Mathematische Grundlagen

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Mathematische Grundlagen. Lineare Algebra Matrizenalgebra Einfaches Eigenwertproblem Singulärwertzerlegung Generalisierte Inverse Iterative und numerische Verfahren Differentialrechnung Optimierung. Unbekannte. Konstante. Koeffizienten. Lineare Algebra. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Mathematische GrundlagenLineare AlgebraMatrizenalgebraEinfaches EigenwertproblemSingulrwertzerlegungGeneralisierte InverseIterative und numerische VerfahrenDifferentialrechnungOptimierung

  • Lineare AlgebraLsen linearer Gleichungen und GleichungssystemeWerkzeug: Matrizenrechnung

  • Arten von linearen GleichungssystemenHomogenes Gleichungssystem: alle Konstanten gleich NullInhomogenes Gleichungssystem: mindestens eine Konstante ungleich NullBeispielsystem: 3 Gleichungen in 3 UnbekanntenMehr Gleichungen als Unbekannte: berbestimmtMehr Unbekannte als Gleichungen: Unterbestimmt

  • Begriff AlgebraAbu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Chwarismi: Hisab al-gabr w'al-muqabala (Wiederherstellen und Zusammenfhren) um 800 Auflsen von Gleichungenlat. bersetzung: Algoritmi (Algorithmus)Algebra spter: Lehre vom Auflsen von Gleichungs- und Ungleichungssystemen

  • Moderne AlgebraBeziehungen mathematischer Gren zu-einander formale BehandlungLineare Algebra: n-dimensionaler Vektor-raum und lineare Transformationen in ihmAlgebra auch: mathematische Struktur mit bestimmten Eigenschaften Menge der Matrizen und ihre Operationen sind eine Algebra

  • MatrizenalgebraEine (m,n)-Matrix ist eine rechteckige Anordnung von m x n Elementen in m Zeilen und n Spalten.

  • Dimension einer MatrixDefiniert durch Anzahl der Spalten und Zeilenquadratisch, wenn Anzahl der Spalten und Zeilen gleichrechteckig sonst(m,1)-Matrix: Spaltenvektor(1,n)-Matrix: Zeilenvektor(1,1)-Matrix: Skalar

  • Elemente der MatrixKnnen Variablen, Zahlen aus C (R, Z, N), Polynome, Matrizen etc. seinAngesprochen ber den IndexZeilenindex: Nummer der ZeileSpaltenindex: Nummer der SpalteIndex: Erst Zeile, dann Spalte angegeben

  • Gleichungssysteme mit MatrizenGleichungssystem von vorher: Ax=bKoeffizientenmatrixAUnbekanntenvektorxKonstantenvektorb

  • Schreibweise von MatrizenRunde und eckige Klammern erlaubtIn der Lehrveranstaltung: Eckige Klammern fr Matrizen mit ZahlenBlockweise auftretende Nullen oft weggelassen (Lesbarkeit)

  • Alter der MatrizenschreibweiseAlbrecht Drer: Die Melancholie (1514)magischesQuadrat

  • SubmatrizenJeder Teilblock einer Matrix kann wieder als Matrix aufgefasst werdenP, q, r, s sind Submatrizen

  • SpezialformenNullmatrix: Alle Elemente gleich NullDiagonalmatrix: Nur Hauptdiagonale besetztDreiecksmatrix: Dreieck besetztobere Dreiecksmatrix R oder Uuntere Dreiecksmatrix LTreppenform: nicht-quadratische Matrizen in Dreiecksform

  • SymmetrieSymmetrische Matrix: quadratisch und

    Schief-symmetrische Matrix: quadratisch und Elemente der Hauptdiagonale gleich Null

  • Gleichheit von MatrizenZwei Matrizen sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind (die gleiche Dimension haben) undalle Elemente gleich sind, also wenn gilt

  • Spur einer MatrixNur fr quadratische MatrizenSumme der Hauptdiagonal-Elementeabgekrzt mit tr (engl. trace)

