Universität Bielefeld

Elementare GeometrieSommersemester 2018

Elemente, Buch I

Stefan Witzel

ViereckeVier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder dieSegmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden.Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ ‖ RS und QR ‖ PS.Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat.Ein Drachenviereck PQRS hat |PQ| = |PS| und |QR| = |RS|.Das Viereck PQRS ist ein Trapez wenn PQ ‖ RS.Das Viereck PQRS ist eine Raute wenn alle Seiten gleich lang sind.Das Viereck ist ein Quadrat wenn es ein Rechteck und eine Raute ist.

PolygonePunkte P1, . . . ,Pn bilden ein n-Eck P1 . . .Pn, mit Ecken Pi und KantenPiPi+1 wenn sich nur benachbarte Kanten schneiden und das nur in denEcken.Ein n-Eck P1 . . .Pn ist regelmäßig wennI alle Seiten PiPi+1 zueinander kongruent sind (also gleich lang) undI alle Winkel ∠Pi−1PiPi+1 zueinander kongruent sind (also gleiches

Winkelmaß haben).

Dreieck mit gegebenen Kantenlängen

Problem. Seien a = A1A2, b = B1B2 und c = C1C2 Segmente, derenLängen die drei Dreiecksungleichungen erfüllen, also|A1A2| ≤ |B1B2|+ |C1C2|, |B1B2| ≤ |A1A2|+ |C1C2|,|C1C2| ≤ |A1A2|+ |C1C2|. Konstruiere ein Dreieck PQR mit|PQ| = |A1A2|, |QR| = |B1B2| und |PR| = |C1C2|.

Dreieck mit gegebenen Kantenlängen

Problem. Seien a = A1A2, b = B1B2 und c = C1C2 Segmente, derenLängen die drei Dreiecksungleichungen erfüllen, also|A1A2| ≤ |B1B2|+ |C1C2|, |B1B2| ≤ |A1A2|+ |C1C2|,|C1C2| ≤ |A1A2|+ |C1C2|. Konstruiere ein Dreieck PQR mit|PQ| = |A1A2|, |QR| = |B1B2| und |PR| = |C1C2|.Konstruktion. Wähle P = A1, Q = A2 und R als den Schnittpunkt vonPC1C2 und QB1B2 . ♦

Folgerung. Drei Längen |A1A2|, |B1B2| und |C1C2| sind genau dann dieKantenlängen eines Dreiecks, wenn sie die drei Dreiecksungleichungenerfüllen.

Gerade und Parallelen, 1Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei Geraden g und h geschnittenwird und

1. die wechselseitigen Winkel α und β gleich sind oder2. die Stufenwinkel δ und β gleich sind oder3. die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen 180◦

messen,dann ist g parallel zu h.

P

Q

g

h

f

α

β

γ

δ

Gerade und Parallelen, 1Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei Geraden g und h geschnittenwird und

1. die wechselseitigen Winkel α und β gleich sind oder2. die Stufenwinkel δ und β gleich sind oder3. die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen 180◦

messen,dann ist g parallel zu h.Beweis. Nebenwinkelsatz, Gegenwinkelsatz: die drei Bedingungen sindäquivalent.Angenommen es gäbe einen Schnittpunkt R, dann wäre PQR ein Dreieckmit Winkelsumme 6= 180◦.

Gerade und Parallelen, 2Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei parallelen Geraden g und hgeschnitten wird, dann

1. sind die wechselseitigen Winkel α und β gleich und2. sind die Stufenwinkel δ und β gleich und3. messen die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen

180◦.

P

Q

g

h

f

α

β

γ

δ

Gerade und Parallelen, 2Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei parallelen Geraden g und hgeschnitten wird, dann

1. sind die wechselseitigen Winkel α und β gleich und2. sind die Stufenwinkel δ und β gleich und3. messen die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen

180◦.Beweis. Wenn h′ die Gerade ist, deren Winkel β′ zusammen mit γ genau180◦ misst, dann wissen wir, dass g ‖ h.Aus dem Parallelenaxiom folgt jetzt, dass h = h′, also β = β′.

Parallelogramme

Proposition. Wenn PQRS ein Parallelogramm ist, dann ist |PQ| = |RS|und |QR| = |PS|.

Parallelogramme

Proposition. Wenn PQRS ein Parallelogramm ist, dann ist |PQ| = |RS|und |QR| = |PS|.Beweis. Da PS und QR parallel sind, sind ∠PSQ und ∠SQR wechselsei-tige Winkel und deshalb kongruent.Genauso sind ∠PQS und ∠SQR wechselseitige Winkel und damit kon-gruent.Die beiden Dreiecke PQS und RQS haben somit eine gleichlange Seite,die von zwei kongruenten Winkeln eingeschlossen wird.Nach dem Kongruenzsatz „WSW“ sind sie also kongruent.Es folgt |PQ| = |RS| und |PS| = |QR|.

Parallele SegmenteSegmente PQ und RS sind parallel, wenn PQ ‖ RS und |PQ| = |RS|.Proposition. Wenn Segmente PQ und RS parallel sind, dann ist PQRSein Parallelogramm.

Parallele SegmenteSegmente PQ und RS sind parallel, wenn PQ ‖ RS und |PQ| = |RS|.Proposition. Wenn Segmente PQ und RS parallel sind, dann ist PQRSein Parallelogramm.Beweis. Weil PQ ‖ RS sind die wechselseitigen Winkel∠PSQ und∠RQSkongruent.Außerdem sind die Seiten PQ und RS gleich lang.Nach dem Kongruenzsatz „SWS“ folgt, dass PSQ ≡ RQS.Insbesondere ist ∠PSQ ≡ ∠RQS.Das sind aber die wechselseitigen Winkel der Geraden PS und RQ, alsosind diese parallel.

