Ein Vergleich von Linearen, Gemischt -Ganzzahligen … · Christoph GRAF, Institut für...

PreisbildungimRegelenergiemarktEinVergleichvonLinearen,Gemischt-GanzzahligenundSpieltheoretischenAnsätzen

DanielHUPPMANN,AndréORTNER,ChristophGRAF14.SymposiumEnergieinnovation2016

TechnischeUniversitätGraz

DieBedeutungdesRegelenergiemarkts

DieBereitstellungvonRegelenergieverursachtfürKraftwerksbetreiberOpportunitätskosteninzweiRichtungen(Just&Weber,2008;Ortner&Graf,2013)

• EntgangeneProfite,wennGrenzkosten<Spotmarktpreis• RealeVerlusteaufgrunddermust-run-BedingungaufMindestlast,wennGrenzkosten>Spotmarktpreis

RegelenergiepreiseundSpotpreisebeeinflussensichwechselseitig!

Eslässtsichtheoretischzeigen,dassdahermidload-Kraftwerkeambestengeeignetsind,Regelenergiebereitzustellen(Richter,2012)

WeitereSchwierigkeiten(indiesemVortragnichtberücksichtigt):Stochastik(Regelenergiekontrakte längerfristigalsSpotmarkt)UnterschiedlicheTypenvonRegelenergie(Primär,Sekundär,Minuten)StrategischesVerhalten(Annahme:MarktteilnehmerbietenzuGrenzkosten)

FürdensicherenBetriebdesStromsystemsistdieVorhaltungvonRegelenergiekapazität notwendig

14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 2

DastechnischeVersagendesRegelenergiemarktes

ZweiAnsätzezurBestimmungdesoptimalenKraftwerkseinsatzes:DersozialePlaner(dieElektrotechnikerin)lösteinKostenminimierungsproblem(unit-commitment problem)DerMarkt(dieBetriebswirtin)lösteinGleichgewichtsproblemzwischennicht-kooperativenKraftwerksbetreibern

AufgrundderAnfahrkosten&nicht-konvexertechnischerRestriktionenführendieAnsätzenichtzumselbenErgebnis!

DieOpportunitätskostenwerdendurchdie„Marktpreise“nichtnotwendigerweiseabgedeckt(Anreizinkompatibilität)DasMarktdesign(dieVolkswirtin)empfiehltAuktionen,aberdasbehandeltnurdasSymptom,nichtdaszugrundeliegendeProblem!

DersozialePlaner&derprofitorientierteKraftwerksbetreiber,unddazwischenklaffteineLücke...


GleichgewichtinSpielenmitganzzahligenVariablen(I)

DasProblem:inganzzahligenOptimierungsproblemenexistierenkeineDualvariablen(akaSchattenpreise,Lagrange-Multiplikatoren)

DadurchlassensichkeinemarkträumendenPreisefindenundesexistiert(invielenFällen)keinNash-GleichgewichtStandard-Solver(CPLEX,GUROBI,etc.)liefernOutput,deroftfälschlicherweisealsSchattenpreiseinterpretiertwird(O‘Neilletal.,2005)

InzentralisiertenStrommärkten(z.B.USA:IndependentSystemOperators)istdieseProblematikals„uplift problem“bekannt(Gribik,Hogan&Pope,2007)

InEuropaaufgrunddes„energy-only“MarktdesignsvongeringererBedeutung,aberfürdenRegelenergiemarktvongroßerRelevanzWiradaptiereneinenAnsatzzurLösungeinesGleichgewichtsinbinärenStrategien(Huppmann&Siddiqui,2015)

InSpielenmitganzzahligen Entscheidungen gibtes(i.A.)keinemarkträumenden PreiseundkeinNash-Gleichgewicht


GleichgewichtinSpielenmitganzzahligenVariablen(II)

AlternativeAnsätzezurLösungvonbinärenGleichgewichtsproblem:allePermutationen(brute-force)oderLinearisierungdesLösungsraums...

