e AArr iiittthhmmeetttiikkk uuunnnddd l AAAllgggeeebbbrraa · Mathematik ist abstrakt. Sie filtert...

1. Arithmetik und Algebra (Stand:16.09.2005) 1

�� AAArrriiittthhhmmmeeetttiiikkk uuunnnddd AAAlllgggeeebbbrrraaa

�� ZZZaaahhhllleeennn

DDDiiieee BBBoootttsssccchhhaaafffttteeennn dddeeesss eeerrrsssttteeennn KKKaaapppiiittteeelllsss: � Mathematik ist abstrakt. Sie filtert aus dem Konkreten Abstraktes und hantiert mit

abstrakten Objekten, als da sind, Zahlen, Variablen, Rechenoperationen. � Irgendwie macht Mathe Spaß.

Hilfe naht.

DDDeeezzziiimmmaaalllzzzaaahhhlll rrraaatttiiiooonnnaaallleeennn ZZZaaahhhllleeennn

Das Wort AAArrr iii ttthhhmmmeeettt iiikkk kommt vom griechischen Wort α�� = Zahl. Lassen wir dahin gestellt, was Zahlen eigentlich sind, und beschränken uns darauf, welche Zahlen es gibt, und wie man sie einteilt. Da sind zunächst die Zählzahlen, 1, 2, 3, 4, .... Sie wirken so selbstverständlich, dass sie den Namen nnnaaatttüüürrr lll iiiccchhheee ZZZaaahhhllleeennn erhalten haben. Die Null hat sich eingeklagt, so dass jetzt die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, usw. als natürliche Zahlen gelten. Leopold Kronecker, ein berühmter Zahlentheoretiker aus dem 19. Jahrhundert, hat gesagt:

„Die natürlichen Zahlen hat Gott geschaffen der Rest der Mathematik ist Menschenwerk.“

Nimmt man die negativen Zahlen −1, −2 , − 3, .... hinzu, dann erhält man die gggaaannnzzzeeennn ZZZaaahhhllleeennn. Zahlen, wie man sie vom Kellner erwartet, haben eher die Form 23,45 �. Die Einheit lassen wir weg. Die Zahl 23,45 ist eine DDDeeezzziiimmmaaalllzzzaaahhhlll , eigentlich besteht sie aus Vielfachen von Zehnerpotenzen und Zehnerbrüchen, nämlich:

23,45 = 2 . 10 + 3 . 1 + 4 . 101

+ 5 . 100

1

Man kann sie auch durch einen Bruch darstellen:

23,45 = 1002345

=20469

Damit sind wir bei den rrraaattt iiiooonnnaaallleeennn ZZZaaahhhllleeennn, dies sind die Zahlen, die sich als Brüche darstellen lassen. Rational heißen sie nicht deshalb, weil sie vernünftig sind. Das lateinische Wort "ratio" hat auch die Bedeutung "Verhältnis". Rationale Zahlen sind einfach Verhältniszahlen, eben Brüche. Die natürlichen und die ganzen Zahlen gehören zu den Bruchzahlen, denn sie lassen sich ganz schlicht als Brüche darstellen:

5 = 15

, − 3 = 13−

usw.

32,5 ; 35

; π

nnnaaatttüüürrr lll iiiccchhheeennn ZZZaaahhhllleeennn

Ober, bitte Zahlen!

2 Maurer: Mathe macht Spaß.

IIIrrrrrraaattt iiiooonnnaaallleee ZZZaaahhhllleeennn IIIrrrrrraaattt iiiooonnnaaallleee ZZZaaahhhllleeennn sind in dieser Lesart keine verrückten Zahlen, sondern Zahlen, die sich eben nicht als Brüche darstellen lassen, z.B. 2 , π , 3 3 etc. Sie lassen sich durch nicht-abbrechende Dezimalzahlen darstellen:

2 = 1,41421356....., π = 3,141592653892...

pppeeerrriiiooodddiiisssccchhheee DDDeeezzziiimmmaaalllzzzaaahhhllleeennn sssiiinnnddd rrraaatttiiiooonnnaaallleee ZZZaaahhhllleeennn

Aber Achtung, es gibt auch nicht-abbrechende Dezimalzahlen, die rational sind, nämlich die pppeeerrr iiiooodddiiisssccchhheeennn DDDeeezzziiimmmaaalllzzzaaahhhllleeennn, bekanntlich gilt ja:

0,3333333..... = 3,0 = 31

.

oder nicht ganz so klar

0,545454... = 116

9954 =

ZZZaaahhhllleeennnmmmeeennngggeeennn NNNaaatttüüürrr lll iiiccchhheee ZZZaaahhhllleeennn IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...} GGGaaannnzzzeee ZZZaaahhhllleeennn /Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ...} IN /Z

RRRaaattt iiiooonnnaaallleee ZZZaaahhhllleeennn IQ = { qp p, q ∈� und q ≠0},

d.h alle Zahlen, die sich als Brüche darstellen lassen.

Beispiel: 25

1025

2,5 ;32 ==

IQ

IIIrrrrrraaatttiiiooonnnaaalllzzzaaahhhllleeennn II Zahlen, die sich nicht als Brüche darstellen lassen.

IR RRReeeeeelll llleee ZZZaaahhhllleeennn IR = IQ ∪ II Alle Zahlen, die bisher genannt wurden Sonderfälle: IR+ = {x∈IR|x > 0}, IR +

0 = {x∈ IR |x ≥ 0}

�� SSSyyymmmbbbooollleee,,, GGGrrruuunnndddrrreeeccchhheeennnaaarrrttteeennn,,, GGGrrruuunnndddbbbeeegggrrriiiffffffeee

RRReeeccchhheeennnzzzeeeiiiccchhheeennn + Pluszeichen für die Addition − Minuszeichen für die Subtraktion Das Minuszeichen hat noch eine zweite Funktion: Vorzeichen bei negativen Zahlen. Der GTR hat dafür eine eigene Taste (-). . Malzeichen für die Multiplikation : / Doppelpunkt oder Bruchstrich für die Division

RRReeelllaaatttiiiooonnnssszzzeeeiiiccchhheeennn = Gleichheitszeichen < ... kleiner als .... z. B.: 3 < 5 > ... größer als .... z. B.: 5 > 3 ≤ ... kleiner als oder gleich.... z.B.: 3 ≤ 5 oder 5 ≤ 5 ≥ ... größer als oder gleich.... z.B.: 5 ≥ 2 oder oder 5 ≥ 5

MMMeeennngggeeennnsssyyymmmbbbooollleee { } Mengenklammern. M = {2,3,5,7,11} bezeichnet die Menge der Zahlen 2,3,5,7,11 ∈ 2 ∈ M heißt: 2 ist Element von M ∉ 4 ∉ M heißt: 2 ist kein Element von M \ IR \{0} heißt: alle reellen Zahlen ohne die Null Es gibt noch mehr Mengelsymbole, aber auf die verzichte ich.


KKKlllaaammmmmmeeerrrnnn ( ), [ ], { } BBBrrruuuccchhhssstttrrriiiccchhh Eine Division kann auch mit einem Bruchstrich geschrieben

werden

7:373 =

BBBeeezzzeeeiiiccchhhnnnuuunnngggeeennn Summand + Summand = Summe Subtrahend − Minuend = Differenz Faktor . Faktor = Produkt

Divisor

Dividend = Quotient

VVVaaarrriiiaaabbbllleee,,, GGGrrruuunnndddmmmeeennngggeee,,, DDDeeefffiiinnniiitttiiiooonnnsssbbbeeerrreeeiiiccchhh

Eine VVVaaarrr iiiaaabbbllleee ist ein Stellvertreter für eine Zahl aus einer GGGrrruuunnndddmmmeeennngggeee G. Sie wird durch Buchstaben a, b, c, ... x, y, z abgekürzt. Zu jeder Variablen gehört ein DDDeeefff iiinnniii ttt iiiooonnnsssbbbeeerrreeeiiiccchhh ID. Er enthält alle Zahlen aus der Grundmenge, die für die Variablen tatsächlich eingesetzt werden dürfen.

� Beispiel 1.1

Formel zur Umrechnung von DM-Beträgen (d) in Euro-Beträge (e): e = 1,955831 . d Die rechte Seite enthält die Variable d mit Definitionsbereich: ID = IQ

Erläuterung: Geldbeträge sind abbrechende Dezimalzahlen und die lassen sich als Brüche darstellen

und sind somit rational. Die Variable e wird nicht beliebig belegt, ihr Wert ergibt sich aus der Belegung von d.

� Beispiel 1.2

Auf meinem Konto sind x �. Es werden e � eingezahlt, danach habe ich (x+e) �. Jetzt hebe ich von meinen x � a � ab, danach habe ich (x−a) �. Als Mathematiker liebe ich die Verallgemeinerung, statt zwei Formeln geht es auch mit einer: Der Kontostand wird um d � geändert, danach habe ich (x+d) �.

Erläuterung: Bei positives d (d > 0) erhöht sich der Kontostand auf (x+d).

Bei negativem d (d < 0) sinkt der Kontostand auf ebenfalls (x+d). Der Gewinn – nur noch eine Formel – wird bezahlt mit einem Verlust an Anschaulichkeit. Bei +d denkt man nur mit Mühe an eine negative Zahl, bei (x+d) will sich der gesunde Menschenverstand nicht die Verringerung der Größe x vorstellen. Die gute Nachricht: Der gesunde Menschenverstand ist klug und gibt nach!

1 Auf die Gefahr hin, dass es niemand interessiert. In der Umrechnungszahl von Euro in D-Mark 1,95583 stecken das Todesjahr von Gauss 1855 und das Todesjahr von Euler 1783.


ÜÜÜbbbuuunnngggsssaaauuufffgggaaabbbeeennn

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...111 �� WWW IIIEEEDDDEEERRRHHHOOOLLLUUUNNNGGG

a) Ist 7 eine rationale Zahl? b) Ist 31

5 rational?

c) Ist 0 eine natürliche Zahl? d) Was ist ein Relationszeichen? e) Wie heißen im Rechenausdruck 2 . 3 + 5 die einzelnen Zahlen?

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...222 ��

Welche Grundmenge benötigt man beim Beispiel 1.2? Beachten Sie, dass �-Beträge immer die Form ??...??,?? haben.

�� KKKNNNOOOBBBEEELLL 111...333 Definition: Lässt sich die Zahl z ohne Rest durch q teilen, dann heißt q Teiler von z. Z.B. 3 ist Teiler von 12, eben so 4, 6, 12. 12 hat insgesamt die Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 12 a) Gib alle Teiler der Zahlen 1 bis 28 an. b) Addieren Sie jeweils alle Teiler, aber ohne die Zahl selbst. Z.B. hat 4 die Teiler 1, 2, 4. Teilersumme: 1+2 = 3. c) Bestimmen Sie ebenso die Teilersummen von 220 und 284.

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...444

�� KKKNNNOOOBBBEEELLL BBBEEEIII CCC)))

Definition: Eine PPPrrriiimmmzzzaaahhhlll ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich sich selbst und die 1. Die ersten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, … a) Warum ist 1 keine Primzahl? b) Ist 113 eine Primzahl? c) Bestimmen Sie die erste Primzahl, die größer als 1000 ist.


Der Politiker Blabla Auweia formuliert als Wahlziel vor der Wahl: (40+x)%. a) Was will er damit sagen? Er erreicht 38 %. b) Was wird er dazu sagen? Was werden Sie als MathematikerIn dazu sagen?

