Instationäre, Inkompressible Navier – Stokes Gleichungen Seminar: FEM für die Strömungsmechanik...
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Instationäre, Inkompressible Navier – Stokes Gleichungen Seminar: FEM für die Strömungsmechanik Prof. M. Griebel Dr. M. A. Schweitzer L. M. Köhler 02.02.2007
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Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
Seminar FEM fuumlr die StroumlmungsmechanikProf M Griebel
Dr M A Schweitzer
L M Koumlhler
02022007
Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode
Gliederung und Zielsetzung
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Kapitel Loumlsbarkeit11 Formulierung des Problems Vorbemerkungen Definition schwacher Loumlsungen12 Existenz schwacher Loumlsungen13 Eindeutigkeit schwacher Loumlsungen14 Regularitaumlt schwacher Loumlsungen
2 Kapitel Numerische Loumlsung Diskretisierung 21 Linien Methode Ɵ-Schema (Rothe Methode)22 Raum-Zeit Finite Elemente (discontinuous Galerkin method)23 Transport-Diffusions Algorithmus24 Zusammenfassung Ausblick Quellen
Ziel Loumlsung durch Nutzung bisher verwendeter Methoden
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
Erhaltungder Masse
Da 0 = intV(t) ρ(xt)dx ergibt sich in jedem Punkt fuumlr ρ(xt) (Dichte)partρpartt + div(ρv) = 0 in Ω x (0 infin)
Durch das Voraussetzen von Reibungsfreiheit konstanter Dichte und Temperaturstationaumlrer Bewegung diverser Skalierungen amp Linearisierung konnten die allgemeinen Navier-Stokes Gleichungen auf das Stokes Problem reduziert werden
AllgemeineNavier-Stokes
Konstitutive Gleichungen
Erhaltungdes Impulses
Die zeitlichen Aumlnderung des Impulses ergibt punktweisepartpartt(ρv) + div(ρvotimesv) = ρf + div T in Ω x (0 infin)
Unter vers Voraussetzungen an den Spannungstensor TT = 2λD(v) + μdiv(v)I ndash pI (Zustandsgleichung)
partρpartt + div(ρv) = 0partpartt(ρv) + div(ρvotimesv) = ρf + 2λ ∆(v) + (λ + μ) nabla div(v) ndash nablap
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
StokesGleichung
KonformeElemente
(nicht konforme)
Mehrgitterfuumlr Stokes
StationaumlreinkompressibleNavier-Stokes
-∆u + grad p = f in Ωdiv u = 0 in Ωu = 0 auf partΩ
Heute Instationaumlre inkompressible Navier-Stokes Gleichungen
Xhsub X Mhsub M bezeichnen zu Тh gehoumlrige Finite Element Raumlume(XhMh) stabil (inf-sup Bedingung unabhaumlngig von h erfuumlllt)rArr diskrete Navier-Stokes Gleichungen sind eindeutig loumlsbarSequenz von Raumlumen (XhMh) mit TransferoperatorenPh Rh Xh rarr X2h
und Glaumlttern Sh Mehrgitterloumlser fuumlr Stokes-ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω-div u = 0 in Ω -u = 0 auf partΩ
Sequenz vonStokes Problemen
Lukas Koumlhler
11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen
Formulierung Herleitung Bedeutung
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Annahmen Anwendung
bull Vernachlaumlssigung der Energiegleichungbull ρ konstantbull p wird durch p ρ ersetztbull ν = η ρ (dynamische Viskositaumlt)
bull Luftstroumlmungen unterhalb der Schallgeschwindigkeitbull Wasserstroumlmungenbull Fluumlssige Metalle (konst Temp)bull Nicht bei Uumlberschall heiszliger Luft
(1)
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11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
V = u isin H01(Ω)n | div u = 0
H = u isin L2(Ω)n | div u = 0 in Ω u n = 0 auf partΩNotationen
a(uv) = intΩ nablau nablav (bilinear koerziv)
b(vp) = intΩ p divv (bilinear) Bilinearformen
N(uvw) = intΩ [(u nabla)v] w (trilinear N(uvv) = 0 N(uvw) = -N(uwv))
Ist φ eine Fkt auf (0T) mit Werten in X so heiszligt φ schwach stetig in t0wenn forall Folgen (tm)misinℕ sub (0T) mit limmrarrinfin tm = t0 und jedes ψ isin Xacute= L(Xℝ) gilt limmrarrinfin langφ( tm)ψrangX = langφ( t0)ψrangX
Schwach Stetig
Seien T gt 0 u0 isin H f isin L2((0T)Vacute) und u isin Linfin((0T)L2(Ω)n) ⋂ L2((0T)V)Ferner sei u im L2 - Sinne schwach stetig auf [0T] Dann heiszligt u eine schwache Loumlsung von (1) wenn forall v isin C1((0T)L2(Ω)n) ⋂ C0([0T]V) mitv(T) = 0 gilt
-int[0T] (u partvpartt) + νint[0T] a(uv) + int[0T] N(uuv) = int[0T] (fv) +(u0v(0))
Schwache Loumlsung
(2)
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12 Existenz Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Existenzsatz
Seien f und u0 wie in der Definition schwacher Loumlsungen Dann besitzt (1) mindestens eine schwache Loumlsung u Auszligerdem gilt partupartt isin L1((0T)Vacute)
Beweis
V sub H01 (Ω)n abgeschlossen somit separabel rArr V = clos(Umisinℕ span wj | 0lej lem)
u0m bezeichne die L2 ndash Projektion von u0 auf Vm = wj | 0 le j le m betrachtesum0le ile m (wiwj) ġim(t) + ν sum0le ile m a(wiwj) gim(t) + sum0le ijle m N(wiwlwj) gim(t) = (fwj)
fuumlr 0 le j le msum0le ile m gim(0)wi = u0m (fuumlr bel aber feste m isin ℕ)
(3) Erfuumlllt die Voraussetzungen von Picard-Lindeloumlf besitzt daher eine eindeutige max Lsg (g0m(t)hellipgmm(t)) auf max [0tm] mit 0 lt tm le T
um = sum0le ile m gim(t) wi Ist tm lt T rArr lim trarrtm
||um(t)||0 = infinSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
(3)
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12 Existenz Schwacher Loumlsungen - BeweisInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
BeweisIn (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gjm(t) und summiere uumlber j auf
rArr (partumpartt um) + νa(umum) = (f um) forall u isin V w isin H01(Ω)n
rArr ddt ||um(t)||02 + 2ν|um(t)|1
2 = 2(f um (t)) le 2||f||-1 |um(t)|1 le 1ν ||f||-1
2 + ν |um(t)|12
rArr forall s isin [0tm]
||um(s)||02 + νint[0s] |um(τ)|1
2 dτ le 1ν int[0s] ||f(τ)||-12 dτ + ||u0||0
2
rArr lim sup t rarr tm ||um(t)||0 lt infin und daher tm = T
(um)misinℕ sub beschraumlnkter Teilmenge von Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) Also exist u isin Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) gegen welches eine Teilfolge (umlsquo) schwach in L2((0T)V) schwach- in Linfin((0T)H) amp stark in L2((0T)H) konvergiertDiese Konvergenz einer Teilfolge (umlsquo) reicht aus um in (3) den Grenzuumlbergangmrsquo rarr infin bei festem j zu vollziehen Daher erfuumlllt u die Bed (2) forall wj Da UmisinℕVm dicht in Vfolgt die Behauptung QED
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13 Eindeutigkeit Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lemma
Fuumlr alle n isin 23 und alle φ isin H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) le 2(n ndash 1) 4 || φ ||0 (4 ndash n) 4 | φ |1n 4
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Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2 Dann besitzen die instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Loumlsung Auszligerdem gilt partupartt isin L2((0T)Vacute) u isin C([0T]H)und u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
ii) Sei n = 3 Dann gilt fuumlr jede schwache Loumlsung der instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) u isin L83((0T)L4(Ω)3) partupartt isin L43((0T)Vacute) Es gibt houmlchstenseine schwache Loumlsung in L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) ⋂ L8((0T) L4(Ω)3) Eine solche Loumlsung ist automatisch in C([0T]H) und erfuumlllt u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
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13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
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13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
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14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
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14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
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Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
