Direktionsbereich Technik DiplomarbeitDirektionsbereich Technik Diplomarbeit Modem für das 70cm...

Direktionsbereich Technik

Diplomarbeit

Modem für das 70cm Band

Markus Walser Stefan Wicki Dozent: Prof. Dr. M. Meyer Beginn der Arbeit: 1. November 1999 Abgabetermin: 9. Dezember 1999

FH Aargau Modem für das 70cm Band Diplomarbeit 99

INHALTSVERZEICHNIS

1. Vorwort ...........................................................................................................................4

2. Zusammenfassung ........................................................................................................5

3. Pflichtenheft ...................................................................................................................6

3.1 Aufgabenstellung Semesterarbeit................................................................................................6

3.2 Aufgabenstellung Diplomarbeit ....................................................................................................7

3.3 Gerät ............................................................................................................................................8 3.3.1 Einflüsse auf Hardware......................................................................................................................................... 8 3.3.2 Spezifikationen ..................................................................................................................................................... 9

3.4 Variantenabklärung....................................................................................................................10 3.4.1 Morphologischer Kasten..................................................................................................................................... 10 3.4.2 Bewertungstabelle Modulationsart ..................................................................................................................... 10 3.4.3 Bewertung Sender............................................................................................................................................... 11 3.4.4 Bewertungstabelle Aufbau.................................................................................................................................. 11

3.5 Zeitplan ......................................................................................................................................12 3.5.1 Zeitplan Markus.................................................................................................................................................. 12 3.5.2 Zeitplan Stefan.................................................................................................................................................... 13

4. Theoretische Grundlagen ...........................................................................................14

4.1 Zweiwertige und mehrwertige Übertragung ...............................................................................14

4.2 Winkelmodulation (FM und PM).................................................................................................15 4.2.1 Beschreibung und Definition .............................................................................................................................. 15 4.2.2 Das Spektrum von winkelmodulierten Signalen................................................................................................. 17

4.3 Frequenzumtastung (FSK).........................................................................................................18 4.3.1 Beschreibung und Definition .............................................................................................................................. 18 4.3.2 Die Modulation von FSK Signalen..................................................................................................................... 20 4.3.3 Die Demodulation und Detektion von FSK Signalen......................................................................................... 21 4.3.4 Frequenzumtastung mit kontinuierlicher Phase (CPFSK) .................................................................................. 26

4.4 Filter & Bandbreite .....................................................................................................................29 4.4.1 Einleitung............................................................................................................................................................ 29 4.4.2 Das Matched-Filter-Prinzip ................................................................................................................................ 30 4.4.3 Root-Raised-Cosine-Filter .................................................................................................................................. 31 4.4.4 RC-Filter ............................................................................................................................................................. 32 4.4.5 Gauss-Filter......................................................................................................................................................... 32 4.4.6 Fazit .................................................................................................................................................................... 32

S. Wicki & M. Walser 1


5. Die Simulation des Entzerrers ....................................................................................33

5.1 Das Blockschaltbild und dessen Beschreibung .........................................................................33 5.1.1 Blockschema....................................................................................................................................................... 33 5.1.2 Sende- und Empfangsfilter ................................................................................................................................. 33 5.1.3 Transmitter- und Receiver- Verzerrungen .......................................................................................................... 35 5.1.4 Modellierung der Übertragungskanals................................................................................................................ 36 5.1.5 Der adaptive Entzerrer ........................................................................................................................................ 36

5.2 Die Ergebnisse der Simulation...................................................................................................38 5.2.1 Sendefilter........................................................................................................................................................... 38 5.2.2 Transmitter-Verzerrungen .................................................................................................................................. 40 5.2.3 Echo, Verzögerung, Rauschen (Übertragungskanal).......................................................................................... 40 5.2.4 Receiver-Verzerrungen....................................................................................................................................... 42 5.2.5 Empfangsfilter .................................................................................................................................................... 42 5.2.6 Das Adaptive Filter ............................................................................................................................................. 43

6. Die vollständige Simulation der ganzen Übertragung..............................................46

6.1 Der Bezugspunkt für den Signal-Rauschabstand ......................................................................46

6.2 Die Simulation der verzerrenden, zweiwertigen Übertragung....................................................48 6.2.1 Das Blockschema und dessen Beschreibung ...................................................................................................... 48 6.2.2 Die Ergebnisse der Simulation............................................................................................................................ 52

6.3 Die Simulation der entzerrten, zweiwertigen Übertragung.........................................................53 6.3.1 Das Blockschema und dessen Beschreibung ...................................................................................................... 53 6.3.2 Die Ergebnisse der Simulation............................................................................................................................ 54

6.4 Die Simulation der entzerrten, zweiwertigen Übertragung mit Schwellwert-PLL .......................55 6.4.1 Das Blockschema und dessen Beschreibung ...................................................................................................... 55 6.4.2 Die Ergebnisse der Simulation............................................................................................................................ 57

6.5 Die Simulation der entzerrten, vierwertigen Übertragung ..........................................................57 6.5.1 Das Blockschema und dessen Beschreibung ...................................................................................................... 58 6.5.2 Die Ergebnisse der Simulation............................................................................................................................ 64

6.6 Zusammenfassung ....................................................................................................................65

7. Das zweiwertige CPFSK Modem ................................................................................66

7.1 Blockschaltbild und dessen Beschreibung.................................................................................66 7.1.1 Blockschema....................................................................................................................................................... 66 7.1.2 Das 6PACK-Protokoll ........................................................................................................................................ 66 7.1.3 Buffer.................................................................................................................................................................. 69 7.1.4 HDLC-Protokoll ................................................................................................................................................. 70 7.1.5 Differenz Encoder -Decoder............................................................................................................................... 70 7.1.6 Scrambler ............................................................................................................................................................ 71 7.1.7 „Modulator“ und „Demodulator“ ....................................................................................................................... 71 7.1.8 Hardlimiter.......................................................................................................................................................... 71 7.1.9 Descrambler ........................................................................................................................................................ 71 7.1.10 Data Carrier Detect (DCD) ............................................................................................................................... 72 7.1.11 Bittaktregeneration (PLL)................................................................................................................................. 72



7.2 Die Realisierung des Modems ...................................................................................................73 7.2.1 Blockschaltbild ................................................................................................................................................... 73 7.2.2 Layer 1 ................................................................................................................................................................ 73 7.2.3 Layer 2 ................................................................................................................................................................ 81 7.2.4 Layer 3 ................................................................................................................................................................ 88

8. Hardwaremodifikation am Board................................................................................98

8.1 Weiterleiten des UART-Interrupts ..............................................................................................98

8.2 Verwendung von FLAG1 für die DCD........................................................................................99

8.3 Die PTT (Push To Talk) .............................................................................................................99

8.4 Verbindung der restlichen Leitungen .......................................................................................100

9. Weiterführung dieser Arbeit .....................................................................................101

9.1 Weitere Arbeiten ......................................................................................................................101 9.1.1 Was ist getan? ................................................................................................................................................... 101 9.1.2 Was kann noch getan werden? ......................................................................................................................... 101

9.2 Bekannte Probleme / Bugs und Tips .......................................................................................102 9.2.1 DSP................................................................................................................................................................... 102 9.2.2 Simulationen ..................................................................................................................................................... 102

10. Literaturverzeichnis.................................................................................................103



1. VORWORT

Diese Diplomarbeit ist eine Weiterführung unserer vorgängigen Semesterarbeit. In diesen zusätzlichen sechs Wochen konnten wir uns weiter mit dem Problem auseinandersetzen und ein funktionstüchtiges Modem implementieren. Bei der Semesterarbeit und Diplomarbeit setzten wir uns folgende Ziele:

• Einarbeitung in moderne Verfahren der Kommunikation • Realisierung solcher Konzepte • Programmierung und kennenlernen eines DSP • realitätsnahe Simulation solcher komplexer Systeme

Zur Pionierzeit des Packet-Radio um 1980 wurden schon standardmäßig mit 1200Baud1 AFSK-Technik Daten übertragen. Während man zu dieser Zeit über das Telephon noch mit akustisch gekoppelten Modems und Datenraten von 300Baud arbeitete, galt die Packet-Radio-Übertragung als High-Tech. Doch der Amateurfunk konnte mit der Entwicklung der kommerziellen Technik nicht Schritt halten. So ist es leider heute so, daß auf dem Amateurfunk immer noch vielerorts 1200Baud AFSK eingesetzt wird. Im Vergleich zu den kommerziellen 56kBit/s Modems ist dies lächerlich. Zusätzlich entstehen auch auf dem Amateurfunk neue Betriebsarten. So wird immer häufiger TCP/IP, Voice Mails u.s.w. über Packet-Radio gemacht. Dies verlangt auch neue Modemtechniken. Im Ehrenkodex der Funkamateurs steht geschrieben, daß jeder Funkamateur die Technik seiner Anlage auf dem neusten Stand halten soll. Mit dieser Semesterarbeit möchten wir einen Schritt in diese Richtung machen. Es ist ein kleiner Schritt für die Menschheit, aber ein großer Sprung für die Funkamateure. Wir möchten an dieser Stelle auch für die Unterstützung diverser Funkamateure danken. So hat uns insbesondere Thomas Sailer (HB9JNX), mit dem Source vom 9k6 G3RUH Modem im Linux Kernel eine gute Grundlage gegeben. Er hat uns auch bei einem persönlichen Gespräch, sowie mit Emails beraten. Auch Henning Rech (DF9IC), hat uns bei der Evaluation des Projekts, sowie beim 6Pack immer wieder mit seinem Know-how weitergeholfen. Michael Keller (DL6IAK), hat uns den Tip für die Hardwaremodifikation. Christof Sidler (HB9LAR), hat uns in verdankenswerter Art und Weise einen kleinen DSP-Einführungskurs gegeben. Er hat uns auch oft online über Email Tips bezüglich C-Programmieren zukommen lassen. Philippe Dubach (HB9XAZ) hat uns bei der Konzeption der Softwareimplementation und bei der Ansteuerung der seriellen Schnittstelle grosse Hilfe geleistet. Windisch, 8. Dezember 1999 Markus Walser Stefan Wicki