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...666 Um Temperaturen, die in Grad Celsius T gegeben sind, in Fahrenheit F umzurechnen, kann man folgende Formel verwenden: F = 32 + 1,8 . T. Also: F ist die Temperatur in Fahrenheit. T ist die Temperatur in Grad Celsius. a) Welchen Definitionsbereich hat F? b) Bei wie viel Fahrenheit gefriert Wasser? c) Wie viel Fahrenheit hat der Siedepunkt von Wasser? d) Wie viel Fahrenheit haben wir bei 20° C? e) Der absolute Nullpunkt liegt bei etwa −273° C. Wie viel Fahrenheit haben wir dort? f) Wie viel Grad Celsius haben wir bei 0 Fahrenheit? g) Woher kommen die Bezeichnungen Celsius und Fahrenheit?

��


KKKoooeeeffffffiiizzziiieeennnttteeennn KKKoooeeefff fff iiizzziiieeennnttteeennn sind Zahl-Faktoren vor Variablenausdrücken.

Z.B. hat der Term 5x + 3ab die Koeffizienten 5 und 3.

GGGllleeeiiiccchhhnnnaaammmiiiggg UUUnnngggllleeeiiiccchhhnnnaaammmiiiggg

Glieder eines Terms heißen gggllleeeiiiccchhhnnnaaammmiiiggg, wenn sie sich nur durch den Koeffizient unterscheiden.

GGGllleeeiiiccchhhnnnaaammmiiiggg: 3 ab2; − 4 bab; 0,5 ab2 UUUnnngggllleeeiiiccchhhnnnaaammmiiiggg: 3 ab2; 5 a2b

DDDeeefffiiinnniiitttiiiooonnn TTTeeerrrmmm

Ein TTTeeerrrmmm ist ein Rechenausdruck, der Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen enthält. Ein Term wird nach der Operation benannt, die aaalllsss llleeetttzzzttteee ausgeführt werden muss.

� Beispiel 1.3 Oben sind uns schon mehrere Terme begegnet. Z.B.:

e = 1,95583 . d. Es handelt sich um ein Produkt, da die letzte Operation eine Multiplikation ist. F = 32 + 1,8 . T. Eine Summe 5x + 3ab. Ebenfalls eine Summe

� Beispiel 1.4

3cb2a

++

ist ein Quotient, weil zuletzt dividiert wird.

1x3x

a1

−++ ist eine Summe, weil zuletzt addiert wird.

1x3x

a1

−+⋅ ist demnach ein Produkt

)1x( a

3x−

+ ist ein Quotient, weil zuletzt ….

( )2b3a2 + ist ein Quadrat, weil zuletzt …. MMMuuullltttiiippplll iiikkkaaatttiiiooonnn mmmiiittt NNNuuullllll NNNuuulll lll PPPrrrooobbbllleeemmmooo!!!

0 . a = 0 und a . 0 = 0 Beispiel: 0 . 3 = 0 oder 2,3 . 0 = 0

1011

101 =�

= 10

10011

0101 =�

= 100

100011

00101 =�

= 1000

↓ ↓

01 ∞

Man sieht: Je stärker sich der Nenner der Null nähert, desto größer wird der Wert des Bruchs.

kurz //

// 01 ∞= .

Da Unendlich keine Zahl ist, ist diese Schreibweise nicht korrekt, daher die Anführungszeichen.

DDDiiivvviiisssiiiooonnn ddduuurrrccchhh NNNuuullllll mmmuuuccchhhaaasss ppprrrooobbbllleeemmmaaasss

Die Division einer Zahl durch Null ist nicht definiert: //

// 0a ∞= nicht definiert

� Bemerkung Unendlich,�in symbolischer Schreibweise ∞, ist keine Zahl, daher steht die obige Gleichung in Anführungszeichen.


� Bemerkung Noch eine Erklärung für das Verbot der Division durch Null

Man kann sich einfach merken, dass die Division durch Null nicht geht: Wenn mans vergessen hat, ist man dann aber aufgeschmissen. Oben habe ich eine abstrakte Erklärung gegeben. – Mathematik ist abstrakt, daran müssen wir uns gewöhnen (Ich wiederhole mich!). – Man kann sich das Problem mit der Division auch anschaulich klar machen. Ein Geier hat eine Tafel Schokolade (32 Rippchen).

1. Fall: Er frisst sie alleine. Einer bekommt etwas, nämlich alles.

2. Fall: Er teilt sie in Rippchen, jedes Teil ein 32-tel der Tafel.

32 bekommen etwas.

3. Fall: Er bricht jedes Rippchen nochmal in vier Teile, jedes Teil ein 128-tel der Tafel.

128 bekommen etwas

4. Fall: Er bricht jedes Rippchen in 1000 Teile, jedes Teil ein 32 000-tel der Tafel.

32 000 bekommen etwas von der Schokolade

5. Fall: Er bricht jedes Rippchen in eine Million Teile, also jedes Teil ein 32 Millionstel der Tafel.

32 Millionen bekommen etwas.

vielwenig

1 =

∞. Fall: Er bricht die Tafel in unendlich kleine Stücke, jedes Stück hat damit die Größe Null.

Unendlich viele bekommen etwas von der Schokolade, nämlich nichts.

allesnichts

1 =

Damit sind wir dort angekommen, wo sich Mathmatik und Philosophie berühren.

� Bemerkung Warum ist ∞ keine Zahl?

Noch mehr Kleingedrucktes:

Warum ist ∞ keine Zahl? Das Problem liegt im Rechnen mit ∞. 1. Beispiel: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen und ebenfalls unendlich viele Quadratzahlen. Nehme ich die Quadratzahlen weg, bleiben unendlich viele natürliche Zahlen übrig.

Also ∞ − ∞ = ∞ 2. Beispiel: Es gibt unendlich viele ungerade Zahlen {1; 3; 5; 7; ...}. Addiert man zu jeder Zahl 1, dann erhält man alle geraden Zahlen (2; 4; 6; 8; ...}, ebenfalls unendlich viele, und zwar genau so viele wie ungerade. Subtrahiert man die Anzahlen, dann kommt somit Null heraus.

Also ∞ − ∞ = 0

3. Beispiel: Nehmen wir wieder die geraden und die ungeraden Zahlen. Bilden jetzt aber aus den geraden die ungeraden, indem wir 1 addieren. Man erhält also folgende Zuordnung.

} ...87531{

} ...8642{↓↓↓↓

Wenn man nur die Anzahlen betrachtet, sieht es so aus, als ob es eine ungerade Zahl mehr gibt als gerade Zahlen.

Also ∞ − ∞ = 1 oder ∞ − ∞ = −1 So könnte man weitermachen, aber ich glaube es reicht, um vom Rechnen mit ∞ die Finger zu lassen. Mehr dazu in einer Abschweifung.


ÜÜÜBBBUUUNNNGGGSSSAAAUUUFFFGGGAAABBBEEENNN


Geben Sie jeweils an, um welche Art von Term es sich handelt:

a) 2x

a3 ⋅ b)

a 2 x3

c) 2a + 3b d) 3 y2 x2

e) dc

ba − f)

dbca

−−

g) ( )243 x2x + h) ( )4x3 2 −⋅

i) c2b3

2 + j) c2

b32 + k) )c2(:b32 + l) ( ) ( )c2:b32 +


Geben Sie die Terme, die hier verbal beschrieben sind, in symbolischer Schreibweise an.

a) Bilde aus den Ausdrücken x3

und 2b eine Summe und mit dem

Ergebnis zusammen mit 3 a2 ein Produkt. b) 2 wird 3 mal mit sich selbst und dann mit 7c2 multipliziert, das Ergebnis wird von 5x subtrahiert, anschließend wird 6 b3 addiert. Das Ganze wird schließlich durch 7 y dividiert.


��

Die Muster sind quadratisch. Bei a) und b) sitzen auf den Seiten jeweils n Punkte. Geben Sie jeweils zwei Formeln für die Zahl der Punkte in Abhängigkeit von n an. Welche Grundmenge benötigt man?

a) n

��

�

��

�

�

••••••

••••••

�

��

�

b) n

��

�

��

�

�

•••••••

•••••••

�

��

�

c) n��

��

�

••••••

••••••

�

��

�

Hinweis: Zeichnen Sie die Muster für einige Werte von n.

�� ZZZuuummm KKKnnnooobbbeeelllnnn 111...111000 Aus Draht wird ein Kantemodell eines Würfels hergestellt. Auf jeder Kante sind 5 Kugeln aufgereiht, analog zu den Quadratmustern der vorigen Aufgabe. a) Wie viele Kugeln benötigt man für den ganzen Würfel? b) Wie viele Kugeln benötigt man bei n Kugeln je Kante für den ganzen Würfel? Skizzieren Sie zunächst den Würfel.

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...111111 Nach einer von mir soeben kreierten Betonmischung (B) sollen auf 5 Schaufeln Sand (S) 2 Schaufeln Zement (Z) kommen. Außerdem soll nach jeweils 10 Schaufeln Sand eine Schaufel Kalk (K) zugefügt werden. Schreiben Sie diese "Rezept" als Formel. Welche Variablen benötigt man? Nahe liegender Weise verwendet man als Einheit 1 Schaufel.

�


�� ZZZuuummm KKKnnnooobbbeeelllnnn 111...111222 Die vorige Aufgabe zeigt, dass man in vielen Bereichen, auf eine symbolische Schreibweise von „Formeln“ verzichten kann. Vor allem in Bereichen, bei denen man nicht erwarten kann, dass die Benutzer sicher im Umgang mit mathematischer Symbolik sind. Man könnte z.B. auch Koch- oder Cocktail-Rezepte auf diese Weise behandeln. Bitte selbst zwei Beispiele aus dem Alltag suchen und eine Formel dazu angeben.


Schreiben Sie als periodischen Dezimalbruch (ohne Taschenrechner, d.h. schriftlich dividieren)

a) 32

b) 65

c) 113

d) 10110

e) 337

�� ZZZuuummm KKKnnnooobbbeeelllnnn 111...111444 Schreiben Sie die folgenden periodischen Dezimalzahlen als Brüche: a) 6,1 b) 5,0 c) 12,0 d) 11,0 e) 1,0

�� ZZZuuummm KKKnnnooobbbeeelllnnn 111...111555 Überlegen Sie: Wie muss der Nenner eines Bruchs aussehen, damit die Dezimaldarstellung des Bruchs garantiert nicht periodisch ist. Hinweis: Rechnen Sie einige Brüche in Dezimalbrüche um. Prüfen Sie, bei welchem Nenner man Perioden erhält. Und wie sieht es mit einer Begründung aus?


Welche Werte, darf man hier für die Variablen nicht einsetzen? Oder: Wie lautet der maximale Definitionsbereich?

a) 2x

1−

b) 1x

x22 +

c) a11

d) 2xx3

+−

e) ( )( )2x2xx

+−

�� AAAbbbkkküüürrrzzzuuunnngggeeennn,,, RRReeeccchhheeennnhhhiiieeerrraaarrrccchhhiiieee,,, KKKlllaaammmmmmeeerrrrrreeegggeeelllnnn

Es gibt verschiedene Vereinbarungen, um die Formel-Schreibweise möglichst knapp zu halten.