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Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
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Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
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Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode
Gliederung und Zielsetzung
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Kapitel Loumlsbarkeit11 Formulierung des Problems Vorbemerkungen Definition schwacher Loumlsungen12 Existenz schwacher Loumlsungen13 Eindeutigkeit schwacher Loumlsungen14 Regularitaumlt schwacher Loumlsungen
2 Kapitel Numerische Loumlsung Diskretisierung 21 Linien Methode Ɵ-Schema (Rothe Methode)22 Raum-Zeit Finite Elemente (discontinuous Galerkin method)23 Transport-Diffusions Algorithmus24 Zusammenfassung Ausblick Quellen
Ziel Loumlsung durch Nutzung bisher verwendeter Methoden
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Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
Erhaltungder Masse
Da 0 = intV(t) ρ(xt)dx ergibt sich in jedem Punkt fuumlr ρ(xt) (Dichte)partρpartt + div(ρv) = 0 in Ω x (0 infin)
Durch das Voraussetzen von Reibungsfreiheit konstanter Dichte und Temperaturstationaumlrer Bewegung diverser Skalierungen amp Linearisierung konnten die allgemeinen Navier-Stokes Gleichungen auf das Stokes Problem reduziert werden
AllgemeineNavier-Stokes
Konstitutive Gleichungen
Erhaltungdes Impulses
Die zeitlichen Aumlnderung des Impulses ergibt punktweisepartpartt(ρv) + div(ρvotimesv) = ρf + div T in Ω x (0 infin)
Unter vers Voraussetzungen an den Spannungstensor TT = 2λD(v) + μdiv(v)I ndash pI (Zustandsgleichung)
partρpartt + div(ρv) = 0partpartt(ρv) + div(ρvotimesv) = ρf + 2λ ∆(v) + (λ + μ) nabla div(v) ndash nablap
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
StokesGleichung
KonformeElemente
(nicht konforme)
Mehrgitterfuumlr Stokes
StationaumlreinkompressibleNavier-Stokes
-∆u + grad p = f in Ωdiv u = 0 in Ωu = 0 auf partΩ
Heute Instationaumlre inkompressible Navier-Stokes Gleichungen
Xhsub X Mhsub M bezeichnen zu Тh gehoumlrige Finite Element Raumlume(XhMh) stabil (inf-sup Bedingung unabhaumlngig von h erfuumlllt)rArr diskrete Navier-Stokes Gleichungen sind eindeutig loumlsbarSequenz von Raumlumen (XhMh) mit TransferoperatorenPh Rh Xh rarr X2h
und Glaumlttern Sh Mehrgitterloumlser fuumlr Stokes-ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω-div u = 0 in Ω -u = 0 auf partΩ
Sequenz vonStokes Problemen
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11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen
Formulierung Herleitung Bedeutung
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Annahmen Anwendung
bull Vernachlaumlssigung der Energiegleichungbull ρ konstantbull p wird durch p ρ ersetztbull ν = η ρ (dynamische Viskositaumlt)
bull Luftstroumlmungen unterhalb der Schallgeschwindigkeitbull Wasserstroumlmungenbull Fluumlssige Metalle (konst Temp)bull Nicht bei Uumlberschall heiszliger Luft
(1)
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11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
V = u isin H01(Ω)n | div u = 0
H = u isin L2(Ω)n | div u = 0 in Ω u n = 0 auf partΩNotationen
a(uv) = intΩ nablau nablav (bilinear koerziv)
b(vp) = intΩ p divv (bilinear) Bilinearformen
N(uvw) = intΩ [(u nabla)v] w (trilinear N(uvv) = 0 N(uvw) = -N(uwv))
Ist φ eine Fkt auf (0T) mit Werten in X so heiszligt φ schwach stetig in t0wenn forall Folgen (tm)misinℕ sub (0T) mit limmrarrinfin tm = t0 und jedes ψ isin Xacute= L(Xℝ) gilt limmrarrinfin langφ( tm)ψrangX = langφ( t0)ψrangX
Schwach Stetig
Seien T gt 0 u0 isin H f isin L2((0T)Vacute) und u isin Linfin((0T)L2(Ω)n) ⋂ L2((0T)V)Ferner sei u im L2 - Sinne schwach stetig auf [0T] Dann heiszligt u eine schwache Loumlsung von (1) wenn forall v isin C1((0T)L2(Ω)n) ⋂ C0([0T]V) mitv(T) = 0 gilt
-int[0T] (u partvpartt) + νint[0T] a(uv) + int[0T] N(uuv) = int[0T] (fv) +(u0v(0))
Schwache Loumlsung
(2)
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12 Existenz Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Existenzsatz
Seien f und u0 wie in der Definition schwacher Loumlsungen Dann besitzt (1) mindestens eine schwache Loumlsung u Auszligerdem gilt partupartt isin L1((0T)Vacute)
Beweis
V sub H01 (Ω)n abgeschlossen somit separabel rArr V = clos(Umisinℕ span wj | 0lej lem)
u0m bezeichne die L2 ndash Projektion von u0 auf Vm = wj | 0 le j le m betrachtesum0le ile m (wiwj) ġim(t) + ν sum0le ile m a(wiwj) gim(t) + sum0le ijle m N(wiwlwj) gim(t) = (fwj)
fuumlr 0 le j le msum0le ile m gim(0)wi = u0m (fuumlr bel aber feste m isin ℕ)
(3) Erfuumlllt die Voraussetzungen von Picard-Lindeloumlf besitzt daher eine eindeutige max Lsg (g0m(t)hellipgmm(t)) auf max [0tm] mit 0 lt tm le T
um = sum0le ile m gim(t) wi Ist tm lt T rArr lim trarrtm
||um(t)||0 = infinSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
(3)
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12 Existenz Schwacher Loumlsungen - BeweisInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
BeweisIn (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gjm(t) und summiere uumlber j auf
rArr (partumpartt um) + νa(umum) = (f um) forall u isin V w isin H01(Ω)n
rArr ddt ||um(t)||02 + 2ν|um(t)|1
2 = 2(f um (t)) le 2||f||-1 |um(t)|1 le 1ν ||f||-1
2 + ν |um(t)|12
rArr forall s isin [0tm]
||um(s)||02 + νint[0s] |um(τ)|1
2 dτ le 1ν int[0s] ||f(τ)||-12 dτ + ||u0||0
2
rArr lim sup t rarr tm ||um(t)||0 lt infin und daher tm = T
(um)misinℕ sub beschraumlnkter Teilmenge von Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) Also exist u isin Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) gegen welches eine Teilfolge (umlsquo) schwach in L2((0T)V) schwach- in Linfin((0T)H) amp stark in L2((0T)H) konvergiertDiese Konvergenz einer Teilfolge (umlsquo) reicht aus um in (3) den Grenzuumlbergangmrsquo rarr infin bei festem j zu vollziehen Daher erfuumlllt u die Bed (2) forall wj Da UmisinℕVm dicht in Vfolgt die Behauptung QED
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Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lemma
Fuumlr alle n isin 23 und alle φ isin H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) le 2(n ndash 1) 4 || φ ||0 (4 ndash n) 4 | φ |1n 4
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Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2 Dann besitzen die instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Loumlsung Auszligerdem gilt partupartt isin L2((0T)Vacute) u isin C([0T]H)und u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
ii) Sei n = 3 Dann gilt fuumlr jede schwache Loumlsung der instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) u isin L83((0T)L4(Ω)3) partupartt isin L43((0T)Vacute) Es gibt houmlchstenseine schwache Loumlsung in L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) ⋂ L8((0T) L4(Ω)3) Eine solche Loumlsung ist automatisch in C([0T]H) und erfuumlllt u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
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13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
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13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
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14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
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14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
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1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
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Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
