Elemente der Algebra - Universität Koblenz · al-Kitāb al-muhtasar fīhisāb al-ğabr...

Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

Dr. Jürgen Roth

1.1

Elemente der Algebra

1 Pro-gramm& Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

1.2

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Organisatorisches

Informationen und Materialien

http://www.juergen-roth.de Lehre

Abgabe der bearbeiteten Übungsblätter

Bis Donnerstag, 12:00 Uhr in meinem Fach am ENC

Neu: Abgabetermin für das 1. Übungsblatt: Donnerstag, 30.10.2008 bis 12:00 Uhr in mein Fach am ENC

Klausur: Keine Hilfsmittel

„Scheinkriterien“

„Kleiner Schein“ 4 KP30% der erreichbaren BE in den Übungen

40% der in der Klausur am Ende des Semesters erreichbaren BE

„Großer Schein“ 6 KP50% der erreichbarenBE in den Übungen

60% der in der Klausur am Ende des Semesters erreichbaren BE

http://www.uni-siegen.de/uni/campus/wegweiser/emmy.html?lang=de




Dr. Jürgen Roth

1.3


5 Exponen-tialfkt.

Inhaltsverzeichnis


1 Programm & Argumentationsgrundlagen

2 Funktionen

3 Lineare Funktionen, Gleichungenund Gleichungssysteme

4 Quadratische Funktionen und Gleichungen

5 Exponentialfunktionen

Dr. Jürgen Roth

1.4





5 Exponen-tialfkt.


1 Programm und Argumentationsgrundlagen





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1.5


5 Exponen-tialfkt.

Inhaltsverzeichnis


1.1 Algebra?!

1.2 Mengen und Aussagenlogik

1.3 Beweistechniken

Dr. Jürgen Roth

1.6





5 Exponen-tialfkt.


1.1 Algebra?!





Dr. Jürgen Roth

1.7


5 Exponen-tialfkt.

Algebra?!

al-Kitāb al-muhtasar fī hisāb al-ğabr wa-l-muqābala

„Das umfassende Buch vom Rechnen durch Ergänzung & Ausgleich“

„Algebra“ entstammt obigem Titel des Rechen-Lehrbuchsvon Al-Hwārizmī (Mohammed ben Musa)

persischer Mathematiker ca. 780 – ca. 850 n. Chr.

Bedeutung von al-ğabr

Wörtlich: „Ausüben von Zwang”

in der Gleichungslehre: „Ergänzen” einer Gleichungdurch Addition negativer Glieder auf beiden Seiten




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1.8


5 Exponen-tialfkt.

Algebra?!

„Der Hauptzweck der Algebra sowie aller Theile der Mathematik besteht darin, den Werth solcher Größen zu bestimmen, die bisher unbekannt gewesen, was aus genauer Erwägung der Bedingungen geschieht. Daher wird die Algebra auch als die Wissenschaft definirt, welche zeigt, wie man aus bekannten Größen unbekannte findet.“

Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Neue Ausgabe, Reclam Verlag, Leipzig, o. J., S. 217

Leonhard Euler (1707-1783): „Vollständige Anleitung zur Algebra“, 1770




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1.9


5 Exponen-tialfkt.

Algebra?!

(klassische) Algebra

Lösen allgemeiner algebraischer Gleichungen (reelle oder komplexe Zahlen)

zentrales Resultat: Fundamentalsatz der Algebra

(abstrakte) Algebra

Grundlagendisziplin der modernen Mathematik

algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper)& deren Verknüpfung

Computeralgebra

symbolische Manipulation algebraischer Ausdrücke

sucht effiziente Algorithmen & bestimmt die Komplexität ( CAS)

(elementare) Algebra

Algebra im Sinne der Schulmathematik

Umgang mit

natürlichen, ganzen, gebro-chenen & reellen Zahlen

Termen und Funktionen

Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen

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1.10





5 Exponen-tialfkt.


1.2 Mengen und Aussagenlogik





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1.11


5 Exponen-tialfkt.

Was ist eine Menge?

„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wirjede Zusammenfassung M von

bestimmten wohlunterschiedenenObjekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt

werden) zu einem Ganzen.“Georg Cantor (in: Beiträge zur Begründung der transfiniten

Mengenlehre (1895 und 1897), Math. Annalen, S. 481)

Bemerkung:Intuitiv kann man sich eine Menge als Zusammenfassung von Objekten (den Elementen der Menge) vorstellen, die durch bestimmte Eigenschaften ausgezeichnet sind.