KKKuuurrrzzzsssccchhhrrreeeiiibbbwwweeeiiissseeennn wwweeeggglllaaasssssseeennn

Zuweilen kann man Rechenzeichen wwweeeggglllaaasssssseeennn: das MMMuuulll ttt iiippplll iiikkkaaattt iiiooonnnsss---ZZZeeeiiiccchhheeennn zwischen Zahl und Variable bzw. zwischen Variable und Variable: 5a bedeutet 5 . a ab bedeutet a . b

das PPPllluuussszzzeeeiiiccchhheeennn bei gemischten Zahlen: 243

bedeutet 2 + 43

Den Koeffizient 1: a bedeutet 1 . a.

PPPooottteeennnzzzeeennn Die Potenzschreibweise ist zunächst auch nur eine abgekürzte Schreibweise: a3 bedeutet a . a . a x7 bedeutet x . x . x . x . x . x . x. Mehr zum Potenzrechnen später.

KKKlllaaammmmmmeeerrrnnn Durch Klammern wird die Reihenfolge festgelegt, in der die

Rechenoperationen abgearbeitet werden müssen. Prinzipiell müssen die Klammern von innen nach außen ausgewertet werden.


BBBrrruuuccchhhssstttrrriiiccchhh Der Bruchstrich arbeitet nebenberuflich als Klammer. Ersetzt man den Bruchstrich durch ein Divisionszeichen, dann muss man zuweilen Klammern setzen:

)3x(:)xa(3xxa −+=

−+

( )ax:aax

a −=−

� Beispiel 1.5 ([(23) . 3] + 4) . 3 =

= ([8 . 3] + 4) . 3 = = (24 + 4) . 3 = 28 . 3 = 84 Bei diesem Beispiel werden Sie sich sicher über die vielen Klammern gewundert haben. Wir sind gewohnt, dass man manche Klammern weglassen kann.

RRReeeccchhheeennnhhhiiieeerrraaarrrccchhhiiieee

Potenz vor

Punkt vor

Strich

Jeder kennt die Regel "Punktrechnung vor Strichrechung". Sie dient lediglich dazu Klammern einzusparen. Sie legt eine Hierarchie, eine Rangfolge, unter den Rechenarten fest. Genauer sagt sie, dass zunächst das Potenzrechnen, dann die Punktrechnungen (Multi. und Divi.) und zum Schluss die Strichrechungen (Addition und Subtraktion) erledigt werden. Danach kann man im obigen Beispiel die inneren runden und die eckigen Klammern weglassen:

� Beispiel 1.6 (23 . 3 + 4) . 3 bedeutet dasselbe wie

([(23) . 3] + 4) . 3 = (8 . 3 + 4) . 3 = (24 + 4) . 3 = 28 . 3 = 84

Klammern, die man

nicht weglassen darf.

Manche Klammern werden gerne weggelassen, verändern aber das Ergebnis: (3 . 2)2 = 62 = 36, aber 3 . 22 = 3 . 4 = 12

(−2)4 = 16, aber −24 = −16 Das Minus ist hier Vorzeichen.

Immer falsch ist 3 . −2, richtig ist 3 . (−2)

Immer falsch ist 3 . −a, richtig ist 3 . (−a)

Assoziativgesetz Reihenfolge der

Rechnung beliebig

(a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c)

� Bemerkung Das Assoziativgesetz sagt, dass die Reihenfolge der Glieder von reinen Produkt-Ketten bzw. reinen Summen-Ketten beliebig ist. Die Klammern können also weggelassen werden.

� Beispiel 1.7 (3 + 2) + 5 = 5 + 5 = 10

3 + (2 + 5) = 3 + 7 = 10 (3 . 2) . 5 = 6 . 5 = 30 3 . (2 . 5) = 3 . 10 = 30

Das Minus-Zeichen braucht einen Maulkorb, sonst frisst es

den Malpunkt.


Bei gemischten Multiplikationen und Divsionen kann

man die Klammern im Allgemeinen nicht weggelassen.

� Beispiel 1.8

2 : 3 . 2 kann bedeuten 2 : (3 . 2) = 23

2⋅

= 31

oder (2 : 3) . 2 = 32 . 2 =

34

3 : 4 : 3 kann bedeuten (3 : 4) : 3 =41

343

343

=⋅

=

oder 3 : (4 : 3) = 49

433

343 =⋅=

Näheres zur Bruchrechnung siehe Kapitel 1.4

Kommutativgesetz a + b = b + a a . b = b . a

� Bemerkung Beim Addieren darf die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden. Ebenso darf beim Multiplizieren die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden.

� Zahlenbeispiel 1.9 3 + 5 = 5 + 3

7 . 4 = 4 . 7


Was bedeutet "Rechenhierarchie" und wozu ist sie gut? Was ist das Kommutativ-Gesetz? Was das Assoziativ-Gesetz?

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...111888 Schreiben Sie ausführlich, geben Sie alle Klammern und sonstige weggelassene Zeichen an.

a) ( )13221

22 23 −⋅��

��

+ b) (−2)3 + 2 (3 −1)2

So jetzt auf zu den Brüchen.


�� BBBrrruuuccchhhrrreeeccchhhnnneeennn

�� DDDeeefffiiinnniiitttiiiooonnneeennn

BBBrrrüüüccchhheee,,, ZZZääähhhllleeerrr,,, NNNeeennnnnneeerrr

Eine Bruchzahl hat die Form: NennerZähler

, wobei Zähler und

Nenner ganze Zahlen sind und der Nenner ≠ 0 ist

oder kürzer:nz

, n ≠ 0, n, z ∈ �

EEEccchhhttteee BBBrrrüüüccchhheee::: Zähler kleiner als Nenner, z. B. 53

, 219

UUUnnneeeccchhhttteee BBBrrrüüüccchhheee::: Zähler größer oder gleich Nenner,

z. B. 37

- ,33

,35

GGGeeemmmiiisssccchhhttteee ZZZaaahhhlll::: unechter Bruch, der in ganze Zahl + echten Bruch

zerlegt wurde, z. B. 253

�� EEErrrwwweeeiiittteeerrrnnn uuunnnddd KKKüüürrrzzzeeennn VVVeeerrraaannnsssccchhhaaauuulll iiiccchhhuuunnnggg::: SSSccchhhoookkkooolllaaadddeee---VVVeeerrrttteeeiiillluuunnnggg

Ein mitten aus dem pulsierenden Leben gerissenes Problem: Eine Schokoladentafel hat 4 mal 8 Stückchen. Wieviele Stückchen sind drei Achtel einer Tafel?

Erweitern 8

Die Antwort erhält man, wenn man den Bruch so umformt, dass

32 im Nenner steht: 83

= 32x

.

Man muss den Bruch also erweitern. 4

Hier muss man mit 4 erweitern, damit erhält man

3212

4843

4

83 =

⋅⋅=

⋅∪

EEErrrwwweeeiiittteeerrrnnn Erweitern eines Bruches heißt Zähler und Nenner mit derselben Zahl e ≠ 0 zu multiplizieren.

zn

= ezen

⋅⋅

� Beispiel 1.10

Ein Kuchen hat 16 Stücke. Wie viel sind 43

?

1612

4443

4

43 =

⋅⋅=

⋅∪

. Drei Viertel sind 12 Stück.

�� Beispiel 1.11

3514

7572

7

52 =

⋅⋅=

⋅∪


VVVeeerrrgggllleeeiiiccchhh vvvooonnn BBBrrrüüüccchhheeennn Welche der beiden Bruchzahlen

43

und 3225

ist größer?

Auch hier hilft Erweitern: 3224

8483

43 =

⋅⋅= <

3225

KKKüüürrrzzzeeennn

Kürzen eines Bruches heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl k ≠ 0 zu dividieren.

zn

= k:zk:n

� Beispiel 1.12

32

6:

1812 =

∪ oder anders geschrieben

32

3626

1812 =

⋅/⋅/=

�� MMMuuullltttiiipppllliiikkkaaatttiiiooonnn vvvooonnn BBBrrrüüüccchhheeennn

MMMuuullltttiiippplll iiikkkaaatttiiiooonnn vvvooonnn BBBrrrüüüccchhheeennn

Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler multipliziert und

durch Nenner mal Nenner dividiert.

21

21

2

2

1

1

nnzz

nz

nz

⋅⋅

=⋅

� Beispiel 1.13

457192

13:

52571926

5219

5726

⋅⋅=

⋅⋅=⋅

∪

61

19:

2311

2:

4312

19:

=⋅⋅=

⋅⋅=

∪∪∪

� Tipp Man sieht: Es ist sinnvoll zuerst zu kürzen und dann erst auszumultiplizieren.

� Noch ein Tipp Bruch mal ganze Zahl

Um sich keine neue Regel merken zu müssen, kann man die ganze Zahl einfach als Bruch schreiben.

3 = 13

� Beispiel 1.14

56

532

53

12

53

2 =⋅=⋅=⋅ Es gilt aber auch: 352

532

53

2 ⋅=⋅=⋅

� Beispiel 1.15

23

2:

1423

12

43

243 =

⋅⋅=⋅=⋅

∪ Es gilt aber auch:

42

312

43

243 ⋅=⋅=⋅

�� KKKeeehhhrrrwwweeerrrttt uuunnnddd DDDiiivvviiisssiiiooonnn vvvooonnn BBBrrrüüüccchhheeennn

KKKeeehhhrrrwwweeerrrttt Der Kehrwert eines Bruchs ist der Bruch, den man erhält, wenn man Zähler und Nenner vertauscht.

� Beispiel 1.16

53

hat den Kehrwert 35

� Tipp Kehrwerte für ganze Zahlen sind auch kein Problem, man muss sie nur als Bruchzahlen schreiben.


� Zahlenbeispiel 1.17

3 = 13

hat den Kehrwert 31

31

hat den Kehrwert 13

= 3

−2 hat den Kehrwert 21−

29

2597 = hat den Kehrwert

259

1 = 11

hat den Kehrwert 111 =

(D.h. der Kehrwert von 1 ist 1)

� Nebenbei entdeckt: Bildet man zweimal den Kehrwert landet man wieder bei der Ausgangszahl.

DDDiiivvviiisssiiiooonnn vvvooonnn BBBrrrüüüccchhheeennn

Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:

21

21

2

2

1

1

2

2

1

1

znnz

zn

nz

nz

nz

⋅⋅

=⋅=�

� Beispiel 1.18

532123

5:

25321215

1225

:3215

⋅⋅=

⋅⋅=

∪

409

5833

2:

51663

2:

=⋅⋅=

⋅⋅=

∪∪

� Tipps zu Doppelbrüchen

Doppelbrüche verlieren ihren Schrecken, wenn man den Hauptbruchstrich durch einen Divisionsdoppelpunkt ersetzt:

� Beispiel 1.19

32

21

=

43

23

21

32

:21 =⋅=

� Tipp BBBrrruuuccchhhssstttrrriiiccchhheee sssiiinnnddd nnneeebbbeeennnbbbeeerrruuufffllliiiccchhh KKKlllaaammmmmmeeerrrnnn

Achtung, der Hauptbruchstrich muss deutlich erkennbar sein, er wird etwas länger gezeichnet. Außerdem zielt der Hauptbruchstrich genau zwischen die Striche des folgenden Gleichheitszeichens. GGGrrruuunnnddd dafür: BBBrrruuuccchhhssstttrrriiiccchhheee sssiiinnnddd nnneeebbbeeennnbbbeeerrruuufffllliiiccchhh KKKlllaaammmmmmeeerrrnnn... Das zeigen die folgenden beiden Beispiele:


� Beispiel 1.20

3 25

a) 3

25

in Klammerschreibweise (5:2):3

65

31

25

13

:25

3:25

3 25

=⋅===

Veranschaulichung: Fünf halbe Tafeln Schokolade werden unter drei Personen

verteilt. Jeder bekommt eine fünf sechstel Tafeln.