  • Determinante einer MatrixNur fr quadratische MatrizenBerechnet nach Entwicklungssatz von Laplaceabgekrzt mit det A oder |A|

  • Regeln ber DeterminantenVertauschen zweier Zeilen (Spalten) wechselt das VorzeichenAddition (Subtraktion) eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) lsst die Determinante unverndertDeterminante einer Dreiecks- oder Diagonal-matrix ist das Produkt der Hauptdiagonal-Elementeverschwindende Determinante: Sind zwei Zeilen (Spalten) gleich oder proportional, so wird det(A)=0 (die Determinante verschwindet)

  • Regulre und singulre MatrizenSingulre Matrix: Quadratische Matrix mit verschwindender Determinante det(A)=0

    Regulre Matrix: Quadratische Matrix, bei der die Determinante nicht verschwindet

  • Spezialflle(2,2)-Matrix

    (3,3)-Matrix: Regel von Sarrus

  • MatrizenoperationenTranspositionAddition/SubtraktionMultiplikation mit einem SkalarMultiplikation zweier Matrizen

  • TranspositionElemente wechseln ihre Position durch Vertauschen des Zeilen- und SpaltenindexAbgekrzt mit ATSpaltenvektor wird zu Zeilenvektor und umgekehrt

  • Symmetrie und TranspositionSymmetrische Matrix:

    Schiefsymmetrische Matrix:

  • Aufspaltung einer quadratischen MatrixJede quadratische Matrix kann aufgespalten werden in eine symmetrische und eine schiefsymmetrische Matrix:

  • Addition und SubtraktionElementweises addieren/subtrahieren

    Addition ist assoziativAddition ist kommutativAddition hat NullelementTransposition einer Summe

  • Multiplikation Matrix-SkalarJedes Element wird mit dem Skalar multipliziert

    Es gilt:

  • Matrizenmultiplikation

    Element an Position (i,j) ist Produkt aus Zeilenvektor ai und Spaltenvektor bjPotenzen nur fr quadratische Matrizen mglichAB=0 bedeutet, dass mindestens eine Matrix singulr (nicht: Nullmatrix!)

  • Eigenschaften der MultiplikationAssoziativ:(AB)C = A (BC)Neutrales Element ist Einheitsmatrix I (E) mit

    Multiplikation mit Einheitsmatrix ist kommutativSonst NICHT kommutativ (ABBA)Multiplikation ist distributiv: A(B+C)=AB+AC

  • Potenzieren von Matrizen

  • SkalarmultiplikationMit Einheitsmatrix kann die Skalarmultiplikation in eine Matrizenmultiplikation rckgefhrt werden:

  • Transponieren von Produkten

  • Falksches Schema

  • Determinante und Spur von MatrizenproduktenDeterminante einer (n,n)-Matrix:

    Spur einer Matrix:

  • Gausche TransformationProduktN ist quadratisch, symmetrischElemente nij von N: Skalarprodukt der Spalten i und j von ADiagonalelemente positiv (Quadrate!)Matrix positiv definit (bzw. semidefinit wenn auch Null in Hauptdiagonale)Auch fr Produkte mglich:

  • Positiv definitAlle Subdeterminanten, die durch Streichung der letzten k Zeilen und Spalten entstehen (Minoren) sind 0Hinweise auf positive definite Matrix:Diagonalelemente positive reelle ZahlenJede Untermatrix ist positiv definitSpur, Determinante und Minoren positivA+B positiv definit, wenn A und B positiv definitSymmetrische Matrix mit positiven Eigenwerten ist positiv definit

  • Orthogonale MatrizenQuadratische MatrixSkalarprodukt aus beliebigen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) ist 0 oder 1 orthonormalEs giltDeterminante ist 1Determinante +1: eigentlich orthogonalDeterminante -1: uneigentlich orthogonalMultiplikation orthogonaler Matrizen ist kommutativ

  • InversionInverse Matrix (Kehrmatrix) von A ist definiert berMatrix A quadratisch mit Determinante 0Inverse ist eindeutig

