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Vorbereitung zur 1. Mathematikschulaufgabe 1. Semester

TS_A001_01 **** Lösungen 1 Seite 1 (1) © www.mathe-physik-aufgaben.de

A ) Grundlagen der Mengenlehre 1. Geben Sie folgende Mengen, die hier in beschreibender Form gegeben sind, in aufzählender Form an: a) Die Menge der Primzahlen, die kleiner sind als 45. b) Die Menge der Teiler von 72 c) Die Menge der durch 4 teilbaren ganzen Zahlen. 2. Geben Sie folgende Mengen in beschreibender Form an: a) M1 = {5, 10, 15, ..., 35} b) M2 = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} 3. Gegeben sind die Mengen A = {1, 3, 5, 7, 9} und B = {2, 3, 6, 8, 9}. Bestimme A B∩ (Schnittmenge). 4. Gegeben sind die Mengen A = {1, 3, 5, 7, 9} und B = {3, 6, 9}. Bestimme A \ B. (A \ B heißt A ohne B) 5. Gegeben sind die Mengen A = {12, 13, 15, 17, 19} und B = {11, 16, 17, 19}. Bestimme A B∪ (Vereinigungsmenge). Zahlenmengen: {0; 1; 2; 3; 4;...}= Menge der natürlichen Zahlen (die Null ist enthalten)

{... 2; 1; 0; 1; 2;...}= − − Menge der ganzen Zahlen

{Brüche}= ∪ Menge der rationalen Zahlen

irrationale Zahlen= ∪ Menge der reellen Zahlen

+ positive reelle Zahlen

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TS_A001_02 **** Lösungen 3 Seiten 1 (1) © www.mathe-physik-aufgaben.de

B ) Addition / Subtraktion, Multiplikation / Division, Ausmultiplizieren / Ausklammern (Faktorisieren) 1. Addition / Subtraktion - Klammern auflösen und zusammenfassen: a) ( ) ( )3a 4b 5a 7b 9a 10b− − − + + − − =

b) ( ) ( )24a 13a 8b 2c 9a 12b 3c⎡ ⎤− − + − + − =⎣ ⎦

c) ( ) ( ){ }32 4 1 15 5 2 2 10x y 2 z 0,75x 1,25y 1,75z x x⎡ ⎤− − − − − − + + =⎣ ⎦

d) ( ) ( ){ }32 1 1 13 6 3 5 27 b 4 b 5,5 6 a 5 1,75b 2,25a 2 b⎡ ⎤− − + + + + + − + =⎣ ⎦

2. Multiplikation / Division - Klammern auflösen und zusammenfassen: a) ( 4) ( 3)² ( 54) : ( 3) ( 9) ( 2)− ⋅ − + − − − + ⋅ − = b) [ ] 2 42 ( 6) ( 3) ( 4) ( 2) ( 5) 4 ( 2)⎡ ⎤⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + − =⎣ ⎦

c) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2 4 324 3 12 4 3 : 4 3 2 2 3⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⋅ ⋅ − + − ⋅ − − ⋅ ⋅ − − − ⋅ − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

d) [ ]3 4 (6 9) 5 (8 14) 7 ( 4) ( 2)− ⋅ ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − =

e) ( )2 7 2 42 ( 3) ( 2) ( 2) : ( 4) : 2⎡ ⎤− ⋅ − ⋅ − − − − − =⎣ ⎦

f ) [ ]{ } [ ]{ }5 ( 4 8) (3 8) ( 9 5) 16 (4 7)− + − − + − − − + − − − − =

g) ( ) ( )14 3a 4c 8 5a 3c− − − =

h) ( ) ( )3 40x 2 5x 8 10 2 x⎡ ⎤− + + − =⎣ ⎦ 3. Faktorisiere soweit wie möglich: a) 4 238a 19a+ = b) 21ay 35az 20z 12y+ + + =

c) 2 212 y 20x 5a x 3a y− + − = d) 36ac 24ad 45bc 30bd− − + = e) 16ac 24bc 40ad 60bd− − + = f) 2 2 2 2ap bq aq bp+ − − = g) 2 2 2 2396a c 36a cd 495abc 45abcd− − + =

h) ( )( )6 6 2 9 9 2

4 3 2 52

72a 24a b 48a 16a b8a a 3a 2a3 b

− − ++ − − =

−

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C ) Bruchrechnung 1. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Kürzen und Erweitern; Hauptnenner bestimmen - ohne Variable (nur Zahlen): a) ( ) ( )3 31

2 4 44 2 : 9 1+ − =

b) ( )5 16 2 17 21 3 428 8 10 :17+ − =

c) ( )1 1 1 1 117 6 2 2 122 3 : 7 4 5 5 : 15− ⋅ − ⋅ + + =

d) ( ) ( )3 91 1 1 2 78 2 2 3 3 16 163 : 4 5 1 3 1 3− ⋅ + − − + =

e) 5 13 11 124 40 18 9 8

949 180 3

1 7 85 13 : 40

− +− + =

f ) ( )

5 9 37 78 6 270 19 20 48

969 9 31 1 12 2 4 10 10 25

36 : 9 108 18 : 92 1 : 5 4 3 : 3

+ ⋅ − +− =

− ⋅ −

2. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Kürzen und Erweitern; Hauptnenner bestimmen - mit Variablen:

a) 3x 52z

+ =

b) 5a23a 2c

− =+

c) 1 1 5a 2b 1 y 2 x 2y30y 15 3x 15y 6xy

− − − −+ + − − =

d) 6a c 3b 5c 5a 4b 5 1 36bc 5ab 4ac 4c 6b 5a+ − −

− − + − + =

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D ) Binomische Formeln 1. Forme mit Hilfe der binomischen Formeln um und vereinfache bzw. fasse

zusammen: a) ( ) ( )2 23 3a 3 a 3− + + =

b) ( ) ( )2 22x 3y x y− − + =

c) ( )24p 3r− + =

d) 3 30,2a b b 0,2a5 5

⎛ ⎞⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

e) ( ) ( )( ) ( )2 22 4r 3s 3 s 2r 2r s 4 r 2s− − − + − + =

f ) 3 1 1 3a b b a5 8 8 5

⎛ ⎞⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

g) ( )( ) ( ) ( )2 211a 5b 11a 5b 3a 4b 2a 6b+ − − − + − =

h) ( ) ( ) ( )( )2 23 2a 7b 2a 7b 4a 5b 4a 5b+ + − − + − = 2. Faktorisiere bzw. fasse soweit wie möglich zusammen: a) 2 245a 690ab 2645b− + = b) 3 2x 2x x+ + = c) 3x x− = d) 2 298a 8b 56ab+ + = e) 2a 26a 169+ + = f ) 4 63,61a 4b− = g) 299a 11 66a+ − = h) 2 20,49r s 81r t− = i ) 21 2x x− + = j ) 41 z− = k) 2 481a b 1− = l ) 2 2225a 15ab 0,25b− + = m) 2 27r s 0,28r t− = n) 4x 16− = o) 2 2 2242a 578b 132ac 18c− − + = p) 2a 13a 40− + = q) 2x x 6− − =

r) 2 2

2a b

4a 4ab−

=+

s) 2 2

2 2n m

n 2nm m−

=+ +

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t ) 4 4

2 2a ba b

−=

+

u) 2 2

2 29x 12xy 4y

9x 4y+ +

=−

v) 27 5 10

10a 15 6a 9 4a 9− − =

− + −

w) 24 72 8

7a 9 49a 81 7a 9− + =

− − +

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E ) Potenzrechnung 1. Berechne: a) ( )80,123− =

b) ( )521− =

c) 26− = d) 75 −− = e) ( )300b− =

f) ( ) ( )7 3a a− ⋅ − =

g ) ( ) 5c d⎡ ⎤⋅ − =⎣ ⎦

h) ( )85z⎡ ⎤− =⎣ ⎦

i) ( )45b− =

j) ( )54b− =

k) ( ) 53a−

− =

l) ( )43x

−−⎡ ⎤− =⎣ ⎦

m) ( ) 32a

−−⎡ ⎤− =⎣ ⎦

n) ( ) 434

−− =

o) ( ) 352

−− =

p) ( ) ( )16 106 : 6− − =

q) ( ) ( )5 33 49 9−− ⋅ =

r) ( ) ( )3 533 : 9 −− − =

s) ( ) ( ) 26 38 4−

− ⋅ − =

t) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 8 7232 x y 0,3y x 1,5yx− ⋅ − ⋅ − ⋅ =

u) 3 26ab 5a b− −⋅ = v) n n 3x : x− − = w) ( )n 1 1 n n na b : a b− − −+ =

x) ( ) ( )3 21 1

2 4 2 95 5a b a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

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2. Berechne:

a) 25

9⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

b) 5

xy

⎛ ⎞=⎜ ⎟−⎝ ⎠

c) ( ) ( )5 9 6 3 228 x z : 42x y z− − − =

d) 18 n n 18p : p− − =

e) ( )( )

3n2

3n

15a 6a

5a 2

−

−

−=

−

f) ( )1

8 862x−⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

g) 16

12729x

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

h)

12n n 4 n 1

n 1 2 nx yx y

+ +

− −

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

i) ( )

214x 1

x 1

−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ =−

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3. Vereinfache bzw. fasse zusammen:

a) 3 15 2 0 2

1 3 4 6 1

x y z z:z x y x y z

−− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) 3 4 7 9

6 3 5 5a b a cc d b d

−

− ⋅ =

c) 2 2 2 2

2 2 230by 15y 6x 12bx 20xy 35y:

16x 56x 49 16x 56x 49 12x 21x⎛ ⎞− − −

⋅ =⎜ ⎟+ + − + +⎝ ⎠

d) 2 2 2 2

2 3 3 2 22a 4ab 7a 7ab 3a 6ab 3b: :

