Einschleifenkorrekturen zur Bremsstrahlung von Myonen im Feld...

Einschleifenkorrekturen zurBremsstrahlung von Myonen im Feld

eines Atomkerns

Masterarbeitzur Erlangung des akademischen Grades

Master of Science

vorgelegt von

Alexander Sandrockgeboren in Arnsberg

Lehrstuhl für Experimentelle Physik VFakultät Physik

Technische Universität Dortmund2014

1. Gutachter : Prof. Dr. Dr. Wolfgang Rhode

2. Gutachter : Prof. Dr. Julia Becker Tjus

Datum des Einreichens der Arbeit: 30. September 2014

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 5

2 Grundlagen der Astroteilchenphysik 92.1 Geladene kosmische Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Extraterrestrische hochenergetische Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Atmosphärische Myonen und Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Das IceCube-Neutrinoobservatorium 15

4 Quantenelektrodynamik 174.1 Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Einschleifendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Berechnung mit FeynArts und FormCalc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5 Infrarotdivergenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6 Analytische Ausdrücke für irreduzible Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6.1 Vakuumpolarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6.2 Fermionselbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6.3 Vertexkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6.4 Boxgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Elektromagnetische Wechselwirkungen mit Atomen 31

6 Phasenraumintegration 376.1 Phasenraumparametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.1 Phasenraumintegration durch Zerlegung in Zwei-Körper-Phasenräume 386.1.2 Parametrisierung über Winkel und Energien im Schwerpunktsystem . . 396.1.3 Phasenraumparametrisierung mit explizitem Impulsübertrag . . . . . . . 41

6.2 Mehrdimensionale numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7 Rechnung mit verbesserter Weizsäcker-Williams-Methode 45

8 Ergebnisse und Diskussion 47

9 Danksagung 51

3

1 Einleitung

First Law of Progress in Theoretical Physics: „You will get nowhere by churning equa-tions.“

Second Law: „Do not trust arguments based on the lowest order of perturbationtheory.“

Third Law: „You may use any degrees of freedom you like to describe a physicalsystem, but if you use the wrong ones, you’ll be sorry.“– Steven Weinberg, 19831

In der Neutrinoastronomie ist die Rekonstruktion der Energie eines Ereignisses eine wichtigeStufe im Analyseprozess. Eine direkte Messung der Energie ist nur in Ausnahmefällen mög-lich. Für Ereignisse, deren Signatur vollständig im Detektor liegt, wie vollständig im Detektorenthaltene kaskadenartige oder kurzen spurartige Ereignisse, funktioniert der Detektor als Ka-lorimeter. Bei spurartigen Ereignissen, deren Interaktionspunkt innerhalb des Detektors liegt,ist durch die hadronische Kaskade am Beginn der Spur ebenfalls die Energie gut bekannt. Ineinem Großteil der Fälle muss die Energie jedoch aus den Energieverlusten bestimmt werden.Diese Energieverluste werden durch Ionisation, photonukleare Wechselwirkung, Leptonpaar-produktion und Bremsstrahlung verursacht. Bis etwa 700 GeV ist dabei die Ionisation domi-nant, deren Energieverlust von der Energie des Teilchens unabhängig ist (vgl. Abb. 1.1), sodassdie Energie nur über die Länge der Teilchenspur bestimmt werden kann. Darüber werden Lep-tonpaarproduktion und Bremsstrahlung dominant.

Die Bestimmung der Energie aus den Energieverlusten ist ein inverses Problem, da von derWirkung auf die Ursache geschlossen werden soll. Der Energieverlust d E/d x durch Paarpro-duktion kann im Hochenergiebereich als Energieschätzer verwendet werden. Durch Brems-strahlungsenergieverluste wird die Kurve verschmiert (vgl. Abb. 1.2). Dadurch ist das inverseProblem ein schlecht gestelltes Problem, weil die Lösung nicht linear von den Variablen ab-hängt.

1WEINBERG, S.: Why the renormalization group is a good thing. In GUTH, A. (HRSG.); HUANG, K. (HRSG.);JAFFE, R. (HRSG.): Asymptotic Realms of Physics: Essays in Honor of Francis Low. MIT Press, Cambridge, Mas-sachusetts, 1983, S. 1, 8, 16

5

1 Einleitung

Energie [MeV]

2103

10 4105

106

10 7108

109

1010

10 1110 1210

]2

cm

-1dE/dx [MeV g

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110

1

10

210

310

410

510

610

Paarproduktion

Bremsstrahlung

Ionisation

Photonuklear

Abbildung 1.1: Energieverluste pro Strecke von Myonen bei der Propagation durch Eis fürverschiedene Wechselwirkungsmechanismen.[Koe13]

Das IceCube-Experiment ist derzeit das größte Neutrinoobservatorium[KS12]. Da IceCu-be seit nunmehr drei Jahren in der vollständigen Ausbaustufe arbeitet, beginnen die systema-tischen Fehler die statistischen Fehler in den Messdaten zu dominieren. Dies wird etwa in[Sch14a, Sch14b] deutlich. Ein Beitrag zu den systematischen Fehlern ist die Unsicherheit inden Wirkungsquerschnitten für die Propagation von Leptonen für die photonukleare Wech-selwirkung, Paarproduktion und Bremsstrahlung. In dieser Arbeit wird der Bremsstrahlungs-prozess betrachtet.

Die bislang verwendeten Parametrisierungen des Bremsstrahlungswirkungsquerschnittes[KKP95, AB97] verwenden mehrere Näherungen. Die Rechnungen verwenden Kleinwinkel-und Hochenergienäherungen, die Terme der Ordnung m2

µ/E2µ vernachlässigen und daher nur

für Energien größer als 10 GeV verwendbar sind. Die Niederenergieerweiterung DeepCorehat eine Energieschwelle, die in diesem Bereich liegt. Außerdem wird der Rückstoß des Kernsvernachlässigt. Dieser Effekt ist für leichte Kerne wie Wasserstoff von Bedeutung, wird jedochmit steigender Energie kleiner[ABB94]. Ebenfalls vernachlässigt werden Spineffekte. Da diesemit steigender Masse unterdrückt werden, sind sie ebenfalls nur für leichte Kerne wie Was-serstoff von Bedeutung. Die Effekte virtueller Photonen werden nur in [AB97] für den Fallzusätzlicher mit dem Kern ausgestauschter Photonen berücksichtigt; neben dieser sog. Cou-lombkorrektur gibt es aber auch Strahlungskorrekturen durch Kopplungen virtueller Photo-nen an den Myonpropagator und Effekte der Vakuumpolarisation. Deren Bedeutung nimmtmit steigender Myonenergie zu.

6

(Truncated dE/dx [GeV/m])10

log-2 -1 0 1 2 3 4 5

(Muon Energy [GeV])

10

log

0

2

4

6

8

10

(number of events)

10

log

1

10

210

(Untruncated dE/dx [GeV/m])10

log-2 -1 0 1 2 3 4 5

(Muon Energy [GeV])

10

log

0

2

4

6

8

10

(number of events)

10

log

1

10

210

Abbildung 1.2: Energieverlust pro Strecke ohne Bremsstrahlungsverluste (linkes Bild) bzw. mitBremsstrahlungsverlusten (rechtes Bild).[A+13a]

In dieser Arbeit werden Strahlungskorrekturen an den Wirkungsquerschnitt für Bremsstrah-lung im Feld eines Sauerstoffatoms oder schwererer Kerne berechnet. In diesem Fall könnendie Effekte von Rückstoß und Spin vernachlässigt werden.

Dazu wird in Kapitel 2 ein kurzer Überblick über astrophysikalische Grundlagen und dieQuellen für Myonen in der Neutrinoastronomie gegeben, anschließend in Kapitel 3 der IceCube-Detektor als Beispiel für ein Neutrinoobservatorium besprochen, in Kapitel 4 die Berech-nung von Strahlungskorrekturen in der Quantenelektrodynamik erläutert und in Kapitel 5 dieBeschreibung von Atomen durch Formfaktoren eingeführt. Daraufhin wird in Kapitel 6 diePhasenraumintegration besprochen, sowie in Kapitel 7 die verbesserte Weizsäcker-Williams-Methode besprochen. Schließlich werden in Kapitel 8 die Ergebnisse dieser Arbeit diskutiert.

7

2 Grundlagen der Astroteilchenphysik

2.1 Geladene kosmische Strahlung

Seit mehr als 100 Jahren ist bekannt, dass die Erde von einem Strom geladener Teilchen ge-troffen wird[Heß12]. Weitergehende Untersuchungen zeigen, dass das Energiespektrum die-ser Teilchen einem gebrochenen Potenzgesetz folgt (vgl. Abb. 2.1). Da diese geladene kosmi-sche Strahlung durch die galaktischen und intergalaktischen Magnetfelder abgelenkt wird, istes nicht möglich, die Richtung ihres Ursprungs festzustellen. Man geht davon aus, dass diekosmische Strahlung bis zum ersten Bruch im Potenzgesetz, dem sogenannten Knie, durch ga-laktische Quellen wie Supernovaüberreste (SNR) oder Pulsare erzeugt wird. Für Teilchen mitEnergien jenseits des Knies ist die Energie so groß, dass ihr Gyroradius im galaktischen Magnet-feld größer als die Abmessungen unserer Galaxis ist. Daher werden die Teilchen der kosmischenStrahlung mit höheren Energien extragalaktischen Quellen wie aktiven galaktischen Kernen(AGN) oder den kurzzeitig auftretenden Gammastrahlenausbrüchen (GRB)zugeschrieben.[Bec07]Protonen verlieren jedoch Energie durch Wechselwirkung mit dem kos-mischen Mikrowellenhintergrund

pγ →

∆+→ pπ0, nπ+

pe+e−. (2.1)

Dieser Effekt wurde unabhängig von Greisen[Gre66] und Zatsepin und Kuzmin[ZK66] vor-hergesagt und erklärt das Abbrechen des Spektrums der geladenen kosmischen Strahlung beisehr hohen Energien.

2.2 Photonen

AGN sind mittels Photonen in vielen Wellenlängenbereichen von Radiowellen bis zur Hoch-energiegammastrahlung beobachtbar. Die Beschleunigung in AGN wird begleitet von der Emis-sion von Photonen. Da Photonen ungeladen sind, werden sie von den intergalaktischen Ma-gnetfeldern nicht abgelenkt und man kann ihren Ursprung feststellen. Im Hochenergiebereich

9


Primary Energy, E [GeV]6

10 7108

109

1010

10 1110

]-1

s-1

sr

-2 m

1.6

dN

/dE

[G

eV

2

.6E

1

10

210

310

410

HEGRA

Casa-Mia

Tibet III 2008

Kascade 2005

Kascade-Grande 2012

IceTop-26

GAMMA 2008

Tunka-133 2011

AGASA

HiRes 1

HiRes 2

TA 2011

Auger 2011

Abbildung 2.1: Energiespektrum der geladenen kosmischen Strahlung aus Messungen vonLuftschauer-Experimenten.[GST13]

sind Gammastrahlen jedoch in ihrer Reichweite beschränkt durch die Absorption des extraga-laktischen Hintergrundlichtes

γCMBγEBL→ e+e−. (2.2)

Abhängig von der Energie können Photonen optisch dichte Medien nur schlecht durchdrin-gen(vgl. Abb. 2.3). Außer im Hochenergiebereich können Photonen daher nur Informationenüber den Randbereich einer astrophysikalischen Quelle liefern.

