Probleme Algebra

8/6/2019 Probleme Algebra

1/150

1

DUMITRU BUNEAG

FLORENTINA CHIRTE DANAPICIU

PROBLEME

deALGEBR LINIAR


2/150

2

Prefa

Aceast nou lucrare apare ca o continuare fireasc a lucrrii[6]; ambele reprezint de fapt aplicaii la lucrrile [4, 5].

Dac [6] conine aplicii legate de structurile algebricefundamentale de grup, inel i corp, actuala lucrare conine aplicaiilegate de spaii vectoriale.

Cele aproape 200 de probleme (mpreun cu soluiile complete)

sunt structurate pe 6 paragrafe n concordan cu structura lucrrilor[4,5].Lucrarea se adreseaz n primul rnd studenilor de la facultile

de matematic-informatic, oferind ,,material pentru seminarizareacursurilor de algebr liniar.

Ea poate fi utilizat n egal msuri de studenii politehnitica i de profesorii de matematic din nvmntul preuniversitar.

Primele 4 paragrafe pot fi utilizate i de elevii claselor a XI-a i

a XII-a pentru pregtirea tradiionalelor concursuri de matematic de lanoi.Sperm ci de data aceasta am oferit cititorilor notri o lucrare

utili de calitate.

Craiova, 13.10.2002 Autorii


3/150

3

Index de notaii i abrevieri

a.. : astfel nct

() : implicaia (echivalena) logic

() (()) : cuantificatorul universal (existenial)

xA : elementul x aparine mulimii A

AB : mulimea A este inclus n mulimea B

AB : mulimea A este inclus strict n mulimea BAB : intersecia mulimilor A i B

AB : reuniunea mulimilor A i BA \ B : diferena mulimilor A i BAB : diferena simetric a mulimilor A i BP(M) : familia submulimilor mulimii MCMA : complementara n raport cu M a mulimii AAB : produsul cartezian al mulimilor A i B

|M| : cardinalul mulimii M ( dac M este finit |M|reprezint numrul elementelor lui M)1A : funcia identic a mulimii A

(*) : mulimea numerelor naturale (nenule)

(*) : mulimea numerelor ntregi (nenule)

(*) : mulimea numerelor raionale (nenule)

+* : mulimea numerelor raionale strict pozitive

(*) : mulimea numerelor reale (nenule)+* : mulimea numerelor reale strict pozitive

(*) : mulimea numerelor complexe (nenule)ij : simbolul lui Kronecker ( adic 1 pentru i = j i 0

pentru i j)|z| : modulul numrului complex zK : vom desemna n general un corp comutativ

Kn : K ... K (de n ori)


4/150

4

m | n : numrul ntreg m divide numrul ntreg n[m,n] : cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale m

i nc.m.m.m.c. : cel mai mic multiplu comun

(m,n) : cel mai mare divizor comun al numerelor naturalem i n

c.m.m.d.c. : cel mai mare divizor comun

m n ( mod p) : m este congruent cu n modulo p ( adic p | m-n)

n : mulimea claselor de resturi modulo numrul

natural n (n 2)Mn(K) : mulimea matricelor ptratice de ordin n cu

elemente din mulimea KMm,n(K) : mulimea matricelor cu m linii i n coloane, cuelemente din mulimea K

In(On) : matricea unitate ( nul) de ordin n ( n 2)tr(M) : urma matricei ptratice Mdet(M) : determinantul matricei ptratice MM-1 : inversa matricei ptratice MMt : transpusa matricei ptratice M

M* : adjuncta matricei ptratice Mrang(M) : rangul matricei MGLn(K) : grupul liniar de grad n peste corpul KSLn(K) : grupul special de grad n peste corpul KSn : mulimea permutrilor asupra unei mulimi cu n

elemente

H G : H este subgrup al grupului G

V1 V2 : K-spaiile vectoriale V1i V2 sunt izomorfeHomK(V1,V2) : mulimea aplicaiilor liniare de la V1 la V2EndK(V) : : mulimea endomorfismelor lui VdimK(V) : dimensiunea lui V peste KKer(f) : nucleul lui fIm(f ) : imaginea lui frang(f) : rangul lui fV1 + V2 : suma K-spaiilor vectoriale V1i V2

V1 V2 : suma direct a K-spaiilor vectoriale V1i V2


5/150

5

Pf : polinomul caracteristic al lui fPM : polinomul caracteristic al matricei MV : spaiul vectorial al vectorilor proprii corespunztori

valorii proprii

PPL : problem de programare liniarA[X] : inelul polinoamelor ntr-o nedeterminat cu

coeficieni n inelul comutativ A

f~

: funcia polinomial ataat polinomului fA[X]


6/150

6

CUPRINS

Prefa

Index de notaii i abrevieri

Enunuri / Soluii

1. Matrice. Determinani. Inversa unei matrice. 1 / 41Rangul unei matrice.

2. Spaii vectoriale. 13 / 70

3. Aplicaii liniare. 20 / 86

4. Sisteme de ecuaii liniare. Vectori i valori proprii. 26 / 98

5. Programare liniar. 33 / 117

6. Forme biliniare. Forme ptratice. 38 / 132

Bibliografie 142


7/150

7

A. ENUNURI.1. Matrice. Determinani. Inversa unei matrice.

Rangul unei matrice.

1.1. Fie AMn() iar matricea ce se obine din A nlocuind

fiecare element prin conjugatul su. S se demonstreze c:(i) ( ) )det(det AA = ;(ii) 0)det()det(

2= AAA ;

(iii) Dac A, BMn() i AB=BA, atunci det(A2+B2)0;

(iv) Dac AMn(), atunci det(A2+In )0.

1.2. Fie A=

dc

baM2(). S se arate c :

(i) A verific ecuaia matriceal X2-(a+d)X+det(A)I2 = O2;

(ii) Dac exist k2 a.. Ak= O2i AO2 atunci A2 = O2.

1.3. Fie A=

dc

baM2(). S se arate c pentru orice n1

exist xn, yn a.. An = xnA+ynI2 cu x1 = 1, x2 = a+d, y1 = 0, y2 = -det(A)iar pentru n2, xn+1 = x2xn+y2xn-1i yn = y2xn-1.

Aplicaie. S se calculeze An (n2) pentru A=

- 11

11,

A=

- 41

21i A=

-

31

11.


8/150

8

1.4. S se determine A=

c

ba

1M2() a.. det(A

3-A2) = 1.

1.5. Fie n, n3. S se determine XM2() a. .:

Xn + Xn-2 =

-

-

11

11.

1.6. Fie AMn() cu proprietatea c A2 = In. S se demonstreze

c pentru orice XMn(), exist Y, ZMn() unice a. . X = Y + Z,AY = Y i AZ = -Z.

1.7. Fie A, BMn() (n2) a.. A2+B2 = On.

S se demonstreze c :

(i) Dac n = 4k cu k*, atunci det(AB-BA)0;

(ii) Dac n = 4k+2 cu k*, atunci det(AB-BA)0;

(iii) Dac n = 4k+1 sau 4k+3 cu k*, atunci det(AB-BA) = 0.

1.8. Fie A, BM2(). S se arate c dac ABAB = O2, atunci

BABA = O2. Este rezultatul adevrat n M3()?

1.9. Fie A, BMn() i .S se arate c :(i) tr(AB) = tr(A) tr(B);(ii) tr(A) = tr(A);

(iii) tr(AB) = tr(BA);(iv) Dac UMn() este inversabil, atunci tr(UAU

-1) = tr(A).

1.10. Dac A, BMn() i A+B = AB, atunci AB = BA.

1.11. Fie A =

bac

acb

cba

M3().


9/150

9

(i) Calculnd n dou moduri det(A) s se deduc egalitatea:a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)( a2+b2+c2-ab-bc-ca);

(ii) Utiliznd (i) s se deduc faptul c produsul a dou numere

de forma a3+b3+c3-3abc (cu a, b, c) este de aceeai form.

1.12. Fie a, b, c, a, b, c.(i) S se demonstreze c

bcacabcba

bc

ab

ca

cb

ac

ba

---++=-= 222

1

1

1

1

1

1

;

(ii) Utiliznd (i) s se deduc identitatea: ))(( 222222 cbcabacbabcacabcba ---++---++ == A2+B2+C2 AB-AC-BC,

unde A = aa+bc+cb, B = ac+bb+ca, C = ab+ba+cc.

1.13. Fie AMm(), BMm,n() i CMn(). S sedemonstreze c

)det()det(det , CACO

BA

mn =

(unde On,mMn,m() este matricea cu toate elementele egale cu zero).

1.14. Fie A, B, CMn(). S se demonstreze c

)det()det()1(det BACB

AO nn -=

.

1.15. Fie A, BMn(). S se demonstreze c

2)det(det iBA

AB

BA+=

-.


10/150

10

1.16. Fie M =

-

-

-

---

abcd

badc

cdab

dcba

M4().

S se demonstreze c det(M) = ( a2+b2+c2+d2 )2.

1.17. Fie x1, x2, x3, x4i

A(x1, x2, x3, x4) =

--

--

--

1234

2143

3412

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.