7ab 14b 4a 16a b 16ab 24a 48b⎛ ⎞− − − +

=⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

e) 2 2 3 31 1 1 12 n m 3 m n 4 r s 5 s r2 3 4 5

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

f) 21 1 74 ab : 1 ab5 2 15

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

g) ( ) ( )6 9 9 6 2 384a b 96a b : 12a b− − = h) ( ) ( )3n 3n3a 5b 5b 3a− −

+ ⋅ − =

i) 12 6 2 4 4 3

3 10 4 5 3 9a b c a b ca b c a b c

− − − − −

− − −⋅ =

j) 2 32 3 4

2 2 23a b 2b:4a b 3a

−− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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F ) Wurzelrechnung 1. Berechne: a) 4 2 5 2+ =

b) 3 3 2 2+ + + =

c) + + − =6 2 2 18 2 3 18

d) 2 8 3 7⋅ =

e) 2 398 =a b

f) 4 24 : 3 =

g) 7512

=

h) 1352

=

i) 12 5 27 5 75− − =

j) 212x y3y⋅

=

k) 3 55⋅

=x

x

l) 63 44 5 : 5 =

m) 53 9 : 27 =

n) 5 6 30z =

o) ( ) ( )3 27 2 12 3− ⋅ − =

p) (2 0,5 3 2)²− =

q) x²a² x²b² : a b− + =

r) 2 23u 6uv 3v+ + =

s) 14 21 73 27 3

⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

t) ( )+ − − =2

a b a b

u) 2 3 2

3 2 2 2

a b b ab ba 2a b ab a ab

− +⋅ =

− + −

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2. Vereinfache soweit wie möglich (alle Variablen +∈ und derart, daß alle Wurzeln definiert sind):

a) 4 486 =

b) 6 817 =

c) 548x =

d) 3 10 12625a b =

e) 32

yxx

=

f) 3a ba : c

b c⋅ =

g) 4 2

2b b27a+

=

h) ( )

2 3

33

a b

0,01 a b a=

⋅ ⋅ ⋅

i) 416x

81y²=

j) a b16ab³ ( a)³

=⋅

k) 6 2

2

x x200a

+=

l) 3 2y y y y z 4y+ − + =

m) 5 3 3 2

3 6a b x a x:16y 3b y 27y

⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

n) 4 77 3

328 19

z zz

=

o) ( ) ( )2 25 3 3 5 5 3 3 5+ − − =

p) 2 2 2 2

3 4 212a 12ab 3b 2b 4a:

a b 2a 3ab+ + −

−

q) 2

27 8 3 2 1 2 12 3 312 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞−− − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

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3. Beseitige die Wurzel im Nenner (rational machen des Nenners) und vereinfache soweit wie möglich:

a) 53=

b) 3

62=

c) 4 204 5−

=

d) 2 32 3+

=−

e) 5 22 10 6

+=

+

f) 4 3 10 2 5 36 1 6

+− =+

g) 3 2

3 2

+=

−

h) ( )1 7 42 6

7 1

+ −=

−

i) ( )3a 3 b 3a3b3ab b a

⋅ −− =

−

4. Beseitige die Wurzel im Nenner (rational machen des Nenners), vereinfache

soweit wie möglich und gib einschränkende Bedingungen an:

a) 3x=

b) x yx y−

=+

c) 5a 2b

=−

d) aa b

=+

e) 52 3x

=−

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5. Bestimme die Definitionsmenge (G = ): Zu beachten ist, dass der Radikand (Term unter der Wurzel) 0≥ ist und der Nenner

eines Bruches nicht Null werden darf. a) 4x 28−

b) ( )23 x−

c) 1 x1 x+−

d) 5 x−

e) 1 2xx 2+−

f) 2x 4+ g) | 2x 3 |− +

h) 3x 43x 1

+−

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G ) Lineare Gleichungen

1. Ermittle die Lösungsmenge:

a) ( ) ( )6 4x 3 7 5 2 5x− = − −

b) ( )4x 2 3x 4 2x 9 5x 8 − − + − = +

c) ( ) ( ) ( ) ( )4 5x 24 3 2x 12 5 2x 12 8 x 15 8+ − − − = − − + − − −

d) 1 1 1 1 2x 4

x x 3 4 x2 7 4 2 14

− + − − + ⋅ = −

e) 46

512

541

3x x

+− − =−

f ) ( )91

4 213x 8

4x 16x− +

⋅ − + =

g) 585x x 2 1 1 1

4 x x 36 3 6 2 16

+ − + = − − − +

h) 76

6 1 3 2: 2x 2 x : 3 x

7 x 4 3− =

i ) ( ) 1

7,5 4 14,5x : 5 2,25

15 9 x−

− + = ⋅ + −

k) ( ) 6

4 3 2

217x

13 4 9− − − + ⋅ =

l ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2x 6 x 4 9 2x 6x 7 x 6− + − + − + = − −

m) 5x 2 3x 1 3x 3 x 1

3 33 2 2 6+ − − + − − = − +

2. Ermittle die Lösungsmenge (Gleichungen mit Formvariablen):

a ) ( )( ) ( )a b x 1 2 a b x 2a 2b a,b ; G− + = + + + ∈ =ℝ ℝ

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H ) Bruchgleichungen 1. Ermittle die Lösungsmenge unter Beachtung der Definitionsmenge: Für alle Aufgaben gilt: G =

a) 4 10x 1 x 4

=+ +

b) 5 5 3x 1 2 2x 2

− =+ +

c) 5 2x 3x 442x 3 x− −

+ =− +

d) 23x 17 8x 25 6 9x152x 4 6x 12 10x 20

+ − − −− − =

− − −

e) 2x 99 7x 10 5 3x10

x 3x 2 x 1 x 2+ − −

− = −+ + + +

f) 2

24x 5 3x 4 11x 69x 583x 3 5 5x 15x 15

− + − ++ =

+ − −

g) ( )2

12 1 6x 12 04x 8 2 3 x 4

+− + =

− −

h) 21 3 9

x 1 2x 2 2x 2+ =

− + −

i ) 10 7x 5 7x 1 x 1−

= −− +

j ) 21 4x 9 81 4x 5x 10x 5+

= − +− +

k) 25x 7 5x 2 814x 3 4x 3 16x 9

+ −− =

− + −

l ) 3 2 2 3x 3 2 12 x 0

x 8x 16x x 4x x 16x− −

− − =− + + −

m) 2 2 3 31 2x 3 10x 21 0

6x 9x 3x 2x 12x 27x+ +

+ + =+ − −

n) 2 2

2 2a x x a

a x a x a x+

+ =+ − −

o) 2

2 2x 2a x 2a 2b 4ab 8axx b x b x b− + − −

− =+ − −

p) 2 2x 2a 2a x 4abx 2b 2b x 4b x+ −

+ =− + −

; Für welche a, b erhält man L = { - 2 } ?

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K ) Quadratische Gleichungen Jede quadratische Gleichung kann auf folgende Form gebracht werden: 2ax bx c 0 mit a, b, c und a 0+ + = ∈ ≠

Dazu die Lösungsformel:

− ± −=

2

1/ 2b b 4acx

2a

Der Term 2b 4ac− unter der Wurzel heißt Diskriminante D und es gilt:

1 2

1 2

D 0 2 verschiedene reelle Lösungen x und xD 0 1 reelle (zweifache) Lösung x = x xD 0 keine reellen Lösungen

> ⇒

= ⇒ =

< ⇒

Die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung kann (können) auch noch ermittelt werden mit Hilfe der Faktorisierung oder der quadratischen Ergänzung.

1. Ermittle die Lösungsmenge durch Faktorisieren: Für alle Aufgaben gilt: G =

a) 2x 3x 0− =

b) 29x 18x 0− =

c) ( )( )3x 5 2 4x 0+ − =

d) 2x 3 x 0− + =

e) 212x 6 17 x= −

f) 22 2 x 3 x=

g) 2x 6x 5 0+ + =

h) 2x 7x 8 0− − =

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2. Ermittle die Lösungsmenge mit der Lösungsformel: Für alle Aufgaben gilt: G =

a) 2x 12x 11+ = −

b) 2x 18x 77 0− − − =

c) 2 212x 18x3

+ =

d) 2 1 73x 2 x 6 03 9

+ + =

e) 20,25x 0,75x 2 2− =

f) 4 2x 17x 16 0− + =

g) ( )2 22x x 12 8 0− + =

h) 22 6 x 2 3x− + = −

i ) ( ) ( )2 25x 3 x 1 1− + − = −

k) ( )2x 5x 1 5 0− + + =

3. Ermittle die Lösungsmenge mit Hilfe der quadratischen Ergänzung: Für alle Aufgaben gilt: G =

a) 2x 6x 2 0+ + =

b) 2x 7x 30− =

c) 21,25x 14x 41 0− + =

d) 21 5 1x x 03 12 8

− − =

e) 26x x 2 0− − =

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4. Ermittle nach Umformung die Lösungsmenge mit der Lösungsformel: Für alle Aufgaben gilt: G =

a) ( )( ) ( )22x 3 3x 2 2x 2x 5 39+ + + = + −

b) 2 2 212 25 125 x x 2 x 4

18 30 16⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) ( )3 4x 37x 64x 3 7x 6

++=

− −

d) 2 2 2x 2ax a b 0− + − =

e) ( )2 2 22x 3a 4x 9a− + =

f) x 3 3 7xx 3 x 5 x² 2x 15

++ =

− + + −

g) 12 x 492x 12 60+ =

5. Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen: a) f(x) 2x² 3x= + b) f(x) x² 2x 3= − − c) f(x) 6x² 24x 126= − + + 6. Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung 24x 6 2x x 3 0− + − − = . 7. Für welche Werte a∈ besitzt die Gleichung 2x 4x 2a 0+ − = 2 Lösungen, genau 1 Lösung oder keine Lösung ? G = 8. Bestimme b∈ in der Gleichung 2x bx 9 0+ + = so, dass die Lösung L zwei, ein oder kein Element enthält. G =

Wie ist der Wert für b, damit 2 L∈ entsteht ? 9. Für welche Werte k∈ besitzt die Gleichung 2(k x) 4x 2 0− + = 2 Lösungen ? G = 10. Untersuche, für welche Werte des Parameters c \ {0}∈ die Gleichung

cx² 8x c 0+ + =

a) genau eine b) zwei c) keine Lösung besitzt ! G =

11. Für welche a∈R hat die Gleichung 4x² ax 16x a 48 0+ + + + = genau eine Lösung ? Bestimme jeweils die Lösung.

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L ) Satz von Vieta

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet: + + = ≠2ax bx c 0 (a 0)

Sie lässt sich stets in die Normalform überführen (indem die Gleichung durch a dividiert wird):

+ + =2x px q 0 ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

b cp ; qa a

mit der Lösungsformel

⎛ ⎞= − ± −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1/ 2p px q2 2

Sind x 1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung + + =2x px q 0 , so gilt:

+ = −

⋅ =

1 2

1 2

x x p

x x q

sowie ( )( )+ + = − −21 2x px q x x x x Zerlegung in Linearfaktoren

1. Bestimme eine quadratische Gleichung in Normalform mit vorgegebener

Lösungsmenge:

a) { }= −L 6; 7

b) { }=L 14; 0

c) { }= +L 3 ; 5 3

2. Bestimme die Lösungsmenge mit Hilfe der Vietaschen Wurzelsätze

(durch Probieren) und forme die Gleichung in ein Produkt um (Linear- faktoren):

a) − + =2x 4x 3 0

b) − − =2x x 6 0

c) 2x 7x 10 0+ + =

d) 2x 6x 9 0− + = (nur 1 Lösung)

e) ( )2x 2,5 0− = (nur 1 Lösung)

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3. In nachfolgenden Aufgaben sind p und q die Koeffizienten quadratischer

Gleichungen in der Normalform und x1 sowie x2 deren Lösungselemente. Bestimme jeweils den fehlenden Koeffizienten und Lösungselemente: a) q = - 15 ; x2 = - 5 b) p = 8 ; x1 = - 7 c) q = 48 ; x1 = 12

d) { }22x 23x q 0 mit L 7; x+ + = =

e) { }2x px q 0 mit L 9+ + = = −

4. Eine quadratische Gleichung (Normalform) hat als eine Lösung x1 = 4 und q ist

fünfmal so groß wie p. Berechne x2 sowie die Koeffizienten p und q. Wie lautet die quadratische Gleichung in Normalform ?

