DSAL - 8. Globalübung · 2018. 6. 19. · Perak gilt: distlviuclgerade €7 distlu,v' it gerude...

DSAL - 8. Globalübung

Tim Quatmann

19. Juni 2018

Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 19. Juni 2018 1 / 19

Agenda

1 Tiefen- und Breitensuche

2 Anwendung Breitensuche: k-begrenzte Erreichbarkeit

3 Kritische-Pfad-Analyse

4 Bipartite Graphen


Tiefen- und Breitensuche


Elementare Graphenalgorithmen Graphendurchlauf

Tiefensuche: Implementierung

1 void DFS(List adj[n], int start, int &color[n]) {2 color[start] = GRAY; // start ist noch zu verarbeiten3 foreach (w in adj[start]) {4 if (color[w] == WHITE) { // neuer ("ungefundener") Knoten5 DFS(adj, w, color);6 }7 }8 color[start] = BLACK; // start ist abgeschlossen9 }

11 void completeDFS(List adj[n], int n, int start) {12 int color[n] = WHITE; // noch kein Knoten ist gefunden worden13 for (int i = 0; i < n; i++)14 if (color[i] == WHITE) DFS(adj, i, color);15 }

Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 41/80

ffnstteaif: "

Knotenlrreiehbare Kaoten

/Find

Start -

Knoten

Tiefensuche: Beispiel

A B C D

E F G

H I J K

L M N

Reihenfolge Graufärbung: A,B ,C ,D,K , J,G , I ,E ,F ,H, L,M,NReihenfolge Schwarzfärbung: G ,E ,F ,H, I , J,K ,D,C ,B ,A,N,M, L


= Grau Schw .

Tiefensuche: Beispiel

A B C D

E F G

H I J K

L M N

Reihenfolge Graufärbung: A,B ,C ,D,K , J,G , I ,E ,F ,H, L,M,NReihenfolge Schwarzfärbung: G ,E ,F ,H, I , J,K ,D,C ,B ,A,N,M, L


Elementare Graphenalgorithmen Graphendurchlauf

Breitensuche: Implementierung

1 void BFS(List adj[n], int start, int &color[n]) {2 Queue wait; // zu verarbeitende Knoten3 color[start] = GRAY; // Knoten start ist noch zu verarbeiten4 wait.enqueue(start);5 while (!wait.isEmpty()) {// es gibt noch unverarbeitete Knoten6 int v = wait.dequeue(); // nächster unverarbeiteter Knoten7 foreach (w in adj[v]) {8 if (color[w] == WHITE) { // neuer ("ungefundener") Knoten9 color[w] = GRAY; // w ist noch zu verarbeiten

10 wait.enqueue(w);11 }12 }13 color[v] = BLACK; // v ist abgeschlossen14 }15 }

17 void completeBFS(List adj[n], int n) {18 int color[n] = WHITE; // noch kein Knoten ist gefunden worden19 for (int i = 0; i < n; i++)20 if (color[i] == WHITE) BFS(adj, n, i, color);21 }


FIFO

Breitensuche: Beispiel

A B C D

E F G

H I J K

L M N

Reihenfolge Graufärbung: A,B ,E ,F ,C , I ,D,G ,H, J,K , L,M,NReihenfolge Schwarzfärbung: A,B ,E ,F ,C , I ,D,G ,H, J,K , L,M,N


wait : * *#¥# *A,##*** , # , #

Breitensuche: Beispiel

A B C D

E F G

H I J K

L M N

Reihenfolge Graufärbung: A,B ,E ,F ,C , I ,D,G ,H, J,K , L,M,NReihenfolge Schwarzfärbung: A,B ,E ,F ,C , I ,D,G ,H, J,K , L,M,N


Anwendung Breitensuche:k-begrenzte Erreichbarkeit


Sei G = (V ,E ) ein (ungewichteter) Graph.