Abbildung 2.2: Der Krebsnebel in verschiedenen Wellenlängenbereichen von Radio- und Mi-krowellen über infrarotes, sichtbares und ultraviolettes Licht bis zu Röntgen-und Gammastrahlung.[Wik14]

10

2.3 Extraterrestrische hochenergetische Neutrinos

Abbildung 2.3: Schematische Darstellung der verschiedenen Botenteilchen in der Astroteil-chenphysik und ihrer Detektion.[Wag05]Eine astrophysikalische Quelle emit-tiert Protonen, Photonen und Neutrinos. Die Protonen werden im galakti-schen und intergalaktischen Magnetfeld abgelenkt, bevor sie auf der Erde mitLuftschauerdetektoren beobachtet werden. Photonen behalten ihre Richtungbei, stammen aber nur aus den Randregionen der Quelle; sie können je nachEnergie entweder direkt durch Satellitenexperimente oder indirekt mit Ce-renkovteleskopen nachgewiesen werden. Neutrinos bewegen sich ebenfalls ge-radlinig, können jedoch aufgrund ihrer geringen Wechselwirkungswahrschein-lichkeit auch aus den inneren Quellregionen stammen; sie sie werden auf derErde in unterirdischen Detektoren wie IceCube beobachtet. Dabei bilden Myo-nen und Neutrinos aus Luftschauern der kosmischen Strahlung einen domi-nanten Untergrund.

2.3 Extraterrestrische hochenergetische Neutrinos

Den Nachteil der Absorption durch Staubwolken haben Neutrinos nicht bzw. nur in schwä-cherem Maße. Da sie nur einen kleinen Wechselwirkungsquerschnitt haben, gelangen sie na-hezu ungestört zur Erde. Man erwartet die Produktion von Neutrinos bei der Beschleunigungder kosmischen Strahlung, dominant über die Kanäle

pγ →

pπ0

nπ+, (2.3)

11


ν`(ν`)

W +(W −)

`−(`+)

N

X

ν`(ν`)

Z

ν`(ν`)

N

Xe−

ν e

W −X

Abbildung 2.4: Interaktion von Neutrinos mit Materie über den Austausch von W - und Z -Bosonen

p p→

p pπ0

pnπ+. (2.4)

beziehungsweise mit einfallenden Neutronen statt Protonen, was in der Produktion von π−

resultiert.[Bec07] Die Neutronen wechselwirken, bevor sie zerfallen können. Die geladenenPionen hingegen zerfallen leptonisch gemäß

π+→µ+νµ→ e+νeνµνµ,

π−→µ−νµ→ e−ν eνµνµ.(2.5)

Neutrinos interagieren als ungeladene Leptonen nur über die schwache Wechselwirkung,sodass sie entweder über den geladenen Strom durch Austausch von W -Bosonen oder überden ungeladenen Strom durch Austausch von Z -Bosonen interagieren (vgl. Abb. 2.4).

Für Elektronantineutrinos ist zudem noch eine Wechselwirkung über den geladenen Stroman Elektronen in der Atomhülle möglich, die bei einer Neutrinoenergie von etwa 6,3 PeV einreales W -Boson entstehen lässt, das zu einer leptonischen oder hadronischen Kaskade zerfallenkann

ν e + e−→W −→Kaskade. (2.6)

Dies wird als Glashow-Resonanz bezeichnet[Gla60]. Da die Eigenzustände νe , νµ, ντ der schwa-chen Wechselwirkung nicht identisch sind zu den Masseneigenzuständen des freien Hamilton-operators, kommt es zu Neutrinooszillationen.[MW11]Dadurch wird aus dem oben motivier-ten Neutrinospektrum mit einem Flavourverhältnis νe : νµ : ντ = 1 : 2 : 0 über astrophysikali-sche Distanzen ein Spektrum mit einer Flavourgleichverteilung 1 : 1 : 1. Die Wechselwirkungmit einem atomaren Elektron über den s -Kanal hat daher auch Bedeutung für Antineutrinos,die in der Quelle in einem anderen Flavoureigenzustand produziert wurden.

12

2.4 Atmosphärische Myonen und Neutrinos

2.4 Atmosphärische Myonen und Neutrinos

Bei der Messung astrophysikalischer Neutrinos gibt es einen großen Untergrund durch Myo-nen und Neutrinos, die bei Wechselwirkungen der geladenen kosmischen Strahlung mit derAtmosphäre entstehen.

Wenn ein Proton der kosmischen Strahlung auf die Atmosphäre trifft und mit einem Atom-kern in der Luft in etwa 10 km Höhe kollidiert, enstehen durch hadronische Wechselwir-kungen Hadronen, die in weitere Hadronen oder in Leptonen zerfallen.[IMM09] Die häu-figsten Teilchen sind Pionen und Kaonen, die überwiegend zerfallen, bevor sie den Erdbo-den erreichen. Geladene Pionen und Kaonen zerfallen über die schwache Wechselwirkungüberwiegend zu Myonen und Myonneutrinos, die man als konventionelle Neutrinos bezeich-net. Seltener entstehen in Luftschauern der kosmischen Strahlung schwerere Hadronen wieD - und B -Mesonen oder Λc -Baryonen, die anders als Pionen und Kaonen so kurzlebig sind,dass sie keine Energie bei der Propagation durch die Atmosphäre verlieren. Bei leptonischenZerfällen dieser schwereren Mesonen entstehen die sogenannten prompten Neutrinos. Da dieschweren Mesonen in sehr kurzer Zeit zerfallen, haben die prompten Neutrinos etwa densel-ben spektralen Index wie die kosmische Strahlung, der bei ungefähr −2,7 liegt, während diekonventionellen Neutrinos aus Pionen und Kaonen vor ihrem Zerfall durch die Atmosphä-re propagieren und dabei Energie verlieren, sodass ihr spektraler Index um circa eins niedri-ger bei −3,7 liegt[HKK+07], da ihr Weg durch die Atmosphäre mit steigender Energie längerwird[Bec08]. Erste Messungen des astrophysikalischen Flusses ergeben einen spektralen Indexvon (−2,3± 0,3)[Sch14a].

13

3 Das IceCube-Neutrinoobservatorium

IceCube ist ein Wasser-Cerenkov-Detektor, der im antarktischen Eis am geographischen Süd-pol errichtet wurde. Wenn ein geladenes Lepton den Detektor durchquert, verliert es Ener-gie durch Ionisation, Paarproduktion, Bremsstrahlung oder photonukleare Wechselwirkung.Die dabei entstehenden Sekundärteilchen wie Ionisationselektronen oder e+e−-Paare erzeugenCerenkov-Licht, das ebenso wie Bremsstrahlungsphotonen im Detektor aufgezeichnet wird.Bei photonuklearer Wechselwirkung oder in Wechselwirkungen von Neutrinos über den neu-tralen Strom entstehen hadronische Kaskaden, die ebenfalls Licht erzeugen und im Detektorbeobachtet werden können.[K+14]

Dieses Licht wird durch 5160 digitale optische Module (DOMs) aufgezeichnet. Diese DOMssind an insgesamt 86 Kabeln in regelmäßigen Abständen in einer Tiefe zwischen 1,5 km und2,5 km ins Eis eingeschmolzen. Ein digitales optisches Modul enthält einen Photomultiplier,der Lichtsignale als veränderliche Spannung aufzeichnet, die digitalisiert und über die Kabelzur Oberfläche geschickt wird.

Da durch den Abstand von 125 m zwischen den einzelnen Strängen die untere Energie-schwelle des Experimentes bei etwa 100 GeV liegt, befindet sich in der Mitte des Detektorsdie Niederenergie-Erweiterung DeepCore, in der acht Stränge mit geringerem Abstand ange-bracht sind, so dass für diesen Teil des Detektors die Energieschwelle bei etwa 10 GeV liegt.Dabei kann der Rest von IceCube als Vetoschicht benutzt werden.[A+12]

Da Myonen aus Wechselwirkungen der kosmischen Strahlung ein dominanter Untergrundsind, ist oberhalb des Detektors das Luftschauerarray IceTop angebracht. Mit optischen Mo-dulen wie im unterirdischen Detektor im Eis werden Luftschauer untersucht, so dass Myonen,die bereits in IceTop beobachtet wurden, als atmosphärisches Myon bekannt sind und nichtaus einem atmosphärischen oder extraterrestrischen Neutrino stammen können. Allerdingskann IceTop nur in einem kleinen Winkelbereich als Veto genutzt werden.[A+13b]

Ereignisse haben in IceCube im Wesentlichen zwei verschiedene Geometrien. Atmosphäri-sche Myonen und Myonen aus Neutrinos, die über den geladenen Strom wechselwirken, hin-terlassen eine zigarrenförmige Spur im Detektor, während Neutrinos, die über den neutralenStrom wechselwirken, sowie Elektronen und τ-Leptonen eine annähernd kugelförmige Signa-tur im Detektor haben. Bei τ-Leptonen erwartet man wegen ihrer kurzen Lebensdauer einen

15

3 Das IceCube-Neutrinoobservatorium

Abbildung 3.1: Schemazeichnung des Neutrinoobservatoriums IceCube. Als Größenvergleichist der Eiffelturm eingezeichnet.[Koe13]

Zerfall noch im Detektor, so dass die Signatur wie zwei durch eine Spur verbundene Kaska-den, double bang genannt, aussieht. Bei kugelförmigen Ereignissen ist aufgrund ihrer geringenReichweite die Energie des Leptons vollständig in der Kaskade deponiert, sodass der Detektorfür solche Ereignisse als ein Kalorimeter funktioniert. Bei spurartigen Ereignissen hingegenist die Reichweite für hochenergetische Teilchen größer als die Abmessungen des Detektors,sodass nur ein Teil der Spur im Detektor beobachtet werden kann. In diesem Fall kann dieEnergie des Neutrinos über den Energieverlust des Myons bestimmt werden. Dazu ist einepräzise Kenntnis der Wechselwirkungsquerschnitte nötig.[Col01]

16

4 Einschleifenrechnungen in der

Quantenelektrodynamik

4.1 Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik

Die Quantenelektrodynamik ist eine Theorie, die die Wechselwirkung zwischen Photonenund geladenen Fermionen beschreibt. Die Lagrangedichte dieser Theorie ist gegeben durch[Rom13]

L =−14

FµνFµν − 1

2ξ(∂ ·A)2+ψ(i /∂ + e /A−m)ψ (4.1)

mit dem Feldstärketensor

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (4.2)

Die Notation /a steht für die Kontraktion eines Vierervektors mit den Diracmatrizen /a = aµγµ.

