II Wachstumsvorgänge L 15

Schülerbuchseiten 48 – 49

Der neue Teilnehmer mit der Listennummer 6 erhält nun in seiner ersten Runde 10 · 10 € = 100 €.

Runde G: Der neue Teilnehmer ist nun in der sechsten und letzten Einnahmerunde.

Mögliche Erläuterungen zu A bis G:A: Korrekt, siehe Anmerkungen oben.B: Die Aussage kann man unterstützen:Um auf Platz 1 zu gelangen, müssen von meiner Teilnah-me an sechs weitere Runden „funktionieren“, also 10 + 102 + 103 + 104 + 105 + 106 = 1 111 110 neue zahlende Teilnehmer gefunden werden.Es ist äußerst unwahrscheinlich, dass die Mail in der ersten Runde unterwegs ist. Wenn man z. B. nur davon ausginge, dass schon eine Runde mit 10 Teilnehmern durchlaufen wurde, müssten also insgesamt 7 Runden mit 10 + 102 + … + 107 ≈ 11 Millionen Teilnehmern statt-finden können.Bei knapp 18 Millionen Einwohnern von NRW dürfte dies unmöglich sein, da 1. nur die Internetteilnehmer infrage kommen und2. sicherlich nur wenige sich auf Kettenmails einlassen.C: Korrekt, siehe Anmerkungen oben.D: Korrekt: Da die Zahl der neuen Teilnehmer in jeder weiteren Runde um den Faktor 10 wächst, handelt es sich um exponentielles Wachstum mit dem Wachs-tumsfaktor 10. Voraussetzung ist allerdings, dass sich alle Adressaten der Mail beteiligen; das exponentielle Wachstum dient hier als ein mathematisches Modell und ist eine annähernde Beschreibung des Kettenmailphäno-mens.E: Hier könnten individuelle Begründungen der Strafbar-keit von Kettenbriefen erfolgen.F: Die Angabe des theoretisch maximal möglichen Ge-winns ist korrekt (siehe Anmerkungen oben). Die Aus-sage, dass das in der Mail formulierte Versprechen, zum Millionär zu werden, angemessen sei, ist jedoch sehr kri-tisch zu betrachten. Zum einen wird hier ohne Einschrän-kung eine Teilnahme aller Adressaten vorausgesetzt, zum anderen wird die Tatsache ausgeblendet, dass ab einer bestimmten Rundenanzahl die Anzahl der neu hinzuzu-gewinnenden Teilnehmer so groß wird, dass diese Mail nur eine eingeschränkte Rundenanzahl „funktionieren“ kann (vgl. auch B und G).G: Um nach bereits 7 Runden weitere 6 Runden erfolg-reich durchlaufen zu können, müsste die Kettenmail wegen des exponentiellen Anstiegs ihrer Teilnehmerzahl in der 13. Runde auf theoretisch 1013 ≈ 10 Billionen neue zahlungswillige Teilnehmer treffen, also auf ein großes Vielfaches der Einwohnerzahl unserer Erde.Vor diesem Hintergrund ist die Aussage verständlich.Selbst wenn man einwendet, dass man nicht von einer Teilnahme aller ausgehen kann und daher sich nur ein bestimmter Prozentsatz beteiligen würde, scheint die An-nahme utopisch, bei Nickis Einsteigen mit einem finanzi-ellen Erfolg zu rechnen.

II Wachstumsvorgänge

Erkundungen

Seite 48

1 Der Zerfall von BierschaumIndividuelle Lösung. In der Regel funktioniert der Versuch recht gut. Je nach Biersorte und Sauberkeit des Glases ergibt sich eine Halbwertszeit zwischen 60 und 150 Se-kunden.

2 Papier im DIN-A-FormatAuftrag 1: Das Verhältnis der kurzen Seiten aufeinander-folgender Formate ist immer gleich und ungefähr 1,414 ( exakt 9 0000 2 ) .Auftrag 2: Der Flächeninhalt eines DIN-A-Formates ist 1 _  2 n m

2.Auftrag 3: Die Abmessungen sind ca. 1,272 m × 0,786 m.

Seite 49

3 Kettenbriefe: „Make Money Fast“ (MMF)Individuelle Erklärungen, z. B. folgende.

Der mögliche Ablauf der Kettenmail:(Voraussetzung: Alle nehmen teil.) – Wie viele Leute nehmen teil?

In der ersten Runde zahlen 10 Teilnehmer Geld an andere, in der zweiten Runde kommen pro Mail 10 weitere hinzu, es zahlen also 10 · 10 = 102. In jeder weiteren Runde zahlen jeweils 10-mal so viele Leute wie zuvor, sodass in der n-ten Runde 10n Leute Geld bezahlen.

Runde A (ab der jetzigen Mail): – Die 10 Adressaten der Mail (neue Teilnehmer) schicken

den 6 Leuten auf der Liste je 10 €. – Ausgabe pro neuem Teilnehmer: 6 · 10 € = 60 € – gesamte Einnahmen der Listenteilnehmer:

Listennummer 6 (Fred, seine erste Einnahmerunde): 10 · 10 € = 100 € Listennummer 5 (Erni, zweite Einnahmerunde): 10 · 10 € + 102 · 10 € = 1100 € Listennummer 4 (Dani, dritte Einnahmerunde): 10 · 10 € + 102 · 10 € + 103 · 10 € = 11 100 € Listennummer 3 (Carlos, vierte Einnahmerunde): 10 · 10 € + 102 · 10 € + 103 · 10 € + 104 · 10 € = 111 100 € Listennummer 2 (Berta, fünfte Einnahmerunde): 10 · 10 € + 102 · 10 € + 103 · 10 € + 104 · 10 € + 105 · 10 € = 1 111 100 € Listennummer 1 (Anton, sechste Einnahmerunde): 10 · 10 € + 102 · 10 € + 103 · 10 € + 104 · 10 € + 105 · 10 € + 106 · 10 € = 11 111 100 €

Runde B: Die alten Listennummern rücken nun eine Nummer hoch, die 1. Nummer fliegt mit der (theoretischen) Maximal-einnahme von 11 111 100 € heraus.