1 Da diese Übertragungen zweiwertig waren gilt: 1 Baud=1Bit/s. Die Namen haben sich so eingebürgert.



2. ZUSAMMENFASSUNG

Wir durften in dieser Diplomarbeit die Entwicklung eines High-Speed Packet-Radio Modems fortsetzten. Die Realisierung erfolgte auf einem Sharc DSP Kit EZ-Lite. Im Kapitel 3.2 haben wir die Spezifikationen festgelegt. Wir setzten dabei ein besonderes Augenmerk auf die Amateurfunktauglichkeit. Im Kapitel 3.4 haben wir die verschiedenen Lösungsvarianten untersucht. Dabei haben wir uns auf die Entwicklung eines 4-wertigen FSK Modems festgelegt. Dieser Teil hat uns mehr Zeit gekostet, als wir einplanten. Es mußten die Vor- und Nachteile vieler Modulationsarten untersucht werden. Im theoretischen Teil, dem Kapitel 4, haben wir die Grundlagen für die weitergehende Entwicklung des Modems erarbeitet. Im Kapitel 5 (die Simulation des Adaptiven Entzerres) wurde der Einfluß von Echo, Rauschen und Filterverzerrungen im Sender und Empfänger untersucht. Als Qualitätsmerkmal diente uns dabei das Augendiagramm vor dem Abtaster. Für die Übertragungsstrecke haben wir „Worst-Case“ Parameter benutzt und dabei untersucht, wie leistungsfähig der adaptive Entzerrer ist. Im nächsten Kapitel wurden die Simulationen verfeinert. Das Ziel war es, das Modem möglichst realitätsnah zu simulieren. Die Simulation des verzerrten Augendiagrammes stimmt dabei sehr gut mit dem Augendiagramm auf dem KO überein. Als Qualitätsmerkmal dienten uns nun die BER-Kurven. Die Simulation auf MATLAB lehrte uns dabei, daß durch die höherwertige Übertragung ein adaptives Filter unumgänglich wird. Gleichzeitig hat sie aber auch gezeigt, daß dieses realisierbar ist. Dabei hat sich herausgestellt, daß der RLS-Algorithmus die besten Resultate erbringt. Dies muß aber mit einem großen Rechenaufwand erkauft werden. Mit Hilfe der Simulationen konnte ein Algorithmus für den vierwertigen PLL erfunden und getestet werden. Im Kapitel 7 (Realisation des zweiwertigen CPFSK-Modems) wurde zuerst das Modem in seine Baublöcke zerlegt. Danach wurden die einzelnen Blöcke realisiert. Für den Block des Übertragungsprotokolls zwischen dem PC und dem Modem haben wir uns für das 6PACK Protokoll entschieden. Das 6PACK besitzt als einziges Protokoll eine unvergleichbare Transparenz und ist realtime-tauglich. Abschließend kann man sagen, daß wir in dieser Diplomarbeit ein funktionstüchtiges, zweiwertiges Modem entwickelt haben. Der adaptive Entzerrer ist implementiert aber noch nicht getestet. Das vierwertige Modem konnte aus Zeitgründen noch nicht implementiert werden. Die Simulationen dazu sind jedoch abgeschlossen.



3. PFLICHTENHEFT

3.1 Aufgabenstellung Semesterarbeit

Fachhochschule Aargau Windisch, 18. April 1999 Direktionsbereich Technik Abteilung Elektrotechnik Selbständige Arbeit für Herrn M. Walser und Herrn S. Wicki:

UHF-Datenlink Das Fernziel Ihrer Arbeit ist ein funktionstüchtiger Datenlink für mindestens 9600 Bit/s im 430 MHz-Band. Die BER soll 10-6 oder besser betragen. Dieses System soll zweistufig aufgebaut werden: 1. Modem auf einer tiefen Zwischenfrequenz, z.B. mit DSP 2. Frequenztranslation mit einem SSB-Transceiver. Ihre konkrete Aufgabe umfaßt das Modem. Entwickeln Sie dafür Konzepte und wählen Sie zusammen mit dem Betreuer einen Vorschlag zur Realisierung aus. Suchen Sie auch nach fertigen Chipsätzen! Sie brauchen keine Kanalcodierung zu implementieren. Bauen Sie aber Ihr Modem so, daß nachträglich eine Codierung zugefügt werden kann. In Peru arbeiten zwei Studenten an einem ähnlichen Projekt. Nehmen Sie Kontakt auf mit Renzo Angeles via Email: [email protected] und versuchen Sie, mit gegenseitiger Anregung und Hilfe die Projekte voranzutreiben. Abgabe der Arbeit: Freitag, 1. Oktober 1999, 07.45 Uhr



3.2 Aufgabenstellung Diplomarbeit

Fachhochschule Aargau Windisch, 31. Oktober 1999 Direktionsbereich Technik Abteilung Elektrotechnik Schriftliche Prüfungsarbeit für Herrn M. Walser und Herrn S. Wicki:

DSP-Modem für UHF-Datenlinks In Ihrer Semesterarbeit haben Sie bereits begonnen, ein Modern auf einem DSP zu implementieren. Die vorliegende Diplomarbeit hat das Ziel, die Arbeit weiterzuführen und zu vervollständigen. Aufgaben: • Implementieren Sie die Übertragung zwischen Datenquelle und Modem mit dem 6Pack-

Protokoll • Ergänzen Sie den Empfänger mit einem adaptiven Kanalentzerrer • Erweitern Sie die Bitsynchronisation auf 4-wertige Signale • Falls es die Zeitverhältnisse erlauben, fügen Sie eine Kanalcodierung ein Ausgabe der Aufgabe: Montag, 1. November 1999, 07.45 Uhr Abgabe der Arbeit: Donnerstag, 9. Dezember 1999, 12.00 Uhr



3.3 Gerät

3.3.1 Einflüsse auf Hardware

Einflüsse von Aussen

• Netzversorgung• Temperatur• Elektromagnetische Störungen• Feuchtigkeit• Alterung• Mech. Beanspruchungen

binäre Daten elektrisches, analoges Signal

• elektromagnetische Störungen• Erwärmung der Umgebung• Rückwirkungen auf den Personal Computer

Einflüsse gegen Aussen

ModemMOdulatorDEModulator

RX / TX

Fig. 3-1 Diese Figur zeigt die Einflüsse auf das Modem, und Auswirkungen, welche es gegen Außen verursacht



3.3.2 Spezifikationen

3.3.2.1 Allgemeine Daten • Band 70 cm (430 ... 440 MHz) • Bitrate mind. 9600 Bit/s • Bit Error Rate (BER) < 10-6 (bei SNR von 25 dB) • Betriebsart Semi-Duplex • System Multiuser

3.3.2.2 Betriebsbedingungen

• Temperaturbereich: 0...50°C • Schutzart: IP20

3.3.2.3 Äußere Gegebenheiten

• Gewicht: < 1 kg (gut transportierbar) • Abmessungen: H: < 5 cm

B: < 20 cm T: < 20 cm

• Preis (Material): < 400 sFr. • Entwicklungskosten: gegeben durch vorhandene Zeit

(1 Semester à 8 Lektionen pro Woche) 3.3.2.4 Kanaleigenschaften

• Kanalraster: 25 kHz



3.4 Variantenabklärung

3.4.1 Morphologischer Kasten

Parameter: Varianten:

Modulationsart QAM OFDM OQPSK 2-FSK 4-FSK 8-FSK Sender SSB FM Aufbau Chipsatz DSP (Int) DSP (Float) Soundkarte

Tab. 3-1 Morphologischer Kasten mit allen Parametern und Varianten

3.4.2 Bewertungstabelle Modulationsart

Gewicht QAM OFDM OQPSK 2-FSK 4-FSK 8-FSK geringe Linearitätsanforderung (bezüglich Sendeendstufe)

2 3 2 8 10 10 10

Rückwärtskompatibel (zu vorhandenen AFU-Geräten)

1 1 1 1 10 6 6

gute Synchronisation (Problem bei Multiuser)

2 4 4 2 8 7 6

geringe Komplexität (des Modems)

1 5 1 3 8 4 3

schon vorhanden (Revolutionsfaktor)

2 4 10 5 1 8 9

hohe Datenrate (bei gegebener Bandbreite und idealem Sender)

2 10 10 4 2 4 8

geringe Störanfälligkeit (bei idealem Sender)

1 6 8 6 4 2 1

Total 54 62 48 64 70 76

Tab. 3-2 Bewertungstabelle für die Modulationsart

Somit wurde 8-FSK gewählt. Um die Aufgabe anzugehen, werden wir jedoch zuerst ein 2-FSK Modem realisieren und dies erst später zu einem 4-FSK Modem erweitern. Der Übergang von einem 2-FSK zu einem 4-FSK- Modem ist viel schwieriger, als von einem 4-FSK zu einem 8-FSK- Modem. Bleibt noch genügend Zeit, so können wir die 8-FSK implementieren.



3.4.3 Bewertung Sender

Da für die Modulationsart eine 4-FSK resp. eine 8-FSK gewählt wurde, bleiben wir bei den gewöhnlichen FM-Transceivern. 3.4.4 Bewertungstabelle Aufbau

Gewicht Chipsatz DSP (Int) DSP (Flaot) Soundkarte Notwendige Eigenschaften

Flexibilität Χ √ √ √ wünschbare Eigenschaften

geringer Preis 1 2 3 2 10 Verfügbarkeit 1 1 8 8 9 geringe Komplexität 2 5 6 8 8 Unterlagen 2 5 10 10 62 hoher Lerneffekt 1 6 9 9 9 Total Χ 52 55 56

Tab. 3-3 Bewertungstabelle für den Aufbau des Modems

Entweder wird das Modem mit einem DSP (ADSP 21061-Flaot) realisiert, oder wir programmieren es auf einer Soundkarte. Ein Gespräch mit Thomas Sailer wird diese Frage klären. Da Thomas Sailer bis Mitte Juni nicht verfügbar ist, realisieren wir diese Arbeit auf dem ADSP 21061 von Analog Devices. Zu einem späteren Zeitpunkt wäre es bei einem lauffähigen Modem aus Kostengründen durchaus erstrebenswert das Modem zusätzlich auf einer Soundkarte zu realisieren.