DerneueAnsatz:WirleitendieBedingungen1.Ordnung(Karush-Kuhn-Tucker,KKT)fürbeidemöglichenWertederbinärenEntscheidungab(anstelleeinerLinearisierungderVariablen)AnreizkompatibilitätwirdexplizitalsNebenbedingunghinzugefügtEinemultikriterielleZielfunktiondientalsAuswahlmechanismus

DerMechanismusisteinmehrstufigesOptimierungsproblemund......ErlaubteineAbwägungzwischenMarkteffizienz(Wohlfahrt)undden

KompensationszahlungenfüreinstabilesGleichgewicht...Kannalsgemischt-ganzzahligeslinearesProblem

Wiradaptieren denAnsatzvonHuppmann&Siddiqui(2015)zurexaktenmultikriteriellenLösungvonganzzahligen Spielen


RegelenergiealsmehrstufigesbinäresProblem

DieBereitstellungvonRegelenergie isteinOptimierungsproblemmitbinärenEntscheidungen aufmehreren Ebenen


TeilnahmeamRegelenergiemarkt?Ja Nein

KraftwerkübergesamtenZeitrauminBetrieb

ErzeugungjeStundetdurchKKT-Bedingungen

(Mindestlastberücksichtigt)

ProfitimFallderBereitstellungvonRegelenergie

KraftwerkinStundet inBetrieb?Ja Nein

ErzeugungundProfitinStundet durchKKT-Bedingungen

KeineErzeugung,Abfahrkosten=Verlust

(wenninStundet–1 inBetrieb)

VergleichderProfitezurBestimmungderoptimalenEntscheidunginStundet

SummeüberalleStundent ergibtProfitimFallderNichtteilname

VergleichderProfitezurBestimmungderoptimalenEntscheidung

MehrstufigebinäreGleichgewichtsprobleme

DasGleichgewichtsmodellfürdenRegelenergiemarktbestehtaus...

...einerZielfunktion(Wohlfahrtsmaximierung):einWalrasianischerAuktionatorsetztSpot- undRegelenergiepreis

...undNebenbedingungen:jeMarktteilnehmereinGleichungssystem,dasdessenjeweilsoptimaleEntscheidungabbildet(gegebendenMarktpreisen)Markträumungsbedingungen

DiesesProblemkannalsgemischt-ganzzahligeslinearesOptimierungsproblemmitStandard-Methodengelöstwerden(Huppmann&Siddiqui2015)

DieZahlderbinärenVariablensteigtzwarnichtexponentiell,abergroßeAnwendungensindnumerisch(noch)zuaufwendig

DasSpielzwischenmehreren Erzeugern kannalsgemischt-ganzzahliges linearesOptimierungsproblemgelöstwerden


DreiRegelenergie(markt)modelle imVergleich

• DaslineareModell:Wohlfahrtsoptimum=MarktgleichgewichtabertechnischeRestriktionendurchLinearisierungvereinfacht

• DasKraftwerkeinsatzmodell(unit-commitment model)TechnischeRestriktionensindberücksichtigtaberLösung(Wohlfahrtsoptimum)isti.A.keinMarktgleichgewicht

• DasMarktgleichgewichtsmodellinbinärenStrategienTechnischeRestriktionenundindividuelleAnreizeberücksichtigtaberwegennumerischeKomplexität(vorläufig)nurstilisiertesBeispiel

WirvergleichendieModelleanhandeinesstilisiertenDatensatzesmitneunErzeugernunddreiZeitperioden

DerKraftwerkseinsatz (unddieSystemkosten)überalleModellegleich!

Wirvergleichen dreiModellansätzefürdenRegelenergiemarkt:linear,gemischt-ganzzahlig undbinäresGleichgewicht


Vergleichder„Preise“zwischendenModellen

EsgibtkeineklareTendenz, obPreiseinbestimmtenAnsätzenhöheroderniedrigersind


0

5

10

15

20

25

Stunde1 Stunde2 Stunde3 positiv negativ

Spotpreis Regelenergiekapazitätspreis

LinearesModell Kraftwerkseinsatzmodell BinäresGleichgewicht

KonsumentenausgabenundProfitederErzeuger

DieKonsumentenausgaben sinken(imuntersuchten Fall)durchdieBerücksichtigung derspieltheoretischenAnreize