Der Term −FµνFµν/4 beschreibt das freie elektromagnetische Feld. Der folgende Term

−(∂ ·A)2/2ξ fixiert die Eichung des Vektorpotentials. Der Eichparameter ξ muss jeden Wertannehmen können ohne die physikalischen Vorhersagen zu ändern; dies ist äquivalent mit derForderung ∂µAµ = ∂ ϕ/∂ t − grad ~A = 0, der Lorentzeichung. Der Term ψ(i /∂ − m)ψ be-schreibt das freie Fermionfeld. Die Wechselwirkung zwischen Fermionen und Photonen wirddurch den Term eψ/Aψ beschrieben.

Aus dieser Lagrangedichte folgen die Feynmanregeln

kµ ν =−i

gµνk2+ iε

+(1− ξ )kµkν

(k2+ iε)2

,

p= i

/p +m

p2−m2+ iε,

µ

=+i eγµ

(4.3)

17

4 Quantenelektrodynamik

Da für ξ jeder Wert gewählt werden darf, wird im folgenden die Feynman-t’Hooft-Eichungξ = 1 angewandt, in der der Photonpropagator die einfache Form −i gµν/(k2+ iε) annimmt.

Die Zustände äußerer Fermionen werden durch die Lösungen der freien Diracgleichung (/p−m)ψ(p) = 0 beschrieben, die Spinoren. Es gibt je zwei linear unabhängige Lösungen positiverund negativer Energie, die den Spinzuständen von Teilchen und Antiteilchen entsprechen. DieFeynmanregeln für äußere Fermionen sind

p= u(p),

p= u(p),

p= v(p),

p= v(p).

(4.4)

Zustände äußerer Photonen werden durch Polarisationsvektoren beschrieben, die in derFourierentwicklung der freien Lösungen der Wellengleichung ∂ν∂

νAµ = 0 vorkommen. Esgibt vier mögliche Polarisationszustände, aber da Photonen masselos sind, kommen nur zweials physikalische Zustände vor. Die Feynmanregeln für äußere Photonen sind

µ = εµ,

µ = ε∗µ.(4.5)

Mit diesen Regeln kann man die Matrixelemente von Baumgraphen auszurechnen. Die Über-gangsamplitude ergibt sich daraus als Betragsquadrat. Wenn man über die Spin- und Polarisati-onszustände der externen Teilchen summiert, wie es für einen unpolarisierten Wirkungsquer-schnitt notwendig ist, benötigt man die Fermionspinsummen

2∑

s=1us (p)u s (p) = /p +m,

2∑

s=1vs (p)v s (p) = /p −m

(4.6)

und die Polarisationssumme

2∑

r=1εµr (k)ε∗νr (k) =−gµν . (4.7)

Durch die Spinsumme entsteht eine Spur über die Diracmatrizen, so dass sich für eine Ampli-

18

4.2 Einschleifendiagramme

tude der Form M = u f (p f )Γµui (pi )εµ(k) das Betragsquadrat

|M |2 = 12ni

∑

si ,s f ,rM †M

=−gµν

2niTr[(/p f +m)Γµ(/p i +m)Γ ‡

ν ]

mit Γ ‡ν = γ

0Γ †ν γ

0

(4.8)

ergibt. Da über Anfangszustände gemittelt und über Endzustände summiert wird, muss nochdurch die Anzahl der Freiheitsgrade der einlaufenden Teilchen ni geteilt werden.


Um Einschleifendiagramme auszurechnen, benötigt man zusätzlich die Regeln, dass über denin der Schleife umlaufenden Impuls integriert wird und über die Spinorindizes einer Fermi-onschleife die Spur gebildet wird. Da Fermionen antivertauschen, erhält die Amplitude einerFermionschleife zudem ein Minuszeichen.

Allgemein hat ein Schleifenintegral die Form

Tµ1,...,µpn =

∫

d 4q(2π)4

qµ1 · · · qµp

D0D1 · · ·Dn−1

mit Di = (q + ri )2−m2

i + iε.

(4.9)

Für p = 0 spricht man von einem skalaren Schleifenintegral, sonst bezeichnet man es als Ten-sorintegral. Dieses Integral ist divergent, wenn 4+ p − 2n ≥ 0 wird. In diesem Fall wird fürunendlich große Werte des Schleifenimpulses q der Integrand unendlich groß. Man bezeichnetdies als Ultraviolettdivergenz.

Um diese unphysikalischen Divergenzen zu beheben, führt man zunächst Zusatzparameterin die Theorie ein, die es ermöglichen, das Schleifenintegral zu berechnen. Würde man denphysikalischen Grenzfall nehmen, wäre der Ausdruck immer noch divergent. Dieser Vorgangwird als Regularisierung bezeichnet.[LP05]

Die einfachste Möglichkeit ist die Einführung eines Abschneideparameters Λ, der die obe-re Grenze für die Schleifenimpulsintegration darstellt. Diese sog. Cut-off-Regularisierung istjedoch nicht Lorentz-invariant.

Eine weitere Möglichkeit ist die Pauli-Villars-Regularisierung, bei der die Propagatoren ge-mäß der Vorschrift 1/(q2−m2+ iε)n→ 1/(q2−m2+ iε)n−1/(q2−M 2+ iε)n ersetzt werden.Dies entspricht einem zusätzlichen Teilchen mit Masse M , die im physikalischen Grenzfall ge-

19


gen unendlich geht. Diese Regularisierungsmethode bricht die Eichkovarianz.

Die üblicherweise angewandte Methode zur Regularisierung ist die dimensionale Regulari-sierung. Hierbei wird das Integral nicht in 4 Dimensionen, sondern in d Dimensionen ausge-rechnet und das Ergebnis analytisch zu d = 4−2εDimensionen fortgesetzt. Die Divergenzendes Schleifenintegrals sind dann einfache Pole bei ε = 0, also∝ 1/ε. Um die Dimension desIntegrals gleich zu halten, führt man einen Parameter µmit Massendimension ein.

Um die Schleifenintegrale zu berechnen, wendet man die Methode der Feynman-Parameteran.[LP05] Dabei nutzt man aus, dass gilt

1n∏

i=1Ai

=

1∫

0

d x1 · · ·1∫

0

d xn

δ

1−n∑

i=1xi

n∑

k=1xkAk

n . (4.10)

Auf diese Weise wird der Nenner des Integranden in (4.9) zu einer geraden Funktion im Inte-grationsimpuls. Folglich verschwinden bei der Integration über den gesamten Impulsraum dieBeiträge von Termen im Zähler, die eine ungerade Potenz des Integrationsimpulses enthalten.Die nicht kontrahierten Vierervektoren werden analog

µ4−d∫

d d q(2π)d

qµq ν

(q2− a2)s=

gµν

dµ4−d

∫

d d q(2π)d

q2

(q2− a2)s(4.11)

behandelt.

Um die üblichen Techniken der mehrdimensionalen Integration anwenden zu können, istes notwendig die Minkowskimetrik durch die Eulermetrik zu ersetzen; dies ist äquivalent zueiner Variablentransformation k0 → i k0 bzw. einer Änderung des Integrationsweges in derkomplexen Ebene. Nach dieser sogenannten Wick-Rotation hat der Integrand die Gestalt

µ4−d∫

d d q(2π)d

(k2)r

(k2− a2)s=µ2εi(−1)r+s

∫

d d qE

(2π)d(q2

E )r

(q2E + a2)s

. (4.12)

Die Integration über den Winkelanteil ergibt einen Faktor 2πd/2/Γ (d/2). Die Integration überden Betrag des Wick-rotierten Impulses läßt sich durch die Beta-Funktion ausdrücken, die alsProdukt von Gamma-Funktionen geschrieben werden kann, so daß man als Resultat

∫

d d q(2π)d

(q2)r

(q2− a2+ iε)s=

i(−1)r+s

(4π)d/21

(a2)s−r−d/2

Γ (r + d/2)Γ (s − r − d/2)Γ (d/2)Γ (s)

. (4.13)

erhält. Den Ausdruck für das Schleifenintegral erhält man dann nach Ausführung der Integra-

20


tion über die Feynmanparameter, die auf Polylogarithmen führt.

Die Divergenz für d = 4 kommt aus den Gamma-Funktionen, die für negative ganze Zahleneinfache Pole haben. Eine Laurent-Entwicklung führt auf

Γ (ε) =1ε− γ +O(ε) (4.14)

mit der Euler-Mascheroni-Konstante γ . Oft faßt man die Euler-Mascheroni-Konstante sowieden in Schleifenrechnungen immer auftauchenden Term ln4πmit dem Pol 1/ε zu der Abkür-zung∆ε = 1/ε− γ + ln4π zusammen (M S-Schema).

Es ist sehr schwierig die entstehenden Ausdrücke numerisch stabil zu formulieren. In[vOV90] wurden entsprechende Ausdrücke für die skalaren Schleifenintegrale mit bis zu fünfinneren Propagatoren hergeleitet, die in [vO90] implementiert wurden. Im Paket LoopTools[HPV99b]wurden diese Algorithmen neu implementiert und um die Tensorintegrale für Ein-bis Fünfpunktfunktionen erweitert.

In den Konventionen von LoopTools ist ein allgemeines Schleifenintegral definiert als

T Nµ1...µP

=µ4−D

iπD/2 rΓ

∫

d D qqµ1· · · qµP

[q2−m21][(q + k1)2−m2

2] · · · [(q + kN−1)2−m2N ]

,

rΓ =Γ 2(1− ε)Γ (1+ ε)

Γ (1− 2ε).

(4.15)

Die übliche Nomenklatur für die Schleifenintegrale ist A für T 1, B für T 2 etc. Die skalarenIntegrale werden durch den Index 0 gekennzeichnet. Diese allgemeine Schreibweise für dieSchleifenintegrale geht auf G. Passarino und M. Veltman zurück[PV79].

