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Jens Conrad, Hardy Seifert

Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr

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Mathematik üben Klasse 8 Terme

und GleichungenDifferenzierte Materialien für das

ganze Schuljahr

Mathematik üben Klasse 8

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Einfache Gleichungen

Terme und Gleichungen 5

Regeln für das Lösen von Gleichungen

x soll alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen.

Dazu darfst du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. Beispiele: x + 5 = 9 | – 5 x – 3 = 5 | + 3 x + 5 – 5 = 9 – 5 x – 3 + 3 = 5 + 3 x = 4 x = 8 Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens darfst du mit derselben Zahl (ungleich null) multiplizieren bzw. durch dieselbe Zahl (ungleich null) dividieren. Beispiele:

15

x = 3 | · 5 6x = 36 | : 6

5 · 15

x = 3 · 5 6x : 6 = 36 : 6

x = 15 x = 6 Gleichartige Glieder können zusammengefasst werden. Beispiel: 4x + 14 + 5x + 13 + 7x + 3x + 4 = 50 | ordnen 4x + 5x + 7x + 3x + 14 + 13 + 4 = 50 | zusammenfassen 19x + 31 = 50 | – 31 19x = 19 | : 19 x = 1

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6 Terme und Gleichungen

1. Stelle eine Gleichung auf und berechne x. Gleichung: ____________ Gleichung: ____________

Lösung: x = _____ Lösung: x = _____

2. Bestimme die Lösungsmenge durch Anwenden der Umkehroperation.

a) x + 7 = 21 b) 5 – x = 13 c) x – 15 = 23

d) x – 12 = –3 e) –12 – x = –15 f) –x + 23 = 51

g) –x – 5 = 13 h) –x + 31 = –26 i) 6x = –54

j) 4x = 28 k) –5x = 75 l) –7x = –49

m) 12

x = 3 n) 34

x = 15 o) – 35

x = 27

p) 27

x = 22 q) 58

x = –25 r) – 45

x = –28

3. Forme die Gleichung um und bestimme die Lösungsmenge.

a) 2x + 15 = 45 b) 20 + 3x = 41 c) 13 – 5x = 38

d) –4x + 24 = 12 e) –7x – 31 = 25 f) 6x – 5 = –41

g) –3x – 23 = 22 h) 8x + 3 = –37 i) 2x + 6 = –16

4. Fasse zunächst zusammen. Bestimme anschließend die Lösungsmenge.

a) 2x + 7x + 22 = 103 b) 3x + 12 – x = 24 c) 3x + 21 = 6 – 2x

d) 15 – 5x + 3 = 4x e) 43 – 7x + 7 = 1 f) x – 11 + 4x = 4

g) 76 – 11x = 3x – 22 h) 27x + 13 – 14x = 26 i) –2x – 4 + 8x = –16

j) 12

x + 5 – 14

x = 13 k) 3 + 5x – 12

= 10 l) 23

x + 16

+ 49

x + 5 = 1 16

5. Löse die Bruchgleichungen.

a) x4

+ 5 = 2 b) 3x x– + = – 125 2

c) 4x + 12x 2x+ – = 62 3 4

kg kg kg kgkg

kg kg

x kg kg kg

kg kg kg

x x

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1. Stelle eine Gleichung auf und berechne x. Gleichung: ____________ Gleichung: ____________

kg kg kg

kg kg

kg

kg kg

kgxx

x

Lösung: x = _____ Lösung: x = _____

2. Bestimme die Lösungsmenge durch Anwenden der Umkehroperation.

a) x + 5 = 13 b) 4 – x = 17 c) x – 11 = 5

d) x – 7,5 = –4,5 e) –2,25 – x = –11 f) –x + 1,5 = 31,25

g) –3x = 18 h) –2x = –28 i) 6x = –54

j) 14

x = 2 k) – 58

x = 35 l) – 35

x = –9

m) 17

x = –3 n) 23

x = 45

o) – 58

x = 104

p) 219

x = 5581

q) 4,25x = –38,25 r) –1,2x = –27,6

3. Forme die Gleichung um und bestimme die Lösungsmenge.

a) 3x + 11 = 35 b) 12 + 7x = 54 c) 7 – 4x = 43

d) – 14

x + 2 = 16 e) – 23

x – 41 = 7 f) 10 + 45

x = 46

g) –0,25x – 13 = –3 h) 1,4x + 7,25 = –13,75 i) 2,75x + 2 = –20

4. Fasse zunächst zusammen. Bestimme anschließend die Lösungsmenge.

a) x – 5x + 22 = 70 b) 5x – 32 – 11x = 22 c) 4x + 20,75 = 6,25 – x

d) 3,3 – 3x + 7,2 = 4x e) 21,5 – 1,6x + 7,1 = 1 f) 12

x – 2 58

+ 2x = 2

g) 23 – 3 25

x = 9 – 3x h) 78

x – 34

– 4x = –23 i) –6,6 + 5 37

x = –12,6 – 47

x

j) 2 12

x + 4 = 22 – 48

x k) 6 34

– 2,5x = 10 – 7,5x l) 15

x – 3 58

= 1 16

– 38

x

5. Löse die Bruchgleichungen.

a) x5

– 3 = 2 b) x + 3 x + 2– + = – 12 3

c) x + 7 2x + 42x 2x+ – – 10 =6 3 2 12

kg kg kg

kg kg kg kg

kgxx

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Einfache Klammerterme


Klammern in Summen oder Differenzen

Du kannst Klammern in Termen unter Beachtung folgender Regeln weglassen: 1. Steht ein Pluszeichen vor der Klammer, kannst du die

Klammer einfach weglassen. Beispiel: 12x + (7 – 3x) = 12x + 7 – 3x 2. Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, kannst du die

Klammer weglassen, wenn du aus jedem Plus in der Klammer ein Minus und aus jedem Minus in der Klammer ein Plus machst.

Beispiel: 12x – (7 – 3x) = 2x – 7 + 3x

Multiplikation oder Division mit einer Klammer

1. Beim Multiplizieren einer Summe oder Differenz mit einer Zahl oder einer Variablen können wir die Klammer weglassen, wenn wir folgende Regel beachten: Jede Zahl oder Variable in der Klammer muss mit der Zahl oder Variablen vor (oder hinter) der Klammer multipliziert werden.

Beispiele: (–5) · (3x – 4) = (–5) · 3x + (–5) · (–4) = –15x + 20

(2x + 6) · 3 = 2x · 3 + 6 · 3 = 6x + 18 2. Beim Dividieren einer Summe oder Differenz durch eine Zahl

oder eine Variable können wir die Klammer weglassen, wenn wir folgende Regel beachten: Jede Zahl oder Variable in der Klammer muss durch die Zahl hinter der Klammer dividiert werden.

Beispiel: (27x – 9) : (–3) = 27x : (–3) + (–9) : (–3) = –9x + 3

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1. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)? Notiere die Ziffer der Fläche hinter den Termen.

A = a · d ________ u = 2e + 2a ________ A = b · c ________ u = 2a + 2d ________ A = (a + b) · c ________ u = 2(a + b) + 2c ________ A = a · (d + e) ________ u = 2a + 2(d + e) ________

2. Male gleichwertige (äquivalente) Terme mit derselben Farbe aus.

3. Vereinfache die Terme so weit wie möglich. a) 21 + (3x – 25) + 2x b) 2(x + 5) – 7 c) 4(10 + 2x) – 18

d) –(4x + 17) + (6x – 13) e) 8x + (3x – 10) + 51 f) 3(2,5 – 2x) – (2 + x)

g) 12

(6x + 14) – 2(2x – 6) h) – 23

x(9 + 15x) + (2x2 + 8x)

4. Übertrage die Tabellen in dein Heft und fülle die leeren Felder.