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1.12


5 Exponen-tialfkt.

Beschreibung von Mengen

Beschreibung durch (angedeutete) Aufzählung

Menge der Farben rot, blau, gelb und grün

{rot, blau, gelb, grün}

Menge der Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5

{1, 2, 3, 4, 5}

Leere Menge

{} = ∅

Menge N der natürlichen Zahlen

N = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Menge N0 der natürlichen Zahlen einschließlich Null

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Menge Z der ganzen Zahlen

Z = {0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 5, –5, …}




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1.13


5 Exponen-tialfkt.


Beschreibung durch charakterisierende Eigenschaft(en)

Menge Q+ der positiven rationalen Zahlen (Bruchzahlen)

Q+ = { | z ∈ N und n ∈ N}

Menge Q der rationalen Zahlen

Q = { | z ∈ Z und n ∈ N}

Menge R der reellen Zahlen

Menge aller Punkte der lückenlos besetzten Zah-lengeraden (Im Wesentlichen.)

nz

nz

…CRQZN

x ∈ M : „x ist Element von M.“x ∉ M : „x ist nicht Element von M.“




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1.14


5 Exponen-tialfkt.

Aussage, Aussageform

Aussage p

Formulierung, die entweder wahr oder falsch ist.

Beispiele:13 ist eine Primzahl.

(wahr)

4 ist eine Primzahl.

(falsch)

2 + 3 = 5 (wahr)

2 + 3 = 6 (falsch)

Aussageform p(x)

Formulierung, die beim Einsetzen eine Aussage ergibt.

Beispiele:x ist eine Primzahl.

(in R erfüllbar)

2 + x = 5

(in R erfüllbar)

x + x = 2x

(in R allgemeingültig)

x + 1 = x + 2

(in R unerfüllbar)Aussagen?„Schnee ist weiß.“„Alle Kreter lügen.“




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1.15


5 Exponen-tialfkt.


Angabe einer Grundmenge G und einer Aussageform p(x)

Ist P die Menge der Elemente x mit der Eigenschaft p, so schreibt man P = {x | p(x)}.

Dabei bedeutet p(x), dass die Aussage p für x wahr ist.

Beispiele:

P = {n ∈ N | n ist eine Primzahl.} ⊂ N

P ist die Erfüllungsmenge der Aussageform p(n) über der Grundmenge N.

{n ∈ {1, 2, 3, 4} | n ist eine Primzahl} = {2, 3}

{(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4} ⊂ R × R

Grundmenge Aussageform p(n)

p(x) ⇔ x ∈ P¬p(x) ⇔ x ∉ P




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1.16


5 Exponen-tialfkt.


Definition:Die Aussageformen p(x) und q(x) heißen äquivalent über der Grundmenge G, wenn gilt

P = {x ∈ G | p(x)} = {x ∈ G | q(x)} = Q.

Man schreibt p(x) ⇔ q(x)

und spricht p(x) genau dann, wenn q(x).

Beispiel:

{x ∈ R | |x| ≤ 2} = {x ∈ R | –2 ≤ x ≤ 2}

also |x| ≤ 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 2




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1.17


5 Exponen-tialfkt.

Quantoren

Allquantor ∀

Ist die Erfüllungsmenge einer Aussageform p(x) gleich der Grundmenge G, ist die Aussage p(x0) also für jedes Element x0 ∈ G wahr, dann heißt p(x) allgemeingültig über G.

{x ∈ G | p(x)} = G

Man schreibt ∀x∈G p(x)

und spricht „Für alle x ∈ G gilt p(x).“

Existenzquantor ∃

Existiert für eine Aussageform p(x) ein Element x0 der Grundmenge G, so dass die Aussage p(x0) wahr ist, dann heißt p(x) erfüllbar über G.

{x ∈ G | p(x)} ≠ ∅

Man schreibt ∃x∈G p(x)

und spricht „Es existiert ein x ∈ G, so dass gilt p(x).“

Beispiel:∀x∈G x + x = 2x

Beispiel:∃x∈G 2 + x = 5




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1.18


5 Exponen-tialfkt.

Quantoren

Man darf die Reihenfolge von Quantoren nicht vertauschen!

Beispiel:

∀n∈N ∃m∈N m > n

Für jede natürliche Zahl n gibt es einenatürliche Zahl m die größer als n ist.

Diese Aussage ist sicher wahr. Man wähle etwa m := n + 1.

∃m∈N ∀n∈N m > n

Es existiert eine natürliche Zahl m, so dass für jede natürlichen Zahlen n gilt: m ist größer als n.

Diese Aussage ist falsch, denn es gibt keine natürliche Zahl, die größer als alle anderen natürlichen Zahlen ist. (Gäbe es eine solche Zahl, müsst man nur 1 addieren um zu einer größeren natürlichen Zahl zu kommen.)




Dr. Jürgen Roth

1.19


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzaufgabe

Drücken Sie folgende Aussagen in einfachen Worten aus:

a)

b)

c)

d)

Untersuchen Sie welche der Aussagen jeweils in den Grundmengen G = N, G = Z und G = Q+ wahr ist.

1

1

=⋅∃∀

=⋅∀∃

≤∃∀

≤∀∃

∈∈

∈∈

∈∈

∈∈

yx

yx

yx

yx

xy

yx

xy

yx

GG

GG

GG

GG




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1.20


5 Exponen-tialfkt.

Junktoren: Operationen für Aussagen

Negation ¬ p (Nicht p.) (Das Gegenteil von p.)

