Bernard Ksiazek

Oberfl äche und Volumen von Prisma und ZylinderDifferenzierte Aufgaben zum Üben und Festigen für das Gymnasium

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aus dem Originaltitel:

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Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag 1

Dass eine der wichtigsten Ziele des Mathematikunterrichts darin besteht, die Schüler1 dazu zu befähi-gen, Mathematik anzuwenden, ist wohl ebenso unumstritten wie die Tatsache, dass dies ein relativ schwieriges Unterfangen ist. Dies geht erfahrungsgemäß am besten, wenn Sie Ihren Lerngruppen An-wendungsaufgaben aus dem Alltag anbieten können. Und dies fällt bei dem Thema „Flächen und Volu-men von Figuren und Körpern“ eigentlich nicht besonders schwer, da diese Thematik fest in unseren Lebensalltag integriert ist. Wir brauchen diese Thematik, um viele alltägliche Situationen zu beschreiben bzw. zu hinterfragen. Es gibt wohl kein Thema im Mathematikunterricht, dass sich so nah an der Umwelt und am gegenwärtigen und zukünftigen Alltag der Schüler orientiert. Das Thema findet sogar seinen eigenen Platz in den ma-thematischen Leitideen der KMK Bildungsstandards für Mathematik. Weiterhin ist das Thema hervorragend geeignet, um die entsprechenden mathematischen Kompeten-zen („Argumentieren“, „Problemlösen“, „Modellieren“, „mathematische Darstellungen verwenden“, „mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen“ und „Kommunizieren“) bei jedem Schüler auszu-bauen.Ziel der vorliegenden Veröffentlichung ist es, alle wesentlichen Inhalte der Größenthematik für die Klas-sen 7 bis 10 zu erarbeiten, zu üben und zu vertiefen. Dabei sollen vor allem auch zahlreiche oben er-wähnte mathematische Kompetenzen bei den Schülern ausgebaut werden. Bei der Konzeption der Arbeitsblätter wurde in allen Kapiteln eine besondere Akzentuierung auf den Aufbau von Größenvorstellungen gelegt. Diese Größenvorstellungen werden durch Übung und Anwen-dungen permanent ausgebaut und gefestigt. Innerhalb der vorliegenden Kopiervorlagen werden unter-schiedliche Leistungsniveaus angeboten. Jeder Aufgabe wurden die drei Kompetenzklassen bzw. An-forderungsbereiche der Bildungsstandards zugeordnet2:

Anforderungsbereich I: ReproduzierenDieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang.

Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellenDieses Niveau umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebie-ten erworben wurden.

Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und ReflektierenDieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Pro-blemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu ge-langen.

Die entsprechende Angabe befindet sich in Klammern hinter jeder Aufgabe. Dabei steht „R“ für den Bereich „Reproduzieren“, „Z“ für den Bereich „Zusammenhänge herstellen“ und „V“ für den Bereich „Verallgemeinern und Reflektieren“.

Das Symbol bedeutet, dass die Schüler die Aufgabe im Heft oder auf einem Extrablatt lösen sollen.

Wir wünschen Ihnen viel Freude und Erfolg beim Einsatz dieses Buches.

Bernard KsiazekMarco BettnerErik Dinges

1 Der Einfachheit halber verwenden wir hier die verallgemeinernde Form. Selbstverständlich sind auch alle weiblichen Personen angespro-chen.

2 www.kmk.org/schul/Bildungsstandards/Mathematik_MSA_BS_04-12-2003.pdf

Vorwort

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2Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Aufgabe 1 (Z)

Gib die Eigenschaften eines Prismas an.

Aufgabe 2 (R)

Zeichne ein Prisma mit einer rechteckigen und einer dreieckigen Grundfläche.

Aufgabe 3 (Z)

Bei welchen Gegenständen handelt es sich um Prismen?