    A*: Adjungierte Matrix zu A, transponierte Matrix der Kofaktoren von A

  • Inversion einer (2,2)-Matrix

  • Weitere Regelnorthogonale MatrizenA symmetrisch A-1 symmetrischA Diagonalmatrix A-1 Diagonalmatrix mit

    Diagonalmatrix mit weiterer Zeile/Spalte besetzt

  • Submatrizen

  • Spezialflle von Submatrizen

  • Neumannsche ReiheMatrizeninversion kann auch ber Reihenentwicklung berechnet werden:

    Beweis: Von links mit (I+A) multiplizieren

    Konvergenz, wenn Ai bei wachsendem i gegen Nullmatrix strebt

  • Auflsen von GleichungssystemenGegeben: Ax=bMultiplikation von links mit A-1:A-1Ax= A-1bergibt:(I)x= A-1bVoraussetzungen:Anzahl der Zeilen in A = Anz. Zeilen in bAnzahl der Spalten in A = Anz. Zeilen in xA invertierbar (quadratisch, Determinante Null)

  • Auflsung wenn nicht quadratischGausche Transformation: Multiplikation von links mit AT: ATAx=ATb Auch: NormalgleichungenJetzt quadratisch und symmetrisch, wenn regulr ist das System lsbarAbkrzung N=ATA Normalgleichungsmatrix

  • Lineare AbhngigkeitVektorrechnung: Ein k-Tupel von Vektoren heit linear abhngig wenn gilt mit (l1, , ln) 0

    Matrizenrechnung: Lineare Abhngig-keiten zwischen Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren

  • RangRang: Anzahl der linear unabhngigen Vektoren rank(A)

    Zeilen- und Spaltenrang sind immer gleich

    Es gilt: rank(A)=rank(AT)

  • RangdefektAnzahl der linearen Abhngigkeiten: Rangdefizit oder Rangdefekt d

    rank(A)=n-d

  • Rang einer MatrixMaximaler Rang einer (n,n)-Matrix: n Dann: d = 0 (voller Rang) und det(A) 0 Also: Matrix invertierbar!

    Wenn d > 0, dann det(A)= 0

    Maximaler Rang einer (n,m)-Matrix: min(n,m)

  • Rang bei GleichungssystemenGleichungssystem Ax=b

    (n,n)-Matrix A muss Rang n haben

    Zustzlich: rank(A)=rank(A,b)

  • Bestimmung des Ranges (1)Gauscher Algorithmus: Man bringt die Matrix auf Treppen-(Dreiecks-)FormErlaubte elementare Umformungen:Vertauschen von Zeilen/SpaltenMultiplizieren mit SkalarAddieren einer mit einem Skalar multiplizierten Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte

  • Bestimmung des Ranges (2)Zeilen/Spalten, die das Vielfache anderer Zeilen/Spalten sind, werden eliminiertAnzahl der nicht verschwindenden Zeilen/ Spalten ist der Rang

    Verschwindende Zeilen: Nullen in Hauptdiagonale Determinante wird NullAlgorithmus auch zur Lsung von Gleichungssystemen verwendbar

  • Elementare UmformungenSind auch ber Matrizenmultiplikationen mglich: z.B. Vertauschung von Zeilen

  • Gau-Jordan-VerfahrenBasiert auf Gauschem AlgorithmusNur Umformungen der ZeilenZiel ist Zeilennormalform:Elemente unterhalb der Hauptdiagonale NullErstes nicht verschwindendes Element jeder Zeile EinsOberhalb dieser nicht verschwindenden Elemente stehen nur Nullen

  • Vorgangsweise

  • HinweisGau-Jordan-Verfahren kann auch zur Matrizeninversion verwendet werdenBeginn:A | I Umwandlung der Matrix A, wobei jede Umformung auf beide Matrizen angewendet wirdResultat: I | A-1

  • Einfaches Eigenwertproblem (1)Quadratische Matrix A, gesucht sind die Vektoren x, fr die gilt Ax=lx mit dem Skalar lUmgeformt: (A-lI)x=0 (chara