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M ) Lineare Funktionen 1. a) Zeichne mit Hilfe des y-Abschnittes und eines Steigungsdreiecks die Geraden mit folgenden Gleichungen in ein Koordinatensystem ! (Kennzeichne die Geraden mit I, II, III) I) y = 4 - 1,4 x II) 2x – 3y – 6 = 0 III) y = 3

5x + 3

b) Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Gerade durch folgende Punkte: C(4 /2 ) und D(0 / -4 ) Berechne außerdem die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen !

2. a) Überprüfe durch Rechnung, ob der Punkt 27 43P4 16

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

auf dem

Graphen g1 liegt. b) Wie muss man xR wählen, damit R(xR|38) auf g2 liegt ?

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3.1 Die Gerade g hat die Steigung m = -1,5 und läuft durch den Punkt P(3 / -1 ) . Gib ihre Gleichung an !

3.2 Prüfe durch Rechnung, ob die Punkte A( -6 /12 ,5 ) und B(9 / -9 ) auf der Geraden mit der Gleichung y = -1,5x + 3.5 liegen.

3.3 Wie heißt die Gleichung der zu g: y = -1,5x + 3,5 parallelen Geraden g1 durch den Punkt P(5 /1 )?

3.4 Wie heißt die Gleichung der zu g: y = -1,5x + 3,5 senkrechten Geraden g2 durch den Punkt P(5 /1 )?

4.0 Lege ein kart. Koordinatensystem (1 LE ≙ 1cm) an und ergänze es fortlaufend. Platzbedarf: - 4 ≤ x ≤ 10; - 4 ≤ y ≤ 5 4.1 Zeichne g1: y =

32

− x + 4 und g2: y = x - 2

4.2 Zeichne P(9 / -2 ) ein, und überprüfe durch Rechnung, ob P ∈ g1

4.3 Zeichne g3, wenn gilt: g3 g2 und Q(0 /1 ) ∈ g3 und gib für g3 die Gleichung an.

4.4 Die Punkte A(0 /2 ) und B(7 /0 ) bestimmen die Gerade g4. Zeichne sie und gib ihre Gleichung an !

5.1 Die Gerade g1 hat die Steigung m1 = - 0,5 und verläuft durch den Punkt P1 ( -1 / -1 ,5 ) . Bestimme die Gleichung der Geraden g1 .

5.2 Die Gerade g2 steht auf der Geraden g1 senkrecht und verläuft durch den Punkt P2 (3 / -1 ) . Bestimme die Gleichung von g2 .

5.3 Die Gerade g3 ist parallel zu g1 und verläuft durch den Punkt P3 (1 /2 ,5 ) . Bestimme die Gleichung von g3 .

5.4 Die Geraden g1 und g2 schneiden sich im Punkt S. Berechne die Koordinaten von S.

5.5 Zeichne die drei Geraden in ein Koordinatensystem ein. Für die Zeichnung: - 5 ≤ x ≤ 7; - 5 ≤ y ≤ 5; 1 LE = 1cm

5.6 Gib die Gleichung der Parallelenschar an, zu der die Gerade g2 gehört.

5.7 Wie lautet die Gleichung des Geradenbüschels mit dem Büschelpunkt P2 ?

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6.1 Berechne die Gleichung der Geraden g die durch die Punkte A(2 /1 ) und B(3 / -4 ) verläuft.

6.2 Berechne die Nullstelle der Geraden g: y = -1,5x + 4,5

6.3 Welchen Büschelpunkt B hat das Geradenbüschel mit der Gleichung g(m): y = mx – 5m – 3

6.4 Ein Geradenbüschel hat den Büschelpunkt (2 /5 ) . Wie heißt die Gleichung des Geradenbüschels ?

7. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y = 2,5x - 1,5 und 0D += . Bestimme ihre Wertemenge sowie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion. Berechne die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion und zeichne die Graphen beider Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem.

8. Gegeben sind : g: 2x 2x ;3

− h: x + 2 - 2y = 0

a) Bestimme Schnittpunkt und Schnittwinkel der Graphen von g und h !

b) Im Punkt A (0,75 /? ) ∈ h wird das Lot zu h errichtet. Welche Gleichung hat es ?

9. Der Neigungswinkel einer Geraden g beträgt 45°. Auf ihr liegt der Punkt P( -4 /0,5). a) Stelle die Funktionsgleichung auf ! b) Stelle die Gleichung der Parallelen durch den Ursprung zur Geraden g auf.

10. Gegeben sind die Punkte P ( - 2 / 10) und Q ( - 5 / 11). Ermittle die Funktionsgleichung einer linearen Funktion, deren Graph diese beiden Punkte enthält, den Neigungswinkel der Geraden gegen die x - Achse sowie die Schnittpunkte dieser Geraden mit den Koordinatenachsen.

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( ) ( ) ( )3 2 2 2 3 2

3 2

x 6x 9x 4 : x 1 x Rechenschritt x x 1 x xx x

+ + + + = ⋅ + = +

+

( ) ( ) ( )( )

( )

3 2 2 2 2

3 2

2

2

x 6x 9x 4 : x 1 x 5x Rechenschritt 5x 9x 5x 5x

x x Erg. : 4x5x 9x5x 5x

4x

+ + + + = + + − +

− +

+− +

N ) Polynomdivision 1. Ausführliches Rechenmuster für eine Polynomdivision::

An diesem einfachen Beispiel ist die prinzipielle Vorgehensweise bei der Polynomdivision erkennbar.

1. ( ) ( )3 2 2 3 2x 6x 9x 4 : x 1 x Rechenschritt x : x x+ + + + = =

2. 3. 4. 5. 6. 7.

( ) ( ) ( )( )

3 2 2 3 2 3 2

3 2 2

2

x 6x 9x 4 : x 1 x Rechenschritt x 6x x x

x x Erg. : 5x5x

+ + + + = + − + =

− +

( ) ( )( )

3 2 2 2

3 2

2

x 6x 9x 4 : x 1 x Rechenschritt 9x zu 5x hinzufügen

x x5x 9x

+ + + + =

− +

+

( ) ( )( )

3 2 2 2

3 2

2

x 6x 9x 4 : x 1 x 5x Rechenschritt 5x : x 5x

x x5x 9x

+ + + + = + =

− +

+

( ) ( ) ( )( )

3 2 2 2

3 2

2

2

x 6x 9x 4 : x 1 x 5x Rechenschritt 5x x 1 5x 5x

x x5x 9x5x 5x

+ + + + = + ⋅ + = +

− +

++

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( ) ( )( )

( )

3 2 2

3 2

2

2

x 6x 9x 4 : x 1 x 5x Rechenschritt 4 zu 4x hinzufügen

x x5x 9x5x 5x

4x 4

+ + + + = +

− +

+− +

+

( ) ( )( )

( )

3 2 2

3 2

2

2

x 6x 9x 4 : x 1 x 5x 4 Rechenschritt 4x : x 4

x x5x 9x5x 5x

4x 4

+ + + + = + + =

− +

+− +

+

( ) ( ) ( )( )

( )

3 2 2

3 2

2

2

x 6x 9x 4 : x 1 x 5x 4 Rechenschritt 4 x 1 4x 4

x x5x 9x5x 5x

4x 44x 4

+ + + + = + + ⋅ + = +

− +

+− +

++

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

3 2 2

3 2

2

2

x 6x 9x 4 : x 1 x 5x 4 Rechenschritt 4x 4 4x 4

x x Erg. : 05x 9x5x 5x

4x 44x 4

0

+ + + + = + + + − +

− +

+− +

+− +

8. 9. 10. 11.

