Einführung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden ... · unterschiedliche Gitter (!Mortar...
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Einfuhrung in nicht-konformeGebietszerlegungsmethoden.
Die Mortar-Methode
Kathrin Smetana
23. Juli 2010
EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Gliederung:
Einfuhrung
Die Mortar Finite Elemente Methode
Fehlerabschatzungen
Die Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Kathrin Smetana Einfuhrung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden
EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Einfuhrung
Kathrin Smetana Einfuhrung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden
EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Einfuhrung:
Anwendungsbeispiel: Simulation von Blutstromungen
Vereinfacht: Simulation von Blutstromungen in einer Ader
Kathrin Smetana Einfuhrung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden
EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Einfuhrung:
Anwendungsbeispiel: Simulation von Blutstromungen
Vereinfacht: Simulation von Blutstromungen in einer Ader
Kathrin Smetana Einfuhrung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden
EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Modellproblem
Sei Ω ⊂ Rd beschranktes Gebiet und f ∈ L2(Ω). Finde u ∈ H10 (Ω),
so dass ∫Ω∇u∇v =
∫Ω
f v , ∀v ∈ H10 (Ω). (1)
Kathrin Smetana Einfuhrung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden
EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
nichtuberlappende Gebietszerlegung: Unterteile Ω in Ω1
und Ω2 und sei Γ = Ω1 ∩ Ω2 die Schnittflache. O.b.d.A. gelteΓ ∩ ∂Ω 6= ∅
Definiere entsprechende Raume:Vi :=
vi ∈ H1(Ωi ) : vi |∂Ω∩∂Ωi
= 0
, i = 1, 2
den Spurraum Λ = H1/200 (Γ)
Kathrin Smetana Einfuhrung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden
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FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Schwache Formulierung des zerlegten Poisson-Problems(konform):
Finde u1 ∈ V1, u2 ∈ V2, so dass∫Ω1
∇u1∇v1 =
∫Ω1
fv1 ∀v1 ∈ V1 und
∫Ω2
∇u2∇v2 =
∫Ω2
fv2 ∀v2 ∈ V2
und die Kopplungsbedingungen
u1 = u2 auf Γ∫Ω2
∇u2∇v2 =
∫Ω2
fR2µ+
∫Ω1
fR1µ−∫
Ω1
∇u1∇v1 ∀µ ∈ H1/200 (Γ).
gelten. Ri : H1/200 (Γ)→ Vi mit (Riµ)|Γ = µ, i = 1, 2, sind hierbei
Fortsetzungsoperatoren.
Kathrin Smetana Einfuhrung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden
EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Diskrete Formulierung des zerlegten Poisson-Problems(konform):
Th: regulare Triangulierung von ΩΓ = Ω1 ∩ Ω2 ist die Vereinigung von Kanten derTriangulierung
Figure: Triangulierung im konformen Setting
Finde ui ,h ∈ Vi ,h, so dass∫Ωi
∇ui,h∇vi,h =
∫Ωi
fvi,h ∀vi,h ∈ Vi,h, i = 1, 2
und die Kopplungsbedingungen
u1,h = u2,h auf Γ∫Ω2
∇u2,h∇v2,h =
∫Ω2
fR2,hµ+
∫Ω1
fR1,hµ−∫
Ω1
∇u1,h∇v1,h ∀µ ∈ Λh.
gelten, wobei Ri ,h : Λh → Vi ,h diskreteFortsetzungsoperatoren.
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FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Diskrete Formulierung des zerlegten Poisson-Problems(konform):
Th: regulare Triangulierung von Ω
Γ = Ω1∩Ω2 ist die Vereinigung von Kanten der TriangulierungFinde ui ,h ∈ Vi ,h, so dass∫
Ωi
∇ui,h∇vi,h =
∫Ωi
fvi,h ∀vi,h ∈ Vi,h, i = 1, 2
und die Kopplungsbedingungen
u1,h = u2,h auf Γ∫Ω2
∇u2,h∇v2,h =
∫Ω2
fR2,hµ+
∫Ω1
fR1,hµ−∫
Ω1
∇u1,h∇v1,h ∀µ ∈ Λh.
gelten, wobei Ri ,h : Λh → Vi ,h diskreteFortsetzungsoperatoren.
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FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Idee der nicht-konformen Gebietszerlegungsmethode. Teil 1:Wahle
unterschiedliche Gitter (→ Mortar Finite Elemente Methode)
unterschiedliche endlichdimensionale Teilraume (→ ReduzierteBasis Elemente Methode, Kombination von Finite Elementenvon unterschiedlichem Polynomgrad)
in den beiden Teilgebieten.