Eigenschaften Prisma 1

Aufgabe 4 (Z)

Überlege und beantworte die folgenden Fragen.

a) Wie viele Flächen besitzt ein trapezförmiges Prisma?

b) Wie viele Flächen besitzt ein fünfeckiges Prisma?

c) Wie viele Flächen besitzt ein quadratisches Prisma?

lt es sich um Prismen

Aufgabe

Bei welche

3 (Z)

dfläc

3Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Netze von Prismen 2

Aufgabe 1 (Z)

Betrachte die verschiedenen Abwicklungen. Welche Abbildung zeigt das Netz eines Prismas? Begründe.

a) b) c)

d) e) f)

Aufgabe 2 (Z)

Zeichne das Netz eines Prismas mit einer sechskantigen Grundfläche. Markiere im Anschluss die Grundflächen blau und die Mantelfläche rot.

Aufgabe 3 (V)

Songül und Tim sollen alle möglichen Abwicklungen eines dreieckigen Prismas herausfinden.Hilf ihnen, die letzten beiden Möglichkeiten herauszufinden.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantendflä

äche he.

lfläche rot.nscheines Prismas m

uss die Grundfleine

f)

4Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Oberflächenberechnung – Prisma 1 3

Aufgabe 1 (R)

a) Gib die Formel für die Oberflächenberechnung eines Prismas an.

b) Worin unterscheidet sich die Formel für die Mantel- oder Oberflächenberechnung?

Aufgabe 2 (Z)

Berechne die Oberflächen der Prismen. Alle Größen sind in cm angegeben.

a) b) c)

d) e) f)

Aufgabe 3 (Z)

Gegeben ist ein Prisma mit quadratischer Grundfläche a = 3,4 cm und der Körperhöhe h = 5 cm. Berechne die Oberfläche.

Aufgabe 4 (Z)

Berechne die Oberfläche eines Prismas mit einem Dreieck als Grundfläche und der Körper-höhe h.

a = 15 cm, b = 13 cm, c = 14 cm; hc = 12 cm; h = 5,3 cm

6,7

6,7

5,2

5,2

5,2

6,0

3,2

5,0 14,04,6 5,0

4,4

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8,6

22,2 22,210,0 12,0

6,0

7,5 4,8

11,0 7,0 5,0 5,0 5,4

abe 3 (Z)

en ist

0

22,2 1,7

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5,0

d)

0,0

6,0

eben.

5Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Aufgabe 1 (Z)

Skizziere die Grundfläche des Prismas und berechne die Oberfläche.

a) Dreieckige Grundfläche: a = 6 cm, b = 7 cm, c =7,5 cm; ha = 6,58 cm; h

K = 4,7 cm

b) Dreieckige Grundfläche: a = 42 cm, b = 34,5 cm, c = 45 cm; hc = 30 cm; h

K = 52,5 cm

Aufgabe 2 (Z)

Berechne die fehlenden Größen der Prismen mit einer rechteckigen Grundfläche. Runde sinnvoll.

a) b) c) d) e) f)

a 6,7 cm 6,5 dm 11 cm 2,3 m 0,6 cm

b 3,2 cm 2,4 dm 9,5 cm 2,4 m 1,9 cm

h 5,1 cm 23,8 cm 18,4 m 5 m 3 cm

OP 280,4 dm2 374,44 m2 77,28 m2

Aufgabe 3 (Z)

Berechne die Oberfläche eines Prismas mit einem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche.

a = 9,4 cm, ha = 81,4 cm; h = 127 cm

Aufgabe 4 (Z)

Berechne die Oberflächen der vorgegebenen Prismen und gib die Mantelfläche gesondert an.

a) b)

Oberflächenberechnung – Prisma 2 4

hab

hl

d

a

c

ha

hl

b

a

c

a = 12 mb = 5 mc = 12 md = 5 mh

a = 4,5 m

hl = 40 m

a = 5 cmb = 4,12 cmc = 5,65 cmh

a = 4 cm

hl = 8 cm

hne die

(Z)

e Oberflächen d

m

em regelmäßige Sec

77,2

m

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3 cm

Berechn

a = 9,4 cm

Z)

die Oberflä

ha = 81,4

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dm2

,

3,8 cmm 18,

e)

6Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Aufgabe 1 (R)

a) Gib die Volumenformel für ein Prisma an.