(i) S se arate c det A(x1, x2, x3, x4) =22

423

22

21 )( xxxx +++ ;

(ii) Dac mai avem y1, y2, y3, y4, atunciA(x1, x2, x3, x4) A(y1, y2, y3, y4) = A(z1, z2, z3, z4),

cu z1 = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4z2 = x1y2 - x2y1 + x3y4 - x4y3z3 = x1y3 - x2y4 - x3y1 + x4y2z4 = x1y4 + x2y3 - x3y2 - x4y1;

(iii) S se deduc din (ii) identitatea lui Euler:

)( 2423

22

21 xxxx +++ )(

24

23

22

21 yyyy +++ =

2

4

2

3

2

2

2

1 zzzz +++ .

1.18. Dac a, b, c, d, atunci

(i)

dcba

c

b

a

011

101

110

= a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac+2d;

(ii)


11/150

11

01111

1111

1111

1111

dcba

d

c

b

a

-

-

-

-

= -4[a2+b2+c2+d2-2(ab+ac+ad+bc+bd +cd)].

1.19. (Chio) S se arate c pentru orice n, n3 i a110avem:

nnn

n

nnnn

n

n

n

n

n

nnn

n

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aaa

aa

1

111

31

1311

21

1211

331

111

3331

1311

3231

1211221

111

2321

1311

2221

1211

211

1

111

...

............

...

...

1

...

............

=-

(unde aij).

1.20. Fie A1, A2,, An mulimi finite. Notm cu aij numrul de

elemente ale mulimii AiAj, i, j=1, , n. Dac A este matricea

njiija ,1)( s se arate c det(A)0.

1.21. Fie njiija ,1)( o matrice de ordinul n, definit astfel:

aij = max(i, j), oricare ar fi i, j = 1, 2, , n. S se calculeze det(A).


aij = min(i, j), oricare ar fi i, j = 1, 2, , n. S se calculeze det(A).


aij = | i-j |, oricare ar fi i, j = 1, 2, , n. S se calculeze det(A).

1.24. Fie A o matrice ptratic de ordinul 3, ale crei elemente

sunt 1 i +1. S se arate c:


12/150

12

(i) det(A) este un numr par;(ii) S se determine valoarea maxim (respectiv minim) pe care

o poate lua det(A).

1.25. Fie A o matrice ptratic de ordinul 3, ale crei elementesunt 0 i 1. S se determine valoarea maxim pe care o poate lua det(A).

1.26. Fie njiija ,1)( o matrice de ordinul n, a. . aij{-1, +1},

oricare ar fi i, j=1, 2, , n. S se arate c det(A) este un numr ntregmultiplu de 2n-1.

1.27. S se calculeze valoarea maxim (respectiv minim) adeterminanilor de ordinul 4 ale cror elemente sunt 1 i +1.

1.28. S se rezolve n M2() ecuaia Xn =

64

32(n2).

1.29. Fie AMn() inversabil. S se demonstreze c(At)-1 = (A-1)t.

1.30. Dac AMn() este inversabili simetric, atunci i A-1este simetric.

1.31. Fie AM2() pentru care exist k, k2, a. . Ak = O2.

S se demonstreze c det(I2+A++Ak-1) = 1.

1.32. O matrice AMn() se zice involutiv dac A2 = In i

idempotentdac A2

= A. S se demonstreze c:(i) Dac A este idempotent atunci 2A-In este involutiv;

(ii) Dac A este involutiv atunci )(2

1nIA + este idempotent.

1.33. Fie AM3() ce are elementele de pe diagonala principal

egale cu2

1iar suma elementelor de pe fiecare linie i fiecare coloan

egal cu 1.S se arate c det (A) > 0.


13/150

13

1.34. Fie AMn() i XMn() ce are toate elementele egale.

S se arate c det (A+X)det(A-X) det2(A).

1.35. Dac A, BM2(), atunci

() det (A+B)+det(A-B) = 2[det(A)+det(B)].

Reciproc, dac avem n2 a.. () este verificat pentru orice

A, BMn(), atunci n = 2.

1.36. Fie A=

dc

baM2() cu ad, bc, b0, c0. S se

demonstreze c, dac pentru numrul natural n1 notm

An =

nn

nn

dc

ba,atunci

da

da

c

c

b

b nnnn

-

-== , pentru orice n1.

1.37. Fie matricea A=

106

53. S se demonstreze c pentru

orice n2 exist matricele X, YM2() nenule, distincte i a. .A = Xn + Yn.

1.38. Fie AMn() a.. A3 = A+In. S se demonstreze c

det(A)>0.

1.39. Fie n, n2 i AMn() a. . pentru un k* s avem

Ak= A+In. S se demonstreze c:(i) Pentru k impar avem det(A) > 0;(ii) Pentru k pari n impar concluzia de la punctul (i) nu mai este

neaprat adevrat.

1.40. S se demonstreze c, dac A, B, CMn(), iar aceste

matrice comut ntre ele, atunci det(A2+B2+C2-AB-BC-CA)0.


14/150

14

1.41. Fie A, BM2() a. . det(AB+BA)0. S se arate c

det(A2+B2)0.

1.42. Dac A, BMn() i , atunci det(In+AB) == det(In+BA), iar apoi s se deduc faptul c dac P[X], atuncidet P(AB) = det P(BA).

1.43. Fie BM2() a. . B2 = O2. Artai c pentru orice

AM2() au loc inegalitile: det(AB+BA)-1 i det(AB-BA)1.

1.44. Fie A, BM2(). S se calculeze det(A) tiind c suntndeplinite condiiile:

(i)

0))1(det(...)det()det()det( 21 =-+++++-++ BCABCABCABA nnn

nn (ii) det(B2+I2) = 0.

1.45. Fie AM2(). Artai c urmtoarele afirmaii sunt

echivalente:(i) exist p* a. . Ap = O2;

(ii) exist a, b a. . A =

-+-

+

bb

bba

cossin1

sin1cos.

1.46. Fie A, B, CMn(), B fiind inversabil. S sedemonstreze c urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

(i) ABC = AB + BC;(ii) CB-1A = CB-1 + B-1A.

1.47. Fie AM2(), AI2, pentru orice . S se arate c

ecuaia X -1 X t = A admite soluii XM2() daci numai dac exist

p-{2) a. . A2+I2 = pA.

1.48. Fie AM2() cu det(A) = d 0, a. . det(A+dA*

) = 0. Sse arate c det(A-dA*) = 4.


15/150

15

1.49. Fie A=

dc

baM2() cu a+d >2. S se arate c oricare

ar fi n*, AnI2.

1.50. Fie A, B, CM2(), matrice care comut dou cte dou,a. . numerele det(A), det(B), det(C) sunt nenule i nu au toate acelaisemn. S se demonstreze c det(A2+B2+C2) > 0.

1.51. Fie AM2(), AO2 cu proprietatea c exist a* a. .

A+At

=aI2. S se arate c oricare ar fi m exist b (care depindede m) a. . Am+(At)m=bI2.

1.52. Fie matricele nenule A0, A1, ,AnM2(), n2 cu

proprietile: A0aI2, ai A0Ak= AkA0, pentru orice k{1, , n}.S se arate c:

(i) 0det1

2

=n

k k

A ;

(ii) Dac 0det1

2 =

=

n

kkA i A2aA1, pentru orice a, atunci

21

2 OAn

kk =

=

.

1.53. S se arate c pentru orice A

M2(

) exist C

M2(

) cu proprietatea A* = C At C-1i s se determine toate matricele CM2()care au aceast proprietate.

1.54. Fie AMn() a. . 0)2det( =+ nn IA . S se demonstreze

c:det(A-In) = det(A) + (det(A+In))

n.

1.55. Se consider mulimea matricelor


16/150

16

== --

-

1432

211

121

321

..................

...

...

...

),(

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ACMAAM nnn

nn

n

n

i BMn(). S se arate c AB = BA, oricare ar fi AM daci numai

dac BM.

1.56. S se arate c dac A, BMn() sunt dou matrice

inversabile cu proprietatea c AB + BA = Oni exist a, b, c, d a. .aIn+bA+cB+dAB = On, atunci a = b = c = d = 0.

1.57. Fie n, n2. Pentru orice matrice AMn(), notm cum(A) numrul tuturor minorilor si nenuli. S se arate c:

(i) m(In) = 2n-1;

(ii) dac AMn() este nesingular, atunci m(A) 2n-1.

1.58. Fie A, BMn(), asemenea n Mn() (adic exist o

matrice inversabil PMn() a. . AP = PB). S se demonstreze c A i

B sunt asemenea i n Mn().

1.59. Fie matricele A, BMn(), care verific relaiile:AB = BA, A1997 = In, B

1998 = In.

S se arate c matricea A + B + In este inversabil.

1.60. Fie A un inel comutativ unitari n, n2. Notm

GLn(A) = {MMn(A) | det(M) este un element inversabil n A}

SLn(A) = { MMn(A) | det(M) = 1}.S se demonstreze c:


17/150

17

(i) GLn(A) i SLn(A) sunt grupuri relativ la nmulirea

matricelor, SLn(A) este subgrup al lui GLn(A) i pentru orice XGLn(A)

i orice YSLn(A) avem X-1YXSLn(A);

(ii) Dac K este un corp finit cu p elemente, atunci GLn(K) are(pn-1)(pn-p)(pn-pn-1) elemente;

(iii) Dac U, VM2(), U=

10

11, V=

11

01, atunci

UVSL2() i pentru orice MSL2() exist matricele T1, , Tr{U,

V} i numerele t1, , tr a. . rt

rt TTM = ...11 ;

(iv) Dac mai considerm i WM2(), W=

-

10

01

, atunci

WGL2() i pentru orice MGL2() exist matricele

R1, , Rs{U, V, W} i numerele r1, , rs a. . sr

sr

RRM = ...11 .

