Einige kombinatorisch-topologische Eigenschaften von allgemeinen r-dimensionalen Orthoschemen

Einige kombinatorisch-topologische Eigenschaften von allgemeinen r-dimensionalen Orthoschemen

Dern 25. Jahrestag der DDR gewidmet

Von JOHANNES BOHM in Jena

(Eingegangen a m 12.7.1973)

1. Einleitung. Bei Untersuchungen von r-dimensionalen Polyedern in RIEMANNschen RBumen konstanter Krummung ist oft eine simphziale Zerlegung dieser Polyeder von Vorteil. Ferner zeigt es sich, daB eine weitere Zerlegung (oder ErgBnzung) eines so entstandenen Simplexes R(n) (1% = r + 1) in gewisse spe- zielle Simplexe, nach L. SCHLAFLI [a] Orthoscheme genannt, zweckmaBig ist. Ein solches r-dimensionales Orthoschem X@) zeichnet sich vor allem durch die Eigen- schaft aus, an ganz bestimmten Stellen rechte Winkel zu haben, die sich durch die Forderung eines sogenannten total orthogonalen Kantenzugs ergeben. Es erhebt sich nun die Frage, ob sich weitere praktikable hinreichende Bedingungen dafiir angeben lassen, daB ein Simplex speziell ein Orthoschem ist. Die Unter- suchungen zu dieser Frage sollen hier vorzugsweise im Falle eines Raumes mit normierter konstanter Krummung + 1, - 1 bzw. 0 durchgefuhrt werden. Es sind alle Ergebnisse - mit Ausnahme derjenigen iiber die orthogonal entarteten Orthoscheme im elliptischen Raum - in gleicher Weise fur den elliptischen, hyperbolischen und euklidischen Raum gultig. I n jedein Falle sind die sogenannten Auffangorthoscheme stet$ solche, die in einem elliptischen Raum liegen ; denn man kann sich diese stets auf der Oberflache einer geeigneten Kugel des jeweiligen Raumes gelegen denken, und diese ist elliptisch.

Mit kombinatorisch-topologischen Fragen ahnlicher Art haben sich unter nnderem vor allem L. SCHLAFLI [4] und H. S. M. COXETER [3] beschaftigt, vgl. nuch [l] und [2]. I n der vorliegenden Arbeit soll der geometrische Aspekt in den T'ordergrund geruckt werden. Es wird sich zeigen, daB die im elliptischen Pall auftretenden orthogonal entarteten Orthoscheme nicht immer so ohne weiteres den allgemeinen Untersuchungen untergeordnet werden konnen. Hier sollen darum fur orthogonal entartete Orthoscheme nur solche Eigenschaften hergeleitet werden, die fur die Behandlung des allgemeinen nicht orthogonal entarteten Falles notwendig sind. Die ausfuhrliche Untersuchung der orthogonal entarteten Orthoscheme soll als ein fur sich abgeschlossenes Gebiet hier nicht durchgefuhrt werden.

2. Definition eines Orthoschems und einige einfache Folgerungen. Die Unter- suchungen beziehen sich hier stets auf einen r-dimensionalen ( r 2 1) RIEMANN- 4'

52 Bohm, Einige Eigenschaften von Orthoschemen

schen Raum konstanter Krummung, die im elliptischen bzw. hyperbolischen Fall zweckmaBig auf + 1 bzw. - 1 normiert sein moge; im euklidischen Fall ist sie gleich Null. I n einem solchen Raum sei ein r-dimensionales Simplex R('+') vorgelegt. Dieses besteht aus r + 1 = n Ecken, die mit 1, 2, 3, . . ., n bezeichnet werden mogen. Darum kann das Simplex auch symbolisoh durch R(n) = 1, 2, 3, . . . , n dargeetellt werden, wenn zum Ausdruck kommen soll, daB diese n Eckpunkte das Simplex beschreiben. Es sei bemerkt, daB sich hier diese n Eckpunkte stets in allgemeiner Lage befinden mogen, damit keine Dimensions- erniedrigung eintritt. Gegeniiber der Ecke k liegt die (n - 2)-dimensionale Wand R:!-'), die wiederum ein Simplex darstellt. Sie wird durch alle Ecken des Aus- gangssimplexes R(%) aul3er der Ecke k erzeugt. Es gibt somit n Wande, die R(") begrenzen. Je zwei Wande Rif - ' ) und RE-') schlieBen den Winkel ein, der als ein Keilwinkel (9% - 2)-ter Ordnung bezeichnet wird. Durch die Vorgabe seiner samtlichen Keilwinkel ( n - 2)-ter Ordnung ist ein Simplex im elliptischen wie im hyperbolischen Fall, abgesehen von seiner Lage im betreffenden Raum, eindeutig bestimmt. Im euklidischen Fall wird dadurch genau die Klasse siimtlicher ahn- lichen Orthoscheme erzeugt. Da hier zwischen den Keilwinkeln eine gewisse Bindung besteht, erhBlt man Eindeutigkeit - bis auf die Lage im Raum - erst, wenn zusatzlich ein weiterer Parameter (zum Beispiel das Volumen) fixiert wird.

Die Wande besitzen wiederum Wande von einer Dimension niedriger ; diese schlieBen ebenfalls Winkel, Keilwinkel ( n - 3)-ter Ordnung, ein. So steigt man jeweils um eine Dimension herab bis schlieBlich zu den zweidimensionalen Simplexen, deren WBnde die in dem betreffenden Raum geradlinigen Verbindungs- strecken zwischen je zwei Ecken h und k sind und die Kanten h, k des Simplexes heil3en. Kanten konnen auch als eindimensionale Simplexe R(') oder als Keil- winkel nullter Ordnung aufgefal3t werden. Die hier allgeinein fur ein Simplex (oder Orthoschem) gemachten Aussagen gelten nach entsprechender Modifizierung auch fur eindimensionale Simplexe X(*).

Fur n = 3 nennt man das Simplex R(') bekanntlich ein Dreieck. 1st speziell dort ein Keilwinkel ein rechter Winkel, so spricht man von einem rechtwinkligen Dreieck oder von einem (zweidimensionalen) Orthoschem. Dieser Begriff kann auf folgende Weise auf hohere Dimensionen ubertragen werden. Es soll zu diesem Zweck eine konstruktive Definition an den Anfang gestellt werden.

Definition 1. Ein (n - 1)dimensionales Simplex nenntmanspeziell einOrthoschem S"Q, wenn sich seine Eckpunkte derart von 1 bis n durchnumerieren lassen, so clap f u r k = 2, 3 , . . . , n - 1 gilt 1, 2 , . . . , E l k , k + 1 .

