Elektrotechnik1 Beispiele

Elektrotechnik 1 (Beispiele)TU Wien Elektrotechnik WS 2007

Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen ber die Grundlagen der Elektrotechnik

1.

Zeit. Raum. Bewegung....................................................................................................... 7 1.1. Laufweg des Lichts .................................................................................................... 7 1.2. Atomare Abmessungen .............................................................................................. 7 1.3. Entfernungen .............................................................................................................. 7 1.4. Richtungen ................................................................................................................. 8 1.5. Krper auf Kreisbahn ................................................................................................. 9 2. Krper und Teilchen. Masse und Stoffmenge.................................................................. 10 2.1. Mittlere Massendichte .............................................................................................. 10 2.2. Teilchendichte in Kochsalz, Germanium und Kupfer.............................................. 10 2.3. Atome je Elementarwrfel ....................................................................................... 11 2.4. Atomare Masseneinheit............................................................................................ 11 2.5. Ionen in einer Lsung............................................................................................... 11 3. Impuls und Kraft. Kraftfelder. Allgemeine Felder........................................................... 12 3.1. Bremsen eines Fahrzeuges ....................................................................................... 12 3.2. Neutronensterne ....................................................................................................... 12 3.3. Beschleunigen eines Elektrons................................................................................. 13 3.4. Coulomb-Wechselwirkung zweier Elektronen ........................................................ 14 3.5. Coulomb-Kraft und Gravitationskraft...................................................................... 15 4. Arbeit und Leistung. Energie. Wrme und Temperatur................................................... 15 4.1. Normalprojektion ..................................................................................................... 15 4.2. Homogenes Kraftfeld ............................................................................................... 16 4.3. Zuggarnitur............................................................................................................... 17 4.4. Crash-Testanlage...................................................................................................... 18 4.5. Handhabungsgert.................................................................................................... 18 4.6. Wasserkraftwerk....................................................................................................... 19 4.7. Brunnenpumpe ......................................................................................................... 19 4.8. Energiestrom der Sonne ........................................................................................... 20 4.9. Solarthermisches Kraftwerk..................................................................................... 21 4.10. Anschlussleistung eines Durchlauferhitzers......................................................... 21 5. Schwingungen und Wellen. Licht .................................................................................... 22 5.1. Kenngren einer harmonischen Schwingung......................................................... 22 5.2. Schallwelle ............................................................................................................... 22 5.3. Elektromagnetische Welle........................................................................................ 23 5.4. Ultrakurzwellenbereich ............................................................................................ 23 5.5. Strahlstrke............................................................................................................... 23 6. Elektrische Ladungen, Strme und Spannungen.............................................................. 24 6.1. Raumladungsdichte .................................................................................................. 24 6.2. Ladung und Stromstrke .......................................................................................... 24 6.3. Laden und Entladen.................................................................................................. 25 6.4. Driftgeschwindigkeit................................................................................................ 26 6.5. Faraday-Konstante ................................................................................................... 26 6.6. Ladungstransport durch Ionen.................................................................................. 26 6.7. Wasserstofferzeugung .............................................................................................. 27 6.8. Herstellen von Kupferfolie....................................................................................... 27 6.9. Vernickelung eines Blechteils.................................................................................. 28 6.10. Das Elektronvolt................................................................................................... 28 6.11. Reihenschaltung von Widerstnden ..................................................................... 29 6.12. Parallelschaltung von Widerstnden .................................................................... 30 6.13. Leistung an einem Ohmschen Widerstand........................................................... 30 6.14. Reichenschaltung Diode-Widerstand................................................................... 33 Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 2 / 205

Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen ber die Grundlagen der Elektrotechnik 6.15. Stromaufnahme von Glhlampen......................................................................... 33 6.16. Reihenschaltung von Glhlampen ....................................................................... 34 6.17. Stromaufnahme einer Zuggarnitur ....................................................................... 35 6.18. Antrieb eines Schiffskrans ................................................................................... 35 6.19. Schleifmaschinenantrieb ...................................................................................... 36 6.20. Beschleunigungsantrieb ....................................................................................... 36 7. Physikalische Gren, Einheiten und Dimensionen ........................................................ 37 7.1. Abgeleitete Dimensionen ......................................................................................... 37 7.2. Abgeleitete Einheiten ............................................................................................... 38 7.3. Einheiten des elektrostatischen cgs-Systems ........................................................... 38 7.4. Aufstellen einer Zahlenwertgleichung ..................................................................... 39 7.5. Aufstellen einer Grengleichung ........................................................................... 40 7.6. Stefan-Boltzmann-Gesetz (nicht im Buch) .............................................................. 41 7.7. Atomares Einheitensystem (au, nicht im Buch)....................................................... 42 7.8. Loschmidt-Konstante (nicht im Buch)..................................................................... 43 8. Stromkreise und einfache Stromkreiselemente ................................................................ 44 8.1. Anwendung der Kirchhoff-Regeln........................................................................... 44 8.2. Verzweigter Strom ................................................................................................... 45 8.3. Erweitern einer Schaltung ........................................................................................ 46 8.4. Ersatzwiderstand ...................................................................................................... 46 8.5. Dreieck-Stern-Umwandlung .................................................................................... 47 8.6. Stern-Polygon-Umwandlung.................................................................................... 48 8.7. Ersatzwiderstand ...................................................................................................... 49 8.8. Ersatzwiderstand ...................................................................................................... 49 8.9. Ersatzwiderstand eines Zweitors.............................................................................. 50 8.10. Widerstandskette .................................................................................................. 50 8.11. Teilerregeln .......................................................................................................... 51 8.12. Spannungsteiler .................................................................................................... 51 8.13. Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen ................................................... 52 8.14. Erforderliche Quellenspannung............................................................................ 52 8.15. Erforderlicher Widerstand.................................................................................... 53 8.16. Abgegebene Leistung von Spannungsquellen...................................................... 53 8.17. Ersatzquelle einer Batterie ................................................................................... 54 8.18. Grundstromkreis................................................................................................... 54 8.19. quivalenz von linearen Quellen......................................................................... 55 8.20. Ersatzschaltung des aktiven Zweipols.................................................................. 56 8.21. Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle .................................................... 57 8.22. Ersatzquellen ........................................................................................................ 58 8.23. Messfehler bei Strommessung ............................................................................. 59 8.24. Messfehler bei Spannungsmessung...................................................................... 60 8.25. Messbereichserweiterung ..................................................................................... 61 8.26. Wirkungsgrad einer Spannungsquelle.................................................................. 61 8.27. Leistungsumsatz im Grundstromkreis.................................................................. 62 8.28. Nichtlineare Quellen ............................................................................................ 63 8.29. Schaltung mit Stromquelle ................................................................................... 64 8.30. Strommessgert .................................................................................................... 65 8.31. Spannungsmessgert ............................................................................................ 65 8.32. Teilerschaltung ..................................................................................................... 66 8.33. Belasteter Spannungsteiler ................................................................................... 67 8.34. Verlustleistung eines Photowiderstandes ............................................................. 68 8.35. Glhlampen mit Vorwiderstand ........................................................................... 69 Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 3 / 205

Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen ber die Grundlagen der Elektrotechnik 8.36. Lampenschaltung ................................................................................................. 70 8.37. Stromkreis mit Lichtbogen................................................................................... 70 8.38. berbrcktes T-Glied........................................................................................... 71 8.39. Wheatstone-Brcke .............................................................................................. 72 8.40. Brckenschaltung zur Messwertumsetzung ......................................................... 73 8.41. Thomsonbrcke.................................................................................................... 74 8.42. Transistorverstrker in Emitterschaltung ............................................................. 75 8.43. Transistorverstrker in Kollektorschaltung.......................................................... 76 8.44. Verstrkerschaltung.............................................................................................. 77 8.45. Zweitorparameter ................................................................................................. 78 8.46. Parameter einer Ersatzquelle................................................................................ 79 8.47. Umsetzung und bertragung einer Messgre.................................................... 80 8.48. Nichtlineares Stromkreiselement ......................................................................... 81 8.49. Ersatzschaltung fr eine Diode ............................................................................ 83 8.50. Schaltung mit Diode............................................................................................. 84 8.51. Diodenschaltung als UND-Gatter ........................................................................ 85 8.52. Schaltung mit Dioden........................................................................................... 86 8.53. Gleichrichter......................................................................................................... 87 8.54. Gleichrichterschaltung ......................................................................................... 88 8.55. Gleichrichter mit Zusatzspannung ....................................................................... 88 8.56. Abschneiden einer positiven Spitze ..................................................................... 89 8.57. Schaltung mit Dioden und Spannungsquellen ..................................................... 90 8.58. Einfache Spannungsstabilisierung........................................................................ 91 8.59. Spannungsquelle................................................................................................... 92 8.60. Stromquelle .......................................................................................................... 93 9. Das elektrische Feld ......................................................................................................... 94 9.1. Elektrostatisches Feld............................................................................................... 94 9.2. Elektrostatische Abschirmung.................................................................................. 94 9.3. Tropfengenerator...................................................................................................... 95 9.4. Streifenleitung .......................................................................................................... 95 9.5. Bauvolumen eines Kondensators ............................................................................. 96 9.6. Metallpapier-Kondensator........................................................................................ 97 9.7. Drehkondensator ...................................................................................................... 98 9.8. Kapazitive Anordnung mit verschiebbarer Platte .................................................... 99 9.9. Plattenanordnung.................................................................................................... 100 9.10. Elektromechanischer Wandler ........................................................................... 101 10. Schaltungen mit Kondensatoren................................................................................. 102 10.1. Anfangsstrom ber einen Schalter ..................................................................... 102 10.2. Umladevorgang .................................................................................................. 103 10.3. Spannungsaufteilung in einer RC-Schaltung ..................................................... 104 10.4. Spannungssprung an RC-Schaltung ................................................................... 105 10.5. Brckenschaltung mit Kondensator ................................................................... 106 10.6. Umladung ........................................................................................................... 107 10.7. Kondensator-Reihenschaltung ........................................................................... 108 10.8. Rechteckimpuls an RC-Kombination................................................................. 109 10.9. Wechselanteil einer Spannung ........................................................................... 110 10.10. Ausfiltern des Mittelwertes ................................................................................ 111 10.11. Differentiation durch RC-Glied ......................................................................... 112 10.12. Integration durch RC-Glied................................................................................ 113 10.13. Operationsverstrker .......................................................................................... 114 10.14. Periodisches Rechtecksignal an RCD-Kombination.......................................... 116 Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 4 / 205

Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen ber die Grundlagen der Elektrotechnik 10.15. Laden eines Kondensators mit Spannungsbegrenzung ...................................... 117 10.16. Laden eines Kondensators mit Parallelzweig..................................................... 118 10.17. Ladungspumpe ................................................................................................... 119 10.18. Schaltung mit vernderlicher Kapazitt ............................................................. 120 10.19. Kondensatormikrophon...................................................................................... 121 10.20. Influenz............................................................................................................... 122 11. Ergnzendes zum elektrischen Feld ........................................................................... 123 12. Verteilte elektrische Strme ....................................................................................... 123 12.1. Kupferdraht mit Silberberzug........................................................................... 123 12.2. Erforderlicher Leitungsquerschnitt .................................................................... 124 12.3. berspannungsableiter ....................................................................................... 125 12.4. Stromeinspeisung in Platte ................................................................................. 126 12.5. Widerstand eines keilfrmigen Leiters .............................................................. 127 12.6. Widerstand einer Scheibenhlfte........................................................................ 128 12.7. Umlenkung ......................................................................................................... 129 12.8. Stromfhrung ber einen Blechkegel................................................................. 130 12.9. Flchenstromdichte ............................................................................................ 131 12.10. Flchenstromverteilung...................................................................................... 131 13. Elementare Methoden der Berechnung elektrischer Felder ....................................... 132 13.1. Elektrisches Moment eines Molekls ................................................................ 132 13.2. Elektrsiches Moment einer Ladungsanordnung................................................. 132 13.3. Dipolantenne ...................................................................................................... 133 13.4. Drei Punktladungen............................................................................................ 134 13.5. Quadrupol........................................................................................................... 135 13.6. Elektrisches Feld zweier Linienleiter................................................................. 136 13.7. Bndelleiter ........................................................................................................ 137 13.8. Dreileiteranordnung ........................................................................................... 139 13.9. Geladene Kreislinie ............................................................................................ 141 13.10. Elektronenoptische Anordnung.......................................................................... 143 13.11. Maximalfeldstrke an Doppelleitung ................................................................. 144 13.12. Kugelkondensator............................................................................................... 145 13.13. Halbgefllter Kugelkondensator ........................................................................ 145 13.14. berschusselektronen......................................................................................... 146 13.15. Widerstand in einer Flssigkeit.......................................................................... 146 13.16. Kapazitt zweier Metallkugeln........................................................................... 147 13.17. Strung eines Homogenfeldes............................................................................ 147 13.18. Abschtzung der Leitfhigkeit ........................................................................... 148 13.19. Ohmsche Beeinflussung..................................................................................... 149 13.20. Zhlrohr.............................................................................................................. 150 13.21. Entwurf eines Hochspannungskondensators...................................................... 151 13.22. Grtspannung eines Kabels.............................................................................. 152 13.23. Querleitwerte eines Koaxialkabels..................................................................... 153 13.24. Auslegung eines Koaxialkabels ......................................................................... 154 13.25. Hochspanungsdurchfhrung............................................................................... 155 13.26. Kabel mit geschichtetem Dielektrikum.............................................................. 156 13.27. Koaxialkabel mit Fhrungsscheiben .................................................................. 157 13.28. Zylindrische Anordnung .................................................................................... 158 13.29. Geschwindigkeitsverteilung ............................................................................... 159 13.30. Elektronen auf Kreisbahn................................................................................... 160 13.31. Potentialsteuerung .............................................................................................. 161 13.32. Teilkapazitten dreier koaxialer Rohre .............................................................. 162 Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 5 / 205

Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen ber die Grundlagen der Elektrotechnik 13.33. Joule-Verluste in Blechteilen ............................................................................. 163 13.34. Stromfhrung ber Metallplatte ......................................................................... 164 13.35. Widerstand eines Engebereichs.......................................................................... 165 13.36. Joule-Verluste in einer Hlse ............................................................................. 166 13.37. Grabenkondensator............................................................................................. 167 13.38. Kapazittsbeitrag einer Abschrgung................................................................. 168 13.39. Kreiszylinder im Transversalfeld ....................................................................... 169 13.40. Influenzierte Ladungsverteilung ........................................................................ 170 13.41. Rotationsellipsoid............................................................................................... 171 13.42. Spiegelung einer Punktladung an einer Ebene................................................... 172 13.43. Spiegelung einer Punktladung an einer Kugel ................................................... 174 13.44. Maximalspannung einer Metallkugel................................................................. 177 13.45. Schrittspannung.................................................................................................. 178 13.46. Krfte an Punktladungen.................................................................................... 179 13.47. Draht vor Metallplatte ........................................................................................ 180 13.48. Feldstrke an einem Erdseil ............................................................................... 181 13.49. Doppelleitung ber dem Erdboden .................................................................... 182 13.50. Drahtring vor Platte............................................................................................ 184 14. Globale und lokale Eigenschaften elektrischer Felder............................................... 185 14.1. Flchenladungsdichte ......................................................................................... 185 14.2. Elektrisches Feld an einer Grenzflche.............................................................. 185 14.3. Strombertritt zwischen Metallen ...................................................................... 186 14.4. Sprung der elektrischen Feldstrke .................................................................... 186 14.5. Metallkugel in Grenzflche................................................................................ 187 14.6. Kondensator mit inhomogenen Dielektrikum .................................................... 188 14.7. Restspannung eines Kondensators ..................................................................... 190 14.8. Halbleiterbergang ............................................................................................. 192 14.9. Dielektrische Schicht mit Raumladungszone..................................................... 193 14.10. Kondensator mit verschiebbarem Dielektrikum ................................................ 194 14.11. Kapazitive Dickenkontrolle................................................................................ 195 14.12. Feldstrke in Raumladungsschicht..................................................................... 196 14.13. Ladungsaufteilung.............................................................................................. 197 14.14. Raumladungswolke ............................................................................................ 198 14.15. Vakuumrhre...................................................................................................... 199 14.16. Inhomogene Leitfhigkeit .................................................................................. 200 14.17. Elektretmikrophon.............................................................................................. 202 14.18. Grenzflchenladung ........................................................................................... 203 14.19. Durchschlagspannung ........................................................................................ 204 14.20. Strom durch Oxidschicht.................................................................................... 205

Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele

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1. Zeit. Raum. Bewegung1.1. Laufweg des Lichts

Welche Strecke legt das Licht whrend einer Nanosekunde im leeren Raum zurck?

s = c0 t = 2,998 108 ms 1 10 9 s = 0,2998m

1.2.

Atomare Abmessungen

Welche ungefhren Durchmesser schreiben wir Atomkernen und ganzen Atomen zu? Angenommen, Sie knnten den Durchmesser eines Atomkerns auf 10cm vergrern. Welchen Durchmesser htte dann etwa ein Atom?DK 10 15 m DA 10 10 m 10 1 m = 1014 15 10 m 10 10 m 1014 = 10 4 m

1.3.

Entfernungen

Wie gro ist der Erdumfang, der Abstand zwischen Erde und Mond und zwischen Erde und Sonne? Wie lange braucht ein Signal, das sich mit der maximal mglichen Geschwindigkeit ausbreitet, um diese Strecken zu durchlaufen? Erdumfang Mond-Erde Sonne-ErdetUE = t EM = t ES

400.000km 385.000km 1,5 1011 m

4 107 m UE = 0,133s 3 108 ms 1 c0RME 3,85 108 m = 1,28s 3 108 ms 1 c0

RES 3,85 108 m = = 500 s 3 108 ms 1 c0


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1.4.

Richtungen

Eine beliebige Richtung e lsst sich in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem durch eine Entwicklung der Art e = cos( x )ex + cos( y )e y + cos( z )ez angeben. i) x y z geometrisch

ii)

Berechnen Sie x, y und z fr die Richtung des Ortsvektors rQP eines PunktesQ, (xQ , yQ , zQ ) = (2,31m;1,98m; 0,47m ) , in Bezug auf den PunktP, ( xP , y P , z P ) = (1,19m; 3,05m;1,26m ) .

rQP = (2,31m 1,19m )ex + (1,98m 3,05m )e y + (0,47m 1,26m )ez = 1,12mex 1,07 me y 0,79mez rQP = 1,12 m + 1,07 m + 0,79 m = 1,739m eQP = rQP rQP = 0,64ex 0,62e y 0,45ez 2 1 3 1 3 1 3 2 2cos ( x ) cos y

x = arccos(0,64 ) = 0,88 y = arccos(0,62) = 0,90 z = arccos(0,45) = 1,10

( )

cos ( z )

iii)

Zeigen Sie, dass fr eine Entwicklung dieser Art gilt: cos ( x ) + cos ( y ) + cos ( z ) = 1r = r e = r cos x ex + r cos y e y + r cos z ez

Betrag bilden (Pythagoras, nur ohne Wurzel angeschrieben) r = r (cos x ) + r (cos y ) + r (cos z )1 = cos x + cos y + cos z


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1.5.

Krper auf Kreisbahn

Ein Krper (Sie knnen ihn als Punktmasse annehmen.) durchluft eine Kreisbahn mit dem Radius r = 1,5m gleichfrmig in der Umlaufzeit T = 0,6s. Geben Sie fr jeden Punkt der Kreisbahn die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und deren Richtung an.t2 t p =

T 2

Die Zeitdifferenz ist gleich der Umlaufzeit T mal dem eingeschlossenen Teilwinkel (des gesamten Winkels 2).v = lim2 P

r2 rp t2 t P

Man lsst die Gre des Differenzvektors r2 P gegen 0 streben, um den genauen Wert zu erhalten.

r sin eP T 2 Der Differenzvektor kann aus dem Radius r und dem Winkel (der gegen 0 strebt) berechnet werden. # v = lim 0

sin() kann fr sehr kleine , z.B. lim 0

mit angenhert werden. 2r sin eP 0 T 2r 2r = lim eP = eP = 15,7 ms 1 eP 0 T T = lim


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2. Krper und Teilchen. Masse und Stoffmenge2.1. Mittlere Massendichte

Vergleichen Sie die mittleren Massendichten von Erde, Mond und Sonne. RE = 6,37 106 m mE = 5,97 10 24 kg Massen: mM = 7,35 10 22 kg

Radien: RM = 1,74 106 m RS = 6,91 108 m

mS = 1,99 1030 kg

5,97 10 24 kg mE = = 5,51 103 kgm 3 3 4 VE 6,37 106 m 3 7,35 1022 kg m M = M = = 3,3 103 kgm 3 3 4 VM 6 1,74 10 m 3 1,99 1030 kg m S = S = = 1,44 103 kgm 3 3 4 VS 8 6,91 10 m 3

E =

(

)

(

)

(

)

2.2.

Teilchendichte in Kochsalz, Germanium und Kupfer

Berechnen Sie die Dichte der Atome (Anzahl der Atome durch Volumen) in NaCl, Ge und Cu. Verwenden Sie dazu die stoffmengenbezogenen Massen M Na = 23g / mol , M Cl = 35 g / mol , M Ge = 73g / mol , M Cu = 64 g / mol und die Massendichten

NaCl = 2,16 g / cm3 , Ge = 5,36 g / cm3 , Cu = 8,92 g / cm3 .m = n M = V N = n NA M NaCl = 1M Na + 1M Cl = 58 g / mol n = V M N n 2,16 g / cm3 1 = N A = NaCl N A = 6,02 10 23 = 2,24 1022 cm 3 V V M NaCl mol 58 g / mol mal Faktor 2, weil Na + Cl, deshalb doppelt so viele Atome = 4,48 10 22 cm 3 5,369 g / cm3 Ge N NA = 6,02 10 23 mol 1 = 4,42 10 22 cm 3 = 73g / mol V Ge M Ge etwa gleich viele Atome wie bei NaCl 8,92 gcm 3 N 6,02 10 23 mol 1 = 8,39 10 22 cm 3 = V Cu 64 gmol 1


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2.3.