1.61. Fie AM3,2(), BM2,3() a. . AB=

-

200

200

211

.

S se calculeze det(BA).

1.62. Demonstrai c dac n-1 linii ale unui determinant D de

ordin n4 au elementele n progresie aritmetic, atunci D = 0.

1.63. Fie p i q dou numere reale a. . p2-4q < 0. S se arate c

dac n este un numr natural impari AMn(), atunci

A2

+pA+qInOn.

1.64. Fie AMn() o matrice a. . An = A, unde , 1.

S se arate c matricea B = A+In este inversabil.

1.65. Fie x1, x2, , xn distincte dou cte dou a. .

2

...21p

=+++ nxxx . Se definete matricea AMn(), A=(akp)1k,pn,


18/150

18

unde )sin()cos( pkpkkp kxxikxxa -+-= , k, p{1, , n}. S se arate

c det(A) daci numai dac n este impar.

1.66. Fie A, BMk() cu AB =BA. S se arate c det(A+B)0daci numai dac det(An+Bn) 0, oricare ar fi n*.

1.67. S se determine matricele AMn() cu proprietatea(A*)* = A.

1.68. S se arate c produsul a dou matrice simetrice este omatrice simetric daci numai dac matricele comut.

1.69. O matrice A = (aij)Mn() se numete ortogonal dacAAt = In. Artai c pentru ca o matrice ptratic s fie ortogonal estenecesari suficient ca s aib loc una dintre urmtoarele relaii:

a) ijn

k

kjkiaa d==1

, pentru orice 1i, jn

b) ijn

k

jkikaa d==1

, pentru orice 1i, jn.

1.70. Fie A=njmiija

11 Mm,n(). S se arate c rang(A)1 dac

i numai dac exist x1, x2, , xmi y1, y2, , yn a. . aij = xiyj,

oricare ar fi (i, j){1, 2, , m}{1, 2, , n}.

1.71. S se discute dup valorile parametrului real rangulmatricei:

-

-

-

=

16101

512

211

l

l

A .

1.72. S se calculeze rangul matricei:


19/150

19

-

-

-

-

=

446125

22363

02242

20121

A .

1.73. Fie AMm,n() iar BMn,m() cu m>n.S se demonstreze c det(AB) = 0.

2. Spaii vectoriale

2.1. Fie V = { x| x > 0}.Definim : VV V i : V V prin xy = xy oricare

ar fi x, yV, i ax = xa, oricare ar fi xV, a.

(i) S se arate c V este un spaiu vectorial;

(ii) S se determine o baz a lui V i dimensiunea lui V peste .

2.2. (i) S se arate c mulimea V = {a+b 2 +c 3 | a, b, c}

este un spaiu vectorial peste corpul al numerelor raionale fa deoperaiile obinuite de adunare a dou numere reale i de nmulire aunui numr real cu un numr raional.

(ii) Acelai lucru pentru V = { a + b 3 2 + c 3 4 | a, b, c}.

2.3. Fie V un K spaiu vectorial. Dac aK* i xV iarax = 0, atunci x = 0.

2.4. Fie ki K dou corpuri a.. kK iar k este subcorp al lui K.S se demonstreze c grupul (K,+) devine n mod canonic k -spaiu vectorial.

2.5. S se arate c vectorii 1, 3 2 , 3 4 sunt liniar dependeni n

privit ca - spaiu vectorial i liniar independeni n privit ca

- spaiu vectorial.


20/150

20

2.6. Fie Ms,n() = { AMn() | At = A} i

Mas,n() = {AMn() | At = - A}.

(i) S se arate c Ms,n() i Mas,n() sunt subspaii vectoriale alelui Mn();

(ii) S se determine cte o baz a acestora i s se arate c

dimMs,,n() = 2)1( +nn iar dimMas,n() = 2

)1( -nn ;

(iii) S se arate c Mn() = Ms,n() Mas,n().

2.7. S se arate c V =

-

Rcba

ac

ba,, este subspaiu

vectorial al lui M2() iar apoi s se determine o bazi dimensiunea luiV.

2.8. Fie a1 = (a11,,a1n),, an = (an1,,ann)n.

Atunci {a1,,an} este baz n n daci numai dac

nnn

n

aa

aa

.............

...

1

111

0.

2.9. S se determine a a.. vectorii a1 = (1, 2, 1, -1),

a2 = (3, a, 2, 0), a3 = (4, -2, 2, 2), a4 = (3, -4, 1, 3) din4 s genereze:

(i) un subspaiu vectorial de dimensiune 4;(ii) un subspaiu vectorial de dimensiune 3.

2.10. S se determine a, b a.. matricele:

1

01

a,

b1

12,

-

21

10din M2()

s fie liniar independente.

2.11. n spaiul vectorial real 4 se dau vectorii a1 = (1, 1, 0, 2)

i a2 = (1, -1, 2, 0). S se completeze acetia pn la o baz a lui 4.


21/150

21

2.12. (Grasmann) Fie V un K- spaiu vectorial de dimensiunefinit iar V1i V2 dou subspaii vectoriale ale sale.

S se arate c :

dimK(V1+ V2) = dimKV1 + dimKV2 dimK(V1V2).

2.13. Fie V un spaiu vectorial de dimensiune n iar V1 ,V2 dousubspaii vectoriale ale sale de dimensiune p i q respectiv, cu p + q > n.

S se arate c V1i V2 au n comun cel puin un element nenul.

2.14. (i) S se arate c mulimea:

M1 = { A = (aij)1i,j3M3() | aij = 0 pentru i > j}

este un subspaiu vectorial al lui M3();

(ii) S se determine o baz pentru M1 i dimM1;

(iii) S se gseasc cte o baz pentru subspaiile Ms,3()M1i

Ms,3() + M1.

2.15. Fie V un K - spaiu vectorial i x1, x2, x3V a..indK{x1, x2, x3}. S se arate c indK{x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1}.

2.16. Fie F() = {f : }.

(i) S se arate c F() devine n mod canonic spaiu vectorial

real, definind pentru f,gF() i a:

f + g, af : prin (f +g)(x) = f(x) + g(x), (af)(x) = af(x),

oricare ar fi x;

(ii) Dacl1, l2, , ln sunt distincte dou cte dou, atuncifunciile {xe 1l x, , e nl x} sunt liniar independente n F();

(iii) Acelai lucru pentru mulimile de funcii:a) { xsin x, cos x};

b) {x1, sin x, cos x};c) {x1, cos x, cos 2x, , cos nx};d) {xsin x, sin 2x, , sin nx};e)

{x1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,, sin nx, cos nx};f) {x1, sin x, sin2x, , sinnx};


22/150

22

g) {x1, cos x, cos2x, , cosnx}, n 1.2.17. Fie V un spaiu vectorial peste K, de dimensiune finit

n 2, iar V1,V2 subspaii vectoriale ale lui V, V1 V2, dimKV1 == dimKV2 = n-1. S se arate c V1+V2 = V i dimK(V1V2) = n-2.

2.18. Fie V1, V2 dou subspaii de dimensiuni finite ale spaiuluivectorial V; B1 = {a1,,ap}, B2 = {b1,,bq}, B3 = {a1,,ap,b1,,br}(r q), baze, respectiv, ale subspaiilor V1, V2, V1 + V2.

Dac bi = =

p

jij

1

a aj + =

r

jij

1

b bj, r+1 i q, sunt scrierile

vectorilor br+1,,bq n baza B3, atunci vectorii ci = =

p

jij

1

a aj, r+1 i q,

constituie o baz a subspaiului V1V2.

2.19. Folosind rezultatul din problema anterioar s se

determine o baz a lui V1V2 unde V1i V2 sunt subspaii ale lui 4 cu

bazele B1 = {a1,a2,a3}, B2 = {b1,b2,b3}, respectiv, unde a1 = (1,1,0,0),

a2 = (0,1,1,0), a3 = (0,0,1,1), b1 = (1,0,1,0), b2 = (0,2,1,1), b3 = (1,2,1,2).

2.20. Fie V1 i V2 dou subspaii vectoriale ale lui n de

dimensiuni finite, avnd bazele B1={a1,,ak}V1i B2 = {b1,,bl}V2(k, ln).

S se pun n eviden un algoritm care s permit construirea,pornind de la B1i B2, a unor baze pentru V1+V2i V1V2.

S se determine cte o baz pentru subspaiile V1+V2i V1V2

n fiecare din cazurile:(i) a1 = (1, 2, 1), a2 = (1, 1, -1), a3 = (1, 3, 3),b1 = (2, 3, -1), b2 = (1, 2, 2), b3 = (1, 1, -3);

(ii) a1 = (1, 2, 1, -2), a2 = (2, 3, 1, 0), a3 = (1, 2, 2, -3),b1 = (1, 1, 1, 1), b2 = (1, 0, 1, -1), b3 = (1, 3, 0, -4);

(iii) a1 = (1, 1, 0, 0), a2 = (0, 1, 1, 0), a3 = (0, 0, 1, 1),b1 = (1, 0, 1, 0), b2 = (0, 2, 1, 1), b3 = (1, 2, 1, 2).


