Arch. Math., Vol. 44, 255-258 (1985) 0003-889X/85/4403-0255 $2.30/0 O 1985 Birkh/iuser Verlag, Basel

Eine Note zur Gleichverteilung additiv erzeugter Folgen

Von

HELMUT MULLER

1. Die Anzahl der Partitionen einer natfirlichen Zahl n werde mit p (n) bezeichnet. Das Verhalten dieser zahlentheoretischen Funktion ist vielfach untersucht worden. In dieser Note besch/iftigen wir uns mit folgender Fragestellung: Ffillt die Folge

(Xk)k~ = (1,2 ,2 ,3 ,3 ,3 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 , . . . , n . . . . . n . . . . )

p(ni-mal

jede Restklasse modulo m gleichm~iBig (im Sinne von I. Niven)? Man erkennt unschwer, dab diese Folge additiv aus der Folge (Yk)k~N mit Yk = k, k = 1, 2 . . . . erzeugt wird in der Weise, dab man erst alle Linearkombinationen mit natiirlichen Koeffizienten aus den Yk bildet und sie anschliefend monoton steigend anordnet. Diese Situation ist von V. Losert [6] in einem etwas anderen Rahmen untersucht worden:

Gegeben sei eine Folge Y = (Yk)k~N reeller Zahlen mit 0 < y~ < Y2 < ... < Yk < ... und lim Yk = o0. Wenn X = (Xk)k~ die steigend angeordnete Folge der von Y additiv erzeug-

k--+ oo

ten Zahlen ist (Vielfachheiten mitgez/ihlt), wann ist dann X gleichverteilt rood a, ~ ~ ~,, > 0 ? Auch J.-P. Borel hat diese Frage bereits friiher in [4] aufgegriffen. Losert fand

folgendes notwendige und hinreichende Kriterium: Die Folge X ist genau dann gleich- verteilt rood a, weun

(1) Y nicht in --~7A. ffir m = 1, 2, 3 . . . . enthalten und m

A(x) (2) lim - 1 ist, wobei A ( x ) : = Z 1, x > 0.

~,-.oo A(x + 1) xu__<x

Offensichtlich ist (1) notwendig, ebenso (2), wenn man etwa Satz 1.3 aus [5] berficksichtigt. DaB diese Bedingungen auch hinreichend sind, lfiBt sich elementar unter Benutzung des Weylschen Kriteriums herleiten.

In Erg/inzung zu Losert, der den Fall, dab alle Yk und damit auch die x k ganzrational sind, ausschlieBt, zeigen wir

Satz 1. Sei m ~ IN, m > 1 und Y = (Yk)k~N eine nichtfallende Folge natiArlicher Zahlen ohne endIichen Hdufungspunkt. Die yon Y additiv erzeugte Halbgruppe sei ebenfalls als nichtfallende Folge X = (Xk)kE N angeordnet. Dann ist X genau dann gleichverteilt

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modulo m, falls (2) und

(3) ggT(m, Yl, Y2 . . . . ) = 1

gilt.

B e i s p i e l e . Man setze f/ir k = 1,2,3 . . . .

(1) Yk : = k (oder = k ~, r s N). Dies fiihrt auf die eingangs angeffihrte Folge. Da (3) ffir alle m E N und (2) wegen p (n + 1) = o ( Z P (k)), n ~ oo ebenfalls gilt, ist die zuge- h6rige Folge X gleichverteilt in Z; k<-n

(2) yk: = pk-~ ffir eine Primzahl p, so erffillt die Parti t ionenfunktion d A ( n ) = pp(n)

= 1_ Z pp(n - k)(pep~k)+l _ 1), wobei ep(k) den genauen p-Exponenten yon k an- H k<__n

gibt. Also gilt

pp(n+ 1 ) < 1 tn~p~,+~)+ 1 _ 1 ) ~ p p ( k ) ~ l ~ = rt -k- 1 ~v /,/ k<=n

d.h. (2) und (3) sind wiederum erffillt. Dieses Beispiel ist ein Spezialfall des sog. ,,Mahlerschen Part i t ionsproblems" (vgl. z .B .W. Schwarz [8]);

(3) Ist die Folge Y streng monoton steigend - wie in den vorigen Beispielen - , so ist (2) stets erfiillt, wie P. T. Bateman und P. Erd6s in [2] gezeigt haben.