Konjunktion p ∧ q (p und q.) (Sowohl p als auch q.)

Disjunktion p ∨ q (p oder (auch) q) (p oder q oder beide)

Implikation p ⇒ q (Wenn p, dann q.)

Koimplikation p ⇔ q (p genau dann, wenn q.)

Wahrheitstafel

p q ¬ p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q ¬ p ∨ q

w w f w w w w

w f f f w f f

f w w f w w w

f f w f f w w

p q ¬ p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q ¬ p ∨ q




Dr. Jürgen Roth

1.21


5 Exponen-tialfkt.

Junktoren: Operationen für Aussagen

Negation ¬ p (Nicht p.) (Das Gegenteil von p.)

Konjunktion p ∧ q (p und q.) (Sowohl p als auch q.)

Disjunktion p ∨ q (p oder (auch) q) (p oder q oder beide)

Implikation p ⇒ q (Wenn p, dann q.)

Koimplikation p ⇔ q (p genau dann, wenn q.)

Wahrheitstafel

p q p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ q (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

w w w w w w

w f f w f f

f w w f f f

f f w w w w

p q p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ q (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

w w w

w f f

f w w

f f w




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1.22


5 Exponen-tialfkt.

Implikation: p ⇒ q

Sprechweisen

Wenn p, dann q.

q, wenn p.

q mindestens dann, wenn p.

p nur dann, wenn q.

p höchstens dann, wenn q.

Aus p folgt q.

q folgt aus p.

p impliziert q.

p ist hinreichend für q.

q ist notwendig für p.

q ist mindestens so wahr wie p.

Beispiel:p : Herr Roth ist

Dozent im Fachbereich 6.

q : Herr Roth ist Dozent der Universität Siegen.




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1.23


5 Exponen-tialfkt.

Sprechweisen

p genau dann, wenn q.

Wenn p, dann q und umgekehrt.

p dann und nur dann, wenn q.

Aus p folgt q und umgekehrt.

p impliziert q und umgekehrt.

p und q implizieren sich gegenseitig.

p ist notwendig und hinreichend für q.

p ist äquivalent zu q.

p ist gleichbedeutend/gleichwertig zu q.

p ist genauso wahr oder falsch wie q.

Beispiel:p : Tobias ist mein

Sohn.

q : Tobias ist der Bruder meiner Tochter Mareike.

Koimplikation: p ⇔ q

Bemerkung:Hier kann

überall p mit qvertauscht

werden.




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1.24


5 Exponen-tialfkt.

Negation von Aussagen

Negation mit Quantoren

¬ ( ∀x∈G p(x) ) ⇔ ∃x∈G ¬ p(x)

¬ ( ∃x∈G p(x) ) ⇔ ∀x∈G ¬ p(x)

Negationen

¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q

¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q

¬ (¬ p) ⇔ p

Wahrheitstafel

p q ¬ p ¬ q p ∧ q ¬ (p ∧ q) p ∨ q ¬ (p ∨ q) ¬ p ∧ ¬ q ¬ p ∨ ¬ q

w w f f w f w f f f

w f f w f w w f f w

f w w f f w w f f w

f f w w f w f w w w

Tertium non datur.Entweder ist p wahr, oder

¬ p ist wahr, eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.

p q ¬ p ¬ q p ∧ q ¬ (p ∧ q) p ∨ q ¬ (p ∨ q) ¬ p ∧ ¬ q ¬ p ∨ ¬ q

w w f f w f w f

w f f w f w w f

f w w f f w w f

f f w w f w f w

Alle Grundschullehrkräfte sind Frauen.

Es gibt eine Katze die bellen kann.




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1.25


5 Exponen-tialfkt.

p q ¬ p ¬ q p ⇒ q ¬ p ∨ q ¬ q ⇒ ¬ p ¬ (p ⇒ q) p ∧ ¬ q

w w f f w w w f f

w f f w f f f w w

f w w f w w w f f

f f w w w w w f f

p q ¬ p ¬ q p ⇒ q ¬ p ∨ q ¬ q ⇒ ¬ p ¬ (p ⇒ q) p ∧ ¬ q

w w f f w w

w f f w f f

f w w f w w

f f w w w w

Einige äquivalente Aussagen

Implikation

(p ⇒ q) ⇔ (¬ p ∨ q)

(p ⇒ q) ⇔ (¬ q ⇒ ¬ p)

Negation

¬ (p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬ q)

Wahrheitstafel

Beispiele:Wenn Herr Roth kommt, dann ist er pünktlich.

Wenn der Tank leckt, be-kommen Sie einen neuen.