32

5 b)

32

5 in Klammerschreibweise 5:(2:3)

2

1523

15

32

:5

325 =⋅==

Veranschaulichung: Fünf Tafeln Schokolade werden verteilt, jeder soll zwei Drittel Tafeln bekommen. Dann können sieben (ein halb) Personen beglückt werden.

�� AAAddddddiiitttiiiooonnn uuunnnddd SSSuuubbbtttrrraaakkktttiiiooonnn vvvooonnn BBBrrrüüüccchhheeennn GGGllleeeiiiccchhhnnnaaammmiiigggeee BBBrrrüüüccchhheeennn Brüche heißen gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben.

Gleichnamige Brüche lassen sich leicht addieren.

� Merke Gleichnamige Brüche werden addiert/subtrahiert, indem man die Zähler addiert/subtrahiert und den Nenner beibehält.

� Beispiel 1.21

41

8:328:8

8:

328

32513

325

3213 ===−=−

∪

81

189

4:

3236

32531

325

3231 ===+=+

∪

HHHaaauuuppptttnnneeennnnnneeerrr Sind die Brüche nicht gleichnamig, dann müssen sie zuerst gleichnamig gemacht werden. Gesucht wird der Hauptnenner:

� Beispiel 1.22

Fassen Sie zusammen:187

125 +

Lösung:

Bestimmung des Hauptnenners und der Erweiterungszahlen:

332236:HN

2 33218:Z

3 32212:Z

2

1

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

∪

∪

3629

3614

3615

2

187

3

125

187

125 =+=

⋅+

⋅=+

∪∪


ÜÜÜBBBUUUNNNGGGSSSAAAUUUFFFGGGAAABBBEEENNN


Was heißt Kürzen? Warum ist die Vorstellung: "Kürzen heißt wegstreichen." gefährlich? (Bitte schriftlich beantworten)


Berechnen und vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. Kürzen Sie so weit möglich. Verwenden Sie den Taschenrechner nur zum Überprüfen der Ergebnisse.

a) 4814

712 ⋅ b) 6

43 ⋅ c)

12117

0 ⋅ d) 133

53

2 ⋅ e) 71

541

3 ⋅

f) 47

:7

12 g) 3 :

32

h) 32

: 3 i) 0:116

j) 56

:5

12


a) 1110

117 − b)

152

158 − c)

51

31 + d)

51

31 − e)

73

2218

3 −


Bestimmen Sie die Kehrwerte von

a) 1317− b)

43

2 c) −191

d) 1551

e) 21


Welche Zahlen sind gleich ihrem Kehrwert?


a) 75

32 + b)

689

5112 + c) −

6011

4512

2 d) 187

125 −


a) ��

��

+61

31

:21

b) ��

��

−−51

21

43

51

c) ��

��

−��

��

−51

21

43

51

d) −51

��

��

+61

31

:21

e) ��

��

+��

��

−61

31

:21

51

f) ��

��

−��

��

−61

51

:101

31


a)

457

9043

61

52

+

⋅ b)

��

��

+��

��

+

��

��

+��

��

+

32

21

41

34

94

1813

43

1211

c)

32

81

441

1134

3

94

31813

3:43

1211

⋅−⋅

��

��

⋅��

��

+

�� ZZZuuummm KKKnnnooobbbeeelllnnn 111...222777 ��

Lösen Sie die Aufgabe in 10 Sekunden. Wie viel ist die Hälfte von zwei Drittel von drei Viertel von vier Fünftel von fünf Sechstel von sechs Siebtel von sieben Achtel von acht Neuntel von neun Zehntel von 100?

�� ZZZuuummm KKKnnnooobbbeeelllnnn 111...222888 ��

Aus einem Glas Weißwein wird ein Teelöffel voll Weißwein in ein Glas Rotwein gegeben und gleichmäßig verrührt. Dann wird von dem verdünnten Rotwein ein Teelöffel in den Weißwein zurück gegossen, sodass anschließend wieder beide Gläser so voll sind wie am Anfang. Ist nun mehr Rotwein im Weißweinglas oder mehr Weißwein im Rotweinglas?

Jede Menge Brüche, ist ja toll.


�� RRReeeccchhhnnneeennn mmmiiittt VVVaaarrriiiaaabbbllleeennn

�� SSSuuummmmmmeee uuunnnddd DDDiiiffffffeeerrreeennnzzz

VVVeeerrraaannnsssccchhhaaauuulll iiiccchhhuuunnnggg

In Kapitel 1.3 wurde lapidar bemerkt, dass Klammern von Innen nach außen ausgewertet werden sollen. Das ist sobald Variablen im Spiel sind nicht mehr so einfach. Stehen a und b für beliebige reelle Zahlen, dann lassen sich z. B. im Term a . (3a + 2b) − (3ab − b) + (ab − b) die Klammern nicht ausrechnen. 3 Äpfel + 2 Birnen sind halt 3 Äpfel + 2 Birnen, anders sieht es bei 3 Äpfel + 2 Äpfel aus, das wären nach Adam Ries(e) 5 Äpfel. Oder zurück zu den Variablen: 3 a + 2 a zu 5 a kann man zusammenfassen, d.h. (3 + 2) a = 5 a

Regel

Gleichnamige Glieder kann man zusammenfassen.

� Beispiel 1.23 Fasse zusammen

2x + 5 x2 − 3x +4 x − 7 x2 Lösung: 2x + 5 x2 − 3x +4 x − 7 x2 = (Sortieren)

= 2x − 3x +4 x + 5 x2 − 7 x2 (Zusammenfassen) = 3 x − 2 x2 = 3x − 2 x2

� Beispiel 1.24

Vereinfache ab + ab21

Lösung: ab + ab

21

= 1ab + ab21

= (1+21

) ab = ab23

� Beispiel 1.25 18 u + 22 v - 20 u - 5 v + 3 u - 18 v

Lösung:

18 u + 22 v - 20 u - 5 v + 3 u - 18 v = (Sortieren) = 18 u - 20 u + 3 u + 22 v - 5 v - 18 v (Zusammenfassen) = u - v

Beim Sortieren nehmen die Glieder ihre Vorzeichen mit.

� Beispiel 1.26 Fassen Sie zusammen:

ba23

2b

18ab

b91

ab32

18b 2

22

−−+++

Bitte zuerst selbst versuchen.


Lösung: ba

23

2b

18ab

b91

ab32

18b 2

22

−−+++ (Sortieren)

ba23

ab181

ab32

b21

b91

b181 222 −++−+= (Zusammenfassen mit

Kommutativgesetz)

ab )23

181

32

(b )21

91

181

( 2 −++−+= (Brüche auf HN)

ab 18

27112b

18921 2 −++−+=

ab 1814

b 18

6 2 −+−= (Kürzen, Vorzeichen.)

ab 97

b 31 2 −−=

�� PPPllluuusss--- uuunnnddd MMMiiinnnuuusss---KKKlllaaammmmmmeeerrrnnn � Beispiel 1.27 a . (3a + 2b) − (3ab − b) + (ab − b)

Beim Einführungsbeispiel müssen zuerst die Klammern weg, bevor man an die Zusammenfassung gleichnamiger Glieder denken kann. Nehmen wir zuerst einmal die 2. und die 3. Klammer aufs Korn.

Regeln Plus-Klammer Minus-Klammer

Die PPPllluuusss---KKKlllaaammmmmmeeerrr entfällt ersatzlos.

Plus-Klammer: ++++ ( a −−−− b ++++ c) = a −−−− b ++++ c Beim Auflösen einer MMMiiinnnuuusss---KKKlllaaammmmmmeeerrr drehen sich die Vorzeichen aller Glieder in der Klammer um.

Minus-Klammer: −−−− ( a −−−− b ++++ c) = −−−− a ++++ b −−−− c Wichtiger Sonderfall: −−−− (a −−−− b) = b −−−− a

� Bemerkung

Vertauscht man bei einer Summe die Summanden, dann ändert sich gar nichts:

5 + 3 = 3 + 5 Vertauscht man bei einer Differenz die Glieder, dann ändert sich das

Vorzeichen: 5 - 3 = 2 3 - 5 = - 2

oder eben: 5 - 3 = - (3 - 5) Allgemein erhält man die obige 0-te binomische Formel:

- (a - b) = - a + b = b - a � Beispiel 1.28 Vereinfachen Sie

a + a2 + (3 a2 - a) - (a - 2 a2) Lösung:

a + a2 + (3 a2 - a) - (a - 2 a2) = a + a2 + 3 a2 - a - a + 2 a2 = 6 a2 - a

� Beispiel 1.29 Vereinfachen Sie

(ab + a2) − [(− 2 a2 − 5 ab) − (3 a2 − 2 ab)]


Lösung:

(ab+a2) − [(−2 a2 −5 ab) − (3 a2−2 ab)] (Innere Klammern weg) = ab + a2 − [ −2 a2 − 5 ab − 3 a2 + 2 ab] (Äußere Minus-Kl. weg) = ab + a2 + 2 a2 + 5 ab + 3 a2 − 2 ab (Sortieren) = a2 + 2 a2 + 3 a2 + ab + 5 ab − 2 ab (Zusammenfassen) = 6 a2 + 4 ab


�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...222999 Fassen Sie zusammen: a) 3a − (3b − 2a + 5a) b) 2x − (5xy − x + y) − (8xy + y − 3x) c) u2 − (0,2 v2 + 0,25 u2 − uv) −(0,5 uv − 0,1v2 − u2)

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...333000 Fassen Sie zusammen: a) (−q2 + q − 4)+(2q2 − 3q + 6) − (−3q2 − 2q + 2) b) 2x − (5xy − x + y) − (8xy + y − 3x) c) u2 − (0,2 v2 + 0,25 u2 − uv) −(0,5 uv − 0,1v2 − u2)

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...333111 Wo steckt der Fehler? a (2 a − 3 b) − b( 3a + 2 b) = 2 a2 − 3 ab −3 ab + 2 b2 = 2 a2 −6ab + 2 b2

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...333222 Fassen Sie zusammen:

a) 4

ba33

b2a +−+ b)

4abab

2ab2a5 +−++

�� MMMuuullltttiiipppllliiikkkaaatttiiiooonnn vvvooonnn SSSuuummmmmmeeennn

Beim Einführungsbeispiel 1. 26 a . (3a + 2b) − (3ab − b) + (ab − b) kann man durch Beseitigen von Plus- und Minus-Klammern schon eine Vereinfachung erzielen: a . (3a + 2b) −−−− 3ab ++++ b + ab − b = a . (3a + 2b) −−−− 2ab. Jetzt muss aber noch die 1. Klammer weg.

Distributivgesetz b c

a

ab

ac

Bei Multiplikation einer Zahl mit einer Summe wird die Zahl mit jedem Summand multipliziert und die Produkte addiert:

a (b + c) = ab + ac


VVVeeerrraaannnsssccchhhaaauuulll iiiccchhhuuunnnggg AAAuuussszzziiieeehhhtttiiisssccchhh---MMMooodddeeellllll

Die oben stehende Abbildung kann man als Ausziehtisch deuten: Der Tisch hat die Breite a und die Länge b, das Stück, das angehängt werden kann ist c lang.