Es erhebt sich damit die Frage, ob die Gleichverteilung (wie in den Beispielen) erhalten bleibt, wenn man die Glieder der erzeugenden Folge Y mehrfach hinschreibt. Tut man dies nut beschrfinkt oft, so beantwortet diese Frage

Satz 2. Sei (Yk)keN eine nichtfallende Folge nati~rlicher Zahlen ohne endlichen H6ufungs- punkt. Die aus den Yk additiv erzeugten Zahlen seien wieder als nichtfallende Folge (Xk)kE N

angeordnet. Ist (Xk)k~ N gleichverteilt modulo m, m ~ N, m > 1, so auch die yon

(Yk)kEN = ( Y l ' ' ' ' ' i l l ' Y 2 ' ' ' ' ' Y2 . . . . )

n-mal n-mal

additiv erzeugte Folge fftr jedes n ~ N.

2. Obwohl die in dieser Note betrachteten Probleme additiver Natur sind, wollen wir sie der Einfachheithalber in fiquivalente multiplikative umformen. Wir setzen dazu p , : = e y", n e N und erhalten so eine Folge reeller Zahlen (P,).~N mit

l < p l < p 2 < - - . < p . < . . - und l i m p , = m. n~ot~

Den additiv aus den Yk erzeugten Zahlen X k entsprechen g, = e x', n ~ N, die aus den p , multiplikativ entstehen. Wir haben damit eine multiplikative Halbgruppe G, die von den p . frei erzeugt wird, wit schreiben: G = (P l , P2 . . . . ). Solche Halbgruppen sind bereits vielfach untersucht worden, wenn aueh in etwas anderem Zusammenhang (vgl. z.B. [1], [3]). Da ffir die Anzahlfunktion A(x) der Xk gilt A(x) = N~(eX), wobei N~(x) die der

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Elemente von Gist, erweist sich die Bedingung (2) als gleichbedeutend mit

lira - - No (c x) _ 1, f/Jr aUe 0 < c < ~ , ~-,~ NG(X)

d.h. N o (x) ist im Sinne yon J. Karamata ,,0-regul/ir" oder ,,yon langsamem Wachstum". Um Satz 1 zu beweisen, benutzen wir ein Ergebnis, das in additiver Form bereits yon Losert angegeben wurde:

Hilfssatz 1 (Losert). Sei G = (Pl , P2 . . . . ) und No (x) = ~ 1 von langsamem Wachstum. Gibt es k ~ N mit 1ogpk~Z , SO ist g~x

g e t

1 g2n i = O. lira N ~ g~x

x--+ oo

g~O

Nun folgt

B e w e i s v o n S a t z 1. Die Notwendigkeit yon (2) und (3) ist offensichtlich. Sei m s N, m > 1. Nach [5], S. 306 ist eine Folge (Xk)k~, Xk e 7Z genau dann gleichverteilt modulo m, wenn ffir alle h e {1 . . . . , m - 1} gilt

lim --1 ~ e 2 ~ i h x k / m ~ - O. N ~ N k=l

Da nach (3) ggT(m, Yl, Y2,-..) ----- 1 ist, gibt es zu jedem h ein y, mit hy ,~ imZ. Wir setzen r �9 ira wiederpk : = e r~, k ~ N und betrachten die Halbgruppe G' -= (p'~, P2, . . -) , wobelp, = ph.