L 16 II Wachstumsvorgänge

Schülerbuchseiten 51 – 55

2 Lineares und exponentielles Wachstum

Seite 55

1 a) lineares Wachstum mit der Änderung d = 2; B (20) = B (0) + 20 · 2 = 41b) exponentielles Wachstum mit dem Wachstums faktor q = 2; B (20) = B (0) · 220 = 1 048 576c) exponentielles Wachstum mit dem Wachstums faktor q = 1,8; B (20) = B (0) · 1,820 ≈ 254 964,72d) exponentielles Wachstum mit dem Wachstums faktor q = 0,8; B (20) = B (0) · 0,820 ≈ 0,12

2 a) lineares Wachstum

Jahr 0 1 2 3 4

Taschengeld 20 25 30 35 40

O

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5 6

Zeit (in Jahren)

Taschengeld (in €)

b) exponentielles Wachstum

Jahr 0 1 2 3 4

Stundenlohn 10 10,50 11,03 11,58 12,16

O

4

8

12

16

20

24

28

32

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Zeit (in Jahren)

Stundenlohn (in €)

1 Wachstumsvorgänge

Seite 51

1 a) Nach 2 Jahren beträgt Mias monatliches Taschen-geld 30 €.b) Nach 2 Jahren beträgt der Stundenlohn gerundet 11,03 €.c) Nach 2 Minuten ist die Kerze 4 mm kürzer als ur-sprünglich. Sie ist dann 7,6 cm lang.d) Der Computer hat nach 2 Jahren einen Wert von 150 €.e) Die Hefekultur hat nach 2 Stunden eine Masse von 45 g.

2 a) Änderung: 0,25 Millionen €;

relative Änderung: 0,25

_ 3,2   = 0,078 125 ≈ 7,8 %

b) In diesem Jahr beträgt der Gewinn 560 000 €·0,922 = 516 320 €.c) Prozentuale Änderung im abgelaufenen Jahr:

6500 __ 45 600 – 6500   ≈ 16,62 %; 

im kommenden Jahr: 6500 _ 45 600   ≈ 14,25 %

d) Änderung im abgelaufenen Jahr: – 5391,30 €;im kommenden Jahr: – 4960 €

Seite 52

4 a)

Zeitschrittvon 0 nach 1

von 1 nach 2

von 2 nach 3

Änderung + 5 + 2,5 – 2,5

relative Änderung + 100 % + 25 % – 20 %

Zeitschrittvon 3 nach 4

von 4 nach 5

Änderung + 5 + 10

relative Änderung + 50 % + 66,67 %

b) Nein. Bei gleicher Zunahme ändert sich die prozentu-ale Zunahme mit dem Grundwert; z. B. größte Zunahme von 4 nach 5, größte prozentuale Zunahme von 0 nach 1.c) B (6) = 20

5 a) B (2) = 1,6 · 1,12 = 1,792b) B (9) = 34 · (1 – 0,043) = 32,538c) B (4) = 12,8 : 1,075 ≈ 11,907

7 a) Größte absolute Änderung von 2006 auf 2007; ca. 4,75 Millionen; größte relative Änderung von 2001 auf 2002; Zunahmen ca. 70 %.b) Die Änderung beschreibt nur die Veränderung eines Bestands ohne Rücksicht darauf, wie hoch der Bestand vor der Änderung war. Die relative Änderung beschreibt nicht die Veränderung alleine, sondern die Veränderung relativ zum Bestand vor der Änderung. Somit kann z. B. eine große Änderung bei einem sehr großen Bestand eine kleine relative Änderung zur Folge haben.

II Wachstumsvorgänge L 17

Schülerbuchseiten 55 – 56

f) lineares Wachstum

Zeit (min) 0 1 2 3 4

Volumen (ø) 800 1000 1200 1400 1600

O

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

1 2 3 4 5

Zeit (in min)

Volumen (in ø)

3 a)

x 0 1 2 3 4 5

y 20 15 11,25 8,438 6,328 4,746

b)

x 0 1 2 3 4 5

y 1,276 1,786 2,5 3,5 4,9 6,86

4 a) q = 1,2; B (6) = 200 · 1,26 ≈ 597,20b) p = 0,25; q = p + 1 = 1,25; B (6) = 200 · 1,256 ≈ 762,94c) p = – 0,15; q = p + 1 = 0,85; B (6) = 200 · 0,856 ≈ 75,43d) q = 0,92; B (6) = 200 · 0,926 ≈ 121,27

Seite 56

7 a) 15, 75, 375b) Der Ast hat voraussichtlich nach etwas mehr als zwei Jahren mehr als 80 Enden.

8 a)

Jahr 1800 1850 1900 1950 2000 2050

Anz. 0,91 1,26 1,65 2,52 6,01 9,6

d – 0,35 0,39 0,87 3,49 3,59

q – 1,385 1,31 1,527 2,385 1,597

p – 38,5 % 31,0 % 52,7 % 138,5 % 59,7 %

Es handelt sich nicht um exponentielles Wachstum.b) Bezüglich der absoluten Änderung geht die UN von einem stärkeren und bezüglich der prozentualen Ände-rung von einem schwächeren Wachstum aus.

c) lineares Wachstum (Abnahme)

Zeit (min) 0 5 10 15 20

Höhe (mm) 120 110 100 90 80

O

20

40

60

80

100

120

140

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Zeit (in min)

Höhe (in mm)

d) exponentielles Wachstum (Abnahme)

Jahr 0 1 2 3 4

Wert 500 250 125 62,5 31,25

O

100

200

300

400

500

1 2 3 4 5 6 7

Zeit (in Jahren)

Wert (in €)

e) exponentielles Wachstum

Stunden 0 1 2 3 4

Masse (g) 5 15 45 135 405

O

50

100

150

200

250

300

350

400

1 2 3 4 5

Zeit (in h)

Masse (in g)

L 18 II Wachstumsvorgänge

Schülerbuchseiten 56 – 60

16 a)   Modell 4 % jährlich:  2000 · 1,04t: 2080; 2163; 2250 € (Endgehalt), also in der Summe 12 · 6493 € = 77 916 €.Modell Einmalzahlung von 7 %, dann 3 % jährlich:0,07 · 24 000 € einmalig, dann 2060; 2122; 2185 € (End-gehalt), also in der Summe 12 · 6367 € + 1680 € = 78 084 €.b) Die Arbeitgeberseite bietet den Arbeitnehmern 168 € mehr in diesen drei Jahren, die Arbeitnehmer bleiben aber für die Folgezeit auf einem niedrigeren Gehalts-niveau, das die Basis für die nächsten Gehaltssteige-rungen ist.