Als unmittelbare Folgerung liest man daraus a b

Folgerung 1. Fur die Kanten des Orthoschems S(%' gilt fur beliebige h < k stets h , h + l L k , k + l ( h = 1 , 2 , . . . , n - 2; k = 2, 3 , . . ., n - 1).

Geometrisch bedeutet das, dal3 ein orientierter Kantenzug = (1 , 2, . . . , n) mit den Kanten 1, 2; 2, 3; . . .; n - 1, n vorliegt, wobei 1 Anfangspunkt und n Endpunkt ist.

Bohm, Einigc Eigenschaften von Orthoschemen 53

Definition 2. Steht in d e m (orientierten) Kantenzug K(") jede Kante desselben auf sumtlichen ihr in K(") vorausgehenden Kanten senkrecht, dannheipt K(@ totalorthoqonal.

GemLS Definition I und vermittels Folgerung 1 erkennt man sofort

Satz 1. Ein Ximplex ist genau dann ein Orthoschem S'"), wenn es e i n e n total orthogonalen Kantenzug K("' enthalt.

Anfangspunkt und Endpunkt dieses total orthogonalen Kantenzugs spielen eine ausgezeichnete Rolle. Sie sollen darum einen besonderen Namen erhalten.

Definition 3. Die Ecken eines Orthoschems S'"), die Anfangs- oder Endpunkt eines total orthogonalen Kantenzugs K(") eind, werden Hanptecken des Orthoschems genannt.

Fixiert man in einem Orthoschem einen bestimmten total orthogonalen Ksn- tenzug, dann gibt es zu diesem genau zwei Hauptecken. Somit besitzt das Ortho- schem S(n) ini Zusammenhang mit dem total orthogonalen Kantenzug K('*) = (1, 2 , . . . , n) die beiden dazugehorigen Hauptecken 1 und n. Mit den so be- zeichneten Ecken und folglich auch mit diesen beiden Hauptecken sei das Ortho- schem jetzt immer vorgegeben, wenn nichts anderes gesagt wird. Naturlich kann es noch mehr Hauptecken geben.

Da ein total orthogonaler Kantenzug ein Orthoschem vollstandig bestinimt, kann er zur Konstruktion und auch zur Bezeichnung des Orthoschems selbst dienen. Man darf demzufolge schreiben K(') = (1, 2 , . . . , n) = S(n) = 1, 2, . . . , n. J e nach Lage der Dinge wird die eine oder die andere Art der Bezeichnung benutzt, werden.

Aus Folgerung 1 l a B t sich sofort herleiten, indem dort der Reihe nach

k = h + l , h + 2 , . . . , n - l

gesetzt und dann zusammengefafit wird.

Folgerung 2. FureinOrthoschem S(lZ) = ( 1 , 2 , . . . , n) gilt fur h = I , 2 , . . . , n - 2 s te t sh ,h+ 1 l h + 1 , h + 2 , . . . , n.

Daraus ist ersichtlich, da13 der urspriingliche total orthogonale Kantenzug (1 , 2 , . . ., n) auch nach Umorientierung (n, n - I , . . . , I ) ein solcher bleibt. Anfangs- und Endpunkt werden dabei vertauscht. Die betreffenden Hauptecken bleiben aber gemall ihrer Erklarung erhalten. Es ist demnach gleichgultig, welche Orientierung der total orthogonale Ksntenzug besitzt. Stets definiert er ein und dasselbe Orthoschern.

Die beiden angegebenen Folgerungen lassen sich erweitern zu

Folgerung 3. Fur ein Orthoschem S(") = (1, 2, . . . , n) gilt f u r beliebige naturliche Zahlen k, s, t stets k , k + 1, . . ., s - 1, s s, s + 1, . . ., t - I , t

( 1 ( k < s < t s n ) .

Zum Beweis uberlegt man sich, da13 wegen Folgerung 2 fur 1 5 h < .s < t n auch h, h + 1 1 s, s + 1, . . . , t - 1, t gilt. Wird beachtet, da13 das fur

h = k , k + I , . . . , s - - l

richtig ist, ergibt sich sofort Folgerung 3.


SchlieBlich 1aBt sich eine in dieseni Zusammenhang letzte Folgerung und hinsichtlich der Orthogonalitat von zwei Kanten ein Spezialfall davon angeben :

Folgerung 4. Fur ein Orthoschem = (1, 2 , . . . , n) gilt f i i r beliebige natiirliche

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus Folgerung 3. Insbesondere gilt Zahlen h, k, s, t stets h, k

Folgerung 4 auch im Spezialfall k = s. Das wird formuliert als

s, t (1 5 h < k s < t 2 n) ,

Folgerung 5. Fur ein Orthoschem X c n ) = (1 ,2 , . . . , n) gilt f u r beliebige naturliche

Das heil3t geometrisch, daB Q (h, s, t ) ein rechter Dreieckswinkel ist. Damit ist gezeigt, daB drei beliebige Ecken des Orthoschems immer ein recht-

winkliges Dreieck h, s, t , also ein Orthoschem, erzeugen. Der rechte Winkel liegt fur h < s < t immer bei der Ecke s.

Kommen in einem Orthoschem aul3er den obligatorischen keine weiteren rechten Dreieckswinkel vor, dann sind die Hauptecken 1 und n niemals Scheitel eines rechten Dreieckswinkels, wiihrend bei jeder anderen Ecke mindestens ein

Dreieckswinkel der GroBe - liegen muB. Ubrigens kann es nur im elliptischen

Fall vorkommen, daB ein Dreieck mehr als einen rechten Winkel besitzt, ohne da13 Dimensionsschwund eintritt. Ein solches Dreieck wird ,,doppelt-rechtwinklig" genannt.

Zahlen h, s, t stets h, s I s, t (1 5 h < s < t 5 n).

n 2

Definition 4. Gibt es in einem Orthoschem S(la) = (1, 2, . . ., n) at.$er d e n rechten Dreieckswinkeln Q (h, k, s ) mit h < k < s noch weitere rechte Dreiecks- winkel (d . h. gibt es dort doppelt-rechtwinklige Dreiecke), dann nennt man das Orthoschem orthogonal enturtet .

Ein orthogonal entartetes Orthoschem kann nur in einem elliptischen Raum auftreten (,,elliptisches" Orthoschem sein).

n7enn ein zweidimensionales elliptisches Dreieck doppelt-rechtwinklig ist,

dann besitzt dieses zwei Kanten, die die Lgnge haben und umgekehrt. Das

ergibt sich infolge des Pol-Polare-Zusammenhangs zwischen der Ecke, die Scheitel des i. a. nicht rechten dritten Dreieckswinkels ist, und der dieser gegenuberliegenden Kante.

