Ein frohes und

erfolgreiches Jahr

2008!

Westfälische Wilhelms-Universität MünsterInstitut für SoziologieWS 2007/2008Methodenseminar: Einführung in multivariate AnalyseverfahrenDozent: Dr. Thomas BlankReferentinnen: Nadja Jenzelewski, Aleksandra Hauptstoek07.01.2008

Varianzanalyse

Problemstellung (allgemein)

• wichtigstes Analyseverfahren zur Auswertung von Experimenten

• Aufgabe der Varianzanalyse: Untersuchung der Wirkung einer (oder mehrerer) unabhängiger Variablen (x) auf eine (oder mehrere) abhängige Variable (y)

• Formulierung von Kausalbeziehungen (Ursache-Wirkungs- Beziehungen), wobei die unabhängige(n) Variable(n) lediglich nominal skaliert, die abhängige Variable metrisch skaliert sein muss

Zahl der Zahl der Bezeichnung des

abhängigen Variablen unabhängigen Variablen Verfahrens

1 1 Einfaktorielle

Varianzanalyse

1 2 Zweifaktorielle

Varianzanalyse

1 3 Dreifaktorielle

Varianzanalyse

usw.

Mindestens 2 Eine oder mehrere Mehrdimensionale Varianzanalyse

Typen der Varianzanalyse

Einfaktorielle Varianzanalyse Problemformulierung

• Hat das Bildungsniveau Einfluss auf die Fremdenfeindlichkeit?

Einstellung zur Fremdenfeindlichkeit

niedrige Bildung

mittlere Bildung

hohe Bildung

4,7 3,9 4,0 4,6 4,5

6,8 6,5 6,3 5,9 6,7

5,9 5,0 5,1 4,8 5,3

beobachtete Werte der Einstellung zur Fremdenfeindlichkeit in Abhängigkeit vom Bildungsniveau

Mittelwerte der Einstellung zur Fremdenfeindlichkeit je Bildungsniveau

Mittelwert pro Bildungsniveau

niedrige Bildung

mittlere Bildung

hohe Bildung

_ y1 = 4,34

_y2 = 6,44

_ y3 = 5,22

Gesamtmittelwert

_ _ y = 5,33

• Varianzhomogenität: Annahme, dass Einflüsse „von außen“ (d.h. außerhalb der experimentellen Anordnung), bis auf zufällige Abweichungen bei allen Ausprägungen der zu untersuchenden unabhängigen Variablen gleich sind

Einfaktorielle Varianzanalyse Analyse der Abweichungsquadrate

erklärte und nicht erklärte Abweichungen bei „niedrige Bildung“ und „mittlere Bildung“

• Berechnung der Gesamabweichung (SS)

- Zerlegung der Gesamtabweichung in zwei Komponenten (sog. Streuungszerlegung):

Gesamtabweichung = erklärte Abweichung + nicht erklärte Abweichung

- Übertragung der Zerlegung der Gesamtabweichung je Beobachtung auf die Summe der Gesamtabweichungen aller Beobachtungen (SS = „sum of squares“):

Gesamtabweichung = erklärte Abweichung + nicht erklärte

Abweichung

Summe der quadrierten = Summe der quadrierten + Summe der

Gesamtabweichungen Abweichungen quadrierten

zwischen Abweichungen

den Faktorstufen innerhalb

der Faktor-

stufen

SSt(otal) = SSb(etween) + SSw(ithin)

SStG K _∑ ∑ (ygk – y)2

g=1 k=1

SSbG _ _∑ K(yg – y)2

g=1

SSwG K _∑ ∑ (ygk – yg)2

g=1 k=1

niedrige Bildung

_ (4,7 - 5,33)2= 0,40 _+(3,9 – 5,33)2= 2,05 _+(4,0 – 5,33)2= 1,78 _+(4,6 – 5,33)2= 0,54 _+(4,5 – 5,33)2= 0,69

_ (4,34 – 5,33)2= 0,99 _+(4,34 – 5,33)2= 0,99 _+(4,34 – 5,33)2= 0,99 _+(4,34 – 5,33)2= 0,99 _+(4,34 – 5,33)2= 0,99

(4,7 – 4,3)2= 0,13

(3,9 – 4,3)2= 0,19

(4,0 – 4,3)2= 0,12

(4,6 – 4,3)2= 0,07

(4,5 – 4,3)2 = 0,03

mittlere Bildung _+(6,8 – 5,33)2= 2,15 _+(6,5 – 5,33)2= 1,36 _+(6,3 – 5,33)2= 0,93 _+(5,9 – 5,33)2= 0,32 _+(6,7 – 5,33)2= 1,87

_+(6,44 – 5,33)2= 1,22 _+(6,44 – 5,33)2= 1,22 _+(6,44 – 5,33)2= 1,22 _+(6,44 – 5,33)2= 1,22 _+(6,44 – 5,33)2= 1,22

(6,8 – 6,44)2= 0,13

(6,5 – 6,44)2= 0,004

(6,3 – 6,44)2= 0,02

(5,9 – 6,44)2= 0,29

(6,7 – 6,44)2= 0,07

hohe Bildung _+(5,9 – 5,33)2= 0,32 _+(5,0 – 5,33)2= 0,11 _+(5,1 – 5,33)2= 0,05 _+(4,8 – 5,33)2= 0,28 _+(5,3 – 5,33)2= 0,001

_+(5,22 – 5,33)2= 0,01 _+(5,22 – 5,33)2= 0,01 _+(5,22 – 5,33)2= 0,01 _+(5,22 – 5,33)2= 0,01 _+(5,22 – 5,33)2= 0,01