3 Exponentialfunktionen

Seite 60

1 a) f (x) = 4 x , monoton zunehmendb) f (x) = 0, 5 x , monoton abnehmendc) f (x) = 2 x , monoton zunehmendd) f (x) = 0, 2 x , monoton abnehmend

2 a)

– 4– 5– 6 – 3 – 2 – 1– 1

O

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

x

y

y = h (x)

y = f (x)y = g (x)y = k (x)

b)

– 4– 5– 6 – 3 – 2 – 1– 1

– 2

– 3

O

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

x

y

y = h (x)

y = f (x)

y = g (x)

y = k (x)

3 a) f (x) = 2 · 3 x b) f (x) = 3 x – 2 c) f (x) = – 3 x + 3 d) f (x) = 0,5 · 3 x – 2 + 1

9 a)

t (in Jahren) Wert f (t) (in €)

0 120 000

1 117 600

2 115 200

3 112 800

4 110 400

5 108 000

6 105 600

f (20) = 120 000 – 20 · 2400 = 72 000In 20 Jahren beträgt der Wert noch 72 000 €.b)

t (in Jahren) Wert f (t) (in €)

0 120 000

1 121 800

2 123 627

3 125 481

4 127 364

5 129 274

6 131 213

f (20) = 120 000 · 1,01520 = 161 623In 20 Jahren beträgt der Wert 161 623 €.

10 a) 1,062

_ 0,003 = 354 Jahre

b) 1,5 = 0,003 x + 1,062; x = 146 Jahre

11 1,5 – 7 · 0,15 = 0,45 Herrn Riesling droht also ein Führerscheinentzug.

Seite 57

14 a)

Höhe Luftdruck Abnahme (in %)

0 1013 –

1 899 11,25

2 795 11,57

3 701 11,82

4 616 12,13

5 540 12,34

6 472 12,59

7 411 12,92

8 356 13,38

Die prozentuale Abnahme ist etwa konstant.b) Der Luftdruck nimmt pro km um ungefähr 12 bis 13 % ab.c) Wir nehmen eine jährliche Abnahme von 12,5 % an. B (12) = B (0) · 0, 875 12  ≈ 204 hPa.

15 a) Lineares Wachstum mit der Änderung d = 4; B (6) = 28.b) Es handelt sich weder um lineares noch um exponen-tielles Wachstum. Für die Anzahl der Würfelchen gilt B (n) = (n + 1)3; B (6) = 729.c) Lineares Wachstum mit der Änderung d = 2; B (6) = 15.d) Exponentielles Wachstum mit q = 2; B (6) = 64.

II Wachstumsvorgänge L 19

Schülerbuchseiten 60 – 64

b)

– 4– 5– 6 – 3 – 2 – 1– 1

– 2

– 3

O

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6

x

y

g (x) = – 3x + 4

g (x) = 1,5 · 3 – x – 3

g (x) = 2 · 3x – 1

g (x) = – 2,5 · 3 – x + 2,5

8 a) q x + 1 = q · q x = q · f (x)Der Funktionswert wird mit dem Faktor q multipliziert.

b) q x – 2 = q x

_ q 2

= 1 _ q 2

· f (x)

Der Funktionswert wird durch q 2 dividiert.

c) q 2 x = (q x ) 2 = ( f (x) ) 2 Der Funktionswert wird quadriert.

d) q x _ 2 = 90000000 q x = 90000000000 f (x)

Der neue Funktionswert ist die Quadratwurzel des ursprünglichen Funktionswertes.

e) q 3 x = (q x ) 3 = ( f (x) ) 3 Der neue Funktionswert ist die dritte Potenz des ursprünglichen Funktionswertes.

f) q x _ 3 =

3 9 000000 q x =

3 9 0000000000 f (x)

Der neue Funktionswert ist die dritte Wurzel des ursprünglichen Funktionswertes.

9 a) Richtig, da auch 3x > 0 ist.b) Nicht entscheidbar, da das Vorzeichen von a nicht bekannt ist.c) Richtig, da a · 3 x + 2 = a · 3x · 32 = 32 · f (x).d) Falsch, da a · 3 2 x = a · (3x) 2  ≠  (a · 3x) 2   für alle  a ≠ 1  und  a ≠ 0.

e) Falsch, da a · 3 – x = a · ( 1 _ 3 ) x = h (x);

(– 3)x ist für x * R nicht definiert.

4 Bestimmung von Exponentialfunktionen

Seite 63

1 a) q = 1 _ 5 ; a = 5 b) q = 2; a = 1 _ 2

c) q = 900000 2 ; a = 900000 2 d) q = 5; a = 1 _ 25

e) q = 2; a = 2,5 f) q = 1 _ 2 ; a = 768

g) q = 90000 1 _ 5 ; a = 75 · 900000 5 h) a = b; q = d _ a

i) a = b; q = c 9 0000 1 _ a

Seite 64

2 a) f (x) = 0,5 · 2 x b) f (x) = 2 · 1, 5 x c) f (x) = 2 · 0, 5 x d) f (x) = 4 · ( 9 0000 2 ) x

4 a)

– 4 – 3 – 2 – 1– 2

– 4

– 6

O

2

4

1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

y = h (x)

y = g (x)

y = f (x)

y = k (x)

Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch Streckung (Faktor 3) in y-Richtung hervor.Der Graph von h geht aus dem Graphen von g durch Spiegelung an der x-Achse hervor.Der Graph von k geht aus dem Graphen von h durch Verschiebung um 5 Einheiten in y-Richtung hervor.b)

– 4– 5 – 3 – 2 – 1– 1

– 2

– 3

O

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7

x

y

y = h (x)

y = g (x) y = f (x)

y = k (x)

Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der y-Achse hervor.Der Graph von h geht aus dem Graphen von g durch Streckung (Faktor 2) in y-Richtung hervor.Der Graph von k geht aus dem Graphen von h durch Verschiebung um – 3 Einheiten in y-Richtung hervor.