Atome je Elementarwrfel

NaCl, Ge und Cu kristallisieren in kubischen Gittern. Wie viele Atome sind bei diesen Substanzen im Elementarwrfel enthalten? Die Gitterkonstanten (= Seitenlngen der Elementarwrfel) betragen a NaCl = 5,63 10 10 m , aGe = 5,65 10 10 m , aCu = 3,6 1010 m . Verwenden Sie Ergebnisse aus Aufgabe 2.2. Anzahl der Atome im Elementarwrfel = Anzahldichte der Atme mal Elementarvolumen. N N N E = VE = a 3 V V N ENaCl = 4,48 10 22 cm 3 5,63 10 10 m = 8 N EGe = 4,42 10 22 cm 3 5,65 10 10 m 8 N ECu = 8,39 10 22 cm 310

(

)

3

( (3,6 10

)

3

m 4

)

3

2.4.

Atomare Masseneinheit

Die Definition des Mol fixiert zusammen mit der Avogadro-Konstanten den Wert der atomaren Masseneinheit 1u, der den 12ten Teil der Masse eines Atoms des Nuklids 12C angibt. Bestimmen Sie diesen Wert.n= N NA

m nM M 0,012kg / mol = = = = 1,99 10 26 kg 23 1 N N N A 6,022 10 mol 1u = 1 m = 1,66 10 27 kg 2 N

0,012kg/mol weil 12C, bei 13C wren es 0,013kg/mol

2.5.

Ionen in einer Lsung

In 1l chemisch reinem Wasser wird 1mg Kochsalz gelst. Wie gro sind dann die Teilchendichten der positiven Natriumionen und der negativen Chlorionen in der Lsung? Cl: M = 35,5 g / mol Na: M = 23,0 g / mol

m = nNa M Na + nCl M Cl = n (M Na + M Cl ) Die n sind fr gleiche Teilchenverteilung gleich.n= m N = M Na + M Cl N A

N NA m 6,02 10 23 mol 103 g = = = 1,03 10 22 m 3 = 1,03 1016 cm 3 3 3 V (M Na + M Cl ) V 58,5 g mol 10 m = Anzahl der Molekle = Anzahl der Na-Atome = Anzahl der Cl-AtomeElektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 11 / 205


3. Impuls und Kraft. Kraftfelder. Allgemeine Felder3.1. Bremsen eines Fahrzeuges

Ein Fahrzeug der Masse m = 800kg fhrt auf einer geraden Strae mit der Schnelligkeit v = 100km/h. Berechnen Sie den Impuls des Fahrzeuges und die mittlere Kraft, die aufgebracht werden muss, um das Fahrzeug innerhalb eines Zeitintervalls von t = 7s anzuhalten. Da wir hier jedoch keine Vektorangaben haben, mssen wir mit skalaren Gren rechnen. 103 m kgm p = m V = 800kg 100 = 22,2 103 3600s s 3 v p 22,2 10 kgm kgm F = ma = m = = = 3134 2 = 3134 N 2 t t 7s s p = mv

3.2.

Neutronensterne

Die sogenannten Neutronensterne besitzen etwa die Masse unserer Sonne ( 2 1030 kg ) und typische Durchmesser von etwa 20km. Ihre mittlere Massendichte ist ungefhr die eines Atomkerns. Wie gro ist diese mittlere Massendichte? i) Wie schwer wre nach dem Gravitationsgesetz von Newton ein Gewichtsstck der ii) Masse von 1kg an der Oberflche eines Neutronensterns? Wie schwer wre 1mm Neutronensternmaterie auf der Erde und welchen iii) Durchmesser bese eine Eisenkugel derselben Masse? i) Da wir nur den Durchmesser gegeben haben, mssen wir das Volumen des3

4 Neutronensterns mit der Kugelformel berechnen: V = 3

ii)

d 2 m mN 3mN 8 6 2 1030 kg kg N = N = = = = 4,77 1017 3 3 3 4 4 3 VN 4d N m (2 10 m ) RN 3 mm Nm 2 1kg 2 1030 kg F = G 1 2 2 = 6,67 10 11 = 3,335 1011 N 2 4 RN kg 2 (2 10 m) Achtung: Im Buch steht eine andere Lsung, weil mit 10km Radius statt 20km gerechnet wurde.


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iii)

Wir berechnen zuerst die Masse der Neutronensternmaterie: 3 kg m = V = 4,77 1017 3 10 3 m = 4,77 108 kg m Um zu erhalten, wie schwer der die Materie auf der Erde ist, mssen wir die Gewichtskraft berechnen (nicht die Masse): m FE = m g = 4,77 108 kg 9,81 2 = 4,68 109 N s

(

)

Fr die Berechnung der Eisenkugel brauchen wir zustzlich die Fe = 7,9 1033 d Fe 4 d Fe mFe = VFe = Fe = Fe 3 2 6 3

kg . m3

d Fe = 3

m 6 3 4,77 108 kg 6 = = 48,67m 7,9 103 kg / m3

3.3.

Beschleunigen eines Elektrons

Angenommen, ein freies Elektron ( me = 9,11 1031 kg , Q = e ) besitzt momentan die

Geschwindigkeit Null und wird in einem elektrischen Feld der Strke E = (100 N / C )e beschleunigt. In welche Richtung beginnt sich das Elektron zu bewegen? Welche Geschwindigkeit erreicht es nach Durchlaufen einer Strecke von 1cm und wie lang braucht es dazu? F = Q E = e E = eE e Es bewegt sich entgegen der Richtung des elektrischen Feldes. Die Kraft F = eE e ist auch gleich F = m a . me a = eE ea= e E me

v = at 1 s = at 2 2

(Integrieren )1,6 10 19 C 102 kgm 2 m e 10 m = 0,59 106 Es = 2 31 2 9,11 10 kgs C me s

v = 2as = 2 2

t=

v = a

e Es me m = 2 e s = 3,37 10 8 s e e E E me


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3.4.

Coulomb-Wechselwirkung zweier Elektronen

Skizzieren Sie mastblich richtig den Verlauf des Betrages der Kraft, mit der zwei Elektronen in Abstnden von 0,5 1010 m bis 5,0 1010 m einander nach dem Coulomb-Gesetz abstoen. Noch einige zustzliche Angaben: 0 = 8,854 10 12 F / mq = 1,602 10 19 As Radius eines durchschnittlichen Atoms = 0,5 1010 m

F=

1 Q1Q2 e positives Vorzeichen weil Abstoung 4 0 r 2q 2 1,602 10 12 C Nm 2 1 m2 = 2 = 2,306 10 28 N 2 4 0 r 2 4 8,854 10 12 C 2 r r 1

F (r ) =

(

)

2

Wir berechnen jetzt einige Werte, um die Abhngigkeit vom Radius skizzieren zu knnen: 2,306 10 28 Nm 2 = 9,23 10 8 N F (0,5 1010 m) = 2 10 (0,5 10 m) F (5 10 10 m) = 9,23 10 10 N F (1 1010 m) = 2,3 10 8 N


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3.5.

Coulomb-Kraft und Gravitationskraft

Zwei gleichartige Teilchen stehen ber die Coulomb-Kraft und ber die Gravitationskraft miteinander in Wechselwirkung. Wie gro msste das Verhltnis Ladung durch Masse sein, wre der Betrag der Coulbomb-Kraft gleich dem der Gravitationskraft? Wie gro ist dieses Verhltnis fr Elektronen? m2 1 Q2 2 =G 2 r 4 0 rQ2 = G 4 0 m22 m2 C Q 12 C 11 6,67 10 N 2 = 8,61 10 11 = G 4 0 = 4 8,854 10 2 Nm kg kg m Verhltnis fr ein Elektron: Qe q 1,602 10 19 C C = = = 1,76 1011 31 me me 9,1110 kg kg

4. Arbeit und Leistung. Energie. Wrme und Temperatur4.1. Normalprojektion

Berechnen Sie den Wert FS der Kraft F = (1,28 N )ex + ( 4,13N )e y + (0,11N )ez auf die Verschiebungsrichtung es = 0,71ex + 0,63e y 0,31ez . Sie knnen dazu die Formel Fs = Fx cos( x ) + Fy cos( y ) + Fz cos( z ) verwenden. Wie ist diese Formel zu begrnden?

Fs = (1,28 0,71 4,13 0,62 0,11 0,31)N = 1,73N mathematische Begrndung dafr: Fs = F cos( ) Diese Darstellung lsst sich auf entsprechend dem kartesischen Koordinatensystem zerlegen: Fx = F cos Fx

( )

Fy = F cos Fy Fz = F cos Fz

( )

( )

Der Cosinus des Winkels von Fs ergibt sich aus den Multiplikationen der Einzelwinkel (fr alle Achsen): cos( ) = cos Fx cos( x ) + cos Fy cos( y ) + cos Fz cos( z )

( )

( )

( )

Wir setzen in die Formel Fs = F cos( ) ein: Fs = F cos Fx cos( x ) + cos Fy cos( y ) + cos Fz cos( z ) Fs

und heben z.B. Fx = F cos Fx heraus dadurch erhalten wir:x x y y z z

( ) = F cos( ) + F cos( ) + F cos( )

[ ( )

( )

( )

]


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4.2.

Homogenes Kraftfeld

Zeigen Sie, dass ein rumlich konstantes Feld (Feldstrke an jedem Ort gleich) konservativ ist. konservatives Kraftfeld: Die Arbeit entlang einer geschlossenen Kurve ist Null. Wir zeichnen ein konstantes Kraftfeld, und zerlegen es in Feldrichtung in diskrete Teilstrecken x. Nun zeichnen wir eine beliebige geschlossene Kurve (mit Bezugssinn) ein. Da wir als Beweis nur endliche Werte addieren knnen, nhern wir die Kurve mit Hilfe des Teilstreckenrasters an. (Was eine geschlossene eckige Kurve ergibt.) Bewegen wir uns auf unserem Raster in Feldrichtung, gewinnen wir Arbeit, bewegen wir uns gegen die Feldrichtung, bentigen wir Arbeit, bewegen wir uns normal auf die Feldrichtung, wird keine Arbeit bentigt (Normalprojektion = 0). Wir beweisen die Richtigkeit fr diese eckige Annherung, da die Aussage auch fr eine beliebig feine Zerlegung gelten muss (x 0)

A(C ) = f sk skk =1

n

Da wir ein konstantes Kraftfeld haben, ist f in jedem Punkt gleich und kann herausgehoben werden: A(C ) = f skk =1 n

Wir beginnen beim Startpunkt (mit Pfeil markiert) in Bezugsrichtung zu addieren. Ich werde nur immer gleich die Strecken addieren und nicht die Strecke aus den Koordinaten berechnen (2 1) = 1, 6 3 = 3, etc. Immer wenn wir uns normal zur Feldrichtung bewegen wird keine Kraft bentigt.A = f (1 + 1 + 3 + 1 1 3 1 1) = f 0 = 0


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4.3.

