Einsteins kosmologische KonstanteUnsinn oder eine neue Kraft?

Dominik Vilsmeier

21. November 2013

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Inhaltsverzeichnis

1 Die Einstein-Gleichung erweitert um eine kosmologische Konstante Λ 31.1 statische Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 expandierendes Universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Λ als Teil des Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Neue Erkenntnisse fur Λ 6= 0 52.1 Nobelpreis Physik 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Das Supernovae Cosmology Project . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Messmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Großenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Leuchtkraftabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Messung der Supernovae Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Messung der Helligkeit, Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Ruckschlusse auf ΩM ,ΩΛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.3 neue Geschichte des Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Bedeutung von Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

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1 Die Einstein-Gleichung erweitert um eine kosmologischeKonstante Λ

1.1 statische Losung

Als Einstein die heute nach ihm benannte, beruhmte Einstein-Gleichung aufstellte warer, wie viele andere zu seiner Zeit, fest davon uberzeugt, man wurde in einem statischenUniversum leben. Um das zu realisieren fuhrte er eine sog. kosmologische Konstante Λin die Gleichung ein:

Gµν =8πG

c4Tµν + Λgµν (1)

Bei Betrachtung der 00- und der 11-Komponente ergeben sich wieder die Friedmann-Gleichungen, erweitert um eben diesen Parameter Λ:

(a

a

)2

=8πG

3c2ε+

c2Λ

3− c2κ

a2R20

(2)

a

a= −4πG

3c2(ε+ 3p) +

c2Λ

3(3)

Wir wollen nun Einsteins Fall eines statischen Universums betrachten. Es gilt also:a ≡ a ≡ 0. Außerdem kann der Materiedruck p vernachlassigt werden, also p = 0. Damitergibt sich:

0 =8πG

3c2ε+

c2Λ

3− c2κ

a2R20

(4)

0 = −4πG

3c2ε+

c2κ

3⇔ c2Λ

3=

4πG

3c2(5)

Einsetzen in (4) ergibt:

0 =4πG

c2− c2κ

a2R20

(6)

Damit die Gleichung erfullt ist muss also κ = +1 gelten. Somit folgt fur den Skalen-parameter a:

3

a =c2

√4πGεR0

(7)

Dieser ist also wie gefordert konstant. Setzt man weiter den Skalenparameter gleich1 und nimmt fur die Dichte ρ = ε

c2die kritische Dichte, bei der die Geometrie gerade

den Ubergang von einem flachen zu einem geschlossenen Universum darstellt, an, ρ =0, 9·10−26 kg

m3 (1, S. 381), erhalt man einen Weltradius von R0 ≈ 3, 3GPc = 1, 04·1026m.

1.2 expandierendes Universum

Wie jedoch Alexander Friedmann nachweisen konnte ist diese von Einstein gewahltestatische Losung instabil gegenuber der Eingabeparameter, wie z.B. der MassendichteρM = εM

c2, was in einem physikalischen Zusammenhang nicht akzeptabel ist. Die Instabi-

litat selbst werde ich im Rahmen dieses Vortrages nicht aufzeigen, kann jedoch hier (1,S. 396) nachgelesen werden.Ebenso konnte Edwin Hubble mittels astronomischer Beobachtungen zeigen, dass dasUniversum expandiert. Einstein selbst soll nach dieser Erkenntnis im Gesprach mit Ge-orge Gamow von der “großten Eselei meines Lebens“gesprochen haben.Aufgrund dieser neuen Entwicklung ging man dazu uber die kosmologische Konstantegleich Null zu setzen und den bereits bekannten Spezialfall der Einstein-Gleichung zuerhalten.

