Einführung in die Inversionstheorie und Regularisierung

Einführung in die Inversionstheorie Einführung in die Inversionstheorie und Regularisierungund Regularisierung

Daniel KöhnDaniel Köhn

Kiel, den 17. Januar 2005Kiel, den 17. Januar 2005

Was ist Inversion ?Was ist Inversion ?

Was ist Inversion ?

Physiker

Was ist Inversion ?

Physikalische Messung

Was ist Inversion ?

Physikalisches Modell

Test des ModellsTest des Modells

Was ist Inversion ?

Was ist Inversion ?

Meßdaten

Modellparameter

VorwärtsmodellierungVorwärtsmodellierung

Vorwärtsmodellierung

Rate Modellparameter


Lange Iterationszeit beigroßem Parameterraum

InversionInversion

Inversionsproblem

Inversion

Meßdaten: bModell-

parameter: m

Vorwärtsmodellierung: bmod = g(m)

Inversion: m = g-1(bobs)

Physikalisches Modell: g

Lösung von Inversionsproblemen

Typen von Linearen Typen von Linearen InversionsproblemenInversionsproblemen

Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in einem Bohrloch

Physikalisches Modell:


Setze Messwerte in Modell ein:

Messdaten Modellparameter


Lösung:

Lineare Inversionsprobleme

Exakt bestimmtes Problem:

Es existieren exakt soviele Messungen, wie unbekannte Modellparameter =>

Quadratische Koeffizientenmatrix

Physikalische Realität


Überbestimmtes Problem:

Es existieren mehr Messungen, als unbekannte Modellparameter =>

Koeffizientenmatrix ist nicht quadratisch


Lösung eines Überbestimmten Problems:

Residuum e = Abweichung zwischen gemessenen und modellierten Daten

Gauss: “Minimiere Summe der Quadrate des Residuums”

Objektfunktion E(mE(m)


Damit folgen die optimalen Lösungsparameter x zu:

Gauss-Newton Verfahren

Gauss-Newton: Beispiel 1

Gauss-Newton: Beispiel 2

1D Love-Wellen Inversion

Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion

Ausbreitung von Love-Wellen


Entstehung von Love Wellen


Bestimmung von vs(z) aus den gemessenen

Phasengeschwindigkeiten vph

(T)

UntergrundmodellUntergrundmodellPhasengeschwindigkeits-Phasengeschwindigkeits-

residuenresiduen

S-Wellengeschwindigkeits-S-Wellengeschwindigkeits-residuenresiduen

A vs = vph


Startmodell vs(z)

Asthenosphäre

MOHO

Oberer Mantel

VorwärtsmodellierungVorwärtsmodellierung

Avs = vph


Startmodell vph

(z)

vvphph

Inversion mit Gauss-NewtonInversion mit Gauss-Newton

vs = (ATA)-1ATvph


Lösung vs(z) nach einem Iterationsschritt


Problem: Schlecht konditioniertes Gleichungssystem.

RegularisierungRegularisierung

Regularisierung

Regularisierung:

Die Untersuchung des Lösungsverhaltens und die anschließende Lösung eines schlecht

konditionierten Problems.

Regularisierung

Singulärwertzerlegung (SVD):

V = Matrix aus den Eigenvektoren von AAT U = Matrix aus den Eigenvektoren von ATA

= Eigenwerte von A

Orthogonalität der Matrizen V und U impliziert:VT=V-1 UT=U-1

Lösung des linearen Inversionsproblems:

Lösung des Inversionsproblems mit SVD:

Regularisierung

Regularisierung

Verteilung der Singulärwerte für die Beispiele 1 und 2

SVD: 1D Love-Welleninversion

Marquardt-Levenberg Verfahren

Definiere Variabilität der Modellparameter:

Minimiere modifizierte Objektfunktion

Es folgt:

Marquardt-Levenberg Verfahren

Beurteilung der Inversion

Modellkovarianzmatrix Datenresolutionsmatrix Modellresolutionsmatrix

Mathematische VerfahrenMathematische Verfahren

Bewertung der Modelle nur nach mathematischen und Bewertung der Modelle nur nach mathematischen und nicht physikalischen Gesichtspunktennicht physikalischen Gesichtspunkten

Besser: Besser: VorwärtsmodellierungVorwärtsmodellierung

SVD: Vorwärtsmodellierung

Marquardt-Levenberg Verfahren: Vorwärtsmodellierung

Beurteilung der Inversion

Man beachte:

Finden wir eine Lösung ? Wenn ja, ist diese Lösung eindeutig ? Wie beeinflußen Fehler in den gemessenen Daten die Lösung ?

Zusammenfassung

Es existieren 2 Vorgehensweisen aus gemessenen Daten Modellparameter abzuleiten: Vorwärtsmodellierung und Inversion.

Die linearen Inversionsprobleme lassen sich grob in 3 Gruppen unterteilen: exakte, überbestimmte, sowie schlecht konditionierte Probleme.

Zur Analyse und Lösung von schlecht konditionierten Problemen können das SVD, bzw. Marquardt-Levenberg Verfahren herangezogen werden.

Die Beurteilung eines Modells sollte nach physikalischen und nicht ausschließlich nach mathematischen Gesichtspunkten erfolgen.

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