· 8 –2,5 3x Dividend x – 2 : x + 24 1,6 – x 2x2 + 4x

8x + 6 2 5 – 4x –8

x + 10y 0,5

5. Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen. a) 5x – 7(2x – 5) – 33 b) 2(a + b) + 3(2a – b) – 4(a + 2b)

c) 11 – 2(5 + 2x) + 4x(2x – 5) d) x + 3x(7x – 2) – 22 + 6(3x – 12)

e) 0,5(x – 16) – 1,5 · 8x + 2,25(4x + 8) f) 3[5(x – 4) – 6(3 – 2x)]

5(x + 3) 3x + 4x

7x 0,5x(6 + 8)

10x2 + 6x 10x2 + 7x

4x + 4y

1 x(40x + 28)4

(5x + 3) · 2x

5x + 15 4(x + y)

a b

c

d

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2

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1. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)? Notiere die Ziffer der Fläche hinter den Termen.

A = a · e ________ u = 2d + 2a ________ A = h · (a + b) ________ u = 2f + 2c ________ A = (g + f) · b ________ u = 2(g + f) + 2b ________ A = h · (m – a) ________ u = 2(a + e) ________ A = (e + d) · (a + b + c) ________ u = 2 · (a + b + c + h) ________


6x + 29 1,25x + 15 ( )102,1x x + 1,121 14

x(5x + 14) 54

(x + 12)

x2 + 2 1318

x 54

x2 + 3 12

x x2 + 2 31100

x ( ) 72 7 · xx + 27 9 4(1,5x + 7,25)

3. Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

a) 31 – (5x – 9) + 8x b) 25

(x + 35) – 1310

c) 1,25(2,4 – 5,6x) – 19

d) ( )1 11 3– 3 x x –3 15 10 e) ( )1 4x x – 248 7 f) ( ) ( )5 2 4 3 13 – – x + 2 x8 29 87 4 2

4. Übertrage die Tabellen in dein Heft und fülle die leeren Felder.

· 34

–1,125 58

x Dividend

12

x : 6x + 24 1,2 – x x2 + 47

x

16x + 23

3

7 – 2x –0,5

–x + 56

34

5. Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen.

a) 2,3x – 0,2(8x – 5) + 11 b) –4,5(a + b) + 3,25(4a – 2b) – 0,4(a + 5b)

c) ( ) ( )2 7 14 1 – + 4 x + x 16x – 3 8 25 4 d) ( )7 4 125 153 x + 4 x + x – 8 5 648 16 (3x – 12)

a b c

d

e

f

g

h

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1

2

3

4

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Produkte von Summen


Multiplizieren von Summen und Differenzen

Wenn du zwei Summen miteinander multiplizieren willst, musst du jeden Summanden aus der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.

Es gilt: (1) (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

(2) (a + b) · (c – d) = ac – ad + bc – bd

(3) (a – b) · (c + d) = ac + ad – bc – bd

(4) (a – b) · (c – d) = ac – ad – bc + bd Beispiele: (1) (3 + x) · (5 + y) = 3 · 5 + 3y + 5x + xy

oder: (2s + t) · (3s + 4u) = 2s · 3s + 2s · 4u + t · 3s + t · 4u = 6s2 + 8su + 3st + 4ut

(2) (5 – x) · (4 – y) = 5 · 4 – 5y – 4x + xy

oder: (2s – t) · (3s + 4u) = 2s · 3s + 2s · 4u – t · 3s – t · 4u = 6s2 + 8su – 3st – 4ut

(3) (4 + x) · (5 – y) = 4 · 5 – 4y + 5x – xy

oder: (2s + t) · (3s – 4u) = 2s · 3s – 2s · 4u + t · 3s – t · 4u = 6s2 – 8su + 3st – 4ut

(4) (2 – x) · (3 – y) = 2 · 3 – 2y – 3x + xy

oder: (2s – t) · (3s – 4u) = 2s · 3s – 2s · 4u – t · 3s + t · 4u = 6s2 – 8su – 3st + 4ut

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Produkte von Summen


1. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)? Notiere die Ziffer der Fläche unter den Termen.

A = (c + d) · (e + f) A = c · (b – e)

__________________________________ ____________________________

A = (e + f) · d A = (b – f) · (a – d)

____________________________ __________________________________

A = (c + d) · f A = a · f – c · f

____________________________ _____________________________

A = (a – c) · e A = b · c – f · c

____________________________ ____________________________

2. Multipliziere aus und vereinfache so weit wie möglich.

a) (a + b) (x + y) b) (c + d) (e – f) c) (a – b) (s + t) d) (a – b) (c – d)

e) (2 + x) (3 + y) f) (5 – x) (8 + y) g) (a + 4) (5 – b) h) (7 + x) (7 + y)

i) (–5 + a) (2 + b) j) (s – 3) (t + 4) k) (3a + 4) (5b – 2) l) (2x – 5) (y – 3)

m) (–3 + 2x) (2y + 1) n) (4a – 3b) (2 + 2b) o) (7c – 3a) (5b + 8d) p) (m – n) (m + n)


(2x + y) (x + 2y) 12 + 3y + 4x + xy 2x2 + 5xy + 2y2 3y – 4x + xy – 12

–6x2 + 14x – 8 (3x – 4) (2 – 2x) x + y + xy + 1 x2 – 1

(x + 1) (x – 1) (x + 3) (y – 4) (3 + x) (4 + y) (x + 1) (1 + y)


a) (x + 1) (y + 1) – 2xy b) 3xy – (y + 2) (x + 2) c) 15 + (2x – 5) (y + 3)

d) (2y + 1) (2 – 3x) + 5 – 2x e) 8x + (3x – 10) (x + 5) – 2x2 f) (2,5 – 2x) (2 + x) + x

g) ( )1 x + 2y2 (6 + 3y) – 20y h) 2xy + (2x + 0,5y) (5 – 3x) i) 17 + (xy – 3) ( )1 x – y3

5. Übertrage die Tabelle in dein Heft und fülle die leeren Felder.

· x – 5 2 – x x + 2y 0,5y – 0,5x x – y

2x + 6

a

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e

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1. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)?

A = a · (e + f) A = (a – c) · f

______________________________ ____________________________

A = (e + f) · (a – c) A = f · (a – d)

_______________________________ ______________________________

A = c · f + d · f A = a · f – d · f

____________________________ ____________________________

A = a · e – c · e A = b · c – f · c

____________________________ ____________________________

2. Multipliziere aus und vereinfache so weit wie möglich.

a) (6a + 3) (2 + 4y) b) (3x + 5y) (e – 2f) c) (5 – 2x) (6y – 9)

d) (0,5a + 1,5) (2c – 4) e) (2,25 – b) (8 + 4y) f) (5x – y) (3,2x + 3y)

g) ( )1 a + 72 ( )2 – b5 h) ( )7 1+ x15 4 ( )460 + y7 i) ( )1x – 2 a6 ( )11 + b13

j) ( )1–3,3x – 4 ( )12 t + 42 k) ( )51,25 – b4 ( )8 b – 2,19 l) ( )1 3x + y5 4 ( )1 3x – y5 4


( )1 x + y2 ( )1 x – y2 4x2 – 16 x + 6xy – 1

4 y ( )2 x + y3 ( )16x – 4

13x – 2x2 – 20 (x – 4) (5 – 2x) 14 x2 – y2

x2y – 3x2 + 6xy – 18x + 5y – 15 (x + 5) (y – 3) (x + 1)


a) ( )1x + 2 ( )1y + 2 – xy b) 2,5xy + ( )2y + 5 (x + 2) c) 7,5 + (0,5x – 1) (y + 5)

d) (2y + 0,5) (4 – 8x) · 34 e) 2 1

3 x + (6x – 1,5) (x + 8) f) ( )33 + 3,6x5 (4 + x) · 2

5. Übertrage die Tabelle in dein Heft und fülle die leeren Felder.

