Einfuhrung¨ Beweis der NP-Vollst¨andigkeit ILP Heuristik · c i d j d k Die Kante wird durch eine...

EinfuhrungBeweis der NP-Vollstandigkeit

ILPHeuristik

Optimieren von Schnittplanen

Adrian Loy

30. Juli, 2015

Adrian Loy Optimieren von Schnittplanen


ILPHeuristik

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung

2 Beweis der NP-Vollstandigkeit

3 ILP

4 HeuristikDefinitionenAlgorithmusKonflikteTestergebnisse



ILPHeuristik

Worum geht es?

Wir wollen moglichst effizient Druckbogen zerschneidenDazu verwenden wir nur Guillotinen-Schnitte

Die Anzahl der verwendeten Schnitte soll minimiert werden



ILPHeuristik

Worum geht es?

Wir wollen moglichst effizient Druckbogen zerschneidenDazu verwenden wir nur Guillotinen-SchnitteDie Anzahl der verwendeten Schnitte soll minimiert werden



ILPHeuristik

Beispiel: Druckbogen

AB2-1

AB3-1

AB4-1

AD2-1

AP-1

AP-2

AR-1

AR-2

AS-1

AS-2

AU-1AU-2 AV-1AV-2 AW-1AW-2



ILPHeuristik

Einsparen von Schnitten

a b c a c

Wir sprechen von Schnittelementen, Schnittkanten undBlocken

Schnittkanten konnen gemeinsam geschnitten werden, wennsie in unterschiedlichen Blocken liegen und mit gleichemAbstand geschnitten werden konnen



ILPHeuristik

Einsparen von Schnitten

a b c a c

Wir sprechen von Schnittelementen, Schnittkanten undBlockenSchnittkanten konnen gemeinsam geschnitten werden, wennsie in unterschiedlichen Blocken liegen und mit gleichemAbstand geschnitten werden konnen



ILPHeuristik

Vertex Cover

gegeben: Ungerichteter Graph G = (V , E )

gesucht: Minimale Teilmenge von Knoten V ′ ⊆ V , sodassjede Kante von G einen Knoten aus V ′ enthalt



ILPHeuristik

Konstruieren von TeilstreifenWir konstruieren fur jede Kante ei = {vj , vk} einen Teilstreifen:

ci

djdk

Die Kante wird durch eine Schnittkanten im Bogen reprasentiertDie reprasentativen Schnittkanten lassen sich mit genau zwei

moglichen Distanzen schneidenJedem Knoten wird eine eindeutige Distanz zugewiesenDiese reprasentieren die Endknoten der Kante



ILPHeuristik


ci

djdk

Die Kante wird durch eine Schnittkanten im Bogen reprasentiert

Die reprasentativen Schnittkanten lassen sich mit genau zweimoglichen Distanzen schneiden

Jedem Knoten wird eine eindeutige Distanz zugewiesenDiese reprasentieren die Endknoten der Kante



ILPHeuristik


ci

djdk


moglichen Distanzen schneiden

Jedem Knoten wird eine eindeutige Distanz zugewiesenDiese reprasentieren die Endknoten der Kante



ILPHeuristik


ci

djdk


moglichen Distanzen schneidenJedem Knoten wird eine eindeutige Distanz zugewiesen

Diese reprasentieren die Endknoten der Kante



ILPHeuristik


ci

djdk


moglichen Distanzen schneidenJedem Knoten wird eine eindeutige Distanz zugewiesenDiese reprasentieren die Endknoten der Kante



ILPHeuristik

Konstruieren von BogenAufbau des gesamten Bogens. Ein Knoten vi im Graphen wirddurch den Abstand di = (n + i)n2 reprasentiert.

ci

n4

cj

2n3 + 2n2 ≤ x ≤ 4n3

3m

n4 − 4n3 ≤Adrian Loy Optimieren von Schnittplanen


ILPHeuristik

Reduktion

Bei diesen Abstanden konnen reprasentative Kanten nur mitanderen reprasentativen Kanten gemeinsam geschnittenwerdenEin Schnittplan mit minimaler Anzahl an Schnitten benotigtauch fur die reprasentativen Schnittkanten moglichst wenigSchnitte

Die dafur gewahlten Abstande entsprechen dann einerminimalen Anzahl an Knoten, welche alle Kanten abdecken→ Das Finden von optimalen Schnittplanen ist einNP-vollstandiges Problem!