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2. Polynomdivision - Aufgaben ohne Rest: a) ( ) ( )3000 500 60 2 : 20 6+ + + + =

b) ( ) ( )4 3 2x 2x 23x 12x 36 : x 1− − − + − =

c) ( ) ( )4 3 22x 6x 30x 38x 60 : x 1+ − − + − =

d) ( ) ( )4 3 2 36x 3x 2x x 1 : 3x x 1+ − + + − + =

e) ( )2 26 83x x : 3x 45 5

⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

f) ( )3 213 23 1x x x : x 44 8 2

⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

g) ( ) ( )3x x : x 1− − =

h) ( ) ( )5 5x y : x y− − =

i ) ( ) ( )8 4 281x 4 : 9x 6x 2+ + + =

k) ( ) ( )5 4 3 2 2x ax x x 1 a 2x 1 : x 1⎡ ⎤+ + − + − + − =⎣ ⎦

l ) ( ) ( )2 2 28x 10xy 2xz 3y 10yz 3z : 2x 3y z+ + − + − + − =

m) 6ad 4dx 12c 8bc 3a 2x:b y x ay b y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Polynomdivision - Aufgaben mit Rest: a) ( ) ( )3 24x 3x 4x 4 : x 3− + − + =

b) ( ) ( )5 2x 1 : x x 1− + + =

c) ( )3x : 3x 1− = d) ( ) ( )3 2 2 3 22a 3a x 2ax x : a x+ − − − =

e) ( ) ( )5 3 2 4 3 28x 12x 11x 4x 2 : 4x 4x 3x 1− − + + − − + =

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TS_A001_14 1 (2) © www.mathe-physik-aufgaben.de

O ) Nullstellen rationaler Polynome höheren Grades als x2 durch Probieren ermitteln. a) Ganzzahlige Polynome mit Koeffizient 1 vor der höchsten Potenz

In Übungsaufgaben oder Schulaufgaben besitzen Funktionen höheren Grades oft ganzzahlige Lösungen (Nullstellen). Natürlich funnktioniert diese Methode nicht bei jedem Polynom sondern nur bei denen die auch ganzzahlige Lösungen besitzen.

z.B. 3 2x 2x 5x 4 0− + − = hat die Nullstelle x0 = 1. Diese Lösung kann durch Raten und Probieren gefunden werden, indem man nacheinander ± 1, ± 2, ± 3 usw. in die Gleichung einsetzt. Hat die Funktion einen konstanten Teil (einen reinen Zahlenwert ohne x), so ist die Nullstelle - sofern sie ganzzahlig ist - Teiler dieser Zahl.

z.B. 3 2x x 4x 4 0− − + = Teiler und somit potenzielle Nullstellen sind ± 1, ± 2, ± 4

Diese Eigenschaft gilt jedoch nur, wenn der x-Term mit der höchsten Potenz den Koeffizienten 1 hat (also 3x und nicht z.B. 34x )

Koeffizient = 1

Mit Hilfe der Polynomdivision (eigenes Kapitel) kann bei bekannter Nullstelle das Polynom um einen Grad reduziert werden, d.h. der größte Exponent wird z.B. von x3 auf x2 reduziert.

Beispiel zur Nullstellenbestimmung:

4 3 2x 2x 19x 8x 60 0+ − − + = Teiler von 60: jeweils ± 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60 Einsetzen Ergebnis +1 36 -1 48 +2 0 1. Nullstelle für x = 2 -2 0 2. Nullstelle für x = -2 +3 0 3. Nullstelle für x = 3 -3 -60 usw.

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TS_A001_14 2 (2) © www.mathe-physik-aufgaben.de

b) Polynome mit gebrochenen Koeffizienten und / oder der Koeffizient vor der höchsten Potenz ist nicht 1: Ist ein Polynom mit gebrochenen Koeffizienten vorgegeben, dann ist mit dem Hauptnenner zu multiplizieren.

Gegeben ist z.B. das Polynom 4 3 21 5 3 1 1x x x x 04 8 8 8 8

− + + − = .

Hier multipliziert man mit dem Hauptnenner 8 und erhält die Gleichung

4 3 22x 5x 3x x 1 0− + + − = .

Der Koeffizient vor der höchsten Potenz ist 2, das absolute Glied ist -1.

Als mögliche Nullstellen kommen nun die rationalen Zahlen ab

in Frage,

deren Zähler a ein Teiler des Absolutgliedes ist und deren Nenner b ein Teiler des Koeffizienten mit der höchsten Potenz ist.

Im obigen Beispiel ist der Koeffizient der höchsten Potenz 2. Teiler von 2 sind die 1 und die 2.

Das Absolutglied ist -1. Teiler von -1 sind 1 und -1.

Somit sind folgende Zahlen auszuprobieren: 1, -1, ½, -½.

Die rationalen Nullstellen von 4 3 22x 5x 3x x 1 0− + + − = sind 1 und -½.

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P ) Quadratische Funktionen 1.1 Gegeben sind die Koordinaten des Scheitelpunktes S(2 /4 ) und eines weiteren Punktes P(3 /3 ) einer Parabel. Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung der Parabel. (Ergebnis: y = - (x - 2)2 + 4)

1.2 Bestimme die Nullstellen der Parabel. (Ergebnis: S1 ( 0 / 0 ); S2 ( 4 / 0 ) ) 2.0 S (2 /1 ) ist der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Normalparabel p.

2.1 Zeichne die Parabel p und stelle ihre Gleichung auf. (Ergebnis: y = x2 - 4x + 5)

2.2 Bestätige algebraisch: p ∩ x - Achse = ∅

2.3 Zeige durch Rechnung: R(0 /5 ) sowie Q(3 /2 ) sind Punkte der Parabel p. 3.0 Die Punkte P(0 / -7 ) und Q(5 / -2 ) liegen auf einer nach unten geöffneten Normalparabel p. G x=

3.1 Berechne die Gleichung der Parabel p. (Ergebnis: y = - x2 + 6x - 7 )

3.2 Bestimme die Koordinaten des Parabel-Scheitels. Gib die Definitions- und Wertemenge der zugehörigen quadratischen Funktion an.

3.3 Berechne die Nullstellen der Funktion. 4. Zeichne die Graphen folgender Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Die Bereiche der Koordinatenachsen sind selbst zu bestimmen; notwendige Daten sind ggf. vorher auf dem Arbeitsblatt durch Rechnung zu ermitteln. Die Graphen sind eindeutig jeweils mit ihrer Funktionsgleichung zu beschriften. a) y = (x - 4)2 ; b) y = 2,5 + x2 ; c) y = x2 + 3x - 4 ; d) y = - x2 + 1 5. Bestimme den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel ! a) y x² 14x 53= − + b) y 3x² 12x 15= − − −

6. Bestimme die Lösungsmenge ! a) x² 3x 10 0+ − = b) 2x² 3x 2 0− − = c) x(3x 2)² 4x 0− − =

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7. Ergänze die Tabelle !

Umkehrfunktion f(x) fD fW f(x)’ f 'D f 'W

a) f(x) x² 1= + x 2≥

b) f(x) (x 3)²= − x < 3

c) f(x) x 2 1= + + x 2≥ −

d) f(x) 1 x= − − y 2< − 8. Gegeben ist die Funktion g durch die Gleichung 2g(x) 0,5x 2x 1 für x 2= − + ≥ .

Bestimme zeichnerisch den Graphen der Umkehrfunktion g’ von g ! Maßstab: x-Achse: 1 LE 1 cm; y-Achse: 1 LE 1 cm 9.1 Gegeben ist die Parabel p: y = 0,5x2 - 4x + 13 G x=

9.2 Bestimme durch Rechnung die Koordinaten des Scheitels S. (Ergebnis: S ( 4 / 5 ) )

9.3 Tabellarisiere die Funktion p für x ∈ [ 0 ; 8 ] mit ∆x = 1. Zeichne die Parabel p in ein Koordinatensystem ein. Platzbedarf: - 4 ≤ x ≤ 10; - 2 ≤ y ≤ 13

9.4 Die Gerade g: y = 0,5x + 6 schneidet die Parabel p in den Punkten C und D. Zeichne die Gerade g in das Koordinatensystem ein und berechne die Koordinaten der Punkte C und D. (Teilergebnis: C (2 /7 ) )

10. Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) mit Df (x) = [ -4 ; 2 [ a) Bestimme die Funktionsgleichung, wenn die Funktion durch die Punkte

A( -2,5 /0 ) , B( -0,5 /8 ) und C(1,5 /0 ) verläuft ! b) Bestimme für den Bereich, in dem f(x) monoton fällt die Umkehrfunktion f -1(x)

und gib deren Definitionsmenge an !

11.0 Gegeben ist die Funktion f1 mit y x bx c= + +13

2 (b, c ∈ ). Der Graph zu f1

ist die Parabel p1, die durch die Punkte A( -2 / -4 ) und B(4 /0 ) verläuft.

11.1 Ermitteln Sie die Gleichung zu f1. Tabellarisieren Sie f1 für x ∈ [ -5 ; 5 ] in Schritten von ∆x = 1. Zeichnen Sie die Parabel p1 in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: - 6 ≤ x ≤ 6; - 6 ≤ y ≤ 5; 1 LE = 1cm

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11.2 Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Zeichnen Sie die Gerade g in das Koordinatensystem zu 11.1 und bestimmen Sie die Geradengleichung zu g. Berechnen Sie das Maß δ des spitzen Winkels, den die Gerade g mit der y - Achse einschließt.

11.3 Der Graph zu f2 mit y = - x2 + 4x ist die Parabel p2. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S2 und zeichnen Sie p2 in das Koordinaten- system zu 11.1 ein.

12. Gegeben sei die Funktion f durch die Gleichung f(x) x 18 für x += + ∈ . Gib die Wertemenge von f an. Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion 1f − von f und gib die Definitions- und Wertemenge von 1f − an. 13. Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:

4x 13 2 x− + = − 14. Die folgenden Aufgaben beziehen sich teilweise aufeinander.

Zeichne für alle folgenden Aufgaben ein gemeinsames Koordinatensystem (x - Werte zwischen - 3 und 6; y - Werte zwischen - 3 und 4). Wir betrachten zunächst die Funktion f mit der Gleichung y x 2 1= + + .

a) Zeichne den Graphen von f in das Koordinatensystem, gib fD und fW an, berechne die Gleichung der Funktion 1g , von der f die Umkehrfunktion ist und gib für 1g die Definitions- und die Wertemenge an ! (Ergebnis: 1g : y (x 1)² 2= − − )

b) Wir erweitern den Definitionsbereich von 1g auf ganz .

Zeichne den Graphen von 1g für den neuen Definitionsbereich gestrichelt in das Koordinatensystem ein.

c) Berechne für die Funktion 2g : y 0,5x² x 1,5= − − den Scheitel und zeichne den Graphen von 2g in das Koordinatensystem ein.

d) Gib die x - Koordinaten der Schnittpunkte von 2g mit der x - Achse exakt an !

e) Gib die Gleichung einer neuen Funktion 1h an, deren Graph zu dem von 2g kongruent ist und die gleiche Wertemenge wie 2g hat !

f ) Gib dann die Gleichung einer Funktion 2h an, die von 2g verschieden ist, deren Graph aber den gleichen Scheitel und die gleiche Wertemenge hat wie 2g !

