Hydraulik I Potentialströmung Reale Fluide Navier-Stokes Gleichung W. Kinzelbach.

Hydraulik I

PotentialströmungReale Fluide

Navier-Stokes Gleichung

W. Kinzelbach

Venturi Rohr

d

Gemessen: p1, p2, D, d

Gesucht: Q

1 2

Lösung: Kontinuität und Bernoulli

Rohr horizontal T=20o

gVzp

gVzp

22

22

22

21

11

2211 AVAV

Geschwindigkeitsmessung

Hydrometrischer Flügel

Tracer Methodent1

t2

L

)L/(tv 12 t

)tL/(tv 12

Verfahren zur Messung von Q: Verdünnungsmethode

• PTV (=particle tracking velocimetry): Zugabe und Verfolgung von Partikeln

• Hitzdrahtanemometer: Abkühlung eines elektrisch erhitzten Drahtes durch die Strömung

Andere Methoden

+

-

t1 t2

Andere Methoden

• Laserdoppleranemometer: In der Strömung vorhandene Kleinstpartikel durchlaufen ein Interferenzmuster an der Schnittstelle zweier Laserstrahlen.

• MID (Magnetisches Induktions-Verfahren): In einem durch ein Magnetfeld bewegten Leiter (= Strömung) wird eine Spannung induziert

• Akustische Laufzeitmessung: Superposition von Schallgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit

Was ist Rotation?Parallelströmung (vx=constant): rotationsfrei =0

deformationsfrei

y

x

Beispiel: freie Parallelströmung ohne Wandeinfluss

Was ist Rotation?Parallelströmung (vx=f(y): rotationsbehaftet 0

deformationsbehaftet

Beispiel: Strömung in der Nähe einer Wand

Was ist Rotation?Kreisströmung rotationsbehaftet 0

Ohne Deformation

Beispiel: Festkörperwirbel

rv

Was ist Rotation?Kreisströmung rotationsfrei 0

deformationsbehaftet

Beispiel: Rankine-Wirbel über Bodenöffnung, Aussenströmung 1/r,Kernströmung rotationsbehaftet

r1v

Potentialströmung 1

• Strömung in der gilt:

• Strömungen, die sich als Gradient eines skalaren Feldes , des Potentials, darstellen lassen sind Potentialströmungen

0v

v

Potentialströmung 2

• Kombination von Kontinuität und ergibt Potentialgleichung

• Ebene Strömung in x-y-Ebene

022

2

2

2

2

2

zyx

v

02

2

2

2

yx

Ebene Potentialströmung 1

• Linien gleichen Werts heissen Potentiallinien• Zu den Potentiallinien kann eine orthogonale

Linienschar konstruiert werden, die Stromlinien • Stromlinien sind Linien gleichen Werts der

Stromfunktion • Die Stromfunktion erfüllt ebenfalls die

Potentialgleichung, lediglich mit anderen Randbedingungen


• Aus der Bedingung dass die Tangenten von Strom- und Potentiallinien im Schnittpunkt senkrecht stehen gewinnt man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

xyyx


• Stromlinien und Potentiallinien bilden das Strömungsnetz (vorteilhaft: Quadrasternetz)


• Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien mit Stromfunktionswerten 1 und 2

• Dicke der ebenen Strömung 1 Einheit

21

2

1

2

1

v

dyy

dyq x


• Undurchlässige Ränder sind Stromlinien• Diagonalen (Tangenten) schneiden sich orthogonal• In Maschen können Kreise einbeschrieben werden, die alle 4 Seiten

tangieren

Anwendungskriterien für Potentialnetze

• Inkompressibles Fluid• Zweidimensionale Strömung• Rotationsfreiheit (nur Schwerkraft und Druckkräfte

wirksam)• Kurze Strömungsabschnitte (damit Reibung klein

bleibt, Länge nicht grösser als 5-8 mal Breite)• Geringe Zähigkeit des Fluids• Strömung ablösungsfrei