Ein Pfad von u 2 V zu w 2 V im Graphen G = (V ,E ) ist eine Folgev0v1 . . . vk�1vk mit vi 2 V , (vi , vi+1) 2 E , v0 = u, vk = w .k ist die Länge des Pfades v0v1 . . . vk�1vk

Für zwei Knoten u,w 2 V sei dist(u,w) die Länge eines kürzestenPfades von u zu w , d.h.

dist(u,w) = min{k 2 N | Es gibt einen Pfad der Länge k von u zu w}

Außerdem: dist(u,w) = 1, falls w nicht von u erreichbar ist.


( beige w . sraphcn Ist es anders )

A B C D

E F G

H I J K

L M N


dist ( Ap ) =3

dist ID ,H 7=4

dist IHD )=4

distic ,m)=a

k-begrenzte ErreichbarkeitGegeben: Ein Graph G = (V ,E ), ein Startknoten u 2 V , k 2 NGesucht: Alle Knoten w 2 V mit dist(u,w) k .

Idee: Nutze Breitensuche!Starte bei u

Merke die aktuelle Suchtiefe

Stoppe bei Suchtiefe k


Beispiel: Finde alle Knoten w 2 {A,B , . . . ,N} mit dist(A,w) 2:

A B C D

E F G

H I J K

L M N


O 1 2

Ergebnis :

^ 1 AM , E. F, I

2

k-begrenzte Erreichbarkeit: Algorithmus


k-begrenzte Erreichbarkeit: Algorithmus

1 boundedReach(List adj[n], int start, int k) {2 Queue wait; // zu verarbeitende Knoten3 if (k > 0) wait.enqueue(start);4 int dist[n] = -1; // Distanz der gefundenen Knoten5 dist[start] = 0;6 Set result;7 result.insert(start);8 while (!wait.isEmpty()) { // es gibt noch unverarbeitete Knoten9 int v = wait.dequeue();

10 foreach (w in adj[v]) {11 if (dist[w] == -1) { // neuer ("ungefundener") Knoten12 result.insert(w);13 dist[w] = dist[v] + 114 // Untersuche w nur, wenn mit

Kritische-Pfad-Analyse


Kritischer-Pfad-ProblemGegeben: Knotengewichteter DAG G = (V ,E ,W )

Gesucht: Der längste Pfad (bezogen auf das Gesamtgewicht)

Anwendung: Abhängigkeiten von Aufgaben v 2 V mit Dauer W (v)(v , v 0) 2 E () “Um v zu erledigen muss erst v 0 erledigt werden”

Idee: Bestimme est/eft (earliest start/finish time) für jeden Knoten

est(v) =

8><

>:

max(v ,v 0)2E

eft(v 0) , falls 9 (v , v 0) 2 E

0 , sonst

eft(v) = est(v) +W (v)

Nutze Tiefensuche um die Knoten in “richtigen” Reihenfolge zu bearbeiten.


a.a¥E±¥wig

Kritischer-Pfad-ProblemGegeben: Knotengewichteter DAG G = (V ,E ,W )

Gesucht: Der längste Pfad (bezogen auf das Gesamtgewicht)

Anwendung: Abhängigkeiten von Aufgaben v 2 V mit Dauer W (v)(v , v 0) 2 E () “Um v zu erledigen muss erst v 0 erledigt werden”

Idee: Bestimme est/eft (earliest start/finish time) für jeden Knoten

est(v) =

8><

>:

max(v ,v 0)2E

eft(v 0) , falls 9 (v , v 0) 2 E

0 , sonst

eft(v) = est(v) +W (v)

Nutze Tiefensuche um die Knoten in “richtigen” Reihenfolge zu bearbeiten.


Elementare Graphenalgorithmen Anwendungen der Tiefensuche

Kritische-Pfad-Analyse: Implementierung

1 // Knotengewichte in duration.2 // Ausgabe: eft, kritischer Pfad kodiert in critDep3 void DFS(List adj[n], int start, int &color[n],4 int duration[n], int &critDep[n], int &eft[n]) {5 color[start] = GRAY; critDep[start] = -1; int est = 0;6 foreach (next in adj[start]) {7 if (color[next] == WHITE)8 DFS(adj, next, color, duration, critDep, eft);9 if (eft[next] >= est) {