2 Je nach Kooperationswilligkeit von Thomas Sailer (HB9JNX)



3.5 Zeitplan

3.5.1 Zeitplan Markus

November 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

6Pack soll

ist

HDLC soll

ist

Test soll

ist

Code clean up soll

ist

Entzerrer soll

ist

Bericht soll

ist

Abwesend soll

ist

Tab. 3-4 Zeitplan 1 nach Wochentagen

Nov. / Dez. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

6Pack soll

ist

HDLC soll

ist

Test soll

ist

Code clean up soll

ist

Entzerrer soll

ist

Bericht soll

ist

Abwesend soll

ist




3.5.2 Zeitplan Stefan

November 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Theorie 4-PLL soll

ist

Simulation soll

ist

DSP-Bug soll

ist

Code clean up soll

ist

Entzerrer soll

ist

Bericht soll

ist

Abwesend soll

ist


Nov. / Dez. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Theorie 4-PLL soll

ist

Simulation soll

ist

DSP-Bug soll

ist

Code clean up soll

ist

Entzerrer soll

ist

Bericht soll

ist

Abwesend soll

ist




4. THEORETISCHE GRUNDLAGEN

Die Daten sind binärer Natur und die Modulation soll mit mehrwertiger FSK realisiert werden. Trotzdem muß man sich mit der analogen Modulation auseinandersetzen, um die digitale verstehen zu können. Schaltungstechnische Blockschaltbilder werden jedoch nur bei der digitalen Modulation aufgelistet. 4.1 Zweiwertige und mehrwertige Übertragung

Für die Modulation soll eine mehrwertige FSK zum Zuge kommen. Ein Grund sich zuerst einmal mit mehrwertigen Signalen auseinanderzusetzen. Digitale Signale werden meistens zweiwertig (binär) dargestellt, weshalb die beiden Ausdrücke oft gleichgesetzt werden. Digital heißt aber nur zeit- und wertdiskret. Die Anzahl der Zustände ist also endlich und abzählbar. Für die Übertragung werden häufig mehrwertige Signale eingesetzt. Bei vierwertigen Signalen, bestimmen jeweils zwei Bit den Zustand des Signals. Die Zustandsänderungen treten bei gleicher Datenrate somit nur noch halb so häufig auf, wie bei binären Signalen. Respektive kann bei gleicher Anzahl Zustandsänderungen pro Zeiteinheit die doppelte Datenrate übertragen werden. Der Vorteil einer solchen Übertragung ist jedoch, daß die Bandbreite praktisch nur von der Anzahl Zustandsänderungen abhängt, jedoch kaum von der Pulshöhe.

Bandbreite

Kanaldynamik

Übertragungszeit

Bandbreite

Kanaldynamik

Übertragungszeit

1 0 1 1 0 1 0 01 0 1 1 0 1 0 0 Fig. 4-1 Der Übergang von einer 2-wertigen zu einer 4-wertigen Modulationsart bei gleichbleibender Datenrate

Die Sache hat aber auch einen gewissen Nachteil: durch mehr Zustände steigt die Störanfälligkeit der Signale an - der Shannonwürfel kann nicht umgangen werden. Somit wird die Bandbreite gegen die Störresistenz ausgetauscht - der Informationsquader wurde umgeformt (vgl. Fig. 4-1). Für unser Modem ist das jedoch sehr sinnvoll: die Datenrate soll bei gleicher Bandbreite erhöht werden. Die Störanfälligkeit kann durch eine Codierung oder mehr Sendeleistung ausgeglichen werden.



Die Anzahl der Symbole eines Codes heißt Wertigkeit M. Die Datenrate oder Bitrate R eines digitalen Signals wird in Bit/s angegeben, die Anzahl Zustandsänderungen pro Sekunde, die Schrittgeschwindigkeit S, hingegen in Baud. Nur bei binärer Übertragung (M=2) gilt 1 Baud ist 1 Bit/s. Bei vierwertiger (quaternärer) Übertragung (M=4) ist 1 Baud = 2 Bit/s. Allgemein kann man schreiben:

R M S MM

M= ⋅ = ≅ ⋅log ( ) log ( )log ( )log ( )

. log (2 210

10102

332 wobei ) (4-1)

R: Datenrate, Bitrate [Bit/s] S: Schrittgeschwindigkeit, Baudrate [Baud] M: Wertigkeit

4.2 Winkelmodulation (FM und PM)

Die Winkelmodulation ist ein Oberbegriff für die Frequenzmodulation (FM) und die Phasenmodulation (PM). Beide sind sehr stark verwandt und können darum gemeinsam beschrieben werden. 4.2.1 Beschreibung und Definition

Ein winkelmoduliertes Signal kann wie folgt beschrieben werden:

A t A tWM ( ) $ cos( ( ))= ⋅ Ψ (4-2)

Die Umhüllende der Amplitude bleibt konstant, nur das Argument Ψ(t) wird moduliert. Dies ist auch der große Vorteil der Winkelmodulation. Durch die konstante Umhüllende ist die Winkelmodulation weitgehend unempfindlich gegenüber Amplituden-Nichtlinearitäten. Der Unterschied zwischen PM und FM ergibt sich nach der Art, wie die Trägerphase verändert wird:

Ψ

Ψ

Ψ

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

t t t t K u t P

d tdt

d tdt

K u t

t t K u t dtFM

Tr Tr PM Na

Tr Tr FM Na

Tr FM Na

= ⋅ + = ⋅ + M⋅ →

= + = + ⋅

= ⋅ + ⋅

→

∫

ω ϕ ω

ωϕ

ω

ω

(4-3)

Bei der FM wird also nicht die Frequenz, sondern nur die Momentanfrequenz moduliert. Aus obiger Formel ist auch ersichtlich, daß die FM mit der PM eindeutig austauschbar ist. Somit ergeben sich folgende Äquivalenten (vgl. Fig. 4-2):



ModulatorFMNa(t) FM(t)

ModulatorPMNa(t) PM(t)

IntegratorNa(t) FM(t)Modulator

PM DifferentiatorNa(t)Modulator

FM PM(t)

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

Nachrichtensignal Na(t)

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

Nachrichtensignal Na(t)

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

FM - Signal

Zeit [s]

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

PM - Signal

Zeit [s]

Fig. 4-2 Diese Figuren zeigen die Zusammenhänge von PM und FM. Das FM-Signal und das PM-Signal ist identisch.



4.2.2 Das Spektrum von winkelmodulierten Signalen

Die Spektren von winkelmodulierten Signalen sind nicht allgemein analytisch berechenbar. Für ein harmonisches Nachrichtensignal kann dies jedoch durchgeführt werden. So lassen sich auch Aussagen über die technische notwendige Bandbreite des Übertragungskanals machen. Das WM-Signal kann in eine Reihe von Besselfunktionen entwickelt werden. Dies ist in vielen Büchern beschrieben, darum wird hier nicht mehr näher darauf eingegangen. Wichtig für uns ist das Resultat:

Das WM-Spektrum ist theoretisch unendlich breit. Bei harmonischem Nachrichtensignal ergibt sich ein Linienspektrum, das symmetrisch zur Trägerfrequenz liegt. Der Linienabstand beträgt dabei ωNa.

Folgende Figur soll das verdeutlichen:

f Tr f Na

f

S (f)WM

Übertragungsbandbreite

Fig. 4-3 Betragsspektrum eines WM-Signals bei harmonischem Nachrichtensignal

Die technische Übertragungsbreite bei FM beträgt:

BFM Na= ⋅ + ⋅2 1( ) Bµ (4-4)

µ wird Modulationsindex genannt. Er ist folgendermaßen definiert:

µ =∆fB

Tr

Na (4-5)

Ist µ


4.3 Frequenzumtastung (FSK)

4.3.1 Beschreibung und Definition

Bei der zweiwertigen FSK schaltet das binäre Nachrichtensignal die Frequenz eines harmonischen Oszillators zwischen den Werten f1 und f2 um. Diese Frequenzen werden auch mark bzw. space genannt. Diese beiden Signale können folgendermaßen beschrieben werden:

u tE

Tf t

u tE

Tf t

b

b

b

b

1 1

2 2

22

22

( ) cos( )

( ) cos( )

=⋅

⋅ ⋅

=⋅

⋅ ⋅

π

π

⋅

⋅

(4-7)

Eb ist die Signalenergie pro Bit und Tb ist die Bitdauer dieses. Oder allgemeiner kann man bei FSK mit der Wertigkeit M schreiben:

u tE

Tf t m f tm

sc( ) cos( )=

⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

22 2π π ∆ ⋅ (4-8)

m ist dabei eine Laufvariable von m = 1, 2, ..., M - 1. Es = k ⋅ Eb ist nun die Energie, die für ein Symbol aufgewendet werden muß und somit ist T = k ⋅ Tb die zeitliche Länge für ein Symbol. ∆f ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Frequenzen. Um die gegenseitige Beeinflussung der Signale zu studieren, kann man die Korrelation ausrechnen. Diese ist allgemein definiert durch:

γ ττ

ττ

mn m n

TKT

u t u t dt( ) ( ) ( )=−

⋅ ⋅ +−

∫0

(4-9)

K ist eine Konstante und beträgt in unserem Fall K = T / Es. Da bei unseren Signalen zusätzlich der zeitliche Versatz Null ist (τ=0), vereinfacht sich obige Formel zu:

γ mns

m n

T

Eu t u t dt= ⋅ ⋅∫

1

0

( ) ( ) (4-10)

Nach einigem Rechnen und unter Verwendung der Formeln (4-8) und (4-10) gelangt man zum Resultat:



( )γ

ππmn

fm n f T

m n f T( )

sin ( )( )

∆∆

∆=

⋅ − ⋅ ⋅⋅ − ⋅ ⋅

22

(4-11)

Eine Auswertung dieser Gleichung ist in folgender Figur enthalten:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆ f

Korrelation

1/2T 1/T

Fig. 4-4 Die Kreuzkorrelation zweier FSK Signale in Funktion der Differenzfrequenz

Je größer die Korrelation zwischen den zwei Signalen (Absolutbetrag) ist, desto schlechter kann man sie im Empfänger voneinander unterscheiden. Die Kurve hat Nulldurchgänge bei Vielfachen von 1 / 2T. Hier sind die zwei Signale vollständig entkoppelt voneinander, man sagt auch, die Signale sind orthogonal.



4.3.2 Die Modulation von FSK Signalen

Um ein M-wertiges FSK Signal aus M-wertigen Daten zu erhalten, ist ein recht großer Aufwand nötig. Die Daten müssen zuerst mit Hilfe von Komperatoren ausgewertet werden. Diese steuern dann mit Hilfe einer Logik die einzelnen Schalter an. Am Ausgang werden die einzelnen Signale summiert. Es darf immer nur eine Quelle auf einmal eingeschalten sein.

22

Tf tC⋅ ⋅ ⋅cos( )π

( )2 2T

f f tC⋅ ⋅ + ⋅cos ( )π ∆

( )2 2 1T

f M f tC⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅cos ( ( ) )π ∆

Daten mit Wertigkeit M

M Komparatoren

Schaltersteuerung

M - wertiges

FSK - Signal

Fig. 4-5 Diese Figur zeigt eine Möglichkeit zur Erzeugung eines M-wertigen FSK Signals

Im Falle einer binären Datenübertragung vereinfacht sich das Blockschaltbild aber wesentlich. Ein einfacher Komparator genügt nun vollkommen. Die Schalteransteuerung kann mit dem Ausgang des Komparators und einem Inverter realisiert werden. Das Ausgangssignal wird nun zwischen zwei Frequenzen umgeschalten.