Sonderfall: Minusklammer

Wählt man a = −1, dann ergibt sich die Minus-Klammer-Regel aus dem Distributiv-Gesetz. − (a − b) = (−1) . (a − b) = − a + b

� Beispiel 1.30 Vereinfache 3 x2 . (2 x − 3 x2) Lösung:

3 x2 . (2 x − 3 x2) (Ausmultiplizieren) = 3 x2 . 2 x − 3 x2 . 3 x2 = 6 x3 − 9 x4

Multiplizieren von zwei Summen a b c ac bc d

ad

bd

Zwei Klammern (Summen) werden multipliziert, indem jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammern multipliziert wird.

(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

� Erklärung (alias Beweis)

Diese Regel folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz: Setzen wir x = a+b, dann erhält man x ( c + d) = x c + x d (Rückersetzen von x durch (a+b)) = (a + b) c + (a + b) d (Distributiv- und Kommutativ-Gesetz) = ac + bc + ad + bd (Kommutativ-Gesetz)

� Beispiel 1.31 Multiplizieren Sie aus

(x − 3) (x + 5) = x2 − 3 x + 5 x − 15 (Ausmultiplizieren der Klammern) = x2 + 2 x − 15 (Zusammenfassen)


(x − 4)(x + 4) − (x + 5)(x − 7) Lösung:

x2 − 4 x + 4 x − 16 − (x2 + 5 x − 7 x − 35) (Ausmultiplizieren der Klammern) = x2 − 16 − (x2 − 2 x − 35) (Zusammenfassen) = x2 − 16 − x2 + 2 x + 35 (Minusklammer auflösen) = 2 x + 19 (Kommutativgesetz, Zusammenfassen)


3 (6u − 4v)(2u + 5v) − 4(3u + 5v)(7u − 3v) Lösung:

3 (6u − 4 v)(2u + 5v) − 4(3u + 5v)(7u - 3v) (Ausmultiplizieren der Klammern) = 3 (12 u2 − 8 vu + 30 uv - 20 v2) − 4 (21 u2 + 35 vu - 9 uv - 15 v2) (Kommutativgesetz, Zusammenfassen) = 3 (12 u2 + 22 uv − 20 v2) − 4 (21 u2 + 26 uv − 15 v2) = 36 u2 + 66 uv − 60 v2 − 84 u2 − 104 uv + 60 v2 = 36 u2 − 84 u2 + 66 uv − 104 uv − 60 v2 + 60 v2 = − 48 u2 − 38 uv

b b c a ab a ab ac


�� BBBiiinnnooommmiiisssccchhheee FFFooorrrmmmeeelllnnn (((BBBFFF))) Häufig benutzt werden einige Spezialfälle der Multiplikation von

Summen, die binomischen Formeln. Das Wort Binom kommt aus dem Lateinischen (Bi = zwei, nomen = Namen), also zweigliedrige Ausdrücke.

0. binomische Formel 0. binomische Formel

(a −−−− b) = −−−− (b −−−− a)

Veranschaulichung Ein Zahlenbeispiel

3 − 5 = − 2 −(5 − 3) = −2

� Beispiel Vereinfachen Sie

(x − 4)(x + 4) − (x + 5)(x − 7)

1. binomische Formel

1. binomische Formel (1. BF)

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

1. Glied im Quadrat + doppeltes Produkt der beiden Glieder + 2. Glied im Quadrat

2. binomische Formel 2. binomische Formel (2. BF)

(a −−−− b)2 = a2 −−−− 2 a b ++++ b2

1. Glied im Quadrat + doppeltes Produkt der beiden Glieder + 2. Glied im Quadrat

3. binomische Formel 3. binomische Formel (3. BF)

(a + b) (a - b) = a2 - b2

1. Glied im Quadrat - 2. Glied im Quadrat

� Erläuterung � (alias Beweis)

Die binomischen Formeln lassen sich mit dem Distributivgesetz und dem Kommutativgesetz leicht nachrechnen: 1. BF: (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + b a + a b + b2 = a2 + 2 a b + b2

2. BF: (a − b)2 = (a − b) (a − b) = a2 − b a − a b + b2 = a2 −2 a b + b2 3. BF: (a + b) (a − b) = a2 + ba − ab − b2 = a2 − b2

a b

a a2 ab

b ab b2

Ich glaube, ich seh´ da unten die binomischen Formeln.


Zugabe zur 2. binomische Formel

(a −−−− b)2 = (b −−−− a)2

Erläuterung (alias Beweis) Ausrechnen mit dem 2. BF oder mit 0. BF:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22222 abab1abba −=−−=−−=−

BBBiiinnnooommm---GGGaaauuu

Die sehr beliebte binomische Formel ( ) 222 baba +=+

ist leider fffaaalllsssccchhh. (Richtig wäre sie nur, wenn a = 0 oder b = 0 ) Es ist keine Rechenregel, sondern ein schlimmer Fehler, dem wir daher den Namen Binom-Gau geben. Der Fehler ist daher so beliebt, weil eine entsprechende Regel für das Multiplizieren oder Dividieren gilt:

( ) 222 baba ⋅=⋅

2

22

ba

ba =��

��

� Beispiel 1.34 Multiplizieren Sie aus: (x − 3)2

Lösung:

(x − 3)2 = (2. binomische Formel) = x2 (1. Glied im Quadrat) − 2 . x . 3 (doppeltes Produkt) + 32 (2. Glied im Quadrat) = x2 − 6 x + 9

� Beispiel 1.35 Multiplizieren Sie aus: (3x + 4y)2

Lösung:

(3x + 4y)2 = (1. binomische Formel) = (3x)2 (1. Glied im Quadrat) + 2 . (3x) . (4y) (doppeltes Produkt) + (4y)2 (2. Glied im Quadrat) = 9 x2 + 24 xy + 16 y2

� Beispiel 1.36

Multiplizieren Sie aus: (51

s + 31

t2) (51

s − 31

t2)

Lösung: (

51

s + 31

t2) (51

s − 31

t2) = (3. binomische Formel)

= 2

s51

��

��

(1. Glied im Quadrat)

2

2t31

��

��

− (2. Glied im Quadrat)

= 422

22

t91

s251

t31

s51 −=�

�

��

−��

��

� Beispiel 1.37 Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen:

(2 x − 3)2 − (5 x − 2)2

�


Lösung:

(2 x − 3)2 − (5 x − 2)2 = ( ) ( ) ( ) ( )( )2222 22 5x 25x 3 3 2x 2 2x +⋅⋅−−+⋅⋅− (1. u. 2. BF)

= ( )4x20x25 9 x 12 x4 22 +−−+− (Minus-Klammer)

= 420xx25 9 12x 4x 22 −+−+− (Zusammenfassen) = − 21 x2 + 8x + 5


�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...333333 WWW IIIEEEDDDEEERRRHHHOOOLLLUUUNNNGGG ��

a) Warum gilt (a−b)2 = (b−a)2? b) Warum ist a−b = b−a im Allgemeinen falsch? c) Warum heißen die binomischen Formeln binomisch? d) Wie lautet das Distributivgesetz und was hat es mit den binomischen Formeln zu tun?


Veranschaulichen Sie die 2. binomische Formel am folgenden Quadraten. Nutzen Sie die Zeichnungen für Schraffuren.

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...333555 NNN IIICCCHHHTTT GGGAAANNNZZZ EEEIIINNNFFFAAACCCHHH...

Veranschaulichen Sie nun die 3. binomische Formel. Hier müssen Sie zunächst eine passende Figur finden.


��

a) x (x −1) b) (x−1) (x+2) c) (x+2) (x+1) d) (x −1) (x + 1) e) (x−2) (x+1) f) (x-2)2 g) (x−3) (x + 2) (x +3 ) (x – 2) h) (x+3)2 i) ( )( )[ ]23x3x +− j) (x+2)2 (x−2)2 k) x2(x-5)2


��

Füllen Sie die Lücken. a) (d + ____)2 = d2 + ____ + e2 b) (____ - 2)2 = d2 - 4d + ____ c) (7a - ____)2 = ____ - 28ab + 4b2 d) (a - ____)2 = ____ - 6ad + 9d2 e) (2a - ____)2 = 4a2 - ____ + 16b2 f) (____ + 4y)2 = 49a2 + ____ + 16y2 g) (____ - 3)2 = ____ - 36a + 9 h) (____ + 9c)2 = ____ + 72ac + 81c2 i) (____ + ____)2 = ____ + 3,2ab + 2,56b2 j) (2,2d + ____)2 = ____ + 39,6dg + ____

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...333888 Suchen Sie eine Schnellrechenregel für Produkte wie a) 17 . 23 b) 31 . 29 c) 42 . 38. Die Antwort ist nicht: Ich nehme den Taschenrechner.

a

b

a

b

a

b


�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...333999 Hier beginnt man Formeln zu schätzen.

Euklid, Buch 2, Satz 4: "Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so ist das Quadrat über der ganzen Strecke den Quadraten über den Abschnitten und zweimal dem Rechteck aus den Abschnitten zusammen gleich." 2 Was will uns Euklid hiermit sagen? Wer ist eigentlich Euklid?

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...444000 Fassen Sie zusammen: a) (x −2) (x + 3) − (x −1)2 b) (x −3) (x + 1) − (x −1) (x + 1) c) 2 (x −4) (x + 2) − (x + 3)2


Multiplizieren Sie aus: a) (w − x)(y + z) b) (v − 6)(v − 8) c) (6 + 5v)(9 − 8v) d) (a − b)(3a − 2)(a − 4) e) (x + y)(x3 − x2y + xy2 − y3) f) (k + 2)(k − 2)(k + 3) g) (2a − 5)(3a − 2)(a − 4) h) t (t + 1)(t + 2) i) (a − 3)(a + 3)(a2 + 9) j) (7z − y) (3y − z)


Vereinfachen Sie: a) (x − 4)(x − 5) − (x − 3)(x − 2) b) (6x − 5y)(3x + 4y) − (9x + 2y)(2x − 3y) c) 3 (6u − 4v)2 − 4(3u + 5v)(7u − 3v) d) 2x − (5xy−x+y) − 3y − (8xy+y−3x)

e) a3b41

a32 ⋅�

�

��

−− = ab43

a2 2 +−

f) 22

xy

yx

xy

yx

��

��

−−��

�

��

+ = 4

g) ( )322 xx

x1 − = 1 − x2

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...444333 Buch 2, Satz 3 "Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so ist das Rechteck aus der ganzen Strecke und einem der Abschnitte dem Rechteck aus den Abschnitten und dem Quadrat über vorgenanntem Abschnitt zusammen gleich. Man teile die Strecke AB ………"3


Ein Bauer pflanzt Apfelbäume an, die er in einem quadratischen Muster anordnet. Um diese Bäume vor dem Wind zu schützen, pflanzt er Tannenbäume um den Obstgarten herum. Im folgenden Diagramm sieht man das Muster, nach dem Apfelbäume und Tannenbäume für eine beliebige Anzahl (n) von Apfelbaumreihen gepflanzt werden:

2 Euklid: Die Elemente. Übersetzung C. Thaer. Leipzig 1933-37. Neudruck Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1980, S. 35 3 Euklid: Die Elemente. Übersetzung C. Thaer. Leipzig 1933-37. Neudruck Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1980, S. 35


n = 1 n = 2

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

••

•••

n = 3 n = 4

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

••••

••••

••••

••••

•••

•••

•••

a) Vervollständigen Sie die Tabelle: n Anzahl Apfelbäume Anzahl Tannenbäume 1 1 8 2 4 3 4

5 b) Stellen Sie ein Formel für die Zahl A(n) der Apfelbäume in

Abhängigkeit von n auf und eine für die Zahl T(n) der Tannenbäume. c) Gibt es einen Wert von n, für den A(n) = T(n) gilt? d) Angenommen, der Bauer möchte einen viel größeren Obstgarten anlegen. Was wird schneller zunehmen: die Anzahl der Apfelbäume oder die Anzahl der Tannenbäume? Erklären Sie wie sie zu ihrer Antwort gekommen sind.