Dr. Jürgen Roth

1.26


5 Exponen-tialfkt.

p q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p ⇔ q

w w w W w w

w f f W f f

f w w F f f

f f w w w w

p q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p ⇔ q

w w w w

w f f w

f w w f

f f w w

Es gilt:

(p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q)∧(q ⇒ p)]

Wahrheitstafel

q ⇒ p ist die Umkehrung von p ⇒ q




Dr. Jürgen Roth

1.27


5 Exponen-tialfkt.

Kontraposition contra Umkehrung

Eine Implikation p ⇒ q hat immer denselben Wahrheitsgehalt wie ihre Kontraposition ¬ q ⇒ ¬ p . (p ⇒ q) ⇔ (¬ q ⇒ ¬ p)

Achtung: Eine Implikation p ⇒ q und ihre Umkehrung q ⇒ pkönnen unterschiedlichen Wahrheitsgehalt haben.

Beispiel:

p(n): „n ist durch 10 teilbar“

q(n): „n ist durch 5 teilbar“

p(n) ⇒ q(n): „Ist n durch 10 teilbar, dannist n auch durch 5 teilbar“

¬q(n) ⇒ ¬p(n): „Ist n nicht durch 5 teilbar, dannist n auch nicht durch 10 teilbar“

q(n) ⇒ p(n): „Ist n durch 5 teilbar, dannist n auch durch 10 teilbar“ Gegenbeispiel 25




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1.28


5 Exponen-tialfkt.

M = N

M ist gleich N.

M und N enthalten dieselben Elemente.

M ⊆ N Teilmenge

M ist Teilmenge von N (oder gleich N).

M enthält nur Elemente von N.

Mögliche Extremfälle:

M = ∅M = N

M ⊂ N echte Teilmenge

M ist echte Teilmenge von N.

M enthält nur Elemente von N, aber nicht alle.

M = N ⇔∀x∈M x∈N ∧ ∀x∈N x∈M

Mengen vergleichen

1

23 4

5 67

8

9 10N

M

M ⊆ N ⇔∀x∈M x∈N

M ⊂ N ⇔∀x∈M x∈N ∧ ∃x∈N x∉M

Venn-Diagramm




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1.29


5 Exponen-tialfkt.

M ∪ N Vereinigungsmenge

M vereinigt mit N.

M ∪ N enthält alle Elemente aus M und alle Elemente aus N.

Beispiel: M = {2, 3, 5, 7}; N = {2, 4, 6, 8}

M ∪ N = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

M ∩ N Schnittmenge

M geschnitten mit N.

M ∩ N enthält alle Elemente, die sowohl in M als auch in N enthalten sind.

Beispiel: M = {2, 3, 5, 7}; N = {2, 4, 6, 8}

M ∩ N = {2}

M ∪ N

Mengen verknüpfen

23 4

5 67

8

MN

M ∩ N

23 4

5 67

8

MN

M ∪ N = {x∈G | x∈M ∨ x∈N}

M ∩ N = {x∈G | x∈M ∧ x∈N}




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1.30


5 Exponen-tialfkt.

M

M\N Restmenge

M ohne N.

M\N enthält alle Elemente aus M, die nicht Element von N sind.

Beispiel: M = {2, 3, 5, 7}; N = {2, 4, 6, 8}

M\N = {3, 5, 7}

M Komplement von M bzgl. G

M ist das Komplement von M bzgl. der Grundmenge G.

M enthält die Elemente der Grund-menge G, die nicht in M enthalten sind.

M = G\M, wenn M ⊆ G.

Beispiel: G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; M = {2, 3, 5, 7} ⇒ M = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

M \ N

Mengen verknüpfen

23 4

5 67

8

MN

1

23 45 67

8

9 10

G

M

M\N = {x∈M | x∉N}

M = {x∈G | x∉M}




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1.31


5 Exponen-tialfkt.

Mengen verknüpfen

Kartesisches Produkt

Sind M1 und M2 zwei nichtleere Mengen (M1, M2 ≠ ∅), dann ist das kartesische Produkt M1 × M2 die Menge aller geordnetenPaare (m1, m2) mit m1 ∈ M1 und m2 ∈ M2.

M1 × M2 = {(m1, m2) | m1 ∈ M1 ∧ m2 ∈ M2}

Sind M1, M2, … , Mn nichtleere Mengen, dann ist das kartesische Produkt M1 × M2 × … × Mn dieser Mengen definiert durch

M1 × M2 × … × Mn = {(m1, m2, … , mn) | ∀k∈{1, 2, … , n} mk ∈ Mk}.

Beispiel:

M1 = {1, 2, 3}, M2 = {a, b}⇒ M1 × M2 = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Achtung: (a, 1) ∉ M1 × M2

Die Bezeichnung „kartesisch“ geht aufden Mathematiker und Philosophen René Descartes (1596-1650) zurück. Er hat z. B. die Punkte der Ebene durch Paare von Zahlen dargestellt.