37

2

Folglich gilt

Hilfssatz 1. Bin elliptisehes Orthoschem S(n) ist qenaa dann orthoqonul ent- 76

ccrtet, wenn es Kanten der Lanqe - besitzt. 2

Bei einem nicht orthogonal entarteten Orthoschem kann man die Haupt- ecken auch als diejenigen Ecken erklaren, bei denen keine rechten Dreiecks- winkel vorkommen. AuBer diesen gibt es in einem solchen Orthoschem keine weiteren Hauptecken; ware etwa die Hauptecke n ein innerer Punkt eines anderen

Bohm, Einige Eigenschaften von Orthoschemen 55

moglichen total orthogonalen Kantenzugs, dann wiire die Orthogonalitat bei der Ecke n nicht gewahrleistet und somit gilt

Satz 2. Bei einem nicht orthogonal entarteten Orthoschern 8'"' gibt es genau zwei Hazcptecken. Genau bei diesen liegen keine rechten Dreieckswinkel des Orthoschems.

AuDerdem gibt es bei einem nicht orthogonal entarteten Orthoschem mit den beiden einzigen Hauptecken 1 und n, abgesehen von der Orientierung, genau einen total orthogonalen Kantenzug (1, 2 , . . . , n). Denn ware (k, , k 2 , . . . , kn- i, k,,) init k, = 1 und k, = n ein anderer total orthogonaler Kantenzug, so muaten die Dreieckswinkel 0: (ki, k j , kl) mit i < j < 1 rechte Winkel sein. Dann miiBten aber im Vergleich zu (1, 2 , . . . , n) noch weitere rechte Dreieckswinkel vorkommen, das Orthoschem ware orthogonal entartet.

3. Untersimplexe eines Orthoschems. Betrachtet wird eine Teilmenge der Eckpunkte des vorgelegten Orthoschems IS('). Dann beschreiben diese ein Unter- simplex des Orthoschems. Dariiber macht der folgende Satz eine Aussage.

Satz 3. E i n beliebiges Untersimplex eines Orthoschems ist wiederum ein Ortho- schem.

Beweis. Ein beliebiges Untersimplex R(p) = k,, kz, . . . , kp des vorgelegten Orthoschems mit p < n und 1 (= ki < k2 < - - < kp (= n sei vorgelegt. Nach Folgerung 4 gilt fur das Orthoschem A'(') kh, ki I kj , k1 fur beliebige

1 5 h < i < j< 1 s p .

Daraus 1aDt sich sofort herleiten, daB ( k i , k 2 , . . . , 3) ein total orthogonaler Kantenzug ist und somit R(") ein Orthoschem.

Bereits in Folgerung 5 wurde gezeigt, daB ein zweidimensionales Unter- simplex eines Orthoschems ein rechtwinkliges Dreieck, also ein Orthoschem ist.

Da die n Eckpunkte von ISfn) immer (i) Dreiecke erzeugen, gibt es somit

Keilwinkel erster Ordnung - das sind Dreieckswinkel -, die notwendig rechte l17inkel sind. Wie diese Winkel bei einem Orthoschem verteilt sind, gibt Folge- rung 5 an.

4, Keilwinkel eines Orthoschems. Jetzt sollen die Keilwinkel (n - 2)-ter Ordnung von IS(,) untersucht werden. Es wird sich ergeben, da13 gewisse dieser Keilwinkel notwendig rechte Winkel sein mussen. Umgekehrt wird gezeigt, daB es hinreichend fur das Vorliegen eines Orthoschems ist, wenn in einem Simplex diese betreffenden Keilwinkel rechte Winkel sind. Damit wird eine neue Er- klarung eines Orthoschems gewonnen.

Ordnung, die keine rechten Winkel sind.

(3

Hilfssatz 2. I m Orthoschem gibt es hochstens (n - 1) Keilwinkel (n - 2)-ter

Beweis. Es werden die Wande tSC-*) = 1 , 2 , . . ., h - 1,h + 1 , . . ., n und mit 1 5 h < Ic 5 n betrachtet. Diese

beiden Wande, die nach Satz 3 wieder Orthoscheme sind, schliel3en den Keil- f l y ) == 1 , 2 , . . ., k - 1, k + 1, . . ., n

56 Bohm, Einige Eigeiischafteri von Orthoschemen

winkel %h,k (= u k , J ein. Uber diesen soll jetzt eine Aussage gemacht werden. Gilt h < k - 1, dann gibt es eine naturliche Zahl s mit h < s < k, und es ist

= (1, . . . , s ) I S(n- s+ i ) - - (s , . . ., n). Nun gilt, da13 der total orthogonale Kantenzug (1 , 2, . . . , s) in der Wand SF-'), aber nicht in der Wand und der total orthogonale Kantenzug (s , . . . , n) in der Wand A'$-'), aber nicht in der Wand A!$-') enthalten sind. Jetzt werden in der Ecke geeignete Lote lk bzw. l,, zu den Unterorthoschemen (1, . . . , s ) bzw. (s, . . ., n) konstruiert. M7egen der bereits erwiihnten Orthogonalitat dieser Unterorthoscheme gilt auch 1, I lk. Es mu13 dann I,, wegeii Folgerung 3 in dem von 1, . . . , s erzeugten Raum liegen. 1st s > 2 , ist die Lage von I,, nicht eindeutig bestimmt. Um l,, eindeutig zu erklaren, wird noch gefordert, daB es in 1 , . . ., s senkrecht zu 1 , 2 , . . ., h - 1, h. + 1, . . ., s steht. Damit ergibt sich insgesamt

ih 1, . . . , h - 1, h + 1, . . . , 8, . . . , n; Ih ist folglich Lot zur Wand SF-'). Ganz analog laat sich zeigen, daI3 lk Lot zur Wand SF-') ist; denn lk 1, . . . , s, und man kann zusatzlich noch fordern lk I s , . . ., k - 1, k + 1 , . . ., n, Zk 1 1 , . . ., s, . . ., k - 1, k + 1 , . . ., n. Die Orthogonalitat der beiden Lote hat zur Folge, daI3 der Keilwinkel zwischen

also

J C

den beiden Wanden ein rechter ist, also I cch,% 1 = - fur 1 5 h < k - 1 5 n - 1.

Darum bleiben nur noch die Keilwinkel uh,ir+l (h = 1, . . . , n - 1) iibrig, die bei einem Orthoschem nach den bisherigen Ergebnissen nicht notwendig rechte Winkel sein mussen. Sie werden die WesentlichenKeilwinkel (n - 2)-ter Ordnung oder kurz die Keilwinkel des Orthoschems genannt und durch vf): = % h , h + ,

bezeichnet. Das Symbol v;') soll gleichzeitig mit der GroBe des betreffenden Keilwinkels identifiziert werden. In der Reihenfolge vi2), d'), . . . , v;'?~ beschreiben sie die Keilwinkel q, ; u2, ; . . . ; cc,- des Orthoschems S(") und bestimmen so bis auf die Lage im betreffenden Raum eindeutig das zugehorige Orthoschem (im Euklidischen noch zusatzlich bis auf Ahnlichkeit, wie bereits erwahnt). Darum kann auch S'") = (v!'), vf), . . . , vr! i ) geschrieben werden.

