maximalen Idealen enthalten ist). Dieser Satz besagt, dass einendlich erzeugter, projektiver Modul M und ein endlich erzeugter, projekti-ver Teilmodul N von M geschachtelte Zerlegungen

M =n⊕

i=1

Mi und N =n⊕

i=1

JiMi

mit eindeutig bestimmten Idealen J1 ⊆ · · · ⊆ Jn ⊆ R besitzen. Unabhangighiervon bewies auch Levy [L2] den Satz uber invariante Faktoren fur Prufer-bereiche endlichen Charakters. Fuchs und Lee [FL] verallgemeinerten diesesResultat zum Satz uber geschachtelte Basen fur abzahlbar und uberabzahl-bar erzeugte Moduln uber h-lokalen Pruferbereichen unter der Vorausset-zung, dass M frei und M/N eine direkte Summe von zyklischen Moduln derprojektiven Dimension ≤ 1 ist.In der vorliegenden Arbeit werden wir in Analogie zum Beweis von Levy furPruferbereiche endlichen Charakters zeigen, dass der Satz uber geschachtelteBasen auch fur maximale Bewertungsringe, fast-maximale Bezoutbereiche,semi-lokale Fackelringe und endliche Produkte dieser Ringe gilt. Hierbei er-setzt die Bedingung semi-lokal im Fall der Fackelringe Levys Voraussetzung,dass der Pruferbereich endlichen Charakter hat.Der erste Abschnitt des zweiten Kapitels beschaftigt sich mit dem Liften vonZerlegungen. Hierbei haben wir uns im wesentlichen an [L1] orientiert. Imnachsten Abschnitt beweisen wir dann den Satz uber geschachtelte Basen

Einleitung 5

fur unzerlegbare FGC-Ringe in Anlehnung an [L2]. Der Verallgemeinerungdieses Satzes auf endliche Produkte solcher Ringe widmen wir uns im letztenAbschnitt.

In folgenden sei R immer ein kommutativer Ring mit 1. Unter einem Inte-gritatsbereich verstehen wir einen kommutativen Ring ohne Nullteiler. Ob-wohl R kommutativ ist, halten wir uns im allgemeinen an die Regel, dass Rimmer von links operiert. Desweiteren wirken Abbildungen von rechts.In der folgenden Tabelle haben wir die wichtigsten Notationen zusammen-gefasst; wir werden aber auch jeweils an ihre Bedeutung erinnern, wenn wirsie erstmalig benutzen.

Notationen

Die wichtigsten in der vorliegenden Arbeit verwendeten Notationen sind inder folgenden Tabelle zusammengefaßt. Dabei bezeichnet R einen kommu-tativen Ring, I ein Ideal von R, M einen R-Modul und a ein Element vonM . Desweiteren seien X und X ′ Mengen.

U(R) Gruppe der Einheiten von Rmspec(R) Menge der maximalen Ideale von Rmspec(I) Menge der maximalen Ideale von R, die I enthaltenJ(R) Jacobson-Radikal von RRS Lokalisierung an einer multiplikativ abgeschlossenen Teilmenge SRP Lokalisierung an einem Primideal P von RJC Urbild des Ideals J von RP unter der kanonischen Abbildung

π : R → RP (P Primideal)t(M) Torsionsteilmodul von Mrad(M) Radikal von MAnnR(M) Annulator von MAnnR(a) Annulator von arg M Rang eines R-Moduls MSn Symmetrische Gruppe der Ordnung nP(X) Potenzmenge von XT Patch-Topologieℵ0 erste unendliche Kardinalzahl|X| Machtigkeit von XX\X ′ Differenzmengen|m n teilt m fur n, m ∈ R

1 FGC-Ringe

1.1 Grundlagen

In diesem Abschnitt werden zunachst grundlegende Begriffe und bekannteoder einfache Sachverhalte dargestellt.Da die Charakterisierung von FGC-Ringen das Ziel dieses Kapitels ist, wol-len wir zuerst deren Definition angeben.

Definition 1.1.1. Sei R ein kommutativer Ring mit 1.Dann ist R ein FGC-Ring, falls jeder endlich erzeugte R-Modul eine direkteSumme von zyklischen Teilmoduln ist.

Die Bezeichnung FGC-Ring stammt aus dem Englischen und ist eine Abkur-zung von ”commutative rings whose Finitely Generated modules decomposeinto Cyclics“.Auch Produkte, Quotienten und Lokalisierungen von FGC-Ringen sind wie-der FGC-Ringe.

Lemma 1.1.2.

(1) Sei R =∏n

i=1 Ri.R ist genau dann ein FGC-Ring, wenn Ri fur jedes i ≤ n ein FGC-Ring ist.

(2) Sei R ein FGC-Ring und I ein Ideal von R.Dann ist R/I ein FGC-Ring.

(3) Sei R ein FGC-Ring und S eine multiplikativ abgeschlossene Teil-menge von R.Dann ist RS ein FGC-Ring.

Beweis:(1): Sei zunachst Ri ein FGC-Ring fur jedes i ≤ n und A ein endlich er-zeugter R-Modul.Definiere ai := eia fur a ∈ A, wobei ei der i-te Einheitsvektor ist. Des-weiteren sei Ai = {ai : a ∈ A}. Dann ist, fur jedes i ≤ n, Ai ein endlicherzeugter Ri-Modul und A ist isomorph zu

∏ni=1 Ai. Da Ri ein FGC-Ring

ist, existieren b(j)i (1 ≤ j ≤ ki) mit

Ai =ki⊕

j=1

Rib(j)i

fur jedes i ≤ n. Setze k := maxi≤n ki, b(j)i = 0 fur j > ki und b(j) =

(b(j)1 , . . . , b

(j)n ). Dann gilt

A =k⊕

j=1

(n∏

i=1

Ri)b(j) =k⊕

j=1

Rb(j).

FGC-Ringe – Grundlagen 8

Also ist R ein FGC-Ring.Sei nun R ein FGC-Ring und A ein endlich erzeugter Ri-Modul fur ein i ≤ n.Definiere (r1, . . . , rn)a := ria fur (r1, . . . , rn) ∈ R. Damit ist A ein endlicherzeugter R-Modul. Also existieren a1, . . . , am ∈ A mit

A =m⊕

j=1

Raj =m⊕

j=1

Riaj .

Also ist Ri ein FGC-Ring fur jedes i ≤ n.

(2): Seien R ein FGC-Ring, I ein Ideal von R und A ein endlich erzeugterR/I-Modul.Definiere ra := (r + I)a fur r ∈ R und a ∈ A. Damit ist A ein R-Modul.Also existieren a1, . . . , an ∈ A mit

A =n⊕

i=1

Rai =n⊕

i=1

(R/I)ai.

Folglich ist R/I ein FGC-Ring.

(3): Seien R ein FGC-Ring, S eine multiplikativ abgeschlossene Teilmengevon R und A ein endlich erzeugter RS-Modul mit A = 〈a1, . . . , an〉RS

. Dannist A′ = 〈a1, . . . , an〉R ein endlich erzeugter R-Modul. Also existieren nachVoraussetzung b1, . . . , bm ∈ A′ mit

A′ =m⊕

i=1

Rbi.

Dann gilt auch

A =m⊕

i=1

Rsbi,

also ist RS ebenfalls ein FGC-Ring.

Wir wiederholen nun einige bekannte Definitionen und auch einige fur dieseBegriffe relevante Aussagen. Wir beginnen mit der Eigenschaft der linearenKompaktheit.

Definition 1.1.3.

(1) Eine Familie F von Mengen hat die endliche Durchschnitt-Eigenschaft,falls der Durchschnitt jeder endlichen Teilfamilie von F nicht leer ist.

(2) Ein R-Modul A heißt linear kompakt, wenn fur jede Familie von Rest-klassen {xα + Aα}α∈X mit xα ∈ A und Teilmoduln Aα von A, die dieendliche Durchschnitt-Eigenschaft erfullt,⋂

α∈X

xα + Aα 6= ∅

gilt.


Lemma 1.1.4.

(1) Jeder Teilmodul eines linear kompakten R-Moduls ist linear kompakt.

(2) Das epimorphe Bild eines linear kompakten R-Moduls ist linear kom-pakt.

(3) Sei B ein Teilmodul des R-Moduls A. Wenn B und A/B linear kom-pakt sind, dann ist auch A linear kompakt.

(4) Eine endliche direkte Summe von linear kompakten R-Moduln ist li-near kompakt.

(5) Sei M ein artinscher R-Modul, d.h. M erfullt die absteigende Ketten-bedingung fur Teilmoduln. Dann ist M linear kompakt.

Beweis: Fur den Beweis siehe [B2, Proposition 1.2].

Als nachstes betrachten wir maximale, beziehungsweise fast-maximale Rin-ge.

Definition 1.1.5.

(1) Ein Ring R heißt maximal, wenn R ein linear kompakter R-Modul ist.

(2) R heißt fast-maximal, falls fur jedes echte Ideal I der R-Modul R/I linearkompakt ist.

(3) Wenn fur jedes maximale Ideal M von R der Ring RM fast-maximal ist,so heißt R lokal fast-maximal.

Mit Hilfe von Lemma 1.1.4 (2) sieht man sofort, dass jeder maximale Ringauch fast-maximal ist. Bei Lokalisierungen bleiben jedoch die Eigenschaftenmaximal und fast-maximal nicht notwendigerweise erhalten. Wir werdenspater noch einen Spezialfall hierzu betrachten (vgl. Satz 1.1.18).

Lemma 1.1.6. Sei R ein lokal fast-maximaler Ring und {0} 6= I ein Idealvon R.Dann ist R/I ein lokal fast-maximaler Ring.

Beweis:Sei M ′ ein maximales Ideal von R/I. Dann existiert ein maximales Ideal Mvon R mit I ⊆ M und M ′ = M/I. Es gilt

(R/I)M ′ = (R/I)M/I∼= RM/IM .

Da R ein lokal fast-maximaler Ring ist, ist RM ein fast-maximaler Ring,d.h. RM/IM ist ein fast-maximaler Ring.


Definition 1.1.7.

(1) Ein Ring R heißt lokal, falls R genau ein maximales Ideal besitzt.

(2) R heißt semi-lokal, wenn R nur endlich viele maximale Ideale besitzt.

Die nachsten beiden Lemmata beschreiben den Zusammenhang von maxi-malen und lokalen bzw. semi-lokalen Ringen.

Lemma 1.1.8. Sei R ein maximaler Ring. Dann ist R semi-lokal.

Beweis: Fur den Beweis siehe [B2, Lemma 1.4].

Lemma 1.1.9. Sei R ein maximaler Integritatsbereich. Dann ist R lokal.

Beweis: Fur den Beweis siehe [FS2, VIII, Korollar 7.8].

Wir wollen uns nun mit dem Zusammenhang zwischen den Idealen von Rund den Idealen der Lokalisierung RP beschaftigen. Dazu benotigen wirzunachst einige Bezeichnungen.Wir bezeichnen die Menge aller Primideale von R mit spec R und die Mengealler maximalen Ideale von R mit mspec R.Fur P ∈ spec R bezeichne πP den kanonischen Ringhomomorphismus

πP : R → RP mit rπP =r

1fur r ∈ R.

Dann gilt fur ein Ideal I von R

IP = (IπP )P .

Fur ein Ideal J von RP definieren wir JC als Jπ−1P . Damit ist JC ein Ideal

von R. Es besteht folgender Zusammenhang zwischen den Idealen von Rund den entsprechenden Lokalisierungen.

Lemma 1.1.10. Fur ein Ideal I von R gilt

I =⋂

M∈mspecR

(IM )C .

Beweis:Offensichtlich ist

I ⊆⋂

M∈mspecR

(IM )C ,

da I ⊆ (IM )C fur alle maximalen Ideale M von R gilt.Sei nun x ∈

⋂M∈mspecR(IM )C und sei J := {r ∈ R : rx ∈ I}. Fur jedes

maximale Ideal M von R gilt x ∈ (IM )C , d.h. es ist

x

1= xπM =

i

s


fur ein s ∈ R\M und ein i ∈ I. Also existiert ein t ∈ R\M mit

(xs− i)t = 0.

Dann giltxst = it ∈ I

und folglich st ∈ J ∩ (R\M). Also ist J * M fur alle maximalen Ideale M .Da J ein Ideal von R ist, muss J = R gelten. Damit ist 1 ∈ J und es folgtx ∈ I. Wir haben hiermit gezeigt, dass

I =⋂

M∈mspecR

(IM )C

fur jedes Ideal I von R gilt.

Hieraus ergibt sich leicht das folgende Korollar (siehe auch [B2, Korollar2.2]):

Korollar 1.1.11. Seien I und J Ideale des Rings R.

(1) Es gilt I ⊆ J genau dann, wenn IM ⊆ JM fur alle maximalen IdealeM von R ist.

(2) Es gilt R/I ∼= R/J genau dann, wenn (R/I)M∼= (R/J)M fur alle

maximalen Ideale M von R ist.

(3) Seien R ein Integritatsbereich mit Quotientenkorper Q und A ein R-Teilmodul von Q. Dann gilt

A =⋂

M∈mspec R

AM .

Als nachstes wollen wir den Begriff der Partition wiederholen.

Definition 1.1.12. Seien X eine Menge und Y eine Indexmenge.Dann heißt {Xα}α∈Y eine Partition von X, wenn

X =⋃

α∈Y

Xα und Xα ∩Xβ = ∅

fur α 6= β gelten.Eine solche Partition heißt nicht-trivial, falls Xα 6= ∅ fur alle α ∈ Y gilt.

Fur Ideale, die nur in endlich vielen maximalen Idealen enthalten sind,konnen wir noch weitere Aussagen treffen. Zur Vereinfachung bezeichnenwir fur ein beliebiges Ideal I von R mit mspec(I) die Menge aller maxima-len Ideale von R, die I enthalten.


Lemma 1.1.13. Sei I ein Ideal von R mit mspec(I) endlich.Dann ist R/I eine endliche direkte Summe von unzerlegbaren R-Moduln.

Beweis:Seien R und I wie im Lemma. Entweder ist R/I selber unzerlegbar, oderR/I ∼= A ⊕ B ist zerlegbar. Dabei gilt A ∼= R/I1 und B ∼= R/I2 fur IdealeI1, I2 von R mit I ⊆ I1, I2, da A und B als epimorphe Bilder von R/Iebenfalls zyklisch sind. Falls A oder B nicht unzerlegbar ist, verfahre mitdem entsprechenden Summanden genauso wie zuvor mit R/I. Um zu zeigen,dass dieser Prozeß nach endlich vielen Schritten abbricht, zeigen wir furR ∼=

⊕ni=1 R/Ii mit I ⊆ Ii, dass {mspec(Ii) : i = 1, . . . , n} eine Partition

von mspec(I) ist. Offensichtlich ist mspec(Ii) ⊆ mspec(I) fur alle i ≤ n unddamit

n⋃i=1

mspec(Ii) ⊆ mspec(I).

Fur die andere Inklusion wahlen wir ein maximales Ideal M von R, dasI enthalt, also M ∈ mspec(I). Es gilt (R/Ii)M 6= {0} genau dann, wennIi ⊆ M ist. Also existiert fur jedes M ∈ mspec(I) mindestens ein i ≤ n mitIi ⊆ M , d.h. M ∈ mspec(Ii). Damit haben wir also insgesamt

n⋃i=1

mspec(Ii) = mspec(I).

Um zu zeigen, dass mspec(Ii) und mspec(Ij) disjunkt sind fur i 6= j, nehmenwir an, dass i 6= j existieren mit

mspec(Ii) ∩mspec(Ij) 6= ∅.

Wahle nun ein maximales Ideal M aus diesem Schnitt. Dann ist (R/I)M 6={0}, (R/Ii)M 6= {0} und (R/Ij)M 6= {0}. Desweiteren gilt

(R/I)M∼= (R/Ii)M ⊕ (R/Ij)M ⊕

⊕k 6=i,j

(R/Ik)M .

Dies ist ein Widerspruch, da die linke Seite genau ein maximales Ideal hat,wahrend die rechte Seite mindestens zwei maximale Ideale besitzt. Also ist,wie am Anfang behauptet, {mspec(Ii) : i = 1, . . . , n} eine Partition der end-lichen Menge mspec(I).Der eben beschriebene Prozeß von Zerlegungen in direkte Summanden mussnach einer endlichen Anzahl von Schritten enden. Folglich ist R/I eine end-liche direkte Summe von unzerlegbaren Moduln.

Lemma 1.1.14. Sei I ein Ideal von R mit mspec(I) endlich.R/I ist genau dann unzerlegbar, wenn fur alle nicht-trivialen Partitionen{M1,M2} von mspec(I) Ideale N1 ∈ M1, N2 ∈ M2 und P ∈ spec R exi-stieren, so dass I ⊆ P ⊆ N1 ∩N2 gilt.


Beweis: Fur den Beweis siehe [B2, Proposition 2.5].

Wir beenden diesen Abschnitt mit der Betrachtung von h-lokalen Bereichen.

Definition 1.1.15. Sei R ein Integritatsbereich.Dann heißt R h-lokal, falls jedes Element ungleich Null von R nur in endlichvielen maximalen Idealen von R enthalten ist und jedes Primideal ungleich Nullnur in einem maximalen Ideal von R enthalten ist.

Fur einen R-Modul T und ein maximales Ideal M von R setzen wir

T (M) = {x ∈ T : mspec(AnnR(x)) ⊆ {M}},

wobei AnnR(x) den Annulator von x in R bezeichnet. Wir zitieren hierfolgendes wohlbekannte Lemma, da wir es im Laufe der Arbeit noch desofteren benutzen werden.

Lemma 1.1.16. Sei R ein Integritatsbereich. Dann sind die folgenden Aus-sagen aquivalent:

(1) R ist h-lokal.

(2) T =⊕

M∈mspec R T (M) fur alle Torsionsmoduln T .

(3) T ∼=⊕

M∈mspec R TM fur alle Torsionsmoduln T .

(4) T ∼=⊕

M∈mspec R TM fur alle zyklischen Torsionsmoduln T .

Beweis: Fur den Beweis siehe z. B. [B2, Satz 2.6].

Hieraus folgt leicht:

Korollar 1.1.17. Seien R ein h-lokaler Bereich, T ein Torsionsmodul undM 6= M ′ maximale Ideale von R. Dann gelten folgende Aussagen:

(1) T (M) ∼= TM und T (M) ist ein RM -Modul,

(2) (TM )M ′ = {0},

(3) falls T ein RM -Torsionsmodul ist, so ist die Menge aller RM -Teilmodulnvon T gleich der Menge aller R-Teilmoduln von T .

Der nachste Satz beschreibt den Zusammenhang von fast-maximalen undh-lokalen Integritatsbereichen.

Satz 1.1.18. Sei R ein Integritatsbereich.R ist genau dann ein fast-maximaler Ring, wenn R h-lokal und lokal fast-maximal ist.


Beweis:Sei zunachst R ein fast-maximaler Ring und r ∈ R\{0}. Wir haben zuzeigen, dass r nur in endlich vielen maximalen Idealen von R enthalten ist.Also konnen wir annehmen, dass r keine Einheit ist. Dann ist R/Rr einmaximaler Ring. Fur jedes maximale Ideal M von R, das r enthalt, istM/Rr ein maximales Ideal von R/Rr. Nach Lemma 1.1.8 hat R/Rr nurendlich viele maximale Ideale, also ist r nur in endlich vielen maximalenIdealen von R enthalten.Sei nun 0 6= P ein Primideal von R. Dann ist R/P ein maximaler Bereichund nach Lemma 1.1.9 lokal. Also ist P in genau einem maximalen Idealvon R enthalten. Damit ist gezeigt, dass R h-lokal ist.Es bleibt noch zu zeigen, dass R lokal fast-maximal ist. Sei also M einmaximales Ideal von R und 0 6= J ein Ideal von RM . Wir betrachten nunR und RM als Teilmengen des Quotientenkorpers Q von R und setzen I =J ∩R. Nach Lemma 1.1.16 gilt

R/I ∼= (R/I)M ⊕⊕

M ′∈mspec R\{M}

(R/I)M ′ ,

da R/I ein Torsionsmodul ist. Desweiteren ist

(R/I)M∼= RM/IM

∼= RM/(RMI) ∼= RM/(RM (J ∩R)) ∼= RM/J.

Da R ein fast-maximaler Ring ist, ist R/I ein linear kompakter R-Modul.Lemma 1.1.4 (1) besagt, dass dann auch RM/J als Teilmodul von R/I einlinear kompakter R-Modul ist. Damit ist RM/J auch ein linear kompakterRM -Modul, also R nach Definition ein lokal fast-maximaler Ring.Nehmen wir nun an, dass R h-lokal und lokal fast-maximal ist und sei 0 6= Iein Ideal von R. Wir zeigen, dass R/I ein linear kompakter R-Modul ist.Nach Lemma 1.1.16 und Korollar 1.1.17 (1) gilt

R/I =⊕

M∈mspec R

(R/I)(M)

und(R/I)(M) ∼= (R/I)M

∼= RM/IM .