Aufgabe 2 (Z)

Berechne das Volumen des Dreieckprismas.

a) Bestimme durch Abzählen, wie groß die Grundfläche ist.

b) Schätze den Volumeninhalt mithilfe der Kästchen und berechne die Lösung im Anschluss.

c) Wie groß ist das Volumen, wenn sich die Grundseite und die Höhe verdoppelt?

Aufgabe 3 (Z)

Berechne das Volumen des Dachraumes.

Aufgabe 4 (Z)

Berechne das Volumen eines Prismas mit einer quadratischen Grundfläche, wenn die Körper-höhe h = 3,6 dm und a = 12,5 m ist.

Aufgabe 5 (Z)

Gegeben ist ein Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche und der Körperhöhe h. Berechne das Volumen.

a = 125 dm, b = 9,4 m, hb = 11,3 m; h = 87 cm

Volumenberchnung – Prisma 1 5

9 cm

5 m

8,9 m

8,6 m

7,0 m10,5 m

16 m

4,2 m

echne dah = 3,6 dm

(Z)

Volumen em und

16 m

8,9 m

achraumes.

9 cm

7Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Aufgabe 1 (Z)

Berechne das Volumen der verschiedenen Prismen.

a) b) c)

Aufgabe 2 (Z)

Berechne von einem quadratischen Prisma die Größe der Grundfläche und die Seitenlänge a.Das Volumen beträgt 241 m3 bei einer Prismahöhe von h

p = 14,2 m.

Aufgabe 3 (Z)

Der Flächeninhalt der Grundfläche eines Prismas beträgt 450 cm2. Das Volumen beträgt 12 600 cm3. Berechne die Höhe des Prismas.

Aufgabe 4 (Z)

Berechne die fehlenden Größen eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche .

a) b) c) d) e) f)

a 11 cm 8 m 1,25 cm 3,7 dm 24,8 m

ha 5,6 cm 2,7 m 9 dm 6,2 cm

hP 25 cm 9,1 cm 16,1 dm 17 cm 13 m

VP 205,2 m3 27,3 m3 521,73 cm3 2 901,6 m3

3,5 cm3,5 cm

2,5 cm 2,5 cm

Volumenberechnung – Prisma 2 6

45° 45°

0,5 cm

4 cm

8 m

6,6 m

17,3 m

12 m

abe 4

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(Z)

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eines Prisms Prismas.

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und die Seittenlänge a

Aufgabe

Der Fläche12 600 cm

3 (Z)

Prismaeiner Prism

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röße der

3 m

8Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Aufgabe 1 (Z)

Die Oberfläche eines Prismas beträgt 158 m2. Das Volumen beträgt bei einer Höhe von h = 6 m 150 m3. Berechne die Grundfläche und die Mantelfläche.

Aufgabe 2 (V)

Ein Prisma hat insgesamt fünf Flächen und ist 5 cm hoch. Drei Flächen haben den gleichen Flächeninhalt von 12,5 cm2.

a) Um welche Art von Prisma handelt es sich?

b) Berechne ausreichend viele weitere Größen, damit du den Flächeninhalt der übrigen Flächen berechnen kannst.

c) Skizziere das Prisma als Schrägbild und als Netz.

Aufgabe 3 (Z)

a) Betrachte das Netz des Prismas.Um welche Art eines Prismas handelt es sich?

b) Berechne die Oberfläche und das Volumen.

