Algebraische Gleichungen Gleichung Setzt man zwischen zwei Terme T 1 und T 2 ein Gleichheitszeichen,...
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Algebraische Gleichungen
GleichungSetzt man zwischen zwei Terme T1 und T2 ein Gleichheitszeichen, so entsteht
eine Gleichung!
LösungsmengeAlle Einsetzungen für die Variable aus der Grundmenge G, die eine Glei-
chung zu einer wahren Aussage machen, bilden die Lösungsmenge L.
Idee dieser PräsentationEs werden ein paar unterschiedliche Musterbeispiele vorgestellt und gerade
korrekt vorgelöst!
1. Lineare Gleichungen
Beispiel 1:
Grundaufgabe: Ohne Klammern
14x – 6 + 5x + 15 = 3x + 22 + 13x – 7
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
Musterlösung Beispiel 1:
14x – 6 + 5x + 15 = 3x + 22 + 13x – 7 I TU
19x + 9 = 16x + 15 I - 16x
3x + 9 = 15 I – 9
3x = 6 I : 3
x = 2
L = {2}
1. Lineare Gleichungen
Beispiel 2:
Grundaufgabe: Mit Klammern (ohne Produkt)
15x – (12 + 11x) + (23 – 3x) = 12
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
Musterlösung Beispiel 2:
15x – (12 + 11x) + (23 – 3x) = 12 I TU
15x – 12 – 11x + 23 – 3x = 12 I TU
x + 11 = 12 I – 11
x = 1
L = {1}
1. Lineare Gleichungen
Beispiel 3:
Grundaufgabe: Mit Klammern (mit Produkt)
6(7-x) + 9 = 2(x+19) – 7(x-2) – (2x-11)
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
Musterlösung Beispiel 3:
6(7-x) + 9 = 2(x+19) – 7(x-2) – (2x-11) I TU
42 – 6x + 9 = 2x + 38 – 7x + 14 – 2x + 11 I TU
51 – 6x = -7x + 63 I + 7x
x + 51= 63 I - 51
x = 12
L = {12}
1. Lineare Gleichungen
Beispiel 4:
Grundaufgabe: Mit Klammern (Produkt von Summen)
2(x + 1)(x + 3) + 8 = (2x + 1)(x + 5)
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
Musterlösung Beispiel 4:
2(x + 1)(x + 3) + 8 = (2x + 1)(x + 5) I TU2(x2 + 3x + x + 3) + 8 = 2x2 + 10x + x + 5 I TU2x2 + 6x + 2x + 6 + 8 = 2x2 + 11x + 5 I TU2x2 + 8x + 14 = 2x2 + 11x + 5 I - 2x2
8x + 14 = 11x + 5 I – 8x14 = 3x + 5 I – 59 = 3x I : 33 = x
L = {3}
1. Lineare Gleichungen
Beispiel 5:
Grundaufgabe: Mit Klammern (Binomischen Formeln)
(x – 11)2 – (x – 20)2 = (2x + 1)2 – (2x)2
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
Musterlösung Beispiel 5:
(x – 11)2 – (x – 20)2 = (2x + 1)2 – (2x)2 I TUx2 – 22x + 121 – (x2 – 40x + 400) = 4x2 + 4x + 1 – 4x2 I TUx2 – 22x + 121 – x2 + 40x – 400 = 4x + 1 I TU18x – 279 = 4x + 1 I – 4x14x – 279 = 1 I + 27914x = 280 I : 14x = 20
L = {20}
1. Lineare Gleichungen
Beispiel 6:
Grundaufgabe: Mit Brüchen (Zahl im Nenner: Typ 1)
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
5
1
264xxx
Musterlösung Beispiel 6:
x/4 – x/6 = x/2 – 1/5 I GN15x/60 – 10x/60 = 30x/60 – 12/60 I * GN (=60)15x – 10x = 30x – 12 I TU5x = 30x - 12 I – 5x0 = 25x - 12 I + 1212 = 25x I : 2512/25 = x
L = {12/25}
1. Lineare Gleichungen
Beispiel 7:
Grundaufgabe: Mit Brüchen (Zahl im Nenner: Typ 2)
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
20
169
16
125
8
47
5
83
xxxx
Musterlösung Beispiel 7:
(3x+8)/5 – (7x-4)/8 = (5x+12)/16 – (9x-16)/20 I GN?16(3x+8)/80 – 10(7x-4)/80 = 5(5x+12)/80 – 4(9x-16)/80 I * GN (=80)
16(3x+8) – 10(7x-4) = 5(5x+12) – 4(9x-16) I TU48x + 128 – 70x + 40 = 25x + 60 – 36x + 64 I TU- 22x + 168 = - 11x + 124 I + 22x168 = 11x + 124 I - 12444 = 11x I : 114 = x
L = {4}
2. Lineare Ungleichungen
Beispiel 8:
Grundaufgabe: Ungleichung 1 (G = Z)
3 (2x – 1) – 2 (x + 3) < 5x - 3
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
Musterlösung Beispiel 8: (G = Z)
3 (2x – 1) – 2 (x + 3) < 5x - 3 I TU
6x – 3 – 2x – 6 < 5x – 3 I TU
4x – 9 < 5x – 3 I - 4x
- 9 < x – 3 I + 3
- 6 < x
L = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…}
2. Lineare Ungleichungen
Beispiel 9:
Grundaufgabe: Ungleichung 1 (G = Z)
(x – 1)(x + 1) > (x – 1)2 + 2
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
Musterlösung Beispiel 9 (G = Z):
(x – 1)(x + 1) > (x – 1)2 + 2 I TUx2 – 1 > x2 – 2x + 1 + 2 I TUx2 – 1 > x2 – 2x + 3 I – x2
- 1 > - 2x + 3 I + 2x2x - 1 > 3 I + 1 2x > 4 I : 2x > 2
L = {3, 4, 5, 6, …}
2. Lineare Ungleichungen
Beispiel 10:
Grundaufgabe: Ungleichung 3 (G = Z)
(5x – 1)(2x + 3) – (2x + 1)2 ≥ 6x (x + 1)
Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!
Musterlösung Beispiel 10 (G = Z):
(5x – 1)(2x + 3) – (2x + 1)2 ≥ 6x (x + 1) I TU10x2 + 15x – 2x – 3 – (4x2 + 4x + 1) ≥ 6x2 + 6x I TU10x2 + 13x – 3 – 4x2 – 4x – 1 ≥ 6x2 + 6x I TU6x2 + 9x - 4 ≥ 6x2 + 6x I – 6x2
9x - 4 ≥ 6x I – 6x3x – 4 ≥ 0 I + 43x ≥ 4 I : 3x ≥ 4/3
L = {2, 3, 4, 5,…}
3. Gemischte Übungen
1. 3x - 15 = 2x - 15
2. (x+3)2 = (x-3) (x-6)
3. 2x + 3 = 16 - (2x - 3)
4. x - 4(12 - x) -3(20 - 3x) - 18 = 0
5. (x - 1)(2x + 1) = (x + 3)(2x + 3) - 14
6. 2(3 - (2(3x - 1) - 5)) = 8
7. (x - 11)2 -(x -20)2 = (2x + 1)2 - (2x)2
8. 5x/11+x/2+9x/22 = 4x/5 + 62
Gesucht: Lösungsmenge L!?
Lösungsmengen:
1. L = {0}
2. L = {3/5}
3. L = {4}
4. L = {9}
5. L = {0.4}
6. L = {1}
7. L = {20}
8. L = {110}
3. Gemischte Übungen