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Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
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Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
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11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
Erhaltungder Masse
Da 0 = intV(t) ρ(xt)dx ergibt sich in jedem Punkt fuumlr ρ(xt) (Dichte)partρpartt + div(ρv) = 0 in Ω x (0 infin)
Durch das Voraussetzen von Reibungsfreiheit konstanter Dichte und Temperaturstationaumlrer Bewegung diverser Skalierungen amp Linearisierung konnten die allgemeinen Navier-Stokes Gleichungen auf das Stokes Problem reduziert werden
AllgemeineNavier-Stokes
Konstitutive Gleichungen
Erhaltungdes Impulses
Die zeitlichen Aumlnderung des Impulses ergibt punktweisepartpartt(ρv) + div(ρvotimesv) = ρf + div T in Ω x (0 infin)
Unter vers Voraussetzungen an den Spannungstensor TT = 2λD(v) + μdiv(v)I ndash pI (Zustandsgleichung)
partρpartt + div(ρv) = 0partpartt(ρv) + div(ρvotimesv) = ρf + 2λ ∆(v) + (λ + μ) nabla div(v) ndash nablap
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
StokesGleichung
KonformeElemente
(nicht konforme)
Mehrgitterfuumlr Stokes
StationaumlreinkompressibleNavier-Stokes
-∆u + grad p = f in Ωdiv u = 0 in Ωu = 0 auf partΩ
Heute Instationaumlre inkompressible Navier-Stokes Gleichungen
Xhsub X Mhsub M bezeichnen zu Тh gehoumlrige Finite Element Raumlume(XhMh) stabil (inf-sup Bedingung unabhaumlngig von h erfuumlllt)rArr diskrete Navier-Stokes Gleichungen sind eindeutig loumlsbarSequenz von Raumlumen (XhMh) mit TransferoperatorenPh Rh Xh rarr X2h
und Glaumlttern Sh Mehrgitterloumlser fuumlr Stokes-ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω-div u = 0 in Ω -u = 0 auf partΩ
Sequenz vonStokes Problemen
Lukas Koumlhler
11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen
Formulierung Herleitung Bedeutung
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Annahmen Anwendung
bull Vernachlaumlssigung der Energiegleichungbull ρ konstantbull p wird durch p ρ ersetztbull ν = η ρ (dynamische Viskositaumlt)
bull Luftstroumlmungen unterhalb der Schallgeschwindigkeitbull Wasserstroumlmungenbull Fluumlssige Metalle (konst Temp)bull Nicht bei Uumlberschall heiszliger Luft
(1)
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Lukas Koumlhler
11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
V = u isin H01(Ω)n | div u = 0
H = u isin L2(Ω)n | div u = 0 in Ω u n = 0 auf partΩNotationen
a(uv) = intΩ nablau nablav (bilinear koerziv)
b(vp) = intΩ p divv (bilinear) Bilinearformen
N(uvw) = intΩ [(u nabla)v] w (trilinear N(uvv) = 0 N(uvw) = -N(uwv))
Ist φ eine Fkt auf (0T) mit Werten in X so heiszligt φ schwach stetig in t0wenn forall Folgen (tm)misinℕ sub (0T) mit limmrarrinfin tm = t0 und jedes ψ isin Xacute= L(Xℝ) gilt limmrarrinfin langφ( tm)ψrangX = langφ( t0)ψrangX
Schwach Stetig
Seien T gt 0 u0 isin H f isin L2((0T)Vacute) und u isin Linfin((0T)L2(Ω)n) ⋂ L2((0T)V)Ferner sei u im L2 - Sinne schwach stetig auf [0T] Dann heiszligt u eine schwache Loumlsung von (1) wenn forall v isin C1((0T)L2(Ω)n) ⋂ C0([0T]V) mitv(T) = 0 gilt
-int[0T] (u partvpartt) + νint[0T] a(uv) + int[0T] N(uuv) = int[0T] (fv) +(u0v(0))
Schwache Loumlsung
(2)
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Lukas Koumlhler
12 Existenz Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Existenzsatz
Seien f und u0 wie in der Definition schwacher Loumlsungen Dann besitzt (1) mindestens eine schwache Loumlsung u Auszligerdem gilt partupartt isin L1((0T)Vacute)
Beweis
V sub H01 (Ω)n abgeschlossen somit separabel rArr V = clos(Umisinℕ span wj | 0lej lem)
u0m bezeichne die L2 ndash Projektion von u0 auf Vm = wj | 0 le j le m betrachtesum0le ile m (wiwj) ġim(t) + ν sum0le ile m a(wiwj) gim(t) + sum0le ijle m N(wiwlwj) gim(t) = (fwj)
fuumlr 0 le j le msum0le ile m gim(0)wi = u0m (fuumlr bel aber feste m isin ℕ)
(3) Erfuumlllt die Voraussetzungen von Picard-Lindeloumlf besitzt daher eine eindeutige max Lsg (g0m(t)hellipgmm(t)) auf max [0tm] mit 0 lt tm le T
um = sum0le ile m gim(t) wi Ist tm lt T rArr lim trarrtm
||um(t)||0 = infinSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
(3)
Lukas Koumlhler
12 Existenz Schwacher Loumlsungen - BeweisInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
BeweisIn (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gjm(t) und summiere uumlber j auf
rArr (partumpartt um) + νa(umum) = (f um) forall u isin V w isin H01(Ω)n
rArr ddt ||um(t)||02 + 2ν|um(t)|1
2 = 2(f um (t)) le 2||f||-1 |um(t)|1 le 1ν ||f||-1
2 + ν |um(t)|12
rArr forall s isin [0tm]
||um(s)||02 + νint[0s] |um(τ)|1
2 dτ le 1ν int[0s] ||f(τ)||-12 dτ + ||u0||0
2
rArr lim sup t rarr tm ||um(t)||0 lt infin und daher tm = T
(um)misinℕ sub beschraumlnkter Teilmenge von Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) Also exist u isin Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) gegen welches eine Teilfolge (umlsquo) schwach in L2((0T)V) schwach- in Linfin((0T)H) amp stark in L2((0T)H) konvergiertDiese Konvergenz einer Teilfolge (umlsquo) reicht aus um in (3) den Grenzuumlbergangmrsquo rarr infin bei festem j zu vollziehen Daher erfuumlllt u die Bed (2) forall wj Da UmisinℕVm dicht in Vfolgt die Behauptung QED
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Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lemma
Fuumlr alle n isin 23 und alle φ isin H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) le 2(n ndash 1) 4 || φ ||0 (4 ndash n) 4 | φ |1n 4
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Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2 Dann besitzen die instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Loumlsung Auszligerdem gilt partupartt isin L2((0T)Vacute) u isin C([0T]H)und u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
ii) Sei n = 3 Dann gilt fuumlr jede schwache Loumlsung der instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) u isin L83((0T)L4(Ω)3) partupartt isin L43((0T)Vacute) Es gibt houmlchstenseine schwache Loumlsung in L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) ⋂ L8((0T) L4(Ω)3) Eine solche Loumlsung ist automatisch in C([0T]H) und erfuumlllt u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
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13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
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Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
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Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
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Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
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11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
StokesGleichung
KonformeElemente
(nicht konforme)
Mehrgitterfuumlr Stokes
StationaumlreinkompressibleNavier-Stokes
-∆u + grad p = f in Ωdiv u = 0 in Ωu = 0 auf partΩ
Heute Instationaumlre inkompressible Navier-Stokes Gleichungen
Xhsub X Mhsub M bezeichnen zu Тh gehoumlrige Finite Element Raumlume(XhMh) stabil (inf-sup Bedingung unabhaumlngig von h erfuumlllt)rArr diskrete Navier-Stokes Gleichungen sind eindeutig loumlsbarSequenz von Raumlumen (XhMh) mit TransferoperatorenPh Rh Xh rarr X2h
und Glaumlttern Sh Mehrgitterloumlser fuumlr Stokes-ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω-div u = 0 in Ω -u = 0 auf partΩ
Sequenz vonStokes Problemen
Lukas Koumlhler
11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen
Formulierung Herleitung Bedeutung
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Annahmen Anwendung
bull Vernachlaumlssigung der Energiegleichungbull ρ konstantbull p wird durch p ρ ersetztbull ν = η ρ (dynamische Viskositaumlt)
