1

Eigenschaften von Relationen und Eigenschaften von Relationen und deren Überprüfung; Definition von deren Überprüfung; Definition von

OrdnungOrdnung

Garnier, R. & Taylor, J. (1997). Discrete Mathematics for New Technology. Bristol: Institute of Physics Publishing

2

Definition von RelationDefinition von Relation

Die binäre Relation R von A nach B (oder

zwischen A und B) ist eine Teilmenge des

kartesischen Produktes A B.

Man schreibt aRb, wenn (a, b) R.

3

BeispielBeispiel

R = {(a, b): a ist Hauptstadt von b}

A = {Rom, Paris, Berlin, Wien};

B = {I, F, D, A}

A B = {(Rom, I), (Rom, F), (Rom, D), (Rom, A) … }

R = {(Rom, I), (Paris, F), (Berlin, D), (Wien, A)}

(Rom)R(I), (Paris)R(F), (Berlin)R(D), (Wien)R(A)

4

Darstellung von Relationen IDarstellung von Relationen I

Koordinatengitter

R = {(a, b): a < b}A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

5

Darstellung von Relationen IIDarstellung von Relationen II

1

5

4

2

3

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

Gerichtete Graphen

R = {(a, b): a < b}A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

6

Darstellung von Relationen IIIDarstellung von Relationen III

Binäre Matrix

R = {(a, b): a < b}A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

00000

10000

11000

11100

11110

7

Eigenschaften von RelationenEigenschaften von Relationen

Reflexivität aRa für alle a, b, c A

Irreflexivität aRa

Symmetrie aRb bRa

Asymmetrie aRb bRa

Antisymmetrie

aRb bRa a=b

Transitivität aRb bRc aRc

Neg. Trans. aRb bRc aRc

Konnektivität

aRb bRa

Schw. Konn. aRb bRa a=b

8

Überprüfung der ReflexivitätÜberprüfung der Reflexivität

aRa

gerichteter Graph Pfeil zu sich selbst

binäre Matrix Zellen der Haupt-

diagonale mit 1 besetzt

1

1

1

1

1

0000

0000

0000

0000

0000

9

Überprüfung der SymmetrieÜberprüfung der Symmetrie

aRb bRa

gerichteter Graph nur bidirektionale Pfeile

binäre Matrix symmetrisch entlang der

Hauptdiagonale

10000

0100

0010

0010

0001

1

1

1

1

10

Überprüfung der Überprüfung der AntisymmetrieAntisymmetrie

aRb bRa a=b

gerichteter Graph nur unidirektionale Pfeile

binäre Matrix Wenn eine beliebige

Zelle (i, j) 1 enthält, muss

die Zelle (j, i) 0 enthalten.

10000

0100

0010

0010

0001

0

1

1

0

11

Überprüfung der TransitivitätÜberprüfung der Transitivität

aRb bRc aRc

10000

01000

010

00010

0001

11

1

a b

c

12

Definition von OrdnungDefinition von Ordnung

Als Ordnung oder Ordnungsrelation wird jede

transitive Relation bezeichnet.

13

DankeDanke

Folien, Text und Handout des Referats stehen auf der Homepage zum Download bereit.