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Zusammenfassung
Idee der nicht-konformen Gebietszerlegungsmethode. Teil 2:Eine Funktion v ∈ L2(Ω) ist genau dann in H1
0 (Ω), wenn gilt:
1 die Restriktion vi von v auf Ωi liegt im Raum H1(Ωi ),
2 die Spuren der Funktionen v1 und v2 stimmen auf ∂Ω1 ∩ ∂Ω2
uberein
3 die Spur der Funktion vi verschwindet auf ∂Ωi ∩ Γ, i = 1, 2.
Idee: Gebe die Bedingungen 2 und 3 auf und fordere diese nur imschwachen Sinne. Wir definieren:
X =
v ∈ L2(Ω) : vi ∈ H1(Ωi ), i = 1, 2
(2)
und versehen den Raum mit der Norm:
‖v‖∗ =
(2∑
i=1
‖vi‖2H1(Ωi )
)1/2
. (3)
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Zusammenfassung
Fur q ∈ H(div; Ω) definieren wir den normalen Anteilq · ν ∈ H−1/2(∂Ω) (ν: außere Normale entlang von ∂Ω,H−1/2(∂Ω): Dualraum von H1/2(∂Ω))
Es gilt die Greensche Formel:
∀ v ∈ H1(Ω),
∫Ω
(∇v · q + v divq) dx =
∫∂Ω
vq · νdγ.
Definiere den Raum:
M =
µ ∈
2∏i=1
H−1/2(∂Ωi ) : ∃q ∈ H(div; Ω) so dass q · νi = µ auf ∂Ωi , i = 1, 2
und versehe ihn mit der Norm
‖µ‖M = infq∈H(div;Ω);q·νi=µ auf ∂Ωi , i=1,2
‖q‖H(div;Ω).
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Zusammenfassung
Betrachte auf X ×M die Bilinearform
b(v , µ) = −2∑
i=1
∫∂Ωi
µvdγ.
Dann gilt:
H10 (Ω) = v ∈ X : ∀µ ∈ M, b(v , µ) = 0
und fur v ∈ H10 (Ω) gilt:
b(v , µ) =
∫Γ[v ]µdγ = 0, µ ∈ M, (4)
wobei [v ] den Sprung der Funktion uber die Schnittflache Γdarstellt.
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Zusammenfassung
Unter Verwendung der Bilinearform b(v , µ) lasst sich (1) als folgen-des Sattelpunktproblem schreiben: Finde (u, λ) ∈ X ×M, so dass
2∑i=1
∫Ωi
∇u · ∇v dx + b(v , λ) =
∫Ω
fv dx, ∀ v ∈ X , (5)
b(u, µ) = 0 ∀µ ∈ M. (6)
Theorem
Das Problem (5),(6) hat eine eindeutige Losung (u, λ) ∈ X ×M.Ferner ist u ∈ H1
0 (Ω) die Losung von (1) und es gilt
λ =∂u
∂νiauf ∂Ωi , i = 1, 2. (7)
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Zusammenfassung
Unter Verwendung der Bilinearform b(v , µ) lasst sich (1) als folgen-des Sattelpunktproblem schreiben: Finde (u, λ) ∈ X ×M, so dass
2∑i=1
∫Ωi
∇u · ∇v dx + b(v , λ) =
∫Ω
fv dx, ∀ v ∈ X , (5)
b(u, µ) = 0 ∀µ ∈ M. (6)
Theorem
Das Problem (5),(6) hat eine eindeutige Losung (u, λ) ∈ X ×M.Ferner ist u ∈ H1
0 (Ω) die Losung von (1) und es gilt
λ =∂u
∂νiauf ∂Ωi , i = 1, 2. (7)
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Zusammenfassung
Bemerkung
Die Losung (u, λ) ist der eindeutige Sattelpunkt des FunktionalsL(v , µ) = 1
2
∫Ω |∇u|2 dx−
∫Ω fv dx + b(v , µ) uber X ×M, d.h.
L(u, λ) = minv∈X
maxµ∈M
L(v , µ) = maxµ∈M
minv∈X
L(v , µ).
Daher ist λ der Lagrange-Multiplikator zur Bedingung u ∈ H10 (Ω).
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Die Mortar Finite Elemente Methode
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Zusammenfassung
Th,i : regulare Triangulierung von Ωi mit Gitterweite hi .Xh,i =
vh ∈ H1(Ωi ) ∩ C 0(Ωi ) : vh|∂Ω∩∂Ωi
= 0, vh|T ∈ Pki (T ),T ∈ Th,i
Xh =vh ∈ L2(Ω) : vh|Ωi
∈ Xh,i
Mh =
2∏i=1
Mh,i ⊂ L2(Γ) diskreter Lagrange-Multiplikatoren
Raum.Die Schnittflache Γ erbt eine (d − 1)-dimensionaleTriangulierung Sh entweder von Th,1 oder Th,2 (im Bild vonTh,2).