bull Luftstroumlmungen unterhalb der Schallgeschwindigkeitbull Wasserstroumlmungenbull Fluumlssige Metalle (konst Temp)bull Nicht bei Uumlberschall heiszliger Luft
(1)
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11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
V = u isin H01(Ω)n | div u = 0
H = u isin L2(Ω)n | div u = 0 in Ω u n = 0 auf partΩNotationen
a(uv) = intΩ nablau nablav (bilinear koerziv)
b(vp) = intΩ p divv (bilinear) Bilinearformen
N(uvw) = intΩ [(u nabla)v] w (trilinear N(uvv) = 0 N(uvw) = -N(uwv))
Ist φ eine Fkt auf (0T) mit Werten in X so heiszligt φ schwach stetig in t0wenn forall Folgen (tm)misinℕ sub (0T) mit limmrarrinfin tm = t0 und jedes ψ isin Xacute= L(Xℝ) gilt limmrarrinfin langφ( tm)ψrangX = langφ( t0)ψrangX
Schwach Stetig
Seien T gt 0 u0 isin H f isin L2((0T)Vacute) und u isin Linfin((0T)L2(Ω)n) ⋂ L2((0T)V)Ferner sei u im L2 - Sinne schwach stetig auf [0T] Dann heiszligt u eine schwache Loumlsung von (1) wenn forall v isin C1((0T)L2(Ω)n) ⋂ C0([0T]V) mitv(T) = 0 gilt
-int[0T] (u partvpartt) + νint[0T] a(uv) + int[0T] N(uuv) = int[0T] (fv) +(u0v(0))
Schwache Loumlsung
(2)
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12 Existenz Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Existenzsatz
Seien f und u0 wie in der Definition schwacher Loumlsungen Dann besitzt (1) mindestens eine schwache Loumlsung u Auszligerdem gilt partupartt isin L1((0T)Vacute)
Beweis
V sub H01 (Ω)n abgeschlossen somit separabel rArr V = clos(Umisinℕ span wj | 0lej lem)
u0m bezeichne die L2 ndash Projektion von u0 auf Vm = wj | 0 le j le m betrachtesum0le ile m (wiwj) ġim(t) + ν sum0le ile m a(wiwj) gim(t) + sum0le ijle m N(wiwlwj) gim(t) = (fwj)
fuumlr 0 le j le msum0le ile m gim(0)wi = u0m (fuumlr bel aber feste m isin ℕ)
(3) Erfuumlllt die Voraussetzungen von Picard-Lindeloumlf besitzt daher eine eindeutige max Lsg (g0m(t)hellipgmm(t)) auf max [0tm] mit 0 lt tm le T
um = sum0le ile m gim(t) wi Ist tm lt T rArr lim trarrtm
||um(t)||0 = infinSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
(3)
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12 Existenz Schwacher Loumlsungen - BeweisInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
BeweisIn (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gjm(t) und summiere uumlber j auf
rArr (partumpartt um) + νa(umum) = (f um) forall u isin V w isin H01(Ω)n
rArr ddt ||um(t)||02 + 2ν|um(t)|1
2 = 2(f um (t)) le 2||f||-1 |um(t)|1 le 1ν ||f||-1
2 + ν |um(t)|12
rArr forall s isin [0tm]
||um(s)||02 + νint[0s] |um(τ)|1
2 dτ le 1ν int[0s] ||f(τ)||-12 dτ + ||u0||0
2
rArr lim sup t rarr tm ||um(t)||0 lt infin und daher tm = T
(um)misinℕ sub beschraumlnkter Teilmenge von Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) Also exist u isin Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) gegen welches eine Teilfolge (umlsquo) schwach in L2((0T)V) schwach- in Linfin((0T)H) amp stark in L2((0T)H) konvergiertDiese Konvergenz einer Teilfolge (umlsquo) reicht aus um in (3) den Grenzuumlbergangmrsquo rarr infin bei festem j zu vollziehen Daher erfuumlllt u die Bed (2) forall wj Da UmisinℕVm dicht in Vfolgt die Behauptung QED
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Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lemma
Fuumlr alle n isin 23 und alle φ isin H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) le 2(n ndash 1) 4 || φ ||0 (4 ndash n) 4 | φ |1n 4
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Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2 Dann besitzen die instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Loumlsung Auszligerdem gilt partupartt isin L2((0T)Vacute) u isin C([0T]H)und u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
ii) Sei n = 3 Dann gilt fuumlr jede schwache Loumlsung der instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) u isin L83((0T)L4(Ω)3) partupartt isin L43((0T)Vacute) Es gibt houmlchstenseine schwache Loumlsung in L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) ⋂ L8((0T) L4(Ω)3) Eine solche Loumlsung ist automatisch in C([0T]H) und erfuumlllt u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
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Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
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Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen
Formulierung Herleitung Bedeutung
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Annahmen Anwendung
bull Vernachlaumlssigung der Energiegleichungbull ρ konstantbull p wird durch p ρ ersetztbull ν = η ρ (dynamische Viskositaumlt)
bull Luftstroumlmungen unterhalb der Schallgeschwindigkeitbull Wasserstroumlmungenbull Fluumlssige Metalle (konst Temp)bull Nicht bei Uumlberschall heiszliger Luft
(1)
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Lukas Koumlhler
11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
V = u isin H01(Ω)n | div u = 0
H = u isin L2(Ω)n | div u = 0 in Ω u n = 0 auf partΩNotationen
a(uv) = intΩ nablau nablav (bilinear koerziv)
b(vp) = intΩ p divv (bilinear) Bilinearformen
N(uvw) = intΩ [(u nabla)v] w (trilinear N(uvv) = 0 N(uvw) = -N(uwv))
Ist φ eine Fkt auf (0T) mit Werten in X so heiszligt φ schwach stetig in t0wenn forall Folgen (tm)misinℕ sub (0T) mit limmrarrinfin tm = t0 und jedes ψ isin Xacute= L(Xℝ) gilt limmrarrinfin langφ( tm)ψrangX = langφ( t0)ψrangX
Schwach Stetig
Seien T gt 0 u0 isin H f isin L2((0T)Vacute) und u isin Linfin((0T)L2(Ω)n) ⋂ L2((0T)V)Ferner sei u im L2 - Sinne schwach stetig auf [0T] Dann heiszligt u eine schwache Loumlsung von (1) wenn forall v isin C1((0T)L2(Ω)n) ⋂ C0([0T]V) mitv(T) = 0 gilt
-int[0T] (u partvpartt) + νint[0T] a(uv) + int[0T] N(uuv) = int[0T] (fv) +(u0v(0))
Schwache Loumlsung
(2)
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Lukas Koumlhler
12 Existenz Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Existenzsatz
Seien f und u0 wie in der Definition schwacher Loumlsungen Dann besitzt (1) mindestens eine schwache Loumlsung u Auszligerdem gilt partupartt isin L1((0T)Vacute)
Beweis
V sub H01 (Ω)n abgeschlossen somit separabel rArr V = clos(Umisinℕ span wj | 0lej lem)
u0m bezeichne die L2 ndash Projektion von u0 auf Vm = wj | 0 le j le m betrachtesum0le ile m (wiwj) ġim(t) + ν sum0le ile m a(wiwj) gim(t) + sum0le ijle m N(wiwlwj) gim(t) = (fwj)
fuumlr 0 le j le msum0le ile m gim(0)wi = u0m (fuumlr bel aber feste m isin ℕ)
(3) Erfuumlllt die Voraussetzungen von Picard-Lindeloumlf besitzt daher eine eindeutige max Lsg (g0m(t)hellipgmm(t)) auf max [0tm] mit 0 lt tm le T
um = sum0le ile m gim(t) wi Ist tm lt T rArr lim trarrtm
||um(t)||0 = infinSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
(3)
Lukas Koumlhler
12 Existenz Schwacher Loumlsungen - BeweisInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
BeweisIn (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gjm(t) und summiere uumlber j auf
rArr (partumpartt um) + νa(umum) = (f um) forall u isin V w isin H01(Ω)n
rArr ddt ||um(t)||02 + 2ν|um(t)|1
2 = 2(f um (t)) le 2||f||-1 |um(t)|1 le 1ν ||f||-1
2 + ν |um(t)|12
rArr forall s isin [0tm]
||um(s)||02 + νint[0s] |um(τ)|1
2 dτ le 1ν int[0s] ||f(τ)||-12 dτ + ||u0||0
2
rArr lim sup t rarr tm ||um(t)||0 lt infin und daher tm = T
(um)misinℕ sub beschraumlnkter Teilmenge von Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) Also exist u isin Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) gegen welches eine Teilfolge (umlsquo) schwach in L2((0T)V) schwach- in Linfin((0T)H) amp stark in L2((0T)H) konvergiertDiese Konvergenz einer Teilfolge (umlsquo) reicht aus um in (3) den Grenzuumlbergangmrsquo rarr infin bei festem j zu vollziehen Daher erfuumlllt u die Bed (2) forall wj Da UmisinℕVm dicht in Vfolgt die Behauptung QED
