Drehimpuls, Bohrsches AtommodellWasserstoffatom

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 9. Vorlesung

Noethersches Theorem

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.

Emmy Noether (1882 – 1935)

Ansuchen 1915: Eure Exzellenz

bittet die mathematisch-naturwissenschaftliche Abteilung der philosophischen Fakultät der Göttinger Universität ehrerbietigst, ihr im Falle des Habilitations-gesuches von Fräulein Dr. Emmy Noether (für Mathematik) Dispens von dem Erlaß des 29. Mai 1908 gewähren zu wollen, nach welchem die Habilitation von Frauen unzulässig ist.

Antwort des Ministers 1917: Die Zulassung von Frauen zur Habilitation als Privatdozent begegnet in akademischen Kreisen nach wie vor erheblichen Bedenken. Da die Frage nur grundsätzlich entschieden werden kann, vermag ich auch die Zulassung von Ausnahmen nicht zu genehmigen, selbst wenn im Einzelfall dadurch gewisse Härten unvermeidbar sind.

Kein Zeitpunkt ausgezeichnet – Energieerhaltung Kein Ort ausgezeichnet – Impulserhaltung Keine Richtung ausgezeichnet – Drehimpulserhaltung

Noethersches Theorem

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.

Für reibungsfreie Systeme gilt:

KeplerproblemBei der Lösung des Keplerproblems (Planetenbahnen) können die Erhaltungsgrößen ausgenutzt werden

Impulserhaltung, Aufspaltung Schwerpunkts- und Relativbewegung

Drehimpulserhaltung, 2. Keplersches Gesetz (Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen)

Zeitunabhängige Schrödingergleichung (Relativbewegung)

Zusätzlich: Schwerpunktsbwegung entspricht „freiem Teilchen“

Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms

Die Behandlung des Drehimpulses in der Quantenmechanik ist komplizierterals in der klassischen Mechanik

2d – Winkelanteil der Wellenfunktion entspricht freiem Teilchen, das sich entlang eines Kreises bewegt (Quantisierungsbedingung)

Drehimpulsbewegung

Drehimpulsoperator Lz in 2d

Eigenzustände von Lz in 2d

Das Bohrsche Atommodell liefert die richtigen Eigenenergien des Wasserstoffatoms (Lösungen der Schrödingergleichung sind komplizierter, s.u.)

Quantisierungsbedingung für Drehimpuls

Bohrsches Atommodell

Stabile Bahn … Anziehungskraft = Zentrifugalkraft

Grundzustand : Bohrscher Radius und Rydbergenergie

Bohrsches AtommodellDie Energien für stabile Elektronen-bahnen ergeben sich im BohrschenAtommodell zu

(E0 ist Rydbergenergie)

Im Gegensatz zur klassischen Physik, sind in der Quantenmechanik nicht alledrei Komponenten des Drehimpulses erhalten

Lösung der Schrödingergleichung

Heuristisches Argument : Wären Lx, Ly und Lz des Drehimpulses bestimmt, so wäre die Bewegungs- ebene des Elektrons eindeutig bestimmt. Das wäre im Widerspruch zur Heisenbergschen Unschärferelation.

In der Quantenmechanik sind nur der Betrag L des Drehimpulsessowie Lz erhalten

Drehimpuls (Quantenmechanik)Betrag des Drehimpulses

Projektion des Drehimpulses

Es gilt stets |Lz| < L, somit ist die Bewegungsebene des Elektrons nicht genau bestimmt

DrehimpulszuständeDie Drehimpulsquantenzahl l bestimmt die Zahl der Knoten der Wellenfunktionin Winkelrichtung, ml bestimmt die Zahl der Knoten in Azimuthalrichtung

Drehimpulszuständel=0, keine Knoten („s-Zustand“)

l=1, ein Knoten in x-, y- oder z-Richtung („p-Zustände“)

Drehimpulszuständel=2, zwei Knoten („d-Zustände“)

Drehimpulszustände

WasserstofforbitaleDie Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für das Wasser-stoffatom sind durch 3 Quantenzahlen charakterisiert

Die Energie der Zustände wird ausschließlich durch die Hauptquantenzahln bestimmt (E0 ist Rydbergkonstante)

Gleiches Ergebnis wie Bohrsches Atommodell (Glück)Bezeichnung für unterschiedliche Schalen K (n=1), L (n=2), M (n=3), …

Wasserstofforbitale

Wasserstoffatom (Spektroskopie)Bei optischen Übergängen muß die Energie erhalten bleiben

Spektroskopie erlaubt genaue Bestimmung der Übergangsenergien

Übergänge zwischen verschiedenen Schalen

Elektronen müssen sich in einer der Quantenzahlenn, l, m ( + Spin ) unterscheiden.

Wolfgang Pauli (1900 – 1958)

PauliprinzipZusätzlich zu den Quantenzahlen n, l, m besitzt das Elektron auch einen Spin,in einem Atom mit mehreren Elektronen kann jeder Zustand nur mit einem Elektron besetzt werden

Die atomaren Schalen werden sukzessive mit Elektronen gefüllt(pro Zustand jeweils nur ein Elektron, Pauliprinzip)

Aufbauprinzip der Materie

Innerhalb einer Schale haben alle Elektronen dieselbe Energie.Aufgrund der Elektron-Elektron-Wechselwirkung erfolgt das Auffüllen der Zuständeanhand der sogenannten Hundschen Regeln (siehe Atom-, Molekül- & Festkörperphysik) Minimierung des Bahndrehimpulses Maximierung des Spins

Aufbauprinzip der Materie