Die Integrale mit Tensorstruktur können als Linearkombination von Tensoren geschrie-ben werden, die aus der Metrik und einer linear unabhängigen Menge von Impulsen gebildetwerden. Die dabei auftretenden Koeffizientenfunktionen sind in LoopTools implementiert[HPV99b, PV79, tV79]. Die Wahl der Basis ist dabei jedoch nicht eindeutig. Wenn man dieImpulse ki aus den Propagatoren als Basis wählt, erhält man als Tensorzerlegung für die beiBremsstrahlungsprozessen auftretenden Zwei- bis Vierpunktintegrale[HPV99b]

Bµ = k1µB1,

Bµν = gµνB00+ kµ1 kν1B1,(4.16)

21


Cµ = kµ1 C1+ kµ2 C2,

Cµν = gµνC00+2∑

i , j=1

kµi kµj Ci j ,

Cµνρ =2∑

i=1

(gµνkρi + g νρkµi + gµρkνi )C00i +2∑

i , j ,`=1

kµi kνj kρ`

Ci j`,

(4.17)

Dµ =3∑

i=1

kµi Di ,

Dµν = gµνD00+3∑

i , j=1

kµi kνj Di j ,

Dµνρ =3∑

i=1

(gµνkρi + g νρkµi + gµρkνi )D00i +3∑

i , j ,`=1

kµi kνj kρ`

Di j`.

(4.18)

Nur ein Teil der Passarino-Veltman-Integrale ist utraviolett-divergent. Die divergenten An-teile sind[Rom13]

Div[A0(m21)] =∆εm2

0 (4.19)

Div[B0(k21 , m2

1 , m22)] =∆ε

Div[B1(k21 , m2

1 , m22)] =−

12∆ε

Div[B00(k21 , m2

1 , m22)] =

112∆ε(3m2

1 + 3m22 − k2

1 )

Div[B11(k21 , m2

1 , m22)] =

13∆ε

(4.20)

Div[C00(k21 , (k2− k1)

2, k22 , m2

1 , m22 , m2

3)] =14∆ε

Div[C001(k21 , (k2− k1)

2, k22 , m2

1 , m22 , m2

3)] =−112∆ε

Div[C002(k21 , (k2− k1)

2, k22 , m2

1 , m22 , m2

3)] =−112∆ε

(4.21)

sowie ein Vierpunktintegral, das bei Bremsstrahlungsprozessen in Feynman-t’Hooft-Eichungauf Einschleifenniveau nicht auftaucht.

In dimensionaler Regularisierung laufen die Lorentzindizes formal nicht über 4, sondernüber 4−2ε Einträge. Folglich sind auch Ausdrücke der Dirac-Algebra, bei denen über einen ge-meinsamen Lorentzindex summiert wird, von der Dimension abhängig. Aus der definierenden

22

4.3 Renormierung

Gleichung der Clifford-Algebra γµγ ν+γ νγµ = 2gµν folgen somit folgende Ausdrücke[BRS95]

γµγµ = 4− 2ε,

γµγ νγµ = (−2+ 2ε)γν ,

γµγ νγργµ = 4g νρ− 2εγ νγρ,

γµγ νγργσγµ =−2γσγργ ν + 2εγ νγργσ .

(4.22)

Dies ist von Bedeutung, da die Terme O(ε) mit den Termen∝ 1/ε multipliziert werden undendliche Terme übrig bleiben.

4.3 Renormierung

Die Berechnung der Amplitude von Einschleifendiagrammen nach den oben angegebenen Me-thoden liefert Ausdrücke, die vom Regularisierungsparameter ∆ε abhängen. Dieses Ergebnisergibt sich aus der Lagrangedichte in (4.1), die der Lagrangedichte für die Wechselwirkung einesklassischen elektromagnetischen Feldes entspricht. Der klassische Grenzfall ergibt sich durchden Limes ħh→ 0. Durch die Wahl natürlicher Einheiten war bislang ħh = 1, man kann es jedochals einen Zählparameter für die Anzahl an Schleifen betrachten. Sowohl der Wechselwirkungs-hamiltonian, aus dem die Feynmanregel für den Wechselwirkungsfaktor folgt, als auch die freieHamiltondichte tragen je einen Faktor 1/ħh bei. Der Propagator ist das Inverse des Differen-tialoperators in den quadratischen Termen der Lagrangedichte und ergibt somit einen Faktorħh. Aus der Beziehung n−v = `−1 für ein Diagramm mit n inneren Linien und v Vertizes er-gibt sich die Schleifenzahl `. Folglich hat der Term 1

ħh Heff im Zeitentwicklungsoperator einenBeitrag O(ħh`) aus Diagrammen mit ` Schleifen.[LP05]

In der Störungsreihe entsprechen Diagramme mit ` Schleifen Termen höherer Ordnung, diemit ħh→ 0 verschwinden. Die gesamte Lagrangedichte einschließlich Quantenkorrekturen hatdaher die Gestalt

L =Lklassisch+ ħhδL (1)+ ħh2δL (2)+ · · · . (4.23)

Die Ergebnisse in `-ter Ordnung Störungstheorie werden dabei von den Termen in δL (`)

beeinflusst.[LP05] Außer der Tatsache, dass ħhδL (1) im Limes ħh → 0 verschwindet, gibt eskeine Einschränkungen für den Beitrag aus den Quantenkorrekturen und er kann beliebiggewählt werden. Die ultraviolett-divergenten Terme in Einschleifenamplituden können daherdurch gleiche Beiträge mit umgekehrtem Vorzeichen aus δL (1) kompensiert werden. Manbezeichnet diese Beiträge als Counterterme.

23


Da die Counterterme beliebig groß sein können, benötigt man Renormierungsbedingun-gen, die eine Vorschrift liefern, wie die Counterterme zu wählen sind, die die Ultraviolett-Divergenzen aufheben. In der Quantenelektrodynamik wählt man üblicherweise die soge-nannte On-Shell-Renormierung. Die Einschleifen-Korrekturen an Propagatoren verschwindendabei für physikalische Teilchen auf der Massenschale. Dadurch verschwinden Selbstenergie-beiträge auf äußeren Linien.

Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik kann auf Einschleifenniveau mit drei Re-normierungskonstanten vollständig renormiert werden. Die Lagrangedichte einschließlich Ein-schleifenkorrekturen hat allgemein die Gestalt

L =−14

FµνFµν +ψ(i /∂ + e /A−m)ψ

− 14(Z3− 1)FµνF

µν +(Z2− 1)ψ(i /∂ − (m−δm))ψ+(Z1− 1)eψ/Aψ,(4.24)

sowie ein eichfixierender Term, wobei die Namen Z1, . . .Z3 und δm eine übliche Konventionsind. Z1 ergibt sich aus der Vertexkorrektur, Z2 und δm aus der Fermionselbstenergie und Z3

aus der Vakuumpolarisation.

4.4 Berechnung mit FeynArts und FormCalc

Zunächst wurde die Berechnung mithilfe der Mathematica-Pakete FeynArts[Hah01] undFormCalc[HPV99a] von Thomas Hahn et al. versucht. Dabei wird die Physik in einem Mo-dell beschrieben, das die Propagatoren und die kinetische Struktur der Kopplungen der einzel-nen Teilchen in einer sog. kinetischen Modelldatei sowie die Massen, Ladungen, Kopplungs-und Renormierungskonstanten in einer sog. Klassenmodelldatei beschreibt. FeynArts erstelltaufgrund der Klassenmodelldatei die zum gesuchten Prozess beitragenden Diagramme und er-zeugt die Amplituden. FormCalc führt die oben beschriebene Integration und die algebraischeVereinfachung der Amplitude aus, wobei der rechenintensive Teil nicht in Mathematica, son-dern in FORM[Ver00] durchgeführt wird. Für diese Arbeit wurde daher eine Klassenmodell-datei erstellt, die die Formfaktoren für die elastische Streuung an schweren Kernen enthält.FormCalc erstellt dann eine Fortran-Routine, die das Matrixelement ausrechnet und für dienumerische Phasenraumintegration genutzt wird. Das unpolarisierte Matrixelement wird da-bei nicht mittels einer Spinsumme gebildet, sondern durch Einsetzen der Spinoren in einerbestimmten Darstellung und Aufsummieren. Da so keine Rechnung im Laborsystem möglichwar und die Berücksichtigung inelastischer Wechselwirkungen nicht möglich war, wurde die-ser Ansatz wieder verworfen.

24

4.5 Infrarotdivergenzen

4.5 Infrarotdivergenzen

Da das Photon masselos ist, divergieren die Photonpropagatoren in Schleifendiagrammen fürverschwindende Werte des Schleifenimpulses. Wenn das Photon eine Masse besäße, wären dieseBeiträge proportional zum Logarithmus der Photonmasse.Die Counterterme zu diesen diver-genten Terme entsprechen dabei den Amplituden von Bremsstrahlungsdiagrammen, wobei dieEnergie des abgestrahlten Photons infinitesimal klein ist. Der endgültige Wirkungsquerschnitthängt dann von der maximalen Energie des weichen Bremsstrahlungsphotons ab. Er kann alsAuflösung des Detektors betrachtet werden.[BF52]

4.6 Analytische Ausdrücke für irreduzible Diagramme

Diagramme, die durch Zerschneiden einer der inneren Linien in zwei getrennte Diagrammezerfallen, werden als reduzible Diagramme bezeichnet, da sie zerlegbar sind in Baum-Graphenund irreduzible Unterdiagramme. In diesem Abschnitt werden die irreduziblen Diagrammeberechnet, die zur Bremsstrahlung an einem Kern auf Ein-Schleifen-Niveau beitragen.

4.6.1 Vakuumpolarisation

Die Erzeugung und Vernichtung eines virtuellen Fermionpaares mit der Ladung Q f wird be-schrieben durch das Feynman-Diagramm

k

k + q

kq

µ ν

.

Die dazugehörige Amplitude ohne die äußeren Propagatoren ist in dimensionaler Regularisie-rung

iΠµν (k ,ε) =−∫

d D q(2π)D

Tr

(−i eQ f γµ)i

/k + /q +m

(q + k)2−m2(i eγ ν )i

/q +m

q2−m2

=−iα

πQ2

f

gµν (m2B0− k2B1+(−2+ 2ε)B00− q2B11+ kµkν (2B1+ 2B11)

.

(4.25)

Hierbei haben die Passarino-Veltman-Integrale die Argumente (k2, m2, m2).In der Quantenfeldtheorie gelten die Ward-Takahashi-Identitäten[War50, Tak57]. Es handelt

sich dabei um Beziehungen zwischen Korrelationsfunktionen im Impulsraum. In der Quante-

25


nelektrodynamik gilt als wichtiger Spezialfall die Ward-Identität

kµM µ = 0, (4.26)

wobei M = εµ(k)Mµ die Amplitude eines QED-Prozesses mit einem externen Photon be-

zeichnet, welches den Viererimpuls k hat. Anschaulich bedeutet das, dass das reale Photon nurtransversale Freiheitsgrade besitzt.