(5,9 – 5,22)2= 0,46

(5,0 – 5,22)2= 0,05

(5,1 – 5,22)2= 0,01

(4,8 – 5,22)2= 0,17

(5,3 – 5,22)2= 0,006

Ermittlung der Abweichungsquadrate

SSt = 12,87 SSb = 11,12 SSw = 1,75

• Berechnung der Varianz (MS)

- allgemein ist die (empirische) Varianz definiert als mittlere quadratische Abweichung ( „mean sum of squares“):

SS Varianz = Zahl der Beobachtungen -1

- Größe im Nenner ist die Zahl der Freiheitsgrade df (degrees of freedom).

dft(otal) = G ∙ K – 1

dfw(ithin) = G(K – 1)

dfb(etween) = G – 1

Varianzquelle SS

(Gesamt-)

Abweichung

df

Freiheitsgrade

MS

Mittlere

quadratische

(Gesamt-)

Abweichung

zwischen den

Faktorstufen

G _ _

∑ K(yg – y)2 = 11,12g=1

G – 1 = 2 SSb

= 5,56

G - 1

innerhalb der

Faktorstufen

G K _

∑ ∑ (ygk – yg)2= 1,75g=1 k=1

G(K -1) = 12 SSw

= 0,15

G(K – 1)

Gesamt G K _

∑ ∑ (ygk – y)2= 12,87g=1 k=1

G ∙ K – 1 = 14 SSt

= 0,92

G ∙ K - 1

Zusammenstellung der Ergebnisse der einfaktoriellen Varianzanalyse

Einfaktorielle Varianzanalyse Prüfung der statistischen Unabhängigkeit

• Ermittlung des empirischen F-Wertes:

MSb 5,56 Femp = = = 38,09 MSw 0,15

• Formal lautet die Fragestellung des F-Tests:

H0: α1 = α2 = α3 = 0

H1: mindestens ein α-Wert ≠ 0

• Ermittlung des theoretischen F-Wertes:

dfb (Spalten der Tabelle) Ftab = dfw (Zeilen der Tabelle)

• Ist der empirische Wert größer als der theoretische, kann die Nullhypothese verworfen werden, d. h. es kann ein Einfluss des Faktors gefolgert werden.

• Aufgabe der Varianzanalyse ist es lediglich die Tatsache, dass ein Zusammenhang zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variablen besteht, zu testen

• keine Aussage über die Stärke des Zusammenhanges möglich

Zweifaktorielle Varianzanalyse

Zweifaktorielle Varianzanalyse: Problemstellung

Verknüpfung mehrer unabhängigen Variablen

FremdenfeindlichkeitAbh. Variable

BildungsniveauUnabh. Variable

GeschlechtUnabh. Variable

Faktorielles Design

Die Untersuchungsordnung heißt Faktorielles Design.

Ein vollständiges faktorielles Design liegt vor, wenn zu allen Kombinationen aus mindestens zwei Faktoren mit mindestens zwei Ausprägungen mindestens eine Beobachtung gemacht werden. Die Zahl der Beobachtungen pro Kombination muss gleich sein.

Faktorielles Design: Beispiel

drei Bildungsniveaus (niedrig, mittel, hoch) zwei Geschlechtern

(m/w)

3 x 2 experimentelle Kombinationen der Faktorenstufen(3x2-faktorielles Design)

Erweiterung der Fragestellung im faktoriellen Design

Hat das Bildungsniveau Einfluss auf die Fremdenfeindlichkeit?

Hat das Geschlecht Einfluss auf die Fremdenfeindlichkeit?

Besteht eine Wechselwirkung zwischen dem Geschlecht und dem Bildungsniveau?

Wirkung der einzelnen Faktoren.Interaktion zwischen den Faktoren.

BildungsniveauGeschlecht

männlich weiblich

niedrig

4,73,94,04,64,5

4,03,93,53,63,7

mittel

6,86,56,35,96,7

5,95,75,45,65,3

hoch

5,95,05,14,85,3

5,34,74,85,05,1

Graphische Analyse von Interaktionen

6,5

6,0

5,5

5,0

4,5

4,0

3,5

3,0

niedriges

mittleres

hohes

Bildungsniveau

Fremdenfeindlichkeit

männlich

weiblich

Zweifaktorielle Varianzanalyse: Analyse

SSt = SSA + SSAxB + SSwGesamtstreuung SSt

Streuung zwischen den Gruppen

SSb

Streuung innerhalb der Gruppen

SSW

Streuung durch Faktor A

SSA

Streuung durch Faktor B

SSB

Streuung durch Wechselwirkung

von A und BSSAxB

Varianzquelle SS df MS

Haupteffekte Bildungsniveau GeschlechtInteraktion Bildungsniveau/GeschlechtReststreuung Total

19,442002,40833

0,484662,3824,7150

21

22429

9,721002,40833

0242330,099160,85224

Zweifaktorielle Varianzanalyse: Ergebnisse

Aufteilung der Gesamtstreuung im faktoriellen Design mit zwei Faktoren

Zweifaktorielle Varianzanalyse: Prüfung der statistischen

Unabhängigkeit

H0: wenn FA und FB haben keinen Einfluss auf die abh. Variable.oder

H1: wenn zumindest eine Faktorenstufe einen anderen Einfluss besitzt als die anderen.

H0: α1=α2=α3=0H1: mindestens ein α-Wert ≠ 0

Anwendungsempfehlungen Formulierung einer Hypothese über den

Wirkungszusammenhang der unabh. Variablen und abh. Variablen.

Bei unabh. Variable jedes Skalenniveau möglich, abh. Variable nur metrisch.

Klarer, allgemeinverständlicher Unterschied zwischen Faktoren.

Wirkung der Faktoren ist additiv.

Unterschied zwischen den einzelnen Beobachtungen.

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!!!