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1.32


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Geben Sie folgende Mengen an:

G ∪ M

P ∩ G

G \ N

G \ P

N (bzgl. G als Grundmenge)

G \ (M ∪ N)

P \ G

G ∩ N

M × N

G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

M = {x ∈ G | x ist Primzahl.}

N = {x ∈ G | ∃n∈N x = 2n ∧ x ≠10}

P = {x ∈ Z | |x| = 1}

1

23 4

5 67

8

–1 9 10

G

M

NP




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1.33


5 Exponen-tialfkt.

Mächtigkeit von Mengen

|M| Mächtigkeit der Menge M

|M| beschreibt die Anzahl der Elemente von M.

Beispiel: M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

|M| = 6

|N| = 9

Mächtigkeit von Mengen vergleichen

Wenn es gelingt, die Elemente zweier Mengen M und N paarweise einander zuzuordnen, dann sind die Mengen M und N gleichmächtig,also |M| = |N|.

Für M ⊆ N gilt |M| ≤ |N|

1

23 4

5

0M

N

7

89

6




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1.34


5 Exponen-tialfkt.

Mächtigkeit von Mengen

Welche Menge ist mächtiger, besitzt also mehr Elemente?

Menge der natürlichen Zahlen N

Menge der geraden natürlichen Zahlen G = {n∈N | ∃k∈N n = 2k}.

G ⊂ N,

|G| = |N|Die Menge der geraden natürlichen Zahlen und die Menge der natürlichen Zahlen sind gleichmächtig, weil man die Elemente dieser Mengen paarweise einander zuordnen kann.

Definition:

Einen Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt mit |M| = n.

k∈N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

n = 2k ∈G 2 4 6 8 10 12 14 16 18 …




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1.35


5 Exponen-tialfkt.

Abzählbare Mengen

Definition:

Einen Menge M heißt unendlich, wenn sie eine echte Teilmenge T besitzt (T ⊂ M), zu der sie gleichmächtig ist, für die also gilt |T| = |M|.

Eine Menge M die gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen N ist, für die also gilt |M| = |N|, heißt abzählbar (unendlich).


Menge der ganzen Zahlen Z

Menge der natürlichen Zahlen N ⊂ Z

|Z| = |N|, die Menge der ganzen Zahlen ist also abzählbar.

k∈N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

z∈Z 0 1 –1 2 –2 3 –3 4 –4 …

Man schreibtauch |M| = ∞.

|N| = ℵo

ℵo: „Aleph Null“




Dr. Jürgen Roth

1.36


5 Exponen-tialfkt.

Abzählbare Mengen


Menge der rationalen Zahlen Q

Menge der natürlichen Zahlen N ⊂ Q

Diagonalverfahren von Cantor

Die Pfeile deuten an, wie die Nummerierung erfolgen soll.

Schon erfasste Zahlenwerden übersprungen.

|Q| = |N|, die Menge der rationalen Zahlen ist also abzählbar.

n∈N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

q∈Q 0 1 –1 2 –2 1/2 –1/2 1/3 –1/3 …




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1.37


5 Exponen-tialfkt.

Nicht abzählbare Mengen

Potenzmenge ℘(N) von N

Die Menge ℘(N) aller Teilmengen der natürlichen Zahlen ist nicht abzählbar unendlich.Man sagt auch ℘(N) ist überabzählbar.

Beweis folgt später.

Es gibt also verschiedene Stufen von unendlich! (ℵ0, ℵ1, …)

℘({1}) = {∅, {1}} |℘({1})| = 2 = 21

℘({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} |℘({1, 2})| = 4 = 22

℘({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}|℘({1, 2, 3})| = 8 = 23

℘(N) |℘(N)| = 2ℵ0

Menge der reellen Zahlen R

R ist überabzählbar!

ℵ: „Aleph“|N| = ℵo




Dr. Jürgen Roth

1.38


5 Exponen-tialfkt.

Mächtigkeit abgeleiteter Mengen

Mächtigkeit des Komplements

Ist G eine endliche Menge und M eine Teilmenge von G, dann gilt: |M| = |G\M| = |G| – |M|

Summenformel

Sind M1 und M2 zwei endliche Mengen, dann gilt:|M1 ∪ M2| = |M1| + |M2| – |M1 ∩ M2|

Produktformel

Sind M1 und M2 zwei nichtleere endliche Mengen, dann gilt:|M1 × M2| = |M1| ⋅ |M2|

Sind M1, M2, … , Mn nichtleere endliche Mengen, dann gilt:|M1 × M2 × … × Mn | = |M1| ⋅ |M2| ⋅ … ⋅ |Mn|

M

1

23 45 67

8

9 10

G

M

M ∪ N

23 4

5 67

8

MN

Dr. Jürgen Roth

1.39





5 Exponen-tialfkt.


1.3 Beweistechniken





Dr. Jürgen Roth

1.40


5 Exponen-tialfkt.

Beweistechniken für p ⇒ q

Direkter Beweis

Man geht von der Voraussetzung p aus und argumentiert durch eine Kette logischer Schlüsse so lange, bis man bei der Behauptung q ankommt.