· x – 56 2,2 – x 3

4 x + 2y 2 12 y – 4,5x

4x – y x + 4

a

b

c d

e

f1 2

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Gleichungen mit Klammern


Lösen von linearen Gleichungen mit Klammern

Du kannst eine Gleichung immer mithilfe der folgenden Umformungen lösen: Du kannst …

die Klammer(n) auf beiden Seiten der Gleichung auflösen. die Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen oder umformen. auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. die beiden Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ( 0) oder demselben Term multiplizieren bzw. durch dieselbe Zahl oder denselben Term dividieren. beide Seiten der Gleichung vertauschen.

Beispiel: 3(5x + 7) – 3x = 4x + 61 | Klammern auflösen 15x + 21 – 3x = 4x + 61 | gleichartige Terme zusammenfassen 12x + 21 = 4x + 61 | – 4x auf beiden Seiten der Gleichung

8x + 21 = 61 | – 21 auf beiden Seiten der Gleichung 8x = 40 | : 8 auf beiden Seiten der Gleichung x = 5 L = {5}

Anzahl der Lösungen von linearen Gleichungen

Lineare Gleichungen können entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben.

Beispiel: (keine Lösung) 2(x + 5) = 3(x + 2) – x | Klammern auflösen 2x + 10 = 3x + 6 – x | zusammenfassen 2x + 10 = 2x + 6 | – 2x 10 = 6 L = { }

Beispiel: (unendlich viele Lösungen) 3(x + 2) = 3x + 6 | Klammern auflösen 3x + 6 = 3x + 6 | – 6 3x = 3x | L = {�}

Diese Gleichung hat keine Lösung, weil nach den Umformungen eine falsche Aussage entstanden ist.

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, weil nach den Umformungen eine Aussage entsteht, die immer wahr ist. Die Gleichung ist allgemeingültig.

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1. Stelle eine Gleichung auf und berechne x.

a)

A = 168 cm2

x + 2 cm

12 cm

b)

A = 12 cm2

x2 cm

10 cm

16 cm

c)

u = 50 cm 4x + 1 cm

14 cm

d)

A = 36 cm2

x

5 cm3 cm

2. Löse die Gleichungen und bestimme die Lösungsmenge.

a) 5 + (3x + 7) = 36 b) 3x – (x – 15) = 23 c) (5x + 3) – 26 = 2x – (x + 7)

d) 3(2x + 7) = 75 e) 5x – 2(x + 5) = 4(3 + x) f) 7(6 – 4x) = –2(2x + 5) – 2

g) (x + 1) · 4 = (3x + 4) · (–2) h) 2(x + y) = 2y – 10 i) (7 + x) · (–5) = –(–5x – 5)

j) (x + 4) (x – 4) = 48 k) 34 (8x – 12) = 15 l) (0,2 + 4x) · 10 = –2(5x – 51)

m) 25 (–15x + 5) = 110 (30x – 70) n) 12( 1

8 x – 3) = –24 o) –4( 320 x – 0,25) = 4

p) (x + 3) (2 + x) = (x + 6) (x – 5) q) (5 – x) (3 + x) = (7 – x) (x + 2)

r) (1 – x) (2 – x) = (x + 3) (x + 4) s) (x + 4) (x + 6) = (x – 4) (x + 2)

3. Kreuze die richtige Lösung an.

a) 5(3 + 2x) = 15 + 10x L = { } L = { 2 } L = �

b) 3 + 27 (49 – 14x) = 2 – 4x

L = { } L = { 2 } L = �

c) 12x – 4(5x + 2) = 2(3x + 10) L = { } L = { –2 } L = �

d) (x + 2) (x – 2) = x2 + x – 4 L = { } L = { 0 } L = �

4. Zahlenrätsel. Stelle eine Gleichung auf und berechne die gesuchte Zahl.

Das Zehnfache der gesuchten Zahl vermindert um das Fünffache der um 3 vergrößerten Zahl ergibt 10.

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1. Stelle eine Gleichung auf und berechne x.

a)

A = 14 m2

x + 5 m

134 m

c)

A = 90 m2

30 m

27 m

29 x

b) A = 9,8 m2

h = 25 m

310 x + 2 m

d)

A = 10,5 m210 m

3 34 m

35 x

2. Löse die Gleichungen und bestimme die Lösungsmenge.

a) (3x + 7) · 2 = 38 b) x – (4x + 5) = –14 c) 12 (8x + 6) + 16 = 1

2 x – (3x + 7)

d) 37 x = –(–x + 18) e) 2 1

2 (x + y) – 0,5y = 2y – 15 f) (x + 7) (x + 2) = (x + 1) (x – 2)

g) (1 – 3x) (2 – x) = (2x – 1) (1,5x + 4) h) ( )5 – 2x8 (8 + x) + 3 316 = ( )1 1 – x4 2 (4x + 1)

3. Kreuze die richtige Lösung an.

a) 25 (5 + 12x) = 2 + 4,8x

L = { }

L = { 1 }

L = �

b) 21 – 15 (25 – 3x) = 3(2 + 0,2x)

L = { }

L = { 4 }

L = �

c) 4 38 x – 1

4 (2x + 1) = 2(2x + 4) L = { }

L = { –66 }

L = �

d) ( ) ( )1 1x + x – 3 3 = x2 + 4x – 23

L = { }

L = { }536

L = �

e) 0,75(–6x + 2) = –0,5(9x + 1) L = { }

L = { 3 }

L = �

f) ( ) ( )1 1x – x + 32 2 = 14 (2x2 – 11x) – 1,5

L = { }

L = { 0 }

L = �

4. Zahlenrätsel. Stelle eine Gleichung auf und berechne die gesuchte Zahl.

Das Produkt aus der Zahl und deren Nachfolger ist um 38 größer als das Quadrat des Vorgängers der Zahl.

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Anwendungsaufgaben von Gleichungen


„Bedienungsanleitung“ zum Lösen von Sachaufgaben Die folgenden Schritte erleichtern dir das Lösen von Sachaufgaben mithilfe von Gleichungen: Beispiel: Mario hat einen Bruder und eine Schwester. Sein Bruder ist 5 Jahre älter als er selbst und seine Schwester ist halb so alt wie sein Bruder. Zusammen sind er und seine Geschwister 25 Jahre alt. Wie alt ist Mario?

1 Variable festlegen: x entspricht dem Alter von Mario.

2 Übersetzen des Textes in Terme: Alter von Mario: x Alter des Bruders: x + 5 Alter der Schwester: 1

2 (x + 5)

3 Aufstellen der Gleichung: Die Summe der Altersangaben ergibt 25.

x + (x + 5) + 12 (x + 5) = 25

4 Gleichung lösen: x + (x + 5) + 12 (x + 5) = 25 | Klammern auflösen

x + x + 5 + 12 x + 2,5 = 25 | zusammenfassen

2 12 x + 7,5 = 25 | – 7,5

2 12 x = 17,5 | : 2 1

2

x = 7

5 Lösung mithilfe der Probe überprüfen: 7 + (7 + 5) + 1

2 (7 + 5) = 25

7 + 12 + 12 · 12 = 25

7 + 12 + 6 = 25 25 = 25 wahre Aussage

6 Überprüfen, ob die Lösung Sinn ergibt: Mario ist 7 Jahre alt. Sein Bruder ist 12 Jahre und seine Schwester ist 6 Jahre alt. Gemeinsam ergibt das 25 Jahre.

7 Antwortsatz formulieren: Mario ist 7 Jahre alt.

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1. Zahlenrätsel

a) Addiere 5 zu einer Zahl und multipliziere das Ergebnis mit der Zahl 8. Dasselbe Ergebnis erhältst du auch, wenn du die Zahl verdoppelst und dann 64 addierst.

b) Vermehrt man die Hälfte einer Zahl um 8, so erhält man das Dreifache ihres Nachfolgers.

2. Altersrätsel

a) Armin ist heute 5 Jahre älter als Sophie. Vor 8 Jahren war er doppelt so alt wie Sophie.

b) Max und Martin sind zusammen 20 Jahre alt. Vor 4 Jahren war Max noch doppelt so alt wie Martin.

