Hydraulik I

Ideale Fluide

Kontinuität Impulssatz Energiesatz

W. Kinzelbach

Hydrodynamik idealer Fluide

Instationär v(x,t), p(x,t) ungleichförmigStationär v(x), p(x) gleichförmig

Stromlinie: In jedem Punkt tangential zu Geschwindigkeitsfeld Stromröhre: Mantel besteht aus StromlinienBahnlinie: Trajektorie eines FüssigkeitsteilchenStreichlinie: Verbindungslinie aller Teilchen, die einen festen

Punkt passiert haben

Differentielle Betrachtung

Betrachtung amKontrollvolumen

Hydrodynamik idealer Fluide

Bei stationärer Strömung sind Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien identisch.

Stromlinien in instationärer Strömung

Zeit

Geschwindigkeit

x

yt1 t2 t3

t1t2t3

Bahnlinien in instationärer Strömung

Zeit

Geschwindigkeit

x

yt1 t2 t3

t1t2t3

Streichlinien in instationärer Strömung

Zeit

Geschwindigkeit

x

yt1 t2 t3

t1t2t3

Stromlinien, laminare Strömung

Laminar-turbulent

Ablösung

Hydrodynamik idealer Fluide

Bahnlinien inWellen

Kontinuitätsgleichung(Differentiell)(1)

( )gespeicherte Masse Massenfluss Massenflussraus rein 0

0)()()(

z

v

y

v

x

v

tzyx

Kontinuitätsgleichung(Differentiell)(2)

0z

v

y

v

x

v zyx

= constant

0 v Inkompressibilitäts-

bedingung

Kontinuitätsgleichungan Kontrollvolumen

Stationäre Verhältnisse: ausauseinein vAvAQ

Kontrollvolumen (geschickte Wahl: Stromlinien senkrecht oder parallel zum Rand)

Impulssatz (Differentiell)(1)

Dv

Dta fi

Lagrange‘sche Betrachtung (im mitbewegten Koordinatensystem)

Dt

vDv

z

vv

y

vv

x

v

t

v

dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

t

vtxta

eunigungBahnbeschltxta

indigkeitBahngeschwtxtv

Bahnkurvetztytxtx

zyx

))(,(

))(,(

))(,(

))(),(),(()(

Impulssatz (Differentiell)(2)

Lokale Beschleunigung

Advektive Beschleunigung zyx vz

vv

y

vv

x

v

t

v

Impulssatz (Differentiell)(3)

ifaDt

vD

fi Kraft pro Volumeneinheit

Bei idealem Fluid nur Druck- und Gewichtskraft

Druckkraft/Volumen

Schwerkraft/Volumen

pfDruck

gf tSchwerkraf

Impulssatz (Differentiell)(4)

gp

vvt

v

)(

Eulersche Bewegungsgleichung

zgg ),0,0(mit

Phgzg

pgvv

t

v

)()(

Zusammen mit Kontinuitätsbedingung 4 Gleichungen für 4unbekannte Funktionen p (bzw. hp) und vx,vy,vz

+ A.B.+ R.B.

Unterschiede in hp

treiben die Strömung an

Anwendung

Niveaufläche des Drucks:

0

sdpdzz

pdy

y

pdx

x

pdp

Mit Eulergleichung:

0)( sdzgasdp

Beispiel 1:

a

gaa

dx

dzgeneigt henNiveaufläc)0,0,(

Beispiel 2:

konstantza henNiveaufläc0

Anwendung

Beispiel 3:

Niveaufläche: Rotationsparaboloid

Impulssatz (am Kontrollvolumen)

F

dI

dti 0Newton:

Impulsfluss im Eintrittsquerschnitt

= Impulsfluss im Aus- trittsquerschnitt

Q = Durchfluss = v A

Äussere Kräfte:

pA = Druckkräfte K = Mantelkräfte G = Gewicht

1I

2I

Bernoulligleichung (verlustfrei)

Energiehöhe = Energie pro Gewichtseinheit des Fluids

Gesamtenergie eines Fluidvolumens =Lageenergie + Druckenergie + kinetische Energie

)2

(2

g

v

g

pzMgE

g

vh

g

v

g

pzH P 22

22

Satz von Bernoulli: H1 = H2

Bernoulligleichung (verlustfrei)

Herleitung aus Eulergleichung

)(2

)(2

vvv

vv

)(2

02

vvg

vz

g

pg

mit

und Stationarität der Strömung

Bernoulli gilt in rotationsfreier Strömung zwischenzwei beliebigen Punkten sonst zwischen zwei Punkten auf einer Stromlinie

Bernoulli am Kontrollvolumen

Behälterauslauf

H1 = H2

Strahl gegen Wand

Strahlumlenkung

Doppelte Kraftübertragung

Querschnittserweiterung

Borda-Öffnung

Gesucht: Kontraktionskoeffizient cc=A2/A1

Horizontaler Krümmer

Gesucht: Reaktionskraft W