ILPHeuristik

Reduktion

Bei diesen Abstanden konnen reprasentative Kanten nur mitanderen reprasentativen Kanten gemeinsam geschnittenwerdenEin Schnittplan mit minimaler Anzahl an Schnitten benotigtauch fur die reprasentativen Schnittkanten moglichst wenigSchnitteDie dafur gewahlten Abstande entsprechen dann einerminimalen Anzahl an Knoten, welche alle Kanten abdecken

→ Das Finden von optimalen Schnittplanen ist einNP-vollstandiges Problem!



ILPHeuristik

Reduktion

Bei diesen Abstanden konnen reprasentative Kanten nur mitanderen reprasentativen Kanten gemeinsam geschnittenwerdenEin Schnittplan mit minimaler Anzahl an Schnitten benotigtauch fur die reprasentativen Schnittkanten moglichst wenigSchnitteDie dafur gewahlten Abstande entsprechen dann einerminimalen Anzahl an Knoten, welche alle Kanten abdecken→ Das Finden von optimalen Schnittplanen ist einNP-vollstandiges Problem!



ILPHeuristik

DefinitionenAlgorithmusKonflikteTestergebnisse

Uberdeckungsfreie Nachbarn

Zwei Elemente sind uberdeckungsfrei benachbart, wenn gilt:Das kleinstmogliche, beide uberdeckende Rechteck uberlapptmit keinem anderen Element

A B

C D



ILPHeuristik


SchnittdistanzenFalls zwei Elemente einen Block bilden, gibt es vier moglicheSchnittdistanzen:

A

B

d1d2

d3d4



ILPHeuristik


Algorithmus: Vorgehensweise

A C

B D

E F G

4 4

1 2 2

1

2

2

A

B

C

D

E F G

1

4

2

4

2

2 2

Kanten verlaufen zwischen uberdeckungsfreien NachbarnKantengewichte stehen fur mogliche Distanzen

Verschmelze iterativ ElementeFuge jeweils die Schnitte hinzu, die diese Verschmelzungumkehren



ILPHeuristik



A C

B D

E F G

4 4

1 2 2

1

2

2

A

B

C

D

E F G

1

4

2

4

2

2 2

Kanten verlaufen zwischen uberdeckungsfreien NachbarnKantengewichte stehen fur mogliche DistanzenVerschmelze iterativ Elemente

Fuge jeweils die Schnitte hinzu, die diese Verschmelzungumkehren



ILPHeuristik



A C

B D

E F G

4 4

1 2 2

1

2

2

A

B

C

D

E F G

1

4

2

4

2

2 2

Kanten verlaufen zwischen uberdeckungsfreien NachbarnKantengewichte stehen fur mogliche DistanzenVerschmelze iterativ ElementeFuge jeweils die Schnitte hinzu, die diese Verschmelzungumkehren



ILPHeuristik


Auswahl der Elemente fur Verschmelzung

A C

B D

E F G

4 4

1 2 2

1

2

2

H

12 1,5

A

B

C

D

E F G

1

4

2

4

2

2 2

H2

2,5

1,5

Versuche Schnitte zu sparen, indem an Kanten mit gleichenKantengewichten verschmolzen wirdDann haben die hinzugefugten Schnitte den gleichen Abstand→ konnen gemeinsam geschnitten werden



ILPHeuristik


Iteration 1

A C

B D

E F G

4 4

1 2 2

1

2

2

H

12 1,5

A

B

C

D

E F G

1

4

2

4

2

2 2

H2

2,5

1,5

Entferne alle Kanten, die nicht das haufigste Gewicht habenSuche ein großtmogliches Matching, verschmelze entsprechend



ILPHeuristik


Iteration 2

AB CD

EF GH

4 4

3 4

1

4

AB CD

EF GH

4

3

4




ILPHeuristik


Iteration 3

ABCD

EFGH

8

7

1

4

ABCD

EFGH

1 4




ILPHeuristik


Iteration 4

ABCDEFGH

8

5




ILPHeuristik


B

C

A

D

E

F

G



ILPHeuristik


BCA

D

E

F

G



ILPHeuristik


BCEA

D

F

G



ILPHeuristik


BCE

D

AF

G



ILPHeuristik


BCEADF

G



ILPHeuristik


ABCDEF

G



ILPHeuristik


ABCDEFG



ILPHeuristik


B

C

A

D

E

F

G



ILPHeuristik


C

AB

D

E

F

G



ILPHeuristik


CE

AB

D

F

G



ILPHeuristik


CE

AB

D

F

G

ssolve



ILPHeuristik


CE

B

D

F

G

ssolve

A



ILPHeuristik


Konflikte konnen immer aufgelost werdenDie Heuristik findet somit stets eine Losung, wenn eineexistiert

Laufzeit Best-Case: O(n2) (n ist die Anzahl der Elemente)Laufzeit Worst-Case: nicht bewiesen polynomiell, wegen derAnzahl der moglichen Konflikte!