0

1000

2000

3000

4000

Konsumenten ErzeugerProfit



LinearesModell Kraftwerkseinsatzmodell BinäresGleichgewicht

Spot Regelenergiepositiv Regelenergienegativ

ZusammenfassungundAusblick

AktuelleModellefürdenRegelenergiemarktvernachlässigenentweder

...dietechnischenAspekte(Anfahrkosten,Mindestlast)oder

...dasSpielzwischennicht-kooperativenMarktteilnehmern(Wohlfahrtsmaximierung,dadurchkeineGarantiederAnreizkompatibilität)AufgrundderNichtkonvexitätgibt es(u.U.)keinemarkträumendenPreise,unddasistkeineFragedesMarktdesigns(Auktionen,etc.)!

WiradaptiereneinenAnsatzzurLösungvonNash-Gleichgewichteninnicht-kooperativenSpielenmitbinärenStrategien(Huppmann&Siddiqui,2015)

WirvergleichendiesesModellhinsichtlichder“Preise“mitdenStandardansätzen

OffeneFragenunddienächstenHerausforderungen:NumerischeSkalierbarkeit,AnwendbarkeitaufrealeDaten,...ÄnderungdesKraftwerkseinsatzes (undderKosten)durch„bessere“Preise?

Wirpräsentieren einRegelenergiemarktmodell, dastechnischeRestriktionenundökonomischeAnreizeexplizitkombiniert


Dr.DanielHuppmannResearchScholar– EnergyProgram

InternationalInstituteforAppliedSystemsAnalysis(IIASA)Schlossplatz1,A-2361Laxenburg,Austria

[email protected]+43(0)2236807- 572http://www.iiasa.ac.at

VielenDank fürIhreAufmerksamkeit!

DanielHUPPMANN, IIASAundJohnsHopkinsUniversityAndré ORTNER,Energy EconomicsGroup,TUWienChristophGRAF,Institut fürRegulierungsökonomie, WUWien

Bibliographie

PaulR.Gribik,WilliamW.Hogan,and SusanL.Pope.Market-clearingelectricty prices andenergyuplift:WorkingPaper,JohnF.KennedySchoolof Government,HarvardUniversity,2007.http://www.hks.harvard.edu/fs/whogan/Gribik_Hogan_Pope_Price_Uplift_123107.pdf

DanielHuppmannandSaulehSiddiqui.Anexactsolutionmethodforbinaryequilibriumproblemswithcompensationandthepowermarketupliftproblem:DIWDiscussionPaper1475,2015.http://diw.de/sixcms/detail.php?id=diw_01.c.502763.deGAMScodesavailableatwww.github.com/danielhuppmann/binary_equilibrium

SebastianJustandChristophWeber.Pricingofreserves:Valuingsystemreservecapacityagainstspotpricesinelectricitymarkets.EnergyEconomics30(6):3198-3221,2008.http://dx.doi.org/10.1016/j.eneco.2008.05.004

RichardP.O'Neill,PaulM.Sotkiewicz,BenjaminF.Hobbs,MichaelH.Rothkopf,andWilliamR.StewartJr.Efficient market-clearingprices inmarkets with nonconvexities.EuropeanJournalofOperationalResearch 164(1):269-285,2005.http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2003.12.011

AndréOrtnerandChristophGraf.Multi-marketunit-commitmentandcapacityreservepricesinsystemswithalargeshareofhydropower:Acasestudy.10th InternationalConferenceontheEuropeanEnergyMarket(EEM),2013.http://dx.doi.org/10.1109/EEM.2013.6607336

JanRichter.Ontheinteractionbetweenproductmarketsandmarketsforproductioncapacity:Thecaseoftheelectricityindustry:EWIWorkingPaper2011/09,2011.


Backupslides

PreisbildungimRegelenergiemarkt 1414.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGraz

Themath– Obtaining“duals”inintegerprogramming

O’Neilletal.(2005)proposedatwo-stepapproach:SolvetheMIPusingstandardmethods(Problem1)SolvethelinearizedLPmodel(Problem2),fixingdiscrete/binaryvariablesatoptimallevelx* asdeterminedbyProblem(1)

Thedualvariables (λ*, μ*) toProblem(2)canbeinterpretedasmarket-clearing,Walrasian prices!ButthesearenotactuallythecorrectpricesforProblem(1)!