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Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen

(A) Terme vereinfachen, umformen; Bruchgleichungen

TS_A002_01 **** Lösungen 9 Seiten (TS_L002_01) 1 (2) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Grundlagenwissen: Bruchrechnung, binomische Formeln, Potenzen, Wurzeln, Lösen quadratischer Gleichungen. 1. Vereinfachen Sie so weit wie möglich.

a) 29a 9a

15 15a b) 21a 28 27a 36:8c 8b 12c 12b

c) 3a 21 8a 40b 5 b 7 d) 2 4 2s

s 1 s 2 s 1 s 2

e) 3 63a b

243a f)

2 2a 4x a 2x:2a x a

g) 2 6

31

a ba

h) 2 2

2 29x 12x y 4y

9x 4y

i) 3

26

1x yy

k) 2y 3y 8y

x 3 x 5 x 2x 15

l) 3 2 4

12 3

a b

a b m)

2a 3 a 3

n) 2

34

1x yx y

o) x y 1 1x y x y

p) 21x

x q)

455 45a a a

r) a b 1 1a b a b s) x 1 x 1 x 1 x 1

2 2 2 2

t) y xx y z 1

y z xx y u) 2

12b 2b 16ba 5 a 3 a 2a 15

v) 2a 3a 8a

x 3 x 5 x 2x 15 w)

5 y a 4 a y3b x

6a x y a

x) 2 27r 3s 2s 3r 2ssr s r s r s

y) 3 4 32 3x x x x

z) 4 32 5 3 2

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(A) Terme vereinfachen, umformen; Bruchgleichungen


2. Berechnen Sie x aus folgender Gleichung für G .

Bestimmen Sie auch die Definitionsmenge.

a) 82x xx 4 4 x b) 2x 3 2x 74 x x 8 4x 5

c) 2 4x 2 x 8 d) 28 51 2x 4 x 2 x

9 3

e) 5x 7 x 3 1 04x 4 3x 3

f) 2

2

3x 2 5x 2 5x 18 8xx 2 x 2 4 x

g) 21 1 12

x 4 x 4 x 16 h)

2

2

8x 3x 3 7x 2 3x 14x 9 6x 9 4x 6

3. Stellen Sie die Formeln nach der / den Variablen um. Fassen Sie die umgestellte Formel soweit wie möglich zusammen.

Formel Variable Umgestellte Formel

0TV V 1

273 0V ; T

1 1 aa b 1a x b

x

1 1 2 2e

1 2

m v m vvm m

2 2v ; m

2 1

1 2

m mtan

1 m m 1 2m ; m

1 2

1 1 1R R R

1R

xq xM a x2

a; x

21

F r zFR Z

r ; R

a bza b c

a

1 1 2 2 1

1 2

m v m 2v vu

m m 1v

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(B) Quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme


Grundlagenwissen: Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Definitionsmenge bestimmen. 1. Lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösungsmenge an (Grundmenge ist IR).

a) 25x 6x 8 0 b) 21 2 1y y6 3 2

c) 2 22 7x x 015 15

d) 28 51 2x 4 x 2 x

9 3

e) 2x x 9 0 f) 2 23x 7 3x 7 2x 3 x 6 6

g) 12,5 2,5x x 15 h) 25 6 5x x25 5

i) 21 4 10x x 04 3 9

k) 3 2 21 x 1 x x 1 x

l) 28 x 3 3 x 2 2 0 m) 2x 2 6 3 x 6 2 0

n) 7 52x x x x16 4

o) 2 2

x 2 x 2 2 2 x 2 x

2. Bestimmen Sie bei den folgenden Gleichungen zunächst jeweils die Definitionsmenge (Grundmenge ist IR). Lösen Sie anschließend die Gleichungen und geben Sie die Lösungsmenge an.

a) 2x 1 2

x x b) 2x 8 7x 4

2x 4 4x 2

c) 2x 1 xx x 1 x 1

d) 5x 3x 55 3x x

e) 2 21 1 0x x 5

f) 21 10

x 7 x 15

g) 25x 3x 288 10x

x 5 x 5 x 25 h)

2

24 5 56 3x x

x 5 x 6 x 11x 30

i) 1 x7x 7 4x 9 3x 5

k) 6x 8 3x 42x x3x 2

l) x 10 x

5,2510 2x

m) 1 251x 12 4x 1

n) 7 1 32x 6 2 2x 7

o) 10 x x 12x 10 x 6

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(B) Quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme


3. Lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösungsmenge an.

a) b) 4. Textaufgaben, die auf quadratische Gleichungen führen.

a) Von zwei Zahlen ist die eine um 6 größer als die andere. Die Summe der Quadrate beider Zahlen ergibt 146. Berechne die beiden Zahlen.

b) Ein rechteckiges Grundstück ist um 12 m länger als es breit ist. Verdoppelt man seine Breite und verkürzt zugleich die Länge um 4 m, so ist das neu entstandene rechteckige Grundstück um 296 m größer als die ursprüngliche Fläche. Berechne die ursprüngliche Grundstücksfläche.

c) Addiert man zu einem Bruch, dessen Zähler um 5 kleiner ist als der Nenner, seinen Kehrwert, so hat die Summe den Wert 2,5. Wie lautet der ursprüngliche Bruch?

d) von Leonhard Euler (1707 – 1783): Ich habe zwei Zahlen, die eine ist um 6 größer als die andere, und ihr Produkt beträgt 91. Wie lauten diese Zahlen? Suche zwei Zahlen, von denen eine doppelt so groß ist als die andere, die so beschaffen sind, dass, wenn ich ihre Summe zu ihrem Produkt addiere, 90 herauskommt.

e) Vergrößert man die kürzere Seite eines Rechtecks um 9 cm und verringert gleichzeitig die längere Seite um 8 cm, so verhalten sich die neuen Seiten des Rechtecks wie 7:4. Der Flächeninhalt des neuen Rechtecks ist um 28 cm kleiner als der des ursprünglichen. Berechnen Sie die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks.

2 2I. x y 10II. 3x 3y 6

2 2

22

I. y x 7

II. x y 3 10

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(C) Lineare Gleichungssysteme mit 2 und 3 Variablen


Grundlagenwissen: Additions-, Einsetzungs-, Gleichsetzungs-. Determinantenverfahren. Bei allen Aufgaben ist eine Probe empfehlenswert. Führen Sie also die Probe durch! 1. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mit der Additionsmethode.

a) I. y x 1,44

II. 3y 0,6x 0 b)

I. 3x 8y 4II. 16y 4 2x

c) I. 3x 4y 9

II. 6x 4y 5 d)

I. 2y x 18,083II. 2,5y x 24,582

e) I. 3x 1 y 3 x

II. 2 2x y 7 f)

I. 8x 2y 188 0II. 14y 2x 76 0

g) I. 2 6x 3y 2

II. 6x 3 3y 4 2 h)

I. 4x 1,5 y x x 9,5

II. 3,5x 6,5 0,5y 4 0,25y 0,125x

2. a) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem zeichnerisch und rechnerisch mit dem Einsetzungsverfahren.

I. 5x 3y 6

II. 7x 5y 10

b) Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

I. 2x 3y 3

II. 4x 5y 7 0

Bestimmen Sie die Lösung grafisch und berechnen Sie die Lösung. c) Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

I. 4x 2y 2

II. 9x 12y 18 0

Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Hilfe des Additionsverfahrens. Lösen Sie das Gleichungssystem graphisch.

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(C) Lineare Gleichungssysteme mit 2 und 3 Variablen


3. Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Gleichungssystems.

a) I. 4x 2y 3z 8

II. 3x 5z 4III. x 4y 2z 14

b) I. 3x 4y 5z 18

II. 5x 2y 4z 3III. 2x 3y 2z 8

c) I. 3z 1,25y 0,5x 1,5

II. 4y 4z 7 xIII. 2x 1,5y 2,5 5z

d) I. 3x 2y z 17

II. 2x 3y 2z 2III. 3x 2y z 11

4. Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe der Determinantenmethode.

a) I. 6,54x 12,65y 36 0

II. 2,95y 5,04x 18,4 b)

I. 2,23x 0,155y 7II. 1,54x 0,19y 5

c) I. 8,1x 15y 3,81

II. y 2,4x 0,04 d)

I. 2,13x 4,25y 5,76II. 0,12x 3,35y 1,15

e) 1 1 1I. x y 04 3 21 1 1II. x y 012 9 2

f) 1 4I. 3 x y 583 53 1II. 4 x 5 y 145 2

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(D) Gleichungen von Geraden und Parabeln bestimmen Graphen zeichnen, Schnittpunkte von Graphen, Scheitelpunkt von Parabeln


Grundlagenwissen: Lineare und quadratische Funktionen. 1.0 Von zwei Geraden g und h sind folgende Punkte gegeben:

x 3 0 x 8 4 g(x) 2,5 5 h(x) 0 6

1.1 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der beiden Geraden in der Form y mx t . (Hinweis: y mx t ist dasselbe wie y mx b oder f(x) mx t )

1.2 Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden g und h.

2.0 Gegeben ist die Parabel 2p(x) x 4x 3 und die Gerade g(x) x 1.

2.1 Formen Sie die Gleichung der Parabel in die Scheitelform um und bestimmen Sie den Scheitelpunkt. 2.2 Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel. 3. Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen. 2y x 4x 6 und 2y 2x 22x 27 4.0 Gegeben ist die Gerade g (vgl. Koordinatensystem rechts) 4.1 Ermitteln Sie aus der Zeichnung die Funktionsgleichung für g(x) in der Form g(x) m x t .

4.2 Zeichnen Sie die Gerade h(x) 0,5x 1 in das Koordinatensystem. 4.3 Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden.

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5.0 Gegeben sind die Funktionen

2

2

p(x) x 2x 2q(x) 5x 4x 34

5.1 Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln p(x) und q(x) .

5.2 Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion 2f (x) x 12x 1 6.0 Die Schnittpunkte der beiden Funktionen

2

2

5f(x) x 4x 211g(x) x 6x 2

sind P und Q. 6.1 Bestimmen Sie die Koordinaten von P und Q. 6.2 Eine Gerade h verläuft durch P und Q. Bestimmen Sie die Gleichung von h in der Form h(x) mx b .

7.0 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A 3 2 und B 5 4 , die Gerade h

verläuft durch die Punkte C 3 6 und D 4 5 .

7.1 Bestimmen Sie die beiden Geradengleichungen g(x) und h(x) in der Form f(x) m x b .

7.2 Berechnen Sie den Schnittpunkt P der beiden Geraden. 8.0 Die Abbildung skizziert die Müngstener Brücke über die Wupper. Der untere

Brückenbogen hat die Form einer Parabel mit der Spannweite w = 180 m und der Höhe h = 72 m.

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8.1 Beschreibe die Parabel durch eine Gleichung der Form 2y ax h mit a 0 .

8.2 Wegen Reparaturarbeiten muss die Brücke an zwei Stellen durch Stützen abgesichert werden (vgl. Skizze). Welche Höhe x müssen die Stützen haben? 9.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Parabel 2p(x) x 1,5x 10

9.2 Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Scheitelpunkt S 0,75 10,5625 zur Parabel p(x) gehört. 10. Ein Brückenelement aus Beton hat

einen parabelförmigen Durchgang (vgl. Skizze rechts).