22


( )2 2T

f f tC⋅ ⋅ + ⋅cos ( )π ∆

binäre Daten (M=2)

2-FSK - Signal

1

Fig. 4-6 Die Modulation eines 2-FSk Signals

Diese zwei Schaltungen haben aber ihre Nachteile: Will man eine hohe Trägerfrequenz, so sind M Oszillatoren notwendig. Zudem muß jeder eine sehr hohe und genaue Frequenz haben. Dies macht die Schaltung teuer. Zusätzlich lassen sich die Oszillatoren bei hohen Frequenzen nicht digital



realisieren. Es drängt sich die Idee auf, nach einer besseren und billigeren Lösung zu suchen. Fig. 4-7 zeigt diese:

Daten mit Wertigkeit MDatenaufbereitung

M - wertiges

FSK - SignalFM - TX

A

"analoges" Signal

Fig. 4-7 verbesserte Schaltung für eine FSK-Modulation

Die Daten werden zuerst aufbereitet. Dies kann z.B. durch eine Reihe von Komperatoren geschehen. Am Punkt A ist dann ein digitales Signal enthalten, welches M diskrete Werte enthält (eine M-wertige QPAM). Mit dieser Spannung geht man dann auf die Eingangsbuchse des FM-Senders. Dieser verändert mit der Eingangsspannung seine Trägerfrequenz (VCO). Am Ausgang erscheint ein M-wertiges FSK-Signal. Die oben erwähnten Probleme können so gelöst werden. Durch die steilen Flanken der analogen Spannung wird jedoch die Bandbreite unnötig verbreitert. Dieses Problem kann man durch eine Pulsformung nach der Datenaufbereitung in den Griff bekommen. Nun wird die Modulation CPFSK3 genannt (vgl. 4.3.4). 4.3.3 Die Demodulation und Detektion von FSK Signalen

Nehmen wir an, der Kanal hat zwei Einflüsse auf das übertragene Signal: Erstens wird es mit einem weißen Rauschen überlagert, dessen Amplitudenverteilung der Gauss’schen Normalverteilung gehorcht. Zweitens tritt eine gewisse, nicht unbedingt über längere Zeit konstante, Verzögerung auf. Das ankommende Signal kann also näherungsweise folgendermaßen beschrieben werden:

u tE

Tf t m f t n tm

sc( ) cos( ) ( )=

⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + +

22 2π π φ∆ m

(4-12)

Der Winkel φm beschreibt die Laufzeitverzögerung, n(t) das weiße Rauschen. Um ein solches Signal zu demodulieren gibt es grundsätzlich zwei Wege: eine phasenkohärente und eine phaseninkohärente Demodulation. Beide werden nachfolgend mit Hilfe eines Blockschemas beschrieben.

3 CPFSK: Continuous Phase Frequency Shift Keying



Detector

PLL 1

( ) dtt

0∫

Sample at t = T

PLL 2

( ) dtt

0∫

Sample at t = T

PLL M

( ) dtt

0∫

Sample at t = T

Outputdesision

Signal

cos( $ )2 1π φ⋅ ⋅ +f tC

cos( $ )2 2 2π π φ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +f t f tC ∆

cos( ( ) $ )2 2 1π π φ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ +f t M f tC M∆ Fig. 4-8 phasenkohärente Demodulation von einem M-wertigen FSK Signal

Dieses Blockschema zeigt eine phasenkohärente Demodulationsschaltung. Diese Schaltung wäre eigentlich recht gut, nur ist sie extrem komplex und unpraktisch zu realisieren, vor allem bei hohen Wertigkeiten M. Darum gibt es auch noch eine phaseninkohärente Demodulationsschaltung. Fig. 4-10 illustriert dies. Auf den ersten Blick sieht diese Schaltung zwar etwas komplizierter aus, denn pro Signalform sind nun zwei Korrelatoren vorhanden. Diese sind jedoch wesentlich einfacher aufgebaut. Die komplizierte Schaltung der PLL’s fällt weg. Die Schaltung soll nun etwas genauer besprochen werden. Wir gehen davon aus, daß die einzelnen Frequenzen des Signals vollständig orthogonal sind. Die Frequenzabstände ∆f sind somit ∆f = n / 2T. Das Signal wird nun mit je mit einer Cosinus resp. Sinusschwingung der einzelnen Frequenzen multipliziert. Aus der Mathematik kennen wir die Korrelationen der harmonischen Schwingungen:

12 0

2

π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =≠

= ≠

∫ cos( ) cos( )m t n t dt0 für m n0.5 für m n 01 für m = n = 0

(4-13)

12 0

2

π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =≠

= ≠

∫ sin( ) sin( )m t n t dt0 für m n0.5 für m n 00 für m = n = 0

(4-14)



12

000

2

π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =∈

∫ sin( ) cos( )m t n t dt für m, n für m = n = 0

Ζ (4-15)

0 50 100 150 200 250 300 350-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Korrelation

Phasenverschiebung in Grad [°]

Fig. 4-9 Zeigt die Kreuzkorrelation zweier harmonischer Signale mit gleicher Frequenz und gegenseitiger Phasenverschiebung



Detector Outputdesision

Signal

Sample at t = T

Sample at t = T

22


22

Tf tC⋅ ⋅ ⋅sin( )π

r1c

r1s

Sample at t = T

Sample at t = T

r2c

r2s

( )2 2T f f tC⋅ ⋅ + ⋅cos ( )π ∆

( )2 2T f f tC⋅ ⋅ + ⋅sin ( )π ∆

Sample at t = T

Sample at t = T

rMc

rMs

( )2 2 1T f M f tC⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅cos ( ( ) )π ∆

( )2 2 1T f M f tC⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅sin ( ( ) )π ∆

( ) dtt

0∫

( ) dtt

0∫

( ) dtt

0∫

( ) dtt

0∫

( ) dtt

0∫

( ) dtt

0∫

Fig. 4-10 phaseninkohärente Demodulation von einem M-wertigen FSK Signal

Der Fall, daß m=n=0, ist für uns unwichtig, denn dies ist gleichbedeutend mit einer Modulationsfrequenz von 0 Hz. Beschränkt man sich auf die anderen Fälle, so merkt man, daß jedesmal bei m=n ein Maximum des Korrelationsintegrals auftritt. In der Realität wird man es praktisch nie mit einer reinen Multiplikation einer Sinus- und einer Cosinusschwingung zu tun haben, d.h. die einzelnen Schwingungen sind stets noch ein wenig phasenverschoben zueinander. Es wird aber jedesmal ein Maximum der Multiplikation und nachfolgender Integration bei gleichen Frequenzen (m=n), resp. ein Minimum bei unterschiedlichen Frequenzen (m≠n) auftreten, außer die Schwingungen sind genau um 90° phasenverschoben (vgl. Fig. 4-9). Denn nach Gleichung (6-15) ist auch dann das Korrelationsintegral 0. Darum hat es im Blockschaltbild für jede Frequenz je zwei Pfade. Der Detektor vergleicht nun die Absolutwerte der einzelnen Korrelatoren. Das Maximum entspricht nun dem gesendeten Bit.



Nachfolgende Figur zeigt die Realisation eines 2-FSK Demodulators.

Outputdesision

Signal

Sample at t = T

Sample at t = T

r1c

r1s

Sample at t = T

Sample at t = T

r1c

r1s

( ) dtt

0∫

( ) dtt

0∫

( ) dtt

0∫

( ) dtt

0∫

cos( )2π ⋅ ⋅f tC

sin( )2π ⋅ ⋅f tC

cos( ( ) )2π ⋅ + ⋅f f tC ∆

sin( ( ) )2π ⋅ + ⋅f f tC ∆

Fig. 4-11 Inkohärente Demodulation eines binären FSK Signals

Das Signal wird mit den einzelnen Frequenzen multipliziert. Nach anschließender Integration (Korrelationsintegral) wird zur jeweiligen Samplezeit der Wert des Integrals quadriert, um so das Vorzeichen zu eliminieren. Die Werte der gleichen Frequenzen werden addiert, und anschließend wird die Differenz der einzelnen Summen gebildet. War die empfangene Frequenz f=fC, so wird der Ausgang positiv, war f=fC+∆f, so wird der Ausgang negativ. Im einfachsten Fall, kann nun ein simpler Komparator für die Entscheidung eingesetzt werden (hard decision). Bessere Systeme haben eine mehrstufige Entscheidung (soft decision). So kann bei einem kleinen Ausgangswert ein Bit als unsicher markiert werden. Fig. 4-11 läßt sich durch Benutzung eines Filters noch weiter vereinfachen. Fig. 4-12 zeigt die vereinfachte Schaltung, wie sie für einen 1200 Baud AFSK Demodulator eingesetzt wird. Dies ist noch heute eine gängige Amateurfunk-Betriebsart.



Outputdesision

Signal

r1c

r1s

Matched Filter

cos, 1200 Hz

Matched Filter

sin, 1200 Hz

r2c

r2s

Matched Filter

cos, 2200 Hz

Matched Filter

sin, 2200 Hz

Fig. 4-12 Das Blockschaltbild eines inkohärenten 1200 Baud AFSK Demodulator

Dieser Demodulator muß zwei Wellenformen unterscheiden können, nämlich: • 1/1200 sec lang eine Schwingung mit 1200 Hz • 1/1200 sec lang eine Schwingung mit 2200 Hz

Dies kann durch permanenten Vergleich des empfangenen Signals mit beiden Wellenformen erreicht werden, wobei der Demodulator entscheiden muß, welcher Wellenform das empfangene Signal ähnlicher sieht. Da die Phasenlage des empfangen Signals nicht bekannt ist, und so auch nicht berücksichtigt wird, muß man das empfangene Signal mit einer Sinus- und einer Cosinusschwingung beider Frequenzen vergleichen. Vergleichen kann man die Signale mit einer Struktur, wie sie bei einem FIR-Filter angewandt wird. Die Koeffizienten enthalten dann einfach das abgetastete Referenzsignal. Somit wirkt die FIR-Struktur wie ein sehr schmalbandiger Bandpass mit zusätzlicher Phasenbedingung. Bemerkenswert ist auch, daß die beiden Frequenzen (1200 Hz und 2200 Hz) nicht orthogonal sind. Orthogonal wären sie bei f=1200 + n⋅600 Hz. Dies hat bei dieser Demodulationsschaltung aber keine weiteren Konsequenzen, da das Signal ja nicht mit Hilfe der Korrelation demoduliert wird. 4.3.4 Frequenzumtastung mit kontinuierlicher Phase (CPFSK)

Harte Frequenz- und Phasensprünge verbreitern die Bandbreite des modulierten Signals unnötig. Aus diesem Grund wird die FSK nicht diskret, sondern kontinuierlich mit geformten Pulsen ausgeführt. Eine Variante davon ist die CPFSK. Dies ist somit auch die Modulationsart, die wir für unser Modem benutzen wollen.



