Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik · InhaltDi...
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Inhalt Differentialrechnung Stetigkeit Fundamentalsatz der Analysis Riemann-Integral Vektorraume Normen Skalarprodukt Partielle Ableitung Gradient Jacobi-Matrix
Mathematische Grundlagen derComputerlinguistik
Grundbegriffe der Analysis und der linearen Algebra
Michael Staniek
ICL, Universitat Heidelberg, SoSe 2019
29.05.2019
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Inhalt Differentialrechnung Stetigkeit Fundamentalsatz der Analysis Riemann-Integral Vektorraume Normen Skalarprodukt Partielle Ableitung Gradient Jacobi-Matrix
Inhalte der heutigen Vorlesung
Intervalle
Ableitungen und Integrale
Fundamentalsatz der Analysis
Vektorraume
Normen
Skalarprodukt
Partielle Ableitungen
Gradienten
Jacobi-Matrizen
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Inhalt Differentialrechnung Stetigkeit Fundamentalsatz der Analysis Riemann-Integral Vektorraume Normen Skalarprodukt Partielle Ableitung Gradient Jacobi-Matrix
Intervalle in R
Abgeschlossenes Intervall in R: [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
Offenes Intervall in R: (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}Halboffenes Intervall in R:
(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
Linksseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}Offen: (−∞, a) = {x ∈ R|x < a}
Rechtsseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: [a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}Offen: (a,∞) = {x ∈ R|x > a}
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Inhalt Differentialrechnung Stetigkeit Fundamentalsatz der Analysis Riemann-Integral Vektorraume Normen Skalarprodukt Partielle Ableitung Gradient Jacobi-Matrix
Intervalle in R
Abgeschlossenes Intervall in R: [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}Offenes Intervall in R: (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}
Halboffenes Intervall in R:
(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
Linksseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}Offen: (−∞, a) = {x ∈ R|x < a}
Rechtsseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: [a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}Offen: (a,∞) = {x ∈ R|x > a}
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Intervalle in R
Abgeschlossenes Intervall in R: [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}Offenes Intervall in R: (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}Halboffenes Intervall in R:
(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}Linksseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}Offen: (−∞, a) = {x ∈ R|x < a}
Rechtsseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: [a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}Offen: (a,∞) = {x ∈ R|x > a}
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Intervalle in R
Abgeschlossenes Intervall in R: [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}Offenes Intervall in R: (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}Halboffenes Intervall in R:
(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
Linksseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}Offen: (−∞, a) = {x ∈ R|x < a}
Rechtsseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: [a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}Offen: (a,∞) = {x ∈ R|x > a}
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Intervalle in R
Abgeschlossenes Intervall in R: [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}Offenes Intervall in R: (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}Halboffenes Intervall in R:
(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
Linksseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}
Offen: (−∞, a) = {x ∈ R|x < a}Rechtsseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: [a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}Offen: (a,∞) = {x ∈ R|x > a}
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Intervalle in R
Abgeschlossenes Intervall in R: [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}Offenes Intervall in R: (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}Halboffenes Intervall in R:
(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
Linksseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}Offen: (−∞, a) = {x ∈ R|x < a}
Rechtsseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: [a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}Offen: (a,∞) = {x ∈ R|x > a}
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Intervalle in R
Abgeschlossenes Intervall in R: [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}Offenes Intervall in R: (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}Halboffenes Intervall in R:
(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
Linksseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}Offen: (−∞, a) = {x ∈ R|x < a}
Rechtsseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: [a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}
Offen: (a,∞) = {x ∈ R|x > a}
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Intervalle in R
Abgeschlossenes Intervall in R: [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}Offenes Intervall in R: (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}Halboffenes Intervall in R:
(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
Linksseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}Offen: (−∞, a) = {x ∈ R|x < a}
Rechtsseitig unendliches Intervall:
Abgeschlossen: [a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}Offen: (a,∞) = {x ∈ R|x > a}
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Differentialrechnung
Differentialrechnung
Berechnung von lokalen Veranderungen von Funktionen
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f : (a, b)→ R, die ein offenes Intervall (a, b) auf diereellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle x0, falls:
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
existiert.
Dieser Limes heißt “Ableitung von f nach x an der Stelle x0”.
Ableitung kann durch ein h = ε approximiert werden.
Man scheibt auch f ′(x0) oder df (x)dx f (x0)
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Differentialrechnung
Differentialrechnung
Berechnung von lokalen Veranderungen von Funktionen
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f : (a, b)→ R, die ein offenes Intervall (a, b) auf diereellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle x0, falls:
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
existiert.
Dieser Limes heißt “Ableitung von f nach x an der Stelle x0”.
Ableitung kann durch ein h = ε approximiert werden.
Man scheibt auch f ′(x0) oder df (x)dx f (x0)
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Differentialrechnung
Differentialrechnung
Berechnung von lokalen Veranderungen von Funktionen
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f : (a, b)→ R, die ein offenes Intervall (a, b) auf diereellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle x0, falls:
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
existiert.
Dieser Limes heißt “Ableitung von f nach x an der Stelle x0”.
Ableitung kann durch ein h = ε approximiert werden.
Man scheibt auch f ′(x0) oder df (x)dx f (x0)
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Differentialrechnung
Differentialrechnung
Berechnung von lokalen Veranderungen von Funktionen
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f : (a, b)→ R, die ein offenes Intervall (a, b) auf diereellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle x0, falls:
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
existiert.
Dieser Limes heißt “Ableitung von f nach x an der Stelle x0”.
Ableitung kann durch ein h = ε approximiert werden.
Man scheibt auch f ′(x0) oder df (x)dx f (x0)
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Differentialrechnung
Differentialrechnung
Berechnung von lokalen Veranderungen von Funktionen
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f : (a, b)→ R, die ein offenes Intervall (a, b) auf diereellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle x0, falls:
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
existiert.
Dieser Limes heißt “Ableitung von f nach x an der Stelle x0”.
Ableitung kann durch ein h = ε approximiert werden.
