Einführung in die Meteorologie

- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre -

Clemens Simmer

Meteorologisches InstitutRheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn

Sommersemester 2005Wintersemester 2005/2006

IV Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

• Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur von Windfeldern– unter Berücksichtigung der Massenerhaltung– ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).

• Windfelder lassen sich charakterisieren durch – Divergenz– Rotation– Deformation

IV.1 Kinematik

IV.1 Kinematik

• Divergenz• Massenerhaltung und Kontinuitätsgleichung• Rotation und Zirkulation• Natürliches Koordinatensystem• Stromlinien und Trajektorien

IV.1.1 Divergenz der Windgeschwindigkeit

y

v

x

uvvdiv

z

w

y

v

x

uuvvdiv

HH

ii

x < 0 > 0 < 0

t=0

t=t1

Bei Beschränkung auf die horizontalen Windkomponenten wird der Zusammenhang zwischen Strömungsfeld und Divergenz unmittelbar deutlich.

Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.

Beispiele zur Divergenz1

111

1

1

1

0)1()1()1(

1

1

1

sz

ms

y

ms

x

msv

ms

ms

ms

v

1

1

1

1

3

sz

z

y

y

x

xv

msz

msy

msx

v

L

x

L

u

xL

xu

vL

xu

v

2cos

22

sin

0

0

2sin

00

0

0

0

2sin0

0

vL

xv

u

v

L/2 L

L/4 L/2

Divergenz und Massenerhaltung (1)

Dichte und Masse mit

)(

fest,

Volumendem aus nflussNettomasse

mt

Vt

V

t

mM

kg/s [M]V

M

V,m,ρ=m/V

Mi

kg/m³ m² m/s kg/s

heraus V aus Fluss wenn0 M

i Randfläche beliebige eine durch sMassenflus

i iF Fvi

Ein Nettomassenfluss M durch die festen Volumenberandungen führt zu einer Massen- und damit Dichteänderung innerhalb des Volumens.

Divergenz und Massenerhaltung (2)

xy

z

Δy

Δz

Δx

0r

Ein Würfel sei ausgerichtet parallel zu den Koordinatenachsen

wvwv

vvvv

uvuv

FFFFFF

zz

yy

xx

FF

FF

FF

zzyyxx

,

,

,

,,,,,

Vx

uzyxzyx

x

u

zyx

zyxx

uzyxu

xzyx

x

uzyxu

zyzyx

xuzyx

xuMMM

MMMMMMM

xxx

M

zz

M

yy

M

xx

zyx

000

000000000000

000000

,,

2,,,,

2,,,,

Punktzentralen um

gEntwicklun-Taylor ,,

2,,

2

nflussNettomasse

Divergenz und Massenerhaltung (3)

x

y

z

Δy

Δz

Δx

0r

analog für die zwei anderen Richtungen, also insgesamt:

, , Vz

wMV

y

vMV

x

uM zyx

VvV

w

v

u

z

y

x

Vz

w

y

v

x

u

MMMVt

M zyx

vt

Kontinuitätsgleichung

(Massenerhaltung)

Eulersche und Lagrangesche Kontinuitätsgleichung

vt

vtdt

d

Advektionsgleichung für ρ:

Eulersche Kont‘gleichung:

Umrechnung:

vvv

vvdt

d

vvdt

d

t

elProduktreg

Lagrangesche Kont‘gleichung vdt

d

Sonderfall: Inkompressibles Medium

• Ist ein Medium inkompressibel, so kann man es weder zusammen-pressen noch auseinander ziehen. Dabei kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren inhomogen sein (veränderliche Dichte)

• Wasser ist mit guter Näherung inkompressibel.

• Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B.

keine Ausdehnung beim Aufsteigen Unendliche Schallgeschwindigkeit

• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der Beschreibung der Strömungsprozesse bei geringen Vertikalauslenkungen, z.B. in der Grenzschicht.

• Es gilt dann offensichtlich: 0 0 vdt

d !!! 0

t

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit• Wenn wir annähernd Inkompressibilität annehmen können, dann folgt aus

dem Zusammenströmen von Luft z.B. in der Horizontalen (horizontale Konvergenz), dass die Luft in vertikaler Richtung ausweichen muss.