1

2

1

2

2

1

vv

ss

nn

constant2v2

gg

pzH

Reale Fluide 1

• Laminare Strömung (Zähigkeit dominiert)• Turbulente Strömung (Trägheit dominiert)• Umschlag laminar-turbulent• Kriterium Reynoldszahl in Rohrströmung

d

dkraftZähigkeitsraftTrägheitsk v

/vvRe

2

Kritische Reynoldszahl für Umschlag Re=2300

Reale Fluide 2

• Euler Zahl

• Froude Zahl

p/2v

v2v2

DruckkraftraftTrägheitskEu

ghvv2

ghtSchwerkraf

raftTrägheitskFr

Reibungskräfte

Reibungskräfte 2)(, xxyxzxR dzdydxdzdxdyF

dy

ydxdzdz

zdxdy xy

xyxz

xz

dx

xdzdy x

x

xyzdxdydz xxxyxz

Reibungskräfte 3

)vv(abba

ab

Unter Verwendung von

v

)vvv( 2x

2

2x

2

2x

2

,

dxdydzxyz

dxdydzF xR

Navier-Stokes Gleichung 1

v)v(vv

tDt

DReibungtSchwerkrafDruck fff

+A.B +R.B.0v

v1v

zgpDtD

Navier-Stokes Gleichung 2

****2

***

*

uu

UL

zUgLp

DtD

Dimensionslose Form mit Massstäben L, T, U=L/T

t = Tt* x = Lx* u = Uu* p = U2p* 2*2

2 1

L

Zwei Invarianten

Re = UL/ Fr2 = U2/(gL)

Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung

Nur für einfache Konfigurationen und laminare Strömung möglich

Beispiel: Strömung zwischen zwei festen Platten

dvx(z)

x

z

Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (2)

)(v)0(v:ungenRandbedingaus,21)(vv0

GleichungStokesNavierderKomponentex

0v,constründenSymmetriegaus

,0vv),(v0,tv

21

212

2

2

dcc

czczazz

a

xa

xp

zf

xx

xx

x

zyx

Parabolisches Profil


Beispiel: Laminare Rohrströmung

Lösung: Mit Navier-Gleichung und Kontinuitätsgleichungin Zylinderkoordinaten:

Kontinuitätsgleichung:

0vv1vvv zrrr

div zrr

r

z

vz(r)


radial:

tangential:

vt

v vr

vr

v v vz

vr

ghr

vr r

vr

vr r

v vz r

v

vt

vvr

v vr

vr

vv

v

rr

r rz

r p

r r r r r

rr

z

2

2

2 2 2

2

2

2

2 2

1 1 2 0

zgr

h

vr r

vr

vr r

v vz r

v

vt

v vr

vr

v v vz

ghz

vr r

vr r

v

p

r

zr

z zz

z p

z z z

2

2 2 2

2

2

2

2 2

2

2 2

2

1 1 2 0

1 1

z - Richtung:

2

2

2 0

vz

z Selber aus-probieren!!

Laminare Rohrströmung(1) (auf andere Art)

Kräftegleichgewicht an Zylinder mit Radius r in Achsenrichtung:Komponente des Gewichts +Kraft aus Druckdifferenz-Kraft aus Reibung = 0(Impulskräfte heben sich auf, wegen Kontinuität v1=v2)

Laminare Rohrströmung (2)

Komponente des Gewichts

Kraft aus Druckdifferenz

Kraft über Zylindermantel

sinsin 2 xrgG

212 )( rppF

xrF 2

mit xdxdppp

dxdz

12undsin

dxdh

grr p21)(

Laminare Rohrströmung (3) Mit Newton‘schem Gesetz

ergibt sich daraus:

drvd

rdxdhg

drd p

2

v

Crdxdhgr p

22)(v

2

und nach Integration:

C folgt aus Haft-bedingung v(r0)=0

Laminare Rohrströmung (4) Damit folgt das Gesetz:

)0()(4

)(v 022

0 rrrrdxdhgr p

Die Geschwindigkeitsverteilung ist ein Rotationsparaboloid.