Aufgabe 4 (Z)

a) Berechne das Volumen und die Oberfläche des ursprünglichen Prismas.

b) Wie groß ist das Volumen des Hohlraumes?

c) Um wie viel Prozent hat sich das ursprüngliche Volumen des Prismas verändert?

Aufgabe 5 (Z)

Bestimme die Ecken, Kanten und Flächen eines 17-seitigen Prismas.

Vermischte Aufgaben Prisma 7

4 m

8 m

24 m

12 m

16 m

5 cm5 cm 3 cm

3 cm

1 cm

m wie volumen de

Pr

ist das Vol

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Aufgabe

B

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des Prismaeines Prismas h

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9Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Eigenschaften Zylinder 8

Aufgabe 1 (R)

a) Zeichne in das Kästchen ein Schrägbild eines Zylinders und beschrifte ihn.Grundfläche, Deckfläche, Mantel, Höhe, Radius

b) Beschreibe mit deinen eigenen Worten die Eigenschaften eines Zylinders.

Aufgabe 2 (Z)

Max hat verschiedene Zylindernetze in sein Heft gemalt. Leider hat er einige Fehler gemacht.Welche Netze hat er falsch gezeichnet und warum? Begründe.

a) b) c) d)

Aufgabe 3 (V)

Katharina besitzt zwei zylinderförmige Dosen. Sie stellt fest, dass die eine Dose doppelt so breit ist wie die andere, aber auch nur halb so hoch.

a) Zeichne eine Skizze.

b) Wie verhalten sich die Volumina und die Oberflächen der beiden Dosen zueinander. Begründe.

Aufgabe 4 (Z)

Wo findest du in deiner Umwelt zylinderförmige Körper? Zähle mindestens 5 auf.

wie d

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10Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Oberflächenberechnung – Zylinder 1 9

Aufgabe 1 (R)

Beschreibe mit deinen eigenen Worten den Unterschied zwischen der Mantel- und Oberfläche eines kreisförmigen Zylinders und gib die jeweiligen Formeln an.

Aufgabe 2 (R)

Berechne die Mantelfläche und die Oberfläche des Zylinders.

a) r = 5 cm b) r = 3,2 cm c) d = 7,4 dm d) r = 14,3 m h = 12 cm h = 16 cm h = 24 dm h = 9,6 m

e) d = 2,2 dm f) r = 31,8 cm g) d = 12 m h) r = 18,9 cm h = 8 dm h = 25 cm h = 45 m h = 28,8 cm

Aufgabe 3 (Z)

a) Eine Plakatsäule ist 2,9 m hoch und hat einen Durchmesser von 1,6 m. Wie groß ist die Fläche, die beklebt werden kann?

b) Eine weitere Plakatsäule soll eine Klebefläche von 11,93 m2 haben. Welchen Radius muss die Säule haben, wenn sie 2,6 m hoch ist?

Aufgabe 4 (Z)

Wie viel Blech wird zur Herstellung von 1000 Konservendosen benötigt, wenn diese 15 cm hoch sind und einen Durchmesser von 8,5 cm haben?

Berechne für den Verschnitt 12 % hinzu.

Aufgabe 5 (Z)

Berechne den Radius des Zylinders mit der Mantelfläche AM = 366,7 m2 und der Höhe

h = 7,1 m.

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g)

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11Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Aufgabe 1 (V)

a) Wie verhält sich die Mantelfläche eines Zylinders, wenn die Höhe verdoppelt wird?

b) Wie muss der Radius des Zylinders in Abhängigkeit zur Aufgabe a) angepasst werden, damit die Mantelfläche gleich groß bleibt?

c) Der Oberflächeninhalt eines Zylinders kann verdoppelt werden, wenn man die Höhe ver-dreifacht. Stimmt diese Aussage? Belege deine Aussage durch ein Beispiel.