3. Aufgaben aus der Geometrie

a) Das rechteckige Grundstück von Familie Schmidt hat einen Umfang von 124 m. Dabei ist die eine Seite des Grundstücks 22 m länger als die andere Seite.

b) Von einem gleichschenkligen Dreieck ist der Umfang von 35 cm bekannt. Außerdem ist jeder Schenkel dreimal so lang wie die Basis.

4. Bewegungsaufgaben

a) In Frankfurt fährt um 15.00 Uhr ein Zug in Richtung München mit einer Durchschnitts-geschwindigkeit von 80 km/h ab. Eine Stunde danach verlässt ein ICE den Frankfurter Hauptbahnhof ebenfalls Richtung München. Der ICE hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 140 km/h. Um wie viel Uhr hat er den ersten Zug eingeholt?

b) Zwei Flugzeuge starten zum gleichen Zeitpunkt von zwei verschiedenen Flughäfen aus in entgegengesetzte Richtung. Die Flughäfen liegen 2 400 km auseinander. Flugzeug 1 fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 850 km/h. Flugzeug 2 fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 950 km/h. Nach welcher Zeit treffen sich die beiden Flugzeuge?

5. Verteilungsaufgabe

Marc, Sebastian und Romero bilden eine Lotto-Tippgemeinschaft. Dabei zahlt Marc doppelt so viel wie Sebastian und Sebastian dreimal so viel wie Romero ein. Als sie 11 286 € gewinnen, soll der Gewinn gerecht aufgeteilt werden. Wie groß ist der jeweilige Anteil?

6. Mischungsaufgaben

Aus den beiden Kaffeesorten „Arabica“ und „Robusta“ soll die Kaffeemischung „Delicio“ herge-stellt werden. Dabei kostet ein Kilogramm der Sorte „Arabica“ 7,50 € und ein Kilogramm der Sorte „Robusta“ 4,10 €. Die Mischung „Delicio“ soll pro Kilogramm 4,61 € kosten. Wie viel Kilogramm von jeder Sorte werden für 10 kg „Delicio“ benötigt?

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1. Zahlenrätsel

a) Zeige rechnerisch, dass folgende Behauptung gilt:

Die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist gleich der Summe dieser Zahlen. (Beispiel: 52 – 42 = 5 + 4)

b) Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen beträgt 366. Wie lauten die drei Zahlen?

2. Altersrätsel

Martins Vater ist heute dreimal so alt wie Martin. Vor 5 Jahren war er noch fünfmal so alt. Wie alt ist Martin?

3. Aufgaben aus der Geometrie

a) In einem Dreieck ist der Winkel bekannt. Er ist 20° groß. Von den anderen beiden Winkeln weiß man, dass deren Differenz viermal so groß wie der Winkel ist. Bestimme die Winkel und .

b) Verlängert man die Kanten eines Würfels um 3 cm, so erhöht sich dessen Oberfläche um 342 cm2. Berechne die Kantenlänge des Würfels.

4. Bewegungsaufgaben

Marvin und Tristan wollen ein Fahrradrennen machen. Weil sich Marvin heute sehr fit fühlt, gibt er Tristan einen Vorsprung von zwölf Minuten. Tristan fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 20 km/h. Marvin erreicht eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 25 km/h. Nach welcher Zeit hat Marvin Tristan eingeholt? Wie weit sind sie bis dahin gefahren?

5. Mischungsaufgaben

a) Sophie möchte sich einen großen Kakao (500 ml) zubereiten. Leider findet sie im Kühl-schrank nur noch 200 ml Milch mit einem Fettgehalt von 3,5 % und 300 ml Milch mit einem Fettgehalt von 0,3%. Wie groß ist der Fettgehalt der Mischung?

b) Welche Menge (ml) 92%-igen Alkohols wird benötigt, um mit 200 ml 30%-igem Alkohol eine Mischung mit 42 % Alkohol herzustellen?

6. Sachaufgabe

Auf dem Bauernhof von Jans Eltern leben viele Hühner und Kaninchen. Es sind zusammen 18 Tiere mit insgesamt 50 Füßen. Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen leben auf dem Bauernhof?

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Die binomischen Formeln


Die erste binomische Formel (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

Beispiel: (2x + y) · (2x + y) = (2x + y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · y + y2 = 4x2 + 4xy + y2

Du kannst auch eine Summe in ein Produkt umwandeln: 36x2 + 60x + 25 = (6x)2 + 2 · 6x · 5 + (5)2 = (6x + 5)2 = (6x + 5) · (6x + 5)

Berechnen von Quadratzahlen: 932 = (90 + 3)2 = 902 + 2 · 90 · 3 + 32 = 8 100 + 540 + 9 = 8 649

Die zweite binomische Formel (a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2

Beispiel: (2x – y) · (2x – y) = (2x – y)2 = (2x)2 – 2 · 2x · y + y2 = 4x2 – 4xy + y2

Du kannst auch eine Summe in ein Produkt umwandeln: 36x2 – 60x + 25 = (6x)2 – 2 · 6x · 5 + (5)2 = (6x – 5)2 = (6x – 5) · (6x – 5)

Berechnen von Quadratzahlen: 582 = (60 – 2)2 = 602 – 2 · 60 · 2 + 22 = 3 600 – 240 + 4 = 3 364

Die dritte binomische Formel (a – b) · (a + b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2

(a + b) · (a – b) = a2 – b2 Beispiel: (2x + y) · (2x – y) = (2x)2 – (y)2 = 4x2 – y2

Du kannst auch eine Summe in ein Produkt umwandeln: 36x2 – 25 = (6x)2 – (5)2 = (6x + 5) · (6x – 5)

Berechnen von speziellen Produkten: 44 · 36 = (40 + 4) · (40 – 4) = 402 – 42 = 1 600 – 16 = 1 584

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x2 – 10x + 25 x2 – 6xy + 9y2 x2 – 9y2 (x – 5)2 (3x + 2y)2

x4 – 25y2 (x – 3y) · (3y + x) (x2 – 5y) · (x2 + 5y) 9x2 + 12xy + 4y2 (x – 3y)2

2. Wo wurden die binomischen Formeln korrekt angewendet? Kreuze an.

a) (x + 3y)2 = x2 + 6xy + 6y2 b) (2x – 4y) · (2x + 4y) = 4x2 – 16y2

c) (2a – 3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2 d) (5u + 3v)2 = 25u2 +15uv + 9v2

3. Schreibe als Term ohne Klammern. (Wende die binomischen Formeln an.)

a) (a + b) · (a – b) b) (p + q)2 c) (9 – z)2

d) (u + 2v) · (u – 2v) e) (13 + k)2 f) (s – 3t)2

g) (11x + 4y) · (11x – 4y) h) (2x – y)2 i) (st + 2z)2

4. Schreibe als Produkt. (Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an.)

a) u2 – v2 b) s2 + 2st + t2 c) 9x2 – 6xy + y2 d) 25a2 – 81b2

e) 25 – 10b + b2 f) a2 + 12a + 36 g) 0,25a2 – 225b2 h) a2s2 – 2ast +t2

5. Fülle die Lücken.

a) ( – 5y)2 = 9x2 – + b) ( + 3) · ( – ) = x2 –

c) (0,5x + )2 = + x + 1 d) 16144 x2 – = ( )1– 5 · ( )1 + 5

6. Wo wurden hier Fehler gemacht? Markiere und verbessere die Fehler.

a) x2 + t2 = (x + t) · (x – t) b) (3x + y)2 = 6x2 +6xy + y2

c) (4a + b) · (4a – b) = 8a2 – b2 d) (0,9s – xt)2 = 8,1s2 – 1,8stx + x2t2

7. Berechne folgende Produkte bzw. Quadratzahlen mithilfe der binomischen Formeln.

a) 36 · 44 = _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) 372 = _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) 1052 = _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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1. Wo wurden die binomischen Formeln korrekt angewendet? Kreuze an.