23/150

23

2.21. n 3 considerm vectorii: a1 = (1, 2, -1), a2 = (0, 1, 1),a3 = (-1, 0, 1), b1 = (1, 2, 3), b2 = (1, -1, 0), b3 = (2, -1, 0).

(i) S se arate c B1 = {a1, a2, a3}, B2 = {b1, b2, b3} formeaz o

baz pentru3

;(ii) S se scrie matricele de trecere de la B1 la B2i de la B2 laB1;

(iii) Dac x = (1, 1, 1)3 s se determine coordonatele lui x nraport cu bazele B1i B2.

2.22. S se calculeze cu ajutorul lemei substituiei rangulmatricei:

A =

-

-

--

446125

22363

0224220121

.

2.23. S se discute cu ajutorul lemei substituiei (dupparametrul real a) rangul matricei:

A =

-

-

--

243

2115

03142121

a

a.

2.24. Fie a1 = (1, 2, 3), a2 = (-1, 1, 1), a3 = (-1, 0, 1) i

x = (1, 3,-1) din 3. Cu ajutorul lemei substituiei s arate c vectorii

{a1,a2,a3} formeaz o baz pentru 3 iar apoi s se determine

coordonatele lui x n aceast nou baz.

2.25. S se calculeze cu ajutorul lemei substituiei inversamatricei:

A =

-

-

101

110

121

M3().


24/150

24

2.26. Fie n 1 un numr natural i notm cu Vn mulimea

polinoamelor cu coeficieni din , de grad cel mult n.

(i) S se demonstreze c n raport cu operaiile uzuale (adunarea polinoamelor, respectiv nmulirea unui polinom cu un scalar complex)

Vn este un - spaiu vectorial de dimensiune n+1;

(ii) S se demonstreze c pentru a fixat, mulimeaB = {1, X-a, (X-a)2, ,(X-a)n} este o baz a spaiului vectorial Vn;

(iii) S se determine coordonatele lui f n raport cu baza de la(ii).

2.27. Fie (a1,,at,b)t+1 (t 1). S se arate c mulimeaM = {f : | a1f(1) + + atf(t) = b} nzestrat cu adunareaobinuit a funciilor i nmulirea unei funcii cu un numr complex,

formeaz un - spaiu vectorial daci numai dacb = 0.

2.28. Fie p un numr prim i n un numr natural. Considermmulimile:

Vn = {fp[X] | grad f n} , V = { f| fV}(unde prin f nelegem derivata formal a polinomului f).

(i) S se arate c Vn este un p - spaiu vectorial, iar V este unsubspaiu al lui Vn;

(ii) S se determine dimensiunile celor dou spaii vectoriale Vni V.

2.29. Se noteaz cu S mulimea tuturor irurilor (xn)n0 de

numere complexe care verific recurena liniar de ordin k:akxn+k+ ak-1xn+k-1 + + a1xn+1 + a0xn = 0, oricare ar fi n.

Presupunem c ecuaia caracteristic asociat :akr

k+ ak-1rk-1 + + a1r + a0 = 0

are rdcinile simple r1, r2,,rk.(i) S se demonstreze c n raport cu operaiile uzuale (

adunarea irurilor, respective produsul dintre un ir i un numr

complex) S este un spaiu vectorial complex ;


25/150

25

(ii) Fie (xn)n0S un ir fixat. Notnd cu (A1, A2,,Ak) soluiasistemului:

=+++

=+++

=+++

=+++

----

11

21

211

1

22

22

212

1

12211

021

...

..................................

...

...

...

kkk

kkk

kk

kk

k

xArArAr

xArArAr

xArArAr

xAAA

s se demonstreze c pentru orice n, avem :

xn = A1rn1 + A2r

n2 + +Akr

nk .

(iii) S se deduc, pe baza celor de la (ii), c mulimea

B = {(rn1 )n0, (rn2 )n0,,(r

nk )n0} este o baz a spaiului vectorial S.

2.30. Fie AMn() (n2). S se demonstreze c A se poate

scrie sub forma A = XY YX ( cu X,YMn() ) daci numai dactr(A) = 0.

3. Aplicaii liniare.

3.1. Dac V i V sunt K-spaii vectoriale, atunci f : VV este

aplicaie liniar daci numai dac pentru orice , Ki x, yV avemf(x+y) = f(x)+f(y).

3.2. Fie V un K-spaiu vectorial. Sunt echivalente urmtoarele

afirmaii:(i) dim V = 1;

(ii) pentru orice fEndK(V) existK a.. f(x) = x.

3.3. Dac V i V sunt dou K-spaii vectoriale, atunci pentru

f : VV aplicaie liniar sunt echivalente:(i) f este funcie injectiv;


26/150

26

(ii) f transform orice sistem de vectori liniar independeni dinV n sistem de vectori liniar independeni din V;

(iii) Ker(f) = {0};

(iv) Pentru oricare K-spaiu vectorial V i g, h : VV

aplicaii liniare, din fg = fh g = h.Observaie. Aceast problem ne permite s numim

monomorfisme aplicaiile liniare injective.

3.4. Dac V i V sunt dou K-spaii vectoriale, atunci pentru

f : VV aplicaie liniar sunt echivalente:(i) f este funcie surjectiv;

(ii) Im(f) = V;(iii) Pentru oricare K-spaiu vectorial V i g, h : VV

aplicaii liniare, din gf = hf g = h.Observaie. Aceast problem ne permite s numim

epimorfisme aplicaiile liniare surjective.

3.5. Fie n[X] = {P[X] | grad(P) n} i

D : n[X]n-1[X], D(P) = P, Pn[X]

I :n[X]n+1[X], I(P) = X

dttP0

)(~

, Pn[X].

S se arate c D i I sunt aplicaii liniare i s se pun neviden matricele lor n raport cu bazele canonice.

3.6. Fie diagrama comutativ de K-spaii vectoriale:

MMM gf

NNN vu

cu cele dou linii exacte (adic Ker(g) = Im(f) i Ker(v) = Im(u)).

S se arate c:


27/150

27

(i) Dac , i u sunt monomorfisme, atunci estemonomorfism;

(ii) Dac, i g sunt epimorfisme, atunci este epimorfism;(iii) Dac este epimorfism i u i sunt monomorfisme, atunci

este epimorfism.

3.7. n raport cu baza canonic din 3 se definete f : 33prin

f(x1, x2, x3) = (x1-2x3, x1+3x2+2x3, -x1+x2+x3), (x1, x2, x3)3.

(i) S se arate c fEnd(3);(ii) S se scrie matricea lui f n raport cu bazele canonice;

(iii) S se arate c B = {b1, b2, b3} unde b1 = (1, -1, 1),b2 = (2, 1, -1), b3 = (1, 2, -1) formeaz o nou baz pentru

3i apoi sse scrie matricea lui f n raport cu noua baz B.

3.8. O aplicaie liniar f : 44 are n raport cu bazele

canonice ale lui 4 matricea M =

- 1113

31374

1312

1531

. S se determine

cte o bazi dimensiunile pentru Ker(f) i Im(f).

3.9. Fie f, gEnd(2). Dac matricea lui f n raport cu baza

a1=(1, 2), a2=(2, 3) este A=

34

53iar matricea lui g n raport cu baza

b1=(3, 1), b2=(4, 2) este B=

96

64s se scrie matricele aplicaiilor f+g,

fg n raport cu baza{b1, b2} (vectorii ai i bi, i = 1, 2 sunt scrii n

raport cu baza canonic a lui 2).


28/150

28

3.10. Fie f : 34 o aplicaie liniar a crei matrice n raport

cu bazele canonice din 3i 4 este A =

----

---

-

513238

321

125

. Se cere:

(i) S se determine rangul lui f;

(ii) S se precizeze baza i dimensiunea pentru Ker(f) i Im(f);

(iii) S se determine o bazi dimensiunea pentru subspaiul

vectorial f(V) al lui 4 unde V = {(x1, x2, x3)3 | x1 + x2 + x3 = 0}.

3.11. Fie f:44 o aplicaie liniar a.. f(e1+e2)=(1, 1, -1, -1)

f(e1-e2) = (-1, -1, 1, 1)

f(e3+e4) = (-1, 1, -1, 1)

f(e3-e4) = (1, -1, 1, -1)

unde {e1, e2, e3, e4} este baza canonic din 4

. S se determine:(i) Matricea lui f n raport cu bazele canonice;

(ii) O bazi dimensiunile pentru Ker(f) i Im(f).

3.12. Fie V un K-spaiu vectorial i V1, V2 subspaii vectoriale

ale lui V a.. V = V1V2. Definim pi : VVi, pi(x) = xi, i = 1, 2 oricare

ar fi x = x1 + x2, x1V1, x2V2. S se arate c:(i) piEnd(V), i =1, 2;

(ii) Ker(p1) = V2, Ker(p2) = V1, Im(p1) = V1, Im(p2) = V2;

(iii) p1p2 = p2p1 = 0;

(iv) 121 pp = , 2

22 pp = ;

(v) p1+p2 = 1V.