Zuggarnitur

Der elektrische Antrieb einer Zuggarnitur nimmt beispielsweise whrend eines Fahrspiels die Leistung (Siehe Skizze) auf (1MW = 106W ) . i) Wie gro ist die whrend dieses Fahrspiels insgesamt verbrauchte elektrische Energie? ii) Wie gro ist die mittlere aufgenommene Leistung?

W = P(t )dt = Pk tkt1 k

t2

I. Wir berechnen jeweils die Flche unter der Kurve: Wgses = W1 + W2 + W3 120 s 7 MW = 420 MJ 2 W2 = 2MW 600s = 1,2GJ W1 = W3 = Wges 7 MW 60s = 210MJ 2 = 420MJ + 1,2GJ 210MJ = 1,41GJ

Die Lsung kann auch mittels Integration erfolgen: 7 MW 7 MW t 7 MW 1202 s 2 1 7 MW 120s W1 = t dt = = = 120s 120s 2 0 120s 2 2 0 II. Fr die mittlere Leistung mssen wir auch die Zeit bercksichtigen, in der keine Leistung bentigt wird (Stillstand). W 1,41GJ P = ges = = 1,68MW t ges 840s120 s 120 s


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4.4.

Crash-Testanlage

In einer Crash-Testanlage wird ein Fahrzeug samt Schlitten, m = 900kg, ber einen elektrischen Linearmotor durch eine Strecke s = 20m mit der konstanten Kraft F = 5kN gleichfrmig beschleunigt. i) Wie gro ist die dazu ntige elektrische Energie in kWh bei Vernachlssigung aller Verluste? ii) Wie gro ist die erreichte Endgeschwindigkeit? Whren des anschlieenden Aufprallvorganges wird das Fahrzeug innerhalb einer Strecke von s1 = 80cm zum Stillstand gebracht. iii) Wie gro ist die mittlere Kraft, die dabei auf einen fiktiven, angegurteten Insassen, m1 = 80kg, wirkt? I. Wel = F s = 5 103 N 20m = 105 Nm = 105 J = 105Ws = 105W II. Wkin = Wel = v= m v2 2 h = 0,0278kWh 3600

2Wel 2 105 kgm 2 m = = 14,9 2 900kgs m s III. Die kinetische Energie muss gleich der Kraft auf den Insassen sein (Kraft erzeugt Gegenkraft). m1 v 2 = F1 s1 2 m1v 2 80kg 14,9ms 1 F1 = = 2s1 2 0,8m

(

)

2

= 11,1kN

4.5.

Handhabungsgert

Von einem Handhabungsgert H (siehe Skizze) sollen Werkstcke der Masse m = 20kg entlang einer vertikalen Kreisbahn vom Ort 1 an den Ort 2 gebracht werden, wobei 500 Stck/Stunde zu frdern sind. Wie gro ist die dafr bentigte mittlere Leistung? Vernachlssigen Sie fr diese Abschtzung alle Energieverluste. Da wir wissen, dass normal auf die Kraftrichtung (g also nach unten) keine Arbeit bentigt wird, sind die 2,5m belanglos und wir weiters wissen, dass wir Arbeit, die wir zu viel reinstecken (Kreisbogen geht ber Punkt 2) wieder zurckbekommen, knnen wir einfach nur mit der Hhe rechnen. W1 = m g hP = W1 Stck Stck m 500 = mgh = 20kg 9,81 3m = 81,8W s t t 3600 s


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4.6.i) ii)

WasserkraftwerkBerechnen Sie den Energiestrom, der einem Wasserdurchsatz von 1m/s bei einer Fallhhe von 1m in einer Wasserturbine zukommt. Angenommen, in einer Turbinen-Generator-Einheit werden ca. 70% des primren Energiestroms in eine elektrische Leistung von 150MW umgesetzt. Wie gro ist bei einer Fallhhe von 43m der erforderliche Wasserdurchsatz?

I. Die Dichte von Wasser wird als bekannt vorausgesetz. W pot = mghP= W mgh V g h kg 1m m = = = 1000 9,81 1m = 9810W t t t m 1s s

II.Pmech =

V g ht

= Pel

150 106 kgm 2 m3 s 2 V Pel m3 = = = 508 t g h 0,7 1000kg 43m 9,81m s 3 s

4.7.

Brunnenpumpe

Eine elektromotorisch angetriebene Brunnenpumpe soll Wasser aus 6m Tiefe mit einem Volumenstrom von 2000 l/h frdern. Der Wirkungsgrad der Pumpe betrgt etwa 40%, der des Motors etwa 70%. Ein Motor welcher Leistung (= abgegebene mechanische Leistung) ist dazu erforderlich? mgh Vgh = = P= Pt Pt 2m3 1000 kg m 9,81 2 6m 3 m s = 82W 0,4 3600s

Achtung: Da die vom Motor abgegebene mechanische Leistung gefragt ist, ist der Wirkungsgrad des Motors selbst egal. Dieser M wre nur von Bedeutung, wenn die vom Motor aufgenommene Leistung gefragt wre.


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4.8.

Energiestrom der Sonne

Die Sonne sendet insgesamt einen Energiestrom von 3,85 10 26W aus. i) ii) Wie gro ist die Energiestromdichte an der Sonnenoberflche? (Sonnenradius RS = 6,91 108 m ) Wie gro ist die Stromdichte der Sonnenenergie beim Eintritt in die Erdatmosphre auf der Verbindungslinie Erde-Sonne? (Abstand RSE = 1,5 1011 m ) Etwa 30% der insgesamt auf die Erdatmosphre treffenden Sonnenstrahlung werden sofort reflektiert. Wie gro ist ungefhr der Storm an Sonnenenergie, der die Erdoberflche erreicht? Was passiert letztlich mit diesem Energiestrom?

iii)

I.

PS PS 3,85 10 26 W SS = = = 2 AS 4RS 4 6,91 108 m

(

)

2

= 64,2

MW m2

II.

Wir haben die Energiestromdichte an der Sonnenoberflche berechnet. Wir knnen die Energiestromdichte an der Erdoberflche also direkt ber den Radius der Erde von der Sonne und dem Energiestrom berechnen, oder ber die bereits bekannte Dichte an der Sonnenoberflche. R PS S 4R 2 = S 2 S = SS S SE = 2 R 4RSE 4RSE SE W 6,91 108 m kW = 64,2 106 2 1,5 1011 m = 1,36 m 2 m 2 2

III.

Wir berechnen den Flcheninhalt der Erde (als Kreis angenommen, Wlbung wird vernachlssigt). 2 W 2 PE = (1 refl )S ERE = 0,7 1,36 103 2 6,37 106 m = 1,211017 W m Dieser Energiestrom wird wieder von der Erde abgestrahlt.

(

)


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4.9.

Solarthermisches Kraftwerk

In einem solarthermischen Kraftwerk wird Sonnenenergie der Energiestromdichte S ber nachgefhrte Spiegel Sp in der Form parabolischer Zylinder (siehe Skizze) der Lnge (senkrecht zur Zeichenebene) L = 4m und der Weite a = 1m jeweils ein Rohr R (Lnge L) zugefhrt, das entlang der Brennlinie verluft. Das Rohr wird von Wasser ( c = 4,19kJ /(kgK ) ) mit dem Volumenstrom & V = 0,1 l / s durchsetzt. Nehmen Sie einen Spiegel- und Absorptionswirkungsgrad von zusammen 75% an und berechnen Sie die Temperaturerhhung des Wassers nach Durchlaufen des Rohres. Der Spiegel konzentriert das Licht der Hhe a (1m) auf die Lnge L (4m) des Rohres R. Die effektive Flche ist also A = a L = 4m 2 . Thermische Leistung: P = aLS = Temperaturerhhung:kW aLS m 2 = 5,73K = 5,73C = = & l kg kWs Vc 0,1 1 4,19 s l kgK 0,75 1m 4m 0,8

V c t

& = V c

4.10.

Anschlussleistung eines Durchlauferhitzers

Angenommen, Sie wollen einen elektrischen Durchlauferhitzer ohne Speicher entwerfen, der einen Wasserstrom von 0,1 l/s von 10C auf 60C erwrmt. Wie gro ist die mindestens erforderliche elektrische Anschlussleistung? (Spezifische Wrmekapazitt von Wasser: c = 4,19kJ /(kgK ) )Wtherm = m c W m c V c kg m3 J & = = = V c = 1000 3 0,1 10 3 4,19 103 50 K t t t m s kgK = 20,95kW Pel =


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5. Schwingungen und Wellen. Licht5.1. Kenngren einer harmonischen Schwingung

Die Schwingung in einem Punkt einer schallabstrahlenden Flche werde durch = (3m ) sin 9,43 103 s 1 t beschrieben. Geben sie die Amplitude, die Schwingungsbreite, die Frequenz, die Kreisfrequenz und die Periodendauer dieser Schwingung an.

[(

)]

Amplitude Schwingungsbreite Kreisfrequenz Frequenz Periodendauer

a = 3m 2a = 6m

= 9,43 103 s 1 9,43 103 s 1 f = = = 1,5kHz 2 2T= 1 = 0,67ms f

5.2.

Schallwelle

Stellen Sie eine harmonische Schallwelle in Luft (Ausbreitungsgeschwindigkeit c 340m / s ) mit der Verschiebungsamplitude a = 10m und der Frequenz f = 440 Hz durch eine Sinusfunktion dar. a = a sin (kx t )

a = 10 m

= 2f = 2 440 Hz = 2,76 103 s 1k=

c

=

2,76 103 s 1 = 8,13m 1 340ms 1

a = 10 m 8,13m 1 x 2,76 103 s 1 t

(

)

x t Kann auch mit der Formel a = a sin 2 berechnet werden. T c 340ms 1 = = 0,77m f 440s 1 1 1 T= = = 2,27 ms f 440s 1

=

x t a = 10m 2 0,77 m 2,27ms


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5.3.

Elektromagnetische Welle

In einer elektromagnetischen Sinuswelle der Frequenz f = 10GHz liegen der erste und der 26. Nulldurchgang in einem Abstand von 3,47mm. Berechnen Sie die Kreiswellenzahl und die Wellenlnge.Achtung: 26 Nulldurchgnge entsprechen 25 Halbwellen!

n =

26 1 = 12,5 2 3,47mm = 0,2776mm 12,5

12,5 = 3,47mm = k= 2 =

2 = 22633,95m 1 3 0,2776 10 m Achtung: Obwohl in der Angabe 3,47mm steht, wird im Buch bei der Lsung mit 347mm gerechnet.

5.4.

Ultrakurzwellenbereich

Der UKW-Bereich des Hrfunks benutzt das Frequenzband von 87,5MHz bis 108MHz. Welchem Wellenlngenbereich entspricht das?