1.3 Λ als Teil des Kosmos

Als kleinen Vorgriff auf eine spatere, aktuellere Interpretation von Λ werde ich an die-ser Stelle kurz besprechen, wie dieser Konstante auch eine andere Rolle zugesprochenwerden kann. Ursprunglich wurde Λ wirklich als eine kosmoligische Konstante ohne wei-tere physikalische Bedeutung in die Einstein-Gleichung eingefuhrt um mathematisch einstatisches Universum zu ermoglichen. Man konnte diese Erweiterung aber auch als einzusatzliches Element des Kosmos verstehen, die bei der ursprunglichen Aufstellung derGleichung, insbesondere des Energie-Impuls-Tensors, “vergesse“wurde. Wir wollen Λ al-so ebenso wie der Materie und Strahlung eine Energiedichte und einen Druck zuweisenund dieses somit in einen zweiten Energie-Impuls-Tensor verpacken:

8πG

c4T ′µν =

8πG

c4

[(ε′ − p′

)uµuν + p′gµν

] != Λgµν (8)

In der 00-Komponente fallt der Druck raus (wegen g00 = 1) und somit ergibt sichein Ausdruck fur die Energiedichte in Abhangigkeit von Λ. Bei Betrachtung der 11-Komponente fallt der erste Term raus (weil uµ = (1, 0, 0, 0) im Ruhesystem), es ergibtsich somit ein Ausdruck fur den Druck:

4

εΛ ≡ ε′ =c4

8πGΛ pΛ ≡ p′ = −

c4

8πGΛ ⇔ εΛ = −pΛ (9)

Um an dieser Stelle jedoch eine empirische Uberprufung dieses Zusammenhangs zugewahrleisten schreibt man vorsichtshalber pΛ = w · εΛ und versucht w Experiment zubestimmen.

2 Neue Erkenntnisse fur Λ 6= 0

2.1 Nobelpreis Physik 2011

Im Jahr 2011 wurden die Leiter zweier langjahriger wissenschaftlicher Projekte zur Ver-messung des Beitrags Λ zur kosmischen Expansion mit dem Physiknobelpreis ausgezeich-net. Saul Perlmutter leitet das Supernovae Cosmology Project und Brian P. Schmidt undAdam G. Riess das High-Z Supernovae Search.

Saul Perlmutter, oben mitte

Nobelpreis Physik 2011:

Saul Perlmutter

Brian P. Schmidt

Adam G. Riess

Brian P. Schmidt, rechts

Adam G. Riess, mitte

2.2 Das Supernovae Cosmology Project

Die Idee zur Messung der kosmischen Expansion mittels Supernovae stammt eigentlichschon von Walter Baade und Fritz Zwicky (1930). Jedoch war man damals mit dem

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Problem konfrontiert, dass Supernovae sehr unterschiedliche Helligkeiten haben konnenund da eine solche Messung der Helligkeit erforderlich ist, konnte man die einzelnen Mes-sungen praktisch nicht vergleichen (d.h. bei Messungen unterschiedlicher Helligkeit warnicht klar ob diese aus einem unterschiedlichen Abstand der Supernovae oder lediglichunterschiedlichen Typen hervorgingen).Die Idee wurde wieder verworfen bis 1985 entdeckt wurde, dass sich Supernovae in ver-schiedene Klassen, identifizierbar an ihrem Spektrum, unterteilen lassen. Die Klasse derSupernovae Ia wies hierbei besonders wenige Unterschiede in den einzelnen Helligkeitenauf. Da man nun ein gutes Referenzklasse zur Messung der kosmischen Rotverschiebunghatte, gewann diese Idee wieder an neuem Interesse und das Supernovae CosmologyProject entstand.Das Projekt profitierte nicht nur von dem Vorhandensein solcher guter “Standardkerzen“(SupernovaeIa) sondern auch vom technologischen Fortschritt zu dieser Zeit, insbesondere Kamera-sensoren und fortschrittliche Computersoftware zur automatischen Analyse der Daten.Dennoch hatte das Projekt mit einigen anfanglichen Schwierigkeiten zu kampfen einigedavon die Supernovae selbst betreffen. Da diese ein extrem seltenes Ereignis sind (2 /Galaxie und Jahrtausend) und vollig zufallig auftreten ist es uberhaupt schon schwereine zu entdecken. Diese dann zu analysieren ist praktisch unmoglich, da sie nach be-reits wenigen Wochen so stark abgeklungen ist, dass eine Messung nicht mehr moglichist, Teleskopzeiten an den großen Teleskopen der Welt aber schon Monate im Vorausbeantragt werden mussen.Man fand aber eine Losung: Statt nur ein paar hundert Galaxien auf einmal zu be-obachten war es moglich unter Verwendung eines selbst gebauten Weitwinkelobjektivsmehrere tausend Galaxien auf einmal zu beobachten. Dies tat man in einem bestimm-ten Rhythmus und zwar nach Beginn der Neumondphase, so dass man zu Beginn dernachsten Neumondphase eine (storungsfreie) Analyse der entdeckten Supernovae mittelsder Teleskope durchfuhren konnte ohne das diese schon wieder abgeklungen waren. Daswar moglich, da man aufgrund der großen Anzahl an beobachteten Galaxien sicher seinkonnte immer mind. eine Supernova beobachtet zu haben. So konnte man die Teleskop-zeiten schon weit im Voraus beantragen. Hiermit war die großflachige Vermessung vonSupernovae geboren und das Projekt (wie auch andere) machten große Fortschritte.