Jetzt wird gezeigt, daB die Orthogonalitat aller nicht wesentlichen Keilwinkel ( n - 2)-ter Ordnung hinreichend fur das Vorliegen eines Orthoschems ist.

2

Satz 4. Lassen sich im Simplex R(n) die W a n d e so numerieren, dap alle Keilwinkel a h , k (h < k - 1 ; h = 1, . . . , n - 3 ; k = 3, . . . , n) rechte s ind , dunn ist das S implex e i n Orthoschem.

Beweis. Es list sich ein total orthogonaler Kantenzug nachweisen. Be- trachtet wird die Wand Sg-i) (h = 1, 2, . . . , n - 2 ) . Wegen der Rechtwinkligkeit von ah,B+:', % h , h + 3 , . . ., a,,,, gilt, daB die Wand i$-') senkrecht aufden Wanden 5 ~ ~ ; ~ ~ , , X$;~~, , . . . , 8:;;- steht, also

1 , 2 , . . . , h - 1 , h + I , . . . , n 1 1 , 2 , . . . , t + l , t + 3 , . ..,n ( t = h,h + 1 , . . ., n - 2 ) .


Darausfolgt 1 , 2 , . . ., h - 1 , h + 1 , . . . , n l

oder speziell wegen h + 1, . . . , n c 1 , 2 , . . . , h - 1, h + 1 , . . . , n und n 1 , . . . , t + 1, t + 3, . . . , n,

t =h, h+ 1 , . . ., n- 2

h, h + 1 c 1, . . . , h + 1

ergibt sich h, h + 1 I h + 1, . . ., n. Da h die Werte n - 2 , n - 3, . . ., 2 , 1 annehmen kann, liegt ein total orthogonaler Kantenzug (n, n - 1, . . ., 2, 1 ) vor, der ein Orthoschem garantiert.

5. Auffangsimplexe eines Orthoschems. Schlagt man in dem betreffenden Raum um eine Orthoschemecke h eine Kugel mit geeignetem Radius (Auffang- kugel) und betrachtet den Durchschnitt zwischen der Kugeloberflache und den (eventuell zu verlangernden) Wanden des Orthoschems mit Ausnahme der Wand SF-’), so entsteht wieder ein Simplex, um eine Dimension niedriger als das Ausgangsorthoschem. Dieses wird das Auffangsimplex bezuglich der betreffenden Ecke genannt. Es liegt auf Grund seiner Konstruktion mit Hilfe einer Kugel in jedem Falle in einem elliptischen Raum. Bei geeigneter Wahl des Radius besitzt dieser elliptische Raum die normierte Krummung + 1. Nur solche Auffang- simplexe sollen jetzt betrachtet werden. Auf dieselbe Weise laBt sich auch fur ein Simplex naturlich ein Auffangsimplex bezuglich einer Simplexecke kon- struieren.

Satz 5. Jedes Auffangsimplex eines Orthoschems ist wieder ein Orthoschem ( A uffangorthoschem) .

Beweis . Es werde das Auffangsimplex bezuglich der Ecke k des Orthoschems So’) betrachtet (1 5 k 5 n). Die Wand S:?--” ( j =k k ) im Orthoschem S(”) gibt AnlaQ‘ zu der Wand Sill-‘) im Auffangsimplex. Die GroBe des Winkels zwischen den beiden Wanden SF-’) und SiF-’) stimmt mit der GroBe des Winkels zwischen den beiden Wiinden SF-’) und Sf?-’) uberein. Denn die beiden Lote der ge- nannten WSinde des Auffangsimplexes, die den betrachteten Winkel einschlieBen, haben auf Grund der Auffangkugel-Konstruktion dieselbe Richtung wie die Lote der entsprechenden Wiinde des ursprunglichen Orthoschems. I m Fnlle eines elliptischen Orthoschems S(n) fallen diese Lote sogar zusammen. Im euklidischen Fall stellen sie Kreisbogen bzw. deren Tangenten dar.

Das Auffangsimplex beziiglich der Ecke k besitzt die Wande

sr-2) sLn-2, , . . ., XL<”, . . ., S y ) . ’ 2’ k-l

Der Wand Sin-’) gegenuber liegt die Ecke j . Die Wand SF-‘) gibt nach Definition keinen AnlaB zu einer Wand im Auffangsimplex. Die GroBen der Keilwinkel

=(k) S p < q 5 n ; p =k k ; q + k ) des Auffangsimplexes stimmen folglich mit den GroBen der entsprecheiiden Keilwinkel des ursprunglichen Orthoschems iiberein ; das heiBt also, nur die GroBe der Keilwinkel

E::)+, (j = 1, 2 , . . ., k - 2, E + 1, . . ., n - 1)


7c kaiin von - verschieden sein. Das bedeutet nach Satz 4, daI3 dieses Auffang-

simplex ein Orthoschem i3P-l) mit den Keilwinkeln 2

___ ist. Ein total orthogonaler Kantenzug ist dann (j, 2, . . ., k - 1, Ic + 1, . . ., E ) . Speziell gibt es im Auffangorthoschem L3P-l' bezuglich der Hauptecke n die Keilwinkel vp), . . . , V:?~ und im Auffangorthoschem S y - I ) bezuglich der Haupt- ecke 1 die Keilwinkel vy), . . ., v2Jf. Es lassen sich nun zwei Folgerungen her- lei ten.

Folgerung 6. Ein Auffangorthoschem beziiglich einer Ecke, die keine Hauptecke ist, ist orthogonal entartet.

Folgerung 7. Das Auffangorthoschem bezuglich einer Hauptecke ist bei einem

Zur Begrundung fur beide Folgerungen uberlegt man sich, daB die rechten

Dreieckswinkel in den Auffangorthoschemen als Kanten der Lange - erscheinen,

was dort orthogonale Entartung zur Folge hat. Beispielsweise ist das orthogonal entartete Auffangorthoschem bezuglich der Ecke 2 nach SCHLAFLI ein soge- nanntes ,,orthopyramidales" Orthoschem, bei dem alle Kanten, die von genau

einer festen Ecke I (gegenuber der Wand SF-')) ausgehen, die Lange - be-

sitzen. Denn diese Kanten treten im ursprunglichen Orthoschem als Dreiecks- winkel 3 (1 , 2 , h) ( h = 3, 4, . . , , n) auf und geben somit zu n - 2 Kanten der

nicht orthogonal entarteten Orthoschem nicht orthogonal entartet.

z 2

7c

2

Jb Lange - AnlaB.