4.3.4.1 Die CPFSK-Modulation Fig. 4-13 Zeigt den prinzipiellen Aufbau eines mehrwertigen CPFSK Modulators mit Hilfe eines FM-Senders: Daten mit Wertigkeit M

DatenaufbereitungM - wertiges

CPFSK - SignalFM - TX

A

"analoges" SignalNyquistfilter

Fig. 4-13 mehrwertiges CPFSK Modulator

Zusätzlich zu Fig. 4-7 ist nach der Datenaufbereitung noch ein Filter vorhanden. Dieses ist als Tiefpass ausgelegt und dient der Pulsformung. Damit kein Impulsübersprechen (ISI) der einzelnen Pulse erfolgt, muß das Filter dem 1. Nyquistkriterium unterworfen werden - die Filterflanke muß punktsymmetrisch sein. Nun ist im Punkt A eine kontinuierliche Spannung vorhanden. Dies kann man mit Hilfe des Augendiagramms überprüfen. 4.3.4.2 Bandbreitenbedarf von mehrstufiger CPFSK Um den Bandbreitenbedarf von binärer CPFSK mit mehrwertiger vergleichen zu können, wurde das Leistungsdichtespektrum dieser Modulationsverfahren untersucht. Fig. 4-14 ist das Ergebnis dargestellt. Zugrundegelegt wurde ein ähnliches Filter, wie es im G3RUH Standard spezifiziert wird. Auffällig ist, daß das Spektrum der 4-CPFSK nur etwas breiter als die herkömmliche 2-CPFSK ist, dann aber wesentlich schneller abfällt. 8-CPFSK ist leider deutlich ungünstiger, obwohl der Frequenzhub identisch mit den beiden anderen Verfahren ist. Hier wird man den Frequenzhub also reduzieren müssen.

Fig. 4-14 Leistungsdichtespektrum von mehrwertiger CPFSK bei einer konstanten Schrittgeschwindigkeit von 9600 Baud, 3 kHz Hub



4.3.4.3 Qualität und Bitfehlerwahrscheinlichkeit Entscheidend für die Qualität eines Modems ist letztendlich sein Verhalten bei verrauschten Kanälen. Dabei wird gewöhnlich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit (BER / BFW) als Funktion der Signal- Rauschabstandes (SNR) angegeben. Um verschiedene Modulationsverfahren miteinander vergleichen zu können, gibt man SNR meist als Eb/N0 an. Eb bezeichnet die Energie pro Bit und N0 ist ein Maß für die thermische Rauschleistungsdichte. N0 wird folgendermaßen berechnet:

N k TPBN

0 = ⋅ =

WHz

(4-16)

k = 1.38 ⋅ 10-23 J/K : Bolzmann-Konstante T: absolute Temperatur [K] B: Bandbreite [Hz] PN: Thermische Rauschleistung [W]

Ein Packet-Radio Frame ist max. 256 Bytes lang. Mit Hilfe der BER kann man nun ausrechnen, mit was für einer Wahrscheinlichkeit ein 256 Byte langes Paket korrekt übertragen wird. Diese Wahrscheinlichkeit wird auch „Quality“ genannt und berechnet sich wie folgt:

Quality BER= − ⋅( )1 8 256 (4-17)

Fig. 4-15 zeigt eine mit MATLAB berechnete Auswertung dieser Gleichung.

10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -310

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Bitfehlerwahrscheinlichkeit (BER)

Quality [%]

Fig. 4-15 „Quality“ als Funktion der Bitfehlerwahrscheinlichkeit

Man erkennt, daß die BER wenn möglich kleiner als 10-6 sein muß, um eine anständige Qualität zu erreichen. Durch eine Kanalcodierung könnte man die Werte der „Quality“ noch wesentlich verbessern.



In der Literatur findet man für die bekannten Modulationsverfahren Angaben über die BER. Mehrwertige CPFSK mit Begrenzer-Diskriminator-Empfang ist leider mathematisch so kompliziert, daß keine Angaben darüber zu finden sind. Alexander Kurpiers hat jedoch ein Übertragungssystem mit „ptolemy“ simuliert und auf diese Weise die BER bestimmt. Zugrundegelegt wurde ein idealer FM-Sender und FM-Empfänger. Als ZF-Filter kam ein IIR-Filter 4. Ordnung mit einer Bandbreite von 20 kHz zum Einsatz, als Basisbandfilter ebenfalls ein IIR-Filter 3. Ordnung mit Butterworth Charakteristik. Das Ergebnis der Simulation ist in Fig. 4-16 dargestellt. Man erkennt, daß für eine BER von 10-6 bei 2-CPFSK ein Eb/N0 von ca. 16 dB nötig ist, bei 4-CPFSK sind es schon über 22 dB! Zusätzlich mußte bei 4-CPFSK der Hub reduziert werden. War das Auge bei 9k6 2-CPFSK und 3kHz Hub noch fast zu 100% geöffnet, mußte der Hub bei 4-CPFSK auf 2.5kHz reduziert werden, um das Schließen des Auges wieder auszugleichen.

Fig. 4-16 Bitfehlerwahrscheinlichkeit (BER) als Funktion von Eb/N0 von 2-CPFSK und 4-CPFSK

4.4 Filter & Bandbreite

4.4.1 Einleitung

Um die Bandbreite nicht unnötig zu vergrößern wird das stufenförmige Ausgangssignal (hartgetastetes Signal) gefiltert. Die kann mit verschieden Filtern geschehen. Um ein Impulsübersprechen (ISI) zu verhindern, muß die Filterflanke des Gesamtübertragungssystems punktsymmetrisch sein. Dies wir in der Praxis häufig mit einem Raised-Cosine-Filter gemacht. Aus Überlegungen zum Matched-Filter-Prinzip (vgl. Kap. 4.4.2) ergibt sich, daß, unter dem Aspekt einer optimalen Anpassung an die auf dem Übertragungsweg überlagerten Rauscheinflüsse, die Nyquist-Filterung auf Sende- und Empfangsfilter gleichmäßig zu verteilen ist. Beide Filter sollten deshalb eine Root-Raised-Cosine Charakteristik aufweisen. Das Ausgangssignal ergibt sich nun aus der Faltung des Eingangssignals und der Impulsantwort des Filters. Dieses Signal wird dann auf den FM-Sender gegeben. Dieser kann auch als VCO (Voltage Controlled Oszillator) aufgefaßt werden, das heißt der Frequenzhub des Senders wird um so größer, je höher die Eingangsspannungen sind. Da das Signal, welches auf das Filter gegeben wird treppenförmig ist, muß bezüglich der Untersuchung des Frequenzhubes des FM-Senders im Vergleich zu verschiedenen Filtern die



jeweilige Sprungantwort (in der Literatur ist dies auch als Phasenimpuls bekannt) untersucht werden. Wir verwenden bei unseren Filtern jeweils FIR-Filter. Die Koeffizienten dieser sind bis auf einen Konstanten Faktor identisch mit der Abtastung der Stossantwort. Und da der Sprung das Integral des Stoßes ist, kann man die Sprungantwort eines Filters durch Integration der Stossantwort erhalten. Bei FIR-Filtern erhält man die Sprungantwort demnach durch die stetige Addition der einzelnen Koeffizienten. Bei Tiefpässen strebt der Endwert der Sprungantwort gegen |G(jω=0)|, also der Übertragungsfunktion von Gleichgrössen. 4.4.2 Das Matched-Filter-Prinzip

Um bei einer Übertragung durch einen AWGN-Kanal (Additive White Gaussian Noise), dessen Übertragungsfunktion G(jω) konstant ist, ein maximales S/N-Verhältnis am Ausgang des Empfangsfilters (also vor dem Abtaster) zu erhalten, muß folgender Zusammenhang zwischen den Impulsantworten (Koeffizienten des FIR-Filters) für das Sendefilter (hS(t)) und dem Empfangsfilter (hE(t)) gelten:

h t h T tE S( ) ( )= −0 (4-18)

hE(t) : Stossantwort des Empfangsfilters hS(t) : Stossantwort des Sendefilters

Für die Übertragungsfunktionen muß somit folgender Zusammenhang gelten:

H j H j eE Sj T( ) ( )*ω ω ω= ⋅ − 0 (4-19)

HE(jω) : Übertragungsfunktion des Empfangsfilters HS(jω) : Übertragungsfunktion des Sendefilters

Solche Filter bezeichnet man als Matched-Filter.



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x 10-3

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Zeit [sec]

Stossantwort eines Root-Raised-Cosine-Filters

Fig. 4-17 Zeigt die Stossantwort eines Root-Raised- Cosine-Filters.

Für FIR-Filter bedeutet dies, daß die Koeffizienten des Empfangsfilters die gespiegelten Werte des Sendefilters haben müssen. Häufig benützt man bei FIR-Filtern achsialsymmetrische Impulsantworten, um die lineare Phase zu gewährleisten. In diesen Fällen ist das Sende- und Empfangsfilter identisch. Fig. 4-18 zeigt die Stossantwort eines Root-Raised-Cosine-Filters. Die Achsialsymmetrie ist gut erkennbar. Durch die Symmetrie wird das Filter linearphasig.

4.4.3 Root-Raised-Cosine-Filter

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x 10-3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t [sec]

Sprungantwort eines Root-Raised-Cosine-Filters

Fig. 4-18 Sprungantwort eines Root-Raised-Cosine-Filters

In Fig. 4-18 ist die Sprungantwort eines Root-Raised-Cosine-Filters dargestellt. Durch das Unter- und Überschwingen kann die Vergrösserung des Frequenzhubes abgeschätzt werden. Aus dieser Figur erkennt man auch, daß das Root-Raised-Cosine-Filter bezüglich Bandbreiteneffizienz kein optimales Filter darstellt. Beim Root-Raised-Cosine-Filter hängt dieses Überschwingen stark mit dem Roll-Off-Faktor zusammen. Je kleiner der Roll-Off-Faktor ist, desto größer ist das Überschwingen. In Fig. 4-18 sind Roll-Off-Faktoren von 0.1 (größeres Überschwingen) und 1 verwendet worden.