Seite 61

6 a)

– 4– 5– 6 – 3 – 2 – 1– 1

– 2

– 3

O

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6

x

y

g (x) = 3x + 2

g (x) = – 3xg (x) = 4 · 3x – 3

g (x) = 2 · 3 – x

L 20 II Wachstumsvorgänge

Schülerbuchseite 64

e) f (x) = 4 · 2x f) f (x) = 1 _ 3 · 9x

f)

e)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

1–1–2–3–4–5–6 3 4 5 62O

g) f (x) = 4 900000 2 · ( 2 900000 2 ) x h) f (x) = 1 _ 5 · 25x

h)

g)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

1–1–2–3–4–5–6 3 4 5 62O

7 a) Um 31,43 %;   ( (1 – 0,914)·100 % ) b) Zeit (in min) ¥ Schaumhöhe (in cm): f (x) = 10 · 0,914 x

Zeit (in min)

Schaumhöhe (in cm)

0,4 1,2 1,6 2,4 2,820,8O

2

4

6

8

10

110 s

c) Nach der Skizze liegt die Halbwertszeit etwa bei 110 s. Somit liegt sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vor.

8 Nach einer Stunde hat sich die Anzahl der Bakterien vervierfacht.Zeit (in h) ¥ Anzahl der Bakterien: f (x) = 100 · 4x

9 q6 = 2; q = 6 9 0000 2    ≈ 1,122;  a = 0,3 kg

3 a) Graph ist spiegelbildlich zu f (x) = 2 · 0, 5 – x ; Graph ist monoton fallend.b) f (0) = 3 , Graph ist monoton fallend.c) Graph verläuft durch P ( 0 | 2 ) , jedoch nicht durch Q ( 1 | 1 ) .d) f (0) = 3

4 a) f (x) = 1 _ 2 ·2x b) f (x) = 4x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

1–1–2–3–4–5–6 3 4 5 62

b)

a)

O

c) f (x) = 16 · 4x d) f (x) = 2 · ( 1 _ 2 ) x

d)

c)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

1–1–2–3–4–5–6 3 4 5 62O

II Wachstumsvorgänge L 21

Schülerbuchseiten 65 – 68

2 a) 53 = 125 b) 5– 1 = 0,2c) 51 = 5 d) 50 = 1e) 0,5– 3 = 8 f) 0,22 = 0,04

g) ( 900000 2 ) – 4 = 0,25 h) bc = a

3 a) log2 (64) = 6, weil 26 = 64 ist.b) log10 (1) = 0, weil 100 = 1 ist.

c) log3 ( 900000 3 ) = 1 _ 2 , weil 3 1 _ 2 = 900000 3 ist.

d) log7 (7) = 1, weil 71 = 7 ist.

e) log2 ( 1 _ 16 ) = – 4, weil 2– 4 = 1 _ 16 ist.

f) log5 ( 1 _ 900000 5

) = – 1 _ 2 , weil 5 – 1 _ 2 = 1 _ 900000 5

ist.

g) log6 ( 1 _ 3 9 0000 6

) = – 1 _ 3 , weil 6 – 1 _ 3 = 1 _ 3 9 0000 6

ist.

h) lo g 3 9 0000 6

( 1 _ 6 ) = – 3, weil ( 6 1 _ 3 ) – 3 = 1 _ 6 ist.

4 a) 3 x = 9 4 = (3 2 ) 4 = 3 8 ; x = 8b) 10 x = 10 1,5 ; x = 1,5c) 5 x = 125 – 1 = (5 3 ) – 1 = 5 – 3 ; x = – 3d) a x = a 3 ; x = 3e) 4 x = 2 200 = 4 100 ; x = 100f) 10 x = 10 – 120 ; x = – 120

g) ( 1 _ 2 ) x = 2 5 = ( 1 _ 2 ) – 5 ; x = – 5

h) 3 x = 27 – 1 _ 2 = 3 – 3 _ 2 ; x = – 1,5

5 a) 1 b) 0 c) – 1 d) n e) – n

6 a) 0; 1 TR-Wert 0,7782b) 1; 2 TR-Wert 1,778c) 2; 3 TR-Wert 2,778d) 9; 10 TR-Wert 9,288e) 1; 2 TR-Wert 1,723f) 3; 4 TR-Wert 3,322g) – 4; – 3 TR-Wert – 3,322h) 3; 4 TR-Wert 3,322

Seite 68

9 a) b = 5 b) b = 7c) b = 0,5 = 2– 1 d) b = 5e) a = 81 f) a = 64g) a = 27 h) a = 0,0001

10 a) x = log 4  (12) ≈ 1,792b) x = log 2,4  (3,9) ≈ 1,555c) y = log 1,14  (0,7) ≈ – 2,722d) z = log 0,45  (1,9) ≈ – 0,8038

e) x = 1 _ 2 log 3,7  (5) ≈ 0,6151

f) x = 1 _ 3 log 1,46  (0,8) ≈ – 0,1965

g) x = – log 8,2  (4,9) ≈ – 0,7553

h) x = – 1 _ 2 log 5,6  (1,4) ≈ – 0,0977

i) x = log 3  (0,7) ≈ – 0,3247

j) y = log 1,5 ( 2,3 _ 6 )  ≈ – 2,365

k) x = – log 5 ( 2,8 _ 1,3 )  ≈ – 0,4767

l) t = log 1,4 ( 3,2 _ 0,9 )  ≈ 3,77

Seite 65

11 a)