Man scheibt auch f ′(x0) oder df (x)dx f (x0)
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Differentialrechnung
Oft lasst sich Ableitung allgemein fur den gesamtenDefinitionsbereich von f ausdrucken:
f (x) = sin(x)
⇒ f ′(x) = cos(x)g(x) = 1
2x2 ⇒ g ′(x) = x
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Differentialrechnung
Oft lasst sich Ableitung allgemein fur den gesamtenDefinitionsbereich von f ausdrucken:
f (x) = sin(x) ⇒ f ′(x) = cos(x)
g(x) = 12x
2 ⇒ g ′(x) = x
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Differentialrechnung
Oft lasst sich Ableitung allgemein fur den gesamtenDefinitionsbereich von f ausdrucken:
f (x) = sin(x) ⇒ f ′(x) = cos(x)g(x) = 1
2x2
⇒ g ′(x) = x
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Differentialrechnung
Oft lasst sich Ableitung allgemein fur den gesamtenDefinitionsbereich von f ausdrucken:
f (x) = sin(x) ⇒ f ′(x) = cos(x)g(x) = 1
2x2 ⇒ g ′(x) = x
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Differentialrechnung
Rechenregeln fur Ableitungen:
Konstanten: (a)′ = 0
Faktorregel: (a · f (x))′ = a · f (x)′
Summenregel: (g(x)± h(x))′ = g ′(x)± h′(x)Produktregel: (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x)
Quotientenregel: ( g(x)h(x) )′ = g ′(x)h(x)−g(x)h′(x)
h2(x)
Reziprokenregel: ( 1h(x) )′ = −h′(x)
h2(x)
Produktregel: (xn)′ = nxn−1
Kettenregel: (g ◦ h)′(x) = g(h(x))′ = g ′(h(x)) · h′(x)
Vorsicht: Im allgemeinen f 2(x) 6= f (x2)
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Differentialrechnung
Rechenregeln fur Ableitungen:
Konstanten: (a)′ = 0Faktorregel: (a · f (x))′ = a · f (x)′
Summenregel: (g(x)± h(x))′ = g ′(x)± h′(x)Produktregel: (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x)
Quotientenregel: ( g(x)h(x) )′ = g ′(x)h(x)−g(x)h′(x)
h2(x)
Reziprokenregel: ( 1h(x) )′ = −h′(x)
h2(x)
Produktregel: (xn)′ = nxn−1
Kettenregel: (g ◦ h)′(x) = g(h(x))′ = g ′(h(x)) · h′(x)
Vorsicht: Im allgemeinen f 2(x) 6= f (x2)
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Differentialrechnung
Rechenregeln fur Ableitungen:
Konstanten: (a)′ = 0Faktorregel: (a · f (x))′ = a · f (x)′
Summenregel: (g(x)± h(x))′ = g ′(x)± h′(x)
Produktregel: (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x)
Quotientenregel: ( g(x)h(x) )′ = g ′(x)h(x)−g(x)h′(x)
h2(x)
Reziprokenregel: ( 1h(x) )′ = −h′(x)
h2(x)
Produktregel: (xn)′ = nxn−1
Kettenregel: (g ◦ h)′(x) = g(h(x))′ = g ′(h(x)) · h′(x)
Vorsicht: Im allgemeinen f 2(x) 6= f (x2)
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Differentialrechnung
Rechenregeln fur Ableitungen:
Konstanten: (a)′ = 0Faktorregel: (a · f (x))′ = a · f (x)′
Summenregel: (g(x)± h(x))′ = g ′(x)± h′(x)Produktregel: (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x)
Quotientenregel: ( g(x)h(x) )′ = g ′(x)h(x)−g(x)h′(x)
h2(x)
Reziprokenregel: ( 1h(x) )′ = −h′(x)
h2(x)
Produktregel: (xn)′ = nxn−1
Kettenregel: (g ◦ h)′(x) = g(h(x))′ = g ′(h(x)) · h′(x)
Vorsicht: Im allgemeinen f 2(x) 6= f (x2)
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Differentialrechnung
Rechenregeln fur Ableitungen:
Konstanten: (a)′ = 0Faktorregel: (a · f (x))′ = a · f (x)′
Summenregel: (g(x)± h(x))′ = g ′(x)± h′(x)Produktregel: (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x)
Quotientenregel: ( g(x)h(x) )′ = g ′(x)h(x)−g(x)h′(x)
h2(x)
Reziprokenregel: ( 1h(x) )′ = −h′(x)
h2(x)
Produktregel: (xn)′ = nxn−1
Kettenregel: (g ◦ h)′(x) = g(h(x))′ = g ′(h(x)) · h′(x)
Vorsicht: Im allgemeinen f 2(x) 6= f (x2)
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Differentialrechnung
Rechenregeln fur Ableitungen:
Konstanten: (a)′ = 0Faktorregel: (a · f (x))′ = a · f (x)′
Summenregel: (g(x)± h(x))′ = g ′(x)± h′(x)Produktregel: (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x)
Quotientenregel: ( g(x)h(x) )′ = g ′(x)h(x)−g(x)h′(x)
h2(x)
Reziprokenregel: ( 1h(x) )′ = −h′(x)
h2(x)
Produktregel: (xn)′ = nxn−1
Kettenregel: (g ◦ h)′(x) = g(h(x))′ = g ′(h(x)) · h′(x)
Vorsicht: Im allgemeinen f 2(x) 6= f (x2)
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Differentialrechnung
Rechenregeln fur Ableitungen:
Konstanten: (a)′ = 0Faktorregel: (a · f (x))′ = a · f (x)′
Summenregel: (g(x)± h(x))′ = g ′(x)± h′(x)Produktregel: (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x)
Quotientenregel: ( g(x)h(x) )′ = g ′(x)h(x)−g(x)h′(x)
h2(x)
Reziprokenregel: ( 1h(x) )′ = −h′(x)
h2(x)
Produktregel: (xn)′ = nxn−1
Kettenregel: (g ◦ h)′(x) = g(h(x))′ = g ′(h(x)) · h′(x)
Vorsicht: Im allgemeinen f 2(x) 6= f (x2)
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Differentialrechnung
Rechenregeln fur Ableitungen:
Konstanten: (a)′ = 0Faktorregel: (a · f (x))′ = a · f (x)′
Summenregel: (g(x)± h(x))′ = g ′(x)± h′(x)Produktregel: (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x)
Quotientenregel: ( g(x)h(x) )′ = g ′(x)h(x)−g(x)h′(x)
h2(x)
Reziprokenregel: ( 1h(x) )′ = −h′(x)
h2(x)
Produktregel: (xn)′ = nxn−1
Kettenregel: (g ◦ h)′(x) = g(h(x))′ = g ′(h(x)) · h′(x)
Vorsicht: Im allgemeinen f 2(x) 6= f (x2)
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Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Bestimmung von Extremwerten
Besitzt eine Funktion f : (a, b)→ R mit (a, b) ⊂ R in einem Punktx0 ∈ (a, b) ihren großen Wert, also wenn gillt:
∀x ∈ (a, b) : f (x0) ≥ f (x)
und f ist in x0 differenzierbar, so gillt:
f ′(x0) = 0
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0, ist x0 ein lokales/relatives Minimum
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) < 0, ist x0 ein lokales/relatives Maximum
Bei f ′′(x0) = 0 geben moglicherweise Ableitungen hoherer, geraderOrdnung Auskunft
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Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Bestimmung von Extremwerten
Besitzt eine Funktion f : (a, b)→ R mit (a, b) ⊂ R in einem Punktx0 ∈ (a, b) ihren großen Wert, also wenn gillt:
∀x ∈ (a, b) : f (x0) ≥ f (x)
und f ist in x0 differenzierbar, so gillt:
f ′(x0) = 0
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0, ist x0 ein lokales/relatives Minimum
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) < 0, ist x0 ein lokales/relatives Maximum
Bei f ′′(x0) = 0 geben moglicherweise Ableitungen hoherer, geraderOrdnung Auskunft
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Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Bestimmung von Extremwerten
Besitzt eine Funktion f : (a, b)→ R mit (a, b) ⊂ R in einem Punktx0 ∈ (a, b) ihren großen Wert, also wenn gillt:
∀x ∈ (a, b) : f (x0) ≥ f (x)
und f ist in x0 differenzierbar, so gillt:
f ′(x0) = 0
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0, ist x0 ein lokales/relatives Minimum
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) < 0, ist x0 ein lokales/relatives Maximum
Bei f ′′(x0) = 0 geben moglicherweise Ableitungen hoherer, geraderOrdnung Auskunft
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Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Bestimmung von Extremwerten
Besitzt eine Funktion f : (a, b)→ R mit (a, b) ⊂ R in einem Punktx0 ∈ (a, b) ihren großen Wert, also wenn gillt:
∀x ∈ (a, b) : f (x0) ≥ f (x)
und f ist in x0 differenzierbar, so gillt:
f ′(x0) = 0
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0, ist x0 ein lokales/relatives Minimum
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) < 0, ist x0 ein lokales/relatives Maximum
Bei f ′′(x0) = 0 geben moglicherweise Ableitungen hoherer, geraderOrdnung Auskunft
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Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Bestimmung von Extremwerten
Besitzt eine Funktion f : (a, b)→ R mit (a, b) ⊂ R in einem Punktx0 ∈ (a, b) ihren großen Wert, also wenn gillt:
∀x ∈ (a, b) : f (x0) ≥ f (x)
und f ist in x0 differenzierbar, so gillt:
f ′(x0) = 0
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0, ist x0 ein lokales/relatives Minimum
Wenn f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) < 0, ist x0 ein lokales/relatives Maximum
Bei f ′′(x0) = 0 geben moglicherweise Ableitungen hoherer, geraderOrdnung Auskunft
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Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Ein einfaches Optimierungsverfahren fur differenzierbareFunktionen f auf [a, b] ⊂ R
1 Bestimme f ′ und f ′′
2 Bestimme die Menge X0 := {x |f ′(x) = 0}3 Bestimmte die Menge X+ := {x |x ∈ X0, f
′′(x) < 0} ∪ {a, b}4 Wahle x = argmaxx∈X+
f (x)
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Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Ein einfaches Optimierungsverfahren fur differenzierbareFunktionen f auf [a, b] ⊂ R
1 Bestimme f ′ und f ′′
2 Bestimme die Menge X0 := {x |f ′(x) = 0}3 Bestimmte die Menge X+ := {x |x ∈ X0, f
′′(x) < 0} ∪ {a, b}4 Wahle x = argmaxx∈X+
f (x)
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Inhalt Differentialrechnung Stetigkeit Fundamentalsatz der Analysis Riemann-Integral Vektorraume Normen Skalarprodukt Partielle Ableitung Gradient Jacobi-Matrix
Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Ein einfaches Optimierungsverfahren fur differenzierbareFunktionen f auf [a, b] ⊂ R
1 Bestimme f ′ und f ′′
2 Bestimme die Menge X0 := {x |f ′(x) = 0}
3 Bestimmte die Menge X+ := {x |x ∈ X0, f′′(x) < 0} ∪ {a, b}
4 Wahle x = argmaxx∈X+f (x)
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Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Ein einfaches Optimierungsverfahren fur differenzierbareFunktionen f auf [a, b] ⊂ R
1 Bestimme f ′ und f ′′
2 Bestimme die Menge X0 := {x |f ′(x) = 0}3 Bestimmte die Menge X+ := {x |x ∈ X0, f
′′(x) < 0} ∪ {a, b}
4 Wahle x = argmaxx∈X+f (x)
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Inhalt Differentialrechnung Stetigkeit Fundamentalsatz der Analysis Riemann-Integral Vektorraume Normen Skalarprodukt Partielle Ableitung Gradient Jacobi-Matrix
Differentialrechnung und Optimierungstheorie
Ein einfaches Optimierungsverfahren fur differenzierbareFunktionen f auf [a, b] ⊂ R
1 Bestimme f ′ und f ′′
2 Bestimme die Menge X0 := {x |f ′(x) = 0}3 Bestimmte die Menge X+ := {x |x ∈ X0, f
′′(x) < 0} ∪ {a, b}4 Wahle x = argmaxx∈X+
f (x)
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Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit
Stetigkeit (fur Funktionen auf Definitionsbereich D ⊆ R)
Eine Funktion f : D ⊆ R→ R heißt stetig im Punkt x0 ∈ D, wenn es zu jedemε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass gilt:
∀x ∈ D : |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− f (x0)| < ε
Wenn f fur alle x ∈ D stetig ist, so spricht man von einer stetigenFunktion auf D
Lipschitz-Stetigkeit (fur Funktionen auf Definitionsbereich D ⊆ R)
Eine Funktion f : D ⊆ R→ R heißt Lipschitz-stetig auf D, wenn es eineKonstante L ∈ R gibt, so dass:
x0 ∈ D, x1 ∈ D ⇒ |f (x0)− f (x1)| ≤ L|x0 − x1|
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Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit
Stetigkeit (fur Funktionen auf Definitionsbereich D ⊆ R)
Eine Funktion f : D ⊆ R→ R heißt stetig im Punkt x0 ∈ D, wenn es zu jedemε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass gilt:
∀x ∈ D : |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− f (x0)| < ε
Wenn f fur alle x ∈ D stetig ist, so spricht man von einer stetigenFunktion auf D
Lipschitz-Stetigkeit (fur Funktionen auf Definitionsbereich D ⊆ R)
Eine Funktion f : D ⊆ R→ R heißt Lipschitz-stetig auf D, wenn es eineKonstante L ∈ R gibt, so dass:
x0 ∈ D, x1 ∈ D ⇒ |f (x0)− f (x1)| ≤ L|x0 − x1|
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Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit
Stetigkeit (fur Funktionen auf Definitionsbereich D ⊆ R)
Eine Funktion f : D ⊆ R→ R heißt stetig im Punkt x0 ∈ D, wenn es zu jedemε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass gilt:
∀x ∈ D : |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− f (x0)| < ε
Wenn f fur alle x ∈ D stetig ist, so spricht man von einer stetigenFunktion auf D
Lipschitz-Stetigkeit (fur Funktionen auf Definitionsbereich D ⊆ R)
Eine Funktion f : D ⊆ R→ R heißt Lipschitz-stetig auf D, wenn es eineKonstante L ∈ R gibt, so dass:
x0 ∈ D, x1 ∈ D ⇒ |f (x0)− f (x1)| ≤ L|x0 − x1|
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Differential- und Integalrechnung
Fundamentalsatz der Analysis:
Sei f : [a, b]→ R eine reellwertige, stetige Funktion auf dem abgeschlossenenIntervall [a, b] ⊆ R so ist fur alle x0 ∈ [a, b] die Integralfunktion
F [a, b]→ R
mit F (x) =∫ x
x0f (x)dx
differenzierbar und eine Stammfunktion von f , d.h.:
∀x ∈ [a, b] = F ′(x) = f (x)
und es gilt die Newton-Leibniz-Formel:∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
Es existieren zahlreiche Verallgemeinerungen des Fundamentalsatz derAnalysis auf andere Arten von Funktionen
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Differential- und Integalrechnung
Fundamentalsatz der Analysis:
Sei f : [a, b]→ R eine reellwertige, stetige Funktion auf dem abgeschlossenenIntervall [a, b] ⊆ R so ist fur alle x0 ∈ [a, b] die Integralfunktion
F [a, b]→ R
mit F (x) =∫ x
x0f (x)dx
differenzierbar und eine Stammfunktion von f , d.h.:
∀x ∈ [a, b] = F ′(x) = f (x)
und es gilt die Newton-Leibniz-Formel:∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
Es existieren zahlreiche Verallgemeinerungen des Fundamentalsatz derAnalysis auf andere Arten von Funktionen
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Differential- und Integalrechnung
Fundamentalsatz der Analysis:
Sei f : [a, b]→ R eine reellwertige, stetige Funktion auf dem abgeschlossenenIntervall [a, b] ⊆ R so ist fur alle x0 ∈ [a, b] die Integralfunktion
F [a, b]→ R
mit F (x) =∫ x
x0f (x)dx
differenzierbar und eine Stammfunktion von f , d.h.:
∀x ∈ [a, b] = F ′(x) = f (x)
und es gilt die Newton-Leibniz-Formel:∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
Es existieren zahlreiche Verallgemeinerungen des Fundamentalsatz derAnalysis auf andere Arten von Funktionen
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Differential- und Integalrechnung
Fundamentalsatz der Analysis:
Sei f : [a, b]→ R eine reellwertige, stetige Funktion auf dem abgeschlossenenIntervall [a, b] ⊆ R so ist fur alle x0 ∈ [a, b] die Integralfunktion
F [a, b]→ R
mit F (x) =∫ x
x0f (x)dx
differenzierbar und eine Stammfunktion von f , d.h.:
∀x ∈ [a, b] = F ′(x) = f (x)
und es gilt die Newton-Leibniz-Formel:∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
Es existieren zahlreiche Verallgemeinerungen des Fundamentalsatz derAnalysis auf andere Arten von Funktionen
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Differential- und Integalrechnung
Fundamentalsatz der Analysis:
Sei f : [a, b]→ R eine reellwertige, stetige Funktion auf dem abgeschlossenenIntervall [a, b] ⊆ R so ist fur alle x0 ∈ [a, b] die Integralfunktion
F [a, b]→ R
mit F (x) =∫ x
x0f (x)dx
differenzierbar und eine Stammfunktion von f , d.h.:
∀x ∈ [a, b] = F ′(x) = f (x)
und es gilt die Newton-Leibniz-Formel:∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
Es existieren zahlreiche Verallgemeinerungen des Fundamentalsatz derAnalysis auf andere Arten von Funktionen
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Riemann-Integrale
Fundamentalsatz der Analysis fuhrt Integration als “inverse”Operation zur Ableitung ein
∫ ba f (x)dx kann als Flache zwischen f (x) und der x-Achse
zwischen a und b aufgefasst werden
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Riemann-Integrale
Fundamentalsatz der Analysis fuhrt Integration als “inverse”Operation zur Ableitung ein∫ ba f (x)dx kann als Flache zwischen f (x) und der x-Achse
zwischen a und b aufgefasst werden
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Vektorraume
Vektorraume sind Mengen von (Zahlen-) Tupeln, sogenanntenVektoren, fur die bestimmte Operationen definiert sind
Vektoren im allgemeinen haben zwei Eigenschaften: Eine“Richtung” und eine “Lange”
Variablen fur Vektoren werden gelegentlich mit einemPfeil-Superskript geschieben (im Folgenden aber nicht):
~v = (4, 3, 7)
Auch unser intuitives menschliches Raumverstandnis lasst sichals Vektorrum darstellen: dem Vektorrum (R3,+, ·)
+ ist die Vektoraddition· ist die Skalarmultiplikation
Definition von Vektorraumen lasst sich auch allgemeiner fassen
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Vektorraume
Vektorraume sind Mengen von (Zahlen-) Tupeln, sogenanntenVektoren, fur die bestimmte Operationen definiert sind
Vektoren im allgemeinen haben zwei Eigenschaften: Eine“Richtung” und eine “Lange”
Variablen fur Vektoren werden gelegentlich mit einemPfeil-Superskript geschieben (im Folgenden aber nicht):
~v = (4, 3, 7)
Auch unser intuitives menschliches Raumverstandnis lasst sichals Vektorrum darstellen: dem Vektorrum (R3,+, ·)
+ ist die Vektoraddition· ist die Skalarmultiplikation
Definition von Vektorraumen lasst sich auch allgemeiner fassen
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Vektorraume
Vektorraume sind Mengen von (Zahlen-) Tupeln, sogenanntenVektoren, fur die bestimmte Operationen definiert sind
Vektoren im allgemeinen haben zwei Eigenschaften: Eine“Richtung” und eine “Lange”
Variablen fur Vektoren werden gelegentlich mit einemPfeil-Superskript geschieben (im Folgenden aber nicht):
~v = (4, 3, 7)
Auch unser intuitives menschliches Raumverstandnis lasst sichals Vektorrum darstellen: dem Vektorrum (R3,+, ·)
+ ist die Vektoraddition· ist die Skalarmultiplikation
Definition von Vektorraumen lasst sich auch allgemeiner fassen
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Vektorraume
Vektorraume sind Mengen von (Zahlen-) Tupeln, sogenanntenVektoren, fur die bestimmte Operationen definiert sind
Vektoren im allgemeinen haben zwei Eigenschaften: Eine“Richtung” und eine “Lange”
Variablen fur Vektoren werden gelegentlich mit einemPfeil-Superskript geschieben (im Folgenden aber nicht):
~v = (4, 3, 7)
Auch unser intuitives menschliches Raumverstandnis lasst sichals Vektorrum darstellen: dem Vektorrum (R3,+, ·)
+ ist die Vektoraddition· ist die Skalarmultiplikation
Definition von Vektorraumen lasst sich auch allgemeiner fassen
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Vektorraume
Vektorraume sind Mengen von (Zahlen-) Tupeln, sogenanntenVektoren, fur die bestimmte Operationen definiert sind
Vektoren im allgemeinen haben zwei Eigenschaften: Eine“Richtung” und eine “Lange”
Variablen fur Vektoren werden gelegentlich mit einemPfeil-Superskript geschieben (im Folgenden aber nicht):
~v = (4, 3, 7)
Auch unser intuitives menschliches Raumverstandnis lasst sichals Vektorrum darstellen: dem Vektorrum (R3,+, ·)
+ ist die Vektoraddition· ist die Skalarmultiplikation
Definition von Vektorraumen lasst sich auch allgemeiner fassen
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Vektorraume
Vektorraume sind Mengen von (Zahlen-) Tupeln, sogenanntenVektoren, fur die bestimmte Operationen definiert sind
Vektoren im allgemeinen haben zwei Eigenschaften: Eine“Richtung” und eine “Lange”
Variablen fur Vektoren werden gelegentlich mit einemPfeil-Superskript geschieben (im Folgenden aber nicht):
~v = (4, 3, 7)
Auch unser intuitives menschliches Raumverstandnis lasst sichals Vektorrum darstellen: dem Vektorrum (R3,+, ·)
+ ist die Vektoraddition
· ist die Skalarmultiplikation
Definition von Vektorraumen lasst sich auch allgemeiner fassen
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Vektorraume
Vektorraume sind Mengen von (Zahlen-) Tupeln, sogenanntenVektoren, fur die bestimmte Operationen definiert sind
Vektoren im allgemeinen haben zwei Eigenschaften: Eine“Richtung” und eine “Lange”
Variablen fur Vektoren werden gelegentlich mit einemPfeil-Superskript geschieben (im Folgenden aber nicht):
~v = (4, 3, 7)
Auch unser intuitives menschliches Raumverstandnis lasst sichals Vektorrum darstellen: dem Vektorrum (R3,+, ·)
+ ist die Vektoraddition· ist die Skalarmultiplikation
Definition von Vektorraumen lasst sich auch allgemeiner fassen
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Es seien
V eine Menge,
(K ,+, ·) ein Korper,
⊕ : V × V → V eine Abbildung, genannt Vektoraddition,
� : K × V → V eine Abbildung, genannt Skalarmultiplikation
dann ist (V ,⊕,�) ein Vektorraum uber dem Korper K , wenn folgendeEigenschaften erfullt sind:
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Es seien
V eine Menge,
(K ,+, ·) ein Korper,
⊕ : V × V → V eine Abbildung, genannt Vektoraddition,
� : K × V → V eine Abbildung, genannt Skalarmultiplikation
dann ist (V ,⊕,�) ein Vektorraum uber dem Korper K , wenn folgendeEigenschaften erfullt sind:
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Es seien
V eine Menge,
(K ,+, ·) ein Korper,
⊕ : V × V → V eine Abbildung, genannt Vektoraddition,
� : K × V → V eine Abbildung, genannt Skalarmultiplikation
dann ist (V ,⊕,�) ein Vektorraum uber dem Korper K , wenn folgendeEigenschaften erfullt sind:
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Es seien
V eine Menge,
(K ,+, ·) ein Korper,
⊕ : V × V → V eine Abbildung, genannt Vektoraddition,
� : K × V → V eine Abbildung, genannt Skalarmultiplikation
dann ist (V ,⊕,�) ein Vektorraum uber dem Korper K , wenn folgendeEigenschaften erfullt sind:
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Vektorraum: Formale Definition
Es seien
V eine Menge,
(K ,+, ·) ein Korper,
⊕ : V × V → V eine Abbildung, genannt Vektoraddition,
� : K × V → V eine Abbildung, genannt Skalarmultiplikation