2max 16

v ddxdhg p

mit Rohrdurchmesser d

Da vm=vmax/2 gilt damit das Hagen-Poiseuille‘sche Gesetz:

2p v32

dxdh

-Igd

m

Lineares Energieverlustgesetzin der laminaren Strömung

Laminare Rohrströmung (5) Verallgemeinerung

2/v4 2

m

0

Für die Wandschubspannung (r=d/2) im Rohr gilt

dxdhgd p

40

wird ein dimensionsloserReibungsbeiwert definiert

Mitdxdh

gd p

2/v2m

Für ein Rohr der Länge L und mit Durchmesser d gilt dann:

2gv2

m

dLhp Darcy-Weisbach-Gesetz

Laminare Rohrströmung (6) Verallgemeinerung

Vergleicht man das Darcy-Weisbach Gesetz

Re64

v64

m

d

mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz2gv2

m

dLhp

2gv

v64 2

m

ddLh

mp

so folgt ein Reibungsbeiwert:

Bei konstantemQ folgt:

4

1d

hp

Wichtig für Blut-Hochdruck bei Arterienverkalkung!!

Rohrströmung allgemein Darcy-Weisbach Gesetz wird als universal gültig angenommen

mit einem Reibungsbeiwert, der allgemein eine Funktion der Reynoldszahl und der Rohreigenschaften ist.

2gv2

m

dLhp

Bei laminarer Strömung

Bei stark turbulenter Strömung und rauhem Rohr

mvundv1

hm

2mvundconstant h

Widerstandskoeffizient

2

2o

p

DD

VA

FC

Bei grossen Re: CD konstant, FD prop. zu V2

Bei kleinen Re: CD=24/Re, FD prop. zu V

Analog!

Reynoldsgleichungen 1

Reynoldszerlegung: p'pp'vvv

Mittlere Schwankung

Turbulenzintensität

n)vv( 2

MittelwertSchwankung Mittlere

Reynoldsgleichungen 2

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'

'v'v

v)'v'v(- Wirbel

Dabei ist

Einfachstes Turbulenzmodell zur Schliessung der Gleichungen

mit Wirbelzähigkeit Wirbel

)'v'v(-v1v

zgpDtD

Turbulente Schubspannungen (1)

Turbulenter Impulstransport durch Fläche A im Abstand y von Wand

'v''v'v uAAdAudAudtId

AA

Turbulente Schubspannungen (2)Gesamtschubspannung: 'v'u

dyud

tot

Definition der Schubspannungsgeschwindigkeit 0* u

Prandtl‘sche Mischwegtheorie: Weg L über den Wirbel sein Identität verliert

1,'v'yuaLau'v','

auyuLu

Logarithmisches Geschwindigkeitsprofil

dyud

yuL2

Gesetz der Wand: L=y Karmankonstante =0.4

yu

yuu

dyyudy

**

2

22 und)( 2

Durch Integration folgt das logarithmische Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Wandströmung

)ln()(*

w

yuyu

wobei w die Dicke der viskosen Unterschicht ist.

In der viskosen Unterschicht ist das Geschwindigkeitsprofil linear: /yu

Grenzschichtströmung

Grenzschichtdicke=Wandabstand bei dem 99% von

u

u erreicht.

Wandrauheit

Äquivalente Sandrauheit k

u

Rohrmaterial Rauheit k (mm)Gusseisen mitBitumenanstrich

0.12

Betonrohre roh 1.0 bis 3.0

Gezogene Glasrohre

glatt

Gezogene Stahlrohre

0.03 bis 0.1

Geschwindigkeitsprofile (1)

u

LaminarA=


u

Übergangsbereich: 5<ku*/<70

Hydraulisch glatt: ku*/<5

Hydraulisch rauh: ku*/<5


u

2gv2m

gpzH dA

A Am 3)v/v(1

Korrektur für Profil in Impulssatz

Korrektur für Profil in Energiesatz

mQI v dAA A

m 2)v/v(11<<

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