• Geschieht die horizonale Konvergenz am Boden, so muss die Luft durch Aufsteigen nach oben ausweichen.

bodennahe horizontale Konvergenz erzwingt Aufsteigen darüber. bodennahe horizontale Divergenz erzwingt Absteigen darüber.

y

v

x

u

z

w

z

w

y

v

x

uv 00

• Gehen wir weiter von stationären Verhältnissen aus (∂/∂t=0), und dass w sich nur vertikal verändert (∂z→dz), so kann man die Gleichung integrieren.

hvhw

hdzy

v

x

u

hdz

y

v

x

udwhw

h

HH

hhh

)(

)(

Divergenz ehorizontal gemittelte-höhen

000

1

Kont‘gleichung im p-KoordinatensystemBei großskaligen Bewegungen, bei denen die statische Grundgleichung annähernd gilt, wird als Vertikalkoordinate anstatt der z-Koordinate oft der Druck p genommen. Neben offensichtlichen Nachteilen (Veränderlichkeit) hat das p-Koordinatensystem aber den großen Vorteil, dass die Kontinuitätsgleichung besonders einfach aussieht.Zur Ableitung betrachtet man die Änderung eines Volumens V (jetzt nicht starr) durch die Luftbewegung:

g

pyxzyxV

Für die Massenänderung gilt unmittelbar:

g

pyx

dt

dV

dt

d

dt

dm 0

0

:ildungGrenzwertb beih schließlic und mit 0

1111110

)//( 0

pp vpy

v

x

u

dt

dp

py

v

x

u

dt

dp

pdt

dy

ydt

dx

xdt

pd

pdt

yd

ydt

xd

x

gpyxg

yx

dt

pd

g

px

dt

yd

g

py

dt

xd

Dann gilt der Zusammenhang von letzter Seite formal ohne Annahme der Inkompressibilität!

Beispiel: Aufsteigen in Tiefs und Absteigen in Hochs

H T

• In Hochdruckgebieten ist der Windvektor leicht aus dem Hoch heraus gerichtet

Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Hoch absinken• In Tiefdruckgebieten ist der Windvektor leicht in das Tief hinein gerichtet

Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Tief aufsteigen.

Konvergenz und Konfluenz• Von Null verschiedene (3-dim) Konvergenz lässt ein Strömungsvolumen

wachsen oder schrumpfen – die Dichte nimmt dabei ab bzw. zu.• Bei zweidimensionaler Divergenz (z.B. horizontale Divergenz) gilt der

Zusammenhang mit Dichteänderungen nicht unbedingt, da wir nicht wissen, was vertikal passiert.

• Konfluenz und Diffluenz (auch Richtungskonvergenz bzw. –divergenz) bezeichnen das Konvergieren oder Divergieren der Strömungs-richtungen (unabhängig von der Strömungsgeschindigkeit).

• Konfluente oder diffluente Strömungen können konvergent oder divergent sein!

2D-Strömung mit Konfluenz und Diffluenz, aber

verschwindender Divergenz (angedeutet durch

gleichbleibendes Volumen)

Horizontale Divergenz und Drucktendenz (∂p/∂t)

)))

0)(mit )(

cz b

HH

a

HH

zz

H

zz

z

wgdzvvgt

p

dzz

wgdzvgdzvgdz

tg

t

p

pdzgzpgdzdp

Eine Druckzunahme in der Höhe z kann verursacht werden durch:

a) Advektion von dichterer Luft in der Luft darüber b) horizontale Konvergenz in der Luft darüberc) Aufsteigen von Luft durch die Höhe z

Flächenmittel der horizontalen Divergenz und der Integralsatz von Gauss

• Bei Messungen, wie bei Modellen sind die Felder der meteorologischen Größen nicht überall bekannt, sondern entweder an den Messpunkten oder den Gitterpunkten des Modells.

• Die Berechnung der Divergenz benötigt aber formal ein kontinuierliches Feld, da der Nabla-Operator ein differentieller Operator ist.

• Tatsächlich interessiert aus verschiedenen Gründen meist oft nur die räumlich gemittlelte Divergenz eines Windfeldes.

• Der Integralsatz von Gauss (hier nur in 2 Dimensionen für die horizontale Divergenz) verbindet die differentielle Formulierung mit einer integralen Formulierung

F

n

F

H

dxdy

HH

F

HH

dsvF

dsnvF

dxdyvF

vD

11

1:

Gauss vonSatz

x

y

F

ds

. Hv

Hn vnv

n

Bestimmung der mittleren Divergenz bei kartesischen Gittern

x

y

F

a

bc

d

Δx

Δy

Komponente-u

gemittelte aüber

1mit

1

1

a

aa

dcba

d

d

c

c

b

b

a

a

dyuy

u

xvyuxvyuyx

dxvdyudxvdyuF

D

Die seien Stationspositionen an denen der Wind gemessen wird.Man denkt sich ein Rechteck (gestrichelt), das die Stationen verbindet.