29/150

29

3.13. Fie z0 = a+ib fixat. Definim f : prin f(z) = zz0,

pentru orice z. S se arate c fEnd() i s se scrie matricea sa n

raport cu baza {1, i}.

3.14. Fie V un K-spaiu vectorial i fEnd(V).

S se arate c V = {gEnd(V) | fg = 0} este un subspaiuvectorial al lui End(V).

3.15. Fie a1 = (1, 0, 2, 2), a2 = (0, 1, 1, -1)4 iar {e1, e2, e3, e4}

baza canonic a lui 4

. Dac notm V1 = i V2 = ,atunci 4 = V1 V2.

3.16. Fie V un K-spaiu vectorial i fEnd(V). S se

demonstreze c V = Ker(f) + Im(f) daci numai dac Im(f) = Im(ff).

3.17. Fie V un K-spaiu vectorial de dimensiune finit.

(i) Dac dimKV = 2n*

, s se construiasc o aplicaie liniarfEnd(V) a.. Im(f) = Ker(f);

(ii) Este posibil o astfel de construcie dac dimensiunea lui Veste numr impar?

3.18. Fie V un K-spaiu vectorial de dimensiune finit n 1.

Dai exemplu de o aplicaie liniar f : V V pentru care nu are loc

egalitatea V = Ker(f) Im(f).3.19. Fie V un K-spaiu vectorial de dimensiune finit n1. S

se dea exemplu de dou endomorfisme f, gEnd(V), f g a..Im(f) = Im(g) i Ker(f) = Ker(g).

3.20. Fie V, W dou K-spaii vectoriale, W de dimensiune finit

iar f, g HomK(V, W). S se arate c:

dim Im(f+g) dim Im(f) + dim Im(g).


30/150

30

3.21. Fie V un K-spaiu vectorial iar

End(V) = {f:VV | f aplicaie liniar}.

Pentru f, gEnd(V) definim f+g, fg : VV prin (f+g)(x) == f(x)+g(x) i (fg)(x) = f(g(x)), xV. S se arate c (End(V), +, )devine astfel inel unitar.

3.22. Fie V i W dou K-spaii vectoriale iar

HomK(V, W) = {f:VW | f aplicaie liniar}.

Pentru f, g HomK(V, W) i aK definim f+g, af : VW prin

(f+g)(x) = f(x)+g(x) i (af)(x) = af(x), xV. S se arate c n felul acestaHomK(V, W) devine n mod canonic K-spaiu vectorial.

3.23. Fie K un corp comutativ, V(K) clasa K-spaiilor vectoriale

i NV(K) fixat.

Definim hN, hN : V(K)V(K) prin hN(X) = HomK(N, X)

respectiv, hN(X) = HomK(X, N). Dac X, YV(K) i fHomK(X, Y),

definim hN

(f):hN

(X)hN

(Y) i hN(f):hN(Y) hN(X) prin hN

(f)() = fi respectiv hN(f)() = f, pentru orice h

N(X) i hN(Y). S searate c:

(i) hN(f) i hN(f) sunt aplicaii liniare;(ii) hN duce monomorfisme n monomorfisme pe cnd hN duce

epimorfisme n monomorfisme;(iii) Dac n V(K) avem irul exact scurt de aplicaii liniare

00 MMM gf

atunci i irurile:(1) 0)()()(0 )()( MhMhMh NghNfhN NN (2) 0)()()(0 )()( MhMhMh N

fhN

ghN

NN sunt exacte n V(K).


31/150

31

3.24. Fie V un sau -spaiu vectorial iar f, gEnd(V) a.. f, g

i f+g sunt proiectori. S se arate c Im(f+g) = Im(f) Im(g) i

Ker(f+g) = Ker(f) Ker(g).

3.25. Dac V este un K-spaiu vectorial de dimensiune n, atunci

V Kn ( izomorfism de K-spaii vectoriale).

3.26. Fie k un corp finit de caracteristic p > 0. S se

demonstreze c numrul elementelor lui k este de forma pn cu n*.

3.27. S se demonstreze c grupurile (,+) i (,+) suntizomorfe.

4. Sisteme de ecuaii liniare. Vectori i valori proprii.

4.1. Fie P = a0+a1X+...+anXn[X] ( n 1 ) pentru care exist

x1, ..., xn+1 diferite dou cte dou a.. P~

(x1) = ... = P~

(xn+1) = 0,

(P~ fiind funcia polinomial ataat lui P).S se arate c a0 = a1 =...= an = 0.

4.2. S se demonstreze c dac P[X], grad(P) = n i

0)(~1

0

= dxxPxk , 0 k n, atunci P = 0.

S se deduc de aici c:

0

12

1...

3

1

2

1

1

1...............

2

1...

4

1

3

1

2

11

1...31

211

++++

+

+

nnnn

n

n

.


32/150

32

4.3. S se discute dup, sistemul

=++

=++++

=++

42

72)1()1(

4

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b

ba

a

.

4.4. Fie a, b. S se demonstreze c sistemul

=+++

=-

=-

14321

43

21

xxxx

bxx

axx

are soluii strict pozitive | a | + | b | < 1.

4.5. S se demonstreze c dac a, b, c, atunci sistemul

++=

++=

++=

azcybxz

bzaycxy

czbyaxx

2

12

12

1

admite numai soluia banal x = y = z = 0.

4.6. S se determine soluiile de baz ale sistemului omogen

=++-

=+-+

=-+-

024

023

032

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.

4.7. Dac a, b, c, d nu sunt toate nule, atunci sistemul

=--+

=+--

=-+-

=+++

0

0

0

0

atbzcydx

btazdycx

ctdzaybx

dtczbyax

admite numai soluia banal.


33/150

33

4.8. S se gseasc condiii necesare i suficiente pentru casuma a dou soluii ori produsul unei soluii printr-un numr 1 s fiedin nou o soluie a aceluiai sistem de ecuaii liniare.

4.9. S se gseasc condiii necesare i suficiente pentru ca ocombinaie liniar dat, de soluii ale unui sistem neomogen de ecuaiiliniare, s fie din nou o soluie a acestui sistem.

4.10. (i) S se gseasc condiii necesare i suficiente pentru ca

sistemul de ecuaii

=++

=++

=++

0

0

0

333

222

111

cybxa

cybxa

cybxa

s aib soluie unic;

(ii) Aceeai problem pentru sistemul aix + biy + ci = 0, 1i n.

4.11. (i) S se gseasc condiii necesare i suficiente pentru ca

sistemul de ecuaii

=+++

=+++

=+++

=+++

0

0

0

0

4444

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

s aib soluie unic;

(ii) Aceeai problem pentru sistemul aix + biy + ciz + di = 0,1 i n.

4.12. Dac a, b, c, d, s se gseasc condiii necesare isuficiente pentru ca sistemul de ecuaii liniare

+++=

+++=

+++= +++=

+++=

duczbyaxv

czbyaxdvu

byaxcvduzaxbvduczy

avduczbyx

s aib soluii nenule.

4.13. S se gseasc condiii necesare i suficiente pentru casistemul de ecuaii liniare cu coeficieni reali


34/150


35/150

35

4.17. S se arate c:

(i) Dac AMn() este singular (det(A) = 0), atunci exist

BMn(), nenul, a.. AB = BA= On;

(ii) O matrice AMn() este singular dac i numai dacexist o matrice BMn(), nenul, a.. pentru orice p

*,(A+B)p = Ap + Bp.

4.18. S se determine vectorii i valorile proprii ai matricelor:

(i)

21

12, (ii)

25

43, (iii)

- 0

0

a

a(a0),

(iv)

-

-

-

863

964

652

, (v)

--

-

--

2112

1012

24101201

.

4.19. Fie AMn() o matrice ale crei valori proprii sunt 1, ,

n. Fie, de asemenea, f

[X], f = a0X

k

+ a1X

k-1

+ + ak-1X + ak inotm f(A) = a0Ak+ a1Ak-1 ++ ak-1A + akIn.S se arate c det(f(A)) = f(1)f(n).

4.20. Fie AMn() o matrice ale crei valori proprii lepresupunem cunoscute. S se determine valorile proprii ale matricelor:

(i) A-1 (dac exist);(ii) A2;

(iii) Ak

(k*

);(iv) a0A

k+a1Ak-1 ++ ak-1A + akIn, unde a0, a1, , ak.

4.21. Fie AMn() (n2) cu valorile proprii distincte dou cte

dou. S se indice un procedeu de a calcula Ak, pentru k*.

Aplicaie. A =

21

12M2(), A =

-

-

-

863

964

652

M3().


36/150

36

4.22. Folosind teorema Cayley-Hamilton s se calculeze inversamatricei

A =

-

122

201

131

.

4.23. Fie V un K-spaiu vectorial de dimensiune finit i

f, gEndK(V) a.. gf = 1V. S se arate c pentru orice hEndK(V),

aplicaiile liniare ghf i h au aceleai valori proprii.

4.24. Fie V un K-spaiu vectorial i f, gEndK(V) a.. fg = gf.S se arate c:

(i) Orice subspaiu propriu al lui f (adic V={xV | f(x) = x},cu valoare proprie a lui f ) este invariant n raport cu g;

(ii) Im(f) i Ker(f) sunt subspaii vectoriale ale lui V invarianten raport cu g.