a) (s + t)2 = s2 +2st + t2 b) 4x2 – 49y2 = (2x + 7y) · (2x – 7y)

c) (1,5a – 3b)2 = 2,25a2 + 9b2 – 6ab d) (s2t + 415 x2) · (s2t – 4

15 x2) = s4t2 – 16225 x2

e) ( )23 2a – x7 3 = 949 a2 – 4

7 ax + 49 x2 f) ( )2

21 a + 6x3 = 29 a4 + 4a2x + 36x2

2. Schreibe als Term ohne Klammern. (Wende die binomischen Formeln an.)

a) (5 + y)2 b) (2s – t) · (2s + t) c) (2,5x – y)2

d) (1,7u + v) · (1,7u – v) e) (–7 – k)2 f) ( )21 s + t7

g) ( )22 x – 10y5 h) ( )21,2a + b5 · ( )21,2a – b5 i) ( )23 2a + b4 5

j) ( )3 241,3a + 1 b5 · ( )3 241,3a – 1 b5 k) (0,5xz + 0,3yz)2

3. Schreibe als Produkt. (Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an.)

a) x2 + 2xy + y2 b) 169 – t2 c) 4a2 + 12ab + 9b2

d) 9a2 – 54ab + 81b2 e) 1625 s2 – 1 3

5 s + 1 f) 1 79 – 4

25 v2

g) 1625 a2 + 1 1

15 ab + 49 b2 h) x2s4 + xs2t + 0,25t2 i) 4x2s4 – 2xs2t + 1

4 t2

4. Fülle die Lücken.

a) (2x + ) ( – 3y) = – b) (0,3x – )2 = – + 0,04

c) ( + )2 = 4x2 + + 1,21 d) 1 2425 a4b2 – = ( + 2,1) ( – 2,1)

5. Wo wurden hier Fehler gemacht? Markiere und verbessere die Fehler.

a) (x + t)2 = x2 + 2xt – t2 b) (3x – 4y) · (3x + 4y) = 9x2 – 16y

c) (25 – y)2 = 625 – 50y + 25y2 d) ( )23 x – y4 = 916 x2 – 9

4 xy + y2

e) ( )21 22 u + 3 v7 5 = 4 2949 u2 + 14 4

7 uv + 10 1425 v2 f) ( )2 1x + y3 5 · ( )2 1x – y3 5 = 4

9 x2 – 0,05y2

6. Berechne folgende Produkte bzw. Quadratzahlen mithilfe der binomischen Formeln.

a) 13 · 7 = ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) 932 = ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln


Lösen von linearen Gleichungen mit binomischen Formeln

1 Binome auflösen: (x + 3)2 = (x – 5)2 | Binome auflösen

2 Quadratische Summanden subtrahieren: x2 + 6x + 9 = x2 – 10x + 25 | – x2 3 Mithilfe von Äquivalenzum- 6x + 9 = –10x + 25 | + 10x formungen lösen: 16x + 9 = 25 | – 9 16x = 16 | : 16 x = 1 L = { 1 }

Spezielle Gleichungen mit Produkten aus Summen

oder Differenzen

Manchmal ist es einfacher, eine Gleichung aus Produkten von Summen oder Differenzen zu lösen, wenn man die Klammern nicht auflöst.

Beispiel: (x + 5) (x – 3) = 0

Du weißt: Wenn ein Produkt den Wert null hat, ist mindestens ein Faktor null. Bei unserem Beispiel bedeutet das also:

(x + 5) = 0 oder (x – 3) = 0

Wir bekommen also zwei Gleichungen, die sehr leicht zu lösen sind:

x + 5 = 0 | – 5 oder x – 3 = 0 | + 3 x = –5 x = 3

Wir erhalten also die Lösungsmenge L = { –5; 3 } weil beide Lösungen die Gleichung erfüllen: Probe: x = –5 x = 3

(–5 + 5) (–5 – 3) = 0 (3 + 5) (3 – 3) = 0 0 · (–8) = 0 8 · 0 = 0 0 = 0 0 = 0 wahre Aussage wahre Aussage

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1. Wiederholung: Bestimme die Lösungsmenge.

a) 7(x + 3) = 56 b) 3(x – 7) = 18 c) 11(x + 6) – 3x = 234

d) 5(x – 13) + 4x = 448 e) 8(x – 13) – 51 = –115 f) –2(x – 3) + 11 = 23

g) –5(13 + x) + 3x = –7 h) 2,5(3 +x) – x = 18 i) 7,5(x + 5) + 3x = –78

j) 3(5 + 4x) + 2x = 225 k) –7(3x + 1) + 99 = –97 l) 6(2x + 3,5) + 5x = –115

2. Multipliziere aus und gib die Lösungsmenge an.

a) 2(x + 7) + 3(x – 2) = 33 b) 3(x – 3) – 2(x + 5) = –21

c) –3(x – 5) + 5(x + 7) + 22 = 82 d) 9(11 + x) – 5(x + 2) – 11 = 86

e) 2(2x – 4) + 12(4x – 10) + 21 = 413 f) –6(5 + 3x) + (2x – 1) – 4x = –111

g) 65 + 5(3 – x) = 7(2x + 6) h) –2(4x + 11) = –3(5x – 3) + 18

i) 5(4x – 3) + 15x = –2(x + 7) + 332 j) –5x – (5x – 13) = 3(2x + 45) – 154

3. Multipliziere die Klammern aus und gib die Lösungsmenge an.

a) (x + 7) · (x – 3) = 6(x – 3) +x2 – 13 b) (x – 5) · (x + 4) + 27 = (x + 1) · (x – 11)

c) (x + 3) · (x – 3) = (x – 7)2 – 2 d) (3x – 2) · (4x + 3) = (2x + 6) · (6x + 5) + 9

4. Wende die binomischen Formeln an und löse die Gleichungen.

a) (x – 7)2 = (x – 9)2 b) (x + 5)2 = (x + 5) · (x – 5)

c) (x + 9)2 = (x – 11)2 d) (x – 6) · (x + 6) = (x + 8) · (x – 8) + 2x

e) (x + 1)2 = (x – 1)2 f) (2x + 5)2 + 5x2 = (3x – 3)2 – 22

5. Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen. (Tipp: Manchmal muss man die Klammern nicht auflösen.)

a) (x – 5) · (x + 3) = 0 b) (x + 8) · (x + 3) = 0

c) (5 – x) · (x – 2) = 0 d) (10 – x) · (2 + x) = 0

e) (x + 15)2 = 0 f) (x – 4)2 = 0

g) (7 – x)2 = 0 h) (5 + x)2 = 0

6. Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an und bestimme die Lösungsmenge.

a) x2 – 25 = 0 b) x2 – 36 = 0 c) x2 – 169 = 0

d) x2 + 8x + 16 = 0 e) x2 + 22x + 121 = 0 f) x2 – 28x + 196 = 0

g) x2 – 12x = –36 h) 3x2 – 27 = 0 i) 5x2 + 125 = 50x

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1. Wiederholung: Bestimme die Lösungsmenge.

a) 3(2x – 12) – 5x = 48 b) –5(x – 3) – 50 = 0 c) –9(3x + 17) + 51 = –237

d) 2,7(6 + 4x) – 10x = 11,4 e) (15 + 3x) · 1,2 + 1,4x = 88 f) 3 12 (4x + 12) + 3x = 101,5

g) ( )2 17 + 10x5 2 – 4x = 3 h) ( )15 x – 55 · 3 56 = –118 5

6 i) 2,75( )4 x – 3,1253 – x = 47 1332

2. Multipliziere aus und gib die Lösungsmenge an.

a) –5(3x + 5) – 3(–4x – 2) = –20,5 b) 11(–x – 1) + 2(3x + 5) = 19

c) –3 15 (15x – 17) + 123,6 = 3( )2 x + 63 – 190 d) 2

9 (18 + 4,5x) – 3(x + 2) = –6 25

3. Multipliziere die Klammern aus und gib die Lösungsmenge an.

a) (x – 3) · (x + 4) – 53 = 2(3x – 5) + x2 b) (x – 2) · (x – 4) + 10x = (x – 7) · (x + 13) + 115

c) 2(2 – 4x) · (x + 2) = –8(x – 5)2 + 116 d) ( )1 x – 33 · (9x + 1) = (3x – 12) · (x + 12) – 315

