Mathematische GrundlagenLineare AlgebraMatrizenalgebraEinfaches EigenwertproblemSingulrwertzerlegungGeneralisierte InverseIterative und numerische VerfahrenDifferentialrechnungOptimierung

Lineare AlgebraLsen linearer Gleichungen und GleichungssystemeWerkzeug: Matrizenrechnung

Arten von linearen GleichungssystemenHomogenes Gleichungssystem: alle Konstanten gleich NullInhomogenes Gleichungssystem: mindestens eine Konstante ungleich NullBeispielsystem: 3 Gleichungen in 3 UnbekanntenMehr Gleichungen als Unbekannte: berbestimmtMehr Unbekannte als Gleichungen: Unterbestimmt

Begriff AlgebraAbu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Chwarismi: Hisab al-gabr w'al-muqabala (Wiederherstellen und Zusammenfhren) um 800 Auflsen von Gleichungenlat. bersetzung: Algoritmi (Algorithmus)Algebra spter: Lehre vom Auflsen von Gleichungs- und Ungleichungssystemen

Moderne AlgebraBeziehungen mathematischer Gren zu-einander formale BehandlungLineare Algebra: n-dimensionaler Vektor-raum und lineare Transformationen in ihmAlgebra auch: mathematische Struktur mit bestimmten Eigenschaften Menge der Matrizen und ihre Operationen sind eine Algebra

MatrizenalgebraEine (m,n)-Matrix ist eine rechteckige Anordnung von m x n Elementen in m Zeilen und n Spalten.

Dimension einer MatrixDefiniert durch Anzahl der Spalten und Zeilenquadratisch, wenn Anzahl der Spalten und Zeilen gleichrechteckig sonst(m,1)-Matrix: Spaltenvektor(1,n)-Matrix: Zeilenvektor(1,1)-Matrix: Skalar

Elemente der MatrixKnnen Variablen, Zahlen aus C (R, Z, N), Polynome, Matrizen etc. seinAngesprochen ber den IndexZeilenindex: Nummer der ZeileSpaltenindex: Nummer der SpalteIndex: Erst Zeile, dann Spalte angegeben

Gleichungssysteme mit MatrizenGleichungssystem von vorher: Ax=bKoeffizientenmatrixAUnbekanntenvektorxKonstantenvektorb

Schreibweise von MatrizenRunde und eckige Klammern erlaubtIn der Lehrveranstaltung: Eckige Klammern fr Matrizen mit ZahlenBlockweise auftretende Nullen oft weggelassen (Lesbarkeit)

Alter der MatrizenschreibweiseAlbrecht Drer: Die Melancholie (1514)magischesQuadrat

SubmatrizenJeder Teilblock einer Matrix kann wieder als Matrix aufgefasst werdenP, q, r, s sind Submatrizen

SpezialformenNullmatrix: Alle Elemente gleich NullDiagonalmatrix: Nur Hauptdiagonale besetztDreiecksmatrix: Dreieck besetztobere Dreiecksmatrix R oder Uuntere Dreiecksmatrix LTreppenform: nicht-quadratische Matrizen in Dreiecksform

SymmetrieSymmetrische Matrix: quadratisch und

Schief-symmetrische Matrix: quadratisch und Elemente der Hauptdiagonale gleich Null

Gleichheit von MatrizenZwei Matrizen sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind (die gleiche Dimension haben) undalle Elemente gleich sind, also wenn gilt

Spur einer MatrixNur fr quadratische MatrizenSumme der Hauptdiagonal-Elementeabgekrzt mit tr (engl. trace)

Determinante einer MatrixNur fr quadratische MatrizenBerechnet nach Entwicklungssatz von Laplaceabgekrzt mit det A oder |A|

Regeln ber DeterminantenVertauschen zweier Zeilen (Spalten) wechselt das VorzeichenAddition (Subtraktion) eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) lsst die Determinante unverndertDeterminante einer Dreiecks- oder Diagonal-matrix ist das Produkt der Hauptdiagonal-Elementeverschwindende Determinante: Sind zwei Zeilen (Spalten) gleich oder proportional, so wird det(A)=0 (die Determinante verschwindet)

Regulre und singulre MatrizenSingulre Matrix: Quadratische Matrix mit verschwindender Determinante det(A)=0

Regulre Matrix: Quadratische Matrix, bei der die Determinante nicht verschwindet

Spezialflle(2,2)-Matrix

(3,3)-Matrix: Regel von Sarrus

MatrizenoperationenTranspositionAddition/SubtraktionMultiplikation mit einem SkalarMultiplikation zweier Matrizen

TranspositionElemente wechseln ihre Position durch Vertauschen des Zeilen- und SpaltenindexAbgekrzt mit ATSpaltenvektor wird zu Zeilenvektor und umgekehrt

Symmetrie und TranspositionSymmetrische Matrix:

Schiefsymmetrische Matrix:

Aufspaltung einer quadratischen MatrixJede quadratische Matrix kann aufgespalten werden in eine symmetrische und eine schiefsymmetrische Matrix:

Addition und SubtraktionElementweises addieren/subtrahieren

Addition ist assoziativAddition ist kommutativAddition hat NullelementTransposition einer Summe

Multiplikation Matrix-SkalarJedes Element wird mit dem Skalar multipliziert

Es gilt:

Matrizenmultiplikation

Element an Position (i,j) ist Produkt aus Zeilenvektor ai und Spaltenvektor bjPotenzen nur fr quadratische Matrizen mglichAB=0 bedeutet, dass mindestens eine Matrix singulr (nicht: Nullmatrix!)