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...444555 FFFÜÜÜRRR LLL IIIEEEBBBHHHAAABBBEEERRR

Man kann alle Zahlen von 1 bis 100 als Terme mit vvviiieeerrr VVViiieeerrreeennn und Rechenzeichen darstellen. z.B. 0 = 44−44

2 = 44

44 + (Summe) oder 2 = ( )4444 −+ (Summe) oder

2 = 4

444

−+ (Summe) oder 2=4

444 −+(Quotient)

Hinweis: Es dürfen nicht weniger und natürlich auch nicht mehr als vier Vieren sein, 44 oder 444 sind ebenso erlaubt wie Hochzahlen. Im Vorgriff wird schon mal 24 = benutzt. Man kann auch 4! = 4 . 3 .2 . 1 = 24 verwenden, gelesen: 4 Fakultät. Geben Sie jeweils an, um welche Art von Term es sich handelt.


�� FFFaaakkktttooorrriiisssiiieeerrreeennn (((VVVeeerrrwwwaaannndddeeelllnnn vvvooonnn SSSuuummmmmmeeennn iiinnn PPPrrroooddduuukkkttteee))) Eben haben wir gerade erfreut gesehen, wie man aus einem

Produkt durch Ausmultiplizieren eine Summe machen kann. Es hat sich gezeigt, dass dies sehr hilfreich ist beim Vereinfachen von Termen. Es erscheint daher wohl etwas absonderlich, wenn wir jetzt Summen wieder in Produkte verwandeln wollen. Aber auch hier wird sich der Nutzen schnell zeigen, nämlich beim Kürzen von Bruchtermen und beim Lösen von Gleichungen.

Faktorisieren

1. Typ: Ausklammern

Distributivgesetz

ab + ac = a (b + c)

� Bemerkungen: � Für das Ausklammern verwendet man - wie für das Ausmultiplizieren - das Distributivgesetz, allerdings in umgekehrter Richtung.

� Außerdem empfiehlt es sich, stets die Probe durch Ausmultiplizieren zu machen.

� Beispiel 1.38 Schreiben Sie als Produkt: 8 abc + 16 ac

Lösung:

8 abc + 16 ac. Die beiden Koeffizienten sind durch 8 teilbar, also kann man schon einmal 8 ausklammern: 8 abc + 16 ac = 8 (abc + 2 ac) Die beiden Summanden in der Klammer enthalten beide die Faktoren a und c, die kann man also auch ausklammern = 8 ac (b + 2) Probe durch Ausmultiplizieren: 8 ac (b + 2) = 8ac . b + 8ac . 2 = 8 abc + 16ac Oder in einem Schritt: 8 ac lässt sich ausklammern. Wir suchen die Glieder in der Klammer. Die Probe zeigt, wir suchen einen Term der mit 8ac multipliziert 8abc ergibt, also müssen wir 8 abc durch 8ac teilen und erhalten – wie erwartet – b. Ebenso ergibt 16 ac durch 8 ac die ebenfalls erwartete 2. Und damit erhält man: 8 abc + 16 ac = 8 ac (b + 2)

� Ein Tipp für Zwischendurch

AAAuuussskkklllaaammmmmmeeerrrnnn hhheeeiiißßßttt DDDiiivvviiidddiiieeerrreeennn...

� Beispiel 1.39 Schreiben Sie als Produkt: 5 a2b2 − 35 ab2 + 20 a2b

Lösung:

5 a2b2 − 35 ab2 + 20 a2b Alle Glieder enthalten die Faktoren 5, a und b. Die Glieder in der Klammer findet man durch Dividieren: 5 a2b2:(5ab) = ab − 35 ab2 :(5ab) = −7b + 20 a2b :(5ab) = 4a = 5 ab (ab − 7b + 4a) Probe durch Ausmultiplizieren: 5 ab (ab - 7b + 4a) = 5 ab . ab + 5ab . (- 7 b) + 5 ab . 4a = 5 a2b2 - 35 ab2 + 20 a2b �


� Noch eine Bemerkung

Wie man sieht ist das Ausklammern die Umkehrung des Ausmultiplizierens, daher spielt das Dividieren eine wichtige Rolle.

� Beispiel 1.40 (Marke happig) Schreiben Sie als Produkt:

53243 xy32

yx76

yx54 +−

Lösung:

543243 yx32

yx76

yx54 +−

(Alle Glieder enthalten die Faktoren 2, x2 und y3. Um eine Klammer ohne Brüche zu erhalten wird

insgesamt 3232 yx105

2yx

7352 =

⋅⋅ausgeklammert

(Die Glieder in der Klammer findet man durch Dividieren:

xy421

21xy2yx25105yx4

yx105

2:yx

54

32

433243 =⋅=

⋅⋅=�

�

��

451

153yx27105yx6

yx105

2:yx

76

32

323232 −=⋅−=

⋅⋅−=�

�

��

−

2222

32

543254 yx35

135yx

yx23105yx 2

yx105

2:yx

32 =⋅=

⋅⋅=�

�

��

( )2232 yx 3545xy 42yx105

2 +−

Faktorisieren 2. Typ: 1. oder 2. BF

a2 ++++ 2 a b ++++ b2 = (a ++++ b)2 a2 −−−− 2 a b ++++ b2 = (a −−−− b)2

Bedingung Für diesen Typ kommen nur dreigliedrige Terme mit 2 Quadraten in Frage. Aber leider klappt´s nicht bei allen, das werden die folgenden Beispiele zeigen.

� Beispiel 1.41 Faktorisieren Sie: 16 x2 − 24 x y + 9 y2

Lösung:

Der Term ist dreigliedrig, außerdem sind das 1. Glied 16 x2 = ( )2x4 und das

2. Glied 9y2 = ( )2y3 Quadrate, d.h. a = 4 x und b = 3 y. Nun muss man lediglich noch prüfen, ob das 2. Glied passt: Doppeltes Produkt: 2 ab = 2 . 4x . 3y = 24 xy. � Passt! Das Vorzeichen wird durch das Zeichen des doppelten Produktes bestimmt, hier ein Minus-Zeichen. Also: 16 x2 - 24 x y + 9 y2 = (4x - 3y)2

� Beispiel 1.42 Faktorisieren Sie: 25 x2 + 49 z4 + 70 xz2

Lösung:

Der Term ist dreigliedrig, außerdem enthält er zwei Quadrate. Welche Glieder Quadrate sind, spielt wegen des Kommutativgesetzes keine Rolle. Hier sind das 1. Glied: 25 x2 = ( )2x5 und das 2. Glied

49 z4 = ( )22z7 Quadrate, d.h. a = 5 x und b = 7 z2.


Nun muss man noch prüfen, ob das 3. Glied passt: Doppeltes Produkt: 2 ab = 2 . 5x . 7z2 = 70 xz2. � Passt!

Also: 25 x2 + 49 z4 + 70 xz2 = ( )22z 7 x 5 + � Beispiel 1.43 Faktorisieren Sie: x2 − 15xy + 100 y2

Lösung:

Der Term ist wieder dreigliedrig, er enthält zwei Quadrate. Das 1. Glied: x2 und das 3. Glied 100 y2 = ( )2y10 sind Quadrate, d.h. a = x und b = 10 y.

Nun muss man noch prüfen, ob das 3. Glied passt: Doppeltes Produkt: 2 ab = 2 . x . 10y = 20 xy ≠15 xy. Passt nicht! x2 - 15xy + 100 y2 kann nicht nach dem 2. Typ faktorisiert werden.

� Bemerkung Das Beispiel 1.40 zeigt, dass die Bedingung - dreigliedrig und zwei Quadrate - nicht ausreichend ist!

Faktorisieren 3. Typ: 3. BF

a2 −−−− b2 = (a ++++ b) (a −−−− b)

� Bemerkung Alle Terme, die aus einer Differenz von zwei Quadraten bestehen, lassen sich nach diesem Typ faktorisieren.

� Beispiel 1.44 Faktorisieren Sie: 36 x2 − 100 y2

Lösung:

36x2 = ( )2x6 und 100 y2 = ( )2y10 sind Quadrate, dazwischen steht ein Minus-Zeichen, also: 36 x2 − 100 y2 = (6x + 10y) (6x - 10y)

Faktorisieren 4. Typ: Mischung

Kombinationen aus den Typen 1 bis 3

� Beispiel 1.45 Faktorisieren Sie: 36 x2 − 100 y2

Lösung:

Beim Beispiel 1.36 hätte man auch nach Typ 1 zunächst einmal 4 ausklammern können: 36 x2 − 100 y2 = 4 (9 x2 − 25 y2) und dann weiter nach Typ 3: 9x2 = ( )2x3 und 25 y2 = ( )2y5 sind Quadrate, dazwischen steht ein Minus-Zeichen, also: = 4 ( 9 x2 – 25 y2) = 4 (3x + 5y) (3x - 5y)

� Beispiel 1.46 Faktorisieren Sie: 5 a2 − 20 a + 20

Lösung:

5 a2 - 20 a + 20 (1. Typ: Ausklammern) = 5 (a2 - 4 a + 4) (2. Typ: 2. BF) = 5 (a - 2)2

� Beispiel 1.47 Faktorisieren Sie: x4 – 81

Lösung:

x4 − 81 (3. Typ: 3. BF) = (x2 + 9)(x2 − 9) (3. Typ: 3. BF) = (x2 + 9)(x + 3)(x − 3)

� Beispiel 1.48 Faktorisieren Sie: 2ty5 - 64 ty3 + 512 ty


Lösung:

2ty5 − 64 ty3 + 512 ty (1. Typ: Ausklammern) = 2ty (y4 − 32 y2 + 256) (2. Typ: 2. BF) = 2ty (y2 − 16)2 (3. Typ: 3. BF)

= 2ty ( ) ( )( )24 -y 4y +

= 2ty ( ) ( )22 4 -y 4y + FFFaaakkktttooorrriiisssiiieeerrreeennn 555... TTTyyyppp::: VVViiiëëëtttaaa

Ein quadratischer Ausdruck x2 + px + q

wird auf die Form (x + a)(x + b)

gebracht.

� Bemerkung:

Vergleicht man (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab

= x2 + (a + b)x + ab mit x2 + p x + q,

dann ist die Zerlegung nur möglich, wenn p = a+b und q = ab gilt.

Diese Zerlegung ist nicht immer möglich. Es ist nur sinnvoll danach zu suchen, wenn p, q, a und b ganze Zahlen sind.