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Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lemma
Fuumlr alle n isin 23 und alle φ isin H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) le 2(n ndash 1) 4 || φ ||0 (4 ndash n) 4 | φ |1n 4
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Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2 Dann besitzen die instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Loumlsung Auszligerdem gilt partupartt isin L2((0T)Vacute) u isin C([0T]H)und u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
ii) Sei n = 3 Dann gilt fuumlr jede schwache Loumlsung der instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) u isin L83((0T)L4(Ω)3) partupartt isin L43((0T)Vacute) Es gibt houmlchstenseine schwache Loumlsung in L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) ⋂ L8((0T) L4(Ω)3) Eine solche Loumlsung ist automatisch in C([0T]H) und erfuumlllt u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
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Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
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Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
V = u isin H01(Ω)n | div u = 0
H = u isin L2(Ω)n | div u = 0 in Ω u n = 0 auf partΩNotationen
a(uv) = intΩ nablau nablav (bilinear koerziv)
b(vp) = intΩ p divv (bilinear) Bilinearformen
N(uvw) = intΩ [(u nabla)v] w (trilinear N(uvv) = 0 N(uvw) = -N(uwv))
Ist φ eine Fkt auf (0T) mit Werten in X so heiszligt φ schwach stetig in t0wenn forall Folgen (tm)misinℕ sub (0T) mit limmrarrinfin tm = t0 und jedes ψ isin Xacute= L(Xℝ) gilt limmrarrinfin langφ( tm)ψrangX = langφ( t0)ψrangX
Schwach Stetig
Seien T gt 0 u0 isin H f isin L2((0T)Vacute) und u isin Linfin((0T)L2(Ω)n) ⋂ L2((0T)V)Ferner sei u im L2 - Sinne schwach stetig auf [0T] Dann heiszligt u eine schwache Loumlsung von (1) wenn forall v isin C1((0T)L2(Ω)n) ⋂ C0([0T]V) mitv(T) = 0 gilt
-int[0T] (u partvpartt) + νint[0T] a(uv) + int[0T] N(uuv) = int[0T] (fv) +(u0v(0))
Schwache Loumlsung
(2)
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Lukas Koumlhler
12 Existenz Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Existenzsatz
Seien f und u0 wie in der Definition schwacher Loumlsungen Dann besitzt (1) mindestens eine schwache Loumlsung u Auszligerdem gilt partupartt isin L1((0T)Vacute)
Beweis
V sub H01 (Ω)n abgeschlossen somit separabel rArr V = clos(Umisinℕ span wj | 0lej lem)
u0m bezeichne die L2 ndash Projektion von u0 auf Vm = wj | 0 le j le m betrachtesum0le ile m (wiwj) ġim(t) + ν sum0le ile m a(wiwj) gim(t) + sum0le ijle m N(wiwlwj) gim(t) = (fwj)
fuumlr 0 le j le msum0le ile m gim(0)wi = u0m (fuumlr bel aber feste m isin ℕ)
(3) Erfuumlllt die Voraussetzungen von Picard-Lindeloumlf besitzt daher eine eindeutige max Lsg (g0m(t)hellipgmm(t)) auf max [0tm] mit 0 lt tm le T
um = sum0le ile m gim(t) wi Ist tm lt T rArr lim trarrtm
||um(t)||0 = infinSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
(3)
Lukas Koumlhler
12 Existenz Schwacher Loumlsungen - BeweisInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
BeweisIn (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gjm(t) und summiere uumlber j auf
rArr (partumpartt um) + νa(umum) = (f um) forall u isin V w isin H01(Ω)n
rArr ddt ||um(t)||02 + 2ν|um(t)|1
2 = 2(f um (t)) le 2||f||-1 |um(t)|1 le 1ν ||f||-1
2 + ν |um(t)|12
rArr forall s isin [0tm]
||um(s)||02 + νint[0s] |um(τ)|1
2 dτ le 1ν int[0s] ||f(τ)||-12 dτ + ||u0||0
2
rArr lim sup t rarr tm ||um(t)||0 lt infin und daher tm = T
(um)misinℕ sub beschraumlnkter Teilmenge von Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) Also exist u isin Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) gegen welches eine Teilfolge (umlsquo) schwach in L2((0T)V) schwach- in Linfin((0T)H) amp stark in L2((0T)H) konvergiertDiese Konvergenz einer Teilfolge (umlsquo) reicht aus um in (3) den Grenzuumlbergangmrsquo rarr infin bei festem j zu vollziehen Daher erfuumlllt u die Bed (2) forall wj Da UmisinℕVm dicht in Vfolgt die Behauptung QED
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Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lemma
Fuumlr alle n isin 23 und alle φ isin H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) le 2(n ndash 1) 4 || φ ||0 (4 ndash n) 4 | φ |1n 4
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Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2 Dann besitzen die instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Loumlsung Auszligerdem gilt partupartt isin L2((0T)Vacute) u isin C([0T]H)und u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
ii) Sei n = 3 Dann gilt fuumlr jede schwache Loumlsung der instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) u isin L83((0T)L4(Ω)3) partupartt isin L43((0T)Vacute) Es gibt houmlchstenseine schwache Loumlsung in L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) ⋂ L8((0T) L4(Ω)3) Eine solche Loumlsung ist automatisch in C([0T]H) und erfuumlllt u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
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14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
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Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
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Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
12 Existenz Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Existenzsatz
Seien f und u0 wie in der Definition schwacher Loumlsungen Dann besitzt (1) mindestens eine schwache Loumlsung u Auszligerdem gilt partupartt isin L1((0T)Vacute)
Beweis
V sub H01 (Ω)n abgeschlossen somit separabel rArr V = clos(Umisinℕ span wj | 0lej lem)
u0m bezeichne die L2 ndash Projektion von u0 auf Vm = wj | 0 le j le m betrachtesum0le ile m (wiwj) ġim(t) + ν sum0le ile m a(wiwj) gim(t) + sum0le ijle m N(wiwlwj) gim(t) = (fwj)
fuumlr 0 le j le msum0le ile m gim(0)wi = u0m (fuumlr bel aber feste m isin ℕ)
(3) Erfuumlllt die Voraussetzungen von Picard-Lindeloumlf besitzt daher eine eindeutige max Lsg (g0m(t)hellipgmm(t)) auf max [0tm] mit 0 lt tm le T
um = sum0le ile m gim(t) wi Ist tm lt T rArr lim trarrtm
||um(t)||0 = infinSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
(3)
Lukas Koumlhler
12 Existenz Schwacher Loumlsungen - BeweisInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
BeweisIn (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gjm(t) und summiere uumlber j auf
rArr (partumpartt um) + νa(umum) = (f um) forall u isin V w isin H01(Ω)n
rArr ddt ||um(t)||02 + 2ν|um(t)|1
2 = 2(f um (t)) le 2||f||-1 |um(t)|1 le 1ν ||f||-1
2 + ν |um(t)|12
rArr forall s isin [0tm]
||um(s)||02 + νint[0s] |um(τ)|1
2 dτ le 1ν int[0s] ||f(τ)||-12 dτ + ||u0||0
2
rArr lim sup t rarr tm ||um(t)||0 lt infin und daher tm = T
(um)misinℕ sub beschraumlnkter Teilmenge von Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) Also exist u isin Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) gegen welches eine Teilfolge (umlsquo) schwach in L2((0T)V) schwach- in Linfin((0T)H) amp stark in L2((0T)H) konvergiertDiese Konvergenz einer Teilfolge (umlsquo) reicht aus um in (3) den Grenzuumlbergangmrsquo rarr infin bei festem j zu vollziehen Daher erfuumlllt u die Bed (2) forall wj Da UmisinℕVm dicht in Vfolgt die Behauptung QED
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Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lemma
Fuumlr alle n isin 23 und alle φ isin H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) le 2(n ndash 1) 4 || φ ||0 (4 ndash n) 4 | φ |1n 4