Berechnen Sie die Masse des Brückenelements, wenn die Brücke 9 m breit ist.

3 3Beton 2,3 10 kg / m

11. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion 2f(x) ax bx 1 hat die Koordinaten S 4 9 . Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b der Funktion. 12. Der Graph einer Parabel verläuft durch die Punkte A 1 0 , B 0 6 , C 1 16 . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel. 13. Eine nach unten geöffnete Normalparabel 1p hat den Scheitel 1S 0 4 .

Eine nach oben geöffnete Normalparabel 2p verläuft durch die Punkte A 1 5

und B 4 2 .

13.1 Berechnen Sie die Schnittpunkte P und Q der beiden Parabeln.

13.2 Durch P und Q verläuft eine Gerade 1g . Bestimmen Sie die Gleichung von 1g .

13.3 Parallel zu 1g verläuft eine Gerade 2g . Der Punkt R 1 4 liegt auf 2g .

Geben Sie die Gleichung von 2g an.

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14.0 Eine nach oben geöffnete Normalparabel verläuft durch die Punkte P 4 5 und

Q 1 10 .

14.1 Bestimmen Sie die Gerade g, die durch den Punkt R 0 4 verläuft und die eine Tangente an die Parabel ist (2 Lösungen!).

14.2 Geben Sie die Koordinaten des Berührpunktes an (2 Lösungen!).

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(E) Potenzgleichungen, Wurzelgleichungen


Grundlagenwissen: Rechenregeln zur Potenz- und Wurzelrechnung. 1. Berechnen sie x aus folgender Potenzgleichung. Bestimmen Sie die Definitionsmenge; machen Sie die Probe.

a)

23 34

16x 181

49

b)

32 5328 x 8

c) 1 1

3 33 x 4 4 x 33 d)

32 4315x 121 64

e)

1 11 14 22 4x 9 x 1

f)

1 11 14 42 2x 2 1 x

g)

31 42x 79 27 0

h)

11 3

2 31

19 2 7x 13

i) 1

2 2x 25 x 2

k)

3 61 1

3 6x 8 x 4

l) 1

1 22x x 4 2 0

m) 1

1 122 2x 20x 1 2x 5

n) 1 1

4 8x 2 4x 8 o) 11 122 2x 11 2x 85 x 11

2. Berechnen sie x aus folgender Wurzelgleichung. Bestimmen Sie die Definitionsmenge; machen Sie die Probe.

a) 4x 5 7 0 b) 2x 8 5 x 1

c) 5 4x 2 1,25 x 2x 2 d) x 5 21 x 6 0

e) 4x 10 2x 2 2 0 f) 7x 3 2x 1 2 3x 4

g) 3 6x x x 6 h) 5 3x 1 3 5x 25 0

i) 5 x 1 7 x 5 k) 5x 9 5x 11 2

l) x 21 x 5 2 x 12 m) 229 x 9 5

n) 2181 x 25 13 o) 212 19 6 x 40 16

p) 3 25x 9 2 x 2x 4 2

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(F) Exponentielles Wachstum, Exponentieller Zerfall


Grundlagenwissen: Rechenregeln zur Exponential- und Logarithmusrechnung. Funktionsgleichungen für exponentielles Wachstum und Zerfall.

1. a) Berechnen Sie y(t) nach 8 s für t

2sy(t) 125 1 e

.

b) Berechnen Sie die Zeit t nach einer Veränderung y(t) von 0 auf 80. 2. Ein Kapital von 8000 € wird jährlich mit 2% verzinst. Die Zinsen werden immer dem Kapital zugeschlagen (Zinseszinsen). Nach wie viel Jahren hat sich das Kapital verdoppelt, wenn man unterstellt, dass sich der Zinssatz über die Laufzeit nicht ändert.

Berechnungsformel:

n

n 0

pK K 1

100

mit

3.0 Gegeben sind:

k t0

0

1

y(t) y 1 e

y 400

k 10 s

3.1 Berechnen Sie y(t) für t 0,1s .

3.2 Berechnen Sie die Zeit t nach der y(t) 85% von 0y erreicht hat.

4.0 Ein Abklingvorgang wird mit folgender Funktion beschrieben: 0,5 t

0y(t) y e

(vgl. Diagramm rechts). 4.1 Bestimmen Sie die Zeit, bis der Messwert Y auf die Hälfte seines Ausgangswertes gefallen ist.

n

0

K Kapital nach n Jahren (in €)

K Anfangskapital (in €)

p Zinssatz in %

n Anzahl der Jahre

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5.0 Der Ladevorgang eines bestimmten

Kondensators verläuft nach folgender Gesetzmäßigkeit:

t

0y(t) y 1 e

entspricht der Zeit, die benötigt wird um 63% von 0y zu erreichen.

5.1 Ermitteln Sie anhand der Grafik 0y

und . Stellen Sie mit diesen Werten die Funktion y(t) auf.

5.2 Berechnen Sie den Wert für y(t), wenn 8 s verstrichen sind.

5.3 Berechnen Sie die Zeit t, wenn y(t) 180 .

6. Plutonium (Halbwertszeit T 138 Tage ) zerfällt nach folgender Funktion:

t

T0N(t) N 0,5

Nach wie viel Tagen sind noch 20 mg übrig, wenn die Anfangsmasse 5g war?

7.0 Eine Bakterienkultur ist nach 2 h auf 2700 Bakterien angewachsen. Der Wachstumsvorgang kann nach folgender Gleichung angenommen werden: k t

0n n e mit 1k 0,4 h

7.1 Berechnen Sie 0n .

7.2 Berechnen Sie die Zeit, in der die Bakterienzahl von 4000 auf 8000 angewachsen ist.

7.3 Berechnen Sie die Anzahl der Bakterien, die nach einem Tag (24 h) und 0n 1000

entstanden sind.

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8.0 Der Luftdruck auf der Erde nimmt mit

steigender Höhe nach der Formel

h

5,5 km0p p 0,5 ab.

0p Luftdruck in Meereshöhe 1013 hPa .

8.1 Berechnen Sie den Luftdruck in 8 km Höhe.

8.2 In welcher Höhe beträgt der Luftdruck 500 hPa ? 9. Beim Einschenken eines Glases Pils entsteht eine 50 mm hohe Bierschaumkrone. Nach 60 s ist die Höhe des Schaums auf 40 mm gesunken. In welcher Zeit ist die Schaumkrone von 40 mm auf 10 mm gesunken?

Man kann davon ausgehen, dass von einer vorhandenen Menge Bierschaum in der gleichen Zeit immer die Hälfte des Schaums zerfällt? 10. Der Körper einer bestimmten Person baut Nikotin mit einer Halbwertszeit von 90 min ab.

a) Wie viel Prozent des vorhandenen Nikotins werden pro Minute abgebaut?

b) Wie lange dauert es, bis noch 5% der ursprünglichen Menge vorhanden ist. 11. Das Inselreich Atlantis hatte im Jahre 10.000 v. Chr. (angenommen) 3 Mio. Bewohner.

Seine Bevölkerung wuchs pro Jahr um 2,5%.

a) Wie viele Menschen lebten in Atlantis im Jahre 9988 v. Chr., wenn für den betrachteten Zeitraum exponentielles Wachstum angenommen werden darf?

b) Nach wie vielen Jahren hatte Atlantis 3,6 Mio. Einwohner?

c) Welchen Prozentsatz hätte die Wachstumsrate gehabt, wenn innerhalb von 12 Jahren die Bevölkerung um 500 000 Personen angewachsen wäre?

12. Die Halbwertszeit für das Radiumisotop Ra-226 beträgt etwa 1602 Jahre.

a) Wie viel ist von einem Gramm des Radiumisotops, das Marie Curie 1898 zum experimentieren nutzte, im Jahre 2012 noch übrig?

b) Wann wird nur noch 0,1 g vorhanden sein? 13. Von einem See sind 0,5% der Wasserfläche mit Algen bedeckt. Diese Algenfläche verdoppelt sich alle 4 Tage. Wie lange würde es dauern, bis der ganze See mit Algen bedeckt ist?

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(G) Volumen und Oberfläche von Körpern


Grundlagenwissen: Prisma, Zylinder, Kegel, Kugel.

Auf Seite 5 – 7 finden Sie eine Formelsammlung 1. Für eine Maschine werden Kugeln beidseitig 5mm

abgefräst und mit zwei Bohrungen versehen (vgl. Skizze). Die Maße sind in mm angegeben.

Berechnen Sie das Volumen des Körpers nach der Bearbeitung. 2. Eine Kugel erhält eine kegelförmige Vertiefung gemäß nebenstehender Skizze. Maße in mm. Der Kegelwinkel beträgt 90°, die Kegelspitze liegt im Kugelmittelpunkt.

2.1 Berechnen Sie das Volumen des Körpers.

2.2 Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers. 3.0 An eine Kugel wird beidseitig eine (gleich große)

Fläche angefräst. Zusätzlich erhält die Kugel eine zylindrische Bohrung.

Die Maße (in mm) können nebenstehender Zeichnung entnommen werden.


3.2 Berechnen Sie den Inhalt der farbigen (bzw. grauen) Querschnittsfläche.

4. Berechnen Sie das Volumen der zylindrisch durchbohrten Kugel. Nebenstehende Zeichnung zeigt einen Schnitt durch die Kugelmitte. (Beachten Sie bitte, dass keine Maße fehlen.)

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5.0 Ein 140 mm langer Zylinder wird

über die gesamte Länge auf 80 mm abgefräst. Anschließend wird eine 25 mm breite Nut bis zur Zylindermitte gefräst.

5.1 Berechnen Sie die Größe der (farbig markierten) Stirnfläche.

5.2 Berechnen Sie das Volumen des bearbeiteten Körpers.

6.0 Von einem geraden Kegel ist die Spitze abgetrennt worden (vgl. Skizze). Dadurch entstand ein Kegelstumpf mit den Maßen: D 6 cm, h 4 cm, 60

6.1 Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Durchmessers d der oberen Deckfläche an und berechnen Sie diesen Durchmesser.


6.3 Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers. 7.0 Zwei Kugeln sind mit einem Doppelkegel miteinander verbunden (vgl. Skizze).