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Aufnahmestrategie des Supernovae Cosmology Project (4)

Was man damals eigentlich mit solchen Messungen nachweisen wollte, war die damalsgangige Meinung, die Expansion des Universum wurde immer langsamer vonstattengehen, d.h. abbremsen. Was spater jedoch tatsachlich gemessen wurde war das genauGegenteil!

2.3 Messmethoden

2.3.1 Großenklassen

Um die Messergebnisse sinnvoll auswerten zu konnen und die auf die Theorie anwendenzu konnen sind im Vorhinein einige theoretische Uberlegungen zu den Messungen erfor-derlich.Die Helligkeit der Sterne wird in der Astrophysik in sog. Großenordnungen angegeben.Diese Einteilung stammt bereits aus dem Altertum. Misst man zwei unterschiedlicheIntensitaten I1 > I2, so sind die zugehorigen Großenklassen m1 und m2 definiert als:

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m1 −m2 = −2, 5 · log

(I1

I2

)(10)

D.h. die Großenklasse eines Sterns wachst mit abnehmender Helligkeit. Nehmen wiran, beide Objekte hatten dieselbe Strahlungsleistung L. Dann ergibt sich folgender Zu-sammenhang der Intensitaten mit den Abstanden zum Beobachter

L = 4πr21I1 = 4πr2

2I2 (11)

Die Strahlungsleistung fließt hier jeweils durch eine Kugelschale des Radius ri, eswird eine zugehorige Intensitat Ii gemessen. Setzt man diesen Zusammenhang fur dieIntensitaten in (2.4.1) ein, so erhalt man einen Zusammenhang der Großenklassen mitden Abstanden:

m1 −m2 = 5 · log

(r1

r2

)(12)

Um nun mehrere Sterne wirklich vermessen und miteinander vergleichen zu konnen,bietet sich die Wahl einer Referenzgroße an. Wir wahlen also r2 = 10 pc als Referenzab-stand und setzen m2 = M als “absolute Helligkeit“. Außerdem wollen wir spater r1 inEinheiten von Mpc angeben und schreiben deshalb (unter Verwendung der Logarithmus-Gesetze):

m1 −M = 5 · log

(r1

Mpc

)+ 5 · log

(Mpc

10pc

)= 5 · log

(r1

Mpc

)+ 25 (13)

Hiermit haben wir nun einen Zusammenhang zwischen der beobachtbaren Großen-klasse eines Sterns und seinem sog. Leuchtkraftabstand r1 ≡ Dc zu uns.

2.3.2 Leuchtkraftabstand

Sei L[W ] die Leuchtkraft eines Sterns und S[Wm2

]der auf der Erde zum Zeitpunkt t0

ankommende Strahlungsstrom. Dann gilt:

S =L

4πd2L

(14)

Wobei dL der sog. Leuchtkraftabstand ist. Zum Zeitpunkt t0 hat die Erde den AbstandDca(t0) vom zu messenden Objekt, wobei Dc der Koordinatenabstand oder mitbewegteAbstand ist. Nun gilt auch, dass sich die Energie der Photonen mit dem Skalenfaktorverandert, namlich:

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ν0 =a(t1a(t0)

hν1 (15)

Ebenso ist die Zahl der pro Zeiteinheit auf der Erde ankommenden Photonen um denSkalenfaktor vermindert:

∂N0

∂t=a(t1)

a(t0)

∂N1

∂t(16)

Beides schlagt sich im Strahlungsstrom S nieder und so ergibt sich:

S =L

4πa20D

2c

(a1

a0

)2

(17)

Ein Vergleich von (14) und (17) liefert einen Zusammenhang des Leuchtkraftabstandsmit der Rotverschiebung z und dem Koordinatenabstand (fur a0 = 1):

dL = Dc(z + 1) (18)

Wobei sich der mitbewegte Abstand Dc wiederum als Funktion Rotverschiebung undder beiden relativen Beitrage der Dichte von Masse und Λ zur kritischen Energie, ΩM ,ΩΛ.Wir nehmen ein nahezu flaches Universum an (d.h. κ = 0, heutzutage sehr gut bestatigtdurch Messungen der Fluktuationen der Hintergrundstrahlung) und schreiben die kriti-sche Dichte in Abhangigkeit der Masse und Λ (Energiedichte skaliert mit a−4 und Beitragder Raumkrummung ist auf großen Maßstaben ≈ 0):

εM + εΛ = εc ⇔ ΩM + ΩΛ = 1 (19)

Der Koordinatenabstand hangt nun in folgender Weise von z,ΩM ,ΩΛ ab (2, S. 7-8)(fur die Herleitung (1, S. 502 ff.)):

DL(z,ΩM ,ΩΛ) =1 + z

H0

√|κ|S(√|κ|∫ z

0

[(1 + z′)2(1 + ΩMz

′)− z′(2 + z′)ΩΛ

]− 12 dz′

)(20)

mit

ΩM + ΩΛ < 1→ S = sin(x), κ = 1− ΩM − ΩΛ

ΩM + ΩΛ = 1→ S = x, κ = 1

ΩM + ΩΛ > 1→ S = sinh(x), κ = 1− ΩM − ΩΛ

Dieser (fur beide unterschiedliche) Zusammenhang mit den Dichten von Masse und Λkann genutzt werden um Werte fur genau diese aus den anderen experimentellen Datenzu bestimmen (nur qualitativ).

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2.4 Messung der Supernovae Ia

2.4.1 Messung der Helligkeit, Normierung

Bei der Messung mehrerer Supernovae vom Typ Ia stellt man fest, dass es auch beidiesen noch leichte Schwankungen in der absoluten Helligkeit gibt, wie in folgender Grafikerkennbar:

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Abb. 2.4.1 (3)

Jedoch stellt man auch fest, dass die helleren Supernovae eine langere Abklingzeit11

haben. Somit kann man alle Supernovae auf eine bestimmte Helligkeit normieren, indemman ihr Abklingen auf der zeitlichen Achse entsprechend anpasst (s. Abb. 2.4.1 unten)und erhalt nun die Moglichkeit, die experimentellen Daten gut vergleichen zu konnen.

2.4.2 Ruckschlusse auf ΩM ,ΩΛ

Misst man nun fur eine solche Supernova ihre Rotverschiebung z und die scheinbareHelligkeit m, so ergibt sich nach (13),(18),(20) ein Zusammenhang mit ΩM ,ΩΛ. D.h.eine bestimmte Rotverschiebung und eine bestimmte Helligkeit kann nur bei bestimmtenWerten dieser Parameter zustande kommen. Die folgende Abbildung veranschaulicht das:

Abb. 2.4.2 (3)

Wie man sieht liegen die moglichen Werte fur ΩM ,ΩΛ auf einer Geraden. Wird dieRotverschiebung und die Großenklasse einer Supernova gemessen sind das gerade Indizi-en fur den momentanen Abstand zu dieser und den Faktor um den sich der Abstand seitder Emission des Lichts geandert hat. Ein großerer Wert von ΩM hatte eine schwachereExpansion zur Folge und damit die Ubereinstimmung der Messergebnisse nicht verletztwird muss dies durch einen großeren Wert von ΩΛ kompensiert werden. Deshalb liegen