Nach Voraussetzung ist RM/IM ein linear kompakter RM -Modul und nachKorollar 1.1.17 (3) auch ein linear kompakter R-Modul. Da R h-lokal ist,ist I nur in endlich vielen maximalen Idealen von R enthalten. Also ist R/Ieine endliche direkte Summe von linear kompakten R-Moduln und Lem-ma 1.1.4 (4) besagt, dass R/I linear kompakt ist. Damit haben wir gezeigt,dass R ein fast-maximaler Ring ist.

FGC-Ringe – Bewertungsringe 15

1.2 Bewertungsringe

In diesem Abschnitt wollen wir uns eingehend mit Bewertungsringen undihren Eigenschaften befassen. Es gibt verschiedene, aber aquivalente Defini-tionen von Bewertungsringen. Wir haben uns fur die folgende entschieden.

Definition 1.2.1. Sei R ein kommutativer Ring mit 1.R heißt Bewertungsring, falls von zwei beliebigen Elementen von R das eine dasandere teilt.

Bemerkung 1.2.2. Manchmal wird auch eine der folgenden aquivalentenAussagen als Definition eines Bewertungsrings benutzt:

(1) R ist ein Bewertungsring.

(2) Die Menge aller Ideale von R ist bezuglich der Inklusion vollstandiggeordnet.

(3) Seien x1, . . . , xn ∈ R. Dann existiert ein j ∈ {1, . . . , n} mit

n∑i=1

Rxi = Rxj .

Falls R ein Integritatsbereich mit Quotientenkorper Q ist, dann sind dieoberen drei Aussagen auch noch zu den folgenden vier Aussagen aquivalent:

(4) Fur x, y ∈ Q gilt x = rxy oder y = ryx mit rx, ry ∈ R.

(5) Die Menge aller R-Teilmoduln von Q ist bezuglich der Inklusion vollstandiggeordnet.

(6) Seien x1, . . . , xn ∈ Q. Dann existiert ein j ∈ {1, . . . , n} mit

n∑i=1

Rxi = Rxj .

(7) Sei x ∈ Q\{0}. Dann ist x ∈ R oder 1x ∈ R.

Desweiteren gilt fur ein Ideal I eines Bewertungsrings R, dass R/I wie-der ein Bewertungsring ist. Ebenso ist fur eine multiplikativ abgeschlosseneTeilmenge S eines Bewertungsrings R auch die Lokalisierung RS ein Be-wertungsring.

Wir wollen in diesem Abschnitt unter anderem zeigen, dass fast-maximaleBewertungsringe FGC-Ringe sind. Ein wesentliches Hilfsmittel zur Charak-terisierung von FGC-Ringen ist die Betrachtung der Primideale. Hierzu seian den Begriff des Nilradikals erinnert. Ein Element x ∈ R heißt nilpotent,falls ein n ∈ N existiert mit xn = 0. Die Menge aller nilpotenten Elemente


von R bezeichnen wir als Nilradikal, nil(R). Es gilt (vgl. hierzu auch [E,Korollar 2.12]):

nil(R) =⋂

P∈spec R

P.

Wenn R ein Bereich ist, besitzt R keine nilpotenten Elemente ungleich Null,also ist auch der Schnitt aller Primideale von R gleich Null.Ein Element e von R mit e = e2 heißt Idempotent und es gilt:

Lemma 1.2.3. Idempotente modulo dem Nilradikal nil(R) liften, das heißtfur jedes Idempotent g von R/I existiert ein Idempotent e von R mit g =e + I.

Beweis: Fur den Beweis siehe [AF, VII. Proposition 27.1].

Im folgenden sind wir besonders an maximalen Bewertungsringen interes-siert. Falls R kein Bewertungsbereich ist, sind die Eigenschaften maximalund fast-maximal aquivalent. Dies wurde erstmals 1971 von Gill [G] undunabhangig 1973 von Brandal [B1] bewiesen.

Proposition 1.2.4. Ein Bewertungsring R, der kein Integritatsbereich ist,ist genau dann ein fast-maximaler Ring, wenn R ein maximaler Ring ist.

Beweis:Sei R ein Bewertungsring, der kein Integritatsbereich ist. Falls R maximalist, so ist R naturlich auch fast-maximal.Fur die andere Richtung sei R ein fast-maximaler Bewertungsring und Izunachst ein beliebiges Ideal von R. Wir wollen zuerst zeigen, dass R/I2 einlinear kompakter R-Modul ist, vorausgesetzt R/I ist ein linear kompakterR-Modul. Sei dazu {r′α + I ′α}α∈X eine Familie von Aquivalenzklassen vonTeilmoduln I ′α von R/I2 mit der endlichen Durchschnitt-Eigenschaft, wobeir′α = rα+I2 und I ′α = Iα/I2 mit I2 ⊆ Iα ⊆ R gilt. Es ist leicht zu sehen, dassdann auch die Familie {rα + Iα}α∈X die endliche Durchschnitt-Eigenschafthat. Wir wollen zeigen, dass der Schnitt dieser Familie nicht leer ist; darausfolgt dann unmittelbar, dass die ursprungliche Familie {r′α + I ′α}α∈X einennichtleeren Schnitt hat, beziehungsweise, dass R/I2 linear kompakt ist.Falls I ⊆ Iα fur alle α ∈ X gilt, so ist der Schnitt nicht leer, da R/I einlinear kompakter R-Modul ist.Nehmen wir also an, dies ist nicht der Fall. Da R ein Bewertungsring ist, sinddie Iα durch Inklusion vollstandig geordnet und folglich existiert ein β ∈ Xmit Iβ ( I. Wir definieren dann mit y ∈ I\Iβ einen Homomorphismusf : R/I → R/I2 durch (r + I)f = ry + I2. Dieser Homomorphismus istwohldefiniert, da fur alle r ∈ I gilt, dass ry ∈ I2 ist. Nun zeigen wir, dassI2 ⊆ Ry gilt. Sei dazu x ∈ I2 beliebig und angenommen x teilt y. Dann ist

y = rx ∈ I2 ⊆ Iβ


fur ein r ∈ R – ein Widerspruch. Da R ein Bewertungsring ist, teilt also dasy das x und damit gilt I2 ⊆ Ry. Folglich erhalten wir

(R/I)f = Ry/I2

und somit ist Ry/I2, nach Lemma 1.1.4 (2), ein linear kompakter R-Modul.Als nachstes betrachten wir Y = {α ∈ X : Iα ⊆ Iβ}, beziehungsweise dieFamilie

{(r′α − r′β) + I ′α}α∈Y .

Wir werden zeigen, dass dies eine Familie von Aquivalenzklassen von Teil-moduln von Ry/I2 ist.Wir haben bereits gezeigt, dass I2 ⊆ Ry gilt. Mit dem gleichen Argument er-halten wir, dass Iα ⊆ Ry fur alle α ∈ Y ist. Es bleibt also noch zu zeigen, dassrα − rβ ∈ Ry gilt. Da {rα + Iα}α∈X die endliche Durchschnitt-Eigenschaftbesitzt, gilt

(rα + Iα) ∩ (rβ + Iβ) 6= ∅,

das heißt, es existieren iα ∈ Iα, iβ ∈ Iβ mit

rα + iα = rβ + iβ.

Hieraus folgt nun, wegen Iα ⊆ Iβ, dass

rα − rβ = iβ − iα ∈ Iβ ⊆ Ry

ist. Insgesamt haben wir also bisher gezeigt, dass

{(r′α − r′β) + I ′α}α∈Y

eine Familie in Ry/I2 ist. Diese Familie besitzt die endliche Durchschnitt-Eigenschaft, da die ursprungliche Familie diese Eigenschaft hat.Da Ry/I2 ein linear kompakter R-Modul ist, existiert ein x′ = x + I2 ∈Ry/I2 mit

x′ ∈⋂

α∈Y

(r′α − r′β) + I ′α.

Folglich istx′ + r′β ∈

⋂α∈Y

r′α + I ′α

beziehungsweise, wegen I2 ⊆ Iα,

x + rβ ∈⋂

α∈Y

rα + Iα.

Es ist aber immer noch offen, ob auch⋂

α∈X rα + Iα 6= ∅ gilt. Um dieses zuerhalten, wollen wir nun zeigen, dass⋂

α∈X

rα + Iα =⋂

α∈Y

rα + Iα


gilt. Offensichtlich haben wir⋂α∈X

rα + Iα ⊆⋂

α∈Y

rα + Iα.

Seien nun α ∈ Y und γ ∈ X\Y beliebig. Dann gilt Iα ⊆ Iγ und somit

rα + Iα ⊆ rα + Iγ .

Wie oben fur rα − rβ ∈ Iβ sieht man, dass auch

rγ − rα ∈ Iγ

fur alle γ ∈ X\Y gilt. Also ist

rα + Iα ⊆ rα + Iγ = rα + rγ − rα + Iγ = rγ + Iγ

fur alle α ∈ Y und alle γ ∈ X\Y , d.h.⋂α∈Y

rα + Iα ⊆⋂

α∈X

rα + Iα.

Damit sind die beiden Durchschnitte gleich und es gilt

x + rβ ∈⋂

α∈Y

rα + Iα =⋂

α∈X

rα + Iα 6= ∅.

Wir haben also gezeigt, dass R/I2 ein linear kompakter R-Modul ist.Abschließend setzen wir P =

⋂spec R = nil(R). Da R ein Bewertungsring

ist, ist P das eindeutig bestimmte minimale Primideal von R. Da R keinBereich ist, gilt P 6= {0}. P ist das Nilradikal von R, enthalt also genaualle nilpotenten Elemente von R. Insbesondere existiert ein x ∈ P\{0} mitx2 = 0. Da R ein fast-maximaler Ring ist, ist R/Rx ein linear kompakterR-Modul. Wir haben gezeigt, dass dann auch R ∼= R/(Rx)2 ein linear kom-pakter R-Modul ist. Also ist R ein maximaler Ring.

Im folgenden benotigen wir die Definition eines reinen Teilmoduls.

Definition 1.2.5. Seien R ein Bewertungsring, A ein R-Modul und B einTeilmodul von A.B heißt reiner Teilmodul von A, falls rB = rA ∩B fur alle r ∈ R gilt.

Fur allgemeine Ringe, wird die obige Eigenschaft als ”relative Teilbarkeit“bezeichnet und Reinheit allgemeiner definiert. Fur Bewertungsringe stimmenjedoch relative Teilbarkeit und Reinheit uberein. Wir haben uns fur obigeDefinition entschieden, da wir nur diese Charakterisierung nutzen werden.Desweiteren sei angemerkt, dass fur C ⊆ B ⊆ A gilt, wenn C rein ist in A,dann ist C auch rein in B.Nachdem wir oben bereits die Definition des Nilradikals wiederholt haben,sei hier auch noch an das Jacobson-Radikal und Nakayamas Lemma erinnert.


Definition 1.2.6. Sei R ein kommutativer Ring. Dann heißt

J(R) :=⋂{M : M maximales Ideal von R}

das Jacobson-Radikal von R.

Uber einem Bewertungsring entspricht das Jacobson-Radikal immer demeindeutig bestimmten maximalen Ideal.

Lemma 1.2.7. (Nakayamas Lemma)Sei I ein Ideal von R. Dann sind die folgenden beiden Aussagen aquivalent:

(1) I ≤ J(R);

(2) falls M ein endlich erzeugter R-Modul und L ein Teilmodul von Mmit M = L + IM ist, so gilt M = L.

Beweis: Fur den Beweis siehe [BK, Lemma 4.3.10].

Hiermit konnen wir nun folgendes Resultat beweisen, das Kaplansky 1952[K] bereits fur Bewertungsbereiche nachwies.

Satz 1.2.8. Sei R ein fast-maximaler Bewertungsring.Dann ist R ein FGC-Ring.

Beweis:Um zu beweisen, dass R ein FGC-Ring ist, haben wir zu zeigen, dass je-der endlich erzeugte R-Modul eine endliche direkte Summe von zyklischenTeilmoduln ist.Sei hierzu A ein endlich erzeugter R-Modul. Wir fuhren den Beweis mittelsInduktion uber die minimale Anzahl n von Erzeugern von A.Fur n = 1 ist nichts zu zeigen, da A dann selber zyklisch ist.Sei nun A von n Elementen erzeugt und nehmen wir an, dass jeder R-Modul,der von weniger als n Elementen erzeugt wird, eine direkte Summe von zykli-schen Teilmoduln ist. Desweiteren sei M das eindeutig bestimmte maximaleIdeal von R und J = AnnR(A).Der R-Modul A/MA kann auch als R/M -Vektorraum der Dimension m ≤ naufgefaßt werden. Sei {b1, . . . , bm} eine Basis von A/MA und wahle xi ∈ Aso, dass xi + MA = bi fur i = 1, . . . ,m gilt. Dann ist

A =m∑

i=1

Rxi + MA,

beziehungsweise nach Nakayamas Lemma (1.2.7),

A =m∑

i=1

Rxi


und damit m = n.Angenommen, fur alle i = 1, . . . , n kann xi so gewahlt werden, dass J (AnnR(xi) gilt. Da die Ideale von R vollstandig geordnet sind, gilt dann auch

J (n⋂

i=1

AnnR(xi) ⊆ J

– ein Widerspruch. Also existiert ein i ≤ n, ohne Einschrankung sei diesi = 1, mit AnnR(x) = J fur alle x ∈ A mit x + MA = b1. Also ist insbeson-dere AnnR(x1) = J .Wir wollen nun zeigen, dass Rx1 ein reiner Teilmodul von A ist, d.h. dassrRx1 = rA ∩ Rx1 fur alle r ∈ R gilt. Sei dazu r ∈ R fest gewahlt. Offen-sichtlich ist

rRx1 ⊆ rA ∩Rx1.

Sei nun a ∈ A und angenommen es gilt ra = sx1 mit s ∈ R. Da R einBewertungsring ist, gilt entweder r teilt s oder s teilt r. Falls ersteres gilt,ist s = rt mit einem t ∈ R. Dann erhalten wir

ra = sx1 = rtx1 ∈ rRx1.

Gilt jedoch s teilt r, so ist r = sp mit einem p ∈ M , da R\M nur ausEinheiten besteht und sonst der erste Fall gelten wurde. Setze x′ = x1− pa.Dann ist auch x′ + MA = b1, AnnR(x′) = J und

rx′ = r(x1 − pa) = rx1 − rpa = rx1 − psx1 = rx1 − rx1 = 0.

Also istr ∈ AnnR(x′) = AnnR(x1) = J = AnnR(A).

Dann gilt auch ra = 0 und somit ra ∈ rRx1. Damit haben wir gezeigt, dassRx1 ein reiner Teilmodul von A ist.Als nachstes wenden wir die Induktionsannahme auf den Modul A/Rx1 =〈x2 + Rx1, . . . , xn + Rx1〉 an: Es existieren zj ∈ A/Rx1 mit

A/Rx1 =k⊕

j=1

Rzj .

Wir wollen nun yj ∈ A finden mit

yj + Rx1 = zj und AnnR(yj) = AnnR(zj)

fur j ∈ {1, . . . , k}. Sei dazu j ≤ k fest gewahlt und wir setzen I = AnnR(zj).Desweiteren wahlen wir ein y ∈ A mit y + Rx1 = zj . Fur jedes α ∈ I giltαy ∈ Rx1. Da Rx1 ein reiner Teilmodul von A ist, gibt es ein

xα ∈ Rx1 mit αy = αxα.


Fur α ∈ I sei Iα = {r ∈ R : rα ∈ J}, wobei daran erinnert sei, dass J denAnnulator von x1 bezeichnet. Es gilt Iαx1 = {x ∈ Rx1 : αx = 0}, denn

r ∈ Iα ⇔ rα ∈ J ⇔ rαx1 = 0 ⇔ rx1 ∈ {x ∈ Rx1 : αx = 0}.

Wir betrachten nun die Familie {xα+Iαx1}α∈I und wollen zeigen, dass dieseFamilie die endliche Durchschnitt-Eigenschaft besitzt. Seien hierzu α, β ∈ I.Wir nehmen ohne Einschrankung an, dass β von αgeteilt wird, also β = αtmit t ∈ R ist. Damit erhalten wir

β(xα − xβ) = βxα − βxβ = tαxα − βxβ = tαy − βy = βy − βy = 0.

Also giltxα − xβ ∈ {x ∈ Rx1 : βx = 0} = Iβx1

undIαx1 ⊆ Iβx1,

da β = αt. Damit ist

xα + Iαx1 = (xα + Iαx1) ∩ (xβ + Iβx1).

Da α und β beliebig aus I gewahlt waren, hat die Familie {xα + Iαx1}α∈I

die endliche Durchschnitt-Eigenschaft. Hiervon werden wir spater Gebrauchmachen.Wir mochten nach wie vor zeigen, dass ein yj ∈ A mit yj + Rx1 = y +Rx1 = zj und AnnR(yj) = AnnR(zj) = I existiert. Sei zuerst angenommen,dass R ein Bereich ist und J = {0} gilt. Wir unterscheiden nun zwei Falle,je nachdem ob I = {0} oder I 6= {0} ist. In jedem Fall gilt AnnR(y) ⊆AnnR(zj) = I.Falls I = {0} gilt, so ist auch AnnR(y) = {0} und y ist unser gesuchtes yj .Sei nun angenommen, es gilt I 6= {0}. Wir zeigen zuerst, dass wir dann auchannehmen konnen, dass AnnR(y) 6= {0} gilt. Sei hierzu 0 6= t ∈ I. Dann istty = rx1 fur ein r ∈ R und da Rx1 rein ist in A, existiert ein r′ ∈ R mit

rx1 = ty = t(r′x1).

Folglich ist

t(y − r′x1) = 0 und zj = y + Rx1 = (y − r′x1) + Rx1.

Wir konnen also y durch y−r′x1 ersetzen und es gilt AnnR(y−r′x1) 6= {0}.Nun nehmen wir also ohne Einschrankung an, dass AnnR(y) 6= {0} gilt.Wir behaupten, dass dann Rx1 ∩ Ry = {0} ist. Sei hierzu rx1 = sy und0 6= t ∈ AnnR(y). Dann ist trx1 = tsy = 0 und, da AnnR(x1) = {0} gilt,tr = 0. Da wir vorausgesetzt haben, dass R ein Bereich ist und t 6= 0 gewahltwurde, gilt r = 0 und damit rx1 = 0. Also ist Rx1 ∩ Ry = {0} und folglich


Ry ∼= Rzj . Wir konnen demnach yj = y wahlen.Falls nun R kein Bereich ist oder J 6= {0} gilt, so ist Rx1

∼= R/J nachProposition 1.2.4, beziehungsweise nach Voraussetzung, ein linear kompak-ter R-Modul. Wie oben gezeigt, hat die Familie {xα + Iαx1}α∈I die endlicheDurchschnitt-Eigenschaft. Also existiert ein

x0 ∈⋂α∈I

xα + Iαx1 (⊆ Rx1).

Wir zeigen, dass yj = y − x0 die gewunschten Eigenschaften erfullt.Es gilt

yj + Rx1 = y − x0 + Rx1 = y + Rx1 = zj ,

da x0 ∈ Rx1. Offensichtlich ist AnnR(yj) ⊆ AnnR(zj) = I. Sei nun α ∈ I.Da x0 ∈ xα + Iαx1 gilt, existiert ein rα ∈ Iα mit x0 = xα + rαx1. Dann ist

αyj = α(y − x0) = α(y − xα − rαx1) = αy − αxα − αrαx1 = −αrαx1,

da xα so gewahlt wurde, dass αy = αxα gilt. Desweiteren folgt aus rα ∈ Iα,dass

rαα ∈ J = AnnR(x1),

d.h. −αrαx1 = 0 gilt. Also ist α ∈ AnnR(yj) und damit haben wir gezeigt,dass in jedem Fall ein yj existiert mit

AnnR(yj) = AnnR(zj).

Wir wollen nun abschließend zeigen, dass A = Rx1 ⊕ (⊕k

j=1 Ryj) gilt. Of-fensichtlich ist

A = Rx1 +k∑

j=1

Ryj .

Es bleibt zu zeigen, dass die Summe direkt ist. Sei hierzuw ∈ Rx1 ∩

∑kj=1 Ryj . Dann existieren r, r1, . . . , rk ∈ R mit

w = rx1 =k∑

j=1

rjyj .