1 = 2 =

c0 3 108 ms 1 = = 3,43m f1 87,5 106 s 1 c0 3 108 ms 1 = = 2,78m f 108 106 s 1

Das Frequenzband von 87,5MHz bis 108MHz liegt im Wellenlngenbereich von 2,78m bis 3,43m.

5.5.

Strahlstrke

Eine annhernd punktfrmige Strahlungsquelle emittiert rumlich gleichmig verteilt den Energiefluss P = 73 J / s in den umgebenden Raum. Wie gro ist die Strahlstrke? Strahlstrke I = P 73W W = = 5,81 4sr sr Seite 23 / 205



6. Elektrische Ladungen, Strme und Spannungen6.1. Raumladungsdichte

Zur Erhhung der Ladungstrgerkonzentration in halbleitendem Silizium (1cm Silizium enthlt 51022 Atome) werden in das Kristallgitter der 4-wertigen Si-Atome z.B. 5-wertige Phosphoratome eingebaut (n-Dotierung). Die P-Atome stellen das berschssige Valenzelektron zur Stromleitung ab. Eine typische Dotierungsrate ist ein P-Atom in einer Million Si-Atome. Wie gro ist die mittlere Ladungsdichte des Gitters allein?N Si 106 = Np 1 nSi = 5 1022 cm 3 n p = 106 nSi = 10 6 5 10 22 cm 3 = 5 1016 cm 3 ne, frei = n p e , frei = e ne , frei = 16 10 19 C 5 1016 cm 3 = 8 10 3 Gitter = e, frei = 8 10 3 C cm3 C cm3

6.2.

Ladung und Stromstrke

Durch den Querschnitt eines Leiters wird elektrische Ladung mit den in der Skizze dargestellten Zeitverlufen verschoben.

i) ii)

Berechnen Sie fr jeden Fall die Stromstrken in den einzelnen Zeitabschnitten. Zeichnen Sie mastabsgerecht die jeweiligen Zeitverlufe der Stromstrken.


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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen ber die Grundlagen der ElektrotechnikKurve 1:

I1 =

10 3 C = 10 3 A 1s

Kurve 2:

10 3 C = 10 3 A 1s I2 = 0A I1 = I 3 = 2 10 3 A = 2 10 3 A 1s

Kurve 3:

Q(t ) = Q sin (t ) & I (t ) = Q(t ) = Q cos(t ) = I cos(t ) 14243 4 4mal innerer Ableitung

=

2 T

I = Q = 10 3 C

2 = 314,16mA 20 10 3 s

6.3.

Laden und Entladen

Mit einer Hochspannungsquelle wird elektrische Ladung ber einen Ladestrom getrennt, der 30s lang mit einer mittleren Strke von 10-5A fliet. In einer Funkenentladung, die etwa 10-6s dauert, gleicht sich die Ladung wieder aus. Wie gro ist die mittlere Strke des Entladestromes? Da sich die beiden Vorgnge ausgleichen, muss gelten: I1t1 = I 2t2 t 30 s I 2 = I1 1 = 10 5 A 6 = 300 A t2 10 sElektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 25 / 205


6.4.

Driftgeschwindigkeit

In einer Kupferschiene mit dem rechteckigen Querschnitt 1cm 7cm fliet ein Gleichstrom der Strke I = 300 A . Berechnen Sie die zugehrige Driftgeschwindigkeit der Leitungselektronen. (Cu: = 8,9 g / cm , M = 64 g / mol , jedes Atom stellt im Mittel ein Leitungselektron zur Verfgung) Dichte der Leitungselektronen: N N A 6,022 10 23 mol 1 8,9 gcm 3 ne = = = = 8,37 10 22 cm 3 1 V M 64 gmol elektrische Stromdichte: I J = = e ne vD A Driftgeschwindigkeit: 300 A I cm m = = 3,2 103 = 32 vD = 2 19 22 3 Aene 7cm 1,6 10 As 8,37 10 cm s s

6.5.

Faraday-Konstante

Beim Ladungstransport in Flssigkeiten spielt die Faraday-Konstante F = eN A eine Rolle. Berechnen Sie den Wert. F = eN A = 1,602 10 19 C 6,022 10 23 mol 1 = 96486C / mol

6.6.

Ladungstransport durch Ionen

Beim sogenannten Galvanisieren werden positiv geladene Metallionen als Ladungstrger benutzt. Sie wandern zur negativ geladenen Elektrode (Kathode) und bilden dort einen dnnen berzug. Wie gro ist die zu transportierende Ladungsmenge, um auf diese Weise 1,118mg einwertigen Silbers (Ionenladung = e) an der Kathode abzuscheiden? ( M Ag = 0,108kg / mol ) Masse m = nM Q = eN = n e N A = Stoffmenge n = N / N A Faraday-Konstante F = eN A

m 1,118 10 6 kg mol C F = 9,6486 10 4 = 1,00C M Ag 0,108kg mol


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6.7.i) ii)i)

WasserstofferzeugungBerechnen Sie die Elektrizittsmenge, die ntig ist, um 1kg Wasserstoffgas (H2) durch Elektrolyse von Wasser (Abscheiden von H+-Ionen, M = 1g/mol) zu gewinnen. Wie gro ist die dazu bentigte elektrische Energie in kWh, wenn die Spannung an der Elektrolysezelle 2V betrgt?m 103 g 1 e NA = 1,6 10 19 As 6,022 10 23 = 9,63 107 C M 1g / mol mol

Q = I t = e N = n e NA =

ii)

W = U I t = U Q = 2V 9,63 107 As = 192,6 MJ = 192,6 106Ws = 192 106

Wj = 53,5kWh 3600

6.8.

Herstellen von Kupferfolie

Zur Herstellung einer Kupferfolie werden zweiwertige Kupferionen an einer langsam rotierenden Trommel galvanisch abgeschieden (Skizze). Wie gro ist die Abzugsgeschwindigkeit v einzustellen, wenn eine Stromstrke von 30A gewhlt wird? (Kupfer: M = 63,7 g / mol , = 8,9 g / cm )

Volumenstrom Massenstrom Ladungsstrom v= =

& & m V = = b v

& & m = nM =

& NM NA (Weil es zweiwertige Kupferionen sind)

& I = 2eN

& & m M N M I = = b N A b 2eN A b

63,7 gmol 1 30 A cm m = 0,0742 = 2,67 3 1 3 3 2 96,4 10 Asmol 8,9 gcm 15cm 10 cm s h


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6.9.

Vernickelung eines Blechteils

Ein Metallblech von insgesamt 200cm Oberflche soll in einem Nickelsalzelektrolyten mit einer galvanisch abzuscheidenden Nickelschicht versehen werden. Zur Abscheidung des Nickels wird die Stromstrke I = 5A eingestellt, wobei die Stromausbeute fr die Reduktion der Ni2+-Ionen 85% betrgt. Nach welcher Zeit hat die Nickelschicht eine Dicke von 50m erreicht? (Nickel: = 9,0 g / cm , M = 58,7 g / mol ) Abzuscheidende Masse: 9 10 3 kg 200 104 m 2 50 10 6 m m = Ad = = 9 10 3 kg 6 3 10 m Anzahl der Ni2+-Ionen: N A m 6,022 10 23 mol 1 9 10 3 kg = = 9,23 10 22 N= 3 1 58,7 10 kgmol M Ladungsmenge: Q = 2eN = I t2eN 2 1,6 10 19 As 9,23 10 22 t= = = 6951,94 s 0,85 5 A I

6.10.

Das Elektronvolt

Zur Angabe von Energiemengen wird bei mikroskopischen Prozessen hufig die Einheit Elektronvolt (1eV) verwendet. Sie ist erklrt als Energiemenge, die ein Teilchen mit der Elementarladung e beim Durchlaufen einer Spannung von 1V erhlt. Drcken Sie 1eV in der Einheit Joule aus. 1eV = e U = 1,602 10 19 As 1V = 1,602 10 19 Ws = 1,602 10 19 J


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6.11.

Reihenschaltung von Widerstnden

Durch die in der Skizze dargestellten Reihenschaltung von Widerstnden fliet ein Gleichstrom I = 20mA. i) ii) Wie gro sind die Teilspannungen U1, U2, U3 (Bezugssinne beachten!) und wie gro ist die Gesamtspannung U? Wie gro sind die Leistungen an den einzelnen Widerstnden und wie gro ist die Gesamtleistung?

i)

U1 = R1 I = 10 20mA = 0,2V

U 2 = R2 ( I ) = 120 20mA = 2,4V

U 3 = R3 I = 120 20mA = 2,4V U = U1 U 2 + U 3 = 0,2V + 2,4V + 2,4V = 5V ii) P = U1 I = 4mW 1 P2 = U 2 I = 48mW P3 = U 3 I = 48mW P = P + P2 + P3 = 4mW + 48mW + 48mW = 100mW 1


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6.12.

Parallelschaltung von Widerstnden

An der in der Skizze dargestellten Parallelschaltung von Widerstnden liegt die Spannung U = 5V. i) ii) Wie gro sind die Teilstrme I1, I2, I3? (Bezugssinne beachten!) Wie gro sind die Leistungen an den einzelnen Widerstnden und wie gro ist die Gesamtleistung?

i)I1 = I2 = I3 = U 5V = = 500mA R1 10 U 5V = = 416,7 mA R2 120 U 5V = R3 120 = 416,7 mA

ii)

P = U I1 = 5V 500mA = 2,5W 1

P2 = U ( I 2 ) = 5V (+ 416,7mA) = 208mW

P3 = U I 3 = 5V 416,7mA = 208mW P = P + P2 + P3 = 2,5W + 208mW + 208mW = 2,92W 1

6.13.

Leistung an einem Ohmschen Widerstand

Zwischen den Anschlssen eines Ohmschen Widerstandes von R = 1 liegen elektrische Spannungen mit den in Skizzen angegebenen Zeitverlufen. i) ii) iii) Berechnen Sie fr jeden Fall die Stromstrken und die Momentanleistungen. Wie gro ist jeweils die mittlere Leistung? Zeichnen Sie mastabsgerecht die Zeitverlufe der Strme und Momentanleistungen. Wie gro sind die mittleren Leistungen, wenn Sie a. den n-fachen Widerstandswert bei gleichen Spannungsverlufen verwenden b. die Scheitelwerte der Spannungen bei gleichem Widerstand auf den nfachen Wert erhhen?


