Hydraulik I

Reale FluideNavier-Stokes Gleichung

TurbulenzPotentialströmung

W. Kinzelbach

Reale Fluide 1

• Laminare Strömung (Zähigkeit dominiert)• Turbulente Strömung (Trägheit dominiert)• Umschlag laminar-turbulent• Kriterium Reynoldszahl in Rohrströmung

ddkraftZähigkeits

raftTrägheitsk v/vvRe

2

Kritische Reynoldszahl für Umschlag Re=2300

Reale Fluide 2

• Euler Zahl

• Froude Zahl

p/2v

v2v2

DruckkraftraftTrägheitskEu

ghvv2

ghtSchwerkraf

raftTrägheitskFr

Reibungskräfte

Reibungskräfte 2)(, xxyxzxR dzdydxdzdxdyF

dy

ydxdzdz

zdxdy xy

xyxz

xz

dx

xdzdy x

x

xyzdxdydz xxxyxz

Reibungskräfte 3

)vv(abba

ab

Unter Verwendung von

v

)vvv( 2x

2

2x

2

2x

2

,

dxdydzxyz

dxdydzF xR

Navier-Stokes Gleichung 1

v)v(vv

tDt

D Druck Schwerkraft Reibung1 f f f

+A.B +R.B.0v

v1v

zgpDtD

Kontinuität

4 Gleichungen für 4 unbekannte Funktionen: vx, vy, vz, p

Navier-Stokes Gleichung 2

****2

***

*

uu

UL

zUgLp

DtD

Dimensionslose Form mit Massstäben L, T, U=L/T

t = Tt* x = Lx* u = Uu* p = U2p* 2*2

2 1

L

Zwei Invarianten

Re = UL/ Fr2 = U2/(gL)

Hydraulische Ähnlichkeit• Zwei Strömungen sind ähnlich, wenn sie

geometrisch ähnliche (ineinander skalierbare) Randbedingungen und gleiche Reynolds- und Froudezahl aufweisen

• Basis des wasserbaulichen Versuchswesens:– Ergebnisse aus dem Labor sind übertragbar auf Natur,

wenn ReLabor = ReNatur und FrLabor = FrNatur– Da es schwierig ist, beide Kennzahlen gleich zu

machen, wird die jeweils wichtigere Ähnlichkeit eingehalten. Dies ist bei Strömungen in geschlossenen Leitungen Re und bei Freispiegelströmungen Fr.

-Theorem (Buckingham)

n Anzahl der relevanten Einflussgrössenr Anzahl der vorkommenden Grunddimensionen

(m,s,kg…)m=n-r Anzahl der unabhängigen -Terme

-Theorem (Buckingham)Konstruktion der -Terme:

Wähle r Einflussgrössen x1 … xr, die die r Grunddimensionen enthalten und bilde

Da die -Terme dimensionslos sind, müssen sich die Potenzen der Grunddimensionen zu Null wegheben.

durch Kombination mit je einer weiteren Einflussgrösse

Widerstandsbeiwert als Funktion der Reynolds-Zahl

Laminare RohrströmungFolgt aus Integration der Navier-Stokes Gleichungen (Am praktischsten: in Zylinderkordinaten). Hier Herleitung aus Impulssatz:

G g r x sin sin 2

F p p r 2 12

F r x 2

G F F sin 0Kräftegleichgewicht

sin dzdx

p pdpdx

x2 1

( )r g rdhdx

p

12

mit

Laminare RohrströmungVerbindung der Schubspannungsverteilung mit dem Newton‘schen Gesetzder Viskosität

( )r g rdhdx

p

12

dvdr

rdxdh

2g

drdv p

v r g dhdx

r Cp( )

2 2

2

v r g dhdx

r rpo( ) ( )

4

2 2

liefert

C aus Randbed.

Laminare Rohrströmung

Idhdx

vgd

p m 32

2

v v g dhdx

dmp

12 32

2max

v g dhdx

dpmax

16

2

Gesetz von Hagen-Poiseuille

4

128d

dxdhgQ p

d geht mit der 4. Potenz ein. Kleine Änderung des Durchmessersbewirkt grosse Änderung von Q

Charakterisierung von Turbulenz

Reynoldszerlegung: 'v = v +v' p= p+ p

Reynoldszahl entscheidet über Turbulenz: Re klein – laminar Re gross - turbulent

Uns reichen eigentlich Gleichungen für v und p

Bei RohrströmungUmschlag bei Re ≈ 2300

Charakterisierung von Turbulenz

2(v-v)Mittlere Schwankung =

n

Mittlere SchwankungTurbulenzintensität = v

Turbulentes Energiespektrum

Wellenzahl

Kolmogorovs Bild der Turbulenz: EnergiekaskadeGrosse Wirbel zerfallen in kleinere Wirbel bis letztlich die Energie durch viskose Reibung dissipiert wird.