Wir haben

A/Rx1 =k⊕

j=1

Rzj

und somit gilt∑k

j=1 rjyj ∈ Rx1 genau dann, wenn rjyj ∈ Rx1 fur alle j ≤ kist. Dies ist genau dann der Fall, wenn rj ∈ AnnR(zj) = AnnR(yj) fur jedesj gilt. Also ist w = 0.


Die Summe∑k

j=1 Ryj ist direkt, da⊕k

j=1 Rzj eine direkte Summe bildetund yj + Rx1 = zj fur jedes j ≤ k gilt. Wir haben damit gezeigt, dass

A = Rx1 ⊕ (k⊕

j=1

Ryj)

eine endliche direkte Summe von zyklischen R-Moduln ist und folglich ist Rein FGC-Ring.

Umgekehrt gilt im lokalen Fall auch:

Satz 1.2.9. Sei R ein lokaler FGC-Ring. Dann ist R ein Bewertungsring.

Beweis:Sei R ein lokaler FGC-Ring mit maximalem Ideal M . Wir nehmen an, dassR kein Bewertungsring ist und fuhren dies zum Widerspruch.Falls R kein Bewertungsring ist, existieren x0, y0 ∈ R und es gilt weder x0

teilt y0, noch y0 teilt x0; insbesondere sind x0 und y0 keine Einheiten, dasheißt x0, y0 ∈ M .Wir betrachten das Ideal I = Rx0 + Ry0. Da I endlich erzeugt und Rein FGC-Ring ist, ist I eine direkte Summe von zyklischen Teilmoduln.Betrachten wir nun

(Rx0 + Ry0)/M(Rx0 + Ry0)

als Vektorraum uber dem Korper R/M , so sieht man, dass Rx0 + Ry0 nurdie direkte Summe von zwei oder weniger nicht trivialen Teilmoduln seinkann, denn der Vektorraum hat Dimension ≤ 2.Angenommen, I ist zyklisch. Dann existiert ein z ∈ R mit

Rx0 + Ry0 = I = Rz.

Also gibt es r1, r2, k ∈ R mit

z = r1x0 + r2y0 und x0 + y0 = kz.

Einsetzen ergibtx0 − kr1x0 = kr2y0 − y0

und damit(1− kr1)x0 = (kr2 − 1)y0.

(1−kr1) und (kr2−1) sind keine Einheiten, da sonst x0 teilt y0 oder y0 teilt x0

gelten wurde. Folglich gilt (1−kr1), (kr2−1) ∈ M . Also sind kr1, kr2 ∈ R\Mund damit auch r1, r2, k ∈ R\M . Desweiteren existieren rx, ry ∈ M mit

x0 = rxz und y0 = ryz.


Hiermit istx0 = kz − y0 = (k − ry)z,

wobei k− ry ∈ R\M gilt, da sonst k ∈ M gelten wurde. Also ist k− ry eineEinheit und damit

z = (k − ry)−1x0.

Dies bedeutet jedoch das y0 von x0 geteilt wird – ein Widerspruch.Also ist I die direkte Summe von zwei zyklischen Teilmoduln, das heißt esexistieren x, y ∈ R\{0} mit

I = Rx0 + Ry0 = Rx⊕Ry.

Es gilt sogar x, y ∈ M , da sonst x beziehungsweise y eine Einheit und somitdie Summe nicht direkt ware.Wir definieren A = R2/R(x, y). Sei b1 = (1, 0) + R(x, y) und b2 = (0, 1) +R(x, y). Dann gilt

A = Rb1 + Rb2.

Analog zu oben sieht man, dass a1, a2 ∈ A\{0} existieren mit

A = Ra1 ⊕Ra2.

Folglich existieren rij , sij ∈ R, so dass(r11 r12

r21 r22

) (a1

a2

)=

(b1

b2

)und

(s11 s12

s21 s22

) (b1

b2

)=

(a1

a2

)gelten. Da {b1 + MA, b2 + MA} und {a1 + MA, a2 + MA} Basen des Vek-torraums A/MA sind, sind (rij + M)i,j=1,2 und (sij + M)i,j=1,2 zueinanderinverse Matrizen uber dem Korper R/M . Also sind beide Determinantenungleich Null.Außerdem gilt xb1 = −yb2 (nach Definition von A), also

x(r11a1 + r12a2) = −y(r21a1 + r22a2).

Dies ist aquivalent dazu, dass

(r11x + r21y)︸︷︷︸=:α1

a1 = − (r12x + r22y)︸︷︷︸=:α2

a2

gilt. Wegen A = Ra1 ⊕ Ra2, ist α1a1 = −α2a2 ∈ Ra1 ∩ Ra2 = {0}, alsoαi ∈ AnnR(ai) fur i = 1, 2.Wir zeigen nun weiter, dass α1, α2 6= 0 ist. Angenommen, es gilt

α1 = r11x + r21y = 0.


Wir haben det((rij + M)i,j=1,2) 6= 0 und dies bedeutet, dass r11r22 − r12r21

eine Einheit von R ist, da R\M nur aus Einheiten von R besteht. Da M einIdeal ist, ist auch r11r22 oder r12r21 eine Einheit. Daraus folgt wiederum,dass r11 oder r21 eine Einheit von R ist und das bedeutet, y teilt x oder xteilt y. Dies ist ein Widerspruch, da Rx⊕Ry eine direkte Summe ist. Alsoist α1 6= 0. Genauso kann man zeigen, dass α2 6= 0 gilt.Da α1a1 = 0 ist, ist auch

α1(s11b1 + s12b2) = 0

(wegena1 = s11b1 + s12b2), d.h. es gilt

(α1s11, α1s12) ∈ R(x, y).

Es existiert also ein s ∈ R mit α1s11 = sx und α1s12 = sy. Wie oben siehtman, dass aus det(sij + M)i,j=1,2 6= 0 folgt, dass s11 oder s12 eine Einheitvon R ist. Wir nehmen ohne Einschrankung an, dass s11 eine Einheit von Rist. Damit gilt

sy = α1s12 = (s−111 sx)s12 ∈ Rx ∩Ry = {0}.

Da α1 6= 0 und y 6= 0 gelten, sind s und s12 keine Einheiten und somitElemente von M . Andererseits haben wir(

s11 + M s12 + Ms21 + M s22 + M

) (r11 + M r12 + Mr21 + M r22 + M

)=

(1 + M 0 + M0 + M 1 + M

).

Daher ist s11r11 + s12r21 eine Einheit von R und wieder folgt, dass dann r11

eine Einheit von R ist, da s12 und r21 Elemente von M sind. Wir erhalten

(r11x + r21y)s11 = α1s11 = sx

und somit auch

(r11s11 − s)x = (−r21s11)y ∈ Rx ∩Ry = {0}.

Da r11 und s11 Einheiten von R sind und s ∈ M gilt, ist aber r11s11− s eineEinheit von R. Also muss x = 0 gelten, ein Widerspruch. Damit haben wirgezeigt, dass R ein Bewertungsring ist.

Wir konnen sogar noch eine starkere Version des letzten Satzes beweisen.

Satz 1.2.10. Sei R ein lokaler FGC-Ring.Dann ist R ein fast-maximaler Bewertungsring.

Beweis:Sei R ein lokaler FGC-Ring. In Satz 1.2.9 haben wir bereits gezeigt, dassR dann ein Bewertungsring ist. Sei nun M das maximale Ideal von R und


{0} 6= I ein Ideal von R. Wir haben zu zeigen, dass R/I ein linear kompakterR-Modul ist.Sei {x′α + I ′α}α∈X eine Familie von Aquivalenzklassen von Teilmoduln vonR/I mit der endlichen Durchschnitt-Eigenschaft. Wahle xα ∈ R mit xα+I =x′α und ein Ideal Iα von R mit Iα/I = I ′α. Dann ist

{xα + Iα}α∈X

eine Familie von Aquivalenzklassen von Teilmoduln von R mit der endlichenDurchschnitt-Eigenschaft. Es ist

{0} 6= I ⊆⋂

α∈X

Iα

und es genugt zu zeigen, dass ⋂α∈X

xα + Iα 6= ∅

gilt.Setze J =

⋂α∈X Iα. Falls ein β ∈ X existiert mit J = Iβ , so existiert fur

jedes α ∈ X ein x ∈ R mit

(xα + Iα) ∩ (xβ + Iβ) = x + (Iα ∩ Iβ) = x + Iβ .

Also gibt es ein iα ∈ Iα und ein iβ ∈ Iβ mit

x = xα + iα = xβ + iβ.

Dies ist aquivalent zu

xβ = xα + iα − iβ ∈ xα + Iα.

Damit gilt ⋂α∈X

xα + Iα =⋂

α∈X

xβ + Iα = xβ + Iβ 6= ∅.

In diesem Fall haben wir also die Aussage bewiesen.Wir nehmen nun an, dass J ( Iα fur alle α ∈ X gilt. Sei nun α ∈ X festgewahlt. Desweiteren wahlen wir ein yα ∈ Iα\J und β ∈ X so, dass Iβ ⊆ Ryα

gilt. Ein solches β existiert, da R ein Bewertungsring ist und sonst yα ∈ Jgelten wurde.Mit dieser Wahl von yα und β erhalten wir

xβ + Iβ ⊆ xβ + Ryα ⊆ xβ + Iα = xα + Iα,

wobei das Gleichheitszeichen, wie oben, aus xβ = xα + (iα − iβ) ∈ xα + Iα

folgt. Nun ersetzen wir xα + Iα durch xβ +Ryα, d.h. wir konnen annehmen,


dass Iα ein zyklisches Ideal von R ist.Da α ∈ X beliebig war, betrachten wir jetzt also eine Familie {xα+Ryα}α∈X

mit der endlichen Durchschnitt-Eigenschaft. Es ist⋂α∈X

Ryα = J 6= {0} und J ( Ryα.

Wir wollen zeigen, dass ⋂α∈X

xα + Ryα 6= ∅

gilt. Falls es ein α ∈ X gibt, wobei yα eine Einheit von R ist, dann giltxα+Ryα = R. Wir konnen also ohne Einschrankung annehmen, dass yα ∈ Mgilt fur alle α ∈ X.Wahle nun ein j ∈ J\{0}. Fur alle α ∈ X ist Rj ⊆ J ( Ryα. Also existiertein qα ∈ M , so dass qαyα = j gilt. Wir definieren einen Teilmodul B von R2

durchB = (Rj ⊕Rj) +

∑α∈X

R(qα,−xαqα)

und setzen A = R2/B. Dann ist b1 = (1, 0) + B und b2 = (0, 1) + B einErzeugendensystem von A. Wir zeigen, dass AnnR(A) = Rj gilt. Offensicht-lich ist Rj ⊆ AnnR(A). Sei nun r ∈ AnnR(A). Dann ist 0 = rb2 = (0, r)+B.Also existieren s1, s2 ∈ Rj, {α1, . . . , αn} ⊆ X und ri ∈ R fur i = 1, . . . , nmit

(0, r) = (s1, s2) +n∑

i=1

ri(qαi ,−xαiqαi).

Da {xα + Ryα}α∈X die endliche Durchschnitt-Eigenschaft besitzt, gibt esein

b ∈n⋂

i=1

xαi + Ryαi 6= ∅.

Fur jedes i ≤ n seib = xαi + tiyαi

mit ti ∈ R. Folglich gilt

(0, r) = (s1, s2) +n∑

i=1

ri(qαi ,−(b− tiyαi)qαi) = (s1, s′2) +

n∑i=1

ri(qαi ,−bqαi)

mit

s′2 = s2 +n∑

i=1

ritiyαiqαi = s2 +n∑

i=1

ritij ∈ Rj.

Es ist

r = s′2 +n∑

i=1

ri(−bqαi) und 0 = s1 +n∑

i=1

riqαi ,


alson∑

i=1

riqαi ∈ Rj

und damit auch r ∈ Rj, da s1, s2 ∈ Rj. Hiermit ist gezeigt, dass AnnR(A) =Rj gilt.Da R ein FGC-Ring ist, ist A eine direkte Summe von zyklischen Teilmoduln.Es gilt B ⊆ MR2, also ist A/MA ein zweidimensionaler R/M -Vektorraum.Somit ist A die direkte Summe von zwei zyklischen Teilmoduln ungleichNull. Sei A = Ra1 ⊕Ra2 mit a1, a2 ∈ A\{0}. Es gilt

Rj = AnnR(A) = AnnR(a1) ∩AnnR(a2).

Da R ein Bewertungsring ist, konnen wir ohne Einschrankung annehmen,dass AnnR(a1) = Rj gilt.Desweiteren existieren rik, sik ∈ R, so dass(

r11 r12

r21 r22

) (a1

a2

)=

(b1

b2

)und

(s11 s12

s21 s22

) (b1

b2

)=

(a1

a2

)gelten. Die Mengen {a1+MA, a2+MA} und {b1+MA, b2+MA} sind Basendes R/M -Vektorraums A/MA. Die Matrizen (rik + M)i,k=1,2 und (sik +M)i,k=1,2 sind zueinander invers, d.h. beide Determinanten sind ungleichNull. Da R\M nur aus Einheiten besteht, ist det(sik +M)i,k=1,2 eine Einheitvon R. Indem wir gegebenenfalls a1 und a2 mit Einheiten multiplizieren,konnen wir annehmen, dass det(sik + M)i,k=1,2 = 1 ist. Es gilt somit(

b1

b2

)=

(s11 s12

s21 s22

)−1 (a1

a2

)=

(s22 −s12

−s21 s11

) (a1

a2

)Da det(sik + M)i,k=1,2 = 1 ist, ist wiederum s21 oder s22 eine Einheit vonR. Wir unterscheiden nun die folgenden beiden Falle.1. Fall: Angenommen s21 ist eine Einheit von R. Sei dann x = −s−1

21 s22. Wirbehaupten, dass

x ∈⋂

α∈X

xα + Ryα

gilt. Sei hierzu α ∈ X beliebig. Nach Definition von A ist

qαb1 − xαqαb2 = 0,

alsoqα(s22a1 − s12a2)− xαqα(−s21a1 + s11a2) = 0,

beziehungsweise

(qαs22 + xαqαs21)a1 = (qαs12 + xαqαs11)a2 ∈ Ra1 ∩Ra2 = {0}.


Hieraus folgt nun

qαs22 + xαqαs21 ∈ AnnR(a1) = Rj = Rqαyα.

Damit ist auchqα (−s−1

21 s22)︸︷︷︸=x

−xαqα ∈ Rqαyα,

d.h. es existiert ein r ∈ R mit qαx− xαqα = rqαyα. Also gilt

qα(x− xα − ryα) = 0.

Da qαyα = j 6= 0 ist, ist yα nicht im Annulator von qα enthalten und da Rein Bewertungsring ist, gilt dann

AnnR(qα) ⊆ Ryα.

Also erhalten wir x− xα − ryα ∈ Ryα und damit ist

x ∈ xα + Ryα.

Hiermit ist die Aussage im ersten Fall gezeigt.2. Fall: Sei nun angenommen, s22 ist eine Einheit von R. Wie im ersten Fallfolgt

qα(s22 + xαs21 + ryα) = 0

fur ein r ∈ R. Da qα 6= 0 gilt, ist s22 + xαs21 + ryα keine Einheit von R unddamit ein Element des maximalen Ideals M von R. Da s22 eine Einheit istund yα ∈ M ist, ist xαs21 eine Einheit von R und damit ist auch s21 eineEinheit von R. Die Anwendung des 1.Falls vervollstandigt den Beweis.Damit haben wir gezeigt, dass jeder lokale FGC-Ring ein fast-maximalerBewertungsring ist.

Fassen wir die letzten drei Satze zusammen, so erhalten wir:

Korollar 1.2.11. Sei R ein lokaler Ring.R ist genau dann ein FGC-Ring, wenn R ein fast-maximaler Bewertungsringist.

Wir beenden diesen Abschnitt mit der Betrachtung von Zerlegungen einesendlich erzeugten Moduls uber einem Bewertungsring in eine direkte Summevon zyklischen Moduln.

Satz 1.2.12. Sei R ein Bewertungsring und A ein R-Modul mit

A = A1 ⊕ · · · ⊕Am = B1 ⊕ · · · ⊕Bn,

wobei Ai und Bj zyklische R-Moduln ungleich Null sind fur alle i = 1, . . . ,mund j = 1, . . . , n.Dann gilt m = n und nach Umnummerieren Ai

∼= Bi fur alle i = 1, . . . ,m.


Beweis:Sei M das maximale Ideal von R. Dann ist der Annulator von Ai bzw. Bj

fur jedes i ≤ m, j ≤ n in M enthalten, da R ein Bewertungsring ist. Alsohat A genau so viele zyklische Summanden ungleich Null, wie die Dimensionvon A/MA als R/M -Vektorraum ist. Dessen Dimension ist unabhangig vonder Zerlegung, also gilt n = m.Sei Ai = Rai und Bi = Rbi mit ai, bi ∈ A fur alle i ≤ m. Da R einBewertungsring ist, konnen wir die Moduln Ai und Bi so umnummerieren,dass

AnnR(Ai) ⊆ AnnR(Ai+1) und AnnR(Bi) ⊆ AnnR(Bi+1)

fur alle i = 1, . . . ,m− 1 gilt. Es ist

ai =m∑

j=1

rijbj

mit rij ∈ R fur jedes i ≤ m. Die Mengen {a1 + MA, . . . , am + MA} und{b1 + MA, . . . , bm + MA} sind Basen des R/M -Vektorraums A/MA. DieMatrix (rij +M)i,j=1,...,m beschreibt den Basiswechsel zwischen diesen. Alsoist det(rij + M)i,j=1,...,m 6= M und

det(rij)i,j=1,...,m + M = det(rij + M)i,j=1,...,m =: a + M

mit einem a ∈ U(R), da R\M nur aus Einheiten besteht. Also istdet(rij)i,j=1,...,m eine Einheit von R.Wir wollen nun zeigen, dass fur jedes i0 ∈ {1, . . . ,m} ein i′ ∈ {i0, . . . ,m}und ein j′ ∈ {1, . . . , i0} so existieren, dass ri′j′ eine Einheit von R ist. Esgilt

det(rij)i,j=1,...,m =∑

σ∈Sm

sign(σ)m∏

i=1

ri,iσ,

wobei Sm die symmetrische Gruppe der Ordnung m bezeichnet und folglich σalle Permutationen auf den Zahlen 1, . . . ,m durchlauft. Da det(rij)i,j=1,...,m

eine Einheit ist, existiert ein σ mit

m∏i=1

ri,iσ ∈ U(R).

Dann ist ri,iσ ∈ U(R) fur alle i = 1, . . . ,m. Wir mussen nun noch zeigen,dass fur jedes i0 ein i′ ≥ i0 existiert mit i′σ ≤ i0. Angenommen es existiertkein solches i′, d.h. i′σ > i0 fur alle i′ ≥ i0. Dann ist

{1, . . . , i0} ⊆ {1σ, . . . , (i0 − 1)σ}

– ein Widerspruch aufgrund der Machtigkeiten der beiden Mengen. Also gibtes die gewunschten i′, j′.


Wir erhalten nun

AnnR(Ai0) ⊆ AnnR(Ai′) = AnnR(ai′) = AnnR(m∑

j=1

ri′jbj) =

m⋂j=1

AnnR(ri′jbj) ⊆ AnnR(ri′j′bj′) = AnnR(bj′) = AnnR(Bj′) ⊆ AnnR(Bi0)

fur alle i0 = 1, . . . ,m. Analog zeigt man, dass

AnnR(Bi) ⊆ AnnR(Ai)

fur alle i = 1, . . . ,m gilt. Folglich gilt

AnnR(Ai) = AnnR(Bi)

und damit Ai∼= Bi fur alle i = 1, . . . ,m.

FGC-Ringe - Bezoutringe 32

1.3 Bezoutringe

In diesem Abschnitt widmen wir uns einer weiteren Klasse von FGC-Ringen,den lokal fast-maximalen Bezoutringen. Als erstes sei an die Definitionen vonBezoutring und Pruferring erinnert.

Definition 1.3.1.

(1) Ein Ring R heißt Bezoutring, falls jedes endlich erzeugte Ideal von Rzyklisch ist.

(2) Ein Ring R heißt Pruferring, falls RM fur jedes maximale Ideal von R einBewertungsring ist.

Bemerkung 1.3.2. Sei R ein Bezoutring. Mit R ist auch R/I ein Bezout-ring fur jedes Ideal I von R. Ebenso ist fur eine multiplikativ abgeschlosseneTeilmenge S von R auch RS ein Bezoutring.Die Klasse der Bezoutringe umfaßt Bewertungsringe und Hauptidealberei-che, und jeder Bezoutring ist auch ein Pruferring, also ist RM fur jedesmaximale Ideal M von R ein Bewertungsring.