bdac vvy

uux

D

11

Übung zu IV.1.1

x

y

F

a

bc

d

Δx=100 km

Δy=50 km

4 m/s, 60°

10 m/s 90°

4 m/s, 120°

8 m/s90°

1. Bestimme die mittlere horizontale Divergenz für nebenstehende Beobachtungen

2. Wie ändern sich die Werte, wenn wegen Messfehler tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?

3. Im Zentrum eines Tiefdruckgebietes sei der Vertikalwind in 2000 m Höhe 2 mm/s. Wie groß ist dort dann die mittlere horizontale Divergenz zwischen Boden und 2000 m unter Annahme inkompressibler Luft?

4. Im Windfeld von 3. liege bei 2000 m die Unterkante einer Wolkenschicht. Es herrsche dort eine Temperatur von 10°C. Berechne die Niederschlagsmenge in mm/h unter der Annahme, dass alles beim Aufsteigen kondensierende Wasser sofort ausfällt (der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 10°C ist 12,2 hPa; die Gaskonstante von Wasserdampf ist 461 J/(kg K)).

IV.1.2 Rotation und Zirkulation• rot-Operator

• absolute und relative Geschwindigkeit

• Zirkulation als integrales Maß der Rotation

• Vorticity

• natürliches Koordinatensystem

• Zusammenhänge zwischen Vertikalgeschwindigkeit, Divergenz und Vorticity

Rotation eines Vektorfeldes- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

zeta

eta

xi

y

u

x

vx

w

z

uz

v

y

w

wvu

kji

u

w

v

u

vrotv zyxkjijk

z

y

x

Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und hängen u und v nur von x und y ab (keine Änderung mit der Höhe), dann gilt offensichtlich:

y

u

x

vkkv

x

y

.

Offensichtlich ist die Rotation aus der Zeichenebene zum Be-obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal (Zyklone!) bezeichnet.Die Rotation ist ein achsialer Vektor.

Da die Luftströmung i.w. horizontal ist hat ς eine besondere Bedeutung in der Meteorologie.

vky

u

x

v

Beispiele

0

00

yu

v

y

u

x

vx

w

z

uz

v

y

w

v

0

0

0

-u

v

0

x

y

v

2

0

0

-

v

0

2sin0

0

L

xv

u

v

L

x

L

v v

2cos

20

0

0

L/4 L/2

Absolute und Relative GeschwindigkeitWir unterscheiden zwischen der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zur Erde hat (relative Geschwindigkeit v), und der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zu einem Intertialsystem hat (absolute Geschwindigkeit va).Diese Unterscheidung ist wichtig, da nur für letztere das 2. Newtonsche Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) gilt.Die ruhende (relativ zur Erde) Luft hat durch die Erddrehung eine absolute Geschwindigkeit.

vv

vv

v

v

aa

aa

a

gkeitGeschwindi relative

gkeitGeschwindi absolute Die Operatoren sind über räumliche Ableitungen definiert. Offensichtlich kann sich auch der Operator ändern, wenn man von einem Bezugssystem zum anderen geht.

Mitführungsgeschwindigkeit der ErdeWir vernachlässigen die Jahresbahn der Erde um die Sonne (Erde dreht sich nur um sich selbst).Ein auf der Erde ruhender Punkt beschreibt dann im Absolutsystem (Inertialsystem) eine Kreisbahn.Eine Kreisbahn ist immer eine beschleunigte Bewegung, da sich ständig die Richtung ändert.Die Geschwindigkeit des Punktes auf der Kreisbahn ist die Mitführungsgeschwindig-keit; sie ist von der Breite abhängig

rad/s 102722,7246060

2 5

dt

d

R

φλ

Rv

R=r cosφ

r

Rv

ds=Rdλdλ

R

m

rv

irmRidt

dRi

dt

dsv

R

R

cos

Rotation der AbsolutgeschwindigkeitFür die Absolutgeschwindigkeit eines sich auf der Erde bewegenden Teilchens gilt: rvva

Für die Rotation gilt:

)()()()( aus

2

rrrrra vrvv

Weiter gilt für die z-Komponente der Rotation

rameterCoriolispa sin2

Vorticity relative

Vorticity absolute mit

f

f aa

Breite hegeografisc und mit

sin22

kvkvk aa

Vorticity und Coriolisparameter

rameterCoriolispa sin2

Vorticity relative

Vorticity absolute mit

f

f aa

Pol

Äquator

kz

f ist der Teil der Rotation, der durch die Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH negativ).Ist der Drehsinn der Relativbewegung wie der der Erde, nennt man das zyklonal. Zyklonal heißt also:auf der NH: gegen Uhrzeigersinn, ς positiv auf der SH: im Uhrzeigersinn, ς negativ.Die absolute Vorticity ist regional eine Erhaltungsgröße (Drehimpuls) und bestimmt so entscheidend die Wirbelstruktur der großräumigen atmosphärischen Bewegung mit.