4. Wende die binomischen Formeln an und löse die Gleichungen.

a) (x + 5)2 = (x + 8)2 – 57 b) (x – 10)2 = (x + 7) · (x – 7) – 11

c) ( ) ( )2 21 3= x + x – 2 4 d) ( ) ( ) ( ) ( ) 642 2 2 2 · = · + x – x + x + x – 2255 5 3 3

e) ( )23x + 5 + (2x – 2)2 = 5 · (x + 3) · (x – 3) + 117 925 f) (4x + 5)2 = (2x – 3)2 +12x2

5. Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen. (Tipp: Manchmal muss man die Klammern nicht auflösen.)

a) (x – 2) · (x + 9) = 0 b) ( ) ( )8 3 · x + x + 15 7 = 0

c) (x + 2,25)2 = 0 d) ( )21x – 6 3 = 0

6. Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an und bestimme die Lösungsmenge.

a) x2 – 225 = 0 b) x2 – 4,41 = 0 c) x2 + 24x + 144 = 0

d) x2 + 3,4x + 2,89 = 0 e) 2x2 – 0,8x + 0,08 = 0

7. Zeige rechnerisch, dass folgende Behauptung gilt:

Die Summe der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen (n und n + 1) ist um 1 größer als das doppelte Produkt dieser Zahlen.

Muster z

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Lösungen: Einfache Gleichungen

Terme und Gleichungen

1. a) 5 kg = x + 2 Þ x = 3 kg b) 6 kg = 2x x = 3 kg Þ

2. a) x = 14 b) x = –8 c) x = 38

d) x = 9 e) x = 3 f) x = –28

g) x = –18 h) x = 57 i) x = –9

j) x = 7 k) x = –15 l) x = 7

m) x = 6 n) x = 20 o) x = –45

p) x = 77 q) x = –40 r) x = 35

3. a) x = 15 b) x = 7 c) x = –5

d) x = 3 e) x = –8 f) x = –6

g) x = –15 h) x = –5 i) x = –11

4. a) L = { 9 } b) L = { 6 } c) L = { –3 }

d) L = { 2 } e) L = { 7 } f) L = { 3 }

g) L = { 7 } h) L = { 1 } i) L = { –2 }

j) L = { 32 } k) L = { 1,5 } l) L = { –3,6 }

5. a) L = { –12 } b) L = { 120 } c) L = { 1,5 }

Muster z

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Lösungen: Einfache Gleichungen


1. a) x + 7 kg = 2x + 2 kg Þ x = 5 kg b) 6 kg = 2x + 2 kg Þ x = 2 kg

2.

a) x = 8 b) x = –13 c) x = 16 d) x = 3 e) x = 8,75 f) x = –29,75 g) x = –6 h) x = 14 i) x = –9 j) x = 8 k) x = –56 l) x = 15 m) x = –21 n) x = 1,2 o) x = –4 p) x = 5

9 q) x = –9 r) x = 23

3.

a) x = 8 b) x = 6 c) x = –9 d) x = –56 e) x = 72 f) x = 45 g) x = –40 h) x = –15 i) x = –8

4.

a) L = { –12 } b) L = { –9 } c) L = { –2,9 }

d) L = { 1,5 } e) L = { 17,25 } f) L ={ } 17120

g) L = { 35 } h) L ={ i) L = { –1 } }37 25

j) L = { 6 } k) L ={ l) L =}1320 { }1

3 8

5. a) L = { 25 } b) L = { 1 } c) L = { –16 }

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Lösungen: Einfache Klammerterme


1. A = a · d 3 u = 2e + 2a 1 A = b · c 2 u = 2a + 2d 3 A = (a + b) · c 1 + 2 + 3 u = 2(a + b) + 2c 1 + 2 + 3 A = a · (d + e) 1 + 3 u = 2a + 2(d + e) 1 + 3

2.

3. a) 5x – 4 b) 2x + 3 c) 8x + 22

d) 2x – 30 e) 11x + 41 f) –7x + 5,5

g) –x + 19 h) –8x2 + 2x

4. · 8 –2,5 3x Dividend

x – 2 8x – 16 –2,5x + 5 3x2 – 6x : x + 24 1,6 – x 2x2 + 4x

8x + 6 64x + 48 –20x – 15 24x2 + 18x 2 12 x + 12 0,8 – 1

2 x x2 + 2x

5 – 4x 40 – 32x –12,5 + 10x 15x – 12x2 –8 – 18 x – 3 –0,2 + 1

8 x – 14 x2 – 1

2 x

x + 10y 8x + 80y –2,5x – 25y 3x2 + 30xy 0,5 2x + 48 3,2 – 2x 4x2 + 8x

5. a) –9x + 2 b) 4a – 9b c) 1 – 24x + 8x2

d) 21x2 + 13x – 94 e) –2,5x + 10 f) 51x – 114

5(x + 3) 3x + 4x 1 x(40x + 28)4

(5x + 3) · 2x 0,5x(6 + 8) 4x + 4y 7x

5x + 15 4(x + y) 10x2 + 6x 10x2 + 7x

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Lösungen: Einfache Klammerterme


1. A = a · e 1 u = 2d + 2a 3 A = h · (a + b) 1 + 2 + 3 u = 2f + 2c 4 A = (g + f) · b 2 u = 2(g + f) + 2b 2 A = h · (m – a) 2 + 4 + 5 u = 2(a + e) 1 A = (e + d) · (a + b + c) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 u = 2 · (a + b + c + h) 1 + 2 + 3 + 4 + 5

2.

6x + 29 1,25x + 15 ( )102,1x x + 1,12114

54

x(5x + 14) (x + 12)

x2 + 2 1318

x 54

x2 + 3 12

x (x2 + 2 31100

x ) 4(1,5x + 7,25)72 7 · x 27 9x +

3.

a) 3x + 40 b) 25 x + 12,7 c) –16 – 7x

d) –2 25 x – 1 1

14 e) 114 x2 – 3x f) –2 2

3 x – 12

4.

–1,125 34

58

x Dividend ·

x2 : 6x + 24 1,2 – x x2 + 12

x 38 x – 9

16 x 516

47

x

16x + 23

12x + 12 –18x – 3

4 10x2 + 512 x 3 2x + 8 0,4 – 1

3 x 13 x2 + 4

21x

7 – 2x 5 x2 –0,5 –12x – 48 –2,4 + 2x –2x2 – 114 – 1 1

2 x 7 78 + 2 1

4 x 4 38 x – 1 1

417 x

–x + 56

34

58 – 3

4 x 1 18 x – 15

16 – 58 x2 + 25

48 x 8x + 32 1 35 – 1 1

3 x 1 13 x2 + 16

21 x

5. a) 0,7x + 12 b) 8,1a – 13b c) 72x2 – 2x – 1

30 d) 2 1 x2 – 18 x – 2 2

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Lösungen: Produkte von Summen


1. A = (c + d) · (e + f) A = c · (b – e)

1 + 2 + 3 + 4 1

A = (e + f) · d A = (b – f) · (a – d)

2 + 4 3

A = (c + d) · f A = a · f – c · f

1 + 2 2

A = (a – c) · e A = b · c – f · c

4 3

2. a) ax + ay + bx + by b) ce – cf + de – df c) as + at – bs – bt d) ac – ad – bc + bd

e) 6 + 2y + 3x + xy f) 40 + 5y – 8x – xy g) 5a – ab + 20 – 4b h) 49 + 7y + 7x + xy

i) –10 – 5b + 2a +ab j) st + 4s – 3t – 12 k) 15ab – 6a + 20b – 8 l) 2xy – 6x – 5y +15

m) –6y – 3 + 4xy + 2x n) 8a + 8ab – 6b – 6b2 o) 35bc + 56cd – 15ab – 24ad p) m2 – n2

3.