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Zusammenfassung
Schwache diskrete Interface Bedingung:
Sei vh ∈ Xh. Dann lautet die diskrete schwache InterfaceBedingung: ∫
Γ(v 1
h − v 2h )µih = 0 ∀µih ∈ Mh,i . (8)
Fur i = 2, ware Ω1 die mortar und Ω2 die non-mortar side.
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Zusammenfassung
Ansatz 1: Lose Sattelpunktproblem auf Xh:
Finde (uh, λh) ∈ Xh ×Mh, so dass
2∑i=1
∫Ωi
∇uh∇vh + b(vh, λh) =
∫Ω
fvh ∀ vh ∈ Xh,
b(uh, µh) = 0, ∀µh ∈ Mh.
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Zusammenfassung
Ansatz 2: Lose Dgl in beiden Teilraumen getrennt undverklebe mit der schwachen Interfacebedingung
b(vh, µh) =∫
Γ [vh]µh
Vh := vh ∈ Xh : b(vh, µh) = 0, µh ∈ MhSchwache, diskrete Formulierung: Finde uh ∈ Vh so dass
2∑i=1
∫Ωi
∇uh∇vh =
∫Ω
fvh ∀ vh ∈ Vh.
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Zusammenfassung
Praktische Realisierung von Ansatz 2. Basisgenerierung:
Ni : Knoten im Inneren von Ωi , N iΓ: Knoten auf Γ, i = 1, 2
Ni , N iΓ: Anzahl der jeweiligen Knoten
ϕ1k ′: Finite Elemente Basis Funktionen zu den Knoten in N1
ϕ1k ′: Fortsetzung durch 0 in Ω2, ϕ2
k ′′: Analogon fur Ω2
Fur jede Basisfunktion ϕ1m,Γ in Ω1, m = 1, ...,N1
Γ definiere
Basisfunktion ϕm,Γ durch
ϕm,Γ =
ϕ1m,Γ in Ω1,
ϕ2m,Γ in Ω2,
wobei ϕ2m,Γ =
N2Γ∑
j=1ξjϕ
2j ,Γ, und die ξj die schwache
Interfacebedingung erfullen mussen:∫Γ
N2Γ∑
j=1
ξjϕ2j,Γ − ϕ1
m,Γ
ϕ2l,Γ = 0 ∀ l = 1, ...,N2
Γ .
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Zusammenfassung
Praktische Realisierung von Ansatz 2. Verfahren zurBerechnung von uh:
Neumann-Schritt in Ω1: Finde (u1h)k+1 ∈ Xh,1 :∫
Ω1
∇(u1h)k+1∇ϕ1
k′ =
∫Ω1
f ϕ1k′ ∀ k ′ = 1, ...,N1∫
Ω1
∇(u1h)k+1∇ϕ1
m,Γ =
∫Ω1
f ϕ1m,Γ +
∫Ω2
f ϕ2m,Γ
−∫
Ω2
∇(u2h)k∇ϕ2
m,Γ ∀m = 1, ...,N1Γ ;
Dirichlet-Schritt in Ω2: Finde (u2h)k+1 ∈ Xh,2 :∫
Ω2
∇(u2h)k+1∇ϕ2
k′′ =
∫Ω2
f ϕ2k′′ ∀ k ′′ = 1, ...,N1∫
Γ
((u2h)k+1 − (u1
h)k+1)ϕ2j,Γ = 0 ∀ j = 1, ...,N2
Γ .
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Zusammenfassung
Fehlerabschatzungen
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Zusammenfassung
Fur vh ∈ Vh folgt mit der Poincare-Ungleichung:
c‖uh − vh‖2∗ ≤
2∑i=1
∫Ωi
|∇(uh − vh)|2
=2∑
i=1
∫Ωi
∇uh · ∇(uh − vh)−2∑
i=1
∫Ωi
∇vh · ∇(uh − vh)
=2∑
i=1
∫Ωi
f (uh − vh)−2∑
i=1
∫Ωi
∇vh · ∇(uh − vh)
Ersetzen von f durch −∆u und partielle Integration liefert:
2∑i=1
∫Ωi
f (uh − vh) =2∑
i=1
∫Ωi
∇u · ∇(uh − vh)−∫
Γ
∂u
∂ν
(uh − vh)1 − (uh − vh)2︸ ︷︷ ︸=[uh−vh ]Γ
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Zusammenfassung
Wir erhalten
‖uh − vh‖∗ ≤ c
(‖u − vh‖∗ + sup
wh∈Vh
∣∣∫Γ∂u∂ν
[wh]Γ
∣∣‖wh‖∗
).