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die Werte auf einer Gerade. Der Spielraum (hellblau) parallel zu dieser Gerade resultiertaus einer Messungenauigkeit der Großenklasse. Misst man nun eine zweite Supernova beieiner hoheren Rotverschiebung kann man die Parameter durch die Schnittmenge beidermoglicher Konfigurationen eingrenzen:

Abb. 2.4.2 (3)

Wie man hier sieht, ist die Linie der moglichen Werte der zweiten Supernova gegenuberder ersten rotiert. Das liegt an dem Skalierungsverhalten der Massendichte (ρ a−3),sowie ρΛ = const. Da die zweite Supernova bei einer hoheren Rotverschiebung gemessenwurde, war der Skalenfaktor damals noch kleiner und der Beitrag von ΩM zur Expansionstarker gewichtet. Deshalb bedarf es bei gleichem ΩM einen hoheren Wert von ΩΛ umdas Ubereinstimmen der Messergebnisse zu gewahrleisten.Vermisst man also nun zwei Supernovae bei verschiedenen Rotverschiebungen, so lasstsich daraus die Moglichkeiten der Parameter einschranken. Je hoher die Rotverschiebung

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der gemessen Supernovae desto kleiner ist die Schnittmenge und desto genauer lassen sichdie Parameter bestimmen. Auch eine hohere Sicherheit in der Messung der Großenklassenwirkt sich positiv auf die Genauigkeit aus. Die Messung vieler Supernovae im (damals)hohen Rotverschiebungsbereich ergaben folgendes Diagramm:

Abb. 2.4.2 (3)

Wie hier zu beobachten ist, stimmen Messungen fur niedrige z noch mit einem Modellin dem ΩΛ = 0 ist uberein, fur hohere z jedoch sieht man eine Abweichung. Die Datenlassen sich wieder fitten indem man zu (ΩM ,ΩΛ) = (0.5, 0.5) korrigiert. Heutzutagelassen sich die Parameter auf (ΩM ,ΩΛ) = (0.28, 0.72) sehr genau festlegen.

2.4.3 neue Geschichte des Kosmos

Aus diesen neuen Erkenntnissen ergibt sich auch eine neue Geschichte des Kosmos. Dieursprungliche Annahme war, dass sich das Universum nach einer Phase der inflationarenExpansion nun mit immer geringerer Geschwindigkeit ausbreiten wurde:

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Abb. 2.4.3 (3)

Hierbei ist nicht festgelegt, ob das Universum fur immer expandieren oder in einem“Big Crunch“enden wird. Wie man erkennt jedoch passen die Messdaten in keines dieserModelle sondern es liegt eine Beschleunigung der Expansion vor. Damit ergibt sich dieneue Geschichte des Kosmos in etwa so:

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Abb. 2.4.3 (3)

2.5 Bedeutung von Λ

Abschließend bleibt noch die Frage offen, woraus diese “dunkle Energie“denn nun resul-tiert. Eine Hypothese nimmt als Moglichkeit ein skalares Feld an, das im fruhen Kosmoszur inflationaren Ausbreitung des Universums gefuhrt hat und seitdem stark abgeklun-gen ist. Ein solches Feld wird Quintessenz genannt (fur eine theoretische, mathematischeBetrachtung s. (1, S. 549)).Alles in allem ist die Suche nach der dunklen Energie noch nicht abgeschlossen und esbleiben noch viele Fragen zu klaren, was auch in standig neuen Projekten zu diesem The-ma Ausdruck findet. Z.B. soll im Jahr 2020 ein neuer Satellit namens “Euclid“die Arbeitaufnehmen und die Einflusse von dunkler Materie und dunkler Energie vermessen.

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Literatur

1 Eckhard Rebhan: Theoretische Physik: Relativitatstheorie und Kosmologie, Springer-Verlag 2012

2 Ariel Goobar, Saul Perlmutter: Feasibility of Measuring the Cosmological Constant Λand Mass Density Ω using Type Ia Supernovae, Astrophysical Journal, 1995

3 Saul Permutter: Nobel Lecture: Measuring the accelerating of the cosmic expansionusing supernovae, 2011

4 Saul Perlmutter: Supernovae, Dark Energy, and the Accelerating Universe, PhyicsToday, 2003

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