Aufgabe 2 (Z)

Berechne die fehlenden Größen.

a) b) c) d) e) f)

r 10,8 cm 2 dm 0,51 cm

d 13,6 m 8,8 m

h 11 dm 6,39 cm 14,5 m

AM 563 cm2 48 cm2

AO 777,6 m2 288 cm2

Aufgabe 3 (Z)

Ein liegender Autoreifen hat folgende Maße: d = 38,10 cm; h = 18 cm. Ein Reifen von einem Traktor besitzt hingegen einen Durchmesser d = 86,36 cm und eine Höhe von h = 42 cm.

a) Berechne von beiden Reifen die Mantelfläche.

b) Um wie viel Prozent ist die Mantelfläche vom Autoreifen kleiner?

Aufgabe 4 (Z)

Ein Fass hat eine Mantelfläche von AM = 56,7 m2 und eine Höhe von h = 2,85 m.

Berechne den Durchmesser und die Oberfläche.

Oberflächenberechnung – Zylinder 2 10

beid

to

en Re

de Maße: d zt hingegen e

= 38

288 c 2

4,5 m

48

Aufgabe

Ein liegenEin Reif

3 (Z)

777,6 m

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e)

12Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Volumenberechnung – Zylinder 1 11

Aufgabe 1 (V)

Leite dir die Formel für die Volumenberechnung eines Zylinders ab.

a) Zeichne eine Skizze, mithilfe derer du die Volumenformel näherungsweise bestimmen kannst.

b) Gib die Formel an:

Aufgabe 2 (R)

Berechne das Volumen des Zylinders.

a) r = 8 cm b) r = 14,5 cm c) d = 7,6 dm d) d = 38,4 cm h = 25 cm h = 9 cm h = 12,8 dm h = 45 cm

e) r = 9 m f) d = 27 cm g) r = 55,3 cm h) d = 11,1 m h = 14 m h = 19,1 cm h = 123 cm h = 7,5 m

Aufgabe 3 (Z)

Ein Gärtner hat in seinem Garten eine zylindrische Regentonne, die drei Mal so hoch wie breit ist. Ihr Fassungsvermögen beträgt max. 500 l Wasser.

a) Wie hoch und wie breit ist sie?

b) Wie hoch würde das Wasser stehen, wenn die Tonne mit 450 l Wasser befüllt wäre?

Aufgabe 4 (Z)

Auf einem Gurkenglas steht: 1 311 ml.

Welche Höhe muss das Glas haben, wenn der Durchmesser 12 cm beträgt?

gabe 3 (Z

tner haas

)

h

f) dh

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m

c)

Aufgabe

Berechne d

a) r = 8 ch

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2 (R)

V

an:

13Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Volumenberechnung – Zylinder 2 12

Aufgabe 1 (R)

Berechne entweder den Radius oder die Höhe des Zylinders.

a) V = 150 m3 b) V = 35 cm3 c) V = 65 133 cm3 d) V = 804,3 dm3

h = 10 m r = 15,6 cm r = 24 cm h = 4 cm

e) V = 56 dm3 f) V = 226 cm3 g) V = 1 391 m3 h) V = 100,53 cm3

d = 12 dm h = 8 cm h = 12,3 m d = 8 cm

Aufgabe 2 (Z)

Ein Vierzylinder hat ein Gesamtvolumen von 1 596 cm3.

Welchen Durchmesser haben die Zylinder des Motors, wenn der Hub 68 mm beträgt?

Aufgabe 3 (Z)

Berechne die fehlenden Größen.

a) b) c) d) e) f)

r 2 cm 14 dm 5 cm

d 100 m 4 dm

h 12,4 cm 7,5 m 180 m 1,2 dm

V 37,7 dm3 6842,4 m3 471 cm3

Aufgabe 4 (Z)

Frau Berger hat sich einen zylinderförmigen Wasserkocher mit einem Fassungsvermögen von 1,5 l Wasser gekauft. Damit der Wasserkocher nicht überkocht, soll das Wasser maximal 4 cm unterhalt der Oberkante stehen.