Fur einen Bezoutbereich gibt es noch eine andere Charakterisierung.

Proposition 1.3.3. Sei R ein Integritatsbereich. R ist genau dann ein Be-zoutbereich, wenn jeder endlich erzeugte torsionsfreie R-Modul frei ist.

Beweis:Wir nehmen zunachst an, dass jeder endlich erzeugte torsionsfreie R-Modulfrei ist. Dann gilt dies auch fur die endlich erzeugten Ideale von R, da Rein Integritatsbereich und damit torsionsfrei ist. Aus Dimensionsgrunden istdann jedes dieser Ideale zyklisch und damit R ein Bezoutbereich.Fur die andere Richtung sei R ein Bezoutbereich mit Quotientenkorper Q.Fur einen R-Modul A definieren wir den Rang von A (rg A) als die Dimen-sion des Q-Vektorraums A⊗R Q. Damit ist der Rang eines TorsionsmodulsNull. Sei nun F ein endlich erzeugter torsionsfreier R-Modul. Wir wollen perInduktion uber den Rang von F zeigen, dass F frei ist.Falls rg F = 0 gilt, ist F = {0}. Ist rg F = 1, so ist F ⊗R Q ∼= Q und Fzyklisch. Also ist F ∼= R ein freier R-Modul.Sei nun rg F = n ≥ 2 und die Aussage sei fur kleineren Rang bekannt. Furx ∈ F\{0} gilt

n− 1 = rg(F/Rx) = rg((F/Rx)/t(F/Rx)),

wobei t(F/Rx) der Torsionsteilmodul von F/Rx ist. Nach Induktionsannah-me ist (F/Rx)/t(F/Rx) ein freier R-Modul. Die Abbildung

φ : F → F/Rx → (F/Rx)/t(F/Rx)


ist ein Epimorphismus, also existiert ein R-Modul F ′ mit

F ∼= F ′ ⊕ ((F/Rx)/t(F/Rx)).

F ′ ist endlich erzeugt, torsionsfrei und es gilt rg F ′ = 1 < n. Damit ist F ′ freiund folglich auch F . Wir haben also gezeigt, dass uber einem Bezoutbereichjeder endlich erzeugte, torsionsfreie Modul frei ist.

Wir konnen nun zeigen, dass jeder FGC-Ring ein Bezoutring ist.

Satz 1.3.4. Sei R ein FGC-Ring. Dann ist R ein lokal fast-maximaler Be-zoutring.

Beweis:Wir zeigen zuerst, dass R ein Bezoutring ist. Sei hierzu I ein endlich erzeug-tes Ideal von R. Da R ein FGC-Ring ist, ist I eine endliche direkte Summevon zyklischen Idealen. Wir beschranken uns auf den Fall, dass I = Rx⊕Ryfur x, y ∈ R gilt. Die allgemeine Aussage folgt dann induktiv.Sei M ein maximales Ideal von R. Nach Lemma 1.1.2 (3) ist auch RM einFGC-Ring und folglich, nach Satz 1.2.9, ein Bewertungsring. Es gilt

IM = RMx⊕RMy

und da RM ein Bewertungsring ist, folgt RMx = {0} oder RMy = {0}. Injedem Fall ist IM = RM (x + y) fur alle maximalen Ideale M von R. NachKorollar 1.1.11 (1) ist I = R(x + y) zyklisch, also R ein Bezoutring.Desweiteren ist RM nach Lemma 1.1.2 (3) ein FGC-Ring und folglich, nachSatz 1.2.10 ein fast-maximaler Ring fur jedes maximale Ideal M von R. Alsoist R ein lokal fast-maximaler Bezoutring.

Abschließend zeigen wir, dass ein fast-maximaler Bezoutbereich ein FGC-Ring ist. Dazu benotigen wir:

Lemma 1.3.5. Sei R ein lokal fast-maximaler, h-lokaler Pruferbereich.Dann ist jeder endlich erzeugte Torsionsmodul eine direkte Summe von zyk-lischen Teilmoduln.

Beweis: Fur den Beweis siehe [B2, Satz 5.1].

Der folgende Satz wurde von Brandal [B1] und unabhangig von Shores undR. Wiegand [SW] bewiesen.

Satz 1.3.6. Sei R ein fast-maximaler Bezoutbereich.Dann ist R ein FGC-Bereich.


Beweis:Sei R ein fast-maximaler Bezoutbereich und A ein endlich erzeugter R-Modul mit Torsionsteilmodul t(A). A/t(A) ist ein endlich erzeugter tor-sionsfreier R-Modul und damit, nach Proposition 1.3.3, frei. Also gilt

A ∼= A/t(A)⊕ t(A).

Nach Satz 1.1.18 ist ein fast-maximaler Bereich h-lokal und lokal fast-maximal. Da R ein Bezoutring ist, ist R auch ein Pruferring. Damit ist,nach Lemma 1.3.5, t(A) als endlich erzeugter Torsionsmodul eine direkteSumme von zyklischen Teilmoduln. Also ist A eine endliche direkte Summevon zyklischen Teilmoduln und folglich R ein FGC-Ring.

FGC-Ringe - Fackelringe 35

1.4 Fackelringe

In diesem Abschnitt beschaftigen wir uns mit Fackelringen. Diese Ringe wur-den erst im Zusammenhang mit der Charakterisierung von FGC-Ringen vonShores und R. Wiegand [SW] eingefuhrt. Shores und R. Wiegand bezeich-neten diese Ringe zuerst als ”?“-Ringe. In [V] schlug Vamos aufgrund derStruktur des Idealverbands den Namen Fackelring vor.Fur die Definition eines Fackelrings benotigen wir zunachst den Begriff einesuniseriellen Moduls.

Definition 1.4.1. Seien R ein Ring und M ein R-Modul.M heißt uniseriell, wenn die Teilmoduln von M bezuglich der Inklusion vollstandiggeordnet sind.

Hieraus folgt unmittelbar, dass in einem uniseriellen Modul beliebige Teil-moduln vergleichbar sind.

Definition 1.4.2. Ein Ring R heißt Fackelring, wenn R die folgenden vierBedingungen erfullt:

(1) R ist nicht lokal;

(2) R hat ein eindeutig bestimmtes minimales Primideal P 6= {0} und P istein uniserieller R-Modul;

(3) R/P ist ein h-lokaler Bereich;

(4) R ist ein lokal fast-maximaler Bezoutring.

Hierbei wird die erste Bedingung nur benotigt, um die Moglichkeit auszu-schließen, dass R ein fast-maximaler Bewertungsring ist.Aus dieser Definition folgen unmittelbar weitere Eigenschaften, welche auchdie Bezeichnung ”Fackelring“ rechtfertigen, da der Verband der Ideale dieGestalt einer Fackel hat.

Lemma 1.4.3. Sei R ein Fackelring und P das minimale Primideal von R.Dann erfullt R die folgenden Bedingungen:

(5) Jedes Ideal von R, das in P enthalten ist, ist mit jedem Ideal von Rvergleichbar;

(6) Es gilt P 2 = {0};

(7) Es existiert ein eindeutig bestimmtes maximales Ideal M von R, sodass P ∼= PM und PM ′ = {0} fur alle M ′ ∈ mspec R\{M} gilt;

(8) P ist ein R/P -Torsionsmodul und P ist teilbar als R/P -Modul.


Beweis:(5): Sei r ∈ R\P und p ∈ P . Da R ein Bezoutring ist, ist RM ein Be-wertungsring fur jedes maximale Ideal M von R. Nach Voraussetzung istRMr * RMp und somit gilt

RMp ⊂ RMr

fur jedes maximale Ideal M von R. Nach Korollar 1.1.11 ist dann auch Rp ⊂Rr. Folglich ist jedes in P enthaltene Ideal mit jedem nicht in P enthaltenenIdeal vergleichbar. Da P uniseriell ist, sind auch die in P enthaltenen Idealemiteinander vergleichbar.(6): Angenommen, es gilt P 2 6= {0}. Dann existiert ein p ∈ P , so dassPp 6= {0} gilt. Also ist P * AnnR(p) und wegen (5) muss dann AnnR(p) ⊂P gelten. Daher existiert ein Epimorphismus φ : Rp → R/P . Da P einuniserieller Modul ist, ist auch Rp als Teilmodul von P und folglich auchR/P , ein uniserieller Modul. Somit hat R/P genau ein maximales Ideal, wasim Widerspruch zu

|mspec(R/P )| = |mspec R| > 1

steht, denn als Fackelring ist R nicht lokal.(7),(8): Da P 2 = {0} gilt, ist P ein R/P -Modul. Sei nun p ∈ P undangenommen p ist kein R/P -Torsionselement von P . Dann gilt

Rp ∼= (R/P )p ∼= R/P,

woraus, wie bei (6), ein Widerspruch folgt. Also ist P ein R/P -Torsionsmodul.Nach Definition 1.4.2 ist R/P ein h-lokaler Bereich und nach Lemma 1.1.16gilt somit

P =⊕

M∈mspec(R/P )

P (M),

wobei P (M) ∼= PM gilt. Da P ein uniserieller R-Modul ist, d.h. die Teil-moduln von P bezuglich der Inklusion vollstandig geordnet sind, existiertein eindeutiges maximales Ideal M von R/P mit P = P (M) und P (M ′) ={0} fur alle M ′ ∈ mspec(R/P )\{M}. Desweiteren gilt P (M) ∼= PM undP (M ′) ∼= PM ′ . Da es eine Bijektion zwischen mspec R und mspec(R/P )gibt, folgt die gewunschte Aussage.Es bleibt nun noch zu zeigen, dass P als R/P -Modul teilbar ist. Dazu seir ∈ R\P und p ∈ P . Nach (5) gilt Rp ⊂ Rr. Es existiert also ein s ∈ R mitp = sr. Da P ein Primideal ist, gilt s ∈ P . Damit haben wir gezeigt, dass Pein teilbarer R/P -Modul ist.

Wir konnen nun zeigen, dass Fackelringe ebenfalls FGC-Ringe sind.

Satz 1.4.4. Sei R ein Fackelring. Dann ist R ein FGC-Ring.


Beweis:Sei R ein Fackelring, P das eindeutige minimale Primideal von R und M daseindeutig bestimmte maximale Ideal von R mit PM

∼= P . Desweiteren seiA ein endlich erzeugter R-Modul und I = AnnR(A). Wir haben zu zeigen,dass A eine direkte Summe von zyklischen Teilmoduln ist.Falls P ⊆ I gilt, ist A ein endlich erzeugter R/P -Modul. Nach der Definitionvon Fackelringen, Lemma 1.1.6 und Satz 1.1.18 ist R/P ein fast-maximalerBezoutbereich. Satz 1.3.6 besagt, dass dann A eine direkte Summe von zyk-lischen R/P -Moduln ist. Folglich ist A eine direkte Summe von zyklischenR-Teilmoduln, denn es gilt P ⊆ AnnR(A).Nehmen wir nun also an, dass P * I gilt. Nach Lemma 1.4.3 (5) gilt dannI ( P . Nach Lemma 1.4.3 (5) sind alle in P enthaltenen Ideale mit je-dem Ideal von R vergleichbar. Dies gilt naturlich insbesondere fur P selber.Daruberhinaus ist A endlich erzeugt und folglich existiert ein a ∈ A mitAnnR(a) = I. Sei Φ : A → AM der naturliche Homomorphismus. Dann ist

RMaΦ ∼= (R/I)M∼= RM/IM ,

also AnnRM(aΦ) = IM . Da P ∼= PM und I ein Teilmodul von P ist, gilt

ICM ∩R ⊆ I.

Damit giltI = AnnR(a) ⊆ AnnR(aΦ) ⊆ IC

M ∩R ⊆ I.

Also ist I = AnnR(aΦ).Da R ein Bezoutring ist, ist RM ein Bewertungsring. Nach der Definitioneines Fackelrings ist RM ein fast-maximaler Bewertungsring und Satz 1.2.8besagt, dass RM ein FGC-Ring ist. Sei nun also

AM =n⊕

i=1

RMxi

mit xi ∈ AM . Es existieren ri ∈ RM , so dass

aΦ =n∑

i=1

rixi

gilt. Desweiteren ist

I = Ann(aΦ) =n⋂

i=1

AnnR(rixi).

Wie oben sieht man, dass dann ein i ∈ {1, . . . , n} existiert mit I = AnnR(rixi).Sei π : AM → RMxi die Projektion auf die i-te Komponente. AΦπ ist ein


endlich erzeugter R-Teilmodul von RMxi∼= RM/IM . Da RM ein Bewer-

tungsring ist, existiert ein y ∈ RMxi, so dass AΦπ = Ry und AnnR(y) = Igilt. Wir wahlen nun ein b ∈ A mit bΦπ = y. Dann ist

A = Ker(Φπ)⊕Rb,

denn es giltI = AnnR(A) = AnnR(y) = AnnR(b).

Auf diese Weise zerlegt man Ker(Φπ) weiter. Da

dimR/M [Ker(Φπ)/M Ker(Φπ)] = dimR/M [A/MA]− 1

gilt, endet dieses Verfahren nach einer endlichen Anzahl von Schritten. Da-mit haben wir gezeigt, dass R ein FGC-Ring ist.

FGC-Ringe – minimale Primideale 39

1.5 Ein FGC-Ring hat nur endlich viele minimale Primideale

Das Ziel dieses Abschnitts ist es, zu zeigen, dass jeder FGC-Ring nur endlichviele minimale Primideale hat. Der Beweis bedient sich topologischer Mit-tel, welche wir zunachst vorstellen werden. Dabei wird auf die Beweise derangegebenen Aussagen weitesgehend verzichtet, da eine ausfuhrliche topolo-gische Betrachtung im Rahmen dieser Diplomarbeit nicht vorgesehen ist. Dadas Hauptergebnis aber von fundamentaler Bedeutung fur die Charakteri-sierung von FGC-Ringen ist, wollen wir auf dessen Beweis nicht verzichten.Zuerst wiederholen wir allgemeine topologische Definitionen und Lemmata.

Definition 1.5.1.

(1) Ein topologischer Raum X heißt vollstandig unzusammenhangend, fallsjedes Paar x 6= y in X durch eine Zerlegung von X getrennt werden kann,d.h. es existieren offene Mengen A und B mit

X = A ∪B, A ∩B = ∅, x ∈ A und y ∈ B.

(2) Ein topologischer Raum, der kompakt, Hausdorffsch und vollstandig un-zusammenhangend ist, heißt Boolescher Raum.

(3) Sei X ein topologischer Raum und A ⊆ X.A heißt diskret in X, wenn kein Punkt von X Haufungspunkt von A ist.

Lemma 1.5.2. Sei X ein topologischer Raum.X ist genau dann kompakt, wenn jede Familie von abgeschlossenen Mengenmit der endlichen Durchschnitt-Eigenschaft einen nicht leeren Durchschnitthat.

Beweis: Fur den Beweis siehe [N, Satz III.5].

Lemma 1.5.3. Sei X ein unendlicher Hausdorffscher topologischer Raum.Dann existiert ein abzahlbar unendlicher diskreter Unterraum von X.


Als nachstes wiederholen wir die Definition eines Filters.

Definition 1.5.4.

(1) Sei X eine nichtleere Menge. F ist ein Filter von X, falls

(a) F ⊆ P(X)\{∅},(b) F1 ∩ F2 ∈ F fur alle F1, F2 ∈ F ,

(c) falls F ∈ F und F ⊆ F ′ ⊆ X, so ist F ′ ∈ F .


(2) F heißt Ultrafilter von X, falls F ein Filter von X ist und fur jede Teil-menge I ⊆ X entweder I ∈ F oder X\I ∈ F gilt.Wir bezeichnen die Menge aller Ultrafilter von X mit UF(X)

Die Ultrafilter einer Menge X sind genau die maximalen Elemente der Men-ge aller Filter auf X.

Wir wollen uns im folgenden genauer mit den Filtern der naturlichen Zahlenbeschaftigen.

Lemma 1.5.5. Es gilt

2ℵ0 ≤ |UF(N)| ≤ 22ℵ0.

Beweis: Fur den Beweis siehe [B2, Korollar 7.9].

Falls A eine Teilmenge von N ist, so heißt der Filter

F(A) := {X ∈ P(N) : A ⊆ X}

der von A erzeugte feste Filter.Wenn fur einen Filter F

F 6= F(A)

fur alle A ⊆ N gilt, so ist F ein freier Filter. Das folgende Lemma liefertweitere Charakterisierungen von freien Ultrafiltern. Wir bezeichnen hierzumit

Cω := {X ⊆ N : |N\X| < ω}

den coendlichen Filter von N.

Lemma 1.5.6. Sei F ein Ultrafilter auf den naturlichen Zahlen. Dann sinddie folgenden Aussagen aquivalent:

(1) F ist frei;

(2) Cω ⊆ F ;

(3) fur alle n ∈ N gilt {n} /∈ F .

Beweis: Fur den Beweis siehe [EM, II. Proposition 2.7].

Desweiteren gilt

Lemma 1.5.7. Jeder Filter auf den naturlichen Zahlen ist in einem Ultra-filter enthalten.Insbesondere existiert ein freier Ultrafilter auf den naturlichen Zahlen.


Beweis: Fur den Beweis siehe [EM, II. Satz 2.8].

Wir definieren nun eine Abbildung ιN : N → UF(N) mit ιN(x) = F({x}).Dann ist UF(N)\ιN(N) die Menge der freien Ultrafilter von N. Im folgendenbezeichnen wir diese Menge mit FUF(N).Wir wollen nun eine Topologie auf den Ultrafiltern definieren. Sei hierzu

D(J) := {F ∈ UF(N) : J * F}

fur J ⊆ P(N). Sei{D({I}) : I ⊆ N}

die Basis der Topologie auf den Ultrafiltern. Die Gesamtheit der offenenMengen von UF(N) ist dann gegeben durch

{D(J) : J ⊆ P(N)}.

Außerdem gilt:

Lemma 1.5.8. UF(N) ist ein Boolescher Raum.


Desweiteren ist auch FUF(N) kompakt, da die Menge

ιN(N) =⋃n∈N

D(N\{n})

offen ist. Wir wollen nun zeigen, dass jede offene Teilmenge von FUF(N)unendlich ist.

Lemma 1.5.9. Jede offene Teilmenge von UF(N) enthalt entweder nurfeste Ultrafilter oder ist unendlich.

Beweis:Es genugt, die Behauptung fur die Basiselemente zu beweisen, da jede offeneMenge eine Vereinigung von Basiselementen ist. Sei also I ⊆ N und D(I)ein Basiselement. Wir konnen ohne Einschrankung annehmen, dass I 6= Ngilt, da D(N) = ∅ ist. Wir unterscheiden nun zwei Falle, je nachdem ob N\Iendlich oder unendlich ist.Zuerst nehmen wir an, dass N\I unendlich ist, d.h. N und N\I haben diegleiche Machtigkeit. Also gibt es eine Partition {Xn : n ∈ N} der abzahlbarunendlichen Menge N\I mit |Xn| = ∞ fur alle n ∈ N. Insbesondere ist auch(N\I)\Xn = N\(Xn∪ I) unendlich fur alle n ∈ N. Wir zeigen, dass jedes Xn

in einem freien Ultrafilter Fn enthalten ist. Diese Fn sind dann notwendi-gerweise verschieden, da andernfalls ∅ = Xn∩Xm ∈ Fn = Fm gelten wurde.Hierzu betrachten wir den coendlichen Filter Cω von N. Nach Lemma 1.5.6


ist jeder Ultrafilter, der Cω enthalt frei. Wir wahlen also nun fur jedes n ∈ Neinen Filter Fn der Cω und Xn enthalt. Ein solcher Filter existiert, daXn ∩ X 6= ∅ fur alle X ∈ Cω gilt. Dann gibt es nach Lemma 1.5.7 aucheinen Ultrafilter Fn der Fn und damit Cω und Xn enthalt. Hiermit habenwir gezeigt, dass D(I) unendlich ist, falls N\I unendlich ist.Sei nun angenommen, dass N\I endlich ist. Dann besteht D(I) nur aus fes-ten Ultrafiltern, denn falls F ein Ultrafilter mit I /∈ F ist, so ist N\I ∈ Fund damit F ein fester Ultrafilter.Wir haben also insgesamt gezeigt, dass jede offene Teilmenge von UF(N)entweder unendlich ist, oder nur aus festen Ultrafiltern besteht. Hierausfolgt insbesondere, dass jede nicht leere offene Teilmenge von FUF(N) un-endlich ist.