Dualsinintegerprogramsusingatwo-stepprocedure

DanielHuppmann,SaulehSiddiquiExactsolutionstobinaryNashequilibriumproblems 15

minx,y f x, y( ) (1)

s.t. g x, y( ) ≤ 0

x ∈{0,1}n

y ∈!m

minx,y f x, y( ) (2)

s.t. g x, y( ) ≤ 0 λ( )x = x* µ( )x, y( )∈!n+m

Anexactsolutionmethod&the“switchvalue”

Weintroducetheterm“switchvalueκ”todescribetheabsolute(notmarginal)losswhendeviatingfromtheoptimalvalueofx*:

Applyingthisideatothesimpleexample:

Theswitchvariablecanbeinterpretedasashadowprice!Itcanbeusedasameasureof“disequilibrium”(Çelebi &Fuller,2016)


f x*, y*( ) = f x×, y×( )−κwhere x× =1− x* and y× = argmin y f x×, y( )

minx x − 0.5( )2

s.t. x ∈{0,1}

µ(x* = 0) = −1µ(x* = 1) = 1

κ = 0

Ratherthanfocusingonrelaxationsofbinaryvariables,let’slookatthelossfromdeviation(“switchvalue”)

Thecoreideaofoursolutionapproach

AssumethatKKTconditionsarenecessaryandsufficientw.r.t.continuousvariablesyi forfixedbinaryxi andgivenrivalsactionsy-i,then……wecomputetheoptimalresponseforbothstates ofvariablexi

assumingxi=1:

andassumingxi=0:

Andthen,wecheckwhichstrategyisoptimalbycomparingpay-offs:

Wecomputetheoptimalvaluew.r.t.thecontinuousvariablesforbothstatesofthebinaryvariablesimultaneously


To overcome this caveat in practical applications and obtain dual variablesfrom binary programs, the following approach is often used (cf. O’Neill et al.,2005). Consider the general constrained problem:

minx,y

f(x, y)

s.t. g(x, y) 0 (1)

x 2 {0, 1}n, y 2 Rm

To obtain dual variables to the constraints g(x, y), such problems are com-monly solved in a two-step procedure: first, the original problem (1) is solvedusing integer programming techniques; then, the binary variables x are lin-earized, and constraints are added to fix these variables at the level determinedto be optimal, x⇤, in the first step:

minx,y

f(x, y)

s.t. g(x, y) 0 (�) (2)

x = x⇤ (µ)

(x, y) 2 Rn+m

minxi2{0,1},yi2Rm

fi

�xi

, yi

, y�i

(x�i

)�

(3)

s.t. gi

�xi

, yi

� 0 (�

i

) (4)

0 = rxi fi

⇣xi

, yi

, y�i

(x�i

)⌘+ �

i

rxi gi

�xi

, yi

�, x

i

(free) (5)

0 = ryi fi

⇣xi

, yi

, y�i

(x�i

)⌘+ �

i

ryi gi

�xi

, yi

�, y

i

(free) (6)

0 � gi

�xi

, yi

�? �

i

� 0 (7)

0 = ryi fi

⇣1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)⌘+ e�(1)

i

ryi gi

�1, ey(1)

i

�, ey(1)

i

(free) (8)

0 � gi

�1, ey(1)

i

�? e�(1)

i

� 0 (9)

0 = ryi fi

⇣0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)⌘+ e�(0)

i

ryi gi

�0, ey(0)

i

�, ey(0)

i

(free) (10)

0 � gi

�0, ey(0)

i

�? e�(0)

i

1 � 0 (11)

0.1 Marginal relaxation vs. the loss from a binary deviation

There is a further caveat of using the duals of Problem (2) for algorithms and(economic) interpretation of results: this approach introduces the dual µ as themarginal relaxation of the constraint that fixes x at its optimal value. However,it is more appropriate to ask not about a marginal relaxation, but a switch from