(2x + y) (x + 2y) 12 + 3y + 4x + xy 2x2 + 5xy + 2y2 3y – 4x + xy – 12

–6x2 + 14x – 8 (3x – 4) (2 – 2x) x + y + xy + 1 x2 – 1

(x + 1) (x – 1) (x + 3) (y – 4) (3 + x) (4 + y) (x + 1) (1 + y)

4. a) x + y + 1 – xy b) 2xy – 2x – 2y – 4 c) 2xy + 6x – 5y

d) 4y – 6xy – 5x + 7 e) x2 + 13x – 50 f) 5 – 0,5x – 2x2

g) 6y2 + 1,5xy + 3x – 8y h) 0,5xy + 10x – 6x2 + 2,5y i) 17 + 13 x2y – xy2 – x + 3y

5.

· x – 5 2 – x x + 2y 0,5y – 0,5x

x – y x2 – 5x – xy + 5y 2x – x2 – 2y + xy x2 + xy – 2y2 xy + 0,5x2 – 0,5y2

2x + 6 2x2 – 4x – 30 –2x2 – 2x + 12 2x2 + 4xy + 6x + 12y xy – x2 + 3y – 3x

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Lösungen: Produkte von Summen


1. A = a · (e + f) A = (a – c) · f

1 + 2 + 3 + 4 2

A = (e + f) · (a – c) A = f · (a – d)

2 + 4 1

A = c · f + d · f A = a · f – d · f

1 + 2 1

A = a · e – c · e A = b · c – f · c

4 3

2. a) 12a + 24ay + 12y + 6 b) 3ex – 6fx + 5ey – 10fy c) 30y – 45 – 12xy + 18x

d) ac – 2a + 3c – 6 e) 18+ 9y – 8b – 4by f) 16x2 + 11,8xy – 3y2

g) 15 a – 1

2 y + 15x + 17 xy i) 11

13 x + bx – 1 56 a – 2 1

6 ab ab + 2 45 – 7b h) 28 + 4

15

j) –8 14 xt – 13,2x – 5

8 t – 1 k) 3 5372 b – 2 5

8 – 1 19 b2 l) 1

25 x2 – 916 y2

3.

( )1 x + y2 ( )1 x – y2 4x2 – 16 x + 6xy – 1

4 y ( )2 x + y3 ( )16x – 4

13x – 2x2 – 20 (x – 4) (5 – 2x) 14 x2 – y2

x2y – 3x2 + 6xy – 18x + 5y – 15 (x + 5) (y – 3) (x + 1)

4. a) 1

2 x + 12 y + 1

4 b) 3,5xy + 25 x + 2y + 4

5 c) 0,5xy + 2,5x – y + 2,5

56d) 6y – 3x – 12xy + 1,5 e) 6x2 + 48 x – 12 f) 28,8 + 36x + 7,2x2

5.

· x – 2,2 – x x + 2y 256

34

12 y – 4,5x

4x – y 4x2 – 3 13 x – xy + 5

6 y 8,8x – 4x2 – 2,2y + xy 3x2 + 7 14 xy – 2y2 14,5xy – 18x2 – 2 1

2 y2

x + 4 x2 – 3 16 x – 3 1

3 –x2 – 1,8x + 8,8 34 x2 + 2xy + 8y + 3x –4,5x2 + 2 1

2 xy + 10y – 18x

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Lösungen: Gleichungen mit Klammern


1. a) 168 = 12 · (x + 2) x = 12 cm

b) 12 = 6 · (x – 2) x = 4 cm

c) 50 = 2 · (4x + 1) + 2 · 14 x = 2,5 cm

d) 36 = (x – 5) · 3 x = 17 cm

2. a) L = { 8 } b) L = { 4 } c) L = { 4 }

d) L = { 9 } e) L = { –22 } f) L = { 2,25 }

g) L = { –1,2 } h) L = { –5 } i) L = { –4 }

j) L = { –8; 8 } k) L = { 4 } l) L = { 2 }

m) L = { 1 } n) L = { 8 } o) L = { –5 }

p) L = { –9 } q) L = { }13

r) L = { –1 } s) L = { }2–2 3

3. a) L = Q b) L = { }

c) L = { –2 } d) L = { 0 }

4. Gleichung: 10x – 5(x + 3) = 10 x = 5

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Lösungen: Gleichungen mit Klammern


1. a) 14 = 1 3

4 · (x + 5) x = 3 m

b) 9,8 = ( )3 · x + 21025 x = 75 m

c) 90 = 27 · ( x = 120 m )230 – x9

d) 10,5 = 10 · ( x = 8 m )3 3x – 35 4

2. a) L = { 4 } b) L = { 3 } c) L = { –4 }

d) L = { 31,5 } e) L = { –6 } f) L = { –1,6 }

g) L = { }49 h) L = { }1

2

3. a) L = Q b) L = { }

c) L = { –66 } d) L = { }536

e) L = { } f) L = { 0 }

4. Gleichung: x · (x + 1) – 38 = (x – 1)2 x = 13

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Lösungen: Anwendungsaufgaben von Gleichungen


1. a) Gleichung: (x + 5) · 8 = 2x + 64 x = 4

Die Zahl lautet 4.

b) Gleichung: 12 x + 8 = 3(x + 1) x = 2

Die Zahl lautet 2.

2. a) x entspricht dem heutigen Alter von Sophie. Gleichung: (x + 5 – 8) = 2(x – 8) x = 13

Sophie ist 13 Jahre alt.

b) x entspricht dem Alter von Max.

Gleichung: (x – 4) = 2 · (20 – x – 4) x = 12

Max ist 12 Jahre alt.

3. a) x entspricht der Länge der kürzeren Seite in Metern. Gleichung: 2x + 2 (x + 22) = 124 x = 20

Die kürzere Seite ist 20 m lang.

b) x entspricht der Länge der Basis in Zentimetern.

Gleichung: 2 · 3x + x = 35 x = 5

Die Basis ist 5 cm lang.

4. a) x entspricht der Fahrzeit in Stunden. Gleichung: 80x = 140(x – 1) x = 2 1

3

Die Züge „treffen“ sich um 17.20 Uhr.

b) x entspricht der Flugzeit in Stunden. Gleichung: 850x = 2 400 – 950x x = 1 1

3

Die Flugzeuge treffen sich nach 1 Stunde und 20 Minuten.

5. x entspricht Romeros Gewinnanteil. Gleichung: x + 3x + 6x = 11 286 x = 1 128,6

Romero bekommt 1 128,60 €; Sebastian bekommt 3 385,80 €; Marc bekommt 6 771,60 €.

6. x entspricht der Menge Arabica in Kilogramm. Gleichung: 7,5x + 4,1(10 – x) = 4,61 · 10 x = 1,5

Die benötigten Mengen betragen: Arabica: 1,5 kg und Robusta: 8,5 kg.

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Lösungen: Anwendungsaufgaben von Gleichungen


1. a) x entspricht der gesuchten Zahl. Gleichung: (x + 1)2 – x2 = (x + 1) + x 2x + 1 = 2x +1

b) x entspricht der kleinsten gesuchten Zahl. Gleichung: x + (x + 1) + (x + 2) = 366 x = 121

Die gesuchten Zahlen lauten 121, 122, 123.

2. x entspricht dem aktuellen Alter von Martin. Gleichung: 3x – 5 = 5(x – 5) x = 10

Martin ist heute 10 Jahre alt.

3. a) x entspricht dem kleineren Winkel. Gleichung: x + (x + 80) + 20 = 180 x = 40

Der kleinere der beiden gesuchten Winkel ist 40°, der größere 120° groß.

b) x entspricht der ursprünglichen Kantenlänge des Würfels. Gleichung: 6(x + 3)2 = 6x2 + 342 x = 8

Die Kantenlänge des Würfels betrug 8 cm.