Da der Vakuumpolarisationstensor Πµν nur vom Impuls k des Photons abhängt, muss eraufgrund der Ward-Identität kµΠ

µν =Πµνkν = 0 die Tensorstruktur

Πµν = (gµνk2− kµkν )Π(k2) (4.27)

haben. Die Tensorkoeffizientenfunktionen im obigen Ausdruck sind nicht unabhängig von-einander, sondern können durch die Funktion B0 ausgedrückt werden. Man erhält dann fürdie FunktionΠ den noch ultraviolett-divergenten Ausdruck

Π(k2,ε) =α

4π

−49− 8

3m2

k2B0(0, m2, m2)+

43

1+m2

k2

B0(k2, m2, m2)

. (4.28)

Im On-Shell-Renormierungsschema der QED benötigt man als Counterterm den Wert dieserFunktion für k2→ 0 und erhält

Π(0,ε) =α

4π

−49+

43

B0(0, m2, m2)+83

m2 ∂ B0

∂ k2(0, m2, m2)

=α

4π

43

B0(0, m2, m2)

=−δZ3.

(4.29)

Das renormierte und ultraviolett-finite Resultat ist damit

ΠR(k2) =α

3π

−13+

1+2m2

k2

(B0(k2, m2, m2)−B0(0, m2, m2))

. (4.30)

4.6.2 Fermionselbstenergie

Die Selbstenergie eines Fermions wird beschrieben durch das Diagramm

p p + q p

q

.

26


Die Amplitude der Selbstenergie ergibt sich gemäß den Feynmanregeln durch

−iΣ(p,ε) =∫

d D q(2π)D

i eγµi/p + /q +m

(q + p)2−m2i eγµ

−iq2

=−iα4π

(−2+ 2ε)/p(B0(p2, 0, m2)+B1(p

2, 0, m2))+ (4− 2ε)mB0(p2, 0, m2)

=−iα4π

[1− 2(B0(p2, 0, m2)+B1(p

2, 0, m2))]/p + 2m(2B0(p2, 0, m2)− 1)

.

(4.31)

Die Amplitude der Selbstenergie ist eine Matrix im Diracraum ohne äußeren Lorentz-Index,die nur vom Impuls p abhängt. Die allgemeine Form dieses Ausdrucks ist daher durch

Σ(p) =A(p2)/p +B(p2)14×4 (4.32)

gegeben. Daher sind zwei Renormierungskonstanten zu bestimmen. Die renormierte Selbst-energie wird konventionell in der Gestalt

−iΣR(p) =−iΣ(p,ε)+ i(/p −m)δZ2+ iδm (4.33)

dargestellt.[Rom13] Damit ist es erforderlich, dass zwei Renormierungsbedingungen aufge-stellt werden. Über das Verschwinden des Schleifenbeitrages auf der Massenschale hinaus wirddie Bedingung aufgestellt, dass der Pol des renormierten Elektronpropagators denselben Wertannimmt wie auf Baumgraphenniveau.

ΣR(/p = m) = 0−→ δm =Σ(/p = m)

∂ ΣR

∂ /p

/p=m

= 0−→ δZ2 =∂ Σ

∂ /p

/p=m

(4.34)

Der renormierte Ausdruck für die Selbstenergie ist damit

−iΣR(p) =−i§

αmπ

−12+B0(p

2, 0, m2)

+α

4π

1− 2(B0(p2, 0, m2)+B1(p

2, 0, m2))

/pª

+ i(/p −m)α

4π

§

1− 2

B0(m2, 0, m2)+B1(m

2, 0, m2)

+ 4m2

∂ B0

∂ p2(m2, 0, m2)−

∂ B1

∂ p2(m2, 0, m2)

+ iαm4π

−1+ 2B0(m2, 0, m2)− 2B1(m

2, 0, m2)

(4.35)

27


4.6.3 Vertexkorrektur

Die Korrektur des elektromagnetischen Wechselwirkungsvertex’ durch ein virtuelles Photonwird beschrieben durch das Diagramm

p1

p2+ qp1+ q

p2q

µ

mit der Amplitude

i eΛµ(p1, p2) =∫

d D q(2π)D

i eγσ−iq2

i/p1+ /q +m

(q + p1)2−m2i eγµi

/p2+ /q +m

(q + p2)2−m2i eγσ

= i eα

4πγσ (/p1+m)γµ(/p2+m)γσC0

+[γσ /p1γµ(/p2+m)γσ + γσ (/p1+m)γµ/p1γσ]C1


+ γσγλγµγλγσC00+ γσ /p1γµ/p1γ

σC11

+[γσ /p1γµ/p2γσ + γσ /p2γµ/p1γ

σ]C12

+ γσ /p2γµ/p2γσC22.

(4.36)

Die Argumente der Passarino-Veltman-Funktionen C (p21 , (p1 − p2)

2, p22 , 0, m2, m2) wurden

hierbei der Übersichtlichkeit halber fortgelassen.

Die in (4.26) aufgeführte Ward-Identität kann auch ausgedrückt werden als

Λµ(p, p) =∂ Σ

∂ pµ

/p=m

. (4.37)

Daraus folgt, dass der Counterterm δZ1 für die Vertexkorrektur identisch ist mit dem Coun-terterm δZ2, der bei der Selbstenergie berechnet wurde. Damit ist die renormierte Vertexkor-

28


rektur

i eΛRµ(p1, p2) = i eΛµ(p1, p2)+ γµδZ1

= i eα

4πγσ (/p1+m)γµ(/p2+m)γσC0



+ 4γµC00− 4γµ+ γσ /p1γµ/p1γσC11

+[γσ /p1γµ/p2γµ+ γσ /p2γµ/p1γ

σ]C12

+ γσ /p2γµ/p2γσC22

+ γµα

4π

§

1− 2

B0(m2, 0, m2)+B1(m

2, 0, m2)

+ 4m2

∂ B0

∂ p2(m2, 0, m2)−

∂ B1

∂ p2(m2, 0, m2)

(4.38)

mit den oben angegebenen Argumenten für die Dreipunktfunktionen.

4.6.4 Boxgraphen

Für Bremsstrahlung auf Einschleifenniveau gibt es zwei Baumgraphen, die in der Ein-Photon-Austauschnäherung beitragen.

pi

qk

p f

pi

kq

p f

Da bei dieser Vierpunktfunktion nur zwei Diagramme beitragen, bietet es sich an explizitauszunutzen, dass die äußeren Fermionlinien und das Bremsstrahlungsphoton auf der Mas-senschale liegen statt einer allgemeinen Berechnung der Vierpunktfunktion für zwei äußereFermionen und zwei äußere Photonen.

29


Da die Spinoren die Lösung der freien Dirac-Gleichung sind, erfüllen sie

u(/p −m) = 0,

(/p −m)u = 0.

⇒ u f γσ (/p f +m) = 2 pσ

f,

(/p i +m)γσ ui = 2 pσi ui .

(4.39)

Damit ergibt sich für den fermionischen Strom des linken Diagramms ohne den hadronischenAnteil, der im hadronischen Tensor beschrieben wird, der Ausdruck

⟨µ−(p f )γ (k)| jµ|µ−(pi )⟩=−iα2u(p f )4 pi p f γρ(/p f + /k +m)γµD0

+[2/p iγλγρ(/p f + /k +m)γµ+ 4 pi p f γργλγµ+ 2γρ(/p f + /k +m)γµγλ/p f ]Dλ

+[2/p iγλγργτγµ+ γσγλγρ(/p f + /k +m)γµγτγσ + 2γργλγµγτ /p f ]D

λτ

+ γσγλγργτγµγζ γσDλτζ u(pi )ε

ρ(k). (4.40)

Die Passarino-Veltman-Funktionen haben hierbei die Argumente D(m2, 0, q2, m2, (p f +k)2, (pi−p f )

2, 0, m2, m2, m2).Analog ergibt sich für den fermionischen Strom des rechten Diagramms

⟨µ−(p f )γ (k)| jµ|µ−(pi )⟩=−iα2u(p f )4 pi p f γµ(/p i − /k +m)γρD0

+[2 /piγλγµ(/p i − /k +m)γρ+ 4 pi p f γµγλγρ+ 2γµ(/p i − /k +m)γργλ/p f ]Dλ

+[2/p iγλγµγτγρ+ γσγλγµ(/p i − /k +m)γργτγσ + 2γµγλγργτ /p f ]D

λτ

− 2γζ γργτγµγλDλτζ u(pi )ερ(k). (4.41)

Hier haben die Passarino-Veltman-Funktionen die Argumente D(m2, q2, 0, m2, (pi−k)2, (pi−p f )

2, 0, m2, m2, m2).

30

5 Elektromagnetische Wechselwirkungen mit Atomen

Atomkerne stellen im allgemeinen Vielteilchensysteme dar, die nicht analytisch lösbar sind.Daher ist eine effektive Beschreibung der Wechselwirkung mit einem Atom notwendig. Dabeigibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten, ein Atom zu beschreiben, entweder als statisches exter-nes klassisches Feld oder als Teilchen mit einer Kopplungsstruktur, die durch einen Formfaktorbeschrieben wird.

Ein externes klassisches Feld wird durch einen zusätzlichen Term in der Lagrangedichte be-schrieben. Wenn das Feld durch das Viererpotential Aext

µ beschrieben wird, hat der zusätzliche

Term die Gestalt i eψ/Aextψ, also wie die Ankopplung an das freie Photonfeld. Die dazugehörigeFeynmanregel lautet

p p ′

↑ q = p ′− p

Aext= i e /Aext(~q) (5.1)

Dabei ist /Aext(~q) die Fourier-Transformierte des Viererpotentials. Diese Behandlung eines äu-ßeren Feldes als kleine Störung ist dann zulässig, wenn es sich wie im Falle eines Atoms um einabgeschirmtes Feld handelt.

Eine andere Möglichkeit besteht in der Verwendung von Formfaktoren, die die Wechsel-wirkung eines Photons mit einem nicht elementaren Teilchen beschreiben. Dabei gibt es Un-terschiede je nach dem Spin des wechselwirkenden Teilchens. Da die Spineffekte jedoch mitsteigender Masse schnell kleiner werden, kann man für die Zwecke dieser Arbeit den Spin au-ßer für die allerleichtesten Kerne wie Protonen vernachlässigen.