Indirekter Beweis

Man nimmt ¬ q an und schließt dann auf ¬ p, man zeigt also in Wirklichkeit die Kontraposition ¬ q ⇒ ¬ p.

Widerspruchsbeweis

Hier führt man die Negation der zu beweisenden Aussagep ⇒ q, also die Aussage p ∧ ¬ q, zum Widerspruch. Man

nimmt also sowohl p als auch ¬ q an und schließt dann solange weiter, bis man auf einen Widerspruch stößt.




Dr. Jürgen Roth

1.41


5 Exponen-tialfkt.

Direkter Beweis

Behauptung 1:

Für natürliche Zahlen n gilt: Ist n ungerade, dann ist auch n2 ungerade.

p(n) ist die Aussage „n ist ungerade“ und q(n) ist die Aussage „n2 ist ungerade“. Zu zeigen ist p(n) ⇒ q(n).

Beweis (direkt):

n ungerade ⇔ ∃k∈N0n = 2k + 1

⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) +1

⇒ n2 ungerade

Damit ist die Implikation p(n) ⇒ q(n), also die Behauptung bewiesen. #

∈ N0




Dr. Jürgen Roth

1.42


5 Exponen-tialfkt.

Indirekter Beweis

Behauptung 2 (Umkehrung der Behauptung 1):

Für natürliche Zahlen n gilt: Ist n2 ungerade, dann ist auch n ungerade.

p(n) ist die Aussage „n ist ungerade“ und q(n) ist die Aussage „n2 ist ungerade“. Zu zeigen ist q(n) ⇒ p(n).

Beweis (indirekt):

Aus der Annahme ¬ p(n) ist ¬ q(n) zu folgern. Wir zeigen also die zur Behauptung 2 äquivalente Behauptung ¬ p(n) ⇒ ¬ q(n). Dies bedeutet: Ist n gerade, dann ist auch n2 gerade.

n gerade ⇔ ∃k∈N n = 2k

⇒ n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2)

⇒ n2 gerade

Damit ist ¬ p(n) ⇒ ¬ q(n), also auch Behauptung 2 bewiesen. #

∈ N




Dr. Jürgen Roth

1.43


5 Exponen-tialfkt.

Widerspruchsbeweis

Behauptung 2 (Umkehrung der Behauptung 1):

Für natürliche Zahlen n gilt: Ist n2 ungerade, dann ist auch n ungerade.

p(n) ist die Aussage „n ist ungerade“ und q(n) ist die Aussage „n2 ist ungerade“. Zu zeigen ist q(n) ⇒ p(n).

Widerspruchsbeweis:

Die Negation ¬ (q(n) ⇒ p(n)) der zu beweisenden Aussage, also q(n) ∧ ¬ p(n), das ist die Aussage „n2 ist ungerade und n ist gerade.“ wird zum Widerspruch geführt.

n2 ungerade und n gerade ⇔ ¬(∃i∈N n2 = 2i ) ∧ (∃k∈N n = 2k )

⇒ (∀i∈N n2 ≠ 2i ) ∧ (∃k∈N n2 = (2k)2)

⇒ (∀i∈N n2 ≠ 2i ) ∧ (∃k∈N n2 = 2(2k2))

Widerspruch!

Damit ist (*) falsch und folglich die Behauptung 2 richtig. #

∈ N

(*)




Dr. Jürgen Roth

1.44


5 Exponen-tialfkt.

Widerspruchsbeweis

Satz:

Die Menge ℘(N) aller Teilmengen von N ist nicht abzählbar.

Beweis (Widerspruchsbeweis):

Annahme: ℘(N) ist abzählbar.

⇒ Man kann die Teilmengen von N durchnummerieren M1, M2, M3, M4, M5, … und damit ℘(N) darstellen als

℘(N) = {M1, M2, M3, M4, M5, …}.

Wir betrachten die Teilmenge M von ℘(N), für die gilt:

M = {n∈N | n∉Mn}

Diese Menge besteht also aus den natürlichen Zahlen, die nicht in der Teilmenge vorkommen, dessen Nummer sie sind.

⇒ ∀n∈N M ≠ Mn

Widerspruch zur Annahme ℘(N) = {M1, M2, M3 , M4, M5, …}




Dr. Jürgen Roth

1.45


5 Exponen-tialfkt.

Existenz irrationaler Zahlen

Definition:

Eine reelle Zahl x heißt

rational, wenn sie sich in der Form x = mit m ∈ Zund n ∈ N schreiben lässt,

andernfalls irrational.

Satz:

Es gibt keine rationale Zahl x mit x2 = 2.