Zeit (in s) 0 10 20 30 40 50

Amplitude (in cm) 3,6 1,8 0,9 0,4 0,2 0,1

Die Amplitude halbiert sich alle 10 Sekunden.b) q = 0,5; a = 3,6

f (x) = 3,6 · 0, 5 x _ 10

12 a)

Zeit (in min)

Prozentsatz am ursprünglichenStickstoffgehalt

10 30 40 50 60 70 80 9020O

20

40

60

80

100

b) Die Anzahl der Minuten seit Beginn der Messung wird mit x bezeichnet. Zwei Zeitpunkte n und n + 1 sollen 10 Minuten auseinanderliegen. Es ist also n = x _ 10 . Wenn B (n) den Bestand zum Zeitpunkt n angibt, also den Stick-stoffgehalt in %, so liegt exponentielles Wachstum vor, 

wenn der Quotient q = B (n)

__ B (n – 1) konstant ist.

Von n = 0 bis n = 1: q = 52,3

_ 100 = 0,523

Von n = 1 bis n = 2: q = 24,1

_ 52,3   ≈ 0,461

Von n = 2 bis n = 3: q = 14 _ 24,1   ≈ 0,581

Von n = 3 bis n = 4: q = 5,9

_ 14   ≈ 0,421

Von n = 4 bis n = 5: q = 3,0

_ 5,9   ≈ 0,508

Von n = 5 bis n = 6: q = 1,8

_ 3,0 = 0,6

Der Wert für q schwankt um 0,52. Die Messwerte legen ein exponentielles Wachstum (hier eine Abnahme) nahe.

c) Funktionsgleichung: f (x) = 100 · 0,5 2 x _ 10

Damit ergibt sich:

x 0 10 20 30 40 50 60

f (x) 100 52 ≈ 27,0 ≈ 14,1 ≈ 7,3 ≈ 3,8 ≈ 2,0

Die Messwerte werden also näherungsweise beschrieben.

5 Logarithmen

Seite 67

1 a) 3 = log4 (64) b) 2 = log7 (49)

c) – 2 = log3 ( 1 _ 9 ) d) – 3 = lo g 1 _ 3 (27)

e) 0,5 = log36 (6) f) 0 = log8 (1)

g) – 6 = lo g 90000000 10

( 1 _ 1000 ) h) y = logx (z)

L 22 II Wachstumsvorgänge

Schülerbuchseiten 68 – 71

20 a) Wachstumsfaktor: a = 1 – 0,047 = 0,953Aus K0 · 0,953x = 0,5 · K0 folgt 0,953x = 0,5, also

x = lg (0,5)

__ lg (0,953)   ≈ 14,40;  Halbwertszeit: 14,4 Tage

b) a = 0,99; 0,99x = 0,5 ⇒ x = lg (0,5)

__ lg (0,99)   ≈ 69,0Halbwertszeit: 69,0 Tage

c) a = 0,8; 0,8x = 0,5 ⇒ x = lg (0,5)

_ lg (0,8)   ≈ 3,11

Halbwertszeit: 3,11 Minuten

21 70 · (0,9)x = 50; x = log0,9 ( 5 _ 7 ) = lg ( 5 _ 7 )

_ lg (0,9)   ≈ 3,2

Nach circa 3,2 Minuten ist der Tee auf 50 °C abgekühlt.

22 a) v (0) = 0 m _ s b) 2 = 2,5 (1 – 0,9t); 0,8 = 1 – 0,9t; 0,9t = 0,2;t = log 0,9  (0,2) ≈ 15,28.  Nach 15,28 s ist die Sinkgeschwin-digkeit 2 m _ s .

23 a) Gleichung lösbar: x = lo g 2 (3)  ≈ 1,585.

b) Gleichung lösbar: x = lo g 2 ( 1 __ 3 )   ≈ – 1,585.

c) Gleichung nicht lösbar, da lo g 2 (– 3) nicht definiert.

d) Gleichung nicht lösbar, da lo g 2 (– 1 _ 3 ) nicht definiert.

e) Gleichung nicht lösbar, da lo g 2 (0) nicht definiert.

24 a) L = 6 1 _ 2 7 b) L = { }

c) L = 6 1 _ 2 900000 2 ; – 1 _ 2 900000 2 7 d) L = 6 900000 2 ; – 900000 2 7

25 a) 3x ≠ 0;  3x – 2 = 0; 3x = 2x = log 3  (2) ≈ 0,6309b) 2x = 1; x 1 = 0;2– x + 1 = 0 hat keine Lösung.c) 5x (3 – x) = 0; x = 3d) 10x – 2 = 0; x 1 = log 10  (2) ≈ 0,3010

102 x – 2 = 0; x 2 = 1 _ 2 log 10  (2) ≈ 0,1505

26 a) 2 · 3x = 5; x = log 3  (2,5) ≈ 0,834b) Differenz mit unterschiedlichen Basen; nicht durch Logarithmieren lösbar.c) Die Gleichung lässt sich zunächst wie in Beispiel 2 umformen: – 6 = 22 · 5x + 1.Die rechte Seite dieser Gleichung ist positiv für alle x, die linke stets negativ. Daher besitzt die Gleichung keine Lösung.d) x als Faktor und als Exponent; nicht durch Logarith-mieren lösbar.

6 Logarithmengesetze

Seite 71

1 a) log 10 (3) + log 10 (x)b) 1 + loga (b) + loga (c)c) 2 log 10 (u)d) loga (2) + 1 + 2 loga (b)e) loga (5) + loga (e) – loga (f)f) loga (u) + loga (v) – loga (w)

g) 1 _ 2 log 10 (x)

h) 1 _ 4 loga (b)

11 a) x – 1 = log 10  (6) ≈ 0,7782;  x = 1,7782b) x + 1 = log 6  (108) ≈ 2,6131;  x = 1,6131

c) x = 1 _ 2 ( 1 – log 5 (17) )   ≈ – 0,3802d) x = 1 _ 5 ( log 10 (2) – 1 )   ≈ – 0,1398e) x = – log 8 ( 25 _ 3 )  – 2 ≈ – 3,0196f) x = 1 _ 2 ( log 7 (6) + 1 )   ≈ 0,9604g) x = 4 _ 3 – 1 _ 3 lo g 2 ( 1 __ 5 )   ≈ 2,1073

h) x = 5 – lo g 4 ( 1 __ 3 )   ≈ 5,7925

12 30 = 1,2 · 2 t ; t = log 2  (25) ≈ 4,644.Es dauert ca. 4,6 Wochen bzw. vier Wochen und 4,5 Tage.