2 Gibt es in einem Orthoschem XCn) verschiedene total orthogonale Kantenzuge,

was nach Satz 2 nur bei einem orthogonal entarteten Orthoschem auftreten kann; dann gibt es. hochstens eine Ecke, etwa n, die Hauptecke fur samtliche total orthogonale Kantenzuge ist. Bei allen ubrigen Ecken kommen rechte Winkel vor. Darum sind alle Auffangorthoscheme bezuglich der Ecken 1, 2, . . ., n - 1 orthogonal entartet, und es kann Folgerung 6 verscharft werden zu

Folgerung 8. Bei einem orthogonal entarteten Orthoschem gibt es hochstens eine Ecke, far die das zugehorige Auffangorthoschem nicht orthogonal ent- art& ist.

Es gibt tatsachlich orthogonal entartete Orthoscheme, die eine solche Ecke besitzen. Zum Beispiel hat ein Orthoschem X(%), bei dem nur der Keilwinkel v:li ein rechter ist, diese Eigenschaft. Dieses Orthoschem ist im ubrigen ortho-


pyramidal. Hier haben alle Kanten, die von der Ecke n ausgehen, die Lange -,

und nur das Auffangorthoschem St-i) bezuglich der Ecke n ist nicht orthogonal ent artet .

7d

2

Nun kann der folgende Satz bewiesen werden.

Satz 6. Ein elliptisches Orthoschem ist genau dann orthogonal entartet, wenn

Beweis. 1st der Keilwinkel vf) (1 5 k 5 n - 1) des elliptischen Orthoschems als Auffangorthoschem S& bezuglich der

mindestens ein Keilwinkel ein rechter ist.

8'") ein rechter, d a m laBt sich Ecke ko (2 5 k, 5 n) eines Orthoschems

S(72.+1) = 1

v(z) w(21 w(2 ) das durch die Keilwinkel (v',2), . . . , k-l, k-i, k + l , k + l , . . ., w:!~) beschrieben wird, auffassen. Die GroBe der v:2) stimmt in Sen) und in S(%+l) fur alle

jeweils uberein, und die w f j 1 und wf2 sollen Keilwinkel beliebiger Grolje sein. Darum kann A'(n) = fig) gesetzt werden, und nach Folgerung 6 ist ,S'g) und somit auch f i ( n ) als Auffangorthoschem orthogonal entartet.

1st umgekehrt S(%) orthogonal entartet (und folglich auch elliptisch), so sol1 jetzt durch vollstandige Induktion nachgewiesen werden, dalj es dort mindestens einen rechten Keilwinkel gibt. Fur n = 2 und n = 3 ist diese Behauptung offen- sichtlich richtig. Jetzt iiimmt man an, sie sei fur n - 1 richtig. 1st nun S(%) ein orthogonal entartetes Orthoschem, dann gibt es nach Folgerung 8 hochstens eine Ecke, bezuglich der das Auffangorthoschem nicht orthogonal entartet ist. ZunBchst wird angenommen, eine solche Ecke sei vorhanden. Es moge die Ecke n sein. Das nicht orthogonal entartete Auffangorthoschem Sp- bezuglich dieser Ecke besitzt die Keilwinkel (~(12)) . . ., vpj2), unter denen infolge der Induktions- annahme und des bisher gefuhrten Beweises keine rechten Winkel vorkommen. Da aber die Auffangorthoscheme bezuglich jeder anderen Ecke, speziell bezuglich der Ecke 1, orthogonal entartet sein mussen, kommt nach Induktionsvoraus- setzung unter den Keilwinkeln vp), . . ., vi'll des Auffangorthoschems niindestens ein rechter Winkel vor. Dieser muB dann vr? sein. Somit hat in diesem Fslle X ( n ) den Keilwinkel v~~~~ als rechten Winkel.

Sind dagegen die Auffangorthoscheme beziiglich jeder Orthoschemecke orthogonal entartet, dann ist zum Beispiel das Auffangorthoschem orthogonal entartet, unter seinen Keilwinkeln gibt es nachInduktionsvoraussetzung mindestens einen rechten, der auch in f i ( n ) wiederum als rechter Keilwinkel auftritt.

Fur ein orthogonal entartetes Auffangorthoschem gilt folgender Hilfssatz 3. Unter d e n orthogonal entarteten Auffangorthoschemen s$-

( o , % , . . . , ( k - l h , ko, ( k + l h , . . ., 120, (n + 1h),

j ( j = 1 , 2 , . . . , k - l , k + 1 , . . . , n - 1)

eines (nicht orthogonal entarteten) Orthoschems S(n) besitxt das orthopyramidale die ge-

ringste Anzahl won Kanten der Lange -, namlich (n - 2) Stack. 7c

2

60 Bohm, Einige Eigenachaften von Orthoschemen

Beweis. Aus der Folgerung 4 ergibt sich, da13 fur das Orthoschein S(”) iiii Dreieck h, s, t (1 5 h < s < t 5 n) der rechte Winkel stets bei der Ecke s liegt. Demzufolge kann im Orthoschem S(”) die Lage der rechten Dreieckswinkel ohne weiteres angegeben werden. Wird der total orthogonale Kantenzug (1 ,2 , . . . ,?z) zur Beschreibung von S(n) zugrunde gelegt, dann gibt es bei der Ecke 1 keinen rechten Dreieckswinkel, bei der Ecke 2 liegen (n - 2) rechte Dreieckswinkel und allgemein bei der Ecke k gibt es (k - 1 ) (n - k) rechte Dreieckswinkel, wie sich sofort uberprufen lafit. Die Addition dieser Anzahleii mu13 die Anzahl der rechten Dreieckswinkel, die gleich der Anza,hl dei in S(n) vorkommenden Dreiecke

n ist, ergeben. Es gilt somit (k - 1 ) ( n - k) = , wie sich andererseits

k= 1 auch durch vollstandige Induktion sofort nachweisen 1LBt. Um die geringste Anzahl (> 0) der rechten Winkel zu erhalten, die sich an einer Orthoscheinecke befinden, ist das Minimum fur (k - 1 ) in - k) (k = 2, 3, . . ., n - 1 ; ?z 2 3) zu bestimmen. Wegen der Symmetrie des Ausdrucks reicht aus, fur k (naturliche

Zshl) nur die Werte k 5 oder 2 k - n 5 1 zuzulassen. Zunachst kmn

Monotonie nachgewiesen werden. Es gilt fur 2 h - n 5 1, h und n naturliche Zahlen,

n + l 2

( ( h - 1 ) - I ) ( % - ( h - l ) ) = ( h - l ) ( n - h ) + ( 2 h - n - 2 ) (= (h- 1) (n- h) + 1 - 2 < ( h - l ) ( n - h)

Wegen dieser Monotonie wird demnach fur k = 2 das Minimum erreicht, es betriigt n - 2. Wegen der Symmetrie gilt dieses in gleicher Weise aucli fur k = n - 1 .