4.4.4 RC-Filter

Bei den RC-Impulsen handelt es sich um Impulse mit einem Cosinusverlauf im Zeitbereich, woraus sich auch die Bezeichnung RC (raised cosine) ergibt. Ein Vorteil dieser Impulse liegt darin, daß die erforderliche Bandbreite zur Übertragung verändert werden kann. Dies geschieht, indem der normale RC-Impuls, der gerade die Länge von einer Symboldauer besitzt, zeitlich gedehnt wird. Ein Impuls, der sich über L Symbolintervalle erstreckt, wird daher auch als LCR-Impuls bezeichnet. Allerdings bewirkt diese Partial-Response-Technik (L > 1), daß in das Datensignal eine gezielte Pseudo-Mehrstufigkeit eingebracht wird. Für die Übertragung ist es nicht sinnvoll, die Länge der RC-Impulse zu stark zu erhöhen, da zu lange Impulse die empfängerseitige Taktrückgewinnung beeinträchtigen. Außerdem wirkt sich nur der Übergang vom 1RC zum 2RC-Impuls besonders stark auf die Bandbreiteneffizienz (NF-seitig) aus. 4.4.5 Gauss-Filter

Etwas günstigere Spektraleigenschaften ergeben sich, wenn als Sende-Filter ein Gauss-Tiefpass eingesetzt wird. Das Spektrum ergibt sich wiederum durch die Fouriertransformation der Impulsantwort. Die gauss’sche Kurvenform wird bei der Fouriertransformation reproduziert. Das Spektrum hat also auch wieder eine gauss’sche Verteilung, klingt also sehr schnell ab. Die Impulsform dauert aber auch über mehrere Symbolintervalle an. Hieraus ergibt sich auch wieder ISI, welches empfängerseitig jedoch wieder ausgeglichen werden kann. In der Literatur werden FSK-Modulationen, die als Sendefilter einen Gauss-Tiefpass haben, auch als GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying) bezeichnet. Diese Modulationsart wird bei sämtlichen Natel-D verwendet. 4.4.6 Fazit

Bei unserem Modem verwenden wir aber trotzdem ein Root-Raised-Cosine-Filter als Sendefilter, da unser Ziel ein funktionstüchtiges Modem ist. Die Untersuchung der optimalen Filter wäre eine Diplomarbeit für sich und verlangt sehr tiefe Kenntnisse der Signalverarbeitung. Dies ist aber sicher noch ein Punkt, der optimiert werden kann. Zusätzlich wollen wir nach dem adaptieren der Filterkoeffizienten diese zwischen dem Sender und dem Empfänger austauschen. Auch dies bedingt, daß die Koeffizienten symmetrisch sein müssen.



5. DIE SIMULATION DES ENTZERRERS

Um die Leistungsfähigkeit des Entzerrers auf verzerrende Strecken, Echo und Rauschen zu prüfen, wurde die ganze Übertragung mit einer „Worst-Case“ Abschätzung in MATLAB simuliert. Als Qualitätsmerkmal diente dabei das Augendiagramm vor dem Abtaster. 5.1 Das Blockschaltbild und dessen Beschreibung

5.1.1 Blockschema4

u2 u3 u4

unoise

u5u1 u6+

+

-+

Fehler

e

u1

Optimierer Verzögerung

u7

u9

Daten

Sende-Filter Transmitter-Verzerrung Echo Receiver-Verzerrung Empfangs-Filter

adaptiertes Filter

Vorgabe

A

Übertragungskanal (Luft)

Kanal mit FM-Sender & -Empfänger

u8

Fig. 5-1 Zeigt das Blockschema der Simulation. Die Signalnamen (u1 ... u9) entsprechen den Variablen in MATLAB.

5.1.2 Sende- und Empfangsfilter

Um Daten ohne Impulsübersprechen (ISI) übertragen zu können, müssen die Pulse mit einer punktsymmetrischen Flanke gefiltert werden (1. Nyquistkriterium). In der Praxis verwendet man dazu häufig ein Raised-Cosine-Filter. Die Flanke seines Amplitudengangs hat einen der Funktion cos2(x) gehorchenden Verlauf. Der Übergangsbereich der Filterflanke reicht von fu=BN-∆f bis fo=BN+∆f. Die Steilheit dieses Übergangsbereichs wird mit dem Roll-Off-Faktor definiert:

rf

BN=

∆ (5-1)

r: Roll-Off-Faktor ∆f: Frequenzvergrösserung (BN-fu) BN: Nyquistbandbreite

4 Dabei wurden sämtliche Verzerrungen im Übertragungskanal ins Basisband transformiert.



Die Nyquistbandbreite beträgt dabei:

BS

N = 2 (5-2)

S: Symbolrate / Baudrate Die notwendige Übertragungsbandbreite beträgt somit:

B B rÜ N= +(1 ) (5-3)

BÜ: Übertragungsbandbreite Die Baudrate beträgt bei unserem Modem (auch bei mehrwertiger Übertragung) 9600 Baud. Die Nyquistbandbreite beträgt somit 4800 Hz. Fig. 5-2 zeigt den Verlauf eines Raised-Cosine-Filters.

|G(f)|

B Nfu fo

1

0.5

∆f

f

∆f

B Ü

Fig. 5-2 Der Verlauf eines Raised-Cosine-Filters. Die Punktsymmetrie bei BN ist gut erkennbar.

Bei idealer Übertragung hat der Kanal eine Übertragungsfunktion von 1. Aus Überlegungen zum Matched-Filter-Prinzip liegt es somit nahe, das Raised-Cosine-Filter auf den Sender und den Empfänger symmetrisch zu verteilen. Aus der Systemtheorie ist allgemein bekannt:

G1(s) G2(s)

Gtot(s)

G1(z) G2(z)

Gtot(z) Fig. 5-3 Serieschaltung von einzelnen Übertragungsfunktionen im s- und z- Bereich.

G s G s G s G z G z G ztot tot( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅1 2 1 2 resp. (5-4)



Bei symmetrischer Aufteilung gilt: G1(s)=G2(s). Somit müssen die einzelnen Übertragungsfunktionen G1(s) resp. G2(s) die Wurzelfunktion des Raised-Cosine-Filters sein. Dies ist in der Literatur allgemein bekannt als Root-Raised-Cosine-Filter. Fig. 5-4 zeigt dessen Amplitudenverlauf. Die Koeffizienten des FIR-Filters wurden in MATLAB mit Hilfe der Funktion remez bzw. firls berechnet. Der Firls-Algorithmus arbeitet nach dem Prinzip des minimalsten Fehlerquadrates und lieferte bei verschiedenen Roll-Off-Faktoren immer die beste Approximation. Für die Simulation wurden immer dessen Koeffizienten verwendet (auch für das Raised-Cosine-Filter → Vorgabe).

|G(f)|

B Nfu fo

1

∆f

f

∆f

0.707

0.5

Fig. 5-4 Zeigt den Amplitudenverlauf eines Root-Raised-Cosine-Filters im Vergleich zum Raised-Cosine.

Die Filterflanke gehorcht somit der Funktion cos(x). Der Roll-Off-Faktor beträgt bei den Simulationen 0.35. Er kann jedoch bei jeder Simulation neu eingegeben werden. 5.1.3 Transmitter- und Receiver- Verzerrungen

Diese Verzerrungen rühren vom nichtidealen Frequenzgang des FM-Sender resp. FM-Empfängers her. Diese wurden jeweils mit einem Butterworth-Tiefpass 1.Ordnung modelliert. Da Verzerrungen nicht symmetrisch sein müssen, wählten wir beim Transmitter eine Eckfrequenz von 2 kHz, beim Receiver eine Eckfrequenz von 3 kHz. Beide Eckfrequenzen sind also im Durchlassbereich des Sende- und Empfangsfilters. Somit ist das 1. Nyquistkriterium bei der Übertragung nicht mehr erfüllt. Es kommt zu einem Impulsübersprechen (ISI).



5.1.4 Modellierung der Übertragungskanals

Wir gehen davon aus, daß der Übertragungskanal drei Einflüsse auf das Signal hat: 1. Eine Signalverzögerung 1. Ein Echo 1. Es wird ein Rauschen mit Gaussverteilung zugefügt

Die beiden ersten Effekte werden mit einem FIR-Filter simuliert, dessen Koeffizienten z.B. wie folgt aussehen können:

B=[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0.2];

Die ersten drei Nullen verzögern das Signal. Die „1“ läßt das ursprüngliche Signal unverändert durch, die „0.2“ addiert verzögert das ursprüngliche Signal mit 1/5 seiner anfänglichen Amplitude. Nun wird die Signalleistung an einem Normwiderstand von 1 Ω ausgerechnet (Ps=Pu4) und mit Hilfe des definierten Signal-Rauschabstands (SNR) die Effektivspannung (sqrt(Pn)) der Rauschquelle ausgerechnet. Am Punkt A (Fig. 5-1) ist nun genau der definierte SNR vorhanden. Unten ist der entsprechende Auszug aus dem File fsk_sim.m vorhanden:

Ps=sum(u4.^2)/max(size(u4));

Pn=Ps*10^(-SNR/10);

unoise=sqrt(Pn)*randn(max(size(u4)),1);

u5=u4+unoise;

5.1.5 Der adaptive Entzerrer

Wie man bei den heftigen Echos und den Kanalverzerrungen schon lange vermutet hat, weicht die Gesamtübertragungsfunktion weit von dem eines Raised-Cosine-Filters ab. Das Signal am Ausgang (u7) hat ein starkes Impulsübersprechen und ist für unser Modem, vor allem für eine mehrwertige Übertragung, unbrauchbar. Bisher gab man sich mit diesem Kompromiß zufrieden, da für eine 2-wertige Übertragung auch ein gewisses Impulsübersprechen tragbar ist. Dieses muß aber für eine 4-wertige Übertragung kleiner werden. Thomas Sailer (HB9JNX) hat uns schon früh auf dieses Problem hingewiesen. Er tüftelte auch schon an einer mehrwertigen FSK-Übertragung herum, gab es jedoch auf Grund des „schiefen“ Augendiagramms am Empfänger wieder auf. Dies sei vor allem durch Verzerrungen hervorgerufen (durch lineare, wie auch durch nichtlineare). Die linearen Verzerrungen kann man mit einem Entzerrer in den Griff bekommen. Dieser wurde in der Simulation auch berücksichtigt. Als Vorlage diente uns die Diplomarbeit von Lanz und Schwere [Lanz96]. Mit Hilfe dieser, konnten wir in kurzer Zeit einen adaptiven Entzerrer realisieren. Dazu wurde der RLS-Algorithmus verwendet, weil er eine automatische Schrittweitenberechnung hat und somit immer konvergiert. Dafür ist er schwieriger zu programmieren, als der LMS-Algorithmus. Der RLS-Algorithmus konnte nicht vollständig übernommen werden, da dieser eine Verschiebung des Eingangssignals und des Trainingssignals nicht vorsieht. Diese Verschiebung wird mit Hilfe der Korrelation berechnet und ist für unsern Fall unumgehbar. Die Idee des adaptiven Filters ist eigentlich trivial und soll im folgenden erklärt werden:



Das adaptive Filter hat die Aufgabe, die Koeffizienten eines FIR-Filters so anzupassen, daß die Gesamtübertragungsfunktion einer Vorgabe nahe kommt. Die Vorgabe ist in unserem Fall ein Raised-Cosine-Filter. Auf dieses Filter werden nun die genau gleichen Daten wie am Anfang unserer Übertragungsstrecke gegeben (u1). Die Werte dieser Daten sollen möglichst zufällig ausgegeben werden. Sie werden als diskrete 1 (→ logisch 1) oder als diskrete -1 (→ logisch 0) ausgegeben (die Wertigkeit beträgt demnach 2). Diese Daten durchlaufen nun das Sendefilter resp. die Vorgabe und geben die Stossantwort des jeweiligen aus (diese diskreten Daten werden in der Literatur auch als Konecker-Delta beschrieben und sind nahe verwandt mit einem Dirac-Stoss in der s-Ebene). Die Abtastfrequenz unseres D/A resp. A/D Wandlers beträgt 48 kHz. Bei einer Baudrate von 9600 Baud kann also jeder 5. diskrete Wert entweder eine 1 oder eine -1 sein. Alle anderen Werte müssen 0 sein (→ minimalster Versatz der Stossantworten). Daß beim Sender und beim Empfänger die gleichen Zufallsdaten u1 vorhanden sind, ist nicht schwierig zu bewerkstelligen. Beim Sender, wie auch beim Empfänger wird dauernd eine 1 in den Scrambler geschoben (der Scrambler ist ja ohnehin nötig). Bei übereinstimmenden Initialzuständen und dem gleichen Scrambler sind am Ausgang identische Daten vorhanden. Der Empfänger hat nun das verzerrte Signal u6 und das ideale Signal u8 zur Verfügung. Mit Hilfe der Korrelation berechnet er die gegenseitige Verschiebung dieser zwei Signale. Der RLS-Algorithmus berechnet nun die Filterkoeffizienten des adaptierten Filters so, daß das Signal u9 dem verzögerten Signal u8 möglichst ähnlich wird. Ist dies gelungen, so hat auch das Ausgangssignal u9 kein ISI mehr. Bleiben die Verzerrungen konstant (statisch), so ist dies eine sehr brauchbare Lösung. Wie stark nichtlineare Verzerrungen Einfluß auf unser System haben, ist schwierig abzuschätzen. Der Sender T7F hat laut Datenblatt einen Klirrfaktor < 1.5%, genügt also fast den Hi-Fi- Anforderungen. Die Annahme, daß wir es vor allem mit linearen Verzerrungen (Frequenzgang, Echo) zu tun haben, ist also berechtigt, und diese können wir ja nun wirksam bekämpfen.



5.2 Die Ergebnisse der Simulation

Im folgenden sind die Ergebnisse der Simulation, meist in Form von MATLAB-Graphiken dargestellt. Die Simulation wurde mit den folgenden Parametern vollzogen:

r=0.35; % Roll-Off-Faktor

ft=48e3; % Abtastfrequenz

M=2; % Wertigkeit der Übertragung

Bn=4800; % Nyquistbandbreite

n=50; % Filterordnung

k=100; % Frequenzstützpunkte (für Filterberechnung)

z=300; % Anzahl ausgegebener Stossantworten

SNR=30; % Signal-Rauschabstand [dB]

5.2.1 Sendefilter

Wie in 0 beschrieben, wurde das Sende-, wie auch das Empfangsfilter als Root-Raised-Cosine-Filter entworfen. Fig. 5-5 zeigt das Resultat der Funktion rootcos.m.

0

0.5

1

1.5Vorgabe [--] und Approximation mit firls [-]| G(f)|

fu

Bn

fo

0 0.5 1 1.5 2 x104

-100

-50

0| G(f)| dB

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 x 10-3

-0.5

0

0.5Stossantwort des Filtersg* (t)

Zeit [s]

2.4

Frequenz [Hz]

Fig. 5-5 Zeigt den Entwurf des Root-Raised-Cosine-Filters mit dem Firls-Algorithmus




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10-3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Eingangssequenz des Sende-Filters [u1]

Wer

t

Zeit [sec] Fig. 5-6 Zoom des diskreten Zeitsignals u1[kT]

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10-3

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Ausgangssignal des Sende-Filters [u2]

Am

plitu

de

Zeit [sec]

Fig. 5-7 Zoom des Zeitsignals u2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-4

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Augendiagramm nach dem Sende-Filter [u2]

Zeitliche Verschiebung [sec] Fig. 5-8 Augendiagramm des Signals u2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-4

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4ideales Augendiagramm ohne Rauschen

Zeitliche Verschiebung [sec] Fig. 5-9 ideales Augendiagramm ohne Rauschen

Würde das Signal noch einmal mit einem Root-Raised-Cosine-Filter gefiltert, so wäre ein Augendiagramm, wie in Fig. 5-9 ersichtlich. Nun gehen jeweils alle Kurven durch einen Punkt. Dieses wurde auch so berechnet.


5.2.2 Transmitter-Verzerrungen

Die Verzerrungen des Senders wurden mit einem Butterworth-Tiefpass 1. Ordnung modelliert. Fig. 5-10 zeigt dessen Bodediagramm. In Fig. 5-11 ist das Augendiagramm des ins Basisband zurücktransformierten Ausgangssignals des FM-Senders dargestellt. Man sieht deutlich, daß das Augendiagramm schon ziemlich unbrauchbar und dementsprechend schwierig zu decodieren ist.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-4

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Augendiagramm nach den Transmitter-Verzerrungen [u3]

Zeitliche Verschiebung [sec] Fig. 5-11 Zeigt das Augendiagramm des Signals u3

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

-80

-60

-40

-20

0

|G(f)

|dB

Bodediagramm der Transmitter-Verzerrungen

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

-100

-80

-60

-40

-20

0

Pha

se [°

]

Fig. 5-10 Zeigt das Bodediagramm der Verzerrungen

5.2.3 Echo, Verzögerung, Rauschen (Übertragungskanal)

Das Bodediagramm des Echos ist in Fig. 5-12 dargestellt. Dies hat einen Amplitudenverlauf, welcher wie eine überlagerte harmonische Schwingung aussieht. Dieser „Rippel“ ist auch noch im Phasengang erkennbar. Aus der Steigung des Phasengangs, kann die Verzögerung ausgerechnet werden.

τ ωϕ ωω

( )( )

=−

(5-5)

τ: Verzögerung [sec] ϕ: Winkel [rad] ω: Kreisfrequenz [sec-1]

Die Verzögerung beträgt in dieser Simulation demnach ≈ 62 µsec (also etwa drei Tastzeiten) und deckt sich somit mit unseren Erwartungen (vgl. 5.1.4). Das Auge in Fig. 5-13 ist nun schon fast vollständig geschlossen.




0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

-2

-1

0

1

2|G

(f)|d

BBodediagramm der Kanal-Verzerrungen (Echo)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

-600

-400

-200

0

Pha

se [°

]

Fig. 5-12 Zeigt das Bodediagramm des Echos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-4

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Augendiagramm mit den Kanalverzerrungen (Echo) [u4]

Zeitliche Verschiebung [sec] Fig. 5-13 Zeigt das Augendiagramm nach dem Echo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-4

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Augendiagramm mit zugefügtem Rauschen [u5]

Zeitliche Verschiebung [sec] Fig. 5-14 Zeigt das Augendiagramm mit zugefügtem Rauschen.

In Fig. 5-14 ist noch einmal das Augendiagramm nach dem Echo dargestellt. Zusätzlich wurde aber noch das durch den Signal-Rauschabstand definierte Rauschen zugefügt (erkennbar an den etwas eckigeren Kurven). Der Signal-Rauschabstand betrug in der Simulation 30 dB. Dies entspricht einem Leistungsverhältnis von 1000 oder einem Spannungsverhältnis von nur gerade 30.


5.2.4 Receiver-Verzerrungen

Die Receiver-Verzerrungen sind fast identisch mit denjenigen des Transmitters. Da wir bewußt aber keine Symmetrie einhalten wollte, modellierte wir die Receiver-Verzerrungen mit einem Butterworth-Tiefpass 1. Ordnung, welcher seine Grenzfrequenz bei 3 kHz anstatt von 2 kHz hat. Wiederum ist das Bodediagramm und das Augendiagramm dargestellt. Das Auge ist nun wie in Fig. 5-16 erkennbar, vollständig geschlossen.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

-80

-60

-40

-20

0

|G(f)

|dB

Bodediagramm der Receiver-Verzerrungen

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

-100

-80

-60

-40

-20

0

Pha

se [°

]

Fig. 5-15 Bodediagramm der Receiver-Verzerrungen

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-4

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Augendiagramm nach den Receiver-Verzerrungen [u6]

Zeitliche Verschiebung [sec] Fig. 5-16 Das Augendiagramm nach dem Receiver

5.2.5 Empfangsfilter

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10-3

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Ausgangssignal des Empfangs-Filters [u7]

Am

plitu

de

Zeit [sec] Fig. 5-17 Zoom des Zeitsignal u7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-4

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Augendiagramm nach dem Empfangs-Filter [u7]

Zeitliche Verschiebung [sec] Fig. 5-18 Augendiagramm nach dem Empfangsfilter



Fig. 5-17 zeigt das Signal nach dem Empfangsfilter. Wäre die Übertragungsstrecke ideal, so wäre in Fig. 5-18 ein Augendiagramm wie in Fig. 5-9 sichtbar. Dies ist jedoch bei weitem nicht der Fall. 5.2.6 Das Adaptive Filter

5.2.6.1 Die Vorgabe Wie beschrieben, ist die Vorgabe ein Raised-Cosine-Filter, welches das 1. Nyquistkriterium erfüllt. zeigt das Resultat der Funktion raisedcos.m.