1


minx,y

f(x, y)

s.t. g(x, y) 0 (1)

x 2 {0, 1}n, y 2 Rm


minx,y

f(x, y)

s.t. g(x, y) 0 (�) (2)

x = x⇤ (µ)

(x, y) 2 Rn+m

minxi2{0,1},yi2Rm

fi

�xi

, yi

, y�i

(x�i

)�

(3)

s.t. gi

�xi

, yi

� 0 (�

i

) (4)

0 = rxi fi

⇣xi

, yi

, y�i

(x�i

)⌘+ �

i

rxi gi

�xi

, yi

�, x

i

(free) (5)

0 = ryi fi

⇣xi

, yi

, y�i

(x�i

)⌘+ �

i

ryi gi

�xi

, yi

�, y

i

(free) (6)

0 � gi

�xi

, yi

�? �

i

� 0 (7)

0 = ryi fi

⇣1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)⌘+ e�(1)

i

ryi gi

�1, ey(1)

i

�, ey(1)

i

(free) (8)

0 � gi

�1, ey(1)

i

�? e�(1)

i

� 0 (9)

0 = ryi fi

⇣0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)⌘+ e�(0)

i

ryi gi

�0, ey(0)

i

�, ey(0)

i

(free) (10)

0 � gi

�0, ey(0)

i

�? e�(0)

i

1 � 0 (11)

0.1 Marginal relaxation vs. the loss from a binary deviation

There is a further caveat of using the duals of Problem (2) for algorithms and(economic) interpretation of results: this approach introduces the dual µ as themarginal relaxation of the constraint that fixes x at its optimal value. However,it is more appropriate to ask not about a marginal relaxation, but a switch from

1


minx,y

f(x, y)

s.t. g(x, y) 0 (1)

x 2 {0, 1}n, y 2 Rm


minx,y

f(x, y)

s.t. g(x, y) 0 (�) (2)

x = x⇤ (µ)

(x, y) 2 Rn+m

minxi2{0,1},yi2Rm

fi

�xi

, yi

, y�i

(x�i

)�

(3)

s.t. gi

�xi

, yi

� 0 (�

i

) (4)

0 = rxi fi

⇣xi

, yi

, y�i

(x�i

)⌘+ �

i

rxi gi

�xi

, yi

�, x

i

(free) (5)

0 = ryi fi

⇣xi

, yi

, y�i

(x�i

)⌘+ �

i

ryi gi

�xi

, yi

�, y

i

(free) (6)

0 � gi

�xi

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i

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0 = ryi fi

⇣1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)⌘+ e�(1)

i

ryi gi

�1, ey(1)

i

�, ey(1)

i

(free) (8)

0 � gi

�1, ey(1)

i

�? e�(1)

i

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0 = ryi fi

⇣0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)⌘+ e�(0)

i

ryi gi

�0, ey(0)

i

�, ey(0)

i

(free) (10)

0 � gi

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i

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i

1 � 0 (11)

fi

�1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)�7 f

i

�0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)�

(12)

1

Thecoreideaofoursolutionapproach(II)

The“if-then”conditionstodeterminetheindividuallyoptimallybinarydecisionareverypainfultocomputeinlarge-scaleproblems:

Weusetheswitchvalueκ andintroduceacompensationpaymentξ:

Weusetheswitchvaluetotheincentive-compatibilitychecktoreplacethecumbersome“if-then”conditions


Player i will choose the value of the binary variable xi

= xi

and ey(x

i

)

i

such that

fi

⇣xi

, ey(x

i

)

i

, y�i

(x�i

)⌘is lowest given the decisions of the rivals y�i

(x�i

). Mathemat-

ically, this can be written as follows:

fi

�1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)�< f

i

�0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)�

) x⇤i

= 1 (7a)

fi

�1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)�> f

i

�0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)�

) x⇤i

= 0 (7b)

fi

�1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)�= f

i

�0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)�

) x⇤i

= {0, 1} (7c)

The logic is similar to the notion of incentive compatibility in game theory, i.e.,there exists no profitable deviation given the decisions of all rivals. This can also beinterpreted as the optimal response of each player to the rivals’ decisions.