Für ein nichtelementares fermionisches Teilchen wird im Vertex i eγµ die Diracmatrix er-setzt durch eine VertexfunktionΓµ. Da diese Vertexfunktion nur einen Lorentzindex und zwei

31


Spinorindizes enthält, ist die allgemeinste Form[LP05]

Γµ = (F1+ F1γ5)γµ+(i F2+ F2γ5)σµνqν + F3qµ/qγ5+ qµ(F4+ F4γ5), (5.2)

wobei qµ der Viererimpulsvektor des Photons ist und die Matrix σµν =i2[γµ,γν] der Kom-

mutator der Diracmatrizen ist. Die Fi sind Funktionen der Impulse und werden als Formfak-toren bezeichnet. Die Terme proportional zur Matrix γ5 brechen die in der QED erhalteneP -Symmetrie. Der Term mit F4 muss verschwinden, weil der elektromagnetische Strom erhal-ten ist und somit qµu s ′(p

′)Γµus (p) = 0 für beliebige p und p ′ und folglich auch q = p − p ′

gelten muss. Für einen reinen QED-Vertex ist somit der allgemeine Fall die Vertexfunktion

Γµ = γµF1(q2)+ iσµνq

νF2(q2). (5.3)

beziehungsweise mit einer anderen Definition von F2, sodass F1 und F2 beide dimensionslossind,

Γµ = γµF1(q2)+

i2mp

σµνqνF2(q

2). (5.4)

In Falle eines skalaren Teilchens sind die einzigen Objekte mit Lorentzindizes die Vierervek-toren des ein- und auslaufenden Teilchens. Wenn man Lorentzinvarianz und die Erhaltung desskalaren Stroms anwendet, ergibt sich analog zum obigen Fall die Vertexfunktion

Γµ = (p + p ′)µF (q2). (5.5)

Die Verwendung von Formfaktoren anstelle eines externen Feldes erlaubt die Berücksichti-gung des Rückstoßes des Kernes. Um inelastische Effekte von Anregungen der Atomhülle oderdes Kerns zu berücksichtigen, muss eine andere Beschreibung gewählt werden, die die Beschrei-bung elastischer Prozesse über Formfaktoren als Grenzfall enthält. Dazu verwendet man dieelektromagnetischen Strukturfunktionen.[DW64] Wenn man das gemittelte Betragsquadratder Amplitude für die Streuung eines Leptons an einem Kern berechnet, und die Kopplungdes Elektrons an den Kern durch ein einzelnes virtuelles Photon, ergibt sich bei der Auswer-tung der Spuren im Diracraum ein Produkt aus Tensoren, die die jeweiligen leptonischen undhadronischen Ströme beschreiben. Der leptonische Tensor ist dabei gegeben durch

Lµν =Tr[(/p f +m)γµ(/p i +m)γ ν]

= 2

pµi pνf + pµf

pνi +q2

2gµν

(5.6)

32

mit dem Viererimpulsübertrag q = pi − p f . Der hadronische Tensor wird beschrieben durch

Wµν =W1(q2, ν)

gµν −qµqνq2

+1

m2N

W2(q2, ν)

Pµ−P qq2

qµ

Pν −P qq2

qν

, (5.7)

wobei Pµ der Viererimpuls des Kerns im Anfangszustand, qµ der Viererimpulsübertrag aufden Kern und mN die Masse des Kerns ist. In dem Inertialsystem, in welchem der Kern vor derStreuung ruht, ist ν = P q/mN gleich dem Energieübertrag auf den Kern bzw. dem Energie-verlust des Leptons. Der Grenzfall einer elastischen Wechselwirkung mit einem fermionischenKern wird beschrieben durch[LP05]

W1(q2, ν) =

12

q2(F1(q2)+ 2mN F2(q

2))2δ(ν + q2/2mN ),

W2(q2, ν) = 2m2

N [(F1(q2))2− q2(F2(q

2))2]δ(ν + q2/2mN ),(5.8)

der Grenzfall elastischer Wechselwirkung mit einem skalaren Kern durch

W1(q2, ν) = 0,

W2(q2, ν) = Z2 m2

N

2[F (q2)]2δ(ν + q2/2mN ).

(5.9)

Im Grenzfall eines unendlich schweren Kerns, in dem der Rückstoß vernachlässigbar wird,ergibt sich

W1(q2, ν) = 0,

W2(q2, ν) = [F (q2)]2δ(ν).

(5.10)

Da der Wirkungsquerschnitt wegen der 1/q4-Abhängigkeit durch kleine Impulsüberträge do-miniert wird, ist dies außer für sehr leichte Kerne eine gute Näherung.

Der Formfaktor für ein Atom lässt sich aufteilen in einen atomaren Formfaktor, der dieEffekte der Elektronenhülle beschreibt, sowie einen nuklearen Formfaktor, der die Effektedes ausgedehnten Kerns beschreibt. Für das Wasserstoffatom kann der atomare Formfaktor ausder Wellenfunktion des Elektrons im Grundzustand exakt berechnet werden. Der Formfaktorergibt sich aus einer Fouriertransformation[Elt61]

qF (q) =F [rρ(r )](q) (5.11)

33


und man erhält[Tsa74]

Fe(q2) =

11+ a2

0 q2/4(5.12)

mit dem Bohr’schen Radius a0. Für schwerere Kerne ist die Wellenfunktion der Atomhülleein Vielteilchenproblem, sodass eine effektive Beschreibung aufgrund von Streuexperimentennötig wird. Für schwerere Kerne kann der atomare Formfaktor durch

Fe(q2) =

11+ b 2q2

,

b =184,15p

eZ−1/3 1

me

(5.13)

beschrieben werden[Tsa74, AB97].

Der Formfaktor für die elastische Streuung an einem schweren Kern ist gegeben durch[AB97]

Fn(q2) =

1(1+ a2q2/12)2

,

a = (0,58+ 0,82A1/3)5,07GeV−1.(5.14)

Die Beschreibung durch elastische Formfaktoren berücksichtigt allerdings nicht die gesamteWechselwirkung mit einem Atom, da Atome auch angeregte Zustände haben. Die Struktur-funktion W2(q

2, ν) ist in der Näherung eines starren Kerns gegeben durch[ABB94]

W2(q2, ν) = δ(ν)

∑

n

∫

⟨n|I0(~r )|0⟩ei ~q~r d ~r

2

, (5.15)

wobei I0 die zeitartige Komponente des Stromoperators des Atoms ist. Elastische Formfakto-ren berücksichtigen nur den ersten Term dieser Summe

W el2 (q

2, ν) = δ(ν)

∫

⟨0|I0(~r )|0⟩ei ~q~r d ~r

2

(5.16)

= Z2|Fn(|~q |)− Fe(|~q |)|2, (5.17)

wobei Fn und Fe durch die Grundzustandswellenfunktionen der Elektronen bzw. Protonengegeben sind (die Wellenfunktion des Atoms kann in guter Näherung als Produkt der Wellen-

34

funktionen der Atomhülle und des Kerns beschrieben werden)

Fn =1Z

∫

∑

j

e i ~q ~R j

!

|ψp0 (R1, . . . RZ )|

2d ~R1 · · ·d ~RZ , (5.18)

Fe =1Z

∫

∑

i

e i ~q~ri

|ψe0(r1, . . . rZ )|

2d ~r1 · · ·d ~rZ . (5.19)

Wenn man die Vollständigkeitsrelation der Wellenfunktionen für elektronische und nukleareZustände verwendet

∑

nψe

n∗(~r1, . . . , ~rZ )ψ

en(~r′1, . . . , ~r ′Z ) = δ(~r1− ~r

′1) · · ·δ(~rZ − r ′Z ), (5.20)

∑

nψp

n∗(~R1, . . . , ~RZ )ψ

pn (~R′1, . . . , ~R′Z ) = δ(~r1− ~R

′1) · · ·δ(~RZ −R′Z ), (5.21)

ergibt sich für die Strukturfunktion W2 unter Berücksichtigung von nuklearen und atomarenAnregungen des Atoms der Ausdruck

W2(q2, ν) = Z2δ(ν)

§

|Fn(|~q |)− Fe(|~q |)|2+

1Z[F inel

e (|~q |)+ F ineln (|~q |)]

ª

(5.22)

mit

F inele (|~q |) = 1−ZF 2

e (|~q |)+1Z

∫

|ψe0(~r1, . . . , ~rZ )|

2∑

i 6= j

e i ~q(~ri−~r j )d ~r1 · · ·d ~rZ , (5.23)

F ineln (|~q |)≈ 1− F 2

n (|~q |). (5.24)

Der inelastische atomare Formfaktor kann parametrisiert werden durch

F inele =

c4q4

(1+ c2q2)2

c =1194p

eZ−2/3 1

me.

(5.25)

Er wird allerdings im Gegensatz zum inelastischen nuklearen Formfaktor in dieser Arbeit nichtberücksichtigt, da der entsprechende Beitrag in den Simulationen für den IceCube-Detektorbereits im Ionisationswirkungsquerschnitt berücksichtigt ist[Koe13].

35

6 Phasenraumintegration

Die Phasenraumintegration ist die Verbindung zwischen Matrixelement und Wirkungsquer-schnitt. Für einen Prozess mit zwei Teilchen im Anfangs- und drei Teilchen im Endzustand istdas Phasenraumelement gegeben durch[BCM+14]

dΓ3 = δ(4)

2∑

i=1

pi −5∑

f =3

p f

!

3∏

f =1

d 3k f

(2π)32E f. (6.1)

Der Wirkungsquerschnitt bestimmt sich dann durch

dσ = f|M |2dΓ3

Φ(6.2)

mit dem statistischen Faktor f , der identische Teilchen berücksichtigt, und dem FlussfaktorΦ, der vom System abhängt, in dem gerechnet wird.

Φ= 2Æ

λ(s , m21 , m2

2) (6.3)

= 4|~k1|p

s im Schwerpunktsystem, (6.4)

= 4|~k1|m2 im Laborsystem. (6.5)

mit der Källén-Funktion

λ(x, y, z) = x2+ y2+ z2− 2xy − 2x z − 2y z. (6.6)

Durch Auswerten der Dirac’schen Delta-Funktion erhält man ein 3·3−4= 5-dimensionalesIntegral. Ein Freiheitsgrad der Integration entspricht dabei der Drehung des ganzen Systemsum die Symmetrieachse, sofern im Ruhesystem eines der Teilchen oder im Schwerpunktsystemgerechnet wird. Somit ist die Integration trivial und liefert einen Faktor 2π. Damit ist einvierdimensionales Integral zu berechnen.

37


6.1 Phasenraumparametrisierung

6.1.1 Phasenraumintegration durch Zerlegung in Zwei-Körper-Phasenräume

Da der Phasenraum für einen Zwei-Teilchen-Endzustand im Schwerpunktsystem sehr einfachzu berechnen ist, bietet es sich an den Phasenraum in effektive Zwei-Teilchen-Phasenräume zuzerlegen und im jeweiligen Schwerpunktsystem auszuwerten (vgl. Abb. 6.1)[Mur07]. Dabeiwird der Phasenraum vom Vierervektor eines der Endzustandsteilchen und der Summe derVierervektoren der restlichen Teilchen gebildet

dΓ3(k3, k4, k5) =∫

d s45

2πdΓ2(k3, q45)dΓ2(k4, k5). (6.7)

Abbildung 6.1: Schematische Darstellung der Phasenraumzerlegung in Zwei-Körper-Phasenräume (nach [Hah13]).