Da die weiteren Untersuchungen vor allem fur Auffangorthoscheme An- wendung finden sollen, genugt es fur die letzten Betrachtungen dieses Abschnitts, den elliptischen Fall zugrunde zu legen.

7c Hilfssatz 4. Besitzt ein elliptisches Orthoschem eine Kante der Lange --, .TO

gibt es mindestens eine Hauptecke dieses Ausgangsorthoschems, beztiglich der das

zugehorige Auffangorthoschem eine Kante der Lange

2

7z besitzt.

2

Beweis. Es werde ein Dreieck des Ausgangsorthoschems S@) betrachtet,

in dem diese Kante der Lange - vorkornmt. Da hier der elliptische Fall zu-

grunde gelegt werden soll, mu13 mindestens eine weitere Kante dieses Dreiecks

die Lange haben. Das gilt fur samtliche Dreiecke, in denen diese rechtwiiikligen

Kanten vorkommen. Daruber hinaus mu8 in solchen Dreiecken au13er dem obligatorischen rechten Winkel noch ein weiterer rechter Winkel auftreten. Zum

3c

2

?t

2


Beweis des Hilfssatzes wird angenommen, es sei k, I die Kante des Orthoschems

der Lange -. Drei Falle sind zu unterscheiden. z

2 a) Gilt 1 < k < I n, dann ist wegen der Orthoschemeigenschaft von 8'")

n Fur das Dreieck 1, k, I gilt demzufolge, daB die Kante 1, I die Lange - hat und

insbesondere dann [ Q ( I , 1, k) 1 = - ist,. Hier enthalt das Auffangorthoschem 2

2 72

z n bezuglich der Ecke 1 wegen 1 Q ( I , 1, k) I = - eine Kante der Lange ~~

2 2 Abb. la*)) .

(vgl.

b) 1st k = 1 und 1 < n, dann wird das Dreieck 1, I , n betrachtet. Fur dieses

gilt I + ( l , l ,n) I = -. Es hat aber auch die Kante 1, n die Lange und ins-

besondere ist I 4 (1 , n, I ) I = -. Das Auffangorthoschem bezuglich der Ecke n

enthdlt demzufolge eine Kante der Lange

n n 2 2 '

n 2

n (vgl. Abb. 1 b).

2

n

1) In den Abbildungen werden rechte Winkel durch einen Punkt und elliptische Kanten der n

Liinge - durch Verstiirkung gekennzeichnet. 2


?t c) Hat die Kante 1, n die Lange -, dann gibt es zum Beispiel fur das Dreieck

1,2 , n, bei dem 10: (1,2, n) I = - ist, eine weitere Kante und ebenso einen weiteren

2 n 2

Winkel von der GroBe t. Bezuglich derjenigen Hauptecke, die Scheitel dieses

weiteren rechten Winkels ist, wird das Auffangorthoschem konstruiert, das 2

5% wiederum eine Kante der Lange - enthalt vgl. Abb. 1 c; hier wurde die Kante 1,2

2 Jb

als die weitere Kante der Lange - angenoruimen. Somit liegt dann bei der Ecke n

der zweite rechte Winkel).

2

n

Aus dem Hilfssatz 4 ergibt sich sofort nach Hilfssatz 1, daB das Auffang- orthoschem bezuglich der betreffenden Hauptecke orthogonal entartet ist.

6. Notwendige aber nicht hinreicheride Bedingungen fur das Vorliegen eines Orthoschems. Wie aus Satz 2 hervorgeht, ist es auf Grund der Definition eines Orthoschems offenbar notwendig, dal3 dessen Wande wiederum Ort ho- scheme sind. In Fortsetzung dieser Aussage sind sehliel3lich auch samtliche Dreiecke in einem Orthoschem rechtwinklig, wie bereits bekannt. Diese For- derungen reichen aber nicht hin. Ein Gegenbeispiel werde angegeben. Betrachtet wird das Simplex R(4), bei dem sfimtliche Wande Orthoscheme X(3) der folgenden Art sein mogen. Es seien die Dreieckswinkel Q (1, 2, 3), Q ( 2 , 3, 4), 0: (3, 4, 1) und Q (4, 1, 2) rechte. Daruber hinaus sollen die Kanten 1, 2; 2, 3; 3, 4 und 1, 1 dieselbe Lange a und die beiden gegenuberliegenden Kanten 1, 3 und 2 , 4 dieselbe Lange b haben. Dann lassen sich Zahlen a und b finden, so daI3 die iibrigen Drei- eckswinkel, die aus Symmetriegriinden alle gleich grol3 sind, sowie samtliche

sechs Keilwinkel zwischen den Wanden kleiner als ~ ausfallen (vgl. Abb. 2 ) . 2

I m Elliptischen ist ein hierzu gehorender Spezialfall etwa derjenige, bei dem

alle nicht rechten Dreieckswinkel die GroBe - haben. Die Keilwinkel kann

76

n 3

Bohm, Einige Eigeiischaften von Orthoschemen 63

man in den untereinander kongruenten Auffangsimplexen erkennen, die hier n f i n

elliptische Dreiecke mit Kanten der LBnge - - und - sind (vgl. Abb. 3). 2’ 3 3

Dieses elliptische Dreieck kann aber keinen rechten Dreieckswinkel enthalten.

Denn sonst miiBte, da bereits eine Dreieckskante die LBnge - hat, eine weitere

Kante der Lange - auftreten, was aber nicht sein soll. - Euklidische Orthoscheme

dieser speziellen Art lassen sich nur realisieren, wenn Dimensionsschwund in Kauf genommen wird.

AuBerdem wurde in Satz 4 gezeigt, daB es ebenfalls notwendig fur das Vor- liegen eines Orthoschems ist, daB samtliche Auffangsimplexe beziiglich der Ecken des Orthoschems wiederum Orthoscheme sind. Auch diese Bedingung ist nicht hinreichend. Als Gegenbeispiel betrachte man ein Orthoschem R(4), bei dem genau zwei, sich gegenuberliegende Keilwinkel orthogonal sind (vgl. Abb. 4).

7E

2 n 2

/ ” /

2 / 4D 1 /

Abb. 4

64 Bohm, Einige Eigenschaftan von Orthoschemen

Hier ist jedes Auffangsimplex ein rechtwinkliges Dreieck, das gesamte Simplex ist aber i. a. kein Orthoschem, da es dort keinen total orthogonalen Kantenzug geben muB.