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Spannungsverlauf 1:

U 1V = = 1A R 1 P = P = U I = 1V 1A = 1W I= Widerstand auf den n-fachen Wert erhhen: U2 P= nR P Pneu = n Spannung um das n-fache erhhen: Pneu = n 2 PSpannungsverlauf 2:U 1V = = 1A R 1 U 1V I2 = = = 1 A R 1 P = U I1 = 1V 1A = 1W 1 I1 = P= P + P2 2W 1 = = 1W 2 2

P2 = U I 2 = 1V ( 1A)


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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen ber die Grundlagen der Elektrotechnik mittlere Leistung bei n-fachem Widerstand: P P2 1 + n n = 1P P neu = n 2 mittlere Leistung bei n-facher Spannung: (nU )2 + ( nU )2 n 2 P + n 2 P2 1 R R Pneu = = = n2 P 2 2Spannungsverlauf 3:U 1V = = 1A R 1 U 1V I2 = = = 1 A 1 R P = I1 U = 1W 1 I1 = P2 = I 2 ( U ) = 1W P= 5ms P + 5ms P2 1W 1 = = 0,5W 20ms 2

Es ergeben sich wieder die gleichen Faktoren wie bei den anderen Beispielen.Spannungsverlauf 4:

I (t ) =

U (t ) U sin (t ) 1V sin (t ) = = = 1A sin (t ) R R 1 P (t ) = U (t ) I (t ) = 1V sin (t ) 1A sin (t ) = 1W sin 2 (t )

Die Faktoren ergeben sich wieder gleich.


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6.14.i) ii)

Reichenschaltung Diode-WiderstandZeichnen Sie mastabsgerecht die Spannungs-Strom-Kennlie der Reihenschaltung (Skizze) einer Diode D mit der idealisierten Spannungs-Strom-Kennlinie (Skizze 2) und eines 2 Widerstandes fr den Bereich 0 I 1A . Welche Leistungen werden jeweils im Widerstand und in der Diode fr I = 0,5A und fr I = 1A umgesetzt?

i) U = U D + U R = 0,7V + 2 I

Fr das Zeichnen des Diagramms ist wesentlich U max = 0,7V + 2 1A = 2,7V

ii) PD0 , 5 A = 0,7V 0,5 A = 350mW

PD1 A = 0,7V 1A = 700mW PR0 , 5 A = I 2 R = (0,5 A) 2 = 500mW2

PR1 A = 1A2 2 = 2W

6.15.

Stromaufnahme von Glhlampen

Auf einer Glhlampe fr einen Autoscheinwerfer sind z.B. die Daten 12V, 15W angegeben. Wie gro ist die zugehrige Stromstrke? P =U I I = P 15W = = 1,25 A U 12V


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6.16.

Reihenschaltung von Glhlampen

Zwei Glhlampen 12V, 15W bzw. 12V, 40W besitzen Spannungs-Strom-Kennlinien (Skizze). Angenommen, Sie schalten die beiden Lampen in Reihe an 12V (Skizze 2). i) ii) iii) Welche Werte von Stromstrke und Spannung kommen jeder der beiden Lampen etwa zu? Wie gro ist ungefhr die jeweils aufgenommene Leistung? Welche der beiden Lampen leuchtet heller?

15W grafische Lsung aus dem Buch:

40W

Da die abgelesenen Spannungswerte der beiden Lampen (1,2V und 7,5V) beim grafisch ermittelten Strom nicht 12V ergeben, lsst sich daraus schlieen, dass die Kennlinie U = U1 + U2 nicht richtig eingezeichnet ist. Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 34 / 205


grafische Ermittlung der Werte: Man verschiebt ein Lineal parallel zur Spannungsachse und ermittelt bei den Schnittpunkten mit den U-I-Kennlinien der Glhbirnen jeweils die Spannungen. Ist deren Summe gleich der Gesamtspannung (12V), so kann man auf der Stromachse den korrekten Wert fr I ablesen (und natrlich die Spannungen U1 und U2 notieren).

Wir rechnen mit den Werten aus dem Buch weiter: P = U1 I = 11V 1,15 A = 12,65W 1 P2 = U 2 I = 1V 1,15 A = 1,15W Am hellsten wird die 15W Lampe leuchte, weil sie am nahesten bei ihrer geforderten Leistung betrieben wird. Wre sie darber, wrde sie natrlich abbrennen.

6.17.

Stromaufnahme einer Zuggarnitur

Eine elektrisch betriebene Zuggarnitur hat auf ebener Strecke bei 80km/h den Fahrwiderstand (Bremskraft) 22,5kN zu berwinden. Wie gro ist bei einer Gleichspannungsversorgung von 850V die dabei auftretende Stromstrke, wenn der Wirkungsgrad des Antriebs 85% betrgt? Pmech = F v = 22,5kN 80km / h = 22,5 103 N 80 1000m = 500kW 3600s

Die mechanische Leistung muss gleich der elektrischen sein: Pel = PmechPel = U I Pel Pmech 500 103VA I= = = = 692,02 A U U 0,85 850V

Achtung: Im Buch wird entgegen der Angabe mit 750V gerechnet.

6.18.

Antrieb eines Schiffskrans

Der elektrische Gleichstromantrieb eines Schiffskrans ist so ausgelegt, dass eine Last von 100t mit der Geschwindigkeit 0,5m/s gehoben werden kann (Nennbetrieb). Der Gesamtwirkungsgrad betrgt ca. 75%, die Spannung des Bordnetzes ist 600V (Nennspannung). Wie gro ist der Motorstrom im Nennbetrieb? Pmech = Fv = mgh

Pel = PmechPel = U I I= Pel Pmech mgh 105 kg 9,81ms 2 0,5ms 1 = = = = 1090 A U U U 0,75 600V


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6.19.

Schleifmaschinenantrieb

Der Antriebsmotor einer Schleifmaschine (Skizze) wird ber einen Gleichspannungszwischenkreis mit U = 270V gespeist, wobei die maximale Stromaufnahme mit I = 40A begrenzt ist. Berechnen Sie die von der Schleifscheibe maximal aufzubringende Umfangskraft, wenn der Motor und die Getriebe zusammen den Wirkungsgrad = 78% besitzen.

Pel = U I = Pmech = F v = F 2 n F=

UI 0,78 270V 40 A = = 64,35 N 10 4 Dn 0,25m 60 s

D = F D n 2

6.20.

Beschleunigungsantrieb

In einer Werkzeugmaschine soll ein Gleichstrommotor einen Schlitten der Masse m = 50kg aus dem Stillstand gleichfrmig beschleunigen (Skizze). Nach einer Wegstrecke s = 1m soll die Geschwindigkeit v = 4m/s betragen. Welche Spannung U muss das Speisegert maximal liefern, wenn whrend des Vorgangs ein konstanter Strom von I = 10A eingeprgt wird, der Widerstand des elektrischen Kreises mit R = 2 anzusetzen ist und andere Verluste (Reibungsverluste) vernachlssigt werden knnen?

v 2 (4m / s ) v = 2as a = = = 8m / s 2 2s 2 1m kgm F = m a = 50kg 8m / s 2 = 400 2 = 400 N s kgm 2 Pmech = F v = 400 N 4m / s = 1600 3 = 1600W s 2 2 Pe = Pmech + PR = 1600W + I R = 1600W + (10 A) 2 = 1800W2

U=

Pe 1800W = = 180V I 10 A


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7. Physikalische Gren, Einheiten und Dimensionen7.1. Abgeleitete Dimensionen

Stellen Sie die physikalischen Dimensionen der Massendichte, der Kraft, der elektrischen Feldstrke, der Energie, der elektrischen Ladungsdichte, der elektrischen Spannung und des elektrischen Widerstandes als Potenzprodukte der Basisdimensionen der Lnge, Masse, Zeit und elektrischen Stromstrke dar.

m =

m m = 3 = L3 M V s ms = LMT 2 2 t

F = ma = E =

F ms = 2 = LMT 3 I 1 Q t It ms s = L2 MT 2 t2

A = Fs =

Q =U =

Q It = 3 = L3TI V s A ms 2 = 2 = L2 MT 3 I Q t It

U ms 2 = 3 = L2 MT 3 I 2 R = I t I I


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7.2.

Abgeleitete Einheiten

Geben Sie die kohrenten SI-Einheiten fr den elektrischen Widerstand, die Leistung, die Arbeit, die elektrische Ladung, die Kraft, die elektrische Flchenladungsdichte und die elektrische Feldstrke jeweils als Potenzprodukt der SI-Basiseinheiten (abgekrzte Schreibweise) und als Potenzprodukt der Einheiten Meter, Sekunde, Volt und Ampere an.

[R] = 1 kgm3 2

2

As 2 [P ] = 1 kgm = 1VA s3 2 [A] = 1 kgm = 1VAs s2 [Q] = 1As = 1As [F ] = 1 kgm = 1VAs s2 m [ ] = 1 As = 1 As m2 m2 [E ] = 1 kgm = 1 V As 3 m

=1

V A

7.3.

Einheiten des elektrostatischen cgs-Systems

Das elektrostatische cgs-System verwendet als Basiseinheit fr die Lnge, die Masse und die Zeit die Werte 1cm, 1g, 1s. Abgeleitete Einheiten sind u.a. 1dyn = 1gcm/s fr die Kraft und 1 erg = 1gcm/s fr die Arbeit. Die Proportionalittskonstante 1/(40) im Coulomb-Gesetz wird als 1 angenommen und damit auf die Einfhrung einer elektrischen Basiseinheit verzichtet. Geben Sie die kohrenten Einheiten der elektrischen Ladung, der Stromstrke, der Spannung und des Widerstandes dieses Einheitensystems als Potenzprodukte der Basiseinheiten an. Coulomb Gesetz: F = 1 Q1Q2 e Q 2 = Fr 2 4 0 r 2 13 2=1 1 1 3

[ ] [ ]1

[Q] = [

F r 2 = (1dyn )2 (1cm ) = (1g )2 (1cm )2 (1s )1 3

]

[I ] = Q = (1g )2 (1cm)2 (1s )2

t 1 3 1 1 [U ] = A = (1erg )(1g ) 2 (1cm) 2 (1s )2 = (1g )2 (1cm)2 (1s )1 Q

[R ] = U = (1cm)1 (1s ) I Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 38 / 205


7.4.

Aufstellen einer Zahlenwertgleichung

Die Elektrotheorie der Metalle liefert fr den Zusammenhang zwischen der elektrischen Leitfhigkeit , der Wrmeleitfhigkeit und der absoluten Temperatur T das WiedemannnFranz-Lorenz-Gesetz

2 k = T 3 e

2

wobei k = 1,381 1023 J / K die Boltzmann-Konstante und e die Elementarladung bedeuten. Leiten Sie daraus auf formal korrekte Weise eine Zahlenwertgleichung ab, die Zahlenwerte von in Bezug auf die Einheit W/(Kcm) durch Zahlenwerte von und T in Bezug auf die Einheiten m/(mm) bzw. K darstellt. W m 2 1,381 10 23 J W / Kcm = 1,602 10 19 KAs m / mm2 mm 2 TK K 3 Kcm 2

W / Kcm

K 10 2 m W 2 s 2 mAK 2 2 2 = 10 2 TK 3 1,602 W K A s V 106 m 2 m / mm8

2 1,381

2

Alle Gren mssen sich aufheben: K m W 2 s 2 mAK m W 2 s 2 mA W 2 s 2 A V 2 A3 2 2 2 = 2 2 = = =1 W K A s Vm 2 W A s V m 2 WA2 s 2 V V 2 A3

W / Kcm = 2,445 104 m / mm TK2


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7.5.