Dann gilt N o, (x) = N a (xm/h). Da N o (x) von langsamem Wachstum ist und noch log p', r 2~ gilt, folgt mit Hilfssatz 1

1 1 0 = lim Na,(x) Z g, 2~i lira y, ga~,h/ra

3. In diesem Abschnitt geben wir einige Ergebnisse ftir den Fall der Vereinigung zweier Erzeugendensysteme an. Es sei also G = @1, P2 . . . . ) und (qk)k~N eine Teilfolge (Pk)k~N" Wir setzen G 1 : = (q l ,q2 . . . . ) und fragen, wann die Anzahlfunktion No(x ) v o n lang- samem Wachstum ist. Ist noch G 2 die von den fibrigen Erzeugenden (Pk)k~N\(qk)k~N gebildete Halbgruppe, so gilt

Hilfssatz 2. Ist Nol(x )von langsamem Wachstum und ist No2(x ) = o(No, (x) ), so ist auch No(x ) yon langsamem Wachstum.

B e w e i s. Sei c > 1 fest, e > 0 beliebig. Ffir x > Xo > 1 ist dann No,(x ) <= No,(cx ) < (1 + e) No,(x ). Weiter folgt wegen N o = No, �9 No2

No(c x) = No, dNo2(t).

Spaltet man das Integrationsintervall bei x/x o auf und sch/itzt die einzelnen Integrale unter Ausnutzung der Voraussetzung fiber No2(x ) ab, so erh/ilt man die Behauptung sofort. Da sich der Fall c < 1 auf diesen zurfickffihren 1/iBt, ist Hilfssatz 2 gezeigt.

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B e m e r k u n g. Losert zeigt ein wesentlich scMrferes Resultat, indem er NG2(x ) = o (NG1 (x)) zu P2 (x) = o (No,(x)) abschwfichen kann, wobei P2 (x) die Anzahlfunktion der Erzeugenden von G 2 ist.

Auch hier lfiBt sich Hilfssatz 2 verschfirfen, denn mit gleicher Methode l~igt sich N~2(x ) = o (NGI(X)) abschw/ichen zu

(4) NG~(Dx) - Na~(dx) = o(NG~(x)), x ~ oe ffir alle d,D mit 0 < d < D.

Also gilt

Hilfssatz 3. Ist Nal(x ) yon langsamem Wachstum und gilt (4) ffir alle 0 < d < D, so ist auch Na (x) von langsamem Wachstum.

Durch sukzessive Anwendung dieses Hilfssatzes ergibt sich Satz 2.

B e m e r k u n g . Verlangt man in Satz 2 nur

(Yk)ksN = ( Y l , " ' , Yl, Y2 . . . . . Y2 . . . . )

n l -mal n2-mal

mit n k ~ 1 fiir k ~ ~ , so bleibt Satz 2 richtig. Dies folgt mit Hilfssatz 2, wenn man

berficksichtigt, dag f f i rd i eAnzah l funk t ionenNo2(x )<NGl (x ) -NG, (~ )g i l t , soferndie

Folge der Erzeugenden yon G2 eine echte Teilfolge von (q.).~N ist und qk kein erzeugendes Element von G2 ist. Es erhebt sich somit die Frage, wie .schnell" die Zahlen nk mit k anwaehsen dfirfen, damit die Anzahlfunktion NG(x) yon langsamem Wachs tum bleibt.

Literaturverzeichnis

[1] P. T. BATEMAN and H. G. DIAMO~,U~, Asymptotic distribution of Beurling's generalized prime numbers. M.A.A. Studies in Number Theory 6, W. J. LEVEQUE ed. Englewood Cliffs, N.J., 152-210 (1969).

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[6] V. LOSERT, l~quir~partition des suites d~fines par des semi-groupes additifs. C.R. Acad. Sc. Paris 292, 573-575 (1981).

[7] H. RADEMACHER, Topics in Analytic Number Theory. Berlin-Heidelberg-New York 1973. [8] W. SCHWARZ, Einige Anwendungen Tauberscher S/itze in der Zahlentheorie. C. J. Reine Angew.

Math. 228, 182-188 (1967). Eingegangen am 25.5. 1984

Anschrift des Autors:

H. Miiller Mathematisches Seminar der Universitfit Hamburg Bundesstrage 55 D-2000 Hamburg 13