dann ist (V ,⊕,�) ein Vektorraum uber dem Korper K , wenn folgendeEigenschaften erfullt sind:
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Fur die Vektoraddition ⊕:
(u ⊕ v)⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) (Assoziativitat)
∃v0 : ∀u ∈ V : v0 ⊕ u = u ⊕ v0 = u (neurales Element)∀u ∈ V : ∃(−u) : u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = v0 (inversesElement)u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativitat)
Fur die Skalarmultiplikation �:
a� (u ⊕ v) = (a� u)⊕ (a� v) (� distribuiert uber ⊕)(a + b)� v = (a� v)⊕ (b � v)(a · b)� v = a� (b � v)∃a1 ∈ K : a1 � v = v (neutrales “Einserelement”)
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Fur die Vektoraddition ⊕:
(u ⊕ v)⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) (Assoziativitat)∃v0 : ∀u ∈ V : v0 ⊕ u = u ⊕ v0 = u (neurales Element)
∀u ∈ V : ∃(−u) : u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = v0 (inversesElement)u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativitat)
Fur die Skalarmultiplikation �:
a� (u ⊕ v) = (a� u)⊕ (a� v) (� distribuiert uber ⊕)(a + b)� v = (a� v)⊕ (b � v)(a · b)� v = a� (b � v)∃a1 ∈ K : a1 � v = v (neutrales “Einserelement”)
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Fur die Vektoraddition ⊕:
(u ⊕ v)⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) (Assoziativitat)∃v0 : ∀u ∈ V : v0 ⊕ u = u ⊕ v0 = u (neurales Element)∀u ∈ V : ∃(−u) : u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = v0 (inversesElement)
u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativitat)
Fur die Skalarmultiplikation �:
a� (u ⊕ v) = (a� u)⊕ (a� v) (� distribuiert uber ⊕)(a + b)� v = (a� v)⊕ (b � v)(a · b)� v = a� (b � v)∃a1 ∈ K : a1 � v = v (neutrales “Einserelement”)
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Fur die Vektoraddition ⊕:
(u ⊕ v)⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) (Assoziativitat)∃v0 : ∀u ∈ V : v0 ⊕ u = u ⊕ v0 = u (neurales Element)∀u ∈ V : ∃(−u) : u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = v0 (inversesElement)u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativitat)
Fur die Skalarmultiplikation �:
a� (u ⊕ v) = (a� u)⊕ (a� v) (� distribuiert uber ⊕)(a + b)� v = (a� v)⊕ (b � v)(a · b)� v = a� (b � v)∃a1 ∈ K : a1 � v = v (neutrales “Einserelement”)
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Fur die Vektoraddition ⊕:
(u ⊕ v)⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) (Assoziativitat)∃v0 : ∀u ∈ V : v0 ⊕ u = u ⊕ v0 = u (neurales Element)∀u ∈ V : ∃(−u) : u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = v0 (inversesElement)u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativitat)
Fur die Skalarmultiplikation �:
a� (u ⊕ v) = (a� u)⊕ (a� v) (� distribuiert uber ⊕)
(a + b)� v = (a� v)⊕ (b � v)(a · b)� v = a� (b � v)∃a1 ∈ K : a1 � v = v (neutrales “Einserelement”)
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Fur die Vektoraddition ⊕:
(u ⊕ v)⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) (Assoziativitat)∃v0 : ∀u ∈ V : v0 ⊕ u = u ⊕ v0 = u (neurales Element)∀u ∈ V : ∃(−u) : u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = v0 (inversesElement)u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativitat)
Fur die Skalarmultiplikation �:
a� (u ⊕ v) = (a� u)⊕ (a� v) (� distribuiert uber ⊕)(a + b)� v = (a� v)⊕ (b � v)
(a · b)� v = a� (b � v)∃a1 ∈ K : a1 � v = v (neutrales “Einserelement”)
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Vektorraum: Formale Definition
Fur die Vektoraddition ⊕:
(u ⊕ v)⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) (Assoziativitat)∃v0 : ∀u ∈ V : v0 ⊕ u = u ⊕ v0 = u (neurales Element)∀u ∈ V : ∃(−u) : u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = v0 (inversesElement)u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativitat)
Fur die Skalarmultiplikation �:
a� (u ⊕ v) = (a� u)⊕ (a� v) (� distribuiert uber ⊕)(a + b)� v = (a� v)⊕ (b � v)(a · b)� v = a� (b � v)
∃a1 ∈ K : a1 � v = v (neutrales “Einserelement”)
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Vektorraum: Formale Definition
Fur die Vektoraddition ⊕:
(u ⊕ v)⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) (Assoziativitat)∃v0 : ∀u ∈ V : v0 ⊕ u = u ⊕ v0 = u (neurales Element)∀u ∈ V : ∃(−u) : u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = v0 (inversesElement)u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativitat)
Fur die Skalarmultiplikation �:
a� (u ⊕ v) = (a� u)⊕ (a� v) (� distribuiert uber ⊕)(a + b)� v = (a� v)⊕ (b � v)(a · b)� v = a� (b � v)∃a1 ∈ K : a1 � v = v (neutrales “Einserelement”)
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Vektorraume
Vektorraum: Formale Definition
Fur die Vektoraddition ⊕:
(u ⊕ v)⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) (Assoziativitat)∃v0 : ∀u ∈ V : v0 ⊕ u = u ⊕ v0 = u (neurales Element)∀u ∈ V : ∃(−u) : u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = v0 (inversesElement)u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativitat)
Fur die Skalarmultiplikation �:
a� (u ⊕ v) = (a� u)⊕ (a� v) (� distribuiert uber ⊕)(a + b)� v = (a� v)⊕ (b � v)(a · b)� v = a� (b � v)∃a1 ∈ K : a1 � v = v (neutrales “Einserelement”)
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Vektorraume
Geometrische Interpretationen der Vektoraddition und derSkalarmultiplikation
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Vektorraume
Intuitiv leicht vorstellbare Vektorraume:
K = R, V = R2
K = R, V = R3
Dies sind jeodch bei weitem nicht die einzig moglichenVektorraume:
K = R, V = Rn, n > 3K = C, V = Cn, n ∈ Nund viele weitere
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Vektorraume
Intuitiv leicht vorstellbare Vektorraume:
K = R, V = R2
K = R, V = R3
Dies sind jeodch bei weitem nicht die einzig moglichenVektorraume:
K = R, V = Rn, n > 3K = C, V = Cn, n ∈ Nund viele weitere
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Vektorraume
Intuitiv leicht vorstellbare Vektorraume:
K = R, V = R2
K = R, V = R3
Dies sind jeodch bei weitem nicht die einzig moglichenVektorraume:
K = R, V = Rn, n > 3K = C, V = Cn, n ∈ Nund viele weitere
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Vektorraume
Intuitiv leicht vorstellbare Vektorraume:
K = R, V = R2
K = R, V = R3
Dies sind jeodch bei weitem nicht die einzig moglichenVektorraume:
K = R, V = Rn, n > 3K = C, V = Cn, n ∈ Nund viele weitere
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Vektorraume
Intuitiv leicht vorstellbare Vektorraume:
K = R, V = R2
K = R, V = R3
Dies sind jeodch bei weitem nicht die einzig moglichenVektorraume:
K = R, V = Rn, n > 3
K = C, V = Cn, n ∈ Nund viele weitere
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Vektorraume
Intuitiv leicht vorstellbare Vektorraume:
K = R, V = R2
K = R, V = R3
Dies sind jeodch bei weitem nicht die einzig moglichenVektorraume:
K = R, V = Rn, n > 3K = C, V = Cn, n ∈ Nund viele weitere
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Vektorraume
Normen von Vektoren
Kein eindeutiges Konzept einer “Lange” eines Vektors
Zahlreiche Moglichkeiten, Normen von Vektoren zu bilden
Intuitive Norm fur R2 oder R3: Euklidische Norm:
||x ||2 :=√
x21 + x2
2
bzw.