Mit der Dreiecksungleichung
‖u − uh‖∗ ≤ ‖u − vh‖∗ + ‖uh − vh‖∗
fuhrt dies auf
Lemma von Berger, Scott und Strang/2. Strang-Lemma
Fur den Fehler u − uh gilt die Abschatzung:
‖u − uh‖∗ ≤ c
(inf
vh∈Vh
‖u − vh‖∗︸ ︷︷ ︸Bestapproximationsfehler
+ supwh∈Vh
∣∣∫Γ∂u∂ν
[wh]Γ
∣∣‖wh‖∗︸ ︷︷ ︸
Konsistenzfehler
)(9)
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Zusammenfassung
Wir erhalten
‖uh − vh‖∗ ≤ c
(‖u − vh‖∗ + sup
wh∈Vh
∣∣∫Γ∂u∂ν
[wh]Γ
∣∣‖wh‖∗
).
Mit der Dreiecksungleichung
‖u − uh‖∗ ≤ ‖u − vh‖∗ + ‖uh − vh‖∗
fuhrt dies auf
Lemma von Berger, Scott und Strang/2. Strang-Lemma
Fur den Fehler u − uh gilt die Abschatzung:
‖u − uh‖∗ ≤ c
(inf
vh∈Vh
‖u − vh‖∗︸ ︷︷ ︸Bestapproximationsfehler
+ supwh∈Vh
∣∣∫Γ∂u∂ν
[wh]Γ
∣∣‖wh‖∗︸ ︷︷ ︸
Konsistenzfehler
)(9)
Der Konsistenzfehler ist der Preis, welchen man fur dieVerletzung der Konformitat bezahlen muss.
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Zusammenfassung
Da ∫Γ
∂u
∂ν[wh]Γ =
∫Γ
(∂u
∂ν− µ2
h
)[wh]Γ ∀µ2
h ∈ M2h ,
kann µ2h zum Beispiel als die FEM-Interoplierende von ∂u
∂ν |Γauf Sh gewahlt werden um den Konsistenzfehler zuminimieren.Mit dieser Wahl gilt:∥∥∥∥∂u∂ν − µ2
h
∥∥∥∥0,Γ
≤ Chk2−1/22
∥∥∥∥∂u∂ν∥∥∥∥k2−1/2,Γ
≤ Chk2−1/22 ‖u|Ω2
‖k2+1,Ω2 .
Aufgrund von (8) kann man w 2h|Γ als die L2-Projektion von
w 1h|Γ auf Mh,2 auffassen und erhalt
‖[wh]Γ‖0,Γ = ‖w 2h|Γ − w 1
h|Γ‖0,Γ ≤ Ch1/22 ‖w
1h|Γ‖1/2,Γ ≤ Ch
1/22 ‖w
1h‖1,Ω1 ,
was mit der A priori-Abschatzung fur FE auf folgendeAbschatzung fuhrt:
‖u − uh‖∗ ≤ C(hk11 ‖u|Ω1
‖k1+1,Ω1 + hk22 ‖u|Ω2
‖k2+1,Ω2 ). (10)
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FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Die Reduzierte Basis Elemente Methode
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Zusammenfassung
Ωi = Φi (]− 1, 1[2), i = 1, 2, Φi regular.
wk , k = 1, ...,K seien Basisfunktionen, welche auf ]− 1, 1[leben.
Definiere
Yδ =
vδ ∈ L2(Ω) : vδ|Ωi Φi ∈ spanwk
,
Vδ =
vδ ∈ Yδ :
∫Γ(v +δ − v−δ )ψ = 0 ∀ψ ∈W
,
wobei W der Lagrange-Multiplikatoren-Raum ist.
Beispiel: W = ψ χ : ψ ∈Wδ, χ :]− 1, 1[→ ΓParametrisierung und Wδ endlich dimensionaler Raum.