Welche Höhe muss der Wasserkocher mindestens haben, wenn dieser einen Durchmesser d = 15 cm besitzt?

gabe 4

Berger hatl Wass

Z)

sich

dm

14 d

)

d

h

2 cm

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b)

14

Lösungen

Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Oberflächen- und Volumenberechnung Prisma und Zylinder

1. Eigenschaften Prisma

Aufgabe 1Ein Prisma hat ein Vieleck als Grundfläche und Deckfläche die kongruent zueinander, in der Ebene parallel zueinander verschoben sind. Zusätzlich umgibt ein Prisma die Mantel-fläche.

Aufgabe 2a) b)

Aufgabe 3Die Abbildungen von Würfel, Holzklotz, Radiergummi und Streichholzschachtel zeigen Prismen.

Aufgabe 4a) 6 Flächen b) 7 Flächen c) 6 Flächen

2. Netze von Prismen

Aufgabe 1Die Abwicklungen a), d) zeigen das Netz von einem Prisma. Die anderen Abwicklungen haben entweder zu wenige oder zu viele Flächen oder Flächen, die nicht die richtigen Grö-ßen besitzen.

Aufgabe 2

Aufgabe 3

3. Oberflächenberechnung – Prisma 1

Aufgabe 1a) Formel: O

P = 2 · A

G + A

M

b) Um die Mantelfläche zu berechnen, darf die Grund- und Deckfläche nicht berücksichtigt werden.

Aufgabe 2a) O

P = 212,48 cm2 b) O

P = 61,44 cm2

c) OP = 224,64 cm2 d) O

P = 446,4 cm2

e) OP = 577,92 cm2 f) O

P = 306,4 cm2

Aufgabe 3A

G = 11,96 cm2; A

M = 68 cm2; O

P = 91,12 cm2

Aufgabe 4A

G = 84 cm2; A

M = 222,6 cm2; O

P = 390,6 cm2

4. Oberflächenberechnung – Prisma 2

Aufgabe 1Skizze A

CB a

c b

a) AG = 19,74 cm2; A

M = 96,35 cm2; O

P = 135,83 cm2

b) OP = 7 728,75 cm2

Aufgabe 2a) b) c) d) e) f)

a 6,7 cm 6,5 dm 11 cm 2,3 m 3,6 m 0,6 cm

b 3,2 cm 2,4 dm 9,5 cm 7 m 2,4 m 1,9 cm

h 5,1 cm 14 dm 23,8 cm 18,4 m 5 m 3 cm

OP 143,86 cm2 280,4 dm2 1 184,8 cm2 374,44 m2 77,28 m2 17,28 cm2

Aufgabe 3O

P = 7 621,93 cm2

Aufgabe 4a) A

M = 1 360 m2; O

P = 1 468 m2

b) AM = 118,16 cm2; O

P = 138,16 cm2

5. Volumenberechnung – Prisma 1

Aufgabe 1Formel: V

Prisma = A

G · h

Aufgabe 2a) Die Grundfläche beträgt 8 cm2. (A

G = 1

2 · 4 cm· 4 cm)

b) Individuelle Lösung; Grundlage ist 1 Kästchen 1 cm3: V

Prisma = 72 cm3

c) VPrisma

= 288 cm3

Aufgabe 3a) V

Prisma = 352,8 m3 b) V

Prisma = 130,806 m3

igenAufgab

a)

a 6,7 cm

b

9,74 c7 728,75 c

e 2b

C

; AM =

2

6,35 cm2; O

Die anderenzu viele Flächßen besitzen.