||x ||2 :=√
x21 + x2
2 + x23
Verallgemeinerung fur Rn ist einfach:
||x ||2 :=√
x21 + ...+ x2
n
Da sie das “naturlichste” Norm auf Rn darstellt, wird die euklidischeNorm haufig auch nur durch ||x || abgekurzt
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Normen von Vektoren
Kein eindeutiges Konzept einer “Lange” eines Vektors
Zahlreiche Moglichkeiten, Normen von Vektoren zu bilden
Intuitive Norm fur R2 oder R3: Euklidische Norm:
||x ||2 :=√
x21 + x2
2
bzw.
||x ||2 :=√
x21 + x2
2 + x23
Verallgemeinerung fur Rn ist einfach:
||x ||2 :=√
x21 + ...+ x2
n
Da sie das “naturlichste” Norm auf Rn darstellt, wird die euklidischeNorm haufig auch nur durch ||x || abgekurzt
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Normen von Vektoren
Kein eindeutiges Konzept einer “Lange” eines Vektors
Zahlreiche Moglichkeiten, Normen von Vektoren zu bilden
Intuitive Norm fur R2 oder R3: Euklidische Norm:
||x ||2 :=√
x21 + x2
2
bzw.
||x ||2 :=√
x21 + x2
2 + x23
Verallgemeinerung fur Rn ist einfach:
||x ||2 :=√
x21 + ...+ x2
n
Da sie das “naturlichste” Norm auf Rn darstellt, wird die euklidischeNorm haufig auch nur durch ||x || abgekurzt
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Normen von Vektoren
Kein eindeutiges Konzept einer “Lange” eines Vektors
Zahlreiche Moglichkeiten, Normen von Vektoren zu bilden
Intuitive Norm fur R2 oder R3: Euklidische Norm:
||x ||2 :=√
x21 + x2
2
bzw.
||x ||2 :=√
x21 + x2
2 + x23
Verallgemeinerung fur Rn ist einfach:
||x ||2 :=√
x21 + ...+ x2
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Da sie das “naturlichste” Norm auf Rn darstellt, wird die euklidischeNorm haufig auch nur durch ||x || abgekurzt
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Inhalt Differentialrechnung Stetigkeit Fundamentalsatz der Analysis Riemann-Integral Vektorraume Normen Skalarprodukt Partielle Ableitung Gradient Jacobi-Matrix
Vektorraume
Normen von Vektoren
Kein eindeutiges Konzept einer “Lange” eines Vektors
Zahlreiche Moglichkeiten, Normen von Vektoren zu bilden
Intuitive Norm fur R2 oder R3: Euklidische Norm:
||x ||2 :=√
x21 + x2
2
bzw.
||x ||2 :=√
x21 + x2
2 + x23
Verallgemeinerung fur Rn ist einfach:
||x ||2 :=√
x21 + ...+ x2
n
Da sie das “naturlichste” Norm auf Rn darstellt, wird die euklidischeNorm haufig auch nur durch ||x || abgekurzt
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Vektorraume
Normen von Vektoren
Eine Alternative zur euklidischen Norm ist die sogenannte“Manhatten-Norm”:
x ∈ Rn : ||x ||1 :=n∑
i=1
|xi |
Man kann eine allgemeine Definition einer `p-Normabstrahieren, mit p = 1 fur die Manhatten- und p = 2 fur dieeuklidische Norm:
x ∈ Rn : ||x ||p := (n∑
i=1
|xi |p)1p
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Vektorraume
Normen von Vektoren
Eine Alternative zur euklidischen Norm ist die sogenannte“Manhatten-Norm”:
x ∈ Rn : ||x ||1 :=n∑
i=1
|xi |
Man kann eine allgemeine Definition einer `p-Normabstrahieren, mit p = 1 fur die Manhatten- und p = 2 fur dieeuklidische Norm:
x ∈ Rn : ||x ||p := (n∑
i=1
|xi |p)1p
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Vektorraume
Normen von Vektoren
Eine Alternative zur euklidischen Norm ist die sogenannte“Manhatten-Norm”:
x ∈ Rn : ||x ||1 :=n∑
i=1
|xi |
Man kann eine allgemeine Definition einer `p-Normabstrahieren, mit p = 1 fur die Manhatten- und p = 2 fur dieeuklidische Norm:
x ∈ Rn : ||x ||p := (n∑
i=1
|xi |p)1p
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Vektorraume
Normen von Vektoren
Eine Alternative zur euklidischen Norm ist die sogenannte“Manhatten-Norm”:
x ∈ Rn : ||x ||1 :=n∑
i=1
|xi |
Man kann eine allgemeine Definition einer `p-Normabstrahieren, mit p = 1 fur die Manhatten- und p = 2 fur dieeuklidische Norm:
x ∈ Rn : ||x ||p := (n∑
i=1
|xi |p)1p
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Vektorraume
Skalarprodukt
Skalarprodukt von zwei Vektoren u und v der Lange n:
〈u, v〉 :=n∑
i=1
uivi
Direkte geometrische Interpretation ist schwierig, es gilt jedoch:
〈u, v〉 = ||u||2 · ||v ||2 · cos(θuv )
θuv : Winkel zwischen u und v
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Vektorraume
Skalarprodukt
Skalarprodukt von zwei Vektoren u und v der Lange n:
〈u, v〉 :=n∑
i=1
uivi
Direkte geometrische Interpretation ist schwierig, es gilt jedoch:
〈u, v〉 = ||u||2 · ||v ||2 · cos(θuv )
θuv : Winkel zwischen u und v
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Vektorraume
Skalarprodukt
Skalarprodukt von zwei Vektoren u und v der Lange n:
〈u, v〉 :=n∑
i=1
uivi
Direkte geometrische Interpretation ist schwierig, es gilt jedoch:
〈u, v〉 = ||u||2 · ||v ||2 · cos(θuv )
θuv : Winkel zwischen u und v
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Vektorraume
Skalarprodukt
Skalarprodukt von zwei Vektoren u und v der Lange n:
〈u, v〉 :=n∑
i=1
uivi
Direkte geometrische Interpretation ist schwierig, es gilt jedoch:
〈u, v〉 = ||u||2 · ||v ||2 · cos(θuv )
θuv : Winkel zwischen u und v
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Vektorraume
Skalarprodukt
Außerdem gilt:||x ||2 =
√〈x , x〉
Das Skalarprodukt ist daher ein naturliches Ahnlichkeitsmaßfur Vektoren
Skalarprodukt 6= Skalarmultiplikation
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Vektorraume
Skalarprodukt
Außerdem gilt:||x ||2 =
√〈x , x〉
Das Skalarprodukt ist daher ein naturliches Ahnlichkeitsmaßfur Vektoren
Skalarprodukt 6= Skalarmultiplikation
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Vektorraume
Einheitsvektor
Einheitsvektor: Ein Vektor v mit euklidischer Norm ||v ||2 = 1
Ein beliebiger Vektor w kann wie folgt normiert werden:
w =w
||w ||2
w ist genau parallel zu w , und ||w ||2 = 1
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Vektorraume
Einheitsvektor
Einheitsvektor: Ein Vektor v mit euklidischer Norm ||v ||2 = 1
Ein beliebiger Vektor w kann wie folgt normiert werden:
w =w
||w ||2
w ist genau parallel zu w , und ||w ||2 = 1
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Vektorraume
Einheitsvektor
Einheitsvektor: Ein Vektor v mit euklidischer Norm ||v ||2 = 1
Ein beliebiger Vektor w kann wie folgt normiert werden:
w =w
||w ||2
w ist genau parallel zu w , und ||w ||2 = 1
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Vektorraume
Lineare Abbildung
Seien V und W Vektorraume uber einem Korper K . EineAbbildung f : V →W heißt lineare Abbildung, wenn fur allex , y ∈ V und a ∈ K gilt:
f (ax) = af (x)
f (x + y) = f (x) + (y)
Beispiel: Orthogonale Projektionp:R3 → R2 := (x , y , z) 7−→ (x , y)
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Vektorraume
Lineare Abbildung
Seien V und W Vektorraume uber einem Korper K . EineAbbildung f : V →W heißt lineare Abbildung, wenn fur allex , y ∈ V und a ∈ K gilt:
f (ax) = af (x)
f (x + y) = f (x) + (y)
Beispiel: Orthogonale Projektionp:R3 → R2 := (x , y , z) 7−→ (x , y)
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Vektorraume
Lineare Abbildung
Seien V und W Vektorraume uber einem Korper K . EineAbbildung f : V →W heißt lineare Abbildung, wenn fur allex , y ∈ V und a ∈ K gilt:
f (ax) = af (x)
f (x + y) = f (x) + (y)
Beispiel: Orthogonale Projektionp:R3 → R2 := (x , y , z) 7−→ (x , y)
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Partielle Ableitung
Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs fur multivariate Funktionen
Graphen von Funktionen der Form R→ R sind Kurven im kartesischenKoordinatensystem
Graphen von Funktionen der Form R2 → R sind Oberflachen im R3
Graphen von Funktionen der Form Rn → R sind Hyperflachen im Rn+1
Spezialfall der Hyperflache: Hyperebene
Hyperebene im Rd kann durch einen Stutzvektor und d − 1Richtungsvektoren beschrieben werdenStutzvektor gibt Abstand zum Ursprung anHyperebene liegt parallel zu allen Richtungsvektoren
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Partielle Ableitung
Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs fur multivariate Funktionen
Graphen von Funktionen der Form R→ R sind Kurven im kartesischenKoordinatensystem
Graphen von Funktionen der Form R2 → R sind Oberflachen im R3
Graphen von Funktionen der Form Rn → R sind Hyperflachen im Rn+1
Spezialfall der Hyperflache: Hyperebene
Hyperebene im Rd kann durch einen Stutzvektor und d − 1Richtungsvektoren beschrieben werdenStutzvektor gibt Abstand zum Ursprung anHyperebene liegt parallel zu allen Richtungsvektoren
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Partielle Ableitung
Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs fur multivariate Funktionen
Graphen von Funktionen der Form R→ R sind Kurven im kartesischenKoordinatensystem
Graphen von Funktionen der Form R2 → R sind Oberflachen im R3
Graphen von Funktionen der Form Rn → R sind Hyperflachen im Rn+1
Spezialfall der Hyperflache: Hyperebene
Hyperebene im Rd kann durch einen Stutzvektor und d − 1Richtungsvektoren beschrieben werdenStutzvektor gibt Abstand zum Ursprung anHyperebene liegt parallel zu allen Richtungsvektoren
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Partielle Ableitung
Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs fur multivariate Funktionen
Graphen von Funktionen der Form R→ R sind Kurven im kartesischenKoordinatensystem
Graphen von Funktionen der Form R2 → R sind Oberflachen im R3
Graphen von Funktionen der Form Rn → R sind Hyperflachen im Rn+1
Spezialfall der Hyperflache: Hyperebene
Hyperebene im Rd kann durch einen Stutzvektor und d − 1Richtungsvektoren beschrieben werden
Stutzvektor gibt Abstand zum Ursprung anHyperebene liegt parallel zu allen Richtungsvektoren
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Partielle Ableitung
Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs fur multivariate Funktionen
Graphen von Funktionen der Form R→ R sind Kurven im kartesischenKoordinatensystem
Graphen von Funktionen der Form R2 → R sind Oberflachen im R3
Graphen von Funktionen der Form Rn → R sind Hyperflachen im Rn+1
Spezialfall der Hyperflache: Hyperebene
Hyperebene im Rd kann durch einen Stutzvektor und d − 1Richtungsvektoren beschrieben werdenStutzvektor gibt Abstand zum Ursprung an
Hyperebene liegt parallel zu allen Richtungsvektoren
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Partielle Ableitung
Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs fur multivariate Funktionen
Graphen von Funktionen der Form R→ R sind Kurven im kartesischenKoordinatensystem
Graphen von Funktionen der Form R2 → R sind Oberflachen im R3
Graphen von Funktionen der Form Rn → R sind Hyperflachen im Rn+1
Spezialfall der Hyperflache: Hyperebene
Hyperebene im Rd kann durch einen Stutzvektor und d − 1Richtungsvektoren beschrieben werdenStutzvektor gibt Abstand zum Ursprung anHyperebene liegt parallel zu allen Richtungsvektoren
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Graphen von Funktionen der Form Rn → R
f (x , y) = x2 + y2
Abbildung: Elliptisches Paraboloid. Quelle: Wolfram Alpha:https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x,y)+%3D+x%5E2++%2B+y%5E2
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Partielle Ableitung in einem Punkt
Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rn undf : U → R eine Funktion. Sei a = (a1, ..., an) ein Element in in U.Falls fur i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n der Grenzwert
∂f
∂xi(a) := lim
h→0
f (a1, ..., ai + h, ..., an)− f (a1, ..., ai , ...an)
h
existiert, so nennt man ihn die Ableitung von f nach xi im Punkt a.
Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem ihrerArgumente
falls Grenzwert existiert, ist f partiell differenzierbar in a
auch partielle Ableitungen lassen sich oft als Funktion von a angeben
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Partielle Ableitung in einem Punkt
Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rn undf : U → R eine Funktion. Sei a = (a1, ..., an) ein Element in in U.Falls fur i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n der Grenzwert
∂f
∂xi(a) := lim
h→0
f (a1, ..., ai + h, ..., an)− f (a1, ..., ai , ...an)
h
existiert, so nennt man ihn die Ableitung von f nach xi im Punkt a.
Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem ihrerArgumente
falls Grenzwert existiert, ist f partiell differenzierbar in a
auch partielle Ableitungen lassen sich oft als Funktion von a angeben
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Partielle Ableitung in einem Punkt
Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rn undf : U → R eine Funktion. Sei a = (a1, ..., an) ein Element in in U.Falls fur i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n der Grenzwert
∂f
∂xi(a) := lim
h→0
f (a1, ..., ai + h, ..., an)− f (a1, ..., ai , ...an)
h
existiert, so nennt man ihn die Ableitung von f nach xi im Punkt a.
Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem ihrerArgumente
falls Grenzwert existiert, ist f partiell differenzierbar in a
auch partielle Ableitungen lassen sich oft als Funktion von a angeben
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Partielle Ableitung in einem Punkt
Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rn undf : U → R eine Funktion. Sei a = (a1, ..., an) ein Element in in U.Falls fur i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n der Grenzwert
∂f
∂xi(a) := lim
h→0
f (a1, ..., ai + h, ..., an)− f (a1, ..., ai , ...an)
h
existiert, so nennt man ihn die Ableitung von f nach xi im Punkt a.
Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem ihrerArgumente
falls Grenzwert existiert, ist f partiell differenzierbar in a
auch partielle Ableitungen lassen sich oft als Funktion von a angeben
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Partielle Ableitung in einem Punkt
Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rn undf : U → R eine Funktion. Sei a = (a1, ..., an) ein Element in in U.Falls fur i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n der Grenzwert
∂f
∂xi(a) := lim
h→0
f (a1, ..., ai + h, ..., an)− f (a1, ..., ai , ...an)
h
existiert, so nennt man ihn die Ableitung von f nach xi im Punkt a.
Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem ihrerArgumente
falls Grenzwert existiert, ist f partiell differenzierbar in a
auch partielle Ableitungen lassen sich oft als Funktion von a angeben
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Gradient in einem Punkt und Gradientenfeld
Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rn undf : U → R eine Funktion. Sei a = (a1, ..., an) ein Element in in U.Wenn fur alle i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n ∂f
∂xi(a) existiert, so heißt der Vektor:
∇f (a) = (∂f
∂x1(a), ...,
∂f
∂xn(a))
der Gradient von f im Punkt a
Gradient gibt die Richtung und Große der “maximalen Steigung” derdurch f definierten (Hyper-)flache im Punkt a an.
Der Gradient lasst sich allgemein oft als Vektorfeld der Form∇f = ( ∂f
∂x1, ..., ∂f
∂xn) ausdrucken.
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Gradient in einem Punkt und Gradientenfeld
Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rn undf : U → R eine Funktion. Sei a = (a1, ..., an) ein Element in in U.Wenn fur alle i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n ∂f
∂xi(a) existiert, so heißt der Vektor:
∇f (a) = (∂f
∂x1(a), ...,
∂f
∂xn(a))
der Gradient von f im Punkt a
Gradient gibt die Richtung und Große der “maximalen Steigung” derdurch f definierten (Hyper-)flache im Punkt a an.
Der Gradient lasst sich allgemein oft als Vektorfeld der Form∇f = ( ∂f
∂x1, ..., ∂f
∂xn) ausdrucken.
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Gradient in einem Punkt und Gradientenfeld
Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rn undf : U → R eine Funktion. Sei a = (a1, ..., an) ein Element in in U.Wenn fur alle i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n ∂f
∂xi(a) existiert, so heißt der Vektor:
∇f (a) = (∂f
∂x1(a), ...,
∂f
∂xn(a))
der Gradient von f im Punkt a
Gradient gibt die Richtung und Große der “maximalen Steigung” derdurch f definierten (Hyper-)flache im Punkt a an.
Der Gradient lasst sich allgemein oft als Vektorfeld der Form∇f = ( ∂f
∂x1, ..., ∂f
∂xn) ausdrucken.
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Gradient in einem Punkt und Gradientenfeld
Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rn undf : U → R eine Funktion. Sei a = (a1, ..., an) ein Element in in U.Wenn fur alle i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n ∂f
∂xi(a) existiert, so heißt der Vektor:
∇f (a) = (∂f
∂x1(a), ...,
∂f
∂xn(a))
der Gradient von f im Punkt a
Gradient gibt die Richtung und Große der “maximalen Steigung” derdurch f definierten (Hyper-)flache im Punkt a an.
Der Gradient lasst sich allgemein oft als Vektorfeld der Form∇f = ( ∂f
∂x1, ..., ∂f
∂xn) ausdrucken.
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Gradient in einem Punkt und Gradientenfeld
Beispiel
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Inhalt Differentialrechnung Stetigkeit Fundamentalsatz der Analysis Riemann-Integral Vektorraume Normen Skalarprodukt Partielle Ableitung Gradient Jacobi-Matrix
Ableitungen von Funktionen der Form Rn → R
Abbildung: Hyperflache (blau) und Gradientenfeld (rot) vonf : R2 → R : f (x , y) = −(cos2(x) + cos2(y))2 : Quelle: Wikimedia Commons,https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient#/media/File:Gradient_Visual.svg
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Inhalt Differentialrechnung Stetigkeit Fundamentalsatz der Analysis Riemann-Integral Vektorraume Normen Skalarprodukt Partielle Ableitung Gradient Jacobi-Matrix
Matrizen
m × n-Matrix (Definition)
Rechteckige Andordnung von (mathematischen) Objekten in mZeilen und n Spalten.
a =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n...
.... . .
...am1 am2 ... amn
aij bezeichnet das das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte
Allgemein sind Matrizen Tensoren zweiter Ordnung
Vektoren sind Tensoren erster Ordnung
Skalare sind Tensoren nullter Ordnung
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Matrizen
m × n-Matrix (Definition)
Rechteckige Andordnung von (mathematischen) Objekten in mZeilen und n Spalten.
a =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n...
.... . .
...am1 am2 ... amn
aij bezeichnet das das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte
Allgemein sind Matrizen Tensoren zweiter Ordnung
Vektoren sind Tensoren erster Ordnung
Skalare sind Tensoren nullter Ordnung
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Matrizen
m × n-Matrix (Definition)
Rechteckige Andordnung von (mathematischen) Objekten in mZeilen und n Spalten.
a =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n...
.... . .
...am1 am2 ... amn
aij bezeichnet das das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte
Allgemein sind Matrizen Tensoren zweiter Ordnung
Vektoren sind Tensoren erster Ordnung
Skalare sind Tensoren nullter Ordnung
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Matrizen
m × n-Matrix (Definition)
Rechteckige Andordnung von (mathematischen) Objekten in mZeilen und n Spalten.
a =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n...
.... . .
...am1 am2 ... amn
aij bezeichnet das das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte
Allgemein sind Matrizen Tensoren zweiter Ordnung
Vektoren sind Tensoren erster Ordnung
Skalare sind Tensoren nullter Ordnung
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Matrizen
m × n-Matrix (Definition)
Rechteckige Andordnung von (mathematischen) Objekten in mZeilen und n Spalten.
a =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n...
.... . .
...am1 am2 ... amn
aij bezeichnet das das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte
Allgemein sind Matrizen Tensoren zweiter Ordnung
Vektoren sind Tensoren erster Ordnung
Skalare sind Tensoren nullter Ordnung
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → Rm
Jacobi-Matrix
Sei f : U ⊂ Rn → Rm eine Funktion, deren partielle Ableitungenalle existieren, mit den Komponentenfunktionen f := (f1, ..., fm).Seien x := (x1, ..., xn) Koordinaten in Rn: Dann ist dieJacobi-Matrix fur Punkt a ∈ U definiert durch:
Jf (a) =
∂f1∂x1
a ∂f1∂x2
a ... ∂f1∂xn
a...
.... . .
...∂fm∂x1
a ∂fm∂x2
a ... ∂fm∂xn
a
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Ableitungen von Funktionen der Form Rn → Rm
Jacobi-Matrix
Sei f : U ⊂ Rn → Rm eine Funktion, deren partielle Ableitungenalle existieren, mit den Komponentenfunktionen f := (f1, ..., fm).Seien x := (x1, ..., xn) Koordinaten in Rn: Dann ist dieJacobi-Matrix fur Punkt a ∈ U definiert durch:
Jf (a) =
∂f1∂x1
a ∂f1∂x2
a ... ∂f1∂xn
a...
.... . .
...∂fm∂x1
a ∂fm∂x2
a ... ∂fm∂xn
a
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Noch Fragen?
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Weiterfuhrende Literatur
Klaus Janich, Lineare Algebra, Springer, 2017. Kapitel 2 und 8
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Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!
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