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Zusammenfassung
Diskretes Problem: Finde uδ ∈ Vδ, so dass∫Ω∇uδ∇vδ =
∫Ω
fvδ ∀ vδ ∈ Vδ. (11)
Es gilt die Fehlerabschatzung (Lemma von Berger, Scott undStrang/ 2. Strang-Lemma):
‖u−uδ‖∗ ≤ C
(inf
vδ∈Vδ‖u − vδ‖∗︸ ︷︷ ︸
Bestapproximationsfehler
+ supwδ∈Vδ
∫Γ∂u∂ν (w +
δ − w−δ )
‖wδ‖∗︸ ︷︷ ︸Konsistenzfehler
)
(12)∫Γ
∂u
∂ν(w +
δ − w−δ ) =
∫Γ
(∂u
∂ν− ψ
)(w +
δ − w−δ )
zeigt, dass die ψ ∈Wδ eine moglichst gute Approximation von∂u∂ν sein sollten, um den Konsistenzfehler zu minimieren.
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FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Berechnung der Losung uδ:
(11) kann mit Hilfe der Transformationen Φi umgeschriebenwerden: Finde uδ ∈ Vδ, so dass∫
]−1,1[2J(Φ−1
i )∇uδ,iJ(Φ−1i )∇vδ,iJ(Φi )dx dy =
∫]−1,1[2
fi vδ,iJ(Φi )dx dy
∀vδ,i ∈ Vδ,i , i = 1, 2 (13)
wobei vi = v Φi , J(Φ−1i ): Jacobimatrix von Φ−1.
In jedem Teilgebiet Ωi ist (13) von der Form: Findeu(µ) ∈ V , so dass
a(u, v ;µ) = f (v ;µ) ∀ v ∈ V , (a : Bilinearform, f : lineares Funktional)
also eine parameterabhangige Differentialgleichung mit Φ alsParameter.
Setze in (13) uδ,i =K∑
k=1
αkwk und bestimme die Koeffizienten
αk mittels der Galerkin-Methode.
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Zusammenfassung
Zusammenfassung:
Ersetze die Forderung u1 = u2 durch die schwache Bedingung∫Γ
(u1 − u2)µ = 0 ∀µ ∈ M, (14)
wobei M der Lagrange-Multiplikatoren-Raum ist.
Zur Berechnung der Losung gibt es zwei Ansatze1 Forme die Gleichung mittels (14) in ein Sattelpunktproblem
um und lose dies.2 Lose die Dgl auf jedem Teilgebiet und verklebe mit (14).
Es gilt das Lemma von Berger, Scott und Strang
‖u − uδ‖∗ ≤ C
(inf
vδ∈Vδ
‖u − vδ‖∗︸ ︷︷ ︸Bestapproximationsfehler
+ supwδ∈Vδ
∫Γ∂u∂ν
(w+δ − w−δ )
‖wδ‖∗︸ ︷︷ ︸Konsistenzfehler
),
wobei Xi ,δ “beliebiger”Teilraum von H1(Ωi ).
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EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Literatur allgemein zur Mortar-Methode:
C. Bernardi, N. Debit, Y. Maday: Coupling Finite Elementand Spectral Methods: First Results, Math. Comp. 54, pp.21-39, 1990.
C. Bernardi, Y. Maday, A.T. Patera: A new nonconformingappraoch to domain decomposition: the mortar elementmethod, in: Nonlinear Partial Differntial Equations and TheirApplications. College de France Seminar, Vol. XI, H. Brezisand J.-L. Lions (eds.), Longman, Harlow, pp. 13-51.
P.A. Raviart, J.M. Thomas: Primal Hybrid Finite ElementMethods for 2nd Order Elliptic Equations, Math. Comp. 31,pp. 391-413, 1977.
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EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Literatur zur Mortar Finite Elemete-Methode:
F.B. Belgacem: The mortar finite element method withLagrange multipliers, Numer. Math. 84, pp. 173-197, 1999.
B.P. Lamichhane: Higher order mortar finite elements withdual lagrange multiplier spaces and applications, Dissertation,Fakultat Mathematik und Physik der Universitat Stuttgart,2006.
B. Wohlmuth: Discretization methods and iterative solversbased on domain decompostion. Lecture notes incomputational science and engineering, Vol. 17, M. Griebel etal. (eds), Springer, Berlin, Heidelberg, 1991.
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EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Literatur zur Reduzierten Basis Elemente Methode:
Y. Maday, E.M. Rønquist: A reduced-basis element method,J. Sci. Comp. 17, pp. 447-459, 2002.
Y. Maday, E.M. Rønquist: The reduced-basis elementmethod: application to a thermal fin problem, SIAM J. Sci.Comp. 26(1), pp. 240-258, 2004.
A.E. Løvgren, Y. Maday, E.M. Rønquist: A reduced basiselement method for the steady Stokes problem: Application tohierarchical flow systems, MIC 27(2), pp. 79-94, 2006.
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EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode
FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode
Zusammenfassung
Danke fur EureAufmerksamkeit!
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