Vorticity und ZirkulationSo wie die Divergenz als differentieller Operator durch den Gaussschen Satz ein integrales Äquivalent in D durch den Fluss über den Rand eines Gebietes hat, so hat auch die Rotation (Vorticity) als differentieller Operator ebenfalls ein integrales Äquivalent in der Rotation C durch den Stokesschen Satz:

)(

)(

cosFL

FL

dlv

ldvC

F

L(F)

α vld

F

FdvrotldvCFFL

Stokes vonSatz)(

Zur Berechnung des Flächenintegrals der Rotation genügt also der Wind auf dem Rand des Gebietes. Dies ist schwieriger zu verstehen als der Gausssche Satz.

Vorticity und Zirkulation

FdvrotldvCFFL

Stokes vonSatz)(

Herrscht im Inneren der Fläche eine andere Drehrichtung (Rotation) als auf dem Rand, so wird diese bezüglich der Rotation überkompensiert durch die umso stärkere Schervorticity in der Nähe des Randes.

Vorticity und Zirkulation- horizontal -

FkFdFF

h

FL

hh dFFdkFdvrotldvC

)(

F

C

dFF

dCF

dFdCdFdC

hF

hhh

:folgt daraus

11

Letztere Beziehung gibt uns eine Vorschrift zur Berechnung der Vorticity aus endlich voneinander entfernten Messungen.

Vorticity bei Kreisbewegung in der Ebene

d

r

ld

dt

d

rddl

v

Frrdr

rddt

drrd

dt

dlrdv

ldvdlvldvC

FL

FLFLFL

FLFL

h

222

da

eKreisfläch

22

)(

2

)()()(

)(bewegung

-Kreis)(

22 FdF

d

dF

dCh

Bei Kreisbewegung in der Ebene ist die Vorticity identisch mit der zweifachen Winkelgeschwindigkeit der Strömung um das Zentrum.

Natürliches KoordinatensystemZur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich anstatt des starren und ortsfesten kartesischen Koordinatensystem ein System zu verwenden, dass an die Strömung selbst gebunden ist.Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer beliebigen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens auffassen.Ein geeignetes Koordinatensystem mit dann nur noch zwei Achsen wird dann festgelegt durch Einheitsvektoren in Richtung des a) Windrichtungsvektors b) Vektors parallel zur Richtung des hypothetischen Kreismittelpunktes

0n

0n

0s

0s

emRechtssystein bilden ,,

,

00

000

kns

knsv

v

v

vs

Krümmungs- und Scherungsvorticity (a)

V

V + n

s's

n= n

Δ

Das natürliche Koordinatensystem erlaubt eine formale Trennung zwischen Krümmungs- und Scherungsvorticity:

Berechnung der Zirkulation und Vorticity über den schraffierten Bereich:

sns

Vn

V

snn

VVssVC

)(

adiusKrümmungsr mit

lim 0,

sR

R

V

n

V

sn

C

s

ssn

++

y

x x

y

a b

Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)

sR

V

n

V

Scherungsvorticity Krümmungsvorticity

- 6 - 4 - 2 0 2 4

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

p*

hPa

div v H

in 10 hPa/s- 4 div v in 10 sH- 6 - 1

Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung

Bezeichnungen:p*=p0-pω*=-ω=-dp/dt~w

Positive Divergenz vom Boden bis ca. 160 hPa vom Boden ist mit zunehmendem Absinken verbunden.Bis 350 hPa herrscht Konvergenz; das Absinken muss schwächer werden.Darüber herrscht wieder Divergenz und das Absteigen verstärkt sich wieder.

