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Universit¨ at Hamburg MIN-Fakult¨ at Department Informatik - Einf¨ uhrung in die Robotik Einf¨ uhrung in die Robotik Jianwei Zhang [email protected] Universit¨ at Hamburg Fakult¨ at f¨ ur Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Department Informatik Technische Aspekte Multimodaler Systeme 08. Juni 2010 J. Zhang 273 Universit¨ at Hamburg MIN-Fakult¨ at Department Informatik Dynamik Einf¨ uhrung in die Robotik Gliederung Allgemeine Informationen Einf¨ uhrung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Jacobi-Matrix eines Manipulators Aufgabenbeschreibung Robotergrammierung auf drei Ebenen Trajektoriegenerierung Trajektoriengenerierung Einf¨ uhrung in RCCL J. Zhang 274 Universit¨ at Hamburg MIN-Fakult¨ at Department Informatik Dynamik Einf¨ uhrung in die Robotik Gliederung (cont.) Dynamik Probleme der Dynamik von Manipulatoren Beispiel f¨ ur einen zweigelenkigen Manipulator Lagrange’sche Gleichungen Roboterregelung Programmierung auf Aufgabenebene und Bahnplanung Programmierung auf Aufgabenebene und Bahnplanung Programmierung auf Aufgabenebene und Bahnplanung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und R¨ uckblick J. Zhang 275 Universit¨ at Hamburg MIN-Fakult¨ at Department Informatik Dynamik - Probleme der Dynamik von Manipulatoren Einf¨ uhrung in die Robotik Probleme der Dynamik von Manipulatoren I Vorw¨ artsdynamik: I Vorgabe: Gelenkkr¨ afte/-momente; I Gesuchte: Bewegungsparameter; I Anwendung: Simulation eines Robotermodells. I Inverse Dynamik: I Vorgabe: gew¨ unschte Roboterbewegung; I Gesuchte: erforderliche Gelenkkr¨ afte/-momente; I Anwendung: Modell-basierte Regelung eines Roboters. τ (t ) → Direkte Dynamikgleichung → q(t ), (˙ q(t ), ¨ q(t )) q(t ) → Inverse Dynamikgleichung → τ (t ) NICHT parallel wie das Problem der Kinematik, ist die invserse Dynamik einfacher zu l¨ osen als die direkte Dynamik. J. Zhang 276
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MIN-FakultatDepartment Informatik
- Einfuhrung in die Robotik
Einfuhrung in die Robotik
Jianwei [email protected]
Universitat HamburgFakultat fur Mathematik, Informatik und NaturwissenschaftenDepartment Informatik
Technische Aspekte Multimodaler Systeme
08. Juni 2010
J. Zhang 273
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Dynamik Einfuhrung in die Robotik
Gliederung
Allgemeine InformationenEinfuhrungKoordinaten eines ManipulatorsKinematik-GleichungenKinematik-GleichungenInverse Kinematik von ManipulatorenDifferentielle Bewegungen mit homogenen TransformationenJacobi-Matrix eines ManipulatorsAufgabenbeschreibungRobotergrammierung auf drei EbenenTrajektoriegenerierungTrajektoriengenerierungEinfuhrung in RCCL
J. Zhang 274
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Dynamik Einfuhrung in die Robotik
Gliederung (cont.)
DynamikProbleme der Dynamik von ManipulatorenBeispiel fur einen zweigelenkigen ManipulatorLagrange’sche Gleichungen
RoboterregelungProgrammierung auf Aufgabenebene und BahnplanungProgrammierung auf Aufgabenebene und BahnplanungProgrammierung auf Aufgabenebene und BahnplanungArchitekturen sensorbasierter intelligenter SystemeAus- und Ruckblick
J. Zhang 275
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Dynamik - Probleme der Dynamik von Manipulatoren Einfuhrung in die Robotik
Probleme der Dynamik von Manipulatoren
I Vorwartsdynamik:
I Vorgabe: Gelenkkrafte/-momente;I Gesuchte: Bewegungsparameter;I Anwendung: Simulation eines Robotermodells.
I Inverse Dynamik:
I Vorgabe: gewunschte Roboterbewegung;I Gesuchte: erforderliche Gelenkkrafte/-momente;I Anwendung: Modell-basierte Regelung eines Roboters.