Beweis (Widerspruchsbeweis):

„Wenn x2 = 2 ist, dann gilt für alle Lösungen x dieser Gleichung x ∉ Q.“

Annahme: p(x) ∧ ¬q(x)

⇒ Es gibt o. B. d. A. einen Bruch mit m, n ∈ Nfür den gilt:

⇒ m2 = 2n2

⇒ m⋅m = 2⋅n⋅n

In der Primfaktorzerlegung von m⋅m tritt die Zahl 2 in einer geraden Anzahl auf, in der von 2⋅n⋅n tritt die Zahl 2 dagegen in einer ungeraden Anzahl auf .

Widerspruch zur Eindeutigkeitder Primfaktorzerlegung!

Dieser Widerspruch zeigt, dass es keine rationale Zahl x mit x2 = 2 geben kann. #

nm

nm

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

nm

o. B. d. A. heißt „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“.




Dr. Jürgen Roth

1.46


5 Exponen-tialfkt.

Existenz irrationaler Zahlen

0 1 22

2

Die reellen Zahlen entsprechen eineindeutig den sämtlichen Punkten der Zahlengeraden.Arnold Kirsch




Dr. Jürgen Roth

1.47


5 Exponen-tialfkt.

Beweismethode: Vollständige Induktion

Idee: Man möchte zeigen, dass eine Aussageform p(n) für alle natürlichen Zahlen zu einer wahren Aussage wird: ∀n∈N p(n)

Beispiel: Dreieckszahlen

Satz:

Für alle natürlichen Zahlen n gilt: 1 + 2 + … + n =( )2

1+⋅ nn




Dr. Jürgen Roth

1.48


5 Exponen-tialfkt.

Schema der vollständigen Induktion

Induktionsanfang: p(1)

Induktionsschritt:∀n∈N p(n) ⇒ p(n + 1)

Induktionsschluss:∀n∈N p(n)

1

2 3 4 5 61 …

n n + 1

⇒

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

∀n∈N p(n)

Zu zeigen: p(n) ist für alle natürlichen Zahlen n wahr.Vorgehensweise:• Beweisen: p(1) ist wahr.• Beweisen: Wenn p(n) für

ein n ∈ N wahr ist, dann ist es auch für n + 1 wahr.

Man geht hier von der Induktionsannahme „p(n) ist wahr“ aus.




Dr. Jürgen Roth

1.49


5 Exponen-tialfkt.

Beispiel

Satz:

Für alle natürlichen Zahlen n gilt: 1 + 2 + … + n =

Beweis (vollständige Induktion):

Induktionsanfang p(1):

Induktionsschritt p(n) ⇒ p(n + 1):

1 + 2 + … + n + (n + 1)

Induktionsschluss:

( )2

1+⋅ nn

( )2

1111

+⋅=

( ) ( )[ ]2

111 ++⋅+=

nn

( ) ( )12

1++

+⋅=

−

nnnannahme

Induktions

( ) ( )2

122

1 +⋅+

+⋅=

nnn

( ) ( )2

121 +⋅++⋅=

nnn ( ) ( )2

21 +⋅+=

nn

( )2

1...21

+⋅=+++∀ ∈

nnnn N

#

∑=

+++=n

k

nk1

...21




Dr. Jürgen Roth

1.50


5 Exponen-tialfkt.

Beispiel

Bernoulli‘sche Ungleichung:

Wenn h eine fest gewählte reelle Zahl mit h > 1 ist, dann folgende Ungleichung für alle natürliche Zahlen n richtig:

(1 + h)n ≥ 1 + n ⋅ h


Induktionsanfang p(1): (1 + h)1 ≥ 1 + 1 ⋅ h

Induktionsschritt p(n) ⇒ p(n + 1):

(1 + h)n+1 = (1 + h)n ⋅ (1 + h)

≥ (1 + n ⋅ h) ⋅ (1 + h)

= 1 + h + n ⋅ h + n ⋅ h2

≥ 1 + h + n ⋅ h

= 1 + (n + 1) ⋅ h

Induktionsschluss: ∀n∈N (1 + h)n ≥ 1 + n ⋅ h #




Dr. Jürgen Roth

1.51


5 Exponen-tialfkt.

Vollständige Induktion

Bemerkung:

Nicht immer liefert ein Induktionsbeweis eine Aussage über alle natürlichen Zahlen.

Manchmal nur über alle natürlichen Zahlen ab einer gewissen Zahl m.

Diese Zahl m übernimmt dann anstelle der 1 die Rolle des Induktionsanfangs.

Induktionsanfang: p(m)

Induktionsschritt: ∀n ∈ {n∈N | n ≥ m} p(n) ⇒ p(n + 1)

Induktionsschluss: ∀n ∈ {n∈N | n ≥ m} p(n)




Dr. Jürgen Roth

1.52


5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Natürliche Zahlen

Grundlage: Was sind natürliche Zahlen?

Mathematiker gehen bei derartigen Fragen axiomatisch vor. Ein Objekt wird dadurch definiert, dass man angibt, welche Eigenschaften es besitzen soll.

Charakteristische Eigenschaften der Menge N

Es gibt eine kleinste Zahl in N, genannt „Eins“.