Flächeninhalt

Wir definieren den Flächeninhalt von geradlinig umrandeten Figuren mitfolgenden Regeln:

I Kongruente Figuren haben gleichen Flächeninhalt.I Wenn man von Figuren mit gleichem Flächeninhalt Figuren mit

gleichem Flächeninhalt entfernt, haben die resultierenden Figurengleichen Flächeninhalt.

I Wenn man zu Figuren mit gleichem Flächeninhalt Figuren mitgleichem Flächeninhalt hinzufügt, haben die resultierenden Figurengleichen Flächeninhalt.

I Wenn eine Figuren f aus m Figuren g1, . . . ,gm mit gleichemFlächeninhalt besteht, dann ist der Flächeninhalt von f der m-facheFlächeninhalt der gi .

I Ein Rechteck mit Kantenlängen 1 und m hat Flächeninhalt m.

Flächeninhalt von Dreieck und ParallelogrammProposition. Wenn ABCD eine Parallelogramm ist, dann sind dieDreiecke ABD und CDB kongruent und haben deshalb den halbenFlächeninhalt des Parallelogramms.

Parallelen und FlächeninhaltProposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD undEBCF Parallelogramme mit A,D,E ,F ∈ g und B,C ∈ h. Dann habenABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt.

Parallelen und FlächeninhaltProposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD undEBCF Parallelogramme mit A,D,E ,F ∈ g und B,C ∈ h. Dann habenABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt.Beweis (Fall ADEF). Es ist |AD| = |BC| = |EF | und |AB| = |CD| und|BE | = |CF |.Sei G der Schnittpunkt von BE und CD. Nach dem Kongruenzsatz SSSist ABE ≡ DCF .Entfernen DGE ergibt, dass ABGD und EGCF flächengleich sind.Durch Hinzufügen von BCG sehen wir, dass ABCD und EBCF flächen-gleich sind.

Parallelen und FlächeninhaltProposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD undEBCF Parallelogramme mit A,D,E ,F ∈ g und B,C ∈ h. Dann habenABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt.

Folgerung. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EFGHParallelogramme mit A,D,E ,H ∈ g, B,C,F ,G ∈ h und |BC| = |FG|.Dann haben ABCD und EFGH den gleichen Flächeninhalt.

Parallelen und FlächeninhaltProposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD undEBCF Parallelogramme mit A,D,E ,F ∈ g und B,C ∈ h. Dann habenABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt.

Folgerung. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EFGHParallelogramme mit A,D,E ,H ∈ g, B,C,F ,G ∈ h und |BC| = |FG|.Dann haben ABCD und EFGH den gleichen Flächeninhalt.Beweis. Aus der Proposition folgt, dass ABCD und EBCH den gleichenFlächeninhalt haben und, dass EBCH und EFGH den gleichen Flächen-inhalt haben.

Parallelen und FlächeninhaltProposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD undEBCF Parallelogramme mit A,D,E ,F ∈ g und B,C ∈ h. Dann habenABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt.

Folgerung. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EFGHParallelogramme mit A,D,E ,H ∈ g, B,C,F ,G ∈ h und |BC| = |FG|.Dann haben ABCD und EFGH den gleichen Flächeninhalt.

Folgerung. Wenn g und h parallele Geraden sind und ABC und DEFDreiecke mit A,D ∈ g, B,C,E ,F ∈ h und |BC| = |EF |, dann haben ABCund DEF gleichen Flächeninhalt.

KathetensatzSatz (Kathetensatz). Sei ABC ein Dreieck und ∠BAC ein rechterWinkel. Sei M der Fußpunkt des Lots von M auf BC. Der Flächeninhaltdes Quadrats mit Kantenlänge |AB| ist gleich dem Flächeninhalt desRechtecks mit Kantenlängen |BM| und |BC|. Der Flächeninhalt desQuadrats mit Kantenlänge |AC| ist gleich dem Flächeninhalt desRechtecks mit Kantenlängen |MC| und |BC|.

B

A

CM

DE

L

K

HG

FFolgerung (Satz des Pythagoras).Wenn ABC ein Dreieck mit rechtemWinkel ∠BAC ist, dann ist der Flä-cheninhalt des Quadrats mit Kan-tenlänge |BC| gleich der Summeder Flächeninhalte der Quadrate mitKantenlänge |AB| und |AC|.

KathetensatzSatz (Kathetensatz). Sei ABC ein Dreieck und ∠BAC ein rechterWinkel. Sei M der Fußpunkt des Lots von M auf BC. Der Flächeninhaltdes Quadrats mit Kantenlänge |AB| ist gleich dem Flächeninhalt desRechtecks mit Kantenlängen |BM| und |BC|.

F

B

G

A

H

K

C

ED L

M

KathetensatzSatz (Kathetensatz). Sei ABC ein Dreieck und ∠BAC ein rechterWinkel. Sei M der Fußpunkt des Lots von M auf BC. Der Flächeninhaltdes Quadrats mit Kantenlänge |AB| ist gleich dem Flächeninhalt desRechtecks mit Kantenlängen |BM| und |BC|.Beweisskizze. Es sind BCF ≡ BDA sind nach dem Kongruenzsatz SWS.Die Dreiecke BAD und BLD sind flächengleich und BLD hat den halbenFlächeninhalt von BMLD.Die Dreiecke BCF und BGF sind flächengleich und BGF hat den halbenFlächeninhalt von BAGF .