Hence, a vector (x⇤i

, y⇤i

(x⇤i

))i2I

that satisfies the incentive compatibility constraintsin Definition 1 for each player constitutes a Nash equilibrium. If the incentive com-patibility condition is not satisfied for any feasible strategy, it may be necessary tofinancially compensate a player to ensure that she doesn’t deviate, as stated in Defi-nition 2.

Now, we propose a mathematically equivalent formulation to represent the incen-tive compatibility logic by introducing four non-negative variables for each player,(1)

i

,(0)

i

, ⇣(1)

i

, ⇣(0)

i

, and a su�ciently large scalar (or vector of scalars), eK.1 The vec-

tor (x

i

)

i

can be interpreted as the loss the player would incur by switching from itsoptimal decision to the other option, so it is similar to a dual, but not on the margin,as discussed in the previous section. The vector ⇣(xi

) are compensation payments toguarantee incentive compatibility (i.e., the remuneration the player receives from themarket operator or regulator to not deviate from the decision).

Although this may look very similar a disjunctive constraints reformulation at firstglance, it’s a bit di↵erent:

fi

⇣1, ey(1)

i

, y�i

⌘+

(1)

i

� ⇣(1)

i

� (0)

i

+ ⇣(0)

i

= fi

⇣0, ey(0)

i

, y�i

⌘(8a)

(1)

i

+ ⇣(1)

i

xi

eK (8b)

(0)

i

+ ⇣(0)

i

�1� x

i

� eK

(1)

i

,(0)

i

, ⇣(1)

i

, ⇣(0)

i

2 R+

(8c)

There are six possible outcomes regarding whether the incentives of an individualplayer and the market operator are aligned need to define in detail what incentivealign means... YES!, I am having trouble understanding this right away ornot:

individually equilibrium incentives

case optimal solution (1)

i

(0)

i

⇣(1)

i

⇣(0)

i

aligned

I active active > 0 0 0 0 yesII inactive inactive 0 > 0 0 0 yesIII inactive active 0 0 > 0 0 noIV active inactive 0 0 0 > 0 noV either active/inactive 0 0 0 0 yesVI active/inactive either 0 0 0 0 yes

Case I: incentives aligned, player would lose by not activatingCase II: incentives aligned, player would lose by activatingCase III: player must be compensated to not leave the market (i.e., deactivate)Case IV: player must be compensated to not enter the market (i.e., activate)

1 In applied work using this reformulation, one can of course make the parameter eK specificto each player and constraint to improve computation e�ciency. We omit this specificationfor notational convenience.

9

Player i will choose the value of the binary variable xi

= xi

and ey(x

i

)

i

such that

fi

⇣xi

, ey(x

i

)

i

, y�i

(x�i

)⌘is lowest given the decisions of the rivals y�i

(x�i

). Mathemat-

ically, this can be written as follows:

fi

�1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)�< f

i

�0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)�

) x⇤i

= 1 (7a)

fi

�1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)�> f

i

�0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)�

) x⇤i

= 0 (7b)

fi

�1, ey(1)

i

, y�i

(x�i

)�= f

i

�0, ey(0)

i

, y�i

(x�i

)�

) x⇤i

= {0, 1} (7c)

The logic is similar to the notion of incentive compatibility in game theory, i.e.,there exists no profitable deviation given the decisions of all rivals. This can also beinterpreted as the optimal response of each player to the rivals’ decisions.

Hence, a vector (x⇤i

, y⇤i

(x⇤i

))i2I

that satisfies the incentive compatibility constraintsin Definition 1 for each player constitutes a Nash equilibrium. If the incentive com-patibility condition is not satisfied for any feasible strategy, it may be necessary tofinancially compensate a player to ensure that she doesn’t deviate, as stated in Defi-nition 2.

Now, we propose a mathematically equivalent formulation to represent the incen-tive compatibility logic by introducing four non-negative variables for each player,(1)

i

,(0)

i

, ⇣(1)

i

, ⇣(0)

i

, and a su�ciently large scalar (or vector of scalars), eK.1 The vec-

tor (x

i

)

i

can be interpreted as the loss the player would incur by switching from itsoptimal decision to the other option, so it is similar to a dual, but not on the margin,as discussed in the previous section. The vector ⇣(xi

) are compensation payments toguarantee incentive compatibility (i.e., the remuneration the player receives from themarket operator or regulator to not deviate from the decision).

