Hydraulik I

Grundwasser-strömung

W. Kinzelbach

Gesetz von Darcy (1)Voraussetzung: Schleichende Strömung 4Re

qd

Darcy-Experiment: Q prop. hQ prop. AQ umgekehrt prop. L IkAQ

LhAkQ

fF

f

v/

Gesetz von Darcy (2)

Analog zu Hagen-Poiseuille Gesetz für einzelne Kapillare:

dxdh

dg p2

32v

Darcy Gesetz ist Erweiterung für statisches Ensemble von Kapillaren.

Hydraulische Leitfähigkeit

gkk f

k Permeabilität (Länge im Quadrat)

Gesteinseigenschaft

Fluideigenschaft

Typische Werte von kf:

Grobsand 10-3 m/sFeinsand 10-4 m/sTon 10-8 m/s

GeschwindigkeitsbegriffeFiltergeschwindigkeit (spezifischer Abfluss) vF=Q/A

Abstandgeschwindigkeit (Porengeschwindigkeit) u

vF

u = vF/n

Piezometerhöhe

2gv

2gv 22

hgpzH

In Grundwasserströmungen ist v sehr klein (.1 – 10 m/d)Deshalb kann v2/(2g)vernachlässigt werden.

hH

Die Piezometerhöhe (und das Potential) kann damit alsspez. Energie interpretiert werden.

Verallgemeinertes Darcy-Gesetz

hkq fF v

Bei homogenem Medium (kf=konstant) und Quellen-Freiheit folgt mit der Kontinuitätsgleichung:

00v 2 hhhkq fF

Die Grundwasserströmung im homogenen Medium ist einePotentialströmung

h Piezometerhöhe

Randbedingungen

Beispiel Dammdurchströmung

h

h

A: undurchlässiger Rand: q Rand Stromlinie.B: Übergang zu Oberflächenwasser: h = konst. PotentiallinieC: freie Oberfläche: q Wasserspiegel Stromlinie und p = 0 .h = z.D: Sickerstrecke: p = 0 h = z

Grundwasserleiter (Aquifere)

Gespannt: Begrenzt zwischen Sohle und Decke, Piezometerhöhe steht über Decke

Frei: Freier Grundwasserspiegel, Piezometerhöhe = GW-Spiegel

Sohle

DeckeTransmissivität T=kfm

1-D gespannter Aquifer

Stationäre Grabenströmung: d hdx

h2

2 0

Lösung mit obigen Randbedingung: xLhhhh 12

1

mkTmitLhhT

bQ

f

12

1-D freier Aquifer

Lösung mit obigen Randbedingungen:

Lxhhhh )( 2

22

12

12

Lhhhhk

Lhhk

qbQ ff )(

2)(

22121

22

21

0

dxdhhk

dxd

fStationäre Grabenströmung:

1-D freier Aquifer mit Neubildung

Lösung mit obigen Randbedingungen:

)()( 22

21

21

2 xLxkN

Lxhhhh

f

)2/(

2

22

21 LxNLhhk

qbQ f

Ndxdhhk

dxd

f

Stationäre Grabenströmung:

Geschichtete GrundwasserleiterParallel

Seriell

k dd

kfai

fi

n

i

1

1 1

1kdd kfh

i

fi

n

i

Gew. arithmetisches Mittel

Gew. harmonisches Mittel

Mittlerer Durchlässigkeitsbeiwert

Anwendung der PotentialtheorieGültig für ebene Strömungen und kf = konstant

q k kf f

Potentialfunktion bzw

Stromfunktion

x y x y, ,

y

kx x

kyf f ;

und erfüllen die Cauchy-Riemannschen DGL

konstant122

1

2

1

dyy

dyqQ x

Volumenstrom zwischen 2 Stromlinien

Zeichnerische Lösung von Potentialströmungsproblemen (1)

ks nf

• Tangenten an - und -Linien orthogonal• Diagonalen einer Netzmasche orthogonal• In Netzmaschen können Kreise einbeschrieben werden• Strom- bzw. Potentiallinien dürfen sich weder berühren noch schneiden

Zeichnerische Lösung von Potentialströmungsproblemen (2)

-- Abgrenzung des Strömungsbereichs, in dem das Strömungsnetz konstruiert werden soll.-- Bestimmung der Randbedingungen.

- Konstruktion des Netzes durch Probieren, wobei die obengenannten Regeln beachtet werden müssen

Durchfluss Q

i i

Hn1

q ksf

Q q n B ks

n B k B kHn

Bf f f

B Breite bzw. Dicke senkrecht zur Zeichenebene

Druck im Punkt P j o oj j

Hn

j zpg

pg

jHn

zo

p g jHn

zo

Potential

Druckhöhe

Druck

Strömungskräfte im porösen Medium

F n g g VG s w( ) ( )1 Gewichtskraft

Strömungskraft VshngyxhngF wwS

Sicherheit gegen hydr. Grundbruch: = FG/FS > 2

Bestimmung des Strömungsgefälles

hs

Hd d

1 22

Aus Potentialliniennetz:

Näherungsweise

hs

Hd

Bei vorhandener Sperrschicht

Brunnen im gespannten GWL

Annahmen: Medium homogen, isotrop, unendlich ausgedehnt,Strömung radialsymmetrisch

Brunnen im gespannten GWL

z. B Brunnen im Mittelpunkt einer kreisrunden Insel

m

R

Brunnenformel (stationär, gespannter Aquifer)

Q r m q r m k dsdrf 2 2

ds Qmk

drrf

r

R

s r 2

0

''( )

Kontinuität

Randbedingungen

r = rB, s = sB, r = R, s = 0

Integration liefert:

bzw. s r Q

mkRrf

2

ln

s r QT

rR

2

ln

Brunnen im freien GWL(1)

Brunnen im freien GWL (2)Kontinuität Q rh k

dhdrf 2

Separation der Variablen und Integration

hdh

Qk

drrf

r

R

h r

H

H h rQk

Rr

H h r H h rQk

rR

f

f

2 2

ln

ln

s r H h rQ

TrR

2

lnbzw.

Mehrbrunnenanlagen

Durch Superposition

Vorsicht:Superponiere s,da im Unendlichen Null. (HomogeneRandbedingungen)

s s r s r s r s r s r QT

Rr

Rr

Rr

Rr

s QT

r rr r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln

ln ; )

1 2 3 4 51 2 4 5

1 2

4 5

2

20

wobei s(r3

Brunnen an Festpotentialgrenze

Brunnen an undurchlässigem Rand

Brunnen in Grundströmung

Asymptotische Entnahmebreite

Staupunktsabstand

BQTI

xQT Ist 2

Übungsaufgabe

Stromlinien der Parallelströmung

Potentiallinien der Parallelströmung

Strömungsnetz der Parallelströmung

Stromlinien der Radialströmung

Potentiallinien der Radialströmung

Strömungsnetz der Radialströmung

Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Potentiallinien

Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Potentiallinien

Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Stromlinien

Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Stromlinien