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Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2 Dann besitzen die instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Loumlsung Auszligerdem gilt partupartt isin L2((0T)Vacute) u isin C([0T]H)und u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
ii) Sei n = 3 Dann gilt fuumlr jede schwache Loumlsung der instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) u isin L83((0T)L4(Ω)3) partupartt isin L43((0T)Vacute) Es gibt houmlchstenseine schwache Loumlsung in L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) ⋂ L8((0T) L4(Ω)3) Eine solche Loumlsung ist automatisch in C([0T]H) und erfuumlllt u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
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Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
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Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
12 Existenz Schwacher Loumlsungen - BeweisInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
BeweisIn (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gjm(t) und summiere uumlber j auf
rArr (partumpartt um) + νa(umum) = (f um) forall u isin V w isin H01(Ω)n
rArr ddt ||um(t)||02 + 2ν|um(t)|1
2 = 2(f um (t)) le 2||f||-1 |um(t)|1 le 1ν ||f||-1
2 + ν |um(t)|12
rArr forall s isin [0tm]
||um(s)||02 + νint[0s] |um(τ)|1
2 dτ le 1ν int[0s] ||f(τ)||-12 dτ + ||u0||0
2
rArr lim sup t rarr tm ||um(t)||0 lt infin und daher tm = T
(um)misinℕ sub beschraumlnkter Teilmenge von Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) Also exist u isin Linfin((0T)H) ⋂ L2((0T)V) gegen welches eine Teilfolge (umlsquo) schwach in L2((0T)V) schwach- in Linfin((0T)H) amp stark in L2((0T)H) konvergiertDiese Konvergenz einer Teilfolge (umlsquo) reicht aus um in (3) den Grenzuumlbergangmrsquo rarr infin bei festem j zu vollziehen Daher erfuumlllt u die Bed (2) forall wj Da UmisinℕVm dicht in Vfolgt die Behauptung QED
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Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lemma
Fuumlr alle n isin 23 und alle φ isin H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) le 2(n ndash 1) 4 || φ ||0 (4 ndash n) 4 | φ |1n 4
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Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2 Dann besitzen die instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Loumlsung Auszligerdem gilt partupartt isin L2((0T)Vacute) u isin C([0T]H)und u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
ii) Sei n = 3 Dann gilt fuumlr jede schwache Loumlsung der instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) u isin L83((0T)L4(Ω)3) partupartt isin L43((0T)Vacute) Es gibt houmlchstenseine schwache Loumlsung in L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) ⋂ L8((0T) L4(Ω)3) Eine solche Loumlsung ist automatisch in C([0T]H) und erfuumlllt u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
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Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
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Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
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Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
13 Eindeutigkeit Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lemma
Fuumlr alle n isin 23 und alle φ isin H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) le 2(n ndash 1) 4 || φ ||0 (4 ndash n) 4 | φ |1n 4
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Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2 Dann besitzen die instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine schwache Loumlsung Auszligerdem gilt partupartt isin L2((0T)Vacute) u isin C([0T]H)und u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
ii) Sei n = 3 Dann gilt fuumlr jede schwache Loumlsung der instationaumlren Navier - Stokes Gleichungen (1) u isin L83((0T)L4(Ω)3) partupartt isin L43((0T)Vacute) Es gibt houmlchstenseine schwache Loumlsung in L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) ⋂ L8((0T) L4(Ω)3) Eine solche Loumlsung ist automatisch in C([0T]H) und erfuumlllt u(t) rarr u0 in H fuumlr trarr 0
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
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Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
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Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
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Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A B auf L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) langAu vrang = a(uv) langB(u) v = N(rang uuv)
Dann gilt (s Existenzsatz) forall u (schwache Loumlsung von (1)) partupartt - νAu +B(u) = f fuuml in Vlsquo u(t) rarr u0 in Hlsquo fuumlr t rarr 0
ad i) Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = supvisinV |v|=1 N(uuv) le ||u||2L⁴(Ω) le radic2 ||u||0 |u|1
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)2) rArr Au B(u) isin L2((0T)Vlsquo) amp partupartt isin L2((0T)Vlsquo) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 da w isin L2((0T)V) und partwpartt isin L2((0T)Vlsquo) rArr ddt ||w (t)||0
2 + 2ν|w(t)|12 = 2(partwpartt w) + 2ν a(ww)
le 2ν|w(t)|12 + 1ν |u1(t)|1
2 ||w(t)||02
rArr ddt ( ||w (t)||02 exp (-1νint[0t] |u1(s)|1
2 ds)) le 0 da w(0) = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularitaumlt ||B(u)||Vrsquo = ||u||2L⁴(Ω) le 2 ||u||0
12 |u|132
u isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)L2(Ω)3) rArr Au isin L2((0T)Vlsquo) B(u) isin L43((0T)Vlsquo)amp somit partupartt isin L43((0T)Vlsquo) Daher auch u isin L83((0T)L4(Ω)3) Eindeutigkeit sei w = u1 ndash u2 amp unter bekannten Regularitaumltsannahmen
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 = -2N(wu1w) = 2N(w w u1)
le 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
le 4 ||w||014 |w|1
74 ||u1||L⁴(Ω) Young`sche Ungleichung ab le 78 a87 + 18 b8 forall ab isin ℝ+
fuumlr a = (167 ν)78 |w|174 amp b = 4 (167 ν)78 ||w||0
14 ||u1||L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 + 2ν|w(t)|1
2 le 2ν|w(t)|12 + 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
rArr ddt ||w (t)||02 le 17 (7 4ν)7 ||w (t) ||0
2 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 isin L83((0T)L4(Ω)3) folgt w = 0 rArr QEDSeminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
14 Regularitaumlt Schwacher LoumlsungenInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Regularitaumltssatzi) Sei n = 2 und f partfpartt isin L2((0T)Vlsquo) f(0) isin H und u0 isin H2(Ω)2 ⋂ V Dann gilt fuumlr dieeindeutige schwache Loumlsung der instationaumlren Navier-Stokes Gleichungenpartupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Ist zusaumltzlich partΩ isin C2 und f isin Linfin((0T)H) so istu isin Linfin((0T)H2(Ω)2)ii) Sei n = 3 und f isin Linfin((0T)H) partfpartt isin L1((0T)H) und u0 isin H2(Ω)3 ⋂ VDefiniere d1 = ||f(0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||2
2 d2 = ||f||Linfin((0T)Vlsquo) Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||0
2 + ν -1 T d2)exp (int[0T] ||partpartt f(s)||0 ds))hinreichend klein ist besitzen die instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen eineeindeutige schwache Loumlsung und es gilt partupartt isin L2((0T)V) ⋂ Linfin((0T)H) Istzusaumltzlich partΩ isin Cinfin so ist u isin Linfin((0T)H2(Ω)3) (ohne Beweis)
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Lukas Koumlhler
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
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Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
