Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen

         

 

     

  Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung)

Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung

• betrachte nur gemittelte Größen: Dichte, Temperatur, mittlere Geschwindigkeit

• eigentlich mehrere Flüssigkeiten: v.a. Elektronen und Ionen (unterschiedliche Massen!)

• elektrische und magnetische Felder

Speziell im Plasma:

• Vernachlässigung kinetischer Effekte (unterschiedliche Antwort von Teilchen mit verschiedenen Geschwindigkeiten auf externe Felder, z.B. Landau-Dämpfung)

Stovr t

ffBvE

m

qfv

t

f

dt

df

Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen

Starte von kinetischer Gleichung:

• Momente der Verteilungsfunktion: v),,v()v(

dtrfk

Betrachte nicht Verteilungsfunktion selbst, sondern

Momente der Verteilungsfunktion

v),,v()v(),( 0 dtrftrn

Dichte (k=0):

),(/v),,v()v(),(u 1 trndtrftr

Schwerpunktsgeschwindigkeit (k=1):

),(/v),,v()v(3

),( 2 trndtrfum

trkT

Temperatur (k=2): 2

22

3aB uv

mTk

Momente der Verteilungsfunktion

Dies sind lokale Größen, d.h. Flüssigkeitsbeschreibung nur möglich, wenn mittlere freie Weglänge viel kleiner als Skalenlänge der untersuchten Prozesse

Hc L

Probleme für:• stoßfreie Plasmen• kleinskalige Prozesse

Zeitskala der betrachteten Prozesse muss viel länger als Stoßzeit sein:

Hii

Kontinuitätsgleichung

0-tes Moment der kinetischen Gleichung:

0

vdt

f

Sto

Energie-und Impulserhaltung:

(falls nur Teilchen einer Sorte)

fBvEm

qfv

t

fvr

vd

t

n

unvdfvvdfv rr

v und u unabhängige Phasenraumvariablen, daher 0r

v

Kontinuitätsgleichung

t

n

un

+ = 0

fBvEm

qfv

t

fvr

vd

t

n

un

vdBvEfm

qfBvE

m

qvdfBvE

m

qvv

0

• E unabhängig von v

0 Bvv

Kraftgleichung

1-tes Moment der kinetischen Gleichung:

0,

wdt

fwmtrR

Sto

Reibungskraft:

(w: Relativgeschwindigkeit)

fBvEvqfvmt

fvm vr

2 vd

unt

mvdt

vfmvdfv

tmvd

t

fvm

vtrvw

,

Integration über Relativgeschwindigkeit = Integration über v

bei gegebener Verteilungsfunktion werden genauso viele Teilchen abgebremst oder beschleunigt, um f wieder herzustellen

Kraftgleichung

fBvEvqfvmt

fvm vr

2 vd

unt

m

vdvfmvdfvmvdfvm rrr

222 0r

v

vdfuvuuuvm

vdfvuuuvm

r

r

2

2

22

22

uvvfd

nu

m

Tnkm B

r23

2

22

3uv

mTkB

uumnunump

uumnnmup

rrr

rrr

22

Kraftgleichung

fBvEvqfvmt

fvm vr

2 vd

unt

m

vdBvEvfqvfBvEqvdfvBvEq vv

0

uunmunumP

)(

P: anisotroper Drucktensor

vdBvEvfqvdBvEfq v

BuEnq

wie vorher

Kraftgleichung

RPBuEnquut

unm

uunmunumP

)( unt

m

+ RBuEnq

t

n

un

+ = 0

t

num

=

aus

t

unm

+ RPBuEnq

uunm

)(

Kraftgleichung

RPBuEnquut

unm

Kräfte-Gleichgewicht

ggf. zusätzlich Gravitationskraft: gnm

Flüssigkeitselement wird beschleunigt durch einwirkende Kräfte:- auf Grund elektrischer Felder- Lorentz-Kraft- Reibungskraft- Gewichtskraft

Energiegleichung

Multiplikation der kinetischen Gleichung mit 2

2v

m

wdt

fw

mtrQ

Stöße

2

2),(

Qppt

kTn

vv2

3

Es entsteht wieder eine Hierarchie von Gleichungen, einfachstes System:

- Kontinuitätsgleichung- Bewegungsgleichung- Gleichung für den Druck (aus Thermodynamik)

+ Maxwell-Gleichungen

Magnetohydrodynamik (MHD)

Einflüssigkeitsbeschreibung:

Annahme: Flüssigkeiten und Felder variieren auf gleichen Zeit- und Längenskalen (die der Ionen)