Aufgabe 2

gen a), d) zeigbwicklungen hen oder Fläch

c)

n das Ne

6 Flächen

d

fgabe 1Skizze A

henberech

; OP =

cm2; O = 390

nung – Prismag

15

Lösungen

Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Aufgabe 4V

Prisma = 56,25 m3

Aufgabe 5V

Prisma = 92,41 m3

6. Volumenberechnung – Prisma 2

Aufgabe 1a) V

Prisma = 68,25 m3 b) V

Prisma = 48 dm3

c) VPrisma

= 1 147,2 m3

Aufgabe 2Seitenlänge a = 4,12 m; A

G = 16,97 m2

Aufgabe 3h

K = 28 cm

Aufgabe 4

a) b) c) d) e) f)

a 11 cm 8 m 1,25 cm 3,7 dm 9,9 cm 24,8 m

ha 5,6 cm 2,7 m 4,8 cm 9 dm 6,2 cm 18 m

hP 25 cm 19 m 9,1 cm 16,1 dm 17 cm 13 m

VP 770 cm3 205,2 m3 27,3 cm3 268,07 dm3 521,73 cm3 2 901,6 m3

7. Vermischte Aufgaben Prisma

Aufgabe 1A

G = 25 m2; A

M = 108 m2

Aufgabe 2a) Es handelt sich um ein gleichseitiges Dreiecksprisma.b) a = 2,5 cm; A

M = 37,5 cm2; A

G = 2,71 cm2

c)

Aufgabe 3a) Es handelt sich um ein trapezförmiges Prisma.b) V

Prisma = 27 cm3; O

P = 60 cm2

Aufgabe 4a) V

Prisma = 4 608 m3; O

P = 1 728 cm2

b) VPrisma

= 768 cm3

c) Das Volumen hat sich um 16,67 % verändert.

Aufgabe 534 Ecken, 19 Flächen, 51 Kanten

8. Eigenschaften Zylinder

Aufgabe 1a)

Deckfläche

Mantel

Grundfläche

hk

r

b) Ein Zylinder ist ein Körper. Er besteht aus einer Grund- und Deckfläche, die kongruent zueinander sind. Diese Flächen sind durch die Höhe in der Ebene verschoben und durch die Mantelfläche begrenzt.

Aufgabe 2Die Abbildungen a) und d) sind Netze von Zylindern. Die Abbildung b) ist falsch, da sie nicht zu einem Zylinder faltbar ist. Bei c) sind die Kreise unterschiedlich groß.

Aufgabe 3a)

b) Das Volumen unterscheidet sich um den Faktor 2.

Die Mantelfläche verändert sich nicht, da die Reduktion des Radius durch die Erweiterung der Höhe ausgeglichen wird. Dadurch verändert sich die Oberfläche nur durch die Grund- und Deckfläche.

Aufgabe 4Zum Beispiel: Dosen, Fässer, Plakatsäulen, Münzen, Stra-ßenwalze, Nudelholz, Trommel, Rohre …

9. Oberflächenberechnung – Zylinder 1

Aufgabe 1O

z = 2G + A

M; A

M = 2 · π · r· h

Bei der Mantelfläche werden die Grund- und die Deckfläche nicht mit eingerechnet.

Aufgabe 2a) A

M = 376,99 cm2 b) A

M = 321,70 cm2

Oz = 534,07 cm2 O

z = 386,04 cm2

c) AM = 557,95 dm2 d) A

M = 862,56 m2

Oz = 643,96 dm2 O

z = 2 147,40 m2

e) AM = 55,29 dm2 f) A

M = 4 995,13 cm2

Oz = 62,89 dm2 O

z = 11 348,94 cm2

g) AM = 1 696,46 m2 h) A

M = 3 420,06 cm2

Oz = 1 922,65 m2 O

z = 5 664,48 cm2

Aufgabe 3a) Die Fläche die beklebt werden kann ist 14,58 m2 groß.b) Der Radius beträgt 0,73 m.

be 3delt sich um27 cm3

RadiusDadurchund Deckf

AufgabeZum

lumen

ntelfläche vdurch die Er

verändert säche.

untersc

rändereiteru

heidet sich um

a) Es handeb) a = 2,5 cmc)

sich um ein gleA

M = 37,5 cm2

seit

m3 2 901,6

8 m

8 m

3

gt. Bei c) sind

Aufgabe 3a)

gen a) und dist falsch, da

die Kreise un

Er ruent zhe in d

äche begren

) sind Netze ve nich

16

Lösungen

Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylinder© Persen Verlag

Aufgabe 4Es wird insgesamt 575 728 cm2 Blech benötigt.