Der Zwei-Teilchen-Phasenraum im Schwerpunktsystem ist gegeben durch

dσ =1

4(2π)21Φ

p fp

s|M |2dΩ3, (6.8)

wobei p f den für beide Teilchen gleichen Impuls beschreibt. Durch Lorentz-Transformationgelangt man dabei vom Schwerpunktsystem von k3 und q45 = k4+ k5 in das Schwerpunktsy-stem von k4 und k5. Es ist zusätzlich noch über die Energie s45 = q2

45 zu integrieren.

Diese Parametrisierung ist in den von FormCalc erzeugten Programmen enthalten. Es istdamit jedoch schwierig, einen Wirkungsquerschnitt zu berechnen, der in der Laborsystem-Energie eines der beteiligten Endzustandsteilchen differentiell ist.

38


6.1.2 Parametrisierung über Winkel und Energien im Schwerpunktsystem

Eine andere Möglichkeit zur Parametrisierung des Phasenraums sind Energien und Winkel imSchwerpunktsystem (vgl. Abb. 6.2). Im Schwerpunktsystem verschwindet der Gesamtimpulsnach Voraussetzung, sodass die drei Vektoren im Endzustand eine Ebene aufspannen. Hierbeiist ein Vektor durch die Komponenten der beiden anderen Vektoren und den verschwinden-den Gesamtimpuls vollständig bestimmt. Die Winkel ϑ und η und die Energien k0

3 und k05

Abbildung 6.2: Parametrisierung der Vektoren eines 2 → 3-Prozesses im Schwerpunkt-system.[Hah05]

parametrisieren den Phasenraum vollständig. Die Vierervektoren werden durch

k3 = (k03 , ~k3), ~k3 =

Æ

(k03 )2−m2

3~e3,

k5 = (k05 , ~k5), ~k5 =

Æ

(k05 )2−m2

5~e5,

k4 =−k3− k5,

(6.9)

39


dargestellt, wobei die Einheitsvektoren durch die Winkel beschrieben werden

~e3 =

sinϑ0

cosϑ

,~e5 =

cosϑ 0 sinϑ0 1 0

− sinϑ 0 cosϑ

cosη sinξsinη sinξ

cosξ

=

cosϑ cosη sinξ + sinϑ cosξsinη sinξ

cosϑ cosξ − sinϑ cosη sinξ

.

(6.10)

Die infinitesimalen Volumenelemente können umgeformt werden zu

d 3ki

2k0i

= d 4kiδ(k2i −m2

i ) =12|~ki |2d |~ki |

k0i

dΩi =|~ki |2

∂ k0i

∂ |~ki |d |~ki |dΩi =

~ki

2d k0

i dΩi . (6.11)

Damit wird das Phasenraumelement zu

dΓ3 =|~k3||~k5|4(2π)5

d k03 d k0

5 dΩ3dΩ5δ(k24 −m2

4). (6.12)

Durch die Delta-Funktionδ(k24−m2

4) = δ[ f (cosξ )]wird die Integration über cosξ in dΩ5 =d cosξ dη ausgeführt und cosξ hat den Wert

cosξ =|~k4|2− |~k3|2− |~k5|2

2|~k3||~k5|mit |~k4|=

Æ

(k04 )2−m2

4 =q

(p

s − k03 − k0

5 )2−m24 , (6.13)

wobei durch die Substitution des Arguments der Delta-Funktion der Jacobi-Faktor 1/ f ′(cosξ ) =1/(2|~k3||~k5|) zum Integranden zu multiplizieren ist.

Aus der Bedingung |cosξ | ≤ 1 ergeben sich die Grenzen für die Energien und man erhältden Wirkungsquerschnitt als[Hah05]

σ =

(k05 )

max∫

m5

d k05

(k03 )

max∫

(k03 )

min

d k03

1∫

−1

d cosϑ

2π∫

0

dηdσ

d k05 d k0

3 d cosϑdη

mit (k05 )

max =p

s2−(m3+m4)

2−m25

2p

s

und (k03 )

max, min =1

2τ

h

σ(τ+m+m−)± |~k5|q

(τ−m2+)(τ−m2

−)i

,

σ =p

s − k05 , τ = σ2− |~k5|

2, m± = m3±m4.

(6.14)

40


6.1.3 Phasenraumparametrisierung mit explizitem Impulsübertrag

Bei der Rechnung mittels der Parametrisierung in Winkeln und Energien stellte sich heraus,dass der Wirkungsquerschnitt für cosϑ→ 0 stark ansteigt und für große Energien im Rahmender Rechengenauigkeit des Programms divergiert. Dies entspricht einem Verschwinden desImpulsübertrages. Der minimale Impuls- und Energieübertrag ergibt sich zu

|~q |min = |~pi | − |~k| − |~p f |

=q

E2i −m2

µ−ω−Ç

E2f−m2

µ

=q

E2i −m2

µ−ω−q

(Ei −ω− ν)2−m2µ

(6.15)

0¶ |ν |¶ Ei −ω−mµ (6.16)

aus der Impulserhaltung[ABB94].

Da die Effekte von inelastischen Wechselwirkungen mit den obigen Parametrisierungennicht erfaßt werden können, wurde der Phasenraum so parametrisiert, dass explizit über denImpulsübertrag q = (ν, ~q) integriert wird und somit eine Trennung des Matrixelements in lep-tonischen und hadronischen Tensor möglich wurde, die die Berücksichtigung von inelastischenWechselwirkungen mit dem Atom erlaubt. Hierbei wurde der Phasenraum nicht im Schwer-punktsystem, sondern im Laborsystem ausgewertet. Die Winkel werden analog zur vorigenParametrisierung definiert.

dΓ3 =d 4 p f

(2π)4d 4k(2π)4

d 4q(2π)4

2πδ(p2f −m2

µ)2πδ(k2)(2π)3δ (3)(~pi − ~p f − ~k − ~q)

× 2πδ(Ei − E f −ω− ν)

=d 3 p f

(2π)32E f

d 3k(2π)32ω

d ν d 3qδ(Ei − E f −ω− ν)δ(3)(~pi − ~p f − ~k − ~q)

=1

4(2π)6ω2dω dΩγ d ν |~q |2d |~q |dΩqδ(p

2f −m2

µ)

(6.17)

Die On-Shell-Bedingung δ(p2f − m2

µ) kann auch hier wieder als Bedingung δ[ f (cosξ )] ge-schrieben werden.

Acosξ +B sinξ =C

mit A= 2|~pi ||~q |cosϑ− 2ω|~q |,

B =−2|~pi ||~q | sinϑ cosη,

C = E2i − E2

f − 2|~pi |ω cosϑ+ω2− |~q |2

(6.18)

41


Als Lösung dieser goniometrischen Gleichung ergibt sich

cosξ =AC −B

pA2+B2−C 2

A2+B2,

sinξ =Ap

A2+B2−C 2+BCA2+B2

,

f ′(cosξ ) =A+Bcosξsinξ

.

(6.19)

Als Integrationsvariablen verbleiben dann noch |~q |, ν, cosϑ und η. Das Integral über den Ener-gieübertrag verschwindet dabei durch die Delta-Funktion δ(ν) im hadronischen Tensor. DasIntegrationsvolumen ist dann implizit beschrieben durch

|~q |¾ |~q |min,

−1¶ cosϑ ¶ 1,

0¶ η¶ 2π,

|cosξ |¾ 1.

(6.20)

6.2 Mehrdimensionale numerische Integration

Für die numerische Integration in mehrereren Dimensionen verwendet man oft ein Monte-Carlo-Integrationsverfahren. Hierbei wird der Integrand an N zufällig verteilten Stellen imIntegrationsvolumen ausgewertet.[Wei00]

I =∫

V

d x1 . . . d xn f (x1, . . . , xn)↔ IMC =VN

N∑

i=1

f (x i1, . . . x i

n). (6.21)

Unabhängig von der Dimension n des Integrationsvolumens ist der Fehler bei der einfachenMonte-Carlo-Integration O(1/

pN ). Diese Methode ist der Anwendung einer Kubaturregel

desto überlegener, je höher die Dimension des Integrationsvolumens ist. Bei einem Verfahrenmit fester Schrittweite h und Konvergenzordnung k ist der Fehler O(hk ) = O(N−k/n). Eineeinfache Monte-Carlo-Integration ist also beispielsweise dem Verfahren von Heun, das eineKonvergenzordnung von 2 besitzt, in Räumen der Dimension 5 oder höher überlegen. DerFehler der Monte-Carlo-Integration kann durch Optimierungen wie eine passend gewählteVerteilung, aus der die Zufallszahlen gezogen werden, weiter verbessert werden.

Bei der analytischen Integration oder eine numerischen Integration mittels Quadraturregelnist eine Beschreibung des Randes des Integrationsvolumens V erforderlich, die sehr schwierig

42

6.2 Mehrdimensionale numerische Integration

zu bestimmen sein kann. Durch Definition einer Funktion

f (~x) =

f (~x), falls ~x ∈V

0 sonst, (6.22)

die über dem Volumen V ⊃ V integriert wird, kann auch ein implizit definierter oder nichtzusammenhängender Integrationsbereich behandelt werden. Bei der Phasenraumintegrationist dies beispielsweise der Fall in der Parametrisierung mit explizitem Impulsübertrag bei derBedingung |cosξ |¶ 1. Das Volumen V muss dabei jedoch so gewählt werden, dass es möglichstnahe an V liegt, weil der Großteil der Punkte aus V sonst außerhalb von V liegt.

43

7 Rechnung mit verbesserter

Weizsäcker-Williams-Methode

Prozesse, die durch ein mit dem Kern ausgetauschtes Photon beschrieben werden können,können in der Weizsäcker-Williams-Näherung berechnet werden. Unabhängig zeigten 1934C. F. v. Weizsäcker[vW34] und E. J. Williams[Wil35], dass ein einfallendes Teilchen der La-dung Ze , Masse M und der Energie E = γM den gleichen Effekt auf ein ruhendes Elektronausübt wie ein Photonstrahl mit dem Spektrum

ρ(ω) =Z2α

πω2xK0(x)K1(x)− x2[K2

1 (x)−K20 (x)]

x1∼ 2Z2α

πω

ln

1.123γωbmin

− 12

,(7.1)

wobeiω die Photonenergie bezeichnet, bmin den minimalen Stoßparameter und x =ωbmin/γ

ist; K0 und K1 sind modifizierte Besselfunktionen. Die Weizsäcker-Williams-Methode wur-de von K. Mork und H. Olsen[MO65] auf das Bremsstrahlungsproblem angewandt, nach-dem L. M. Brown und R. P. Feynman die Strahlungskorrekturen auf Einschleifenniveau zumComptoneffekt berechnet hatten[BF52].