13 a) Es muss gelten: 180 000 € · 1, 025 t = 200 000 €

bzw. t = lo g 1,025 ( 10 _ 9 ) ≈ 4, 27 .

Nach etwas mehr als vier Jahren ist die Wohnung 200 000 € wert. b) Es muss gelten: B (0) · 1, 025 15 = 800 000 € bzw. B (0) ≈ 552 372 €. c) Es muss gelten:

95 000 € · (1 + p)16 = 120 000 € bzw. p = 16

9 0000000 24 __ 19 – 1 ≈ 0,0147 .

Die jährliche Wertsteigerung beträgt etwa 1,47 % .

14 a) 100 · 1,02818 = 164,39 €.b) Es muss gelten: 100 · 1,028t = 200 bzw. 1,028t = 2,

also t = lg (2) __ lg (1,028)   ≈ 25,1 = 18 + 7,1.

Sie muss somit noch etwa 7,1 Jahre warten.

15 Es gilt: B (6) = 0,1 · B (0) und B (6) = B (0) · q6.

q = 0, 1 1 _ 6   ≈ 0,6813.  Aus  q = p + 1  folgt für die prozentuale

Abnahme  p ≈ – 0,3187.Bei jedem Aufspringen vermindert sich die Höhe um 31,87 %.

16 Es muss gelten:

60 000 000 · 1,03t = 110 000 000 · 1,01t, also ( 1,03 _ 1,01 )

t = 11 _ 6

bzw. t = lg ( 11 _ 6 )

__ lg ( 1,03

_ 1,01 )    ≈ 30,91.

Nach knapp 31 Jahren haben die beiden Staaten etwa die gleiche Einwohnerzahl.

Seite 69

19 Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor q = 1,08.Ansatz: 2 · B (0) = B (0) · 1,08n. Gesucht ist n.

n = log1,08 (2) = lg (2)

__ lg (1,08)   ≈ 9,0

Das Ergebnis für n hängt nicht vom Anfangswert B (0) ab. Deshalb verdoppelt sich der Bestand in beiden Fällen in etwa neun Jahren.

II Wachstumsvorgänge L 23

Schülerbuchseiten 71 – 72

d) (2 z + 1) · log 10 (4) = 3 z · log 10 (10)2 · log 10 (4) z + log 10 (4) = 3 · z

z = log 10 (4) __ 3 – 2 · log 10 (4)    ≈ 0,335

e) log 10 (3) + 3 t · log 10 (1,4) = (t – 1) log 10 (2) log 10 (3) + 3 · log 10 (1,4) · t = log 10 (2) · t – log 10 (2)

t = log 10 (2) + log 10 (3)

__ log 10 (2) – 3 · log 10 (1,4)    ≈ – 5,665

f) log 10 (4) + (x – 1) · log 10 (5) = (x + 1) · log 10 (10) log 10 (4) + x · log 10 (5) – log 10 (5) = x + 1

x = log 10 (5) – log 10 (4) + 1

__ log 10 (5) – 1

≈ – 3,644

g) log 10 (7) + 2 x · log 10 (6) = (x + 3) · log 10 (11) log 10 (7) + 2 x · log 10 (6) = x · log 10 (11) + 3 · log 10 (11)

x = 3 · log 10 (11) – log 10 (7)

__ 2 · log 10 (6) – log 10 (11)    ≈ 4,426

h) (3 x – 2) · log 10 ( 3 _ 4 ) = (2 x – 3) · log 10 ( 2 _ 5 ) 3 x · log 10 (0,75) – 2 · log 10 (0,75)

= 2 x · log 10 (0,4) – 3 · log 10 (0,4)

x = 2 · log 10 (0,75) – 3 · log 10 (0,4)

___ 3 · log 10 (0,75) – 2 · log 10 (0,4)    ≈ 2,242

8 a) 57 – x = 53 x – 6; x = 3,25

b) 23 x = ( 1 _ 2 ) 35 ; 23 x = 2– 35; x = – 35 _ 3

c) 3 x _ 2 + 5 _ 4 = 2 7

x _ 2 ; 3 x _ 2 + 5 _ 4 = 3

3 x _ 2 ; x = 5 _ 4

d) 2 3 x _ 2 = 5 – 2 x _ 3 ; x = 0

Seite 72

10 Rechnung auf gelbem Kärtchen:

Die dritte Umformung lo g 4 ( 8 __ 2 ) = lo g 4 (8)

__ lo g 4 (2) ist falsch.

Es muss lo g 4 ( 8 __ 2 ) = lo g 4 (8) – lo g 4 (2) lauten.

Beim nächsten Schritt wäre lo g 4 ( 8) : 1 _ 2 folgerichtig,

also 2 · lo g 4 ( 8) und nicht 1 _ 2 · lo g 4 ( 8). Des Weiteren gilt:

lo g 4 ( 8) = 1,5 und nicht 2.

Rechnung auf grünem Kärtchen:Die zweite Umformung lo g 2 ( 2 4 ) = 2 · lo g 2 (4) ist falsch. Es muss lo g 2 ( 2 4 ) = 4 · lo g 2 (2) lauten.Rechnung auf lila Kärtchen:Die dritte Umformung lo g 9 ( 3 2 ) = lo g 9 (3) · lo g 9 (3) ist falsch. Es muss lo g 9 ( 3 2 ) = 2 · lo g 9 (3) lauten.Rechnung auf blauem Kärtchen:Die erste Umformung ist falsch. Es muss 2 = log2 (4) heißen. Ab der zweiten Umformung fehlt die Basis der Logarithmen. Der dritte Term ist (bis auf die fehlende Ba-sis) richtig, wenn man den zweiten, wie soeben erwähnt, durch log2 (4) ersetzt. Dasselbe gilt für den vierten Term. Der vorletzte Term ist wiederum falsch, richtig wäre z. B.