Lemma 1.5.10. Sei X ein nicht leerer diskreter topologischer Raum und Ceine unendliche abgeschlossene Teilmenge von UF(X). Dann gilt:

1. C enthalt eine abgeschlossene Teilmenge, die homoomorph zu UF(N)ist.

2. C enthalt eine abgeschlossene Teilmenge, die homoomorph zu FUF(N)ist.


Die nachste Definition ist im folgenden von zentraler Bedeutung.

Definition 1.5.11. Sei X ein topologischer Raum, x ∈ X und α eine Kardi-nalzahl.Dann heißt x ein α-Punkt von X, falls α paarweise disjunkte offene Teilmengenvon X existieren, so dass x im Abschluß von jeder dieser Teilmengen enthaltenist.

Lemma 1.5.12. Es existiert ein 2ℵ0-Punkt in FUF(N).


Lemma 1.5.13. Sei X ein Boolescher Raum mit einer abzahlbar unend-lichen dichten Teilmenge, die aus isolierten Punkten von X besteht.Dann enthalt X entweder einen 3-Punkt oder X hat einen abgeschlossenenUnterraum, der homoomorph zu FUF(N) ist.


Wir wollen uns nun mit einer Toplologie auf dem Spektrum eines Ringsbeschaftigen, der sogenannten Patch-Topologie.


Fur jedes x ∈ R bezeichnen wir mit D(x) und V (x) die folgenden Teilmengenvon spec R:

D(x) := {P ∈ spec R : x /∈ P} und V (x) := {P ∈ spec R : x ∈ P}.

Offensichtlich gilt D(x) ∪ V (x) = spec R.

Definition 1.5.14.

(1) Die Patch-Topologie T auf spec R ist definiert durch

B = {V (x)}x∈R ∪ {D(x)}x∈R

alsTeilbasis von T , das heißt T besteht aus beliebigen Vereinigungen vonendlichen Durchschnitten von Elementen von B.

(2) Den Abschluß von Y ⊆ spec R in der Patch-Topologie bezeichnen wir mitY P .Wir nennen Y ein Patch, falls Y = Y P gilt.Y ist ein Thin-Patch, falls Y = (minY )P gilt.

Die Patch-Topologie besitzt dann eine Basis aus Elementen, die sowohl offen,als auch abgeschlossen sind.

Lemma 1.5.15. Zusammen mit der Patch-Topologie ist spec R ein Boole-scher Raum.


Lemma 1.5.16. Falls spec R ein Thin-Patch mit einem 3-Punkt bezuglichder Patch-Topologie enthalt, so ist R kein FGC-Ring.


Nun konnen wir das zentrale Resultat dieses Abschnitts beweisen. Brandalund R. Wiegand [BW] bewiesen diesen Satz 1978 und mit seiner Hilfe dannkurze Zeit spater den Satz zur Charakterisierung von FGC-Ringen.

Satz 1.5.17. Sei R ein FGC-Ring. Dann hat R nur endlich viele minimalePrimideale.

Beweis:Sei R ein FGC-Ring. Wir nehmen an, dass R unendlich viele minimale Prim-ideale hat und fuhren dies zum Widerspruch. Im folgenden betrachten wiralle topologischen Eigenschaften bezuglich der Patch-Topologie auf spec R.Da R unendlich viele minimale Primideale enthalt, kann R kein Integritats-bereich sein.Nach Satz 1.5.15 ist spec R Hausdorffsch und damit auch minspec R bezuglich


der induzierten Topologie. Lemma 1.5.3 besagt, dass es einen abzahlbar un-endlichen, diskreten Unterraum Y von minspec R gibt. Wir bezeichnen mitU(P ) die Menge aller Umgebungen des Primideals P und mit

Y ′ = {P ∈ spec R | ∀ U ∈ U(P ) : Y ∩ U\{P} 6= ∅}

die Menge aller Haufungspunkte von Y in spec R. Dann ist Y P = Y ∪Y ′ derAbschluß von Y . Wir wollen zeigen, dass dies eine disjunkte Vereinigungist. Da Y diskret ist, gibt es fur jedes y ∈ Y eine Umgebung U ∈ U(y)mit U ∩ Y = {y}. Also ist Y ∩ U\{y} = ∅ und damit y /∈ Y ′. Hiermithaben wir gezeigt, dass jedes Element von Y ein isolierter Punkt von Y P

ist. Desweiteren ist Y P ein Thin-Patch, denn

Y = minY ⊆ minY P ⊆ Y P

impliziert, dassY P ⊆ (minY P )P ⊆ (Y P )P = Y P

gilt.Nach Satz 1.5.16 kann Y P dann keinen 3-Punkt enthalten. Da spec R einBoolescher Raum ist, ist auch Y P als abgeschlossene Teilmenge ein Boole-scher Raum. Offensichtlich ist Y dicht in Y P und somit konnen wir Satz 1.5.13anwenden. Demnach existiert ein abgeschlossener Unterraum V1 von Y P , derhomoomorph zu FUF(N) ist. Nach Satz 1.5.12 und Satz 1.5.16 kann V1 keinThin-Patch sein, da R ein FGC-Ring ist. Also ist

V1 6= (minV1)P

und da V1 abgeschlossen ist, gilt

(minV1)P ( V1.

Folglich existiert ein x ∈ V1\(minV1)P und eine Umgebung U von x mit

U\{x} ∩minV1 = ∅.

Da x /∈ minV1 gilt, ist auch

U ∩minV1 = ∅.

Da U eine Umgebung von x ist, gibt es ein Basiselement U ⊆ U mit x ∈ U .Dann ist U sowohl offen, als auch abgeschlossen und es gilt U ⊆ V1 undU ∩minV1 = ∅. Da nach Lemma 1.5.9 jede offene Teilmenge von FUF(N)unendlich ist, gilt dies auch fur U . Nach Satz 1.5.10 enthalt U wiederum eineabgeschlossene Teilmenge V2, die homoomorph zu FUF(N) ist. Folglich ist

V2 ∩minV1 = ∅.


Wie zuvor V1, kann auch V2 nach Satz 1.5.12 und Satz 1.5.16 kein Thin-Patch sein und folglich existiert wiederum eine Teilmenge U2 von V2, dieoffen und abgeschlossen ist und

U2 ∩minV2 = ∅

erfullt. U2 ist homoomorph zu einer offenen Teilmenge von FUF(N) unddamit nach Lemma 1.5.9 unendlich. Durch erneutes Anwenden vonSatz 1.5.10 erhalten wir eine Teilmenge V3 von U2, die homoomorph zuFUF(N) ist und es gilt V3∩minV2 = ∅. Wenn man auf diese Art und Weisefortfahrt, erhalt man eine Familie {Vn}n∈N mit

Y P ⊃ V1 ⊃ V2 ⊃ · · · ⊃ Vn ⊃ . . . , Vn+1 ∩minVn = ∅

und Vn ist homoomorph zu FUF(N) fur jedes n ∈ N. Da FUF(N) kompaktist, konnen wir Lemma 1.5.2 anwenden und erhalten⋂

n∈NVn 6= ∅.

Also existiert ein M ∈⋂

n∈N Vn. Da R kein Bereich ist, gilt M 6= {0} undSatz 1.3.4 besagt, dass RM dann ein Bewertungsring ist. Also bildet die Men-ge {P ∈ spec R : P ⊆ M} eine Kette bezuglich der Inklusion. Desweiterenist

{P ∈ spec R : P ⊆ M} =⋂

x∈R\M

D(x)

und folglich abgeschlossen. Dann ist auch

Vn ∩ {P ∈ spec R : P ⊆ M} = {P ∈ Vn : P ⊆ M}

abgeschlossen. Wir definieren Pn :=⋂{P ∈ Vn : P ⊆ M}, da nach

Lemma 1.5.2 der Schnitt nicht leer ist. Es gilt Pn ∈ spec R und da {P ∈Vn : P ⊆ M} abgeschlossen ist, gilt sogar Pn ∈ Vn. Es muss weiterhinPn ∈ minVn gelten, da sonst ein P ′

n ∈ minVn mit P ′n ⊂ Pn ⊂ M existiert.

Folglich istP1 ( P2 ( · · · ( Pn . . . .

Sei W = {Pn}n∈N ∪ {⋃

n∈N Pn}. Es ist Pn ∈ V1 fur alle n ∈ N. Also istauch

⋃n∈N Pn ∈ V1, da V1 abgeschlossen ist. Dann ist auch W abgeschlossen

und W ⊆ V1. V1 ist homoomorph zu FUF(N) und nach Satz 1.5.10 enthaltW eine Teilmenge, die homoomorph zu UF(N) ist. Nach Satz 1.5.5 gilt2ℵ0 ≤ |UF(N)| ≤ 22ℵ0 und somit

2ℵ0 ≤ |UF(N)| ≤ |W | = |N| = ℵ0.

Dies ist aber ein Widerspruch und damit haben wir gezeigt, dass jeder FGC-Ring nur endlich viele minimale Primideale hat.

FGC-Ringe – Charakterisierung 46

1.6 Charakterisierung von FGC-Ringen

In diesem Abschnitt wollen wir unseren Hauptsatz zur Charakterisierungder FGC-Ringe beweisen. Hierzu beschaftigen wir uns als erstes mit denminimalen Primidealen eines FGC-Rings und einem Resultat von Vamos[V] aus dem Jahr 1977.

Satz 1.6.1. Sei R ein FGC-Ring mit eindeutig bestimmtem minimalenPrimideal P . Dann ist P ein uniserieller R-Modul.

Beweis:Sei R ein FGC-Ring und P sein eindeutiges minimales Primideal. Wir neh-men an, dass P kein uniserieller Modul ist und fuhren dies zum Widerspruch.Falls P kein uniserieller Modul ist, existieren x, y ∈ P mit der Eigenschaft,dass Rx und Ry nicht vergleichbar sind. Als erstes zeigen wir, dass wirannehmen konnen, dass mspec R = {M,M ′}, M 6= M ′, minspec R = P ,x, y ∈ P\{0}, Rx ∩Ry = {0}, Rx ∼= R/M und Ry ∼= R/M ′ gilt.Nach Zorns Lemma existiert ein Ideal I1 von R, das maximal ist in Bezugauf die Eigenschaft, dass

Rx ∩Ry ⊆ I1 ( Rx

gilt. Ebenso existiert ein Ideal I2 von R, das maximal ist bezuglich

Rx ∩Ry ⊆ I2 ( Ry.

Nach Lemma 1.1.2 (2) ist R/(I1 + I2) wieder ein FGC-Ring. Also konnenwir R durch R/(I1 + I2) ersetzen und annehmen, dass Rx ∼= R/M undRy ∼= R/M ′ mit maximalen Idealen M,M ′ von R gilt, da I1 und I2 maximalgewahlt wurden. Desweiteren ist Rx ∩ Ry = {0}. Nach Lemma 1.3.4 ist Rein Bezoutring und folglich ist RM fur jedes maximale Ideal M von R einBewertungsring. Da sowohl RMx 6= {0}, als auch RM ′y 6= {0} ist, folgt, dassM 6= M ′ gelten muss. Wir ersetzen nun R durch RR\{M∪M ′} und dies istnach Lemma 1.1.2 (3) wieder ein FGC-Ring.Es gilt nun

mspec R = {M,M ′}, M 6= M ′, minspec R = P, x, y ∈ P\{0},

Rx ∩Ry = {0}, Rx ∼= R/M und Ry ∼= R/M ′.

Hieraus folgt, dass Rx und Ry einfache Ideale von R sind, d.h. es gibt keinIdeal ungleich Null, das in Rx beziehungsweise in Ry enthalten ist. BeimLokalisieren sieht man sofort, das dies die einzigen einfachen Ideale von Rsind.Wir setzen nun

I := {r ∈ R : ∃ s ∈ R\M : rs = 0}.


Dann ist I der Kern der Abbildung Φ : R → RM .Analog setzen wir

J := {r ∈ R : ∃ s ∈ R\M ′ : rs = 0};

J ist der Kern der Abbildung Ψ : R → RM ′ .Es gilt y ∈ I ⊆ P , da M ′ = AnnR(y) und x ∈ J ⊆ P , da M = AnnR(x).Desweiteren ist y /∈ J und x /∈ I. Wir definieren A = R/I ⊕ R/J . DerTeilmodul R(x + I, 0 + J) von A ist isomorph zu Rx ∼= R/M und jederTeilmodul ungleich Null der ersten Komponente von A muss R(x+ I, 0+J)enthalten, da Rx ein einfaches Ideal von R ist. Ebenso ist R(0 + I, y + J) ∼=Ry ∼= R/M ′ und jeder Teilmodul ungleich Null der zweiten Komponente vonA muss R(0+I, y+J) enthalten. Also enthalt jeder Teilmodul ungleich Nullvon A mindestens einen der beiden einfachen Teilmoduln R(x + I, 0 + J)oder R(0 + I, y + J) und damit sind dies die einzigen einfachen Teilmodulnvon A.Da M 6= M ′ maximale Ideale von R sind, gilt M + M ′ = R. Also existierenein u ∈ M\M ′ und ein v ∈ M ′\M mit u + v = 1. Sei

B = R(1 + I, u + J) + R(0 + I, v + J).

B ist ein Teilmodul von A und wir betrachten nun die lokalen Eigenschaftenvon B. Es gilt

IM = {0}, (R/I)M∼= RM , RM (1 + I, u + J) ∼= RM

undRM (0 + I, v + J) ∼= (R/J)M .

Also ist

BM∼= RM (1 + I, u + J)⊕RM (0 + I, v + J) ∼= RM ⊕ (R/J)M .

Es ist aber auch

B = R(1 + I, 1 + J) + R(v + I, 0 + J)

und damit

BM ′ ∼= RM ′(1 + I, 1 + J)⊕RM ′(v + I, 0 + J) ∼= RM ′ ⊕RM ′(v + I, 0 + J).

Da R ein FGC-Ring ist, gibt es zyklische Teilmoduln B1, . . . , Bk von B mit

B = B1 ⊕ · · · ⊕Bk.

Da jeder Teilmodul ungleich Null von A mindestens einen der beiden ein-fachen Teilmoduln enthalt, ist k ≤ 2. Bei der Lokalisierung im letzten Ab-schnitt hat man gesehen, dass B nicht zyklisch ist. Also ist B = B1 ⊕B2.


RM ist ein Bewertungsring und nach Satz 1.2.12 ist die Zerlegung von end-lich erzeugten Moduln uber Bewertungsringen eindeutig. Wir konnen alsoohne Einschrankung annehmen, dass (B1)M

∼= RM und (B2)M∼= (R/J)M .

Desweiteren ist entweder (B1)M ′ oder (B2)M ′ isomorph zu RM ′ . Wir be-trachten nun diese beiden Falle separat.Wir nehmen zunachst an, dass (B1)M ′ ∼= RM ′ ist. Nach Korollar 1.1.11 (1)gilt dann B1

∼= R, da M und M ′ die einzigen maximalen Ideale von R sind.Da R zwei einfache Teilmoduln hat, gilt dies auch fur B1. Dann kann aberB2 keinen einfachen Teilmodul enthalten, was im Widerspruch dazu steht,dass jeder Teilmodul ungleich Null von A mindestens einen der beiden ein-fachen Teilmoduln enthalt.Sei nun angenommen, dass (B2)M ′ ∼= RM ′ gilt. Es ist

(B2)M∼= (R/J)M und (B2)M ′ ∼= RM ′ ∼= (R/J)M ′ .

Nach Korollar 1.1.11 (1) gilt dann B2∼= R/J . Sei nun B2 = Rb mit b ∈ B2.

Dann istb = r(1 + I, u + J) + s(0 + I, v + J)

mit r, s ∈ R. Angenommen, es ist r ∈ M ′. Dann gilt yb = 0, denn es istM ′ = AnnR(y) und v ∈ M ′. Es ist aber AnnR(b) = J und yb = 0 wurdeimplizieren, dass y ∈ J gilt – ein Widerspruch. Also ist r /∈ M ′. Weiterhinist Jb = {0}, also gilt Jr ⊆ I und Jr ⊆ J .Wir zeigen nun, dass I ∩ J = {0} gilt. Sei z ∈ I ∩ J . Dann existieren eins ∈ R\M und ein s′ ∈ R\M ′ mit zs = 0 = zs′. Angenommen, s unds′ sind keine Einheiten, dann ist s ∈ M ′, s′ ∈ M . Also gilt in jedem FallRs + Rs′ = R. Dann existieren p, p′ ∈ R mit ps + p′s′ = 1 und damit0 = zps + zp′s′ = z. Also gilt I ∩ J = {0} und folglich auch Jr = {0}.Es gilt also r ∈ M\M ′ und insbesondere r /∈ P . Nach Korollar 1.1.11 (1) istdann P ⊆ Rr. Aus x ∈ P ⊆ Rr folgt x = tr mit t ∈ P . Es gilt r2t = rx = 0,da r ∈ M = AnnR(x) und damit t ∈ J . Dann ist x = tr ∈ Jr = {0}. Diesist ein Widerspruch zu x 6= 0. Wir haben also gezeigt, dass P ein uniseriellerR-Modul ist.

Wir wollen uns als nachstes mit dem Fall beschaftigen, dass R ein Inte-gritatsbereich ist.

Satz 1.6.2. Sei R ein FGC-Bereich.Dann ist jedes Primideal ungleich Null von R in genau einem maximalenIdeal von R enthalten.

Beweis:Wir nehmen an, die Aussage sei falsch und fuhren dies zum Widerspruch.Sei P 6= {0} ein Primideal von R mit M,M ′ ∈ mspec(P ) und M 6= M ′.Wie im Beweis von Satz 1.6.1 ersetzen wir R durch RR\(M∪M ′), was nach


Lemma 1.1.2 wiederum ein FGC-Bereich ist. Wir konnen also annehmen,dass

mspec R = {M,M ′}, M 6= M ′ und {0} 6= P ⊆ M ∩M ′

gilt.Wahle nun x ∈ P\{0}, m ∈ M\M ′ und m′ ∈ M ′\M . Da R ein Bereich ist,sind Rxm und Rxm′ unvergleichbare Ideale von R, die in P enthalten sind.Nach Lemma 1.1.2 (3) ist RP ein lokaler FGC-Ring und damit nach Satz 1.2.9ein Bewertungsring. Also bildet die Menge {J ∈ spec R : J ⊆ P} eine Kette.Sei P ′ =

⋂{J ∈ spec R : x ∈ J ⊆ P}. Dann ist P ′ ∈ spec R. Nach

Lemma 1.1.2 (2) ist R/(Rxm∩Rxm′) ein FGC-Ring mit eindeutigem mini-malen Primideal P ′/(Rxm∩Rxm′). Rxm/(Rxm∩Rxm′) und Rxm′/(Rxm∩Rxm′) sind unvergleichbare Ideale von R/(Rxm∩Rxm′), die in P ′/(Rxm∩Rxm′) enthalten sind. Dies ist ein Widerspruch zu Satz 1.6.1, der besagt,dass P uniseriell ist. Damit ist die Aussage bewiesen.

Wir konnen nun unseren Hauptsatz zur Charakterisierung der FGC-Ringebeweisen. Vorher erinnern wir an den Begriff comaximal und den Chinesi-schen Restsatz, da wir diesen fur den Beweis benotigen.

Definition 1.6.3. Seien I und J Ideale von R.Dann heißen I und J comaximal, falls I + J = R gilt.

Lemma 1.6.4. Chinesischer RestsatzSeien I1, . . . , In paarweise comaximale Ideale von R.Dann gilt

R/(n⋂

i=1

Ii) ∼=n∏

i=1

R/Ii.

Beweis: Fur den Beweis siehe [FiS, 1.3.10].

Satz 1.6.5. Ein Ring R ist genau dann ein FGC-Ring, wenn R ein endlichesProdukt von Ringen ist, die jeweils zu einer der folgenden Klassen gehoren:

(1) maximale Bewertungsringe,

(2) fast-maximale Bezoutbereiche,

(3) Fackelringe.