� Beispiel 1.49 Faktorisieren Sie x2 − 5x + 6

Lösung:

Man beginnt mit der Zerlegung von q = 6 in zwei Faktoren a und b und prüft, ob die Summe a + b = p ist.

563256327661

7661bababa

−−−

−−−

+⋅

Damit gilt x2 - 5x + 6 =(x − 2)(x − 3).

Meist muss man - wie hier - nur wenige Fälle untersuchen.

� Beispiel 1.50 Faktorisieren Sie x2 − 6x + 6

Keine Lösung:

In der vorigen Tabelle sieht man schon, dass eine ganzzahlige Zerlegung mit q = 6 und p = - 6 nicht möglich ist. Also eigentlich ein Gegenbeispiel. In den folgenden Aufgaben wird derartiges nicht vorkommen.

Juhu,es klappt!

Eigentlich ganz einfach!

Gleich geht´ s weiter.



�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...444666 Wozu ist das Faktorisieren gut?


Faktorisieren Sie: a) x2 + 7x −18 b) x2 + 3x − 18 c) 2x2 − 6x − 20 d) 2x2 − 16x + 14 e) 2x2 − 14x +20 f) 2x2 − 12x − 14

g) x2 + 4x − 21 h) 09,0100x4

−

i) −5z6 + 80 j) 49 x6−25y12 k) 64 a10− 81b4 l) x2 + 3x + 2 m) 25x2 − 5x + 0,25 n) − 3x + 2x2 o) x2 − 1,21 p) x5 − 256 x


Faktorisieren Sie: a) 20 x2 − 140 x + 245 b) 54 x2 + 144 x + 96 c) 60 x2 + 180 x + 135 d) 72 x3 + 240 x2 + 200x e) 28 x3 −196 x2 + 343x f) 48 x2 + 264 x + 363

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...444999 a) 4a6b3−24a4b4+36a2b5 b) 3x7y2−12x5y3+12x2y4


Faktorisieren Sie nach dem 5. Typ, eventuell vorher nach dem 1. Typ: a) x2 − 9x +14 b) x2 + 6 x + 5 c) x2 + 7 x + 12 d) x2 − 6x + 5 e) x2 − 5 x −14 f) x2 + x − 12 g) x2 − x − 6 h) x2 + 6 x + 9 i) x3 − 2 x2 − 15 x


Faktorisieren Sie nach dem 5. Typ, eventuell vorher nach dem 1. Typ: a) x2+7x−18 b) x2 + 3x − 18 c) 2x2−6x−20 d) 2x2−16x+14 e) 2x2−14x+20 f) 2x2−12x−14 g) x2+4x−21 h) 15x2−3x3−18x i) x2 − 7x + 10 j) − 3 x2 + 9 x + 30


�� DDDiiivvviiisssiiiooonnn eeeiiinnneeerrr SSSuuummmmmmeee ddduuurrrccchhh eeeiiinnneee ZZZaaahhhlll Summen werden durch eine Zahl geteilt, indem man jeden

Summand durch die Zahl teilt.

cb

ca

cba +=+

VVVeeerrraaannnsssccchhhaaauuulll iiiccchhhuuunnnggg Sie haben 6 Äpfel und 4 Birnen und Sie sind zu viert.

Wie viel bekommt jeder? Sie werden die Äpfel durch 4 teilen: Jeder bekommt ein einhalb. Und Sie werden die Birnen durch 4 teilen: Jeder bekommt eine. In symbolischer Schreibweise:

Äpfel44

Äpfel46

4Birnen4

4Äpfel6

4Birnen4Äpfel6 +=+=+

= 23

Äpfel + 1 Birne = 21

1 Äpfel + Birne

� Beispiel 1.51

x2x3x2x 23 −+

soll als Summe geschrieben werden.

Lösung:

x2x3x2x 23 −+ =

x2x3

x2x2

x2x 23

−+ = 23

xx21 −+

Solche Zerlegungen werden wir in der Analysis häufig benötigen und zwar bei der Bestimmung von Asymptoten und bei der Integralrechnung.

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...555222 �� c

ba

cba ⋅=⋅

, aber cb

ca

cba +=+

Erläutern Sie den Unterschied durch Veranschaulichungen.

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...555333 �� a) Schreiben Sie

x31x3x5x3 23 +−+

als Summe.

b) Schreiben Sie 2

23

x1x3x5x2 +−+

als Summe.

c) Schreiben Sie 2

24

x22x3x4x3 +−−

als Summe.

�� DDDiiivvviiisssiiiooonnn eeeiiinnneeerrr SSSuuummmmmmeee ddduuurrrccchhh eeeiiinnneee SSSuuummmmmmeee::: PPPooolllyyynnnooommmdddiiivvviiisssiiiooonnn Schriftliches Dividieren 4944 : 12 = 412

-48 14 -12 24 -24 0

Wie wurde dabei vorgegangen? Man schaut zuerst die 4 des Dividenden an und dividiert ihn durch die 1 des Divisors. Man multipliziert mit dem Divisor und subtrahiert vom Dividenden. usw.

Genau so geht es auch bei der Polynom-Division. Doch vorher brauchen wir eine Definition des Polynoms:

PPPooolllyyynnnooommm Ein Polynom ist eine Summe von Vielfachen von x-Potenzen mit natürlichen Hochzahlen und gegebenenfalls einem Absolutglied. Beispiel: x4 − 3 x3 + 2 x2 + x − 5. Das Absolutglied ist hier − 5, es kann aber auch fehlen.


DDDiiivvviiisssiiiooonnn vvvooonnn PPPooolllyyynnnooommmeeennn

(2x3 – 3 x2 – 5 x + 6) : (2 x + 3) = x2 − 3x + 2 [ 2x3: 2x = x2] −(2x3 + 3 x2) − 6 x2 – 5 x [ −6x2: 2x = − 3x ] −(− 6 x2 – 9 x) 4 x + 6 [ 4 x : 2x = 2 ] −(4 x + 6) 0 Das Ergebnis kann man auch als Produkt schreiben: 2x3 − 3 x2 − 5 x + 6 = (2 x + 3) . (x2 − 3 x + 2)

Das rechnen wir - d.h. ich - mal schnell nach: (2 x + 3) . (x2 − 3 x + 2) = 2 x3 + 3 x2 − 6 x2 − 9 x + 4 x + 6 2 x3 − 3 x2 − 5 x + 6. Stimmt! Schaut man sich die beiden Rechnungen genauer an, dann sieht man, dass die Polynom-Division die Umkehrung des Ausmultiplizierens ist.

x2 − 3x + 2 kann man weiter faktorisieren, nämlich x2 − 3x + 2 = (x − 2) . (x − 1) Insgesamt erhält man dann:

LLLiiinnneeeaaarrrfffaaakkktttooorrrzzzeeerrrllleeeggguuunnnggg

2x3 − 3 x2 − 5 x + 6 = (2 x + 3) . (x − 2) . (x − 1) In dieser Zerlegung treten nur noch Faktoren auf, bei denen x in der ersten Potenz steht, so genannte Linearfaktoren. Daher nennt man diese Zerlegung LLLiiinnneeeaaarrrfffaaakkktttooorrrzzzeeerrrllleeeggguuunnnggg...

ZZZwwwiiisssccchhheeennneeerrrgggeeebbbnnniiisss

Mit der Polynomdivision kann man Terme in Linearfaktoren zerlegen.

� Beispiel 1.52 Die Linearfaktorzerlegung ist aber nicht immer möglich:

Wir dividieren x4+2 x2−3 zunächst durch (x−1) und dann das Ergebnis durch (x+1): Hier fehlen das x3- und das x-Glied, für diese Glieder lassen wir Platz: (x4 + 2 x2 −3) : (x−1) = x3 + x2 + 3 x + 3 −(x4 − x3) x3 + 2 x2 −(x3 − x2) 3 x2 −(3 x2 − 3 x) 3 x − 3 −(3 x − 3) 0

Ebenso erhält man (x3 + x2 + 3 x + 3) : (x+1) = x2 + 3

Insgesamt erhalten wir also die Zerlegung x4+2 x2−3 = (x−1) (x+1) (x2 + 3)

Hier ist also eine Zerlegung in Linearfaktoren nicht möglich.


FFFuuunnndddaaammmeeennntttaaalllsssaaatttzzz dddeeerrr AAAlllgggeeebbbrrraaa

Es ist aber immer möglich ein Polynom in lineare und quadratische Faktoren zu zerlegen. Das sagt der so genannte FFFuuunnndddaaammmeeennntttaaalllsssaaatttzzz dddeeerrr AAAlllgggeeebbbrrraaa , den Gauß erstmals vollständig bewiesen hat

Die Polynomdivision tritt hier zunächst als reine Rechentechnik

auf. Sie wird sich demnächst als sehr nützlich erweisen beim Lösen von Gleichungen und nächstes Jahr bei der Bestimmung von Asymptoten


(x 3 − 6 x 2 +11 x − 6) Dividieren Sie zuerst durch (x −1) und faktorisieren Sie das Ergebnis.


Zerlegen Sie so weit möglich a) x3−9x2+26 x−24, dividieren Sie zunächst durch (x−2) … b) x3−3x2−x+3, dividieren Sie zunächst durch (x−1) … c) x3+5x2+7x+3, dividieren Sie zunächst durch (x+1) … d) − x4 + 4 x3 + 7 x2 − 34x + 24, dividieren Sie zunächst durch (x−1), das Ergebnis dann durch (x−2) …


Zerlegen Sie so weit möglich a) x3+6x2+11x+6, dividieren Sie zunächst durch (x+1) … b) x3−13x−12, dividieren Sie zunächst durch (x+1) …


Zerlegen Sie so weit möglich a) x4− 3x3 − 3x2 − 3x − 4, dividieren Sie zunächst durch (x−4), das Ergebnis dann durch (x+1) ... b) x3 − 4 x2 − 3 x + 18, dividieren Sie zunächst durch (x+2) … c) −x3 + 3 x − 2, dividieren Sie zunächst durch (x−1) … d) x4 − 2 x2 + 1 (Sehen Sie´s?) e) x4 + 4 x3 + 6 x2 + 8 x + 8, dividieren Sie zunächst durch (x+2), das Ergebnis nochmals durch (x+2) …

�� BBBrrruuuccchhhttteeerrrmmmeee... JJJeeetttzzzttt gggaaannnzzz aaallllllgggeeemmmeeeiiinnn... BBBrrruuuccchhhttteeerrrmmmeee Unter Bruchtermen verstehen wir hier Terme, bei denen im

Nenner eine Variable steht. Im Kapitel 1.5.6 und 1.5.7 sind bereits Bruchterme aufgetreten.

DDDeeefffiiinnniiitttiiiooonnnsssbbbeeerrreeeiiiccchhh Zu den bekannten Problemen des Bruchrechnens kommt nun noch ein Problem hinzu: Wir wissen, dass die Definition durch Null nicht definiert ist. Steht in Nenner eine Variable, dann muss daher der Definitionsbereich dieser Variablen so eingeschränkt werden, dass der Nenner nicht Null werden kann.

� Beispiel 1.53 Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von

x33x2

2x32x3 −+

+−


Lösung:

Für die Bestimmung des Definitionsbereich interessieren uns nur die beiden Nenner: Wann wird der 1. Nenner gleich Null?

3x+2= 0, also 3x = − 2 und schließlich x = 32− .