14 DruckInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Bemerkung 1Die Regularitaumltsaussagen des vorausgehenden Satzes fuumlr partupartt sind zu schwachum eine Fehlerabschaumltzung der Ordnung 2 oder houmlher fuumlr Zeitdiskretisierungender instationaumlren Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten
Bemerkung 2
u sei schwache Loumlsung definiere U(t) = int[0t] u(s)ds b(t) = int[0t] B(u(s))ds amp F(t)= int[0t] f(s)ds U b F isin C([0T]Vlsquo)Mit (2) folgt ν a(U v) = langg vrang forall v isin VMit g = F ndash b ndash u(t) + u0 isin C([0T]Vlsquo)Es exist q(t) isin L2(Ω) nablaq(t) = g + ν∆U nablaq isin C([0T]H-1(Ω)) q isin C([0T]L2(Ω))Dies laumlszligt sich im Distributionssinn bzgl t ableiten fuumlr p = partqpartt erhaumllt mannablap = f ndash B(u) ndash partupartt + ν∆u Nun folgt p isin L2((0T) L2(Ω)) amp somit ist p der gesuchte Druck in (1)
Lukas Koumlhler
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
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2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
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Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
1X Das Millenium ProblemInstationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Betrachte (1) eine schwache Loumlsung fuumlr (1) ist nur dann physikalisch sinnvollwenn gilti) p u isin Ω x [0infin)ii) intℝn |u(x t)|2 lt C forall t ge 0
Das Millenium ProblemSei ν gt 0 und n = 3 Sei u0(x) ein glattes divergenzfreies Vektorfeld welches dieBedingung () erfuumlllt Nehme an daszlig f(xt) identisch null ist Dann existieren glatteFunktionen p(xt) ui(xt) auf ℝ x [0infin) welche (1) erfuumlllen und physikalisch sinnvollsind() |partαu0(x) partx| le CαK(1 + |x|)-K auf ℝn fuumlr irgendwelche α KAnmerkungIn zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit laumlngerem geloumlst Im dreidimensionale Fall weiszlig man allerdings dass wenn man die Forderung [0infin)aufgibt und fuumlr kleine T auf [0T) uumlbergeht dann existieren Loumlsungen Unter guumlnstigen Annahmen laumlszligt sich auch die Existenz von schwachen Loumlsungen zeigen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
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1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
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- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
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2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
109
1000
1000
1000
Diskretisierung
der
Zeit
Uniformes Gitter zurApproximation eines Kubikmeters mit einerSchrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeitin 1000 SchritteKomplexitaumlt 1012
Loumlsung durch trade-offzwischen Rechenzeitamp Speicherkapazitaumlt
(num Loumlsungsstrategie)
1012
1m3 1m3 x 1min
Bsp (i j k) forall i j k double (i j k p) forall i j k p double sim 24 Gigabyte sim 32 Terabyte
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
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Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
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Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
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Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
Strategie 1 Linien Methode Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt Dieses AWP wird schlieszliglich uumlber jedem Zeitschritt betrachtet
Strategie 2 Raum Zeit Finite Elemente Orts- amp Zeitvariable werden gleichzeitigdiskretisiert
Insbesondere Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung amp Diskretisierungerfolgen gewissermaszligen in einem Schritt
Problem Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhoumlht sich die Dimension eine schwache Loumlsung wird nun auf Ω x (0 T) gesucht fuumlr Ω sub ℝn n isin 23 Es sind nunpartupartt und (u nabla)u stabil zu diskretisieren bzw zu linearisieren
Ziel Einbeziehung der bekannten konformen Methode
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2)Finde uh isin L2([0T]Vh) so daszlig forall vh isin C1([0T]Vh) gilt
-int[0T] (uh partvhpartt) + νint[0T] a(uhvh) + int[0T] N(uhuhvh)
= int[0T] (fvh) +(u0vh(0))
Vorbem
Schritt 1
Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seien (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume SetzeVh = uh isin Xh sub X sub H0
1(Ω)n | intΩ ph div uh = 0 forall ph isin Mh
(4)
Schritt 2 Sei uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) dann ist (4) bzgl t partiell integrierbar(4) hArr Finde uh isin C1((0T)Vh) ⋂ C([0T]Vh) mit uh(0) = u0h
(partuhpartt vh) + 2νa(uh vh) + N(uhuhvh)= (f vh) forall vh isin Vh t isin (0T)Bem Beachte die unrealistisch starken Regularitaumltsvoraussetzungen
21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
(4)
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Definiere Operatoren Ah Bh Vh rarr Vh durch(Ah uh vh) = a(uh vh)(Bh(uh) vh) = N(uhuhvh)
So laumlsst sich (4) umschreiben als gewoumlhnliches nicht lineares AWPuh = Fh(uh) = f ndash ν Ah uh ndashBh(uh)uh(0) = u0h
Schritt 3
Schritt 4 bull Dieses AWP laumlsst sich mit den uumlblichen Methoden bewaumlltigenbull Ah hat Kondition O(h-2)bull Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ le ch2 fuumlr eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden
21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
(5)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
Fuumlr (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τuh
0= u0h
1τ (uhn+1 ndash uh
n) = Ɵ (f n +1 ndash ν Ah uhn +1 ndashBh(uh
n +1) +(1 - Ɵ) (f n ndash ν Ah uh
n ndashBh(uhn)
bzw uh
0= u0h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh
n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 ndash Ɵ) (f n ndash ν Ah uhn ndashBh(uh
n)
Ɵ-Schema allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Die Naumlherung uhn +1 fuumlr uh((n+1) τ) ist also Loumlsung der diskreten stationaumlren
Navier-Stokes Gleichung(uh
n +1) + τƟ ν a(uhn +1 vh) + τƟ N(uh
n +1 uhn +1 vh) = (gn +1vh) forall vh isin Vh
Dieses Problem ist zB durch Fixpunktiteration das Newton-Verfahren zu loumlsenLukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
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22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
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22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Setze fuumlr 1 le j le Nτ amp Ɵ isin [01] 1τj-1 (t ndash tj-1) fuumlr tj-1 le t le tj
λj(t) = 1τj (tj+1 ndash t) fuumlr tj le t le tj+1
0 sonstbj(t) = 4τj
2 (t ndash tj)(tj+1 ndash t)λj
Ɵ(t)= λj(t) + 32 (Ɵ ndash 12) (bj(t) ndash bj-1(t))
Schritt 1
Vorbem
Unterteile [0T] durch 0 = t1 lt t2 lt hellip lt tNτ lt tNτ+1
= Tamp setze fuumlr 1 le j le Nτ Jj = [tj tj+1] τj =tj+1 ndash tj
forall tj sei Тh affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilungen von ΩVj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Bem Die Funktionen bj und λj sind die stetigen stuumlckweise linearen nodalenBasisfunktionen zur Unterteilung von [0T]Mit der Simpsonregel int[tj-1tj]
λjƟ(t)dt = (1 ndash Ɵ) τj-1
int[tjtj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautetFinde u hτ isin Sτ
k-1(Vh(τ)) so dass forall vhτ isin SτƟk0(Vh(τ)) gilt
-int[0T] (uhτ partvhτpartt) + νint[0T] a(uhτvhτ) + int[0T] N(uhτuhτvhτ) = int[0T] (f vhτ) +(u0vhτ(0))
Vorbem
Schritt 2
Sτk-1(Vh(τ)) =span χ τj
(t) tμ vj(x) | 0 le μ le k 1le jle Nτ vj isin Vj
SτƟ10(Vh(τ))=span λj
Ɵ(t) vj(x) | 1 le j le Nτ vj isin VjSτ
Ɵk0(Vh(τ))= SτƟ10(Vh(τ))
oplus span bj(t) tμ wj(x) | 0 le μ le k ndash2 1 le j le Nτ wj isin VjSτ
k-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen welche stuumlckweisePolynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj sindFunktionen in Sτ