ILPHeuristik


Konflikte konnen immer aufgelost werdenDie Heuristik findet somit stets eine Losung, wenn eineexistiertLaufzeit Best-Case: O(n2) (n ist die Anzahl der Elemente)

Laufzeit Worst-Case: nicht bewiesen polynomiell, wegen derAnzahl der moglichen Konflikte!



ILPHeuristik


Konflikte konnen immer aufgelost werdenDie Heuristik findet somit stets eine Losung, wenn eineexistiertLaufzeit Best-Case: O(n2) (n ist die Anzahl der Elemente)Laufzeit Worst-Case: nicht bewiesen polynomiell, wegen derAnzahl der moglichen Konflikte!



ILPHeuristik


Testergebnisse

Implementierung unter JavaTest auf realen Bogen aus der Praxis sowie kunstlicherzeugten Bogen

Kunstliche Bogen bestehen aus gleichen, gitterartigangeordneten RechteckenAuch die kunstlichen Bogen sind praxisrelevant



ILPHeuristik


Testergebnisse

Implementierung unter JavaTest auf realen Bogen aus der Praxis sowie kunstlicherzeugten BogenKunstliche Bogen bestehen aus gleichen, gitterartigangeordneten Rechtecken

Auch die kunstlichen Bogen sind praxisrelevant



ILPHeuristik


Testergebnisse

Implementierung unter JavaTest auf realen Bogen aus der Praxis sowie kunstlicherzeugten BogenKunstliche Bogen bestehen aus gleichen, gitterartigangeordneten RechteckenAuch die kunstlichen Bogen sind praxisrelevant



ILPHeuristik


Naive Losung

Fur die gitterartigen Bogen benotigt eine naive Losung n − 1 vieleSchnitte.

s1 s2 s3

s4

s5

s6

s7

s8

s9

s10

s11

s12

s13

s14

s15



ILPHeuristik


Optimale Losung

Eine optimale Losung benotigt nur 2dlog√

ne viele Schnitte.

s1s2

s3 s4



ILPHeuristik


Ergebnisse kunstlicher Datensatz

0 50 100 150 200 250 300 3500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Anzahl der Elemente

Anz

ahl S

chni

tteAnzahl der Schnitte auf rechteckigen Gitterboegen

Anzahl Schnitte naive Loesung

Anzahl Schnitte Heuristik

Anzahl Schnitte optimale Loesung



ILPHeuristik


Laufzeiten kunstlicher Datensatz

0 50 100 150 200 250 300 3500

50

100

150

200

250

300Laufzeit auf rechteckigen Gitterboegen

Lauf

zeit

(in m

s)

Anzahl der Elemente



ILPHeuristik


Ergebnisse realer Datensatz

100 101 102 103

100

101

102

103

Anzahl der Elemente

Anz

ahl S

chni

tteAnzahl Schnitte auf realem Datensatz

Anzahl Schnitte naive LoesungAnzahl Schnitte Heuristik



ILPHeuristik


Laufzeiten realer Datensatz

0 50 100 1500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Laufzeit auf realem Datensatz

Lauf

zeit

(in m

s)

Anzahl der Elemente



ILPHeuristik


Fazit

Heuristik bietet noch viele VerbesserungsmoglichkeitenWie nutzlich sind die Ergebnisse fur die Praxis?

Guillotine ist nicht beliebig breitBeschleunigt das Einsparen von Schnitten uberhaupt denSchneideprozess?



ILPHeuristik


Fazit


Guillotine ist nicht beliebig breit

Beschleunigt das Einsparen von Schnitten uberhaupt denSchneideprozess?



ILPHeuristik


Fazit


Guillotine ist nicht beliebig breitBeschleunigt das Einsparen von Schnitten uberhaupt denSchneideprozess?



ILPHeuristik


Vielen Dank fur ihre Aufmerksamkeit!


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