Beweis:In Satz 1.2.8, Satz 1.3.6 und 1.4.4 haben wir gezeigt, dass diese Ringe FGC-Ringe sind und nach Lemma 1.1.2 ist dann auch ein endliches Produkt dieserRinge ein FGC-Ring.Nehmen wir nun also an, dass R ein FGC-Ring ist. Nach Satz 1.5.17 hatR nur endlich viele minimale Primideale; sei minspec R = {P1, . . . , Pn}. In


Lemma 1.3.4 haben wir gezeigt, dass RM fur jedes maximale Ideal ein Bewer-tungsring ist. Dann bildet das Spektrum von RM eine Kette. Also existiertfur jedes maximale Ideal M von R nur ein i ≤ n mit Pi ⊆ M . Dies bedeutet,dass Pi+Pj = R fur i 6= j gilt, da Pi und Pj nicht beide in einem maximalenIdeal von R enthalten sind. Demnach sind die minimalen Primideale von Rpaarweise comaximal. Der Chinesische Restsatz (vgl. Lemma 1.6.4) besagt,dass dann

R/⋂

spec R = R/

n⋂i=1

Pi∼=

n∏i=1

R/Pi

gilt. Da⋂

spec R das Nilradikal ist, konnen orthogonale Idempotente vonR/

⋂spec R zu Idempotenten von R geliftet werden (vgl. Lemma 1.2.3). Al-

so ist R =∏n

i=1 Ri und, da R genau n minimale Primideale hat, ist jedesRi ein Ring mit eindeutig bestimmtem minimalen Primideal. Lemma 1.1.2besagt, dass dann auch jedes Ri ein FGC-Ring ist. Demnach bleibt zu zei-gen, dass ein FGC-Ring mit eindeutigem minimalen Primideal in einer derdrei angegebenen Klassen enthalten ist.Sei nun R ein FGC-Ring mit eindeutigem minimalen Primideal P . FallsR lokal ist, so ist R, nach Satz 1.2.10, ein fast-maximaler Bewertungsring.Wenn R kein Bereich ist, besagt Proposition 1.2.4, dass R ein maximalerBewertungsring ist. Wenn R ein Bereich ist, so ist R ein fast-maximaler Be-wertungsbereich und damit ein fast-maximaler Bezoutbereich.Sei nun R nicht lokal. Ist R ein Bereich, also P = {0}, so ist R nach Lem-ma 1.3.4 ein lokal fast-maximaler Bezoutbereich. In Satz 1.6.2 haben wirgezeigt, dass jedes Primideal ungleich Null von R in einem eindeutigen maxi-malen Ideal von R enthalten ist. Sei nun x ∈ R\{0}. Nach Lemma 1.1.2 (2)ist R/Rx wieder ein FGC-Ring und, nach Satz 1.5.17, ist minspec(R/Rx)endlich. Demnach existieren nur endlich viele Primideale von R, die minimalsind bezuglich der Eigenschaft, dass sie x enthalten. Jedes dieser Primidea-le ist in genau einem maximalen Ideal von R enthalten. Folglich ist x nurin endlich vielen maximalen Idealen von R enthalten und das bedeutet,dass R ein h-lokaler Bereich ist. Satz 1.1.18 besagt nun, dass ein lokal fast-maximaler, h-lokaler Bereich ein fast-maximaler Bereich ist. Damit ist Rauch in diesem Fall ein fast-maximaler Bezoutbereich.Sei nun R ein nicht lokaler FGC-Ring mit eindeutigem minimalen PrimidealP und P 6= {0}. Nach Satz 1.6.1 ist P ein uniserieller R-Modul und nachLemma 1.1.2 (2) ist R/P ein FGC-Bereich. Im letzten Abschnitt haben wirgezeigt, dass R/P dann ein h-lokaler Bereich ist und Lemma 1.3.4 besagt,dass R ein lokal fast-maximaler Bezoutring ist. Damit ist R in diesem Fallein Fackelring und somit ist der Beweis vollstandig.

Es gibt eine weitere auf R. Wiegand und S. Wiegand zuruckgehende Cha-rakterisierung (siehe [WW]):


Satz 1.6.6. Ein Ring R ist genau dann ein FGC-Ring, wenn R ein endlichesProdukt von Ringen Ri ist, die die folgenden vier Bedingungen erfullen:

(1) Ri hat ein eindeutiges minimales Primideal Pi,

(2) Pi ist ein uniserieller Ri-Modul,

(3) Ri/Pi ist ein h-lokaler Bezoutbereich,

(4) Ri ist ein lokal fast-maximaler Pruferring.

Beweis:Sei R ein FGC-Ring. Dann ist R nach Satz 1.6.5 ein endliches Produkt vonRingen, die den drei dort aufgefuhrten Klassen angehoren und man siehtleicht, dass jeder dieser Ringe die vier Bedingungen erfullt.Sei nun R ein Ring, der diese vier Bedingungen erfullt. Falls R lokal ist, istR ein fast-maximaler Bewertungsring nach Bedingung (4) und Satz 1.2.8besagt dann, dass R ein FGC-Ring ist.Wenn P = {0} gilt, so ist R nach den Bedingungen (3) und (4) und nachSatz 1.1.18 ein fast-maximaler Bezoutbereich. In Satz 1.3.6 haben wir ge-zeigt, dass R dann ein FGC-Ring ist.Betrachten wir nun den Fall, dass R nicht lokal ist und P 6= {0} gilt.Sei x ∈ R\P und p ∈ P . Fur jedes maximale Ideal M von R ist RM

ein Bewertungsring. Also gilt RMp ⊂ RMx, da ansonsten x ∈ P gel-ten wurde. Da dies fur jedes maximale Ideal von R gilt, ist nach Korol-lar 1.1.11 (1) Rp ⊂ Rx. Wir zeigen nun, dass R ein Bezoutring ist. Seihierzu I = 〈a1, . . . , an〉 ein endlich erzeugtes Ideal von R mit a1, . . . , ak ∈ Pund ak+1, . . . , an ∈ R\P . Wie eben gezeigt, ist dann I = 〈ak+1, . . . , an〉und 〈ak+1 + P, . . . , an + P 〉 ein Ideal von R/P . Da R/P nach Vorausset-zung ein Bezoutring ist, ist dieses Ideal zyklisch, d.h. es existiert ein a ∈ Rmit 〈a + P 〉 = 〈ak+1 + P, . . . , an + P 〉. Damit gilt dann I = 〈a〉, also ist Izyklisch. Hiermit genugt R der Definition eines Fackelrings und nach Satz1.4.4 ist R dann ein FGC-Ring.Damit haben wir gezeigt, dass jeder Ring, der die obigen vier Bedingungenerfullt ein FGC-Ring ist. Nach Lemma 1.1.2 (1) ist dann auch ein endlichesProdukt dieser Ringe ein FGC-Ring.

FGC-Ringe – Eindeutigkeit 52

1.7 Eindeutigkeit der Zerlegungen

In diesem Abschnitt wollen wir uns der Eindeutigkeit der Zerlegung einesendlich erzeugten Moduls uber einem FGC-Ring in zyklische Teilmodulnwidmen. Zunachst betrachten wir Zerlegungen in unzerlegbare Teilmoduln.

Satz 1.7.1. Sei R ein FGC-Ring und A ein endlich erzeugter R-Modul.Dann ist die Zerlegung von A in eine direkte Summe von unzerlegbaren,zyklischen Teilmoduln bis auf Isomorphie eindeutig.Dies bedeutet, falls

A =m⊕

i=1

Ai =n⊕

j=1

Bj

gilt, mit unzerlegbaren, zyklischen Teilmoduln Ai und Bj ungleich Null vonA, dann ist m = n und nach eventuellem Umnummerieren gilt Ai

∼= Bi furi = 1, . . . ,m.

Beweis:Nach Satz 1.6.5 ist R ein endliches Produkt von unzerlegbaren FGC-Ringen.Dementsprechend zerfallt A in eine direkte Summe. Also genugt es, unzer-legbare FGC-Ringe zu betrachten. Hierzu unterscheiden wir zwischen dendrei Klassen aus Satz 1.6.5.Sei zunachst R ein maximaler Bewertungsring. In Satz 1.2.12 haben wir ge-zeigt, dass die Zerlegung dann eindeutig ist.Sei nun R ein fast-maximaler Bezoutbereich. Wir bezeichnen den Torsions-teilmodul von A mit t(A). Dann ist A/t(A) ein endlich erzeugter torsions-freier R-Modul. Nach Lemma 1.3.3 ist A/t(A) frei. Sei nun A/t(A) ∼= Rd furein d ∈ N ∪ {0}. Dann gilt

A ∼= t(A)⊕A/t(A) ∼= t(A)⊕Rd.

Sei Q der Quotientenkorper von R. Dann ist d die Dimension des Q-Vektor-raums A⊗RQ und folglich unabhangig von der Zerlegung von A. Die Anzahlder Ai’s und Bj ’s, die isomorph zu R sind, ist also jeweils genau d.Nehmen wir nun also an, dass A ein Torsionsmodul ist. Nach Satz 1.1.18 istR h-lokal und nach Lemma 1.1.16 gilt dann

A =⊕

M∈mspec R

A(M)

mit A(M) = {x ∈ A : mspec(AnnR(x)) ⊆ {M}}. Da jedes Ai = Rai einunzerlegbarer R-Modul ist, konnen wir Lemma 1.1.14 anwenden. Sei hierzu{M1,M2} eine nicht triviale Partition von mspec(AnnR ai). Dann existierenN1 ∈M1, N2 ∈M2 und ein Primideal P , so dass

AnnR(ai) ⊆ P ⊆ N1 ∩N2


gilt. Da R h-lokal ist, muss N1 = N2 gelten. Also besteht mspec(AnnR ai) ausnur einem maximalen Ideal M und es ist Ai ⊆ A(M). Nach Korollar 1.1.17ist A(M) ein RM -Modul und damit ist auch Ai ein RM -Modul. Da A(M)unabhangig von der Zerlegung von A ist, konnen wir ohne Einschrankungannehmen, dass A = A(M) fur ein maximales Ideal M gilt. Da A(M) einRM -Modul ist und RM ein Bewertungsring ist, folgt die Eindeutigkeit derZerlegung aus Satz 1.2.12.Nun sei R ein Fackelring mit eindeutig bestimmtem minimalen PrimidealP . Nach Lemma 1.4.3 (7) existiert ein eindeutiges maximales Ideal M vonR mit PM

∼= P und PM ′ ∼= {0} fur alle M ′ ∈ mspec R\{M}. Sei nun I einIdeal von R. Dann ist nach Lemma 1.1.10

I =⋂

M ′∈mspec R

ICM ′ .

Falls I ⊆ P gilt, so folgt aus PM ′ ∼= {0} fur jedes M ′ ∈ mspec R\{M}, dassIM ′ ∼= {0} und damit IC

M ′ = P fur jedes M ′ ∈ mspec R\{M} gilt. Dann istI = IC

M . Folglich ist die Abbildung, die jedem Ideal von R, das in P enthaltenist, die Lokalisierung an M zuordnet, bijektiv von {I : I ist Ideal von R, I ⊆P} auf {J : J ist Ideal von RM , J ⊆ PM}.Wir betrachten nun AM . Da RM ein Bewertungsring ist, ist die Zerlegungvon AM in eine direkte Summe von zyklischen RM -Teilmoduln nachSatz 1.2.12 eindeutig. Aufgrund obiger Bijektion, sind die Summanden vonA, die isomorph zu R/I mit I ⊆ P sind, unabhangig von der Zerlegung.Falls nun I ein Ideal von R mit I * P ist, so gilt nach Lemma 1.4.3 (5)P ( I. In der Zerlegung von A ist die Summe der zyklischen Summanden,die isomorph zu R/I mit P ( I sind, isomorph zum R/P -Torsionsteilmodulvon A/PA. R/P ist ein fast-maximaler Bezoutbereich und, wie wir bereitsgezeigt haben, ist die Zerlegung uber diesem eindeutig.Damit haben wir gezeigt, dass die Zerlegung in jedem Fall eindeutig ist.

Fur FGC-Bereiche konnen wir noch eine starkere Variante beweisen.

Satz 1.7.2. Sei R ein FGC-Bereich und A ein endlich erzeugter R-Modul.Dann existieren m, n ∈ N ∪ {0}, paarweise verschiedene {M1, . . . ,Mm} ⊆mspec R, {k1, . . . , km} ⊂ N und eine Familie {Iij : j = 1, . . . ,m; i =1, . . . , kj} von Idealen von R, so dass {0} 6= I1j ⊆ I2j ⊆ · · · ⊆ Ikjj ⊆ Mj,mspec(Iij) = {Mj} und

A ∼= Rn ⊕

m⊕j=1

kj⊕i=1

R/Iij

gilt. Desweiteren ist diese Zerlegung im folgenden Sinn eindeutig:


Falls auch

A ∼= Rn′ ⊕

m′⊕j=1

k′j⊕i=1

R/I ′ij

mit {0} 6= I ′1j ⊆ I ′2j ⊆ · · · ⊆ I ′k′jj ⊆ M ′

j und mspec(I ′ij) = {M ′j} gilt, so ist

m = m′, n = n′ und nach eventuellem Umnummerieren von {M ′1, . . . ,M

′m′}

gilt Mj = M ′j, kj = k′j und Iij = I ′ij fur alle i, j.

Beweis:Nach Satz 1.6.5 ist R genau dann ein FGC-Bereich, wenn R ein fast-maximalerBezoutbereich ist. Sei nun A ein endlich erzeugter R-Modul. Im Beweis vonSatz 1.7.1 haben wir gezeigt, dass

A ∼= Rn ⊕

m⊕j=1

A(Mj)

fur paarweise verschiedene {M1, . . . Mm} ⊆ mspec R gilt. Fur jedes j ≤ mist

A(Mj) ∼=kj⊕

i=1

R/Iij

mit mspec(Iij) = {Mj}. Desweiteren gilt fur jedes 1 ≤ i ≤ kj und M ∈mspec R\{Mj}, dass (Iij)M

∼= RM . Nach Korollar 1.1.11 (1) ist genau dannIij ⊆ Ii′j , wenn (Iij)Mj ⊆ (Ii′j)Mj gilt. RMj ist ein Bewertungsbereich unddemnach sind Iij und Ii′j vergleichbar fur alle i, i′ ≤ kj . Nach einem even-tuellem Umnummerieren konnen wir annehmen, dass

{0} 6= I1j ⊆ I2j ⊆ · · · ⊆ Ikjj ⊆ Mj

gilt. Also existiert eine solche Zerlegung.Da R ein Bereich ist, ist R ein unzerlegbarer R-Modul und nachLemma 1.1.14 folgt aus mspec(Iij) = {Mj}, dass R/Iij ein unzerlegbarer R-Modul ist. Also sind alle Summanden in dieser Zerlegung von A unzerlegbareR-Moduln. Nach Satz 1.7.1 ist die Zerlegung dann eindeutig im gewunschtenSinne.

Nun betrachten wir kanonische Zerlegungen; dazu fuhren wir folgende No-tationen ein:

Definition 1.7.3. Wir sagen, ein Modul A ist Σ-zyklisch, falls A die direkteSumme von zyklischen Moduln ist.Desweiteren nennen wir A ΣCF -zyklisch, falls A Σ-zyklisch ist und

A ∼= R/I1 ⊕ · · · ⊕R/In

mit I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In 6= R gilt.


Diese Darstellung wird oft auch als kanonische Form bezeichnet, daher derIndex CF (canonical form). Wir wollen uns nun zunachst mit der Eindeu-tigkeit einer solchen Zerlegung beschaftigen.

Lemma 1.7.4. Sei A ein ΣCF -zyklischer R-Modul und

A ∼=n⊕

i=1

R/Ii∼=

m⊕i=1

R/Ji

mit Idealen I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In 6= R und J1 ⊆ J2 ⊆ · · · ⊆ Jm 6= R.Dann gilt n = m und Ii = Ji fur alle i ≤ n.

Beweis:Als erstes zeigen wir, dass n = m gilt. Hierzu nehmen wir ohne Einschrankungan, dass n ≥ m gilt. Sei nun M ein maximales Ideal von R, welches In undsomit Ii fur alle i ≤ n enthalt. Dann ist R/M ein Korper und die ersteZerlegung impliziert, dass

A/MA ∼= (R/M)n

gilt. Falls Jm * M gilt, so ist

M(R/Jm) = (M + Jm/Jm) = R/Jm

und damit folgt aus der zweiten Zerlegung

A/MA ∼= (R/M)k

mit k ≤ m. Da die Dimension des Vektorraums eindeutig ist, folgt n = k ≤m und damit n = m.Im folgenden fuhren wir nun einen Widerspruchsbeweis durch, um die Gleich-heit der Ideale zu zeigen.Sei dazu k ≤ n minimal mit Ik 6= Jk. Wir nehmen ohne Einschrankung an,dass Ik\Jk 6= ∅ gilt. Sei nun r ∈ Ik\Jk. Fur ein Ideal I von R gilt genaudann r(R/I) = 0, wenn r ∈ I gilt. Folglich erhalten wir, dass

rA ∼=n⊕

i=1

r(R/Ii) =k−1⊕i=1

r(R/Ii)

aus hochstens k − 1 Summanden besteht. Wir erhalten aber auch, dass

rA ∼=n⊕

i=1

r(R/Ji),

wegen r /∈ Ji fur alle i ≤ k, aus mindestens k Summanden besteht. Diesist ein Widerspruch, da wir bereits gezeigt haben, dass die Anzahl von zyk-lischen Summanden bei solchen Zerlegungen ubereinstimmen muss. Daraus


folgt nun Ii = Ji fur alle i ≤ n und somit ist der Beweis vollstandig.

Abschließend zeigen wir nun, dass die in unserem Fall betrachteten endlicherzeugten Moduln ΣCF -zyklisch sind.

Satz 1.7.5. Sei R ein FGC-Ring und A ein endlich erzeugter R-Modul.Dann ist A ΣCF -zyklisch und die entsprechende Zerlegung ist eindeutig.

Beweis:Die Eindeutigkeit folgt aus Lemma 1.7.4. Wir mussen uns also nur um dieExistenz einer solchen Zerlegung kummern. Hierzu betrachten wir zunachstwieder die drei Klassen von Ringen aus Satz 1.6.5.Sei R zuerst ein maximaler Bewertungsring. Nach Satz 1.7.1 ist A eine direk-te Summe von unzerlegbaren zyklischen Moduln der Form R/I mit einemIdeal I von R. Da R ein Bewertungsring ist, gilt nach einem eventuellemUmnummerieren

I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In.

Also ist A ΣCF -zyklisch.Sei nun R ein fast-maximaler Bezoutbereich. Nach Satz 1.7.2 ist

A ∼= Rn ⊕

m⊕j=1

kj⊕i=1

R/Iij

mit {0} 6= I1j ⊆ I2j ⊆ · · · ⊆ Ikjj ⊆ Mj und mspec(Iij) = {Mj}. Seir = max{kj : j = 1, . . . ,m} und Iij = R fur kj < i ≤ r. Falls nun I und JIdeale mit mspec(I)∩mspec(J) = ∅ sind, so sind I und J comaximal. Danngilt nach dem Chinesischen Restsatz (Lemma 1.6.4)

R/I ⊕R/J ∼= R/(I ∩ J)

und offensichtlich

mspec(I ∩ J) = mspec(I) ∪mspec(J).

Also istA ∼= R/I1 ⊕ · · · ⊕R/In+r

mit I1 = · · · = In = {0} und In+i =⋂m

j=1 Iij fur i = 1, . . . , r. Damit ist Aauch in diesem Fall ΣCF -zyklisch.Nehmen wir nun als letztes an, dass R ein Fackelring mit minimalem Prim-ideal P ist. Nach Satz 1.7.1 ist

A = R/I1 ⊕ · · · ⊕R/In ⊕ T,

wobei I1 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ P fur j = 1, . . . , n gilt, da P ein uniserieller R-Modulist und T ist eine direkte Summe von zyklischen Moduln der Form R/I mit


I * P . Nach Lemma 1.4.3 (5) ist dann P ( I und daher ist T ein endlich er-zeugter R/P -Modul. R/P ist ein fast-maximaler Bezoutbereich und folglichist T nach dem eben Gezeigten ΣCF -zyklisch als R/P -Modul. Die zugehori-ge Zerlegung entspricht einer solchen Zerlegung als R-Modul. Damit habenwir gezeigt, dass A ΣCF -zyklisch ist.Wir haben insgesamt also gezeigt, dass uber jedem unzerlegbaren FGC-Ring A ΣCF -zyklisch ist. Jeder FGC-Ring ist ein endliches Produkt solcherunzerlegbaren FGC-Ringe und A zerfallt dementsprechend in eine direkteSumme, wobei jeder Summand ΣCF -zyklisch ist. Die entsprechenden Zerle-gungen kann man, wie im Fall der Bezoutbereiche, zu einer Zerlegung vonA kombinieren, so dass A ΣCF -zyklisch ist: Jeder zyklische Summand vonA ist isomorph zu R/I mit I = Ij ×

∏i6=j Ri, wobei Ij ein Ideal von Rj ist.

Falls I ′ ein weiteres Ideal von R mit I ′ = Ik×∏

i6=k Ri und k 6= j ist, so sindI und I ′ comaximal. Der Chinesische Restsatz (1.6.4) besagt, dass dann

R/I ⊕R/I ′ ∼= R/(I ∩ I ′)

gilt. Damit ist A auch im allgemeinen Fall ΣCF -zyklisch.