4. x entspricht der Fahrzeit in Stunden. Gleichung: 20x = 25(x – 0,2) x = 1

Marvin hat Tristan nach genau einer Stunde eingeholt. Sie sind bis dahin 20 km gefahren.

5. a) x entspricht dem Fettanteil der Mischung in Prozent. Gleichung: 200 · 3,5 + 300 · 0,3 = 500 · x x = 1,58

Der Fettgehalt der Mischung beträgt 1,58 %.

b) x entspricht der Menge 92%-igen Alkohols in ml. Gleichung: 200 · 30 + x · 92 = (200 + x) · 42 x = 48

Es werden 48 ml von dem 92%-igen Alkohol benötigt.

6. x entspricht der Anzahl Kaninchen. Gleichung: 4x + (18 – x) · 2 = 50 x = 7

Es leben 7 Kaninchen und 11 Hühner auf dem Bauernhof.

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Lösungen: Die binomischen Formeln


1.

x2 – 10x + 25 x2 – 6xy + 9y2 x2 – 9y2 (x – 5)2 (3x + 2y)2

x4 – 25y2 (x – 3y) · (x + 3y) (x2 – 5y) · (x2 + 5y) 9x2 + 12xy + 4y2 (x – 3y)2

2. b) c)

3. a) a2 – b2 b) p2 + 2pq + q2 c) 81 – 18z + z2

d) u2 – 4v2 e) 169 + 26 k + k2 f) s2 – 6st + 9t2

g) 121x2 – 16y2 h) 4x2 – 4xy + y2 i) s2t2 + 4stz + 4z2

4. a) (u + v) (u – v) b) (s + t)2 c) (3x – y)2 d) (5a + 9b) (5a – 9b)

e) (5 – b)2 f) (a + 6)2 g) (0,5a + 15b) (0,5a – 15b) h) (as – t)2

5. a) (3x – 5y)2 = 9x2 – 30xy + 25y2 b) (x + 3) · (x – 3) = x2 – 9

x2 – 125 = ( 4 x12 – )1

5 · ( 4 x12 + )15 c) (0,5x + 1)2 = 0,25x2 + x + 1 d) 16

144

6. a) x2 – t2 = (x + t) · (x – t) b) (3x + y)2 = 9x2 +6xy + y2

c) (4a + b) · (4a – b) = 16a2 – b2 d) (0,9s – xt)2 = 0,81s2 – 1,8stx + x2t2

7. a) 36 · 44 = (40 + 4) · (40 – 4) = 1 600 – 16 = 1 584

b) 372 = (40 – 3)2 = 1 600 – 2 · 40 · 3 + 9 = 1 600 – 240 + 9 = 1 369

c) 1052 = (100 + 5)2 = 10 000 + 2 · 100 · 5 + 25 = 10 000 + 1 000 + 25 = 11 025 Muster z

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Praktikant3

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Con

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fert:

Mat

hem

atik

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n K

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AAP

Leh

rerfa

chve

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Gm

bH, D

onau

wör

th

Lösungen: Die binomischen Formeln


1. a) b) e)

2. a) 25 + 10y + y2 b) 4s2 – t2 c) 6,25x2 – 5xy + y2

d) 2,89u2 – v2 e) 49 + 14k + k2 f) 149 s2 + 2

7 st + t2

g) 425 x2 – 8xy + 100y2 h) 1,44a2 – 4

25 b2 i) 916 a2 + 3

5 ab + 425 b2

j) 1,69a6 – 3 625 b4 k) 0,25x2z2 + 0,3xyz2 + 0,09y2z2

3. a) (x + y)2 b) (13 + t) (13 – t) c) (2a + 3b)2

d) (3a – 9b)2 e) ( 4 s – 5 f) )21 ( )+ v4 2

3 5 ( )2 – v543

g) ( )24 2a – b5 3 h) (xs2 + 0,5t)2 i) ( )22s 12x – t2

4. a) (2x + 3y) (2x – 3y) = 4x2 – 9y2 b) (0,3x – 0,2)2 = 0,09x2 – 0,12x + 0,04

c) (2x + 1,1)2 = 4x2 + 4,4x + 1,21 d) 1 2425 a4b2 – 4,41 = ( 22 b1 a5 ) + 2,1 ( – 2,1 22 b1 a5 )

5. a) (x + t)2 = x2 + 2xt + t2 b) (3x – 4y) · (3x + 4y) = 9x2 – 16y2

c) (25 – y)2 = 625 – 50y + y2 d) ( )2 y3 x –4 = 9

16 x2 + 32 xy + y2

v2 f) ( )1x + y523 · ( )2 1x – y3 5 = e) ( )21 22 u + 3 v7 5 = 4 29

49 u2 + 14 47 uv + 11 14

2549 x2 – 1

25 y2

6. a) 13 · 7 = (10 + 3) (10 – 3) = 100 – 9 = 91

b) 932 = (90 + 3)2 = 8 100 + 2 · 90 · 3 + 9 = 8 100 + 540 + 9 = 8 649

Muste

r zur A

nsicht

Praktikant3

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Gm

bH, D

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wör

th

Lösungen: Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln


1. a) L = { 5 } b) L = { 13 } c) L = { 21 }

d) L = { 57 } e) L = { 5 } f) L = { –3 }

g) L = { –29 } h) L = { 7 } i) L = { –11 }

j) L = { 15 } k) L = { 9 } l) L = { –8 }

2. a) L = { 5 } b) L = { –2 }

c) L = { 5 } d) L = { 2 }

e) L = { 10 } f) L = { 4 }

g) L = { 2 } h) L = { 7 }

i) L = { 9 } j) L = { 2 }

3. a) L = { 5 } b) L = { –2 }

c) L = { 4 } d) L = { –1 }

4. a) L = { 8 } b) L = { –5 }

c) L = { 1 } d) L = { 14 }

e) L = { 0 } f) L = { –1 }

5. a) L = { –3; 5 } b) L = { –8; –3 }

c) L = { 2; 5 } d) L = { –2; 10 }

e) L = { –15 } f) L = { 4 }

g) L = { 7 } h) L = { –5 }

6. a) L = { –5; 5 } b) L = { –6; 6 } c) L = { –13; 13 }

d) L = { –4 } e) L = { –11 } f) L = { 14 }

g) L = { 6 } h) L = { –3; 3 } i) L = { 5 }

Muster z

ur Ansic

ht

Praktikant3

BLANK1

Con

rad/

Sei

fert:

Mat

hem

atik

übe

n K

lass

e 8

© A

uer V

erla

g –

AAP

Leh

rerfa

chve

rlage

Gm

bH, D

onau

wör

th

Lösungen: Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln


1. a) L = { 84 } b) L = { –7 } c) L = { 5 }

d) L = { –6 } e) L = { 14 } f) L = { 3,5 }

g) L = Q h) L = { –5 } i) L = { 21 }

2. a) L = { 0,5 } b) L = { –4 }

c) L = { 7 } d) L = { 2,2 }

3. a) L = { –11 } b) L = { –8 }

c) L = { 1 } d) L = { 9 }

4. a) L = { 3 } b) L = { 8 }

c) L = { }18 d) L = Q

e) L = { –10 } f) L = { }4– 13

5. a) L = { –9; 2 } b) L = { }8 3 –15 7– ;

c) L = { –2,25 } d) L = { }16 3

6. a) L = { 15; –15 } b) L = { –2,1; 2,1 } c) L = { –12 }

d) L = { –1,7 } e) L = { 0,2 }

7. n2 + (n + 1)2 = n2 + n2 + 2n + 1 = 2n2 + 2n + 1 = 2(n2 + n) + 1 = 2[n · (n + 1)] + 1 Muste

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Praktikant3

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Praktikant3

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Download · 2. Bestimme die Lösungsmenge durch Anwenden der Umkehroperation. a) x + 7 = 21 b) 5...

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