Alle Effekte, die speziell die Elektronendynamik betreffen, werden vernachlässigt

cuL

k iH

H ~~

nichtrelativistische Beschreibung

Te = Ti noch höhere Stoßfrequenz als für Zwei-Flüssigkeit gefordert

Auf betrachteter Zeitskala muss Energieaustausch zwischen Elektronen und Ionen erfolgen:

Hi

eii m

m

MHD-Gleichungen

(1) Kontinuitätsgleichung:

Gleichung für Massendichte iiiie mnmnmn

t u

+ = 0

Gleichung für Massendichte statt Teilchendichte

MHD-Gleichungen

(2) Kraftgleichung: Addition der Kraftgleichungen für Elektronen und Ionen (einfach geladene Ionen, isotroper Druck)

eieeeeee

ee RpBuEenuut

unm

eiiiiiii

ii RpBuEenuut

unm

)( gBjpuut

u

ie mm Elektronenträgheit vernachlässigbar

0)(

pBuuenuut

uie

iei nnuu ,

Im statischen Fall wird Druckgradient gerade durch Ströme senkrecht zum MF (und evtl. Gravitation kompensiert)

MHD-Gleichungen

(3) Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz:

Kraftgleichung für Elektronen eieeeeee

ee RpBuEenuut

unm

iiiee uen

juuuu

)(

eieieei

ee Rpen

BjBuEen

dt

jd

e

m

dt

udnm

Kraftgleichung: pBjdt

ud i

1

eieiee

i

e RpBjBuEendt

jd

e

mpBj

m

m

me<<mi

MHD-Gleichungen

(3) Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz:

e

ei

en

Rj

dt

jd

ne

mp

enBj

enjBuE

e

e

eei

2

11

Resistivität Hall-Termin MHD vernachlässigt

Plasmabewegung senkrecht zu B

e

eie

eee

ei en

Rp

enBj

endt

jd

en

mBuE

112

Zusammenfasung: MHD-Gleichungen

0)v(

tKontinuitätsgleichung

Bjpt

v)v(vKraftgleichung

Maxwell-Gleichungen

0,,0

BBjEt

B

Adiabatische Zustandsänderung: 0)(

dt

pd

Und dazu noch:

Ohmsches Gesetz Bjen

jBuEe

1

MHD-Gleichgewicht

Bjp

Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft(Ströme senkrecht zum Magnetfeld)

0 pB

Druck entlang von MF-Linien ist konstant

Kraftgleichung (stationär)

Grundlage des magnetischen Einschlusses von Plasmen

Ideales Ohmsches Gesetz: 0 BuE

Betrachte Änderung des magnetischen Flusses durch eine Schleife, die sich mit Geschwindigkeit v durch das Plasma bewegt:

)(tA

)( ttA

ldtv

n

tv

ld

)( )()(

1

ttA tAtA

AdBAdBt

Adt

B

dt

d

mit

0.

Oberfl

FdBdVB

ldtvBt

AdBAdBt

ttA tA

11

)( )(

ldvBAdt

B

dt

d

Konsequenzen aus dem Ohmschen Gesetz

Der eingefrorene Fluss

ldBuAdBuAdt

B

ldvBAdt

B

dt

d

Das Magnetfeld ist in idealer MHD im Plasma “eingefroren”, d.h. es bewegt sich mit dem Plasma

lduBldvBdt

d Fluss durch Spule verschwindet, wenn sie sich mit Plasmageschwindigkeit bewegt

0 BuE

,Et

B

Bu

t

B

Zeitliche Änderung des Magnetfeldes nur durch Plasmabewegung

Konsequenzen der Flusserhaltung

.constAdB

Plasmakontraktion führt zu MF-Erhöhung!

A1 A2

B1 B2

12

12 B

A

AB

Konsequenzen der Flusserhaltung

Beispiel: In Neutronensternen Magnetfelder bis 108 T, erreichbar durch Kontraktion bei hohen Temperaturen

Radius von Neutronensternen: r2 ~ 20 kmSonnenradius r1 ~ 700 000 km

19

122

21

2 10~~ BBr

rB

Endliche Resitivität

jBE uOhmsches Gesetz

Maxwell-Gleichungen BujE

t

B

BuBt

B

2

0

1

Endliche Resistivität erlaubt Änderung der MF-Topologie!