τ(t) → Direkte Dynamikgleichung → q(t), (q(t), q(t))q(t) → Inverse Dynamikgleichung → τ(t)
NICHT parallel wie das Problem der Kinematik, ist die invserse Dynamik
einfacher zu losen als die direkte Dynamik.
J. Zhang 276
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Dynamik - Probleme der Dynamik von Manipulatoren Einfuhrung in die Robotik
Probleme der Dynamik von Manipulatoren
Zwei Berechnungsverfahren:
I Analytische Methoden:aufgebaut auf Lagrange’schen Gleichungen
I Synthetische Methoden:Anwendung der Newton-Euler’schen Gleichungen
Ein Problem mit der Rechnezeit:Komplexitat zur Auswertung des Lagrange-Euler-Modells (siehe diekommenden Seiten): O(n4) wobei n die Anzahl der Gelenke ist.n = 6: 66,271 Multiplikationen und 51,548 Additionen.
J. Zhang 277
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Dynamik - Beispiel fur einen zweigelenkigen Manipulator Einfuhrung in die Robotik
Beispiel fur einen zweigelenkigen Manipulator
J. Zhang 278
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Dynamik - Beispiel fur einen zweigelenkigen Manipulator Einfuhrung in die Robotik
Newton-Euler’sche Gleichungen fur das Beispiel - I
nach dem Newton’s zweiten Gesetz sind die Krafte an demSchwerpunkt des Glieder 1 und 2 jeweils:
F1 = m1r1
F2 = m2r2
wobeir1 = 1/2l1(cos θ1~i + sin θ1~j)
r2 = 2r1 + 1/2l2[cos(θ1 + θ2)~i + sin(θ1 + θ2)~j ]
J. Zhang 279
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Dynamik - Beispiel fur einen zweigelenkigen Manipulator Einfuhrung in die Robotik
Newton-Euler’sche Gleichungen fur das Beispiel - I
Euler’sche Gleichungen:
τ1 = I1ω1 + ω1 × I1ω1
τ2 = I2ω2 + ω2 × I2ω2
wobeiI1 = m1l1
2/12 + m1R2/4
I2 = m2l22/12 + m2R
2/4
J. Zhang 280
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Dynamik - Beispiel fur einen zweigelenkigen Manipulator Einfuhrung in die Robotik
Newton-Euler’sche Gleichungen fur das Beispiel - II
Die Winkelgeschwindigkeiten und -Beschleunigungen sind:
ω1 = θ1
ω2 = θ1 + θ2
ω1 = θ1
ω2 = θ1 + θ2
Da ωi × Iiωi = 0, gilt es dann fur die Kraftmomente an demSchwerpunkt des Glieder 1 und 2:
τ1 = I1θ1
τ2 = I2(θ1 + θ2)
F1,F2, τ1, τ2 werden fur die Kraft- und Kraftmoment-Balance verwendet.
Dadurch werden die Kraftmomente direkt an Gelenk 1 und 2 gelost.J. Zhang 281
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Dynamik - Lagrange’sche Gleichungen Einfuhrung in die Robotik
Lagrange’sche Gleichungen
Die lagrange’sche Funktion L wird definiert als die Differenz zwischen derkinetischen Energie K und der potentiellen Energie P des Systems:
L = K − P
Satz: Die Bewegungsgleichungen fur ein mechanisches System mitallgemeinen Koordinaten q ∈ Θn und der lagrange’schen Funktion L sindgegeben uber:
d
dt
∂L
∂qi− ∂L
∂qi= Fi , i = 1, . . . , n
wobeiqi : die Koordinaten, mit den die kinetische und potentielle Energiedargestellt werden;qi : die entsprechende Geschwindigkeit;
Fi : die entsprechende Kraft oder das entsprechende Kraftmoment,
abhangig davon, ob qi ein linearer oder Winkel-Geschwindigkeit ist.