9. Hinreichende Bedingungen fur das Vorliegen eines Orthosehems. Als ein erstes Hauptergebnis kann jetzt die folgende hinreichende (und zugleich notwendige) Bedingung angegeben werden.

Satz 7. Bin Ximplex R'"), bei dem, falls der elliptische Fall vorliegt, keine

hut, ist genau dunn ein Orthoschem, wenn die folgenden beiden 77

Kante die Ldinge

Bedingungen erfGllt sind: ( TV) Samtliche ( n - 2)-dimensionalen Warlde des Simplexes sind Orthoscheme. ( A ) Samtliche (n - 2)-dimensionalen Auffungsimplexe des Simplexes sind

Orthoscheme.

Beweis. Die Notwendigkeit der beiden Eigenschaften (W) und ( A ) wurde jeweils einzeln in den beiden Satzen 3 urid 5 fur ein beliebiges Simplex nachgewiesen. Es ist jetzt noch das Hinreichen der gesamten Bedingung zu zeigen.

Gegeben sei folglich ein Simplex R'"), das die beiden Eigenschaften ( W ) und

( A ) besitzt. Falls der elliptische Fall vorliegt, sol1 dort keine Kante die Liinge ~

2 haben oder, was damit aquivalent ist, kein doppelt-rechtwinkliges Dreieck. vorkommen. Es wird fur die Beweisfuhrung eine geeignete Wand von R(") aus- gewahlt, die nach Voraussetzung ( W ) urid gems8 der weiteren Annahme ein nicht orthogonal entartetes Orthoschem ist und folglich genau zwei Hauptecken und zwischen diesen genau einen (abgesehen von der Orientierung) total orthogonalen Kantenzug enthalt. *Jetzt kann fur das gesamte Simplex ein solcher Kantenzug nachgewiesen werden.

Bei geeigneter Numerierung der Ecken l5Bt sich die betreffende Wand von R(%) in der Form S$-" = (1, 2 , . . ., n -- 1) darstellen. Ihr liege in R(") die Ecke n gegenuber. Als Hauptecken von AS'S-') treten die Ecken 1 und (n - 1) auf. Insbesondere gibt es in S!Z].-'' bei der Ecke ( n - 1) keine rechten Dreiecks- winkel. Jetzt wird wieder die Ecke n hinzugenommen und das Auffangdimplex bezuglich der Ecke (n - 1) von R(n) betrachtet, das nach ( A ) ein Orthoschem X ( ' z l ) sein mull. Dann gibt es fur die n - 2 Dreieckswinkel bei der Ecke (n - 1) in R'"), die nicht zu AS$-') gehoren, zwei Moglichkeiten.

1) Unter diesen hinzukommenden Winkeln, die als Seiten in SF:) suftreten, gibt es rechte Winkel. Wird beachtet, dal3 nach Hilfssatz 3 die geringste Anzahl

von Kanten der Lange - bei einem orthopyramidalen Orthoschem auftritt,

2

7l

n- 1

Tc

2 JC

betragt dann die Anzahl der Kanten in SF!:) der LLnge - (bzw. die Anzahl

der rechten Dreieckswinkel in I?(") bei der Ecke (n - 1 ) ) wenigstens n - 2. 2


Das bedeutet aber, daB die samtlichen hinzukommenden Dreieckswinkel rechte sind, es gilt also s, n - I I n - 1, n ( s = I, 2 , . . ., n - 2 ) . Daraus folgt

Da X1(lI-’) bereits den total orthogonalen Kantenzug (1, 2 , . . ., n - 1) enthrilt, ergibt sich fur R(n) der total orthogonale Kantenzug (1 , 2, . . ., n - 1, n). .Pn) ist somit ein Orthoschem.

2) Uiiter den n - 2 hinzukommenden Dreieckswinkeln befindet sich kein rechter Winkel. Das heifit, fur alle Wdnde ist die Ecke (n - 1) Hauptecke. Dann wird die MTand betrachtet, die gegenuber der Ecke (n - 1 ) liegt. Deren Eckpunkte ergeben nach geeigneter Umnumerierung den total orthogonalen Kantenzug ( lo, 2, , . . . , (n - I),) = Sr-‘). Die Hauptecken sind 1 0 und (n - 1)o. Wird die Ecke (n - 1 ) hinzugefugt, die jetzt mit no bezeichnet werden soll, so erhdlt man wiederum R(n). Nun wird das Auffangorthoschem von R@) bezuglich der Ecke (n - I),, betrachtet und insbesondere diejenigen n - 2 Kanten im Auffangorthoschem, die auf Dreieckswinkel in R(’) zuruckgehen und nicht in ST-” vorkommen. Hier sind wieder zwei Moglichkeiten zu unterscheiden.

2’ ) Unter diesen Dreieckswinkeln kommt ein rechter vor. Dann schlielSt man wie unter 1 ) weiter und erhalt, daB der Kantenzug ( l o , 2 , ) ) . . ., (n - I) , , no) total orthogonal ist, also em Orthoschem vorliegt.

2 ” ) Es kommt unter diesen Dreieckswinkeln kein rechter m7inkel vor. Dann ist diese Ecke (n - 1)” Hauptecke fur alle Wdnde, in denen sie enthalten ist. Die Betrachtung im Fall 1 ) laWt sich dann aber auf die Hauptecke 1, anwenden:

Das Dreieck lo, (n - I),,, hat, da es keine Kante der LBnge - besitzt, zwei

Hauptecken, nach den bisherigen Untersuchungen (n - l), und no. Da es ein Orthoschem nach Voraussetzung sein mu13, liegt bei 1, ein rechter Winkel, der

AnlaB zu einer Kante der Lange -z im Auffangorthoschem von R(n) bezuglich

der Ecke 1 0 gibt. Damit sind xber alle n - 2 bei 10 im Vergleich zu 8r-l) hinzukommenden Dreieckswinkel rechte, so daB schliefllich gilt

n - 1,n I l , 2 , . . . , n - I .

7z

2

z .

10, 2 0 , . . ., (n - l ) a I In , nn. Ein total orthogonaler Kantenzug (no, lo, 2,), . . ., (n - l ) n ) ist gefunden, und R(%) ist somit ein Orthoschem. Damit ist dieser Satz bewiesen.

Es wurde beim Beweis deutlich, daB wesentlich die Forderung ( A ) bei einem nicht orthogonal entarteten Orthoschem das Vorkommen von Hauptecken ohne rechte Dreieckswinkel bewirkte. Es taucht darum die Frage auf, ob diese Por- derung durch die Forderung der Existenz von solchen Hauptecken ersetzt werden kann. Dieses soll in den niichsten Satzen gekldrt werden.