7.1 Berechnen Sie das Volumen des gesamten Körpers.

7.2 Berechnen Sie die Oberfläche des gesamten Körpers. 8. Eine Halbkugel enthält eine keglige Bohrung. Berechnen Sie das Volumen des Körpers. Alle Maßangaben in mm.

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9.0 Aus Rundmaterial wird eine Düse hergestellt. Die Abmessungen (in mm) der Düse sind im nebenstehenden Querschnitt angegeben.

In die Düse wird eine Kugel mit 6 mm gelegt. 9.1 Berechnen Sie das Volumen des Düsen- hohlraums (ohne Kugel). 9.2 Berechnen Sie das Maß x. 10.0 Eine Blechabdeckung (Schweißteil) besteht

aus einem kurzen zylindrischen Abschnitt, auf dem eine Halbkugel aufgesetzt wurde. Die Halbkugel ist oben abgeschnitten und durch eine Blechscheibe verschlossen; der zylindrische Teil ist unten offen. (Die Zeichnung ist nicht maßstäblich)

10.1 Berechnen Sie die Oberfläche der

Blechabdeckung. (nur die Außenfläche ist zu berücksichtigen)

10.2 Schätzen Sie ab, wie schwer die Abdeckung ist, wenn das Material Stahl ist und

eine Dicke von 2 mm aufweist. 11.0 Von einer Kugel werden zwei gleich große Kappen

so abgefräst, dass die beiden Flächen parallel zuein- ander stehen. Senkrecht zu diesen Flächen wird eine durchgehende Bohrung gefertigt.

Alle Maßangaben in mm.

11.1 Berechnen Sie das Volumen des entstandenen Körpers.

11.2 Berechnen Sie seine gesamte Oberfläche.

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12. Ein Graben soll auf eine Länge von 200 m ausgebaggert werden. Der Graben hat durchgängig eine Breite von 1,8 m und eine Tiefe von 1,2 m. Das Aushubmaterial wird kegelförmig zwischengelagert. Welchen Durchmesser hat der Kegel auf dem Lagerplatz, wenn sein Böschungswinkel 30° beträgt? 13. Aus einem Zylinder wird ein Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe herausgebohrt (vgl. Axialschnitt rechts).

Berechnen Sie

a) das Volumen

b) die Oberfläche

des Restkörpers. 14. Eine Kugel mit Radius r 3 cm schwimmt im Wasser. Dabei ist ein Fünftel ihrer

Oberfläche von Wasser bedeckt.

a) Wie tief ist die Kugel in das Wasser eingetaucht?

b) Welches Volumen der Kugel befindet sich unter Wasser?

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1. Definitionen Es werden folgende Symbole verwendet: r Kugel-, Kegel-, Zylinderradius M Mittelpunkt der Kugel

d Kugel-, Kegel-, Zylinderdurchmesser M Mantelfläche

1 2r / r Radius eines Schnittkreises V Volumen (Rauminhalt)

h Höhe eines Kugelabschnitts, einer(s) O Oberflächeninhalt Kugelzone, Kegels oder Zylinders

s Länge der Kegelmantellinie

2. Formeln Kugel

3

3

3

Volumen

4V r3

1V d6

1 1V O6

2

2

3 2

Oberfläche

O 4 r

O d

O 36 V

3

Kugelradius

1 1r O2

3r V4

Kugelabschnitt - Kugelsegment - Kugelkappe

2 21

2

2

Volumen

1V h 3r h6

1V h 3r h3

1V h 3d 2h6

2 21

Mantelfläche

M 2 rh

M dh

M r h

21

2 21

Oberfläche = Mantel + Kreis

O 2rh r

O h 2r

O h 4r h

Radius des Schnittkreises:

1r h 2r h

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2 2s r h

Kugelausschnitt - Kugelsektor

2

2

Volumen

2V r h3

1V d h6

1

Oberfläche

O r 2h r

1O 2 r h h 2r h2

Kugelschicht - Kugelzone

2 2 2

1 2

Volumen

1V h 3r 3r h6

Mantelfläche (ohne Grund- und Deckfläche)

M 2 rh

M dh

2 21 2

2 21 2

Oberfläche

O 2rh r r

O d h r r

Gerader Kegel

2 2

Volumen

1 1V r h d h3 12

Mantelfläche (ohne Grundfläche)

1M r s ds2

Oberfläche

d dO r r s s2 2

Länge der Kegelmantellinie:

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Gerader Kegelstumpf

2 21 1 2 2

2 21 1 2 2

Volumen

1V h r r r r31V h d d d d

12

1 2 1 2


1M s r r s d d2

2 21 2 1 2

2 21 2 1 2

Oberfläche

O s r r r r

1O 2s d d d d4

2 22 21 2 1 2

Mantellinie

1s h r r 4 h d d2

Gerader Zylinder

2

2

Volumen

V r h

1V d h4


M 2 rh

M dh

Oberfläche

O 2 r r h

dO d h2

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(H) Trigonometrie


Grundlagenwissen: Sin, Cos, Tan, Sinussatz, Kosinussatz, Flächenberechnung Dreieck, Pythagoras. 1.0 Gegeben ist ein Dreieck ABC mit

a 8 cm, c 10 cm, 60

1.1 Berechnen Sie die Seite b sowie die Winkel und .

1.2 Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks. 2.0 Gegeben ist nebenstehende Figur

2.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke x und y.

3.0 Gegeben ist ein Kurbeltrieb in schematischer Darstellung mit

Kurbelradius r 120 mm , Schubstangenlänge l 650 mm 3.1 Berechnen Sie und x für 110 .

3.2 Berechnen Sie den größtmöglichen Winkel . 4.0 Nebenstehend abgebildete Stahlkonstruktion ist gegeben.

4.1 Berechnen Sie die Länge der Streben x und y. (BD ist eine Gerade)

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(H) Trigonometrie


5.0 Drei Teilkreise berühren sich wie in der Zeichnung angegeben.

Alle Längen in mm.

5.1 Berechnen Sie den Winkel .

5.2 Berechnen Sie die Längen x und y. 6. Gegeben ist nebenstehende Figur mit

a 5 m

b 4,5 m

c 3,5 m

d 7 m

Berechnen Sie die Winkel , und . 7.0 Zwei Kreise ( 60 und 100 ) werden tangential mit je einem Radius R20 verbunden (vgl. Skizze rechts). Zwischen den Mittelpunkten der Kreise ist ein Dreieck aufgespannt. 7.1 Berechnen Sie die Winkel , und .

7.2 Berechnen Sie die Strecken x und y.

8. Berechnen Sie die Länge der Strecke CD für nebenstehende Figur. (Vorwärtseinschneiden)

40

35

50

25

AB 8 cm

Alle Längen in mm

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(H) Trigonometrie


9. Gegeben ist nebenstehendes Viereck ABCD mit

AB 12 cm

BC 5 cm

AC 10,4 cm

BD 12,5 cm

120

Berechnen Sie die Strecken x CD und y AD .

10.0 Auf den 4 Seiten eines Rechtecks mit den Längen

a 8 cm und b 4 cm wird die Strecke x abgetragen (siehe nebenstehende Skizze).

10.1 Stelle einen Term auf für den Flächeninhalt des Parallelogramms RSTU in Abhängigkeit von x.

10.2 Für welches x ist der Flächeninhalt des Parallelogramms am kleinsten? Gib diesen Inhalt an.

11. In ein Rechteck ist ein Dreieck einbeschrieben.

Stelle einen Term für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von x auf (vgl. nebenstehende Skizze).

Für welches x ist der Flächeninhalt minimal?

Gib diesen minimalen Flächeninhalt an.

12. Zwei unterschiedlich lange Stangen sind mit

einem Drehgelenk verbunden (1).

Das Gelenk wird nun 1m hochgehoben, damit hat die längere Stange einen Winkel von 15° und die kürzere Stange einen Winkel von 20° zur Waagerechten (2).

Berechne die Höhe h des Gelenks und den Winkel der kürzeren Stange, wenn die längere Stange einen Winkel von 30° zur Waagerechten aufweist (3).

x

y

Alle Längen in cm

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(H) Trigonometrie


13. Fertige von der nachfolgenden Abbildung eine vereinfachte Zeichnung im Maßstab 1 : 4.000 an und berechne damit die Höhe h des Turms in Metern.

14.0 Eine rechteckige Kiste, 1,60 m breit und 3,10 m lang, blockiert eine Durchfahrt.

14.1 Wie breit ist die Durchfahrt, wenn = 28° ist?

14.2 Welchen Wert hat , wenn die Durchfahrt 2,50 m breit ist? 15. In einem Dreieck ABC sind a 5 cm,

b 6 cm, c 8 cm. .

Wie lang ist die Winkelhalbierende w ?

16. Wie groß sind der Radius r und die Sehne s

eines Kreises, wenn a 3,0 cm und 2r s 2 cm ? (vgl. Bild rechts)

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(H) Trigonometrie


17. Nebenstehend abgebildete Figur setzt sich aus einem Halbkreis und einem gleichschenkligen Dreieck zusammen.

Gegeben sind:

RS 8 cm

36

Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang der Figur. 18.0 In einem Koordinatensystem sind die Punkte eines Dreiecks ABC gegeben mit

A 0 0 , B 5 1,5 , C 3 8 . Berechnen Sie vom Dreieck ABC:

18.1 Die Länge der Seiten AB, BC, AC .

18.2 Die Winkel , , .

18.3 Den Flächeninhalt.

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(I) Einfache Differential- u. Integralrechnung, Analysis


Grundlagenwissen: Ableitungen, Flächen unter Kurven, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte. 1. Bestimmen Sie die Stammfunktion F(x) der folgenden Funktionen. Die Konstante C darf weggelassen werden.

a) f(x) 5x b) 1

f(x)x

c) 2f(x) 4x

d) 3f(x) 15x e) 2f(x) x 6 f) 3f(x) x 5x

g) 2

1f(x)

x h) 6 4 2f(x) x 7x x i) 3 2f(x) x 8x x 1

k) f(x) x l) 4 3

5 7f(x)

x x m) 32 x

2. Erstellen Sie jeweils die erste Ableitung.

a) 15f(x) 4x b) 3f(x) 0,01x c) 9x

f(x)8

d) 4 31f(x) x 7x

5 e) 7 51

f(x) 5x x4

f) 3 2x x x 1

f(x) 3 56 4 12 3

g) 9

1f(x)

x h)

2

5f(x)

x i)

3

8f(x)

5x

k) f(x) x l) 5f(x) x m) 3 5f(x) 4x

n) 4 3

1f(x)

5 x

o)

1f(x)

x p) 1,5n 1f(x) x

q) f(x) cosx r) f(x) x cos x s) f(x) sinx cosx

t) xf(x) x e u) 2f(x) x 1 x v) 5 2f(x) x x 2 x

w) 2f(x) cos 2x x) f(x) cos x y) 42f(x) 6x 4x 2

z) 2

1f(x)

5x 8

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3.0 Gegeben ist die Funktion 2f(x) x 3x 4

3.1 Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x - Achse im Bereich von x 0,5 und x 3,5 .