Eigenschaften der MultiplikationAssoziativ:(AB)C = A (BC)Neutrales Element ist Einheitsmatrix I (E) mit

Multiplikation mit Einheitsmatrix ist kommutativSonst NICHT kommutativ (ABBA)Multiplikation ist distributiv: A(B+C)=AB+AC

Potenzieren von Matrizen

SkalarmultiplikationMit Einheitsmatrix kann die Skalarmultiplikation in eine Matrizenmultiplikation rckgefhrt werden:

Transponieren von Produkten

Falksches Schema

Determinante und Spur von MatrizenproduktenDeterminante einer (n,n)-Matrix:

Spur einer Matrix:

Gausche TransformationProduktN ist quadratisch, symmetrischElemente nij von N: Skalarprodukt der Spalten i und j von ADiagonalelemente positiv (Quadrate!)Matrix positiv definit (bzw. semidefinit wenn auch Null in Hauptdiagonale)Auch fr Produkte mglich:

Positiv definitAlle Subdeterminanten, die durch Streichung der letzten k Zeilen und Spalten entstehen (Minoren) sind 0Hinweise auf positive definite Matrix:Diagonalelemente positive reelle ZahlenJede Untermatrix ist positiv definitSpur, Determinante und Minoren positivA+B positiv definit, wenn A und B positiv definitSymmetrische Matrix mit positiven Eigenwerten ist positiv definit

Orthogonale MatrizenQuadratische MatrixSkalarprodukt aus beliebigen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) ist 0 oder 1 orthonormalEs giltDeterminante ist 1Determinante +1: eigentlich orthogonalDeterminante -1: uneigentlich orthogonalMultiplikation orthogonaler Matrizen ist kommutativ

InversionInverse Matrix (Kehrmatrix) von A ist definiert berMatrix A quadratisch mit Determinante 0Inverse ist eindeutig

A*: Adjungierte Matrix zu A, transponierte Matrix der Kofaktoren von A

Inversion einer (2,2)-Matrix

Weitere Regelnorthogonale MatrizenA symmetrisch A-1 symmetrischA Diagonalmatrix A-1 Diagonalmatrix mit

Diagonalmatrix mit weiterer Zeile/Spalte besetzt

Submatrizen

Spezialflle von Submatrizen

Neumannsche ReiheMatrizeninversion kann auch ber Reihenentwicklung berechnet werden:

Beweis: Von links mit (I+A) multiplizieren

Konvergenz, wenn Ai bei wachsendem i gegen Nullmatrix strebt

Auflsen von GleichungssystemenGegeben: Ax=bMultiplikation von links mit A-1:A-1Ax= A-1bergibt:(I)x= A-1bVoraussetzungen:Anzahl der Zeilen in A = Anz. Zeilen in bAnzahl der Spalten in A = Anz. Zeilen in xA invertierbar (quadratisch, Determinante Null)

Auflsung wenn nicht quadratischGausche Transformation: Multiplikation von links mit AT: ATAx=ATb Auch: NormalgleichungenJetzt quadratisch und symmetrisch, wenn regulr ist das System lsbarAbkrzung N=ATA Normalgleichungsmatrix

Lineare AbhngigkeitVektorrechnung: Ein k-Tupel von Vektoren heit linear abhngig wenn gilt mit (l1, , ln) 0

Matrizenrechnung: Lineare Abhngig-keiten zwischen Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren

RangRang: Anzahl der linear unabhngigen Vektoren rank(A)

Zeilen- und Spaltenrang sind immer gleich

Es gilt: rank(A)=rank(AT)

RangdefektAnzahl der linearen Abhngigkeiten: Rangdefizit oder Rangdefekt d

rank(A)=n-d

Rang einer MatrixMaximaler Rang einer (n,n)-Matrix: n Dann: d = 0 (voller Rang) und det(A) 0 Also: Matrix invertierbar!

Wenn d > 0, dann det(A)= 0

Maximaler Rang einer (n,m)-Matrix: min(n,m)

Rang bei GleichungssystemenGleichungssystem Ax=b

(n,n)-Matrix A muss Rang n haben

Zustzlich: rank(A)=rank(A,b)

Bestimmung des Ranges (1)Gauscher Algorithmus: Man bringt die Matrix auf Treppen-(Dreiecks-)FormErlaubte elementare Umformungen:Vertauschen von Zeilen/SpaltenMultiplizieren mit SkalarAddieren einer mit einem Skalar multiplizierten Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte

Bestimmung des Ranges (2)Zeilen/Spalten, die das Vielfache anderer Zeilen/Spalten sind, werden eliminiertAnzahl der nicht verschwindenden Zeilen/ Spalten ist der Rang

Verschwindende Zeilen: Nullen in Hauptdiagonale Determinante wird NullAlgorithmus auch zur Lsung von Gleichungssystemen verwendbar

Elementare UmformungenSind auch ber Matrizenmultiplikationen mglich: z.B. Vertauschung von Zeilen

Gau-Jordan-VerfahrenBasiert auf Gauschem AlgorithmusNur Umformungen der ZeilenZiel ist Zeilennormalform:Elemente unterhalb der Hauptdiagonale NullErstes nicht verschwindendes Element jeder Zeile EinsOberhalb dieser nicht verschwindenden Elemente stehen nur Nullen

Vorgangsweise

HinweisGau-Jordan-Verfahren kann auch zur Matrizeninversion verwendet werdenBeginn:A | I Umwandlung der Matrix A, wobei jede Umformung auf beide Matrizen angewendet wirdResultat: I | A-1

Einfaches Eigenwertproblem (1)Quadratische Matrix A, gesucht sind die Vektoren x, fr die gilt Ax=lx mit dem Skalar lUmgeformt: (A-lI)x=0 (chara