Although this may look very similar a disjunctive constraints reformulation at firstglance, it’s a bit di↵erent:

fi

⇣1, ey(1)

i

, y�i

⌘+

(1)

i

� ⇣(1)

i

� (0)

i

+ ⇣(0)

i

= fi

⇣0, ey(0)

i

, y�i

⌘(8a)

(1)

i

+ ⇣(1)

i

xi

eK (8b)

(0)

i

+ ⇣(0)

i

�1� x

i

� eK

(1)

i

,(0)

i

, ⇣(1)

i

, ⇣(0)

i

2 R+

(8c)

There are six possible outcomes regarding whether the incentives of an individualplayer and the market operator are aligned need to define in detail what incentivealign means... YES!, I am having trouble understanding this right away ornot:

individually equilibrium incentives

case optimal solution (1)

i

(0)

i

⇣(1)

i

⇣(0)

i

aligned

I active active > 0 0 0 0 yesII inactive inactive 0 > 0 0 0 yesIII inactive active 0 0 > 0 0 noIV active inactive 0 0 0 > 0 noV either active/inactive 0 0 0 0 yesVI active/inactive either 0 0 0 0 yes

Case I: incentives aligned, player would lose by not activatingCase II: incentives aligned, player would lose by activatingCase III: player must be compensated to not leave the market (i.e., deactivate)Case IV: player must be compensated to not enter the market (i.e., activate)

1 In applied work using this reformulation, one can of course make the parameter eK specificto each player and constraint to improve computation e�ciency. We omit this specificationfor notational convenience.

9

Definitionsforbinarygamesandnotionsofequilibrium

Definition:BinarygameWehaveasetofplayers,eachseekingtosolveabinaryproblem:

Definition:EquilibriuminabinarygameA(Nash)equilibriuminbinaryvariablesisafeasiblevectorsuchthat:

Definition:Quasi-equilibriuminabinarygamewithcompensationA(Nash)quasi-equilibriuminbinaryvariablesisafeasiblevectorandavectorofcompensationpaymentssuchthat:

Weintroducethenotionofabinaryquasi-equilibriumtodescribeincentive-compatible outcomeswithcompensation


minxi∈{0,1}yi∈!

m

fi xi , yi , y− i x− i( )( )

s.t. gi xi , yi( ) ≤ 0 λi( )

i ∈I

fi xi*, yi

*, y− i* x− i

*( )( ) ≤ fi xi× , yi

× , y− i* x− i

*( )( ) ∀ i ∈I

xi*, yi

*( )i∈I

xi*, yi

*( )i∈I

fi xi*, yi

*, y− i* x− i

*( )( )−ζ i ≤ fi xi× , yi

× , y− i* x− i

*( )( ) ∀ i ∈I

ζ i( )i∈I

LösungmehrstufigerbinärerGleichgewichtsprobleme

DasSpielzwischenmehrerenErzeugernkannalsganzzahlig-gemischteslinearesOptimierungsproblemgelöstwerden

DieTeilnahme amRegelenergiemarkt erfordertbinäreEntscheidungen aufmehreren Ebenen


Teilnahmeam

Regelenergiem

arkt?

JaNein

KraftwerküberdengesamtenZeitraum

inBetrieb

OptimaleErzeugungjeStundetdurchKKT-Bedingungenbestimmt

(Mindestlastberücksichtigt)

ProfitimFallderBereitstellungvonRegelenergie

KraftwerkinStundetinBetrieb?

Ja

Nein

OptimaleErzeugungundProfitinStundet durch

KKT-Bedingungenbestimmt

KeineErzeugung,Abfahrkosten=Verlust

(wenninStundet–1 inBetrieb)

VergleichzurBestimmungderoptimalenEntscheidunginStundet

SummeüberalleStundent ergibtProfitimFallderNichtteilname

VergleichzurBestimmungderoptimalenEntscheidung

Ein Vergleich von Linearen, Gemischt -Ganzzahligen … · Christoph GRAF, Institut für...

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