Aufstellen einer Grengleichung

Angenommen, Sie finden in der Literatur fr einen nichtlinearen elektrischen Widerstand die Angabe R = 2,36U 0, 25 , R in k, U in kV Leiten Sie daraus eine Grengleichung der Form Zahlenfaktoren enthlt. Wie gro ist I0? R = Rk 1k Rk =0, Rk = 2,36 U kV25

I U = f mit U0 = 1kV ab, die keine I U0 0

R , wobei R0 gleich 1k ist. R0

U = U kV 1kV = U kV U 0 R U = 2,36 1k 1kV 0 , 25

U R = 2,36k 1kV

0 , 25

Im Verbraucherbezugssystem ergibt sich R = U 1 U = I 2,36k U 0 1 U U = U 0 I 2,36k U rausziehen: U 1 = U 4 U0 I 2,36k 4 4 1 4

U I

4

U U U0 = U I 2,36k U0 0 U U0 = U I 2,36k 03 4

4

Wir bilden den Kehrwert: U 2,36k I = U U0 0 4 3 4

U 2,36k 3 I 3 = I = I U 0 1kV 0 1kV 1 = A = 0,424 A I0 = 2,46k 2,36 Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 40 / 205

4


7.6.

Stefan-Boltzmann-Gesetz (nicht im Buch)

Nach dem Gesetz von Stefan Boltzmann strahlt die Oberflche eines ideal schwarzen Krpers der absoluten Temperatur T einen Wrmestrom der Dichte q = T 4 ab, wobei die StefanBoltzmann-Konstante mit der Boltzmann-Konstante k = 1,381 1023 J / K , der Planck2 5 k 4 Konstante h = 6,626 10 Js und der Lichtgeschwindigkeit c0 gem = 2 15 h 3c0 zusammen hngt. Leiten Sie daraus auf formal korrekte Art eine Zahlenwertgleichung ab, in die Zahlenwerte der Temperatur in Bezug auf die Celsius-Skala einzusetzen sind und die W liefert. Zahlenwerte der Wrmestromdichte in Bezug auf die Einheit cm34

q = qW / cm T = (T C

W W = qW / cm 10 4 m cm + 273 ,15 ) 1K

2 5 1,381 10 23 J 4s2 4 3 3 2 = 3 2 15 K J s m 6 ,626 10 34 2 ,998 10 8 W = 5, 676 10 8 2 4 ... Stefan Boltzmann Ko nstante m K W 4 = (T C + 273 ,15 ) K 4 qW / cm cm W 10 4 m 2 4 4 K qW / cm = 5 , 676 10 8 (T C + 273 ,15 ) m2K 4 W

(

(

) (

)

4

)

qW / cm = 5 , 676 10

8

(T C + 273 ,15 )

4

T C = 0 , 0316 1 + 273 ,15

4

Anmerkung: Potenziert man derart groe oder kleine Zahlen, kann es vorkommen, dass der Taschenrechner falsche Ergebnisse ausgibt. Man sollte diese also getrennt berechnen z.B.

(6,626 10 )

34 4


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7.7.

Atomares Einheitensystem (au, nicht im Buch)

Zur Berechnung in der Atom- und Molekularphysik werden an Stelle der SI-Basiseinheiten Meter, Sekunde und Kilogramm manchmal als Basiseinheiten fr die Lnge, die Zeit und die h h , die Atomsekunde 1s * = und die Masse der Bohr Radius 1u0 = me c0 2 mel0 h , h = 6,626 1034 Js Elektronenmasse 1me = 9,1095 1031 kg verwendet, wobei h = 2 2 e (Planck Konstante) und = (Feinstrukturkonstante) bedeuten. 4 0 hc0 I) drcken Sie die Lngeneinheit 1a0 und die Zeiteinheit 1s* durch die SIBasiseinheiten aus. Geben Sie die kohrente Einheit fr die Energie in diesem atomaren II) Einheitensystem an. i)

=

4 8,854 10 12 6,626 10 34 2,998 10

(1,6022 10 ) 219 2

8

A2 s 2Vms = 7,297 10 3 AsVAs 2 m

1a0 = 1s * =

6,626 10 34 VAs 2 s = 0,529 10 10 m 2 9,1095 10 31 2,998 108 7,297 10 3 kgm a0 0,529 10 10 = s = 2,419 10 17 s c0 2,998 108 7,297 103

ii)

[W ]au = [m]au [L]2au [t ]au2

a0 2 = me * = me (c0 ) s

2

= 9,1095 10 31 2,998 108 7,297 10 3 kg

(

)

2

m = 4,360 10 18 J (1Hartre) s


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7.8.

Loschmidt-Konstante (nicht im Buch)p0 definieren, wobei k T0

Die Loschmidt-Konstante n0 lsst sich durch n0 =

k = 1,3807 10 23 J / K die Boltzmann-Konstante und p0 = 1,013 105 Pa dem Normaldruck bzw. T0 = 273,15K die Normaltemperatur bezeichnen. Wie ist n0 im Zusammenhang mit der Zustandsgleichung p V = N k T eines i) idealen Gases (Druck p, Volumen V, Teilchenzahl N, Temperatur R) zu interpretieren? Berechnen Sie n0. ii)i)

speziell p0 V0 = N k T0

p0 N = k T0 V0

R0 =ii)n0 =

1 N k N = Teilchendichte eines idealen Gases unter Normalbedingungen k V0 V0

1,013 105 NK 2 = 2,686 10 25 m 3 23 1,3807 10 273,15 m NmK


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8. Stromkreise und einfache Stromkreiselemente8.1. Anwendung der Kirchhoff-Regeln

Die in der Skizze dargestellte Schaltung aus idealen Spannungsquellen und Widerstnden besitzt z = 6 Zweige. i) ii) iii) Stellen Sie fr die k = 4 Knoten A bis D die Knotengleichungen auf. Wie viele davon sind voneinander unabhngig? (Hinweis: Eliminieren Sie nacheinander die Zweigstrme I6, I5 usw.) Geben Sie fr die Fenster die Maschengleichung an. Knnen Sie noch eine weitere, davon unabhngige Maschengleichung finden? Zeigen Sie, dass die voneinander unabhngigen Knoten- und Maschengleichungen zusammen mit den Elementgleichungen (Ohmsches Gesetz) genau ausreichen, um alle Zweigstrme zu berechnen.

Zuerst mssen wir die Bezugssinne willkrlich festlegen:


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i) Die 4 Knoten I 4 + I5 + I6 = 0

I1 I 2 I 4 = 0 I 2 + I3 I5 = 0 I1 I 3 I 6 = 0ii) Die Maschen U1 U 4 + U 6 = U q1 U 2 + U 4 U 5 = U q2 U 3 + U 5 U 6 = U q3

Bei den Formeln mssen die Bezugssinne beachtet werden.

Alle anderen Maschen hngen von diesen ab.

iii) Wir haben 6 Zweigstrme, also 6 Unbekannte. Wir knnen 6 mal das Ohmsche Gesetz anwenden, um die Spannungen U1 bis U6 in die Strme I1 bis I6 umzurechnen. Weiters haben wir 3 unabhngige Knotengleichungen und 3 unabhngige Maschengleichungen 6 unabhngige Gleichungen fr 6 unbekannte.

8.2.

Verzweigter Strom

Durch den 5-Widerstand der in der Skizze dargestellten Kombination von ohmschen Widerstnden fliet ein Wechselstrom der Strke I = (6 A)sin (t ) . i) ii) Berechnen Sie die Strme in den beiden anderen Widerstnden, die Spannung zwischen A und B und die Spannung zwischen B und C. Wie gro ist der zeitliche Mittelwert der in den drei Widerstnden zusammen umgesetzt wird?

i) Strme und Spannungen Die Spannung an 5 und 15 ist die gleiche. 5 U 5 = 5 6 A sin t = 15 I15 I15 = 6 A = 2 A sin t 15 I10 = I 5 + I15 = 8 A sin tU AB = U10 = 10 8 A sin t = 80V sin t U BC = U 5 = U15 = 5 6 A sin t = 30V sin t

ii) Mittlere Leistung Momentanleistung: P = I10 (U AB + U BC ) = 8 A 110V sin 2 t = 880W sin 2 t P 880W mittlere Leistung: P= = = 440W 2 2


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8.3.

Erweitern einer Schaltung

Wie und mit welchem Widerstand ist die Schaltung (Skizze) zu erweitern, damit der Ersatzwiderstand um 5% grer wird i) um 5% kleiner wird ii) Wir berechnen zuerst den Widerstand der Schaltung: Rges = 200 // (130 + 70 ) = 100 Wollen wir den Gesamtwiderstand erhhen, brauchen wir einen Serienwiderstand: Rges 1,05 = Rges + R+5% R+5% = 0,05 Rges = 5 Wollen wir den Gesamtwiderstand kleiner machen, brauchen wir einen Parallelwiderstand: R R 0,95 Rges = 5% ges R5% + Rges0,95 = R5% R5% + Rges

1+

1 = 0,95 Rges R5% 0,95 Rges = 19 Rges = 1,9k 0,05

R5% =

8.4.

Ersatzwiderstand

Berechnen Sie den Ersatzwiderstand fr die in der Skizze angegebene Widerstandskombination.

Man kann das Beispiel ber Ersatzschaltungen lsen, indem man immer Widerstnde zu neuen zusammenfasst. Mit etwas bung kann man einfach hinsehen und das Netzwerk von hinten nach vorne auflsen: Rges = ((5k 6 + 3k 3) // 1k + 4k 6 ) // (2k 2 + 3k 3 // 3k 3) + 1k = 3,26k Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 46 / 205


8.5.

Dreieck-Stern-Umwandlung

Eine Dreieckschaltung von Widerstnden (Skizze) soll durch eine bezglich der Anschlussklemmen 1, 2, 3 quivalente Sternkonfiguration ersetzt werden. Berechnen Sie die Widerstandswerte der Sternschaltung aus denen der Dreiecksschaltung. Zeigen Sie, dass bei einer Rckwrtsumwandlung analoge Beziehungen fr die Leitwerte gelten.

R20 + R30 = R23 // (R12 + R31 ) R30 + R10 = R31 // (R12 + R23 )R20 = R12 // (R31 + R23 ) R10 R30 = R31 // (R12 + R23 ) R10

R10 + R20 = R12 // (R31 + R23 )

2 R10 = R12 // (R31 + R23 ) + R31 // (R12 + R23 ) R23 // (R12 + R31 ) R (R + R23 ) R31 (R12 + R23 ) R23 (R12 + R31 ) + 2 R10 = 12 31 R12 + R31 + R23 R12 + R31 + R23 R12 + R31 + R232 R10 = R10 = R12 R31 + R12 R23 + R31R12 + R31R23 R23 R12 R23 R31 R12 + R31 + R23

R12 // (R31 + R23 ) R10 + R31 // (R12 + R23 ) R10 = R23 // (R12 + R31 )

R12 R31 2 R12 R31 = R12 + R31 + R23 R12 + R31 + R23

Die Widerstnde im Zhler sind die Widerstnde, die beim Dreieck vom zu berechnenden Punkt weggehen. Daraus folgt: R12 R23 R20 = R12 + R23 + R31R30 = R23 R31 R12 + R23 + R31

Bei der Rcktransformation (Stern-Dreieck) ersetzt man die Widerstnde durch deren Leitwerte.