J. Zhang 282
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Dynamik - Lagrange’sche Gleichungen Einfuhrung in die Robotik
Besipiel 2 fur einen zweigelenkigen Manipulator
J. Zhang 283
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Dynamik - Lagrange’sche Gleichungen Einfuhrung in die Robotik
Langrage’sche Verfahren fur das Beispiel - I
Die kinetische Energie des Masses m1 ist:
K1 =1
2m1d1
2θ12
Die potentielle Energie ist:
P1 = −m1gd1cos(θ1)
Die kartesischen Positionen sind:
x2 = d1sin(θ1) + d2sin(θ1 + θ2)
y2 = −d1cos(θ1)− d2cos(θ1 + θ2)
J. Zhang 284
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Dynamik - Lagrange’sche Gleichungen Einfuhrung in die Robotik
Langrage’sche Verfahren fur das Beispiel - II
Die kartesischen Komponenten der Geschwindigkeiten sind:
x2 = d1cos(θ1)θ1 + d2cos(θ1 + θ2)(θ1 + θ2)
y2 = d1sin(θ1)θ1 + d2sin(θ1 + θ2)(θ1 + θ2)
Das Quadrat der Geschwindigkeitsgroße ist:
v22 = x2
2 + y22
Die kinetische Energie des 2. Gelenks ist:
K2 =1
2m2v2
2
Die potentielle Energie des 2. Gelenks ist:
P2 = −m2gd1cos(θ1)−m2gd2cos(θ1 + θ2)
J. Zhang 285
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Dynamik - Lagrange’sche Gleichungen Einfuhrung in die Robotik
Langrage’sche Verfahren fur das Beispiel - III
Die Langrange’sche Funktion ist:
L = (K1 + K2)− (P1 + P2)
Das Kraftmoment auf Gelenk 1 bzw. 2 ist jeweils:
τ1 =d
dt
∂L
∂θ1− ∂L
∂θ1
τ2 =d
dt
∂L
∂θ2− ∂L
∂θ2
J. Zhang 286
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Dynamik - Lagrange’sche Gleichungen Einfuhrung in die Robotik
Langrage’sche Verfahren fur das Beispiel - III
τ1 und τ2 werden schließlich dargestellt als:
τ1 =D11θ1 + D12θ2 + D111θ21 + D122θ
22
+ D112θ1θ2 + D121θ2θ1 + D1
τ2 =D21θ1 + D22θ2 + D211θ21 + D222θ
22
+ D212θ1θ2 + D221θ2θ1 + D2
J. Zhang 287
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Dynamik - Lagrange’sche Gleichungen Einfuhrung in die Robotik
Langrage’sche Verfahren fur das Beispiel - III
wobeiDii : die effektive Tragkeit (inertia) auf Gelenk i ;Dij : die Kopplung-Tragkeit zwischen Gelenk i und j ;Dijj : die Koeffizienten der zentripetalen Kraft auf Gelenk i wegender Geschwindigkeit des Gelenk j ;Diik(Diki ): die Koeffizienten der Coriolis-Kraft auf Gelenk i wegender Geschwindigkeiten des Gelenk i und k ;Di : die Schwerkraft auf Gelenk i .
J. Zhang 288
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Dynamik - Allgemeine dynamische Gleichungen Einfuhrung in die Robotik
Allgemeine dynamische Gleichungen eines allgemeinenManipulators - I
τ = M(Θ)Θ + V (Θ, Θ) + G (Θ)
M(Θ): die lageabhagige n × n-Massenmatrix eines ManipulatorsFur das obige Beispiel:
M(Θ) =
[D11 D12
D21 D22
]V (Θ, Θ): ein n × 1-Vektor der Zentripetal- und Coriolis-TermeFur das obige Beispiel:
V (Θ, Θ) =
[D111θ
21 + D122θ
22 + D112θ1θ2 + D121θ2θ1
D211θ21 + D222θ
22 + D212θ1θ2 + D221θ2θ1
]J. Zhang 289
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Dynamik - Allgemeine dynamische Gleichungen Einfuhrung in die Robotik
Allgemeine dynamische Gleichungen eines allgemeinenManipulators - I
Ein Term wie D111θ21 wird von einer zentrifugalen Kraft verursacht;
Ein Term wie D112θ1θ2 wird von einer Coriolis-Kraft verursachtund beinhaltet immer das Produkt der beiden Geschwindigkeiten.G (Θ): der Schwerkraft-Term, hangt immer von Θ ab.Fur das obige Beispiel:
G (Θ) =
[D1
D2
]
J. Zhang 290
![arXiv:1411.7610v3 [stat.ML] 5 Mar 2015 · Under review as a conference paper at ICLR 2015 LEARNING STOCHASTIC RECURRENT NETWORKS Justin Bayer Lehrstuhl fur Echtzeitsysteme und Robotik¨](https://static.fdokument.com/doc/165x107/5aca63d07f8b9a51678ddb9d/arxiv14117610v3-statml-5-mar-2015-review-as-a-conference-paper-at-iclr-2015.jpg)