4.25. Fie A1, , AmMn(). S se demonstreze c0)...det( 11 ++ m

tm

t AAAA .S se deduc de aici c dac A1, , Am sunt simetrice, atunci

0)...det( 221 ++ mAA .

4.26. Fie AMn(), n 2. S se demonstreze c det(A+B) =

= det(A) + det(B) pentru orice B

Mn(

) pentru care AB = BA, dacinumai dac An = On.

4.27. Fie AM2(). S se demonstreze c det(2A2-90A+13I2)=

=0 daci numai dac 2A2-90A+13I2 = O2. Rmne adevrat afirmaia

dac AM2()?

4.28. Fie a(0, 1) i matricea AMn(), n 2. S se

determine matricea XMn,1() a.. AX = aX.


37/150

37

4.29. Fie o parte stabil a mulimii Mn() n raport cu

adunarea i nmulirea a.. -In. S se arate c:

(i) Dac Ui det(U) = 1, atunci U-1;(ii) Dac U i det(U) = 0, atunci exist V, V On a..

UV = VU = On.

4.30. Determinai numerele n* pentru care exist

A, BMn() a.. (AB - BA)2 = In.

4.31. Fie a1, a2, ..., an numere naturale nenule. Dac notmdij = (ai, aj), i, j = 1,..., n. S se arate c 0)det( ,1 njiijd .

4.32. Fie A, B, C, DMn(), A i C inversabile.

Dac AkB = CkD, pentru orice k*, s se arate c B = D.

4.33. Fie V, W dou K-spaii vectoriale de dimensiuni n i

respectiv m iar fHomK(V, W), gHomK(W, V).S se arate c (-1)n n Pfg() = (-1)

m

m Pgf().

S se deduc faptul c dac V este un sau spaiu vectorial

de dimensiune finit iar f, gEnd(V) atunci fg i gf au acelaipolinom caracteristic.

4.34. Fie A = (aij)Mn() o matrice de rang 2 (n>2). S se

demonstreze c exist numerele pi, qi, ri , si a. . aij = piqj + risj, pentru

orice i, j{1, 2, , n}.


38/150

38

5. Programare liniar. *

5.1. S se scrie sistemul de restricii

+-+

=++---+

12343

10526432

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

sub forma unui sistem de restricii de acelai semn .

5.2. S presupunem c variabilele din problema 5.1. au semnele

x1 0, x2 oarecare, x3 0, x4 0. S se scrie restriciile din problema5.1. sub forma cu toate variabilele pozitive.

5.3. S se arate c mulimea Xp a soluiilor posibile a unei PPLeste convex.

Consecin: Dac Xp conine cel puin dou puncte diferite,atunci conine o infinitate de puncte.

5.4. S se scrie subformcanonicurmtoarele PPL:

(i)

+-+=

-++-

=++-

+-+

4321

4321

4321

4321

4321

23[max]

0,0,,0

623

12522

10232

xxxxf

xxoarecarexx

xxxx

xxxx

xxxx

(ii)

+-+=

=-++

+--

-+-

4321

4321

4321

4321

4321

232[min]

0,,0,0

1023

652

42

xxxxf

xoarecarexxx

xxxx

xxxx

xxxx


39/150

39

* Acest paragraf (mpreun cu soluiile problemelor propuse)este redactat n cea mai mare parte dup lucrarea [15].

5.5. S se scrie subformstandardurmtoarele PPL:

(i)

++-+=

-+++

=-+-+

+-+-

54321

54321

54321

54321

54321

2432][

0,0,,0,0

14522

832

1022

xxxxxfopt

xxoarecarexxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

(ii)

+-+=

+++

+++

+++

4321

4321

4321

4321

4321

23[max]

0,,,

1432

1222

102

xxxxf

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

(iii)

-++=

++-

+++

+-+

4321

4321

4321

4321

4321

232[min]

0,,,

1032

1222

62

xxxxf

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

(iv)

++-+=

-++---

=++-+-++-

54321

54321

54321

54321

54321

232[max]

0,0,,0,0

153

12210

xxxxxf

xxoarecarexxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx


40/150

40

(v)

+-=

+-

+-

=+-

++

321

321

321

321

321

321

354[min]

0,,0542

453

232

632

xxxf

xoarecarexx

xxx

xxx

xxx

xxx

5.6. S se determine matricealsoluiile de bazale urmtoarelorPPL:

(i)

++++=

=+--+

=--++

54321

54321

54321

54321

322[max]

0,,,,

432

22

xxxxxf

xxxxx

xxxxx

xxxxx

(ii)

+++=

=-++

=+-+

4321

4321

4321

4321

523[min]0,,,

1222

822

xxxxf

xxxx

xxxx

xxxx

(iii)

++=

=++

=++

321

321

321

321

432[max]

0,,

2042

1022

xxxf

xxx

xxx

xxx

5.7. S se rezolve grafic urmtoarele PPL:

(i)

+=

+

+

21

21

21

21

53[max]

0,

1

632

xxf

xx

xx

xx


41/150

41

(ii)

+=

+

+

21

21

21

21

23[max]3

2,0

22

22

xxf

xx

xx

xx

(iii)

+=

-

+

+

+

21

2121

21

21

21

52[max]

0,

332

24

1

1243

xxf

xx

xx

xx

xx

xx

(iv)

+=

+-

-

+

+

21

21

21

21

21

21

43[max]

0,22

1

1

1243

xxf

xx

xx

xx

xx

xx

(v)

+=

+-

-

+

21

21

21

21

21

53[max]

0, 2

2

1

xxf

xxxx

xx

xx


42/150

42

5.7. S se rezolve cu ajutorul algoritmuluisimplex urmtoarelePPL:

(i)

+++=

=++

=++

4321

4321

432

431

432[max]

0,,,

102

82

xxxxf

xxxx

xxx

xxx

(ii)

+++=

=++

=++

4321

4321

432

431

432[max]0,,,

123

82

xxxxf

xxxx

xxx

xxx

(iii)

+++++=

=++++

=++++

654321

654321

65432

65421

105432[max]

0,,,,,

1832

122

xxxxxxf

xxxxxx

xxxxx

xxxxx

(iv)

-++=

+-

+-

-=++-

4321

4321

431

431

4321

52[max]

0,,,

3532

53

222

xxxxf

xxxx

xxx

xxx

xxxx

(v)

++=

++

++

++

321

321

321

321

321

32[max]

0,,

52

2052

1532

xxxf

xxx

xxx

xxx

xxx


43/150

43

6. Forme biliniare. Forme ptratice.

6.1. Fie V un K- spaiu vectorial de dimensiune finit n 1, iarb:VVK o form biliniar nenul. S se arate c exist dou aplicaii

liniare f,g:VK a.. b(x,y) = f(x)g(y), pentru orice x,yV, dac inumai dac rangul lui b este 1.

6.2. Pentru un spaiu vectorial real V notm:

B(V) ={b:VVb este form biliniar },Bs(V) = {bB(V) b este simetric pe V} iarBas(V) = {bB(V) b este antisimetric pe V}.

S se arate c:(i) B(V) devine n mod canonic spaiu vectorial real n raport cu

operaiile canonice de adunare a formelor biliniare i de nmulire a lorcu un numr real;

(ii) Bs(V) i Bas(V) sunt subspaii vectoriale ale lui B(V);(iii) B(V) = Bs(V) Bas(V).

6.3. Fie V un spaiu vectorial real. S se arate c bBas(V) daci numai dac b(x,x) = 0 pentru orice xV.

6.4.Fie V un spaiu vectorial real de dimensiune finit n 1 iar

f : V o form ptratic pozitiv definit. S se arate c dac A estematricea lui f n raport cu baza B a lui V, atunci A este inversabil idac notm cu g forma ptratic a crei matrice n raport cu baza B a luiV este A-1, atunci g este pozitiv definit.

6.5. Fie B = {e1, e2, e3} baza canonic a spaiului vectorial 3ifie b:33forma ptratic pentru care b(e1, e1)= -1, b(e2, e2) = 1,

b(e3, e3) = 2, b(e1-e2 , e2) = 2, b(e2, e1+2e2) = 5, b(e3-e1, e1) = 4,b(2e1+e2, e3) = 7, b(e1+e3, e2) = 4, b(e1-2e2, e3) = 1.

Se cere:(i) S se scrie matricea formei biliniare b n raport cu baza B;(ii) S se arate c B este simetric;

(iii) S se scrie expresia analitic a formei ptratice f:4

definit prin f(x) = b(x, x), oricare ar fi x3;


44/150

44

(iv) Folosind metoda Jacobi s se determine o expresie canonic

pentru fi baza lui 3 n raport cu care f are aceast expresie canonic.

6.6. Fie b:Mn()Mn() definit prinb(A,B) = 2tr(AB) -tr(A)tr(B),

oricare ar fi A,BMn().1) S se arate c b este o form biliniar simetric;2) Pentru n = 2 se cere:

(i) S se scrie expresia analitic a lui b n raport cu baza

canonic a lui M2();(ii) S se scrie matricea lui b n raport cu baza canonic a lui

M2();(iii) S se determine o expresie canonic a formei ptratice

f:M2() definit prin f(A) = b(A, A), oricare ar fi AM2(),

folosind metoda lui Gauss-Lagrange i s se gseasc baza lui M2() nraport cu care f are aceast form canonic;

(iv) S se precizeze signatura formei ptratice f.

6.7. Fie b : 44 forma biliniar a crei expresie analiticn raport cu baza canonic a lui 4 este:

b(x, y) = x1y1+x1y4-x2y1+x2y2+x3y1+2x3y2+x3y3+4x3y4+x4y3+x4y4,

oricare ar fi x = (x1, x2, x3, x4), y = (y1, y2, y3, y4)4.

Se cere:(i) S se scrie expresia matriceal a lui b n raport cu baza

canonic a lui 4;

(ii) S se scrie matricea lui b n raport cu bazaB = { 1e , 2e , 3e , 4e } a lui

4, unde 1e = (1, -1, 0, 0), 2e = (1, 1, 0, 0),

3e = (0, 0, 1, 1), 4e = (0, 0, 1, -1).

6.8. Fie 2[X] spaiul vectorial real al funciilor polinomiale

reale de grad cel mult 2 i fie b:2[X]2[X], definit prin

b(p,q) =

1

0 )(~

)(~

dttqtp , oricare ar fi p,q2[X].


45/150

45

Se cere:(i) S se arate c b este o form biliniar simetric;(ii) S se scrie matricea lui b n raport cu baza {1, X, X 2} a lui

2[X];(iii) S se scrie matricea lui b n raport cu baza {1, 1-X, 1-X2};(iv) S se scrie expresia analitic a formei biliniare b i expresia

analitic a formei ptratice f: 2[X], f(p) = b(p, p), p2[X], nraport cu baza {1, X, X2};

(v) Folosind metoda lui Gauss-Lagrange s se determine o

expresie canonic pentru f i baza lui 2[X] n raport cu care f areaceast expresie canonic.

6.9. Fie V un spaiu vectorial real cu baza {a1, a2, a3}.

S se determine a a.. forma ptratic f:V,f(x) = x 21 +2ax1x2-2x1x3+x

22 +2ax2x3+2x

23 ,

x = x1a1 + x2a2 + x3a3V este pozitiv definit.

6.10. Folosind metoda lui Gauss-Lagrange s se aduc la forma

canonic forma ptratic f : 3

3

,f(x) = 2x 21 +3x22 - x

23 +2x1x2 + 4x1x3+ 3x2x3.

6.11. Se consider forma ptratic f:4 care n raport cu

baza canonic a lui 4 are expresia analiticf(x) = x 21 + 4x1x2 + 2x1x4 +3x

22 - 2x2x3 + 2x2x4 +2x

23 + 4x3x4 - x

24 ,

x = (x1,x2,x3,x4)4.

S se determine o expresie canonic a sa, folosind metodaJacobi i s se gseasc baza lui 4 n raport cu care f are aceastexpresie canonic. Este f pozitiv definit?

6.12. Aceleai cerine ca i n problema precedent pentruf :3, f(x) = x 21 +2x

22 + 3x

23 - 2x1x2.


46/150

46

B. SOLUII.

1. Matrice. Determinani. Inversa unei matrice.

Rangul unei matrice.

1.1. (i). Dac A=(aij)1i,jn atunci:

( ) )det(...)sgn(...)sgn(det )()1(1)()1(1 AaaaaAn nS S

nnnn === s s

ssss ss .

(ii). Conform cu (i) avem

0)det()det()det()det()det()det(

2

=== AAAAAAA .(iii). Avem A2+B2 = (A+iB)(A-iB) = CC (unde C=A+iB) i

totul rezult din (ii).(iv). Rezult din (iii) alegnd B = In .

1.2. (i). Prin calcul direct.

(ii). Dac exist k2 a.. Ak= O2 deducem c det(A)=0, astfel c

A

2

=(a+d)A i deci O2 =A

k

=(a+d)

k-1

A. Cum AO2 atunci cu necesitatea+d=0 i astfel A2=0A=O2.

1.3. n mod evident x1=1 iar y1=0. Din problema 1.2., (i)deducem c putem alege x2=a+d iar y2=-det(A).

Cum An+1=AnA=(xnA+ynI2)A=xnA2+ynA=xn(x2A+y2I2)+ynA=

=(x2xn+yn)A+y2xnI2 deducem c xn+1 = x2xn+yn, i yn+1 = y2xn.

Cum yn=y2xn-1 deducem c (xn)n1 verific recurena

xn+1=x2xn+y2xn-1, pentru n2 cu x1=1 i x2=a+d iar (yn)n1 recurenayn = y2xn-1 pentru n2 (y1 = 0 i y2 = -det(A)).

Astfel, pentru irul (xn)n1 avem condiiile x1=1 i x2=a+d iar

pentru n2:xn+1 = (a+d)xn-det(A)xn-1,

deci ecuaia caracteristic a irului (xn)n1 este:

() 2-(a+d)+det(A)=0.


47/150

47

Notnd prin 1, 2 rdcinile (complexe) ale ecuaiei

caracteristice (), atunci (vezi [2]):

i) dac 12 ,

() 221

1211

21

21 )det( IAAA nnnnn ---

--= --

llll

llll

ii) dac 1=2 =,

() 221 )det()1( IAnAnA nnn -- --= ll , pentru orice n2.

n cazul particular A=

- 11

11, ecuaia caracteristic () este

2-2+2=0, de unde 1=1+i, 2=1-i. Prin calcul direct deducem c

4sin)2(

21

21 p

ll

ll nnnn

=--

, astfel c dac inem cont de relaia ()

putem scrie:

( ) ( )

( )

-=

--

-=

-

4cos

4sin

4

sin

4

cos

2

10

01

4

)1(sin22

11

11

4sin2

1

pp

pp

pp

nn

nn

nnA

n

nnn

.

Pentru A=

- 41

21avem ecuaia caracteristic 2-5+6=0 cu

1=2 i 2=3. Conform cu () :

--

--

=-

-

--

-

=

++--

nnnn

nnnnnnnnn

IAA 23232

23232

32

32

632

32 11

2

11

.

Pentru A=

-

31

11avem ecuaia caracteristic 2-4+4=0 cu

1=2=2. Conform cu () :

--

---

=

=--=

---

---

--

211

121

221

2)1(4232

22)1(42

2)1(42

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn

InAnA

.


48/150

48

1.4. Condiia det(A3-A2) = 1 este echivalent cudet(A2)det(A-I2) = 1,

de unde det(A2) = det(A-I2) = 1 (cci det(A2)0), sau det(A) = 1 i

det(A-I2) = 1.

Avem astfel sistemele:

=---

=-

1)1)(1(

1

bca

bac i

=---

-=-

1)1)(1(

1

bca

bac.

Primul sistem este echivalent cu

=+

=-

1

1

ca

baciar al doilea cu

-=+

-=-

1

1

ca

bac.

Deducem imediat c b = -a2+a-1 i c = 1-a, cu a (n primul

caz) i respectiv b=-a2-a+1 i c = -1-a, cu a (n al doilea caz).

1.5. Fie X=

dc

ba

, a, b, c, d o soluie a ecuaiei.

Obinem, folosind det(AB) = det(A)det(B),(det(X))n-2det(X+iI2) det(X-iI2) = 0. (1)

Dac det(X+iI2)=0 rezult (a+i)(d+i)-bc=0, de unde

=+

=-

0

1

da

bcadsau

--=

-=21 abc

ad.

Prin urmare, X2= 222

1001 Iaa -=

--- , adic X2+I2 = O2,

relaie din care Xn + Xn-2 = O2, contradicie. Deci det(X+iI2) 0.

Analog det(X-iI2) 0.Din relaia (1), rezult det(X) = 0 i nlocuind n relaia

cunoscut, X2-(a+d)X+det(X)I2 = O2 (conform problemei 1.2., (i)),

obinem X2 = (a+d)X i de aici Xk= (a+d)k-1X, cu k*.


49/150

49

Dac notm = a+d, relaia Xn + Xn-2 =

-

-

11

11, prin

identificarea elementelor devine: a(n-1+n-3) = 1, d(n-1+n-3) = 1,

b(n-1

+n-3

) = -1, c(n-1

+n-3

) = -1. Adunnd primele dou relaii rezultn+n-2-2 = 0.Dac f() = n+n-2-2, rezult f () = n-3(n2+n-2). Dac n este

par, atunci f este strict cresctoare pe [0, ) i strict descresctoare pe

(-, 0) i f(-1) = f(1) = 0. Dac n este impar, atunci f este cresctoare pe

i f(1) = 0. Rezult posibilitile:

X = 2

1

-

-

11

11, pentru n impar

X = 2

1

-

-

11

11, pentru n par,

matrice care verific relaia din enun.

1.6. Se arat uor c Y = 21

(X+AX) i Z = 21

(X-AX) verific

condiiile din enun. Pentru partea de unicitate fie (Y, Z) o alt soluiea problemei.

Atunci Y+Z = Y+Z, AY = Y, AY = Y, AZ = -Z, AZ = -Z.

Deci Y-Y = Z-Z. Pe de alt parte, A(Y-Y) = AY-AY = Y-Y;

A(Z-Z) = AZ-AZ = -Z+Z, i deci avem i Y-Y = - (Z-Z), adic

Y-Y = Z - Z= 0 i prin urmare, Y = Yi Z = Z.

1.7. Cum n condiiile enunului avem(A+Bi)(A-Bi) = -i(AB-BA)

deducem cdet(A+Bi) det(A-Bi) = (-i)n det(AB-BA) .

Dac det(A+Bi) = a+bi (cu a, b), atunci det(A-Bi) = a-biastfel c obinem egalitatea a2+b2 = (-i)n det(AB-BA), de unde se deducimediat concluziile de la (i), (ii) i (iii).


50/150

50

1.8. Din relaia ABAB = O2 rezult B(ABAB)A = O2 adic

(BA)3 = O2. Dac XM2() i X3 = O2, atunci X

2 = O2 (vezi problema1.2., (ii)), adic (BA)2 = BABA = O2.

n cazul lui M3(), un contraexemplu este oferit de perechea de

matrice A =

010

000

100

i B =

000

001

100

.

1.9. (i), (ii), (iii) se deduc imediat prin calcul, iar (iv) rezult din(iii).

1.10. Condiia din enun este echivalent cu (InA)(In B) = Inadic In A este inversabili (InA)

-1=InB. Astfel i (In B)(In A)=In,de unde concluzia c BA = A+B = AB.

1.11. (i). ntr-un prim mod calculm det(A) cu regula lui Sarrusiar n alt mod adunnd ultimele dou linii la prima.

(ii). Fie ai, bi, ci iar iiiiiii cbacbaE 3333 -++= , (i = 1, 2).

innd cont de (i) avem: Ei=-det(Ai), unde Ai=

iii

iii

iii

bac

acbcba

,

i =1, 2, astfel c E1E2=det(A1)det(A2)=det(A1A2) iar prin calcul avem

c A1A2=

333

333

333

acb

bac

cba

, deci

E1E2 = det(A1A2) = 33333

33

33 3 cbacba -++

cu a3 = a1a2+b1b2+c1c2, b3 = a1b2+b1c2+c1a2 i c3 = a1c2+b1a2+c1b2.

1.12. (i). Prin calcul.(ii). Notm s = a+b+c i s = a+b+c.Utiliznd regula lui Laplace, proprietile elementare ale

determinanilori (i) avem:

))((222222

cbcabacbabcacabcba ---++---++ =


51/150

51

=

sAB

ss

sCA

cb

ac

ba

bc

ab

ca

3

1

1

1

1

1

1

-=

-

=

CAB

BCA

ssAB

ssCA

111311 -=

-

( am sumat la ultima coloan opusele primelor dou )= A2+B2+C2 AB-AC-BC.

1.13. Totul rezult din regula lui Laplace dezvoltnd

determinantul

CO

BA

mn,

det dup primele m coloane.

1.14. Totul rezult din regula lui Laplace dezvoltnd

determinantul

CB

AOndet dup primele n coloane.

1.15. La coloana k a matricei

-AB

BAadunm coloana n+k

nmulit cu -i (1kn) i obinem c

-

-+=

-

AiAB

BiBA

AB

BAdetdet .

Acum la linia n+k a ultimei matrice adunm linia k nmulit cu

i (1kn) i obinem c

--+=

--+

iBAOBiBA

AiABBiBA

n

detdet .

Astfel (innd cont i de problemele 1.1.i 1.13.) obinem c:

2)det()det()det(

)det()det(det

iBAiBAiBA

iBAiBAAB

BA

+=++=

=-+=

-


52/150

52

1.16. Dac notm A =

-

ab

ba i B =

- cd

dcatunci

M=

-

AB

BA

, deci conform problemei 1.15. avem c2

)det()det( iBAM += i cum

2222)det( dcbaicaidb

idbicaiBA +++=

-+

+-+=+ ,

deducem c det(M) = ( a2+b2+c2+d2 )2.

1.17. (i). Se calculeaz AAt.(ii). Se ine cont de formula det(AB) = det(A) det(B).(iii). Rezult direct din (ii).

1.18. (i), (ii). Prin calcul direct utiliznd proprietiledeterminanilor.

1.19. Din linia i se scade linia 1 nmulit cu

11

1

a

ai , i = 2,, n.

1.20. Fie E = A1A2An = {e1, e2, , ep}. Considerm

matricea BMn,p(), B = (bij) cu 1in i 1j p, unde

bij =

ij

ij

Aeadac

Aeadac(

(

,0

,1 i astfel A = Bt B. Totul rezult acum din

regula lui Laplace.

1.21. det(A) = n(-1)n-1.

1.22. det(A) = 1.

1.23. det(A) = (-1)n-12n-2(n-1).


53/150

53

1.24. (i). Paritatea rezult din faptul c toi termeniideterminantului sunt numerele 1 i 1 i ei eventual se reduc doi ctedoi.

(ii).Valoarea maxim este 4, de exemplu, pentru matricea

A =

-

-

111

111111

. Valoarea minim este 4.

1.25. Valoarea maxim pe care o poate lua det(A) este 2, de

exemplu, pentru matricea A =

101

110

011

.

1.26. Adunnd prima linie la toate celelalte linii obinem omatrice care are pe liniile de rang 2, 3, , n elementele 0, 2 sau 2, ceeace ne permite s scoatem factor comun pe 2 de pe aceste linii.

1.27. Se aplic problemele 1.24. i 1.26.. Se obine valoarea

maxim 16, iar cea minim 16.1.28. Deducem imediat c det(X) = 0 i astfel dac

X=

dc

baM2(), atunci X

2=X, deci Xn =n-1X (cu =a+d). Obinem

c n-1X =

64

32, adic n-1a =2, n-1 b =3, n-1c =4 i n-1d =6.

Deducem imediat c n

= n-1

(a+d) = n-1

a + n-1

d = 2+6 =8 i prinurmare X =

- 64

3211na

cu n=8.

1.29. Avem At (A-1)t = (A-1 A)t = Int = In, de unde concluzia c

(At)-1 = (A-1)t.

1.30.innd cont de problema 1.29., avem: (A-1)t = (At)-1 = A-1,

adic A-1 este simetric.


54/150

54

1.31. Dac A = O2, totul este clar.

S presupunem c A=

dc

baO2. Relaia A

k = O2, implic

det(A) = 0 i deci A2

= (a+d)A. Rezult O2 = Ak

= (a+d)k-1

A, decia+d = 0. Prin urmare, A2 = O2. Atunci I2+A+A2++Ak-1 = I2+A =

=

+

+

1

1

dc

bai deci det(I2+A++A

k-1) = (a+1)(d+1)-bc =1.

1.32. Att (i) ct i (ii) se verific direct prin calcul.

1.33. Deducem imediat c A este de forma

-

-

-

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

xx

xx

xx

cu x.

Astfel

xx

xx

xxx

xxx

xx

xxA

--

-=

--

--=

-

-=

2

12

2

12

12

2

12

2

12

12

2

1001

2

1

2

12

1

2

1111

)det(

=

4

1

2

33 2 +- xx > 0.

1.34. Putem scrie =

+=+n

i

iDxAXA1

)det()det( , unde Di este

determinantul obinut din det(X) prin nlocuirea coloanei de ordin i cu

coloana format numai cu elemente egale cu 1 (1in). Analog


55/150

55

=

-=-n

iiDxAXA

1

)det()det( , de unde deducem c

2

1

22 )()(det)det()det(

=-=-+

n

i i

DxAXAXA det2(A).

1.35. Prin calcul direct. Pentru reciproc facem n () pe A = B

cu det(A) 0 i deducem c det(2A) = 4det(A) 2n = 4 n = 2.

1.36. Facem inducie dup n; pentru n=1 totul este clar, deoarecea1=a, b1=b, c1=c i d1=d. Scriind c A

n+1 = An A, obinem relaiile de

recuren:

+=

+=

+=+=

+

+

+

+

nnn

nnn

nnn

nnn

ddbcd

cdacc

dbbabcbaaa

1

1

1

1

pentru orice n1. S presupunem deci c

da

da

c

c

b

b nnnn

-

-== . Atunci

b

bda

b

b nn

n +=+1 ,c

cad

c

c nn

n +=+1 i

astfel

c

c

b

b nn 11 ++ = c

cad

b

bda nn

nn +=+

b

bd

c

cada nnnn -=-

)( dab

bda nnn -=- , ceea ce este adevrat, din ipoteza de inducie.

Analog restul de egaliti.

1.37. Deoarece det(A) = 0, rezult c A2-(3+10)A = O2, deci

A = 131-n

An

, pentru orice n1. Rezult c reprezentarea cerut esteposibil, alegnd de exemplu, X = 13(1-n)/n 1/nA i Y = 13(1-n)/n 1/nA,

cu , numere reale arbitrare a. . , + = 1.

1.38. Din A3 = A+In A(A2-In) = In det(A)0. De asemenea,

din A3 = A+In A3+A2 = A2+A+In A

2(A+In) = A2+A+In

det(A+In)0 i revenind la A3 = A+In det(A)>0.

1.39. Vom demonstra pentru nceput urmtoarea:


56/150

56

Lem.Fie P un polinom cu coeficieni reali, frrdcini realei care are coeficientul puterii de gradul cel mai mare pozitiv. Atunci

det(P(A))0, pentru orice AMn().

ntr-adevr, P este de formakn

k

r

k

k cxbxaxP )()(1

2 ++= = , cu

a > 0, 042 0. Rezult det(A(A-In))>0.Cum k = 2p+1, din relaia A(Ak-1 - In) = In, deducem c

A(A2-In)( A2(p