Aufgabe 5Der Radius beträgt 8,22 m.

10. Oberflächenberechnung – Zylinder 2

Aufgabe 1a) Die Mantelfläche verdoppelt sich.b) Der Radius muss halbiert werden.c) Die Aussage stimmt nicht. Beispielrechnung individuell.

Aufgabe 2a) b) c) d) e) f)

r 10,8 cm 6,8 m 2 dm 4,29 cm 4,4 m 0,51 cm

d 21,6 cm 13,6 m 4 dm 8,58 cm 8,8 m 1,02 cm

h 8,3 cm 11,4 m 11 dm 6,39 cm 14,5 m 14,98 cm

AM 563 cm2 487,07 m2 138,23 dm2 172,3 cm 400,87 m2 48 cm2

AO 1 295,87 cm2 777,6 m2 163,36 dm2 288 cm2 522,51 m2 49,63 cm2

Aufgabe 3a) Auto: A

M = 2 154,5 cm2; Traktor: A

M = 11 394,93 cm2

b) Sie ist 81,1 % kleiner.

Aufgabe 4d = 6,34 m; O

z = 120 m2

11. Volumenberechnung – Zylinder 1

Aufgabe 1a)

h h

r r

r

Mantelfläche

Grundfläche

b) Vz = A

G · h = π · r 2 · h

Aufgabe 2a) V

z = 5 026,55 cm3 b) V

z = 5 944,68 cm3

c) Vz = 580,67 dm3 d) V

z = 52 115,25 cm3

e) Vz = 3 562,57 m3 f) V

z = 10 935,81 cm3

g) Vz = 1 181 694,59 cm3 h) V

z = 729,77 m3

Aufgabe 3a) Die Regentonne ist 17,89 dm hoch und hat einen Radius

von 2,98 dm.b) Das Wasser würde 16,13 dm hoch stehen.

Aufgabe 4 Das Gurkenglas ist 11,59 cm hoch.

12. Volumenberechnung – Zylinder 2

Aufgabe 1a) r = 2,19 m b) h = 0,046 cmc) h = 35,99 cm d) r = 25,3 dme) h = 0,495 dm f) r = 3 cmg) r = 6 m h) h = 2 cm

Aufgabe 2Der Durchmesser beträgt d = 17,29 cm.

Aufgabe 3

a) b) c) d) e) f)

r 2 cm 50 m 2 dm 3,48 m 14 dm 5 cm

d 4 cm 100 m 4 dm 6,96 m 28 dm 10 cm

h 12,4 cm 7,5 m 3 dm 180 m 1,2 dm 6 cm

V 155,82 cm3 58 904,86 m3 37,7 dm3 6 842,4 m3 738,9 dm3 471 cm3

Aufgabe 4Der Wasserkocher muss mindestens 12,49 cm hoch sein..

= AG · h = π r 2 · h

r Gru

AufgabeDer Wasse.

cm

82 cm3 58 904,

koc

100 m

5 m

6 m3 3

c)

2 d

4 dm 6,9

3 dm

7,29

d) e)

,48 m 14

6 m

b

50

a)

h

ng – Zylinder 1 g y

cm

Au

,) r = 6 m

Aufgabe 2Der Durchme

cm dm

oc

Zyliny

b) h = 0d) r = f)

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Grafi k: Julia Flasche, Marion El-Khalafawi, Fotolia S. 2, 13Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth

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