2 Geschachtelte Basen fur endlich erzeugteModuln uber FGC-Ringen

In diesem Kapitel wollen wir uns mit dem Satz uber geschachtelte Basen furendlich erzeugte Moduln uber FGC-Ringen beschaftigen. Entsprechend derCharakterisierung von FGC-Ringen im vorigen Kapitel werden wir einigeAussagen separat fur die jeweilige Klasse von unzerlegbaren FGC-Ringenbeweisen und diese dann auf die Produkte erweitern.Ursprunglich ist der Begriff ”geschachtelte Basen“ im Zusammenhang mitabelschen Gruppen aufgetreten; es gilt: Wenn H eine Untergruppe einerendlich erzeugten freien abelschen Gruppe F ist, dann besitzt F eine Ba-sis {x1, . . . , xk}, so dass fur geeignete nicht negative ganze Zahlen ni mitn1|n2| . . . |nk, die Menge der Vielfachen {n1x1, . . . , nkxk} eine Basis von Hist (siehe [F, Lemma 15.4]). Insbesondere ist

F/H ∼=k⊕

i=1

Z/niZ

dann eine direkte Summe von zyklischen Gruppen, was aber ohnehin furjede endlich erzeugte abelsche Gruppe gilt.Die entsprechende Aussage gilt naturlich auch fur endlich erzeugte freie Mo-duln uber Hauptidealbereichen. Aufgrund der Natur von FGC-Ringen istes vielversprechend diese Fragestellung auch fur endlich erzeugte Modulnuber FGC-Ringen zu untersuchen. Diese Frage werden wir in diesem Kapi-tel untersuchen und dabei eine befriedigende Antwort fur eine große Klassevon FGC-Ringen erhalten, wobei wir uns an der Vorgehensweise von Levyin [L2] orientieren. Dabei muss der Begriff der geschachtelten Basen jedochgeeignet abgewandelt werden..

Definition 2.0.1. Sei R ein kommutativer Ring, M ein endlich erzeugterprojektiver Modul und N ein Teilmodul von M .Wir sagen M und N besitzen geschachtelte Basen, wenn Zerlegungen der Form

M = M1 ⊕ · · · ⊕Mn,

N = J1M1 ⊕ · · · ⊕ JnMn,

existieren, wobei jedes Mi ein zyklischer R-Modul ist und J1, . . . , Jn eindeutigbestimmte Ideale von R mit J1 ⊆ · · · ⊆ Jn sind.

Wir werden spater sehen, dass in unserem Fall M frei ist und

M/N ∼=n⊕

i=1

R/Ji

gilt, das heißt, dass M/N ΣCF -zyklisch ist.

Geschachtelte Basen – Liften 59

2.1 Liften von Zerlegungen

Ein wesentlicher Baustein fur den Beweis des Satzes uber geschachtelte Ba-sen ist das Liften bestimmter Zerlegungen von epimorphen Bildern auf dasUrbild. In diesem Abschnitt beweisen wir, dass dieses Liften in bestimmtenFallen auch moglich ist (siehe Satz 2.1.10). Dazu benotigen wir vorab eineVielzahl von Definitionen und anderen Resultaten.

Definition 2.1.1. Sei R ein beliebiger Ring.

(1) Fur einen Modul U heißt der Teilmodul

radU :=⋂{M ⊆ U |M maximaler Teilmodul}

das Radikal von U .

(2) Ein endlich erzeugter R-Modul U heißt semi-primar, wenn ein zweiseitigesIdeal J mit J(U/ radU) = 0 existiert und R/J artinsch ist, d.h. alleabsteigenden Ketten von Idealen von R/J brechen ab.

(3) Ein Ring R heißt semi-primar, wenn RR ein semi-primarer Modul ist.

(4) Ein R-Modul U heißt genau dann semi-einfach, wenn jeder Teilmodul vonU ein direkter Summand von U ist.

(5) Ein Ring R heißt semi-einfach, falls der entsprechende Modul RR semi-einfach ist.

Wir wollen nun einige nutzliche und leicht zu beweisende Aussagen, die imZusammenhang mit den obigen Definitionen stehen, zusammenstellen.

Lemma 2.1.2.

(1) Seien U und M R-Moduln und f : U → M ein Homomorphismus.Dann gilt

(radU)f ⊆ radM.

(2) Sei M =⊕

i∈I Mi eine direkte Summe von R-Teilmoduln.Dann ist

radM =⊕i∈I

radMi.

Beweis: Fur den Beweis von (1) siehe [AF, Proposition 9.14] und fur denBeweis von (2) siehe [AF, Proposition 9.19].


Bemerkung 2.1.3. Bei der Definition von semi-primar (2.1.1 (2) kannohne Einschrankung J = AnnR(U/ radU) gewahlt werden, da fur jedes J ausder Definition J ⊆ AnnR(U/ radU) gilt und somit folgt aus R/J artinschauch R/ AnnR(U/ radU) artinsch. Mit anderen Worten, U ist genau dannsemi-primar, wenn R/ AnnR(U/ radU) artinsch ist.

Lemma 2.1.4. Sei R ein kommutativer Ring.

(1) R ist genau dann semi-primar, wenn R semi-lokal ist.

(2) Jeder endlich erzeugte Modul uber einem semi-primaren Ring ist semi-primar.

Beweis: Der Beweis von (1) folgt leicht aus [Fac, Lemma 1.12] und der Be-weis von (2) aus [Fac, Lemma 1.3].

Als nachstes beweisen wir einige Aussagen uber semi-primare und projektiveModuln. Wir zeigen als erstes, dass epimorphe Bilder und Summen von semi-primaren Moduln wieder semi-primar sind.

Proposition 2.1.5.

(1) Jedes epimorphe Bild eines semi-primaren Moduls ist semi-primar.

(2) Seien U1, . . . , Un semi-primare Teilmoduln eines Moduls. Dann ist auchU1 + · · ·+ Un semi-primar.

Beweis:(1): Sei U ein semi-primarer R-Modul, V ein beliebiger R-Modul und f :U → V ein Epimorphismus. Dann ist zum einen R/J fur J = Ann(U/ radU)artinsch und zum anderen gilt (radU)f ⊆ radV (siehe Lemma 2.1.2 (1)).Wir erhalten also einen induzierten Epimorphismus f : U/ radU → V/ radVund es gilt

J(V/ radV ) = J(U/ radU)f = (J(U/ radU))f = 0,

d.h. V ist ebenfalls semi-primar.

(2): Um zu zeigen, dass die Summe von n semi-primaren Teilmoduln wiedersemi-primar ist, genugt es, dies fur n = 2 zu beweisen, da die Behauptungdann induktiv folgt. Desweiteren reicht es zu zeigen, dass U = U1⊕U2 semi-primar ist, da U1 + U2 epimorphes Bild von U ist.Betrachten wir also nun U = U1⊕U2 und nehmen an, dass U1 und U2 semi-primar sind. Dann sind R/J1, R/J2 mit Ji = AnnR(Ui/ radUi)(i = 1, 2)artinsch und somit ist auch R/J1 ⊕R/J2 artinsch. Desweiteren gilt

radU = radU1 ⊕ radU2


(siehe Lemma 2.1.2 (2)) und folglich erhalten wir

U/ radU ∼= U1/ radU1 ⊕ U2/ radU2.

Sei nun J = J1 ∩ J2. Dann gilt J(U/ radU) = 0 und durch

r + J → (r + J1, r + J2)

wird ein Monomorphismus von R/J nach R/J1⊕R/J2 definiert. Folglich istR/J ebenfalls artinsch und damit U semi-primar.

Im folgenden Lemma stellen wir einige einfache Aussagen zusammen, diewir fur den Beweis der nachsten Proposition benotigen.

Lemma 2.1.6.

(1) Sei U ein R-Modul. Dann gilt U radR ⊆ radU .

(2) Sei M ein endlich erzeugter R-Modul.Dann ist M/ radM endlich erzeugt und radM ist klein in M , d.h. furjeden Teilmodul L von M impliziert radM +L = M , dass L = M gilt.

(3) Ein Modul uber einem semi-einfachen Ring ist ebenfalls semi-einfach.

(4) Ein endlich erzeugter semi-einfacher Modul ist artinsch.

(5) Sei M ein artinscher R-Modul und radM = 0.Dann ist M semi-einfach.

(6) Seien A und B R-Moduln, M ein artinscher R-Modul und M ⊕ A ∼=M ⊕B. Dann gilt A ∼= B.

Beweis: Fur den Beweis von (2),(3),(4) und (5) siehe [AF, Satz 10.4, Pro-position 13.9, Proposition10.15]. In [Fai, Satz 8.D] wird (6) gezeigt und (1)wird in [Fac, Lemma 1.3] bewiesen.

Proposition 2.1.7. Sei f : M = P ⊕N → U ein R-Modul-Epimorphismusmit P projektiv und U semi-primar. Desweiteren existiere ein Epimorphis-mus von P auf U .Dann gibt es einen Homomorphismus φ : P → N , so dass (P (1 + φ))f = Ugilt.

Beweis:Seien P,N, U und f wie in den Voraussetzungen der Proposition. Zunachstbetrachten wir den Fall, dass P,N und U semi-einfach sind.Seien P1 = P ∩ Ker f , N3 = N ∩ Ker f und P = P1 ⊕ P2, N = N ′ ⊕ N3

entsprechende Zerlegungen von P und N , welche wegen der Semi-Einfachheit


von P und N existieren.Desweiteren seien V = Pf = P2f und W ′ = Nf = N ′f . Da U = (P⊕N)f =V + W ′ gilt und alle beteiligten Moduln semi-einfach sind, erhalten wir einW ⊆ W ′, so dass

U = V ⊕W (W ′ = W ⊕ (V ∩W ′))

gilt. Nun zerlegen wir auch noch N ′: Sei N2 = N ′ ∩Wf−1 und sei N1 einKomplement von N2 in N ′, d.h. N ′ = N1 ⊕ N2 und N2f = W (⊆ W ′ =Nf = N ′f). Insgesamt haben wir also folgende Situation:

M = P1 ⊕ P2 ⊕N1 ⊕N2 ⊕N3

f

? ? ? ? ?U = 0 ⊕ V ⊕ W ⊕ 0

wobei f Isomorphismen von P2 auf V und von N2 auf W induziert.Nach Voraussetzung existiert ein Epimorphismus π : P � U und, da Psemi-einfach ist, gilt P = Kerπ⊕P ′ fur ein P ′ ⊆ P mit P ′ ∼= P/ Ker π ∼= U .U ist nach Voraussetzung semi-primar, also insbesondere endlich erzeugt.Damit ist auch V endlich erzeugt und wir konnen Lemma 2.1.6 (4) und (6)auf

V ⊕W ⊕Ker π ∼= U ⊕Ker π ∼= P ∼= P1 ⊕ P2∼= V ⊕ P1

anwenden. Folglich gilt P1∼= W ⊕ Ker π, d.h. W ist zu einem direkten

Summanden von P1 isomorph.Außerdem gilt W ∼= N2, folglich existiert ein Epimorphismus φ : P1 → N2.Wir setzen φ zu einem Homomorphismus φ : P → N2 ⊆ M durch φ � P2 := 0fort und erhalten, dass (1P + φ) eine Abbildung von P nach M mit

(P (1P + φ))f = (P ⊕N2)f = V ⊕W = U

ist. Damit ist die Aussage der Proposition fur den Fall P,N, U semi-einfachbewiesen.Seien nun P,N und U beliebig mit P projektiv und U semi-primar. Wirwerden diesen allgemeinen Fall auf den semi-einfachen Fall zuruckfuhren.Zunachst zeigen wir, dass wir ohne Einschrankung radU = 0 annehmenkonnen:Sei ν der kanonische Epimorphismus von U auf U/ radU und wir nehmenan, dass ein Homomorphismus φ : P → N existiert mit (P (1P + φ))fν =U/ radU . Wir zeigen, dass dann auch (P (1P + φ))f = U gilt. Es ist

radU + (P (1P + φ))fν ∼= U

und da (P (1P + φ))fν in (P (1P + φ))f eingebettet werden kann, gilt auch

radU + (P (1P + φ))f = U.


Mit Hilfe von Lemma 2.1.6 (2) erhalten wir (P (1P +φ))f = U . Also konnenwir ohne Einschrankung annehmen, dass radU = 0 gilt.Sei nun I = AnnR U und seien P = P/IP , N = N/IN und νP : P → P ,νN : N → N die entsprechenden kanonischen Epimorphismen. Wegen

(Ker(νP ⊕ νN ))f = (IP ⊕ IN)f ⊆ IU = 0

existiert ein Epimorphismus f : P ⊕ N → U mit f = (νP ⊕ νN )f (sieheDiagramm am Ende des Beweises).Wir betrachten nun P , N und U als Moduln uber dem Ring R/I, wel-cher artinsch ist, da U nach Voraussetzung semi-primar ist. Desweiterengilt rad(R/I) = 0 (in R/I), denn nach Lemma 2.1.6 (1) gilt U rad(R/I) ⊆radU = 0, d.h. es ist rad(R/I) ⊆ I = 0 in R/I. Lemma 2.1.6 (5) besagt,dass R/I dann semi-einfach ist und nach Lemma 2.1.6 (3) sind auch P , Nund U semi-einfache R/I-Moduln.Aus dem ersten Teil unseres Beweises folgt also, dass ein Homomorphismusφ : P → N mit

(P (1P + φ))f = U

existiert; dabei sei angemerkt, dass ein Epimorphismus von P auf U naturlicheinen Epimorphismus von P auf U induziert. Da P projektiv und νN einEpimorphismus ist, existiert ein φ : P → N mit φνN = νP φ.

P

��

��

��

+

φ

?

νP φ

N νN - N → 0

Dann kommutiert das folgende Diagramm:

P νP - P

1P +φ

? ?

1P +φ

P ⊕N νP⊕νN - P ⊕ N

f

? ��

��

��

+f

U

Also gilt(P (1P + φ))f = (P (1P + φ))f = U

und damit ist der Beweis vollstandig.

Bevor wir uns dem Liften von Zerlegungen widmen, benotigen wir nocheinige Lemmata.


Lemma 2.1.8. Sei f : N ⊕ P → A ein R-Modul-Epimorphismus mit Pprojektiv und Nf = A.Dann gibt es einen Homomorphismus φ : P → N mit (P (1P + φ))f = 0.

Beweis:Da P projektiv ist, existiert ein φ : P → N , so dass das Diagramm

P

��

��

��

+

−φ

?

f

Nf - A→ 0

kommutiert. Dann gilt, f �P = −φf . Also ist (P (1P + φ))f = 0.

Lemma 2.1.9. Sei M = A⊕B und φ : A → B ein Homomorphismus.Dann gelten M = A(1A + φ)⊕B und A ∼= A(1A + φ).

Beweis:Um zu zeigen, dass M = A(1A +φ)+B gilt, sei m ∈ M . Dann ist m = a+ bmit a ∈ A und b ∈ B und damit m = a + aφ − aφ + b, wobei b − aφ =: bwieder in B enthalten ist, also gilt

m = a(1A + φ) + b ∈ A(1A + φ) + B.

Dass A(1A + φ) + B ⊆ M gilt, ist klar.Um zu zeigen, dass die Summe direkt ist, sei x ∈ A(1A + φ) ∩ B. Dann istx = a + aφ = b, also a = b− aφ ∈ A ∩B. Damit ist a = 0, also auch aφ = 0und somit x = 0.Außerdem gilt

A ∼= A(1A + φ),

denn die Abbildung a → a + aφ ist ein Monomorphismus: Es ist a + aφ = 0genau dann, wenn a = −aφ ∈ A ∩B, also a = 0 gilt.

Wir beweisen nun den Satz uber das Liften von Zerlegungen. Im folgendenAbschnitt werden wir die Voraussetzungen dieses Satzes fur die drei Klassenvon unzerlegbaren FGC-Ringen verifizieren und mit dessen Hilfe den Satzuber geschachtelte Basen beweisen.

Satz 2.1.10. Sei f : M = M1⊕· · ·⊕Mn → U = U1 + · · ·+Un ein Epimor-phismus mit Mi projektiv und Ui semi-primar fur alle i ≤ n. Desweiterenexistiere fur jedes i ein Epimorphismus von Mi auf Ui.Dann existiert eine Zerlegung M = M ′

1 ⊕ · · · ⊕ M ′n mit M ′

if = Ui undM ′

i∼= Mi.


Beweis:Es genugt, die Behauptung fur n = 2 zu zeigen, denn es ist

f : M1 ⊕ (M2 ⊕ · · · ⊕Mn) → U1 + (U2 + · · ·+ Un),

wobei M2⊕· · ·⊕Mn projektiv und U2 + · · ·+Un nach Proposition 2.1.5 (2)ebenfalls semi-primar sind. Die Behauptung folgt dann induktiv.Seien also M = M1 ⊕M2 und U = U1 + U2. Desweiteren seien U1 := U/U2

und ν der kanonische Epimorphismus von U auf U1. Nach Proposition 2.1.5(1) ist U1 semi-primar. Dann ist fν : M1 ⊕ M2 � U1 und es existiert einEpimorphismus von M1 auf U1:

M1 � U1 � U1/(U1 ∩ U2) ∼= (U1 + U2)/U2 = U/U2 = U1.

Also kann Proposition 2.1.7 angewendet werden. Es existiert demnach einHomomorphismus φ : M1 → M2, so dass

M1(1M1 + φ)fν = U1

gilt. Nach Lemma 2.1.9 ist

M1(1M1 + φ) ∼= M1 und M = M1(1M1 + φ)⊕M2.

Wir bezeichnen M1(1M1 + φ) =: M ′1. Dann gilt M ′

1fν = U1. NachLemma 2.1.8 gibt es einen Homomorphismus φ′ : M2 → M ′

1 mit

M2(1M2 + φ′)fν = 0.

Setze M2(1M2 + φ′) =: M ′2. Dann ist M ′

2∼= M2 und M = M ′

1⊕M ′2. Deswei-

teren gilt M ′2fν = 0, d.h. M ′

2f ⊆ U2.Als nachstes betrachten wir

f : (U2)f−1 = M ′2 ⊕ ((U2)f−1 ∩M ′

1) � U2.

Hierbei bezeichnet (U2)f−1 das Urbild von U2 in M . Nach Voraussetzungexistiert ein Epimorphismus von M2 auf U2, also auch von M ′

2 auf U2, daM2

∼= M ′2 ist. Dann kann wieder Proposition 2.1.7 angewendet werden und

M ′2 durch einen isomorphen Modul M ′′

2 ersetzt werden, so dass M ′′2 f = U2,

M ′′2∼= M2 und M = M ′

1 ⊕M ′′2 gelten.

Sei U2 := U/U1 und µ der kanonische Epimorphismus von U auf U2. Ebensowie oben ist fµ : M ′

1 ⊕M ′′2 � U2 und es existiert ein Epimorphismus von

M ′′2 auf U2. Nach Proposition 2.1.7 und Lemma 2.1.9 existiert ein Homomor-

phismus φ, so dass M ′′2 durch einen isomorphen Modul M2 := M ′′

2 (1M ′′2

+ φ)ersetzt werden kann und M2fµ = U2 ist. Nach Lemma 2.1.8 kann wiederumM ′

1 durch einen isomorphen Modul M ′′1 ersetzt werden, so dass M ′′

1 fµ = 0,d.h. M ′′

1 f ⊆ U1 gilt. Betrachtet man dann analog zu oben

f : (U1)f−1 = M ′′1 ⊕ ((U1)f−1 ∩ M2) � U1,


so kann M ′′1 durch einen isomorphen Modul M1 ersetzt werden mit M1f =

U1. Dann ist

M = M1 ⊕ M2 = M1 ⊕M ′′2 (1M ′′

2+ φ) = M1 ⊕M ′′

2

mit M1∼= M1, M2

∼= M ′′2 und (M1)f = U1, (M ′′

2 )f = U2, womit der Beweisbeendet ist.

Geschachtelte Basen – unzerlegbare FGC-Ringe 67

2.2 Geschachtelte Basen fur unzerlegbare FGC-Ringe

In diesem Abschnitt werden wir den Satz uber geschachtelte Basen fur maxi-male Bewertungsbereiche, fast-maximale Bezoutbereiche und semi-lokaleFackelringe beweisen. Es ist uns nicht gelungen, diesen Satz auch fur be-liebige Fackelringe zu beweisen. Diese Einschrankung ist jedoch nicht uber-raschend, da sowohl von Fuchs und Lee in [FL] die Voraussetzung gemachtwurde, dass der Pruferbereich h-lokal ist, als auch von Levy in [L2] gefordertwurde, dass der Pruferbereich endlichen Charakter hat, wobei ”endlicherCharakter“ eine Abschwachung von h-lokal ist. Im Fall von Integritatsberei-chen ist semi-lokal eine etwas starkere Forderung als endlicher Charakter. ImFall von Ringen mit Nullteilern kann man den Begriff ”endlicher Charakter“jedoch so verallgemeinern, dass er aquivalent zu semi-lokal ist.