Reynoldsgleichungen 1

= ( ) ( ')p p+ p' p p p

2 22 21 ( ) 1 ( ) ( ')( ') ' '

2 2v v vv und v v v v v v v vx x x

Zeitgemittelte Navier-Stokes GleichungenEinsetzen der Reynoldszerlegung in lineare Terme in p und vund anschliessende Mittelung führt zu Ersetzen der Variablen durch ihren Mittelwert. Beispiel Druckterm:

Einsetzen der Reynoldszerlegung in den nichtlinearen Term der advektiven Beschleunigung führt nicht auf einen Term der nur die mittlere Geschwindigkeit enthält: Beispiel 1D

Reynoldsgleichungen 2

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'

'v'v

Das Analogon des Terms in 3D ist' 'v v

Reynoldsgleichungen 3

)'v'v(-v1v

zgpDtD

Die gemittelte Navier-Stokes Gleichung wird damit zur Reynoldsgleichung

Diese kann nicht gelöst werden, da der Term in v‘ neue Unbekannte enthält. Turbulenzmodellierung besteht darin, den Term in v‘ durch einen Ausdruck in den Mittelwerten oder durch neue Variable auszudrücken, für die weitere Gleichungen zur Verfügung stehen. (Schliessungsproblem)

Reynoldsgleichungen 4

v)'v'v(-

Wirbel

Einfachstes Turbulenzmodell zur Schliessung der Gleichungen

mit Wirbelzähigkeit Wirbel = konstant

Problem: Wirbelzähigkeit ist dynamisch von Strömung abhängig und nicht konstant. Deshalb wurden eine Reihe anderer Turbulenzmodelle erfunden.

Warum hat Turbulenzterm mit Zähigkeit zu tun?(v' v')

Geschwindigkeitsprofile an Wand

Laminare Strömung zwischen zwei Platten1. Fall: Eine Platte fest, eine Platte bewegt mit Geschwindigkeit

vGeschwindigkeitsprofil linear

2. Fall: Beide Platten fest, Durchfluss Q Geschwindigkeitsprofil parabolischLaminare Rohrströmung: Geschwindigkeitsprofil Rotationsparaboloid

Wie sieht das Geschwindigkeitsprofil bei einer turbulenten Strömung zwischen 2 Platten oder in Rohr aus???

Turbulente Schubspannungen (1)

Wand

y

x

A

dIdt

' ' 0 ' ' 0A A

dI uv dA u v dA da v und u vdt

v

u

Transportrate von x-Impuls in y-Richtung:

Turbulente Schubspannungen (2)

' ' . ' '

: ' 'tot

A Au v bzw u vduGesamtschubspannung u vdt

Fluss ist gegen die Wand gerichtet: Impulskraft wird durch Wandschubspannung aufgenommenFluid grösserer u-Geschwindigkeit, das in Wandnähe kommtwird gebremst, bzw. beschleunigt dort langsameres Fluidund umgekehrt. (Analogie zu Rempeleien auf molekularer Ebene, die zu Viskosität führen! Deshalb Wirbelviskositätsansatz)

Geschwindigkeitsprofil an Wand (1)

L Prandtl‘scher Mischweg = Strecke über die ein Wirbel seine Identität verliert

2

( ) ( )' ' ' 1

( ) ( )

u y u yu L und v au aL Annahme ay y

u y u yLy y

Weitere Annahme: L proportional zu Wandabstand

0.4L y Karmankonstante

Geschwindigkeitsprofil an Wand (2)Für positive Geschwindigkeitsgradienten und wandnahe Schicht mit ungefähr konstant:

2

22 2 *

* 00

( )u yy uy

mit Definition u und Wandschubspannung

Integration liefert:

*

( ) ln( )w

u yu y C

Geschwindigkeitsprofil an Wand (3)Direkt an Wand: viskose Unterschicht (dünner als kleinste Wirbel)Dicke w . Damit folgt C: *

( ) ln( )w

u yu y

Das Wandprofil in einer turbulenten Strömung ist logarithmisch.In einer laminaren Strömung ist es linear.

Unterschied: Laminar:

Turbulent:

0

0

( ) ( )

( ) ( ) ln( )

molu y u y ayy

u yy u y b y cy

a

Grenzschichtströmung

An der Wand: Haftbedingung Weit draussen: Ungestörte StrömungGrenzschichtdicke: Wandabstand bei dem u = 0.99 u∞

u∞

Grenzschichtdicke

c hängt von Art der Strömung ab: Unterschiedlich für laminare und turbulente Strömung

xx

u xx xc c mit Reu Re

laminar: lamx

x 5

Re

turbulent:5

0.37Returb

x

x

Äquivalente Wandrauheit

z.B. Glas-, Kupfer-, Kunststoffrohre: glatt k=0 Betonrohre k=0.3-3.0 mm Stahlrohre k=0.03-0.1mm

Geschwindigkeitsprofile in Rohrströmungen

Hydraulisch glatt - rauh

Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung

H z pg

vgm

2

2

HQ

z pg

vg

vdAA

1

2

2

( )

1 3

Av v dAm

A

( / )

Für Energiesatz:

Für Impulssatz:

I Q vm mit

12

Av

vdA

mA

Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung: Nebenrechnung

33

3 23 3

3 3

2

1 1 12 2

1 12 2

2

mA A

m m

m m mA A

m

v dA v dAQ g g v A

v vv vdA dAg v A v g A v

vg

1 3

Av v dAm

A

( / )mit

Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung

Venturi Rohr

d

Gemessen: p1, p2, D, d

Gesucht: Q

1 2

Lösung: Kontinuität und Bernoulli

Rohr horizontal T=20o

2 21 1 2 2

1 22 2p v p vz z

g g

1 1 2 2v A v A

Geschwindigkeitsmessung

Hydrometrischer Flügel

Tracer Methodent1

t2

L

)tL/(tv 12

Verfahren zur Messung von Q: Verdünnungsmethode

• PTV (=particle tracking velocimetry): Zugabe und Verfolgung von Partikeln

• Hitzdrahtanemometer: Abkühlung eines elektrisch erhitzten Drahtes durch die Strömung

Andere Methoden

+

-

t1 t2

Andere Methoden

• Laserdoppleranemometer: In der Strömung vorhandene Kleinstpartikel durchlaufen ein Interferenzmuster an der Schnittstelle zweier Laserstrahlen.

• MID (Magnetisches Induktions-Verfahren): In einem durch ein Magnetfeld bewegten Leiter (= Strömung) wird eine Spannung induziert

• Akustische Laufzeitmessung: Superposition von Schallgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit

Was ist Rotation?Parallelströmung (vx=constant): rotationsfrei =0

deformationsfrei

y

x

Beispiel: freie Parallelströmung ohne Wandeinfluss

Was ist Rotation?Parallelströmung (vx=f(y)): rotationsbehaftet 0

deformationsbehaftet

Beispiel: Strömung in der Nähe einer Wand

Was ist Rotation?Kreisströmung rotationsbehaftet 0

Ohne Deformation

Beispiel: Festkörperwirbel

rv

Festkörperwirbel (Karussell)

sincos0 0

x

y

z

v r yv v r x

v

v r

y

x

r

00 2

20

x y ze e e

v x y zy x

Was ist Rotation?Kreisströmung rotationsfrei 0

deformationsbehaftet

Beispiel: Rankine-Wirbel über Bodenöffnung, Aussenströmung 1/r,Kernströmung rotationsbehaftet

r1v

Wie wird Rotation erzeugt?Drei Ursachen für Rotation:

• Reibung und damit scherendes Profil• Dichteunterschiede • Rotierendes Bezugssystem (Erde)

Wenn eine Strömung anfänglich rotationsfrei ist undkeine der drei Ursachen wirksam ist, bleibt die Strömung rotationsfrei.

z

x

leicht

schwer

Potentialströmung 1

• Strömung in der gilt:

• Strömungen, die sich als Gradient eines skalaren Feldes , des Potentials, darstellen lassen sind Potentialströmungen

0v

v

Führe Nachweis durch Anwendung von

Potentialströmung 2• Kombination von Kontinuität und ergibt Potentialgleichung

• Ebene Strömung in x-y-Ebene

022

2

2

2

2

2

zyx

v

02

2

2

2

yx

Ebene Potentialströmung 1

• Linien gleichen Werts heissen Potentiallinien• Zu den Potentiallinien kann eine orthogonale

Linienschar konstruiert werden, die Stromlinien • Stromlinien sind Linien gleichen Werts der

Stromfunktion • Die Stromfunktion erfüllt ebenfalls die

Potentialgleichung, lediglich mit anderen Randbedingungen

Ebene Potentialströmung 2

• Aus der Bedingung dass die Tangenten von Strom- und Potentiallinien im Schnittpunkt senkrecht stehen gewinnt man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

xyyx

Ebene Potentialströmung 3

• Stromlinien und Potentiallinien bilden das Strömungsnetz (vorteilhaft: Quadrasternetz)

Ebene Potentialströmung 4

• Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien mit Stromfunktionswerten 1 und 2

• Dicke der ebenen Strömung 1 Einheit

21

2

1

2

1

v

dyy

dyq x

Ebene Potentialströmung 5

• Undurchlässige Ränder sind Stromlinien• Diagonalen (Tangenten) schneiden sich orthogonal• In Maschen können Kreise einbeschrieben werden, die alle 4 Seiten

tangieren

Anwendungskriterien für Potentialnetze

• Inkompressibles Fluid• Zweidimensionale Strömung• Rotationsfreiheit (nur Schwerkraft und Druckkräfte

wirksam)• Kurze Strömungsabschnitte (damit Reibung klein

bleibt, Länge nicht grösser als 5-8 mal Breite)• Geringe Zähigkeit des Fluids• Strömung ablösungsfrei

Anwendungskriterien für Potentialnetze

• Wichtigste Anwendung: Grundwasserströmung (kommt zu Ende Semester dran)• Dort gilt Darcy-Gesetz

• bzw. bei K=constant

v K h

( )v Kh

1

2

1

2

2

1

vv

ss

nn

constant2v2

gg

pzH