0

*

*div

pp

p

v

vpy

v

x

u

H

typischer Verlauf in der Passatregion

-10 -5 0 5

200

400

600

800

1000

hPa

div v H

10 s- 6 - 1hPa/hin div v und inH

p

Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung (wie vorher) und der Vorticity über die Vorticitygleichung

0

div

py

v

x

u

Hv

hh vfdt

d

Die Vorticitygleichung verbindet zunehmende Vorticity mit Konvergenz und abnehmende Vorticity mit Divergenz (Piruetteneffekt)

Typischer Verlauf in ITCZ

-60 -40 -20 0 20

0

200

400

600

800

z in m

div v in 10 s- 6 - 1

w achsend

voll entw icke lt

ungestört

zerfa llend

H

Gemessene Konvergenzen des horizontalen Windes in den unteren 800 m während unterschiedlicher Stadien von tropischen Störungen in der ITCZ. Diese sind bis auf das Zerfallstadium immer mit bodennahen Konvergenzen verbunden.

Übungen zu IV.1.21. Schätze die Zirkulation und die relative Vorticity des Horizontalwindes für ein

Gebiet mit 100 km Süd-Nord und 50 km Ost-West-Erstreckung ab, bei dem an den zentralen Punkten der West-, Süd-, Ost-, bzw. Nordseite folgende Windmessungen vorliegen: Ostwind mit 10 m/s, Nordnordostwind mit 9 m/s, Nordostwind mit 10 m/s, bzw. Ostnordostwind mit 9 m/s. Vergleiche den erhaltenen Wert für die relative Vorticity mit der Vorticity der Erddrehung. Wie ändern sich die Werte, wenn tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?

2. Skizziere das Windfeld u=-y, v=x, w=0 und berechne seine Divergenz und Rotation. Diskutiere die Ergebnisse.

IV.1.3 Stromlinien und Trajektorien

• Stromlinien sind Momentaufnahmen eines Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien.

• Trajektorien repräsentieren den Weg eines Teilchens über eine Zeitspanne

Beispiel für Stromlinien über Westafrika

Eine Stromlinie ist eine Kurve, deren Tangente an jedem Punkt die Richtung des Geschwindigkeits-vektors angibt:

)(

),,(

),,(

00

0

0

xxu

vyy

dxu

vdy

tyxu

tyxv

x

y

Für eine Stromlinie in der x-y-Ebene gilt:

uv

Bei divergenzfreier Strömung ist die Dichte der Stromlinien proportional zu dem Betrag der Geschwindigkeit (Beispiel: die Isobaren sind die Stromlinien des geostrophischen Windes).

Frage: Ist der geostrophische Wind divergenzfrei? x

p

fv

y

p

fu gg

1

: , 1

:

Trajektorienberechnungen für verschiedene Zeiten für das Reaktorunglück bei Tschernobyl am 26.4.1986.

Trajektorien berechnet man durch Integration der folgenden Gleichungen über die Zeit

y(t)für analog

))(,,(

),,()()(

),,(

),,( , ),,(

0

0

0

tttyxu

tdtyxutxtx

dttyxudx

tyxvdt

dytyxu

dt

dx

t

t

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-0.5

0.0

0.5

y'

x '

S 2

S 1

S 3

T r a j e k t o r i e

Beispiel:

)(

2cos , ctxAvconstUu

constctxU

Axyctx

U

A

tyxu

tyxv

x

y

)(2

sin2

)( , )(2

cos),,(

),,(

0

0

Stromlinien

Trajektorie

0 , 0 , 0mit

)(12

sin2

2cos),,()(

),,()(

000

00

00

txy

xyxU

c

cU

AtdctxAtdtyxvty

UttUdtdtyxutx

tt

tt

Die Trajektorie hat hier eine größere Amplitude (da c<U angenommen wurde) und eine längere Wellenlänge (dito).In der Abbildung wurden x und y mit λ normiert, U=A und c=0,3U gesetzt.

Übungen zu IV.1.31. Gegeben ist ein horizontales Windfeld mit u = uo, v = vo cos(2 πx/L) mit

uo=10 m/s, vo=5 m/s und L=1000 km (Wellenlänge).

a) Berechne für dieses Feld die Rotation und die Divergenz.

b) Bestimme die Gleichung für die Stromlinie und Trajektorie, die durch (x,y)=(0,0) führt.

2. Die Temperatur nimmt von einem bestimmten Ort in der Atmosphäre gegen Westen um 0.1 K ab, der Wind weht aus West mit 10 m/s.

a) Wie groß ist die Temperaturänderung am besagten Ort, falls die Luftpakete auf ihrem Weg ihre Temperatur beibehalten?

b) Wie groß ist sie, falls sich durch Strahlung und andere Effekte die Temperatur der bewegten Luftpakete pro Kilometer um 0.01 K erhöht.