Satz 8. Gilt f u r das Simplex R@’, dap ( W ) samtliche (n - 2)-dimensionalen TVande Orthoschem sind und ( H ) es genau xwei Ecken gibt, bei denen Eeine rechten Dreieckswinkel liegen, genau dann ist R@) ein (nicht orthogonal entartetes) Orthoschem. 5 Math. Nachr. Ed .61

66 Bohm, Einige Eigenschafteri von Orthosohemen

Beweis. Die eine Richtung der Behauptung gilt auf Grund der Satze 2 uiid 3. Die Umkehrung ist jetzt noch zu beweisen. Die beiden Ecken, bei denen keine rechten Dreieckswinkel liegen, seien 1 und n. Darum ist es nach Folgerung 8 nicht moglich, daB eine beliebige Wand, die diese beiden Ecken enthalt und nach Voraussetzung ein Orthoschem darstellt, orthogonal entartet ist. Daraus ergibt

J.5 sich, da13 A(") im elliptischen Fall keine Kante der Lange - besitzt; denn sonst

muBte es unter den oben erwahnten Wtinden mindestens eine geben, die ebenfalls diese Kante enthalt, was aber ein Widerspruch dazu ist, daB diese Wande nicht orthogonal entartet sind.

( h = 2, 3, . . ., n - 1) die Ecken 1 uiid n a19 die einzigen Hauptecken. Man betrachte jetzt die Wand A!$?'). Da sie nicht orthogonal entartet ist, hat sie genau zwei Hauptecken. Die eine ist 1, die andere sei (n - l ) , der total orthogonale Kanttmzug sei (1 , 2, . . ., n - 1 ) = &"('&-I). u'

Die Dreieckswinkel bei der Ecke 2 werden betrachtet. Es gilt

2

Nach Satz 2 hat die Wand

x \ Q ( 1 , 2 , E ) / =- fur alle k mit 2 < E < n,

2

77 IQ(h,2,k)I+- furalle h und E mit 2 < h < k < n .

2

Jetzt wird herangezogen. Die eine Hauptecke mu13 n sein. Nun wird nachgewiesen, da13 die andere und einzige weitere Hauptecke in S t - ' ) die Ecke 2 ist. Im Sinne eines indirekten Beweises wird angenommen, daB die Ecke h mit 2 < h < n die andere Hauptecke ist. Dann darf bei h kein rechter Winkel liegen. Man sieht sofort, daB dann nur moglich sein kann h = n - 1 ; denn wegen der

J L orthoschematischen Wand (2 < h < n - 1).

Falls nun dort (n - 1) Hauptecke ist, ware dann 10; (n - 1, 2, n) 1 = -. In S{?"

miifiten dann nach Hilfssatz 3 noch weitere rechte Dreieckswinkel bei der Ecke 2, und zwar mindestens noch n - 4 vorliegen. Da in ASP-') ebenfalls wie fur !.S'$-')

gilt 10: (h, 2, k ) I=/=? fur 2 < h < E < n, bleiben in &"??-') bei der Ecke 2 nur

noch die ?a - 4 Winkel < (h, 2, n) (2 < h < n - 1) ubrig, die dann samtlich rechte Winkel sein mussen.

Um jetzt den Widerspruch herleiten zu konnen, beachte man, daB bei der Ecke (n - 1 ) in S@) nach Voraussetzung ( H ) rechte Dreieckswinkel existieren mussen. Es gilt jedoch, da die Ecke (n - 1 ) Hauptecke sowohl in & " $ - I ) als auch gemaB der gemachten Annahme in h'c-') ist,

gilt 13: (2, h, n - 1 ) I = - 2

?G

2

2


und n

I Q ( h , n - l , n ) I + - - ( 2 s h < n - 1 ) . 2

Da 1 und n Hauptecken fur die Wande St."-') mit 2 5 h 5 n - 2 sind, gilt 3-c I Q (1 , n - l , n ) / = - . 2

Das heiWt, bei der Ecke (n - 1) gibt es in Sn) genau einen rechten Dreiecks- winkel. Dann gibt es auch in der Wand 8p-l) (1 < h < n - 1) dort genau einen rechten Dreieckswinkel. Da diese ein Orthoschem nach Voraussetzung darstellt, ist das nicht moglich, und deshalb ist die Annahme falsch.

Somit sind die Hauptecken in SF-') die Ecken 2 und n, und es gilt

fur alle h mit 2 5 h 5 n - 2, weil (n - 1 ) zwar Hauptecke fur S;;."-') ist, dort also keine rechten Dreieckswinkel liegen, dagegen nicht Hauptecke fur X v - I). Dort mussen folglich nach Hilfssatz 3 mindestens n - 3 rechte Dreieckswinkel

n vorkommen. Zusammen mit I Q (1 , n - 1, n) I = - bedeutet das, da13

2 1 , 2 ,..., n - 1 I n - - l , n ,

demnach (1, 2, . . ., n - 1, n) ein total orthogonaler Kantenzug und folglich R(") ein Orthoschem ist.

Aus dem Beweis ist ersichtlich, daW man nicht alle Wdnde als Orthoscheme voraussetzen mu8. Es reicht aus, dieses nur fur drei Wande zu fordern, etwa fur die beiden WBnde Sf!-') und sowie fur eine beliebige weitere Wand IS'^-') (1 < h < n). Darum 1aWt sich der Satz 8 verscharfen zu

( H ) Es gibt genau xwei Ecken 1 u n d n, bei denen keine rechten Dreieckswinkel liegen.

( W ' ) Die drei Simplezwande, die jeweils den Ecken 1, h und n gegenuberliegen (h beliebige naturliche Zahl m i t I < h < n), sind Orthoscheme.

Satz 9. Es gelte f u r das Simplex R("):

D a n n ist R(") e i n (nicht orthogonal entartetes) Orthoschem.

Literatur

[l] J. BOHM, Simplexinhalte in Riiumen konstanter Kriimmung beliebiger Dimension, Jour. reine angew. Math. 202, 16-51 (1959).

[2] -, Zu COXETERS Integrationsmethode in gekriimmten RLumen, Diese Nachr. 27, 179-214 (1964).

[3] H. S. M. COXETER, On SCHLAFLI'S generalisation of NAPIER'S Pentagramma mirificum, Bull. Calcutta Math. SOC. 28, 125- 144 (1936).

[4] L. SCHLAFLI, Gesammelte math. Abh. 1, Theorie der vielfachen Kontinuitat (aus dem Jahre 1852), (Basel 1950), 227ff.

5.

Einige kombinatorisch-topologische Eigenschaften von allgemeinen r-dimensionalen Orthoschemen

Documents

Transcript of Einige kombinatorisch-topologische Eigenschaften von allgemeinen r-dimensionalen Orthoschemen