Mit n gehört immer auch n + 1 zu N.

Mit n gehört auch n – 1 zu N, wenn n ≠ 1 ist.

Ist m ≠ n, dann ist auch m + 1 ≠ n + 1.

Es gilt das Prinzip der vollständigen Induktion in N.




Dr. Jürgen Roth

1.53


5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Natürliche Zahlen

Peano-AxiomeEs seien eine Menge N, ein Objekt 1 und eine auf N definierte Abbildung ν gegeben, für die gilt:

(P1) 1 ∈ N.

(P2) Ist n ∈ N, dann ist auch ν (n) ∈ N.

(P3) Ist n ∈ N, dann ist ν (n) ≠ 1.

(P4) Sind n, m ∈ N und ist n ≠ m, dann ist auch ν (n) ≠ ν (m).

(P5) Ist N ⊆ N, 1 ∈ N und folgt aus n ∈ N stets ν (n) ∈ N, dann ist N = N.

Man bezeichnet die Elemente von N als natürliche Zahlen und nennt ν (n) den Nachfolger der natürlichen Zahl n.

Giuseppe Peano (* 27. 08.1858; † 20.04.1932) italienischer Mathematiker




Dr. Jürgen Roth

1.54


5 Exponen-tialfkt.

Beispiel: Fibonacci-Zahlen

Jemand setzt ein Paar Kaninchen in einen Garten, der auf allen Seiten von einer Mauer umgeben ist, um herauszufinden, wie viele Kaninchen innerhalb eines Jahres geboren werden. Wenn angenommen wird, dass jeden Monat jedes Paar ein weiteres Paar erzeugt, und dass Kaninchen zwei Monate nach ihrer Geburt geschlechtsreif sind, wie viele Paare Kaninchen werden dann jedes Jahr geboren?

Aus dem Rechenbuch „Liber Abacci“ (Buch vom Abakus) des italienischen Mathematikers Leonardo von Pisa, besser

bekannt unter dem Namen Fibonacci (filius Bonacci)




Dr. Jürgen Roth

1.55


5 Exponen-tialfkt.


Hasen-uhr Eltern Kinder Enkel Urenkel

Fibonacci-Paare

Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997




Dr. Jürgen Roth

1.56


5 Exponen-tialfkt.


Fibonacci-Folge:

Rekursive Definition der Fibonacci-Folge:

F(1) = 1 ∧ F(2) = 1 ∧ F(n+2) = F(n+1) + F(n)

Behauptung (Formel von Binet):

Das n-te Glied der Fibonacci-Folge gilt:

Präsenzaufgabe:

Beweisen Sie jeweils in Dreiergruppen die Formel von Binetmit Hilfe der vollständigen Induktion.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …

F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 …

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

nn

nF2

512

51

5

1)(




Dr. Jürgen Roth

1.57


5 Exponen-tialfkt.


Formel von Binet:


Induktionsanfang F(1) ∧ F(2):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

nn

nF2

512

51

5

1)(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅==

11

251

251

5

11)1(F

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

+⋅=

251

251

5

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

252

5

1




Dr. Jürgen Roth

1.58


5 Exponen-tialfkt.


Formel von Binet:


Induktionsanfang F(1) ∧ F(2):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

nn

nF2

512

51

5

1)(

1)1( =F

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅==

22

251

251

5

11)2(F

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅−+⋅⋅= 53

21

5321

5

1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅= 5

21

521

5

15

5

1⋅= ( )53

21

521

46

45

521

41

251

:2

+⋅=

+=

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

NR




Dr. Jürgen Roth

1.59


5 Exponen-tialfkt.


Formel von Binet:


Induktionsanfang F(1) ∧ F(2): F(1) = 1 ∧ F(2) = 1

Induktionsschritt F(n) ∧ F(n+1) ⇒ F(n+2):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

nn

nF2

512

51

5

1)(

)()1()2( nFnFnF ++=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

++ nnnn

251

251

5

12

512

51

5

111

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅= 1

251

251

12

512

51

5

1nn

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅= 53

21

251

5321

251

5

1nn




Dr. Jürgen Roth

1.60


5 Exponen-tialfkt.


Formel von Binet:



Induktionsschritt F(n) ∧ F(n+1) ⇒ F(n+2):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

nn

nF2

512

51

5

1)(

)()1()2( nFnFnF ++=+

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅= 53

21

251

5321

251

5

1nn

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

22

251

251

251

251

5

1nn

NR

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

++ 22

251

251

5

1nn




Dr. Jürgen Roth

1.61


5 Exponen-tialfkt.


Formel von Binet:



Induktionsschritt F(n) ∧ F(n+1) ⇒ F(n+2)

Induktionsschluss:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

nn

nF2

512

51

5

1)(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=∀ ∈

nn

n nF2

512

51

5

1)(N

#

Elemente der Algebra - Universität Koblenz · al-Kitāb al-muhtasar fīhisāb al-ğabr...

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