Damit haben wir übrigens schon eine Gleichung gelöst, dazu im nächsten Kapitel mehr. Wann wird der 2. Nenner gleich Null? 3x= 0, also x = 0.

Maximaler Definitionsbereich ID = IR\��

�� − 0 ;

32

Abgesehen von dieser zusätzlichen Komplikation läuft die Vereinfachung von Bruchtermen auf dieselbe Weise, wie im Abschnitt 1.4.

� Beispiel 1.54

Vereinfachen Sie den Bruchterm 22

22

xax2axa

+−−

Lösung:

Es empfiehlt sich, zunächst Zähler und Nenner zu faktorisieren. ( )( )

( )222

22

x a

x a x ax2ax a

xa

−−+=

+−−

(Zähler: 3. BF, Nenner: 2. BF)

Maximaler Definitionsbereich für x: Bed.: Nenner ≠ 0. (a − x)2 = 0 oder a − x= 0, d. h. x = a. ID = IR\{a}.

Jetzt schauen wir nach Vereinfachungsmöglichkeiten des Terms: Kürzen mit (a - x) ergibt:

( )( )( ) xa

xaxa

xa xa xax2a

x a222

22

−+=

−−+=

+−−

; ID = IR\{a}.

� Bemerkung Der Definitionsbereich schließt beim obigen Beispiel auch nach dem Kürzen unverändert x = a aus. Entscheidend für den Definitionsbereich ist der gegebene Term, nicht der gekürzte.

� Tipp Immer zuerst den Definitionsbereich bestimmen, dann erst vereinfachen.

� Beispiel 1.55

Vereinfachen Sie den Bruchterm 4x9x64

2 −−

Lösung:

Es empfiehlt sich zunächst Zähler und Nenner zu faktorisieren.

( )( )2 x 32 x 3x)3 2 (2

4 9x6x - 4

2 −+−=

−

BF 3.nAusklammer

:Nenner:Zähler

Maximaler Definitionsbereich für x: Bed.: Nenner ≠ 0.

( )( )2 x32 x3 −+ = 0 oder x = 32± . ID = IR\{

32± }.

Zur Vorbereitung des Kürzens wird die 0. BF angewandt:

( )( )( )

( )( )2x32x3)2x3(1 2

2x32x3x)32 (2

4x9x64

2 −+−−=

−+−=

−−

Kürzen des Terms mit (3x − 2):

( )( )( )

( )( ) ( )2 x 3 2

2x32 x 3)2x3(1 2

2x - 32 x 3x)32 (2

4 x9x6 4

2 +−=

−+−−=

+−=

−−

Nix wie weg!


� Beispiel 1.56 Vereinfachen Sie den Bruchterm

1 - xx2

1 x2 x

1 - x1 x

2+++−+

Lösung:

Auch hier wird zunächst faktorisiert:

( )( )1 - x1 xx2

1 x2 x

1 - x1 x

++

++−+

.

Maximaler Definitionsbereich für x: Bed.: Nenner ≠ 0. x - 1 = 0, d. h. x = 1 x + 1 = 0, d. h. x = - 1 ( )( )1 - x1 x + = 0 oder x = 1± . ID = IR\{±1}. Der Hauptnenner ist hier unproblematisch: HN = ( )( )1 - x1 x +

( )( )( ) ( )( )

( )( )1 - x1 xx21 - x2 x1 x

1 - x1 xx2

1 x2 x

1 - x1 x 2

+++−+=

++

++−+

=

( )( )( )1 - x1 x

x22 - x -2x x12x x 22

+++−++

(Minus-Klammer)

= ( )( )1 - x1 xx22 x - x12x x 22

+++−++

(Zusammenfassen)

= ( )( )1 - x1 x33x

++

(Ausklammern)

= ( )

( )( )1 - x1 x1x 3

++

(Kürzen)

= ( )1 - x3

; ID = IR\{±1}.

� Beispiel 1.57 Eine gewöhnungsbedürftige Gleichungskette (siehe ##):

bca

cb

acba ⋅=⋅=⋅

VVVeeerrraaannnsssccchhhaaauuulll iiiccchhhuuunnnggg Der Flächeninhalt eines Dreiecks Dreiecke

g.h g h h

2h

g g 2g

2hg

A⋅=

2h

gA ⋅= h2g

A ⋅=

Aber in die richtige Richtung!

Das war hammerhar


�� ÜÜÜBBBUUUNNNGGGSSSAAAUUUFFFGGGAAABBBEEENNN


Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich und vereinfachen Sie.

a) x

1x1x

x −+−

b) 2x

14x

22 −

−−

c) 1x

11x

−++ d)

x31

9x3

2 −+

−

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...555999 Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D und fassen Sie zusammen.

a) x1

2 − b) 1x

12

−+ c) x +

x1x−

d) 1xx1 ++

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...666000 Wo steckt der Fehler?

a) ba2

bab2

bab2

baab2a

baab2a

2222

2

22

2

==−

−=−

−=−

−

b) 1

2x1x2x

1x2x

2

3

2

3 −=+−=

+−

c) 333 43

x41

4x

x4x

x3xxx ===

++

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...666111 Faktorisieren und kürzen Sie.

a) x2x

4x4x4x

x2x2

2

2

2

+−⋅

+−−

b) ( )( )

( ) ( )222

22

22

4

3xx3x

9x:

9x

81x

+−

+

−

−

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...666222 Faktorisieren und kürzen Sie.

a) 4x

4x4x2

2

−+−

; b) 22

22

xax2axa+−

−; c)

9xx2x6

2

2

−+−

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...666333 Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich Dx und vereinfachen Sie dann die Bruchterme

a) ( )( ) ( )( ) ( )( )

x41 x 2 x

x21 x 1 x

x33 x 1 x +−−+−−+−

b) xy15

x8 y30 xy 5 y10

y9 x 5 x2

y4 x 3 22 −−−+−−

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...666444 Bestimmen Sie nur bei a) den maximalen Definitionsbereich IDx und vereinfachen Sie alle Bruchterme

a) 120 x30

10 x x66 x 31 x

4 x 21 x

2

2

−−++

−+−

+−

b) 22 y4x xy10

y2xy2

2y x x 4

−−

++

−

Mmhm, leckere Aufgaben..


c) b5 a

ba 2b5 a b2 a

b25 ab10 a422

22

+−−

−+−

−+

d) 3222 bb a b)3a(a

bab ba

ab a ba

−−+

+−−

−+

e) 10 a 20a10

9a 18 a9:

30a15 a154a2 a2

2

2

2

2

+−++

−+−−

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...666555 Fassen Sie zusammen.

a) ��

��

−��

�

��

−

yx

xy

:y1

x1

b) ��

��

+−+�

�

��

+−−

−+

ba ba

1: ba ba

ba ba

c) ( ) ( ) ba 2

ab ba

ba a b

−−

−−

−

d) 22

22

b ab4 a2

ba ba 2

ba b2 a

−++

+−−

−−


a) 3a3

a12a2

a25a5a4

+−−

+−+

++

b)

x1

y1

yx

xy

−

+

c) yx

x:

yxy3x

yyx

yxy2xyxy3

22222

2

+−−+−⋅

+−−

�� AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 111...666777 a) 22

32

vuv2uuuv+−

− b)

9x6x9x

3x2x1x2x

2

2

2

2

+−−−

−++−

c) yx

y3yx3xy6x4xy36yx16 32

2

33

−−+

+−

d) x2x

1x2x

14x

2222 −

−+

−−

e) ( )22

2

vt6t4tv5t

v3t31t

v2t21t

−+−−

−−−

++

f) 4x4x

4x2xx1x2x

2

2

2

2

+−−−

−−++

g) xyx2

yxyx4x4yxy

xy2yx22

2234

2

33

−+−+

−−

h)

9zy4

z3zy2y4

2

2

2

2

−−−

+


�� SSSyyymmmbbbooollliiisssccchhheee SSSppprrraaaccchhheeennn::: EEEiiinnn EEExxxkkkuuurrrsss

H. M. Enzensberger: Zugbrücke außer Betrieb. In: FAZ vom 29. August 1998

"Dazu kommt, dass die Mathematiker nicht nur, wie andere Wissenschaftler über eine eigentümliche Fachsprache, sondern auch über eine Notation verfügen, die sich von der gewohnten Schrift unterscheidet und die für ihre Binnenkommunikation unentbehrlich ist. (Auch hier kann man von einer Analogie zur Musik sprechen, die ebenfalls ihren eigenen Code ausgebildet hat.) Nun geraten aber die meisten Menschen, kaum dass sie einer Formel ansichtig werden, in Panik. Schwer zu sagen, woher dieser Fluchtreflex rührt, der wiederum den Mathematikern unbegreiflich ist. Sie sind nämlich der Ansicht, dass ihre Notation wunderbar deutlich und jeder natürlichen Sprache weit überlegen ist. Deshalb sehen sie gar nicht ein, weshalb sie sich die Mühe machen sollten, ihre Ideen ins Deutsche oder ins Englische zu übersetzen. Ein solcher Versuch käme in ihren Augen einer schrecklicher Verballhornung gleich."

Die Formelsprache der Mathematik fällt vielen Leuten nicht

leicht. Dennoch ist die Mathematik nicht das einzige Gebiet, in dem eine symbolische Sprache verwendet wird.

• Notenschrift der Musik • Formelschreibweise in der Chemie • Schachnotation • Bridge • Eine Vielzahl von Plänen mit unterschiedlichsten

symbolischen Verkürzungen. Welchen Zweck haben symbolische Fachsprachen? Wie unterscheiden sie sich? Welchen Vorteil haben Symbolsprachen, welche Nachteile?


�� ZZZuuusssaaammmmmmeeennnfffaaassssssuuunnnggg

Begriffe Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, Dezimalzahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen, irrationale Zahlen, gerade Zahlen, ungerade Zahlen, Quadratzahlen, Primzahlen, Rechenzeichen, Relationszeichen, Mengensymbole, Menge, Element, Summand, Summe, Subtrahend, Minuend, Differenz, Faktor, Produkt, Dividend, Divisor, Quotient, Term, (un)gleichnamige Glieder, Potenzen, echter Bruch, unechter Bruch, gemischte Zahl, Erweitern, Kürzen, Hauptnenner, Variable, Grundmenge, Definitionsbereich, Binome, Binomische Formeln, Ausklammern

Rechenregeln Weglassen kann man: a = 1.a Weglassen kann man: 3a = 3.a Kommutativ-Gesetz a+b = b+a Assoziativ-Gesetz (a+b)+c= a+(b+c) Kommutativ-Gesetz a.b = b.a Assoziativ-Gesetz a.(b.c) = (a.b).c Distributiv-Gesetze a.(b+c) = ab + ac oder ab + ac = a.(b+c)

cb

ca

cba +=+

oder c

bacb

ca +=+

Produkt von zwei Summen (a+b) (c+d) = ac + bc + ad +bd 1. Binomische Formel oder (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = (a+b)2

2. Binomische Formel (a+b)2 = a2 - 2ab + b2 oder a2 - 2ab + b2 = (a-b)2

3. Binomische Formel (a+b) (a-b) = a2 - b2 oder a2 – b2 = (a+b) (a-b) Ausklammern heißt dividieren. Kürzen heißt nicht wegstreichen(!), sondern dividieren.

e AArr iiittthhmmeetttiikkk uuunnnddd l AAAllgggeeebbbrraa · Mathematik ist abstrakt. Sie filtert...

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