0

0.5

1

1.5Vorgabe [--] und Approximation mit firls [-]

| G(f)|

fu

Bn

fo

0 0.5 1 1.5 2 x 104

-100

-50

0Frequenz [Hz]| G(f)| dB

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x 10-3-0.5

0

0.5 Stossantwort des Filtersg* (t)

Zeit [s]

2.4

Fig. 5-19 Zeigt den Entwurf des Raised-Cosine-Filters mit dem Firls-Algorithmus



5.2.6.2 Berechnung der Korrelation

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500-10

-5

0

5

10

15

20

25

30Korrelation zwischen [u6] und [u8]

Verschiebung [tau] Fig. 5-20 Zeigt die Korrelation von u6 und u8

Fig. 5-20 zeigt die Korrelation der Signale u6 und u8. Es ist sehr erstaunlich, daß immer noch eine so große Korrelation gefunden werden konnte, obwohl das Signal u6 kaum mehr aus dem Signal u8 ableitbar ist. Die Tatsache, daß die Korrelation immer noch so groß ist, erleichtert uns die Arbeit, dies auf dem DSP zu implementieren, da von einer Eindeutigkeit der Korrelation ausgegangen werden kann.

5.2.6.3 Die Berechnung des adaptierten Filters

0 500 1000 1500-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6Verlauf der einzelnen Koeffizienten

Grö

sse

der e

inze

lnen

Koe

ffizi

ente

n

Anzahl Trainingsläufe Fig. 5-21 Zeigt den zeitlichen Verlauf der Koeffizienten

0 10 20 30 40 50 60-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6Stossantwort des adaptierten Filters

Grö

sse

der e

inze

lnen

Koe

ffizi

ente

n

Fig. 5-22 Zeigt die Stossantwort des Filters

Mit dem Signal u6 und dem zeitlich verzögerten Signal u8 wird nun das Filter trainiert. Fig. 5-21 zeigt den Verlauf jedes einzelnen Koeffizienten des FIR-Filters (am Anfang werden alle Koeffizienten mit 0 initialisiert). Schon nach etwa 500 Trainingsläufen sind alle eingependelt und schwingen nur noch ein wenig durch das zugefügte Rauschen um ihre Ruhelage. Fig. 5-22 zeigt die Stossantwort des Filters am Ende der Adaption.



5.2.6.4 Die Ergebnisse der Adaption Die Ergebnisse mit dem adaptierten Filter sind verblüffend. In Fig. 5-23 ist der Fehler der Adaption aufgetragen. Nach etwa 300 Trainingsläufen ist dieser im Rauschen verschwunden. In Fig. 5-24 ist nun der Lohn der schweißtreibenden Bemühungen dargestellt. Es ist ein Augendiagramm vorhanden, wie es im Bilderbuch steht! Man vergleiche dieses mal mit dem Augendiagramm ohne Entzerrer in Fig. 5-18. Da sind doch Welten dazwischen! Daß nicht alle Linien durch die gemeinsamen Punkte gehen, rührt einzig vom Rauschen her.

0 500 1000 1500-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Linearer Fehler der Adaption

Feh

ler

Anzahl Trainingsläufe

0 500 1000 1500-150

-100

-50

0Logarithmischer Fehler der Adaption

Feh

ler

Anzahl Trainingsläufe Fig. 5-23 Zeigt den Verlauf des Fehlers e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-4

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Augendiagramm nach dem Empfangs-Filter mittels Adaption (mit Linearisierung) [u9]

Zeitliche Verschiebung [sec] Fig. 5-24 Zeigt das entzerrte Augendiagramm



6. DIE VOLLSTÄNDIGE SIMULATION DER GANZEN ÜBERTRAGUNG

Im letzten Kapitel ging es um die Simulation des adaptiven Entzerrers. Dabei wurde als Qualitätskriterium das Augendiagramm nach dem Filter betrachtet. Für eine Datenübertragung ist aber das eigentliche Qualitätskriterium die Fehlerrate (BER: Bit Error Rate) des Empfängers. Dieses Kapitel hat die Aufgabe, das Übertragungssystem möglichst realitätsnah zu simulieren und die BER genau zu untersuchen. Die Simulation ist vierstufig aufgebaut:

• Zuerst wird die Übertragung simuliert, wie sie jetzt ohne adaptiven Entzerrer vorhanden ist. Das heißt sie ist zweiwertig und hat Impulsübersprechen. Dies entspricht aber nicht dem G3RUH-Standard, da diese Modems kein digitales Eingangsfilter haben (also kein Root-Raised-Cosine-Filter, wie bei unserem Modem). Das G3RUH-Modem entspricht also nicht dem Matched-Filter-Prinzip. Trotzdem dürften die Simulationsergebnisse beider Modems ähnlich sein, da die G3RUH-Modems komplexere Eingangsfilter besitzen.

Diese Simulation wird in Kap. 6.2 behandelt. • Nun wird das Eingangsfilter adaptiert und dadurch die Übertragungsstrecke entzerrt. In

Kap. 6.3 wird nun die entzerrte Übertragung simuliert, immer noch zweiwertig. • In Kap. 6.4 wird der PLL-Algorithmus gewechselt. Er bezieht seine Information zur

Phasensynchronisation nicht mehr aus den Nulldurchgängen, sondern aus genau definierten Schwellen. Dies ist nun dank dem Entzerrer möglich.

• In Kap. 6.5 wird die vierwertige Übertragung simuliert. In Kap. 6.6 ist schließlich noch eine Zusammenfassung der Simualtionsergebnisse vorhanden. 6.1 Der Bezugspunkt für den Signal-Rauschabstand

Als Bezugspunkt für den Signal-Rauschabstand wurde der ins Basisband zurücktransformierte Punkt vor dem Empfangsfilter des T7F gewählt. Der Signal-Rauschabstand an diesem Punkt wird im folgenden als Signal-Rauschabstand im Kanal (SRK) definiert, mit:

SRKPP

S

N= ⋅

10 10log (6-1)

SRK: Signal-Rauschabstand im Kanal PS: Signalleistung PN: Rauschleistung



Die Leistung wird allgemein definiert:

PT

u(t) i(t) dtR T

u (t) dtT T

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅∫1 1

0

2

0

= ∫ (6-2)

In der diskreten Welt wird dieses Integral genähert mit:

1 1 121

2

1

12

1R N tu i t

R Nu i

Nu i

i

N

i

N R=

i

N

⋅ ⋅⋅ ⋅ =

⋅⋅ → ⋅

= =∑ ∑∆ ∆

Ω

( ) ( ) ( ) =∑ (6-3)

Somit kann in MATLAB der Signal-Rauschabstand berechnet werden:

Ps=sum(us.^2)/length(us); % Berechnung der Signalleistung an einem Ohm

Pn=sum(un.^2)/length(un); % genaue Rauschleistung an einem Ohm

SRK=10*log10(Ps./Pn) % genaue Berechnung des SRK

% (Signal-Rauschabstand im Kanal)

Es stellt sich nun die Frage, ob es gerechtfertigt ist, an diesem Punkt den SRK zu definieren. Dazu folgende Überlegung: ob ein Bit in seinem Abtastpunkt richtig ausgewertet wird, hängt von der Momentanamplitude des Signals vor dem Abtaster ab. Ist die Rauschamplitude zu diesem Zeitpunkt zu groß, so kann ein Bit falsch detektiert werden. Als Rauschsignal wird dabei ein Signal mit gaussförmiger Amplitudenverteilung angenommen. In unseren Simulationen verwenden wir dazu ein weißes Rauschen, das heißt ein Rauschsignal, indem sämtliche Frequenzen vorhanden sind. Der große Vorteil bei Verwendung gaussförmiger Amplitudenverteilung ist, das diese Amplitudenverteilung, auch nach einer beliebigen Filterung vorhanden bleibt. Da, wie oben erwähnt, die Richtigkeit der Erkennung eines Bits nur von der momentanen Rauschamplitude abhängt und die gaussförmige Amplitudenverteilung des Rauschsignals bei beliebiger Filterung vorhanden bleibt, ist es sehr sinnvoll, den Signal-Rauschabstand an diesem Punkt zu definieren. Auf diese Weise hängen die Ergebnisse nicht von den verwendeten Eingangsfiltern ab, das heißt der Filterungsgewinn (lineare Methode zur Verbesserung des Signal-Rauschabstandes), hat keinen Einfluß auf unsere Simulationsergebnisse. Der Filterungsgewinn muß also noch zu unseren BER-Kurven dazu addiert werden, um den Signal-Rauschabstand vor dem Abtaster zu haben. Da in unseren Simulationen überall die gleichen Eingangsfilter verwendet wurden, können die BER-Kurven untereinander aber immer noch verglichen werden. Der Signal-Rauschabstand vor dem Abtaster wird im folgenden mit SRA definiert:

SRA SRK GF= + (6-4)

SRA: Signal-Rauschabstand vor dem Abtaster SRK: Signal-Rauschabstand im Kanal GF: Filterungsgewinn



Vom SRA kann Ebit/N0 berechnet werden:

EN

SRAR

BBit

dBdB

tot01010= + ⋅

log (6-5)

R: Datenrate (bei uns 9600 Bit/s resp. 19200 Bit/s) Btot: Bandbreite zur Übertragung (25 kHz)

Der zweite Summand von Gleichung (6-5) beträgt bei zweiwertiger Übertragung -4dB resp. bei vierwertiger -1dB. Der Filterungsgewinn wurde auch simuliert und beträgt etwa 20 dB. 6.2 Die Simulation der verzerrenden, zweiwertigen Übertragung

6.2.1 Das Blockschema und dessen Beschreibung

6.2.1.1 Blockschema

u2

kontinuierlichesAusgangssignal

t1

kontinueierlicheZeit

gauss'schesRauschen

t2

diskreteZeit

u4

abgetastetes,gefilterses

Ausgangssignal

u3

abgetastetesAusgangssignal

Zero-OrderHold1Zero-Order

Hold

u7

Trainingssignal

Sum

us

Signalspannung

rrc2

1 Rootcos

Sende-Filter(diskret)

rrc2

1

RootcosEingangs-Filter

(diskret)

un

Rauschspannung

rc2

1 Raised-Cosine-Filter

(Vorgabe)diskret

u5

PLL TaktHardlimiter

[A]

Goto [A]

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