Wir zeigen nun als erstes, dass jeder endlich erzeugte, projektive Modul ubereinem unzerlegbaren FGC-Ring frei ist. Dies gilt auch fur nicht semi-lokaleFackelringe. Hierzu betrachten wir die drei Klassen von Ringen getrennt. Wirnehmen zuerst an, dass R ein Bewertungsring oder allgemeiner ein lokalerRing ist.

Proposition 2.2.1. Sei R ein lokaler Ring und M ein endlich erzeugter,projektiver R-Modul. Dann ist M frei.

Beweis:Sei J das maximale Ideal von R. Dann ist R/J ein Korper und J entsprichtdem Jacobson-Radikal von R. M/JM ist ein endlich erzeugter Vektorraumuber R/J . Also existieren m1 + JM, . . . , mn + JM mit

M/JM = (R/J)(m1 + JM)⊕ · · · ⊕ (R/J)(mn + JM).

Dann ist M = 〈m1, . . . ,mn〉 + JM und Nakayamas Lemma (1.2.7) besagt,dass dann

M = 〈m1, . . . ,mn〉

gilt.Sei nun

∑ni=1 rimi = 0. Dann muss ri ∈ J gelten fur alle i ≤ n. Definiere

nun einen Epimorphismus π : Rn =⊕n

i=1 Rei → M mit eiπ = mi. Damitist die folgende Sequenz exakt

0 → Ker π → Rn π→ M → 0

und es gilt Rn ∼= M⊕Ker π, da M projektiv ist. Also existiert ein projektivesM ′ ∼= M mit

Rn = M ′ ⊕Ker π.

Es ist∑n

i=1 riei ∈ Ker π genau dann, wenn∑n

i=1 rimi = 0 gilt. Danngilt aber ri ∈ J fur alle i ≤ n, das bedeutet, es gilt Kerπ ⊆ JRn. Da


Rn = M ′ ⊕Ker π gilt, ist auch Rn = M ′ + JRn und nach Nakayamas Lem-ma (1.2.7) gilt dann Rn = M ′ ∼= M . Hiermit haben wir gezeigt, dass M freiist.

Wir wollen als nachstes beweisen, dass auch uber Fackelringen jeder endlicherzeugte, projektive Modul frei ist. Dazu betrachten wir zunachst zyklischeprojektive Moduln uber beliebigen kommutativen Ringen.

Proposition 2.2.2. Sei R ein kommutativer Ring.R besitzt genau dann ein nichttriviales Idempotent, wenn ein projektiverzyklischer R-Modul existiert, der nicht frei ist.

Beweis:Sei zuerst {0} 6= M ein projektiver, zyklischer R-Modul, der nicht frei ist.Da M ein epimorphes Bild von R ist, gilt R = M ′ ⊕ C fur M ′, C ⊆ R undM ′ ∼= M . Wir nehmen ohne Einschrankung M = M ′ an. Es existieren c ∈ Cund m ∈ M mit 1 = m + c. Also ist

m = 1m = m2 + cm = m2,

da cm ∈ C ∩M = {0} gilt. Damit ist m ein Idempotent von R. Da M 6= {0}gilt und M nicht frei ist, ist m 6= 0 und m 6= 1.Nun nehmen wir an, dass R ein nichttriviales Idempotent m besitzt. Danngilt Rm ( R und m(1−m) = 0. Es ist

Rm⊕R(1−m) = R,

denn falls x ∈ Rm ∩ R(1 − m) gilt, so ist x = rm = r′(1 − m) und damiteinerseits

xm = rm2 = rm = x,

aber andererseitsxm = r′(1−m)m = 0,

also x = 0. Damit haben wir gezeigt, dass Rm ein zyklischer, projektiverR-Modul ist, der nicht frei ist.

Lemma 2.2.3. Sei R ein Fackelring.Dann besitzt R nur die beiden trivialen Idempotente 1 und 0.

Beweis:Sei R ein Fackelring mit minimalem Primideal P . Dann gilt nachLemma 1.4.3 (5) P 2 = {0}. Sei nun π ein Idempotent von R. Dann istπ(1−π) = 0 ∈ P und damit gilt π ∈ P oder (1−π) ∈ P , da P ein Primidealist.Sei zuerst angenommen, dass π ∈ P gilt. Dann ist π = π2 = 0, da P 2 = {0}


gilt.Falls andererseits (1− π) ∈ P gilt, ist

0 = (1− π)2 = 1− 2π + π2 = 1− π

und damit π = 1.

Hiermit folgt unmittelbar

Korollar 2.2.4. Sei R ein Fackelring und M ein projektiver, zyklischerR-Modul. Dann ist M frei.

Wir konnen nun beweisen:

Proposition 2.2.5. Sei R ein unzerlegbarer FGC-Ring.Dann ist jeder endlich erzeugte projektive R-Modul frei.

Beweis:In Satz 1.6.5 haben wir gezeigt, dass jeder unzerlegbare FGC-Ring ein Be-wertungsring, ein Bezoutbereich oder ein Fackelring ist. Fur Bewertungs-ringe und Bezoutbereiche haben wir in Proposition 2.2.1 und Proposition1.3.3 gezeigt, dass endlich erzeugte, projektive Moduln frei sind.Sei nun R ein Fackelring und M ein endlich erzeugter, projektiver R-Modul.Dann ist

M =n⊕

i=1

Mi,

wobei Mi fur jedes i ≤ n ein projektiver, zyklischer R-Modul ist. In Korol-lar 2.2.4 haben wir gezeigt, dass dann Mi frei ist fur alle i ≤ n. Also ist auchM frei.

Aus dieser Proposition folgt jedoch nicht die analoge Behauptung fur beliebi-ge FGC-Ringe. Wenn R ein FGC-Ring ist, so ist R =

∏ni=1 Ri ein endliches

Produkt von unzerlegbaren FGC-Ringen Ri. Dann zerfallt ein Modul Mentsprechend in Ri-Moduln Mi. Offensichtlich ist M genau dann endlich er-zeugt, wenn alle Mi endlich erzeugt sind. Desweiteren folgt aus M projektiv,beziehungsweise frei, dass auch alle Mi projektiv, beziehungsweise frei sind.Sind nun alle Mi projektiv, so existieren Ci, so dass Mi ⊕ Ci =: Fi frei vomRang mi ist. Wahle nun m als das Maximum der mi und fur jedes i ≤ neinen Ri-Modul Ci, so dass Mi ⊕Ci =: Fi ein freier Ri-Modul vom Rang mist. Dann ist F :=

∏ni=1 Fi ein freier R-Modul vom Rang m und es gilt

F =n∏

i=1

Mi ⊕n∏

i=1

Ci.

Folglich ist auch M projektiv. Genauso sieht man, dass aus Mi frei fur allei ≤ n folgt, dass M projektiv ist. Falls alle Mi frei vom gleichen Rang m


sind, dann ist auch M ein freier R-Modul vom Rang m; andernfalls jedochnicht.

Wir wollen uns nun noch mit dem Zusammenhang zwischen der Anzahl derdirekten Summanden in der Zerlegung eines ΣCF -zyklischen Moduls undseiner epimorphen Bilder beschaftigen.

Lemma 2.2.6. Seien A und U ΣCF -zyklische R-Moduln mit

A ∼= R/J1 ⊕ · · · ⊕R/Jm, J1 ⊆ J2 ⊆ · · · ⊆ Jm 6= R

U ∼= R/I1 ⊕ · · · ⊕R/In, I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In 6= R

Desweiteren existiere ein Epimorphismus f : A → U .Dann ist m ≥ n.

Beweis:Sei M ∈ mspec R mit In ⊆ M gewahlt. Dann ist Ij ⊆ M fur alle j ≤ n.R/M ist ein Korper und A/MA und U/MU sind Vektorraume uber diesem.Es ist

A/MA ∼=m⊕

i=1

(R/Ji)/M(R/Ji)

und

U/MU ∼=n⊕

i=1

(R/Ii)/M(R/Ii).

Da Ij ⊆ M ( R fur alle j ≤ n gilt, ist keiner der Summanden von U/MUNull und damit ist dimR/M (U/MU) = n. A/MA hat Dimension k ≤ m. Daf modulo M ein Vektorraumepimorphismus ist, muss n ≤ k ≤ m gelten.

Wie bereits angemerkt, wollen wir den Satz uber das Liften von Zerlegungen(Satz 2.1.10) auf unsere drei Klassen von Ringen anwenden. Wahrend furBewertungsbereiche und semi-lokale Fackelringe die Voraussetzungen auto-matisch erfullt sind, benotigen wir fur den Fall eines Bezoutbereichs nochzwei weitere Lemmata, um diese zu verifizieren.

Lemma 2.2.7. Sei R ein Bezoutbereich und seien N ⊆ M R-Moduln mitM endlich erzeugt.Dann existiert eine Zerlegung M = M0 ⊕ M ′ mit N ⊆ M ′ und M ′/N istein Torsionsmodul.

Beweis:Sei T der Torsionsteilmodul von U := M/N . Dann ist U/T ein endlich er-zeugter, torsionsfreier Modul uber einem Bezoutbereich und folglich nachProposition 1.3.3 frei. Die verknupfte Abbildung M → U → U/T bildet Msurjektiv auf den freien Modul U/T ab. Also ist der Kern M ′ dieser Abbil-dung ein direkter Summand von M . Dann gilt M = M0 ⊕M ′ mit N ⊆ M ′.


Da M ′ der Kern von M → U/T ist, entspricht das Bild M ′/N von M ′ inU = M/N dem Torsionsmodul T , also ist M ′/N ∼= T .

Lemma 2.2.8. Sei R ein fast-maximaler Bezoutbereich und {0} 6= J einIdeal von R. Dann ist R/J semi-primar.

Beweis:Nach Satz 1.1.18 ist ein fast-maximaler Bezoutbereich h-lokal und das be-deutet insbesondere, dass jedes Element ungleich Null von R in nur endlichvielen maximalen Idealen enthalten ist. Jedes maximale Ideal von R/J hatdie Form M/J mit J ⊆ M und M maximales Ideal von R. Da jedes Elementungleich Null, d.h. auch die Elemente von J , nur in einer endlichen Anzahlvon maximalen Idealen enthalten ist, ist J nur in endlich vielen maximalenIdealen von R enthalten. Somit hat R/J nur endlich viele maximale Ideale,ist also semi-lokal. Nach Lemma 2.1.4 (1) ist dies aquivalent dazu, dass R/Jsemi-primar ist.

Wir konnen nun den Satz uber geschachtelte Basen fur unzerlegbare FGC-Ringe beweisen. Im Gegensatz zu Fuchs und Lee in [FL] und Levy in [L2]machen wir hier keine weiteren Voraussetzungen an den Teilmodul N . Fuchsund Lee haben vorausgesetzt, dass der Teilmodul projektiv ist und Levysetze voraus, dass N endlich erzeugt und projektiv ist, um zu sichern, dassM/N endlich prasentiert ist. Wir konnen hier auf ahnliche Voraussetzun-gen verzichten, da die Zerlegung von endlich erzeugten Moduln in zyklischeModuln uber FGC-Ringen in jedem Fall gesichert ist.

Satz 2.2.9. Sei R ein maximaler Bewertungsring, ein fast-maximaler Be-zoutbereich oder ein semi-lokaler Fackelring. Desweiteren sei M ein endlicherzeugter, projektiver R-Modul und N ein Teilmodul von M .Dann besitzen M und N geschachtelte Basen.

Beweis:Wir haben in Satz 1.6.5 gezeigt, dass R ein unzerlegbarer FGC-Ring ist.Desweiteren besagt Proposition 2.2.5, dass M ein freier R-Modul ist. Damitgelten

M = M ′1 ⊕ · · · ⊕M ′

n∼=

n⊕i=1

R = Rn

und

M/N = U1 ⊕ · · · ⊕ Um∼= R/J1 ⊕ · · · ⊕R/Jm mit J1 ⊆ J2 ⊆ · · · ⊆ Jm.

Hierbei sind die Ideale Ji eindeutig bestimmt und es sei M ′i = Rm′

i undUj = Ruj mit m′

i ∈ M und uj ∈ M/N fur alle i ≤ n, j ≤ m (siehe Satz1.7.5).


Wir haben in Lemma 2.2.6 gezeigt, dass n ≥ m gilt. Nun erganzen wir n−mSummanden, die gleich Null sind, in der Darstellung von M/N :

M/N ∼= R/J1 ⊕ · · · ⊕R/Jn mit Jm+1 = · · · = Jn = R.

Offensichtlich existiert fur jedes i ≤ n ein Epimorphismus von R auf R/Ji.Wir zeigen nun, dass in allen drei Fallen die Voraussetzungen von Satz 2.1.10erfullt sind. Sei zuerst R ein maximaler Bewertungsring oder ein semi-lokalerFackelring. R ist in beiden Fallen semi-lokal und das ist nach Lemma 2.1.4(1) aquivalent dazu, dass R semi-primar ist. Lemma 2.1.4 (2) besagt, dassdann auch M/N als endlich erzeugter Modul uber diesem semi-primar ist.Mit M =

⊕ni=1 M ′

i , M ′i∼= R, M/N =

⊕ni=1 Ui

∼=⊕n

i=1 R/Ji und dem kano-nischen Epimorphismus f von M auf M/N sind dann die Voraussetzungenvon Satz 2.1.10 erfullt.Sei nun angenommen, dass R ein fast-maximaler Bezoutbereich ist. Wir zei-gen zunachst, dass wir ohne Einschrankung annehmen konnen, dass M/Nein Torsionsmodul ist. Sei hierzu M ein endlich erzeugter, projektiver R-Modul und N ein Teilmodul von M . In Lemma 2.2.7 haben wir gezeigt,dass es eine Zerlegung M = M0 ⊕M ′ mit N ⊆ M ′ gibt, so dass M ′/N einTorsionsmodul ist. Da M ′ und M0 als direkte Summanden von M ebenfallsendlich erzeugt und projektiv sind, sind auch M ′ und M0 frei. Gilt nun

M ′ = M ′1 ⊕ · · · ⊕M ′

n′

N = J ′1M′1 ⊕ · · · ⊕ J ′n′M ′

n′ mit J ′1 ⊆ J ′2 ⊆ · · · ⊆ J ′n′ ,

so ist

M = M0 ⊕M ′ = M0 ⊕M ′1 ⊕ · · · ⊕M ′

n′ = M1 ⊕ · · · ⊕Mn.

Desweiteren gilt

N = J1M1 ⊕ · · · ⊕ JnMn mit {0} = J1 = · · · = Jn−n′ ⊆ Jn−n′+1 ⊆ · · · ⊆ Jn

undM/N ∼= R/J1 ⊕ · · · ⊕R/Jn.

Dies bedeutet, dass eine Zerlegung von M ′ und M ′/N eine entsprechendeZerlegung von M und M/N impliziert. Damit konnen wir also ohne Ein-schrankung annehmen, dass M/N ∼= R/J1 ⊕ · · · ⊕R/Jn ein Torsionsmodulist, das bedeutet, Ji 6= {0} fur alle i ≤ n.Nach Lemma 2.2.8 ist dann R/Ji semi-primar fur jedes i ≤ n und nach Lem-ma 2.1.5 (2) ist dann auch M ′/N semi-primar. Hiermit sind auch in diesemFall die Voraussetzungen von Satz 2.1.10 mit M =

⊕ni=1 M ′

i , M ′i∼= R,

M/N =⊕n

i=1 Ui∼=

⊕ni=1 R/Ji und dem kanonischen Epimorphismus f von

M auf M/N erfullt.


Wir konnen also in jedem Fall Satz 2.1.10 anwenden. Damit existiert eineZerlegung

M = M1 ⊕ · · · ⊕Mn

mit Mi = Rmi, Mif = Ui und Mi∼= M ′

i fur alle i ≤ n. Bezeichne nun mitfi := f � Mi die Einschrankung von f auf Mi. Dann ist

Mifi = Ui = Rui.

Es ist Ker f = N , also gilt

N =n⊕

i=1

Ker fi.

Es bleibt zu zeigen, dass Ker fi = JiMi gilt. Da f surjektiv ist, ist auch jedesfi surjektiv von Mi auf Ui. Also existiert ein rmi ∈ Rmi mit rmifi = ui.Sei nun x ∈ Ker fi. Dann ist xfi = 0 und x = rmi mit einem r ∈ R. Also istauch rxfi = 0 und

0 = rrmifi = rrmifi = rui.

Damit ist r ∈ AnnR ui = Ji, das heißt x ∈ JiMi.Sei andererseits x ∈ JiMi. Dann gibt es ein r ∈ Ji mit x = rmi. Sei mifi =zui mit z ∈ R. Dann ist

xfi = rmifi = rzui = 0,

da r ∈ Ji = AnnR(ui) gilt und damit x ∈ Ker fi. Wir haben also gezeigt,dass Ker fi = JiMi gilt und damit

N = J1M1 ⊕ · · · ⊕ JnMn.

Desweiteren ist

M/N ∼=n⊕

i=1

R/Ji

ΣCF -zyklisch. Hiermit ist bewiesen, dass M und N geschachtelte Basen be-sitzen.

Geschachtelte Basen – Verallgemeinerung 74

2.3 Verallgemeinerung

In diesem abschließenden Abschnitt zeigen wir, dass der Satz uber geschach-telte Basen auch fur ein endliches Produkt von Ringen verallgemeinert wer-den kann.

Satz 2.3.1. Seien R =∏n

i=1 Ri ein endliches Produkt von Ringen Ri, Mein endlich erzeugter projektiver R-Modul und N ein Teilmodul von M .Desweiteren gelte fur jeden endlich erzeugten, projektiven Ri-Modul Mi undjeden Teilmodul Ni von Mi, dass Mi und Ni geschachtelte Basen besitzen.Dann besitzen auch M und N geschachtelte Basen.

Beweis:Sei M ein endlich erzeugter, projektiver R-Modul und N ein Teilmodul vonM . Dann zerfallen M und N entsprechend der Zerlegung von R

M ∼=n∏

i=1

Mi und N ∼=n∏

i=1

Ni.

Hierbei sind die Mi und Ni jeweils Ri-Moduln mit Ni ⊆ Mi fur alle i ≤ n.Da M projektiv und endlich erzeugt ist, gilt dies auch fur die Mi. NachVoraussetzung besitzen Mi und Ni geschachtelte Basen. Also gibt es furjedes i ≤ n Zerlegungen

Mi =mi⊕j=1

Mij , und Ni =mi⊕j=1

IijMij

mit IdealenIi1 ⊆ Ii2 ⊆ · · · ⊆ Iimi ⊆ Ri.

Damit gilt

Mi/Ni∼=

mi⊕j=1

R/Iij .

Setze nun m = max{mi | i ≤ n} und fuge formal in den Darstellungen vonMi und Ni, m−mi Summanden gleich Null hinzu. Dann sind

M ∼=n∏

i=1

m⊕j=1

Mij∼=

m⊕j=1

n∏i=1

Mij

und

N ∼=n∏

i=1

m⊕j=1

IijMij∼=

m⊕j=1

n∏i=1

IijMij .

Setze Mj :=∏n

i=1 Mij und Ij :=∏n

i=1 Iij . Dann ist fur jedes j ≤ m Mj einR-Modul und Ij ein Ideal von R. Hiermit gelten

M =m⊕

j=1

Mj und N =m⊕

j=1

IjMj

Geschachtelte Basen – Verallgemeinerung 75

mit Idealen I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ Im ⊆ R und

M/N ∼=m⊕

j=1

R/Ii.

Damit haben wir gezeigt, dass M und N geschachtelte Basen besitzen.

Als Abschluß dieser Arbeit formulieren wir noch das entsprechende Resultatfur Moduln uber bestimmten FGC-Ringen.

Korollar 2.3.2. Sei R ein endliches Produkt der folgenden drei Klassenvon Ringen:

1. maximale Bewertungsringe,

2. fast-maximale Bezoutbereiche,

3. semi-lokale Fackelringe.

Desweiteren seien M ein endlich erzeugter, projektiver R-Modul und N einTeilmodul von M .Dann besitzen M und N geschachtelte Basen.

Beweis:Dieses Korollar folgt unmittelbar aus Satz 2.2.9 und Satz 2.3.1.

Die obige Aussage gilt also insbesondere fur semi-lokale FGC-Ringe. Die inKorollar 2.3.2 angegebene Klassen von FGC-Ringen ist aber echt großer, dafast-maximale Bezoutbereiche nicht notwendigerweise semi-lokal sind.

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