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8.6.

Stern-Polygon-Umwandlung

Eine Sternumwandlung von n Widerstnden gem der Skizze lsst sich bezglich der Klemmen 1, 2 n quivalent, in eine vollstndige Polygonschaltung von m(n 1) / 2 Widerstnden umwandeln. Leiten Sie die Umwandlungsformel i) n Gk 0Gr 0 Gkr = GS = Gl 0 fr die Leitwerte ab. GS l =1 ii) Warum ist die umgekehrte Umwandlung nur im Fall n = 3 mglich?

i) Formel herleiten Dem Anschluss k wird der Strom I k = Gk 0U k 0 = Gk 0 ( k 0 ) zugefhrt, wobei die Sternspannung Uk0 als Differenz k 0 der Knotenpotentiale dargestellt wird. Weiters ist n n 1 n I r = 0 Knotenregel 0 = G Gr 0r Gs = Gl 0 r =1 l =1 s r =1 Damit folgt G n 1 n I k = Gk 0 k Gr 0 r = k 0 Gr 0 ( k 0 ) G Gs r =1 s l =1 also n n G G I k = k 0 r 0 U kr entspricht: I k = GkrU kr Gs r =1 r =1 ii)

Die Umkehrung ist i.a. nicht mglich, da sich Widerstnden ergeben.

n(n 1) Bedingungen zur Bestimmung von n 2


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8.7.

Ersatzwiderstand

Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der Schaltung aus der Skizze mit Hilfe der Formel fr die Dreieck-Stern-Umwandlung.

Wir wandeln die linken drei Widerstnde von einem Dreieck in einen Stern um (man knnte es ebenso gut mit den rechten machen): RD = 220 + 1k + 100 = 1320 R10 = R20 = R30 = 200 100 = 16,67 RD 220 1k = 166,7 RD 100 1k = 75,76 RD

Rges = R10 + (R20 + 130 ) // (R30 + 220 ) = 164,77

8.8.

Ersatzwiderstand

Berechnen Sie den Ersatzwiderstand fr die in der Skizze dargestellte Kombination, wenn alle Einzelwiderstnde den gleichen Wert T besitzen. Wir wandeln die drei rechten Widerstnde von einem Dreieck in einen Stern um, wir knnten auch die drei linken nehmen. RR R2 R = = RS = R + R + R 3R 3 RAB = R R 1 R+ + = R 2 3 3


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8.9.

Ersatzwiderstand eines Zweitors

Gegeben ist die Schaltung aus der Skizze. Berechnen Sie den Widerstand RAB bei i) a. offenem Ausgang CD b. kurzgeschlossenem Ausgang CD ii) Berechnen Sie den Widerstand RCD bei a. offenem Eingang AB b. kurzgeschlossenem Eingang ABi) offener Ausgang: RAB = ((2 R // 2 R + R ) // 2 R + 2 R ) // 2 R = 2 R // 3R = 1,2 R Kurzschluss am Ausgang: RAB = (R // 2 R + 2 R ) // 2 R = 1,14 R

ii) offener Eingang: RCB = ((2 R + 2 R ) // 2 R + R ) // 2 R // 2 R = 0,7 R Eingang kurzgeschlossen: RCB = (2 R // 2 R + R ) // 2 R // 2 R = 0,67 R

8.10.

Widerstandskette

Berechnen Sie allgemein den Eingangswiderstand R der unendlichen Widerstandskette aus der Skizze. Hinweis: R ndert sich nicht beim Hinzufgen eines weiteren Kettengliedes. Da sich R durch hinzufgen eines weiteren Elements nicht ndert, knnen wir folgende Ersatzschaltung ansetzen:

R = R1 // (R2 + R ) =

R1 (R2 + R ) R1 + R2 + R

R 2 + RR1 + RR2 = R1 R2 + RR1 R 2 + RR2 + R1R2 = 0

R=

1 1 4R 2 R2 + R2 + 4 R1R2 = R2 1 + 1 1 2 2 R2

(

)


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8.11.

Teilerregeln

Berechnen Sie den Strom durch den 47-Widerstand in der Skizze. mit der Spannungsteilerregel i) ii) mit der Stromteilerregel Mit Spannungsteilerregel: 47 // 220 U2 = Uq = 38V 47 // 220 + 2 U 38V IR = 2 = = 0,81A R2 47 Mit Stromteilerregel: Uq I= R1 + R2 // R3 IR = I R3 R2 + R3

8.12.

Spannungsteiler

Um wie viel % ndert sich in der Schaltung aus der Skizze das Spannungsteilerverhltnis U = 2 , wenn U1 der Widerstand R2 i) der Widerstand R1 ii) beide Widerstnde iii) um je 2% vergrert werden?U1 U 2 = R1 U1 U 2 R2 = = U1 R1

R2 steigt um 2%: R (1 + 0,02 ) R2 (1 + 0,02) 1 = 2 = ndert sich um 2%. R1 R1 R1 steigt um 2%: R2 R 2 = = 2 0,98 ndert sich um -2% R1 (1 + 0,02) R1 beide steigen um 2%: R (1 + 0,02 ) R2 3 = 2 = ndert sich nicht R1 (1 + 0,02 ) R1 Der Widerstand bei der Spannungsquelle ndert nichts an dem Verhltnis.


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8.13.

Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen

Gegeben ist die Widerstandskombination aus der Skizze. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand zwischen den Anschlssen A und B. i) In welchem der Widerstnde wird die grte Leistung umgesetzt, wenn ii) zwischen den Anschlssen A und B ein Strom der Strke I fliet? (Raten Sie zuerst!)

R = 10 // 2 + 5 // 15 = 5,42 Raten: Die Grte Leistung wird nicht in den groen Widerstnden (10E und 15E) auftreten, da hier der kleinste Strom fliet. Der Strom rinnt also hauptschlich durch 2 und 5. Da der 5 der grere ist, wird hier die meiste Leistung verbraten werden. I1 = I 2 2 + 102

1 P = I R2 = 0,28 I 2 1 6 10 I2 = I 10 + 2 10 P2 = I R2 = 1,39W 12 P3 = 2,88W P4 = 0,94W2

8.14.

Erforderliche Quellenspannung

Wie gro muss in der Schaltung aus der Skizze der Wert der Quellenspannung sein, damit durch den 5Widerstand ein Strom der Strke 14A fliet? Durch die beiden 10 Widerstnde flieen jeweils 7A (doppelter Widerstand halber Strom). I ges = 14 A + 2 7 A = 28 A

Wir errechnen die erforderliche Spannung aus dem Strom und dem Gesamtwiderstand: U = 28 A(2 + 10 // 10 // 5 ) = 126V Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele Seite 52 / 205


8.15.

Erforderlicher Widerstand

Wie gro mssen Sie in der Schaltung aus der Skizze den Wert des Widerstandes R jeweils whlen, damit zwischen den Anschlssen A und B die Spannungen U = 25V, 50V, 75V, 100V, 125V auftreten? Wir berechnen den Innenwiderstand der Quelle: Ri = 2 + 20 // 50 = 16,29 Weiters benutzen wird die Formel fr Spannungsquellen: R U = U q Ri I = U q i U R RU = RU q RiU R (U U q ) = RiU R= RiU = U Uq Ri Ri = Uq Uq 1 1 U U

Wir erhalten folgende Werte:U 25V 50V 75V 100V 125V R 5,43 16,3 48,9 (Leerlauf) negatives R nicht mglich !

8.16.

Abgegebene Leistung von SpannungsquellenUq2

Wie gro ist in der Schaltung aus der Skizze die von jeder der beiden idealen Spannungsquellen abgegebenen Leistung? Rges = 7,6 + 4 // 6 = 10 I= 20V = 2A > 0 10 Pq1 = U q1 I = 50W > 0 Uq1

Pq 2 = U q 2 ( I ) = 10W < 0 Die Quelle 2 (5V) also Leistung auf.


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8.17.

Ersatzquelle einer Batterie

An den Polen einer Taschenlampenbatterie werden mit Hilfe eines einstellbaren Lastwiderstandes folgende Daten gemessen: I U 0,2 4,0 0,4 3,5 0,6 3,0 A V

Geben Sie die Parameter einer linearen Ersatzquelle fr die Batterie an. Wie gro ist die maximal abgebbare Anschlussleistung? Wir zeichnen die Kennlinie in ein Diagramm ein. Aus dem Schnittpunkt mit der Spannungsachse erhalten wir U0 und aus dem Anstieg den Widerstand. U 0 = 4,5V Ri = U 0,5V = = 2,5 I 0,2V

Die maximale Abgabeleistung erhalten wir bei Leistungsanpassung (Ra = Ri): 2 U0 Ik Uq Pmax = = = 2,03W (wenn die Kennlinie bis dort linear ist) 2 2 4 Ri

8.18.

Grundstromkreis

Berechnen und zeichnen Sie mastabgerecht fr den in der Skizze angegebenen Grundstromkreis die Zusammenhnge R U i) = f a R Uq i ii)R I = g a R IK i

i) U = ii)

Ra U Ra / Ri = Uq Ra + Ri U q 1 + Ra / Ri

I=

Uq Ri + Ra

Ik =

Uq Ri

1 I = I k 1 + Ra / Ri


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8.19.

quivalenz von linearen Quellen

Es sind die beiden Quellen aus der Skizze zu untersuchen. Geben Sie die beschreibenden Gleichungen (Zusammenhang von i) Anschlussspannung und Anschlussstrom) fr eine ideale Spannungsquelle mit Reihenwiderstand und fr eine ideale Stromquelle mit Parallelwiderstand an. Welche Bedingungen mssen die Parameter U1, Ri, Iq und Ri erfllen, damit ii) sich die beiden Quellen bezglich der ueren Anschlsse vllig gleich verhalten? Zeigen Sie, dass diese quivalenz nicht fr den inneren Leistungsumsatz gilt. iii)

i) Beschreibende Gleichungen

Spannungsquelle: Stromquelle:

U = U q I Ri U = I q Ri I Ri

ii) Parameter fr gleiches Verhalten

Wir machen einen Koeffizientenvergleich: Ri = Ri U q = I q Riiii)innere Leistungen

Spannungsquelle: Stromquelle: Pq Pq P P V V

Pq = U q I Pq = U I q

P = Ri I 2 V2 Uq U2 2 P = = (I q I ) Ri = Uq I V Ri Ri

Um die Aussage zu widerlegen gengt mathematisch auch ein einziger Gegenbeweis. Wir sehen uns einfach beide Quellen im Leerlauf an. Bei der Spannungsquelle rinnt kein Strom ( keine Leistung), bei der Stromquelle rinnt Iq durch den Widerstand ( Leistung auch im Leerlauf)


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8.20.

Ersatzschaltung des aktiven Zweipols

Ersetzen Sie die in der Skizze dargestellte Schaltung bezglich der ueren Anschlsse dur

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