10 est = eft[next]; critDep[start] = next;11 }12 }13 eft[start] = est + duration[start];14 color[start] = BLACK;15 }16 void critPath(List adj[n], int n,17 int duration[n], int &critDep[n], int &eft[n]){18 int color[n] = WHITE;19 for (int i = 0; i < n; i++)20 if (color[i] == WHITE)21 DFS(adj, i, color, duration, critDep, eft);22 }


|critical dependency

A, 1 B, 1 C, 3 D, 2

E, 2 F, 3 G, 1 H, 1

I, 3 J, 2 K, 2 L, 3

Knoten A B C D E F G H I J K L

estcritDepeft

Gesamtdauer:

Kritischer Pfad:


0

EEIEEEEa¥s¥¥ I73 ( Max e At )

I E A B C F

Bipartite Graphen


Definition (Bipartiter Graph)Ein ungerichteter Graph G = (V ,E ) heißt bipartit, falls es zwei Mengen Uund W gibt mit

U [W = VU \W = ;E ✓

�{v , v 0} | v 2 U und v 0 2 W

, d.h. es gibt keine Kanten

zwischen zwei Knoten in U bzw. zwei Knoten in W .


} UOW , now

u WA - B

F C

| c \ g- HD - E ¥#DF g- H

-

SatzEin ungerichteter Graph G = (V ,E ) ist bipartit genau dann, wenn er keineZykeln ungerader Länge hat

Die Länge eines Zyklus v0v1 . . . vk mit v0 = vk ist k


o_0 O_0 Of\o/ Kb orndcht bipartite

bipartite

bipartit

' '

⇒"

sci gift,E ) bipuvtit mitkuuwAndren 8 hat einen ungeraden Zykel

✓ov , . . . VK ( Vo=Vk , Vitvj fair its )OBDA : Sei voeU . Wegen wo.vn ) EE folgt ,

class VNEW . Daher Vz EU r . -

Esfolgt : view , fallgi geradeVIEW , falls i ungerade

Da K ungerade gilt also VKEW

be Widersprach , da v ,c=Vo C- U

Es folgt , class g Keihin unyeraden

Zykd haben Kann.

"

⇐' ' g habe kcime Zykel ungeradcr

liinge . Wir nehmen an , class g

Zusammenhiinyend ist ( dnsonstea

betrachten wir die Zush . komponenten

einzelh ) ,

Sci UEV ein beliebiger , testgewiihlter Knoten . Sci

liinye lines kcivzestenPfadesW :{ vtvldistluu ) gerade } wnu

nach W

U={ vevldistluu ) ungerade }Wir Zeigen , class G bipartite

mint U,

WEV ist :

• WuU=V

• Wnu ?0

d. Fall : Falls es line Kante ( uv' )EE

Mit v.v' EW gibe . betoachte

die Pfade Vovn . . . Vk mitliinyedistcuvu )W w

=V =u

Vjvn'

. .iv

'

.

' mitlcinyedistcviu )W W

=v ' =u

sei ¢: min { mewl Fjeoo , ... ik ' } :k=v' g)( lntuitivist ' veeder ersteknoten , der aat

beiden Pfaden b sucht wivd )Wiihle l 't { o

,...

,. ) mit v. =Vu

: \ °

, ,,

v / , u

,-

, (, /

~ - -

Betrachte den Zykel

Vovn . ..VuVi

. , VI. z . . . Vol ✓w

W W=V

=j , =v'

unit binge distlvo ,vu ) tdistlvi'

,vo' ) +7

Wedgendiatlviutdistlv ,v . ) + distlv . ,u ) -distlviukdistlvivi . ) + disY.cn,u ) Perak

gilt : distlviuclgerade €7 distlu ,v' it gerude

Daher ist distcvoihltdistlviiivo ' )inner gerade . Obigcr Zykel

hat also unqevade Langeb. Wider , pruch

2. Fall ( kante Zwischeu zweiknoten in W ist analog-

A

1--

dist ( A. b) =L\c D

dist ( Bi D) =LB

a

Nächster Termin

Nächste VorlesungFreitag, 22. Juni, 13:15 (H01).

Nächste GlobalübungDienstag, 26. Juni, 14:15 (Aula 1).


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