2 logb (2)

__ logb (2) . Dabei ist b > 0 eine beliebige Basis.

i) 2 loga (x) + 3 loga (y) – 2 loga (u) – 3 loga (v)j) – 2 – 4 loga (b) – 7 loga (c)k) 2 log2 (r) + log2 (s) + 4 log2 (t) – 3 log2 (u) – log2 (v)

l) 11 _ 2 + 3 _ 2 loga (b) + 5 _ 2 loga (c)

2 a) log 10 (2 x y) b) loga (u) c) loga ( 1 _ a ) = – 1

d) loga ( 1 _ 2 ) e) log 10 (1) = 0 f) loga ( 90000 x ) g) loga (2) h) log 10 (x

2)

3 a) log3 (94) = 4 log3 (9) = 4 log3 (32) = 4 · 2 = 8

b) log10 (0,10,5)

= log10 ( ( 1 _ 10 ) 0,5 ) = 0,5 (log10 (1) – log10 (10))

= 0,5 (0 – 1) = – 0,5

c) log5 (125– 2) = – 2 log5 (125) = – 2 log5 (53) = – 2 · 3 = – 6

d) log4 (2200) = 200 log4 (2) = 200 log4 ( 2 1 _ 2 ) = 200 · 1 _ 2 = 100

e) log0,1 (100– 120) = – 120 log0,1 (100) = – 120 log0,1 (0,1– 2) = – 120 · (– 2) = 240

f) loga ( 1 _ a2 ) = loga (a– 2) = – 2 loga (a) = – 2

g) log6 (36– 0,5) = – 0,5 log6 (36) = – 0,5 log6 (62) = – 0,5 · 2 = – 1

h) log0,2 (50,1) = 0,1 log0,2 (5) = 0,1 log0,2 (0,2– 1) = 0,1 · (– 1) = – 0,1

i) log 1 _ 3 ( 243

1 _ 5 )

= 1 _ 5 lo g 1 _ 3 (243) = 1 _ 5 lo g

1 _ 3 (35) = 1 _ 5 lo g

1 _ 3 ( ( 1 _ 3 ) – 5

) = 1 _ 5 · (– 5) = – 1

j) log2 ( 9 0000 2 ) 3 = 3 log2 ( 9 0000 2 ) = 3 log2 ( 2 1 _ 2 ) = 3 · 1 _ 2 = 1,5

k) lo g 9 0000 2

(25) = 5 lo g 9 0000 2

(2) = 5 lo g 9 0000 2

( ( 9 0000 2 ) 2 ) = 5 · 2 = 10

l) lo g 9 0000 5

(2 5 1 _ 2 )

= 1 _ 2 lo g 9 0000 5

(25) = 1 _ 2 lo g 9 0000 5

(5²) = 1 _ 2 lo g 9 0000 5

( ( 9 0000 5 ) 4 ) = 1 _ 2 · 4 = 2

4 a) x = 9 b) x = 2 c) x = 200

d) x = a9 e) x = 12 f) x = 5 a _ b

6 a) x = u2 · 90000 v

b) x = u + v _ u – v

c) x3 = u4 _

v2 ⇒ x = 3

9 000000

u4 _

v2

d) x2 · (u2 + v2 ) 3 = 1 ⇒ x = 90000000000000000000000000 (u2 + v2 ) – 3

7 a) x · log 10 (2) = (x – 1) · log 10 (3)x · log 10 (2) = x · log 10 (3) – log 10 (3)

x = log 10 (3) __ log 10 (3) – log 10 (2)    ≈ 2,710

b) (x + 1) · log 10 (7) = 7 x · log 10 (2)x · log 10 (7) + log 10 (7) = 7 x · log 10 (2)

x = log 10 (7) __ 7 log 10 (2) – log 10 (7)    ≈ 0,670

c) 2 y · log 10 (5) = (1 – y) · log 10 (4)2 · log 10 (5) · y = – y · log 10 (4) + log 10 (4)

y = log 10 (4) __ log 10 (4) + 2 · log 10 (5)    ≈ 0,301

L 24 II Wachstumsvorgänge

Schülerbuchseiten 72 – 74

Exkursion

Seite 73

1 a) Dies dauert jeweils drei Halbwertszeiten. Bei I 131 sind das 24,06 Tage, bei Cs 137 sind es 90,51 Jah-re.b) Nach zehn Halbwertszeiten liegt bei beiden Stoffen

noch der Anteil 1 _ 2 10    ≈ 0,000 98 ≈ 0,098 %  vor.

2 a) Es gilt B (30) = B (0) · q30.

Aus Fig. 1 liest man B (30) = 1 _ 2 B (0) ab.

Es gilt also B (0) · q30 = 1 _ 2 B (0) und damit

q = 30

9 0000 1 _ 2      ≈ 0,977.

b) Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne in Prozent: B (n) ≈ 100 %·0,977n (n in Jahren)

Jahr 0 10 20 30 40 50

Menge 100 % 79,24 % 62,79 % 50 % 39,43 % 31,24 %

Jahr 60 70 80 90 100

Menge 25 % 19,62 % 15,54 % 12,5 % 9,76 %

10O

50

100

Anzahl Cäsium-137-Kerne (in %)

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Jahre

c) Es soll gelten:

0,05 = 1 · 0,977n, also n = log10 (0,05)

__ log10 (0,977)   ≈ 128,7.

Nach etwa 129 Jahren werden nur noch 5 % des frei­gesetzten Cäsiums in der Umwelt vorhanden sein.