Ɵk0(Vh(τ)) sind global stetig verschwinden zur Zeit TUnd sind stuumlckweise Polynome vom Grad le k mit Koeffizienten in Vj
(6)
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
k = 0 uhj = u hτ auf Jj fuumlr 1 le j le Nτ amp vhτ= λj
Ɵ(t)vj
rArr uh0 = uh0
und (uhj ndash uh
jndash1 vj) + Ɵτjν a(uhjvj) + Ɵτj N(uh
juhjvj)
+(1 ndash Ɵ)τjndash1ν a(uhjndash1 vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1 N(uh
jndash1uh jndash1vj)
= int[tjndash1tj+1] λjƟ(t) (f vj)
sim Ɵτj (f j vj) + (1 ndash Ɵ)τjndash1(f jndash1 vj)
Schritt 1
Schritt 2
(6) hArr sumj (uhτ(tj + 0) ndash uhτ(tj ndash 0) vhτ(tj))
+int[tjtj+1] (uhτpartvhτpartt) + νint[tjtj+1] a(uhτvhτ) + int[tjtj+1] N(uhτuhτvhτ)
= sumj int[tjtj+1] (fvhτ) 1 le j le Nτ
(7)
In Operatorschreibweise uh0 = uh0
uhj + ƟτjνAhuh
j + ƟτjBh(uhj) = uh
jndash1 + τjƟ f j + τjndash1(1 ndash Ɵ) (f jndash1 ndash νAhuh
jndash1 ndash Bh(uhjndash1)
Schritt 3
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Vorbem Тh sei affin aumlquivalente zulaumlssige regulaumlre Unterteilung von Ω weiterhin seinen (Xh Mh) stabile Paare zugehoumlriger Finite Element Raumlume fuumlr Geschwindigkeit amp Druck Vh sei der Raum der diskret divergenzfreien GeschwindigkeitsfelderXh sei Lagranger`scher Finite Element Raum dh exist nodale Basis(Gitterpunkte xi)Aus dem Transport-Theorem folgt daszlig partupartt + (u nabla)u die totale zeitlicheAbleitung entlang den Trajektorien ist somit den Transport entlang den Charakteristiken beschreibt Die Naumlherung uh
n+1 fuumlr uh(tn+1) ergibt sich aus uhn fuumlr uh(tn) wie folgt
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode Diewesentliche Idee ist die Ruumlckfuumlhrung des konvektiven Terms (u nabla)u und der partiellen Ableitung partupartt auf die Materialableitung Das Charak-teristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten
Bem
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
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- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
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23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 2 Diffusions SchrittLoumlse das diskrete Analogon des Stokes Problems1(tn+1 ndash tn) (un+1 - u(y(tn)tn) - ν∆un+1 + nablapn+1 = f(tn+1) in Ω
div un+1 = 0 in Ω un+1 = 0 auf partΩ
Es wird also der Termpartpartt uh(xitn+1) + (uh(xitn+1)nabla)uh(xitn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert 1(tn+1 ndash tn) (uh(xitn+1) - uh(yi(tn)tn)
Transport Schritt Loumlse fuumlr jeden Gitterpunkt xi das gewoumlhnliche AWP
ddt yi(t) = uhn(yi(t)) fuumlr tn lt t lt tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 1
Lukas Koumlhler
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24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
Lukas Koumlhler
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
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- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
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- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
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Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
Transport-Diffusions
Algorithmus
Raum ZeitFinite Elemente
Linien Methode
Merkmale Vorteile Nachteile
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Semidiskretbull Zeitpunktbetrachtungbull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(1partt h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Komplette Historiebull Nichtlineares AWP
bull Komplexitaumlt O(h-3)bull Diskretisierung in Ort amp Zeitbull Zeitpunktbetrachtungbull Lineares AWP
+ Geringe Komplexitaumltndash Fehleranalyse schwierig ndash starke Regularitaumlt benoumltigtndash m Stokes Prob Zeitschritt
+ Fehleranalyse leicht (relativ)ndash Sehr hohe Komplexitaumlt
+ Stabil (groszlige Reynoldszahlen)+ Geringe Komplexitaumlt+ Ein Stokes Prob Zeitschritt ndash Aufwendige Implementierung
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24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
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Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
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- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
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-
24 Zusammenfassung Ausblick
partupartt - ν∆u + nablap + (u nabla)u = f in Ω x (0 T)div u = 0 in Ω x (0 T)u = 0 auf partΩ x (0 T)u(0) = u0 in Ω
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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1 Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch dieZeitabhaumlngigkeit der instationaumlren Gleichungen
3 Entwicklung numerischer Loumlsungsstrategien durch Varierender Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
2 Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw realitaumltsfernen Voraussetzungen an die Regularitaumlt (bdquoworst caseldquo)
Koumlnnen jetzt die bekannten Methoden nutzen
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
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24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
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Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
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- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
24 Quellen amp Referenzen
1 Skript Numerische Stroumlmungsmechanik Prof Dr R Verfuumlrth Ruhr-Universitaumlt Bochum
2 Lineare FunktionalanalysisProf H W Alt Springer
3 Finite ElementeProf Dr D Braess Springer
4 Dissertation Zeitabhaumlngige gewichtete a posteriori-Fehlerschaumltzer Dr M Metscher Rheinische Friedrich-Wilhelms Universitaumlt Bonn
5 Numerik partieller DifferentialgleichungenProf Dr P Knabner Prof L Angermann Springer
Lukas Koumlhler
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
- 24 Zusammenfassung Ausblick
- 24 Quellen amp Referenzen
- Backup 1 ndash Transport Theorem
-
Instationaumlre inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Seminar Finite Elemente fuumlr stroumlmungsmechanische Probleme
Backup 1 ndash Transport Theorem
Transport TheoremSei f Ω x (0 infin) rarr ℝ hinreichend oft differenzierbar Dann gilt fuumlr jedes Volumen V in Ωddt intV(t) f(xt) dx = intV(t) [ partpartt f(xt) + div(fv)(xt) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr M A Schweitzer
Lukas Koumlhler
- Instationaumlre Inkompressible Navier ndash Stokes Gleichungen
- Loumlsungsansaumltze zu Instationaumlren Inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
- 11 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
- 11 Entwicklung einer Loumlsungsstrategie
- 11 Die Instationaumlren Inkompressiblen Navier - Stokes Gleichungen Formulierung Herleitung Bedeutung
- 11 Vorbemerkungen amp Definition Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen
- 12 Existenz Schwacher Loumlsungen - Beweis
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (1)
- 13 Eindeutigkeit Schwacher Loumlsungen ndash Beweis (2)
- 14 Regularitaumlt Schwacher Loumlsungen
- 14 Druck
- 1X Das Millenium Problem
- 2 Diskretisierung der Zeit Grenzen der Technik
- 2 Aufgabenstellung amp Numerische Loumlsungsstrategien
- 21 Linien Methode ndash Diskretisierung des Ortes
- 21 Linien Methode ndash Aufstellung des gewoumlhnlichen AWP
- 21 Ɵ-Schema ndash Diskretisierung der Zeit
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
- 22 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
- 22 Ruumlckfuumlhrung auf das Ɵ-Schema
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
- 23 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
- 24 Vergleich der verschiedenen Loumlsungswege
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