Typische Zeiten für Rekonnektion: 0

2

~L

rec

Magnetische Inseln Erdmagnetfeld

Beispiele für Rekonnektion

Rekonnektionszeiten

0

2

~L

rec2/3~

eT -> sehr lange Rekonnektionszeiten

Solar flares: s

mKTe

26 1~,10~

L=107m, rec=1014 s, aber Beobachtung: 103 s

Fusionsplasmen: s

mKTe

238 10~,10~

L=0.2 m, rec=40 s, aber Beobachtung: 100 s (“Sägezähne”)

Sweet-Parker-Rekonnektion

Kontinuitätsgleichung (inkompressibles Plasma)

t u

+ = 0

außerhalb der resistiven Schicht: ideal MHD

in resistiver Schicht: resistive MHD

1

0

inu

Sweet-Parker-Rekonnektion

MF-Energie = kinetische Energie

Ausströmgeschwindigkeit = Maximalgeschwindigkeit in MHD

1

0

inu

Aout

in

vLu

u 11

0

Av

1~

0

Sweet-Parker-Rekonnektion

Ain vu00

~1

Av

1~

0

Charakteristische Zeit für Rekonnektion

1

~~in

rec u

L

Schneller als vorher (1/), aber immer noch viel zu langsam

Rekonnektion ohne Zusatztermen (MHD)

Av

1~

0

• MHD (one fluid) theory valid only for L >> i

• however: thin current layer, width smaller than i for realistic :

dt

jd

ne

mp

enBj

enjBuE

e

e

eei

2

11

Important for small MF (astrophysics)

Two fluid theory

Generalised Ohm‘s law:

Significant motion perpendicular to strong magnetic field only due to ExB drift

E

B

Ionaccelerated,

= largergyro radius

Elektrondecelerated,= smaller

gyro radius

2B

BEvD

for electrons and ions in the same direction

dt

jd

ne

mp

enBj

enjBuE

e

e

eei

2

11

large MF (Fusion)

Two fluid theory

Generalised Ohm‘s law:

Time varying electric fields: polarisation drift

dt

Ed

qB

mpol

2v

dt

jd

ne

mp

enBj

enjBuE

e

e

eei

2

11

Important for small MF (astrophysics)

large MF(Fusion)

Important in thin layer

Two fluid theory

Generalised Ohm‘s law:

X point geometry in two fluid theory

Outflow channel much wider in two fluid theory

Reconnection times close to Alfvén times!

Much higher reconnection rate in two-fluid theory

MHD

Increasing influence of polarisation drift

Rekonnektion mit Zusatztermen (“beyond MHD: ||p”)

Rekonnektion mit Zusatztermen (“beyond MHD: ||p”)

Rekonnektionszeiten im Bereich von Alfvenzeiten!

Der Hall-Effekt

Bjen

jBuEe

1Ohmsches Gesetz

Strom senkrecht zu Magnetfeld

Bedeutung des Hall-Effekts in der Niedertemperatur-Plasmaphysik:

Ex

jxEy=0 Bz

Betrachte:

01

1

zxyy

zyxx

Bjen

jE

Bjen

jE

Aus Ohmschem Gesetz:

Strom in y-Richung, obwohl Ey=0!

Der Hall-Effekt

01

zxyy Bjen

jE zxy Bjen

j

zyxx Bjen

jE1

eieeie m

eB

en

B

m

ne

2

ec m

eB

xei

cy jj

ei

c

ei

c

xx

ei

cy

Ejj

2

2

1

2

22

2

1ei

c

xx

ei

cxx

EjEj

Strom in Richtung des Ex-Feldes wird abgeschwächt durch jy

Verringerte Leitfähigkeit in Richtung des elektrischen Feldes, höherer Strom senkrecht zu E und B

Elektrische Leitfähigkeit in magnetisierten Plasmen

BE

||

BE

: Strom in E-Richtung, Spitzer-Leitfähigkeit

||1

2 B

BEEj ce

stoß

ce

: zwei Strombeiträge, Leitfähigkeit in E-Richtung erheblich reduziert in heißen Plasmen bei hohen Magnetfeldern

Strom in Richtung von E,verringert durch MF

Strom durch Hall-Effekt, wichtig für ce>, also für stark magnetisierte Plasmen

Der Hall-Generator

Betrachte zusätzlich Plasmaströmung ux:

zxxei

cy Bujj

Ex

jx Bzux

Ey=0

zxyzxy Bjen

jBuE1

ei

czxx

ei

c

x BuEj

2

2

1

ei

czxx

ei

c

effx BuEE

2

2

1

1

zyxx Bjen

jE1

wievorher

Der Hall-Generator

Betrachte zusätzlich Plasmaströmung ux:

jx Bzux

Ey=0

ei

czxx

ei

c

effx BuEE

2

2

1

1

Für Niedertemperaturplasmen (ce<zusätzliche Spannung durch Strömung über Widerstand RL

Der Faraday-Generator

zxyzxy Bjen

jBuE1

•Plasmabewegung erzeugt Strom in y-Richtung

zyxx Bj

enjE

1

• Umkehrung des Generator-Prinzips: Plasmatriebwerke für Weltraumanwendungen

•J x B – Kraft bremst Plasmabewegung

jx unterdrückt durch Segmentierung der Elektrode