3 a) Nach 24 000 Jahren ist noch die Hälfte, nach 48 000 Jahren noch ein Viertel der Ausgangsmenge vor-handen.b) Nach zwei Halbwertszeiten, d. h. nach 48 000 Jahren, ist noch ein Viertel des Plutoniums vorhanden. Nach drei Halbwertszeiten, d. h. nach 72 000 Jahren, ist noch ein Achtel des Plutoniums vorhanden. Das sind sehr lange Zeiträume. (Zum Vergleich: Man schätzt das Alter des Homo sapiens auf einige 100 000 Jahre.) Die Aussage aus dem Artikel ist falsch. Das Plutonium wird sich niemals in eine nicht mehr strahlende Materie verwandeln.Es ist weiter zu beachten, dass die Zerfallsprodukte von Plutonium ebenfalls radioaktiv sind.

Seite 74

1 Nach 5730 Jahren (eine Halbwertszeit) sind noch 50 % vorhanden.Nach 11 500 Jahren (ca. zwei Halbwertszeiten) sind noch 25 % vorhanden.

11 Es sei: (1) x = loga (u) und y = loga (v).Dann ist: (2) u = ax und v = ay.Aus u : v = ax : ay folgt:

(3) loga (u : v) = loga (ax – y), loga (u : v) = x – y.

Einsetzen von (1) in (3) ergibt: loga (u : v) = loga (u) – loga (v).

12 a) 3. Logarithmengesetz:

loga ( 1 _ u ) = loga (u– 1) = – 1 · loga (u) = – loga (u)

2. Logarithmengesetz:Wegen a0 = 1 ist loga (1) = 0 und damit ist

loga ( 1 _ u ) = 0 – loga (u). Somit ist loga ( 1 _ u ) = – loga (u).

b) loga (u : v) = loga ( u · 1 _ v ) = loga (u) + loga ( 1 _ v ) Wegen loga ( 1 _ v ) = – loga (v) ist

loga (u : v) = loga (u) – loga (v).

c) loga ( n 90000 u ) = loga ( u 1 _ n ) = 1 _ n · loga (u)

13 Es ist x = lo g b (z) bzw. b x = z .Damit lo g a ( b x ) = lo g a (z) ; für die linke Seite dieser Glei-chung gilt nach dem 3. Logarithmengesetz: lo g a ( b x ) = x · lo g a (b) und damit x · lo g a (b) = lo g a (z) .Da laut anfänglicher Festlegung x = lo g b (z) gilt, folgt:

lo g b (z) = lo g a (z)

__ lo g a (b) .

14 a) lo g b (z) = lo g 10 (z)

__ lo g 10 (b)

b) lo g 3 (7) = lo g 10 (7)

__ lo g 10 (3)   ≈ 1,77

c) x = lo g 10 (3) ___ lo g 10 (3) – 2 lo g 10 (4)   ≈ – 0,656

15 a) (1) 1 0 p _ q = 3 ist die Umkehrung der Annahme

log10 (3) = p _ q , wobei p und q ganze Zahlen sind.

(2) Beide Seiten der Gleichung werden mit q potenziert.

(3) 1 0 ( p _ q )

q = 1 0

p · q

_ q = 10p nach Potenzgesetz .

Die Annahme ist falsch. Es ist 10p ≠ 3q, denn 10p ist nicht durch 3 teilbar, da die Quersumme von 10p für alle p gleich 1 ist. 3q ist aber durch 3 teilbar, denn 3q = 3 q – 1 · 3.

b) Annahme: log2 (3) = p _ q , wobei p und q ganze Zahlen

sind.

(1) 2 p _ q = 3

(2) 2 ( p _ q )

q = 3q

(3) 2p = 3q

Die Annahme ist falsch. Es ist 2p ≠ 3q, da 2p nicht durch 3 teilbar und 3q nicht durch 2 teilbar ist.

c) Annahme: log4 (8) = ( p _ q ) , wobei p und q ganze Zahlen

sind.(3) 4p = 8q

p = 3 und q = 2 erfüllen die Annahme. Damit ist

log4 (8) = ( 3 _ 2 ) rational.

II Wachstumsvorgänge L 25

Schülerbuchseite 74

2 12,5 % ist ein Achtel des Ausgangswertes. Es sind also drei Halbwertszeiten, d. h. 17 190 Jahre, vergangen.

3 53 % entsprechen nicht ganz einer Halbwertszeit. Ötzi hat vor etwas weniger als 5730 Jahren gelebt.

4 Es gilt 0,5 · B (0) = B (0) · q5730, also

q = 5730 9000000000 0,5    ≈ 0,999 879.

Man kann mit dem Wachstumsfaktor q (Zeitschritt: 1 Jahr) oder mit dem Wachstumsfaktorq = q1000 = 0,866 062 (Zeitschritt: 1000 Jahre) rechnen.

Jahre 0 1000 2000 3000 4000 50001 Halb­

wertszeit6000 7000 8000 9000 10 000

Gehalt 100 % 88,6 % 78,5 % 69,56 % 61,63 % 54,6 % 50% 48,38 % 42,87 % 38 % 33,65 % 29,82 %

Jahre 11 0002 Halb­werts­zeiten

12 000 13 000 14 000 15 000 16 000 17 0003 Halb­werts­zeiten

18 000 19 000 20 000 21 000 22 000

Gehalt 26,42 % 25 % 23,41 % 20,74 % 18,38 % 16,28 % 14,43 % 12,78 % 12,5% 11,33 % 10 % 8,90 % 7,88 % 6,99 %

50

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2510

100

Vorhandenes C-14 (in Prozent)

Jahr (in Tausend)

3. Halbwertszeit2. Halbwertszeit1. Halbwertszeit

5 Für den Gehalt an C14 in Prozent nach n Jahren gilt: B (n) = 100 % · 0,999 879n (vgl. Aufgabe 4).Für  B (n) = 6,3 %  ergibt sich  n ≈ 22 847 Jahre.

6 Figur von Gönnersdorf: etwa 15 400 Jahre.Figur von Lespugue: etwa 24 000 Jahre.

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