Diese Beziehung wurde von Gribov[G+62] kovariant formuliert und von K. J. Kim und Y.-S. Tsai auf einen durch die elektromagnetischen Strukturfunktionen W1,2 beschriebenen Kernverallgemeinert[KT72]. Die Wechselwirkung mit dem Kern wird dann durch einen Faktor

χ =1

2Mi

∫ tup

tmin

d tt 2

∫ (u−m)2

M 2i

d M 2f [(t − tmin)W2+ 2t ′minW1], (7.2)

wobei

tmin ≈ t ′min+ 2∆t ′min,

∆=M 2

f −M 2i

2Mi,

u =Æ

(pi + pN − k)2.

45

7 Rechnung mit verbesserter Weizsäcker-Williams-Methode

Die obere Grenze tup der t -Integration ist dabei von der Größenordnung m2, weil für t m2

der Integrand deutlich größer wird als der Integrand im exakten Ausdruck. Die exakte Formder oberen Grenze hängt dabei vom Formfaktor ab und muss empirisch durch Anpassung andas Ergebnis in Born’scher Näherung bestimmt werden.

Der Bremsstrahlungswirkungsquerschnitt σB in Weizsäcker-Williams-Näherung ergibt sichdann aus dem Comptonwirkungsquerschnitt σC über die Beziehung

dσB

dωdΩ′=α

π

Ei

E f ωχ

dσC

dΩ′. (7.3)

Da der Wirkungsquerschnitt als Funktion der Winkel im Laborsystem eine stark in Vorwärts-richtung gepeakte Funktion ist, bietet es sich an, die Integration über die Winkel im Ruhesy-stem des Myons durchzuführen, wo der Wirkungsquerschnitt eine langsam variierende Funk-tion von cosϑ′ ist. Hierbei ist die relativistische Näherung β ≈ 1 angewandt worden, so dassTerme der Form 1−βcosϑ′ sich zu 1− cosϑ′ vereinfachen.

46

8 Ergebnisse und Diskussion

In dieser Arbeit wurde das Matrixelement für Myon-Bremsstrahlung auf mehrere Arten be-stimmt. Die Bestimmung der Amplitude mit dem Framework FeynArts/FormCalc/LoopToolslieferte eine Fortran-Routine, die das quadrierte Matrixelement für beliebige Spinkonfigura-tionen ausrechnet und für unpolarisierte Wirkungsquerschnitte über die Spinkonfigurationenmittelt. Die Bestimmung der analytischen Ausdrücke für die Ein-Teilchen-irreduziblen Schlei-fendiagramme in der Ein-Photon-Austauschnäherung ermöglichte eine Bestimmung des ana-lytischen Ausdrückes des Matrixelementes durch Verwendung des Computer-Algebra-SystemsFORM[Ver00]. Damit ergibt sich ein Wirkungsquerschnitt, der differentiell in der Photon-energie und den Streuwinkeln ist.

Daraufhin wurde versucht, aus dem Matrixelement durch Phasenraumintegration einen Wir-kungsquerschnitt zu bestimmen, der einfach differentiell in der Photonenergie ist. Dazu wur-den verschiedene Parametrisierungen des Phasenraumes bei der numerischen Integration un-tersucht. Das mit FeynArts etc. bestimmte Matrixelement wurde mittels Zerlegung des Pha-senraums in Zwei-Teilchen-Unterphasenräume sowie mittels der Parametrisierung in Energienund Winkeln integriert. Die Zerlegung des Phasenraumes lieferte Ergebnisse, die um viele Grö-ßenordnungen kleiner als die bislang bekannten Wirkungsquerschnitte sind (vgl. Abb. 8.1).

Bei der Untersuchung mittels der Parametrisierung in Energien und Winkel stellte sich her-aus, dass das Matrixelement für sehr kleine Streuwinkel, also in Vorwärtsrichtung, sehr großwird. Dies hat zwei Gründe: Zum einen erreicht der Impulsübertrag q für kleine Streuwinkelsein Minimum qmin = m2

µω/Ei E f . Zum anderen wird der Propagator zwischen dem Vertex,an dem das Bremsstrahlungsphoton abgestrahl wird, und dem Vertex, an dem das virtuellePhoton zum Kern abgestrahlt wird, sehr klein

/p + /k +m(p + k)2−m2)

=/p + /k +m

Eω1− |~p|ω cosα), (8.1)

da |~p| für hohe Energien gegen E geht. Für hohe Energien werden diese Ausdrücke sehr kleinund numerisch instabil.

Aufgrund dieser Erkenntnis wurde der Phasenraum so parametrisiert, dass der Impulsüber-trag als Integrationsvariable direkt vorkam; das gestattet es, statt des Impulsübertrages das In-

47


1e-020

1e-018

1e-016

1e-014

1e-012

1e-010

1e-008

1e-006

0.0001

0.01

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Diffe

renti

elle

r W

irku

ng

squers

chnit

t/p

b

Energie des finalen Myons/GeV

s = 100 GeV

1e+008

1e+009

1e+010

1e+011

1e+012

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Diffe

renti

elle

r W

irku

ng

squers

chnit

t/p

b

Energie des finalen Myons/GeV

E = 50 GeV

Abbildung 8.1: Differentieller Wirkungsquerschnitt für eine Schwerpunktsenergie von100 GeV, berechnet mittels Phasenraumzerlegung. Zum Vergleich derWirkungsquerschnitt für 50 GeV in der Parametrisierung aus [KKP95]

1e-025

1e-020

1e-015

1e-010

1e-005

1

100000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Diffe

renti

elle

r W

irku

ng

squers

chnit

t/p

b

Energie des Photons/GeV

s = 100 GeV

1e-040

1e-030

1e-020

1e-010

1

1e+010

1e+020

1e+030

-1 -0.5 0 0.5 1

Diffe

renti

elle

r W

irku

ng

squers

chnit

t [p

b]

cos(theta)

Abbildung 8.2: Differentieller Wirkungsquerschnitt für eine Schwerpunktsenergie von100 GeV, berechnet mittels Energie-Winkel-Parametrisierung. Daneben istdie Abhängigkeit vom Streuwinkel für mehrere Myon- und Photonenergiengezeigt.

48

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

100000

1e+006

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Kelner-Kokoulin-Petrukhinfestes t_up

winkelabhängiges t_up

Abbildung 8.3: Ergebnisse der Weizsäcker-Williams-Näherung für eine feste obere Grenzetup = 2000m2

µ und für eine winkelabhängige obere Grenze tup = m2(1 +(E/mµ · ϑ)2)2, die von Kim und Tsai für Paarproduktion verwendet wurde.Die Energie des Myons betrug hier 1000 GeV. Die x-Achse zeigt die Photon-energie, die y-Achse den Wirkungsquerschnitt in µb.

verse des Impulsübertrages als Integrationsvariable zu verwenden und so den numerischen In-stabilitäten zu begegnen. Dafür wurde der analytisch bestimmte Ausdruck für das Matrixele-ment als Fortran-Routine implementiert. Es gelang hierbei nicht, die Bedingung |cosξ |¶ 1 ineine Grenze für die Integrationsvariablen zu überführen. Daher wurde sie als Vetofunktion inden Integranden implementiert. Da die Integrationsergebnisse mit mehreren Integrationsrou-tinen im Rahmen kleiner Fehler mit Null verträglich sind, findet der Integrationsalgorithmusanscheinend den physikalischen Bereich des Phasenraums nicht.

Da die Strahlungskorrekturen in einem on-shell-Renormierungsschema nur bei großen Ener-gien Einfluss haben und die numerischen Studien gezeigt haben, dass eine Kleinwinkelnähe-rung gerechtfertigt ist, wurde eine Rechnung nach der verbesserten Weizsäcker-Williams-Methodedurchgeführt, die eine Näherung im Hochenergiebereich für kleine Streuwinkel darstellt. Da-bei gelang es jedoch nicht, die empirische obere Grenze der Impuls-Integration so anzupassen,dass sich für mehr als eine Energie die Ergebnisse an die bereits bekannten Wirkungsquerschnit-te annähern.

49


Diese Arbeit hat gezeigt, dass die üblichen Methoden der Phasenraumintegration für dasBremsstrahlungsproblem nicht zum Erfolg führen. Die Weizsäcker-Williams-Methode gibt dieForm des Wirkungsquerschnittes gut wieder; es sollten weitere Studien zum Abschneidepara-meter des Impulsintegrals durchgeführt werden, um eine passende Form für das Bremsstrah-lungsproblem zu finden.

50

9 Danksagung

Ich danke meinen Eltern für ihre Unterstützung während meines Studiums. Ich danke HerrnProf. Dr. Dr. Wolfgang Rhode für die Stellung des Themas und die Betreuung der Arbeit undFrau Prof. Dr. Julia Tjus, die sich als Zweitgutachterin zur Verfügung gestellt hat. Außerdemdanke ich allen Mitarbeitern des Lehrstuhles Experimentelle Physik V für ihre Hilfe bei dieserArbeit. Stellvertretend möchte ich besonders Thorben Menne und Florian Scheriau hervor-heben, die mit fruchtbaren Diskussionen und eifrigem Korrekturlesen zum Gelingen dieserArbeit beigetragen haben.

51

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Eidesstattliche Versicherung

Ich versichere hiermit an Eides statt, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit mit dem Titel «Ein-schleifenkorrekturen zur Bremsstrahlung von Myonen im Feld eines Atomkerns» selbständigund ohne unzulässige fremde Hilfe erbracht habe. Ich habe keine anderen als die angegebenenQuellen und Hilfsmittel benutzt sowie wörtliche und sinngemäße Zitate kenntlich gemacht.Die Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.

Ort, Datum Unterschrift

Belehrung

Wer vorsätzlich gegen eine die Täuschung über Prüfungsleistungen betreffende Regelung einerHochschulprüfungsordnung verstößt, handelt ordnungswidrig. Die Ordnungswidrigkeit kannmit einer Geldbuße von bis zu 50000,00€ geahndet werden. Zuständige Verwaltungsbehör-de für die Verfolgung und Ahndung von Ordnungswidrigkeiten ist der Kanzler/die Kanzlerinder Technischen Universität Dortmund. Im Falle eines mehrfachen oder sonstigen schwerwie-genden Täuschungsversuches kann der Prüfling zudem exmatrikuliert werden (§ 63 Abs. 5Hochschulgesetz – HG –).

Die Abgabe einer falschen Versicherung an Eides statt wird mit Freiheitsstrafe bis zu 3 Jahrenoder mit Geldstrafe bestraft.

Die Technische Universität Dortmund wird ggf. elektronische Vergleichswerkzeuge (wiez.B. die Software «turnitin») zur Überprüfung von Ordnungswidrigkeiten in Prüfungsverfah-ren nutzen.

Die oben stehende Belehrung habe ich zur Kenntnis genommen.

Ort, Datum Unterschrift

Einschleifenkorrekturen zur Bremsstrahlung von Myonen im Feld...

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