3.2 Bestimmen Sie die 1., 2. und 3. Ableitung der folgenden Funktion.

3 22f(x) x 6x 2x3

4.0 Gegeben ist die Funktion

3 21f(x) x 4x 8x2

.

mit den Nullstellen x 0 , x 4 .

4.1 Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve von 1x 0 bis 2x 4 .

4.2 Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktion f(x). bis eine Konstante übrig bleibt.


3 21 1f(x) x x x 56 6

mit den Nullstellen x 2 , x 3 , x 5 .

5.1 Berechnen Sie die farbige Fläche unter dem Graphen zwischen den Nullstellen x 2 und x 3 .

5.2 Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f(x).

3 21 1f(x) x x x 56 6

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6.0 Gegeben ist die Funktion 3 21 3f(x) x x 2

16 8 .

im Intervall 2; 5

6.1 Bestimmen Sie die 1., 2. und 3. Ableitung der Funktion f(x) .

6.2 Berechnen Sie die Fläche A unter dem Graphen zur x - Achse im Intervall 0; 2


3 21 11 1f(x) x x x 1,510 20 20

mit den Nullstellen x 1,5 , x 2 , x 5 .

7.1 Bestimmen Sie die 1., 2. und 3. Ableitung der Funktion f(x) .

7.2 Berechnen Sie die Fläche A unter bzw. über dem Graphen zur x - Achse im Intervall 1,5; 5

8.0 Gegeben ist die Funktion 2f(x) x 2x 3 mit den Nullstellen x 3 , x 1 .

8.1 Berechnen Sie die Fläche A unter bzw. über dem Graphen zur x - Achse im Intervall 3; 2

8.2 Bestimmen Sie die 1., 2. und 3. Ableitung der Funktion g(x) .

4 3g(x) 8x 4x 3x . 9.0 Gegeben ist die Funktion 4 2f(x) 0,2x 2x 9.1 Berechnen Sie die Fläche, die die Funktion f(x) mit der x - Achse im Intervall 0; 2 einschließt.

9.2 Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f(x).

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10.0 Gegeben sind die beiden Funktionen

2f(x) x 3x 4 und

g(x) 3x 1

10.1 Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen. 10.2 Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Graphen innerhalb der Schnittpunkte. 11.0 Gegeben sind die beiden Funktionen

4 2f(x) 0,1x 0,9x und

2g(x) 2x 7x 11.1 Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Graphen im Intervall 0; 1,5

11.2 Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung der Funktion f(x). 12. Welche Fläche schließen die beiden folgenden Funktionen ein für f(x) 0; g(x) 0 ?

2f(x) 4x 10x

g(x) 1,5x

13. Wie groß ist die Fläche, die der Graph der Funktion 3 2f(x) x 4x 0,25x 1 mit der x - Achse im 1. Quadranten einschließt?

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14. Bestimmen Sie für folgende Funktionen die

Nullstelle(n),

Extrempunkt(e),

Wendestelle(n)

sowie die Fläche, die beide Funktionen gemeinsam einschließen für f(x) 0; g(x) 0 :

3 2

2

f(x) x 6x 9x

g(x) x 3x

15. Ermitteln Sie mit Hilfe der Differentialrechnung die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion 3f(x) x 4x 5 im Punkt PP 2 y .

16. Bestimmen Sie von der Funktion 2f(x) x 4x 4 x 5 die

Schnittpunkt(e) mit der x - Achse bzw. der y - Achse,

Extrempunkt(e),

Wendestelle(n)

Wie groß ist die Fläche, die der Graph der Funktion mit der x - Achse im 4. Quadranten einschließt?

17. Gegeben ist die Funktion 3 2f(x) x 4x 5x 2 .

Ermitteln Sie:

den Schnittpunkt mit der y - Achse,

die Nullstellen (finden Sie die 1. NST durch probieren),

Maxima bzw. Minima sofern vorhanden,

Wendestellen,

die Steigung an der (den) Wendestelle(n),

die Fläche, die der Graph und die x - Achse einschließen.

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(K) Vektoren


Grundlagenwissen: Vektorrechnung. 1. Bestimmen Sie alle Innenwinkel des Dreiecks, das durch die Vektoren

2

u6

und

3v

2

gebildet wird.

2. Der Vektor 1

a5

wird um 60° gedreht. Wie lautet der neue Vektor a '

?

3. Ermitteln Sie zu den folgenden Vektorpaaren jeweils die Beträge der Vektoren, den Winkel zwischen den Vektoren, die Einheitsvektoren, das Skalarprodukt, das Vektorprodukt (Kreuzprodukt).

a) 1 1

u v3 3

b) 2 2

u v3 5

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(L) Exponentialgleichungen, Logarithmusgleichungen


Grundlagenwissen: Rechenregeln zur Exponential- und Logarithmusrechnung.

Hinweise und Formelsammlung siehe Seite 3 - 5

1. Berechnen Sie x.

a) x 1 x2 3 3

b) x 1 x 14 9 2 27

c) 1,5x 2,5 3x6 4 9 4 2

d) x 1 x 22 3 2

e) x x 22 2 4

f) x 1 x3 7 81

g) 6x 5 3x 2 2x 12 3 4 8 384

h) 2x

0,5x 229 xa a 0

i) 4x 4 x 113 3

3

k) 3x 2 3 x1,88 2,9 61,1 1,8

l)

11x 9 3

x x5 1

7 3

m) 3x x 3

2x 1

2 68 10,24

5 62,5

n) x x 1 x x 113 2 2 3

9

o) x x 2 x 23 4 7 7

p) 2x 1 x 2 2x 23 2 3

q) 2x 1 x4 16 65 4

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2. Lösen Sie die Gleichung nach x auf und bestimmen Sie die Lösungsmenge.

a) 3 3log x 4 log x 2 0

b) xlog x 2 logx log3 0; D

c) 3 2lgx lgx 10

d) xlg 4x lg 1 lg2

5

e) lg x 1 2lgx lg6

f) 1 1

0,5 lg xlg x 2

g) 1

2 lgx 3lgx

h) 2lg x 2 lg 2x 3 lg3

i) 3 54 lg x 5 lg x 111

k) 3 lgx 7 lg x

Hinweise und Formelsammlung siehe Seite 3 - 5

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Eine Gleichung höheren Grades wie z. B.

4x 3

kann nach x aufgelöst werden, indem man die Wurzel zieht.

4 4x 3 x 3

Tritt die Unbekannte x jedoch im Exponenten einer Potenz auf, spricht man von einer Exponentialgleichung, wie z. B. bei

x3 5 . Jede Exponentialgleichung xa b mit a, b und a 1 besitzt genau eine Lösung. Für die Lösung dieser Exponentialgleichungen, d. h. für den Wert x hat man den Namen: Logarithmus von b zur Basis a eingeführt (Die Buchstaben a bzw. b sind beliebig wählbar).

Logarithmusdefinition:

xaa b x log b für a, b ; a 1

x ist der Logarithmus von b zur Basis a. Der Logarithmus alog b ist also nichts anderes als der Exponent in einer Exponentialgleichung,

statt xa b könnte man auch alog ba b schreiben. ( alog b ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten)

b ist die Zahl die zu logarithmieren ist, sie wird Numerus genannt. a ist die Basis (der Potenz xa ). Eine Anmerkung zur Schreibweise: Eigentlich müsste man alog b schreiben. Man kann die Klammer weglassen, wenn keine

Missverständnisse aufkommen. z. B. alog b c ist missverständlich, also muss hier alog b c geschrieben werden

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Rechengesetze für das Logarithmieren

Die Rechengesetze haben für jedes Logarithmensystem Geltung; d. h. sie können immer da angewendet werden, wo Logarithmen auf die gleiche Basis bezogen werden.

Multiplizieren

a a alog b c log b log c b, c

a 1 2 n a 1 a 2 a nlog b b ... b log b log b ... log b

Dividieren

a a ablog log b log cc

Potenzieren

ca alog b c log b

Radizieren

mna a

mlog b log bn

Radizieren ist kein eigenes Logarithmengesetz. Es handelt sich um Potenzieren mit rationalem Exponenten. (Rationale Zahlen sind die Menge aller Brüche der Form m/n) Sonderfälle und besondere Logarithmen alog a 1 alog 1 0 n

alog a n alog ba b

lg10 1 lg1 0 nlg 10 n lg b10 b

ln e 1 ln 1 0 nln e n na

1log an

lb 2 1 lb 1 0 nlb 2 n a1log 1a

a c alog b log b log c ab

1log blog a

a ab clog logc b 1 a

a

1log b logb

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner.

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Logarithmus der Basis und dem Exponenten.

Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Produkt aus dem Logarithmus des Radikanden und dem Wurzelexponenten.

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Vorzeichen und Logarithmensymbole

log: - in deutschen Büchern Logarithmen zu einer beliebigen Basis - auf amerik. Taschenrechnern und Literatur Logarithmus zur Basis 10

lg: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer, Briggscher oder Zehnerlogarithmus)

ln: Logarithmus zur Basis e = 2,71828… (natürlicher Logarithmus)

lb: Logarithmus zur Basis 2 (binärer oder dualer Logarithmus)

Umrechnung von einem System in ein anderes Berechnung beliebiger Logarithmen (mit Taschenrechner)

xa

x

log b lg b ln blog b

log a lg a ln a

13

lg 353 ln 353log 353 2,287...

lg13 ln 13

Natürliche Logarithmen

Basis n 1

h

n h 0

1e lim 1 lim 1 hn

e 2,718281828... (Eulersche Zahl)

elog ln xln a x a e

ln a

lg a ln a lg eln 10

1lg eln 10

Beim Rechnen mit Logarithmen sei auf folgende Fehler hingewiesen:

a a a a

a a a

a a

nna a

a a a

log b c log b log c log b c ist nicht weiter auflösbar

log b c log b log c

log b c log b c

log b log b

log b log c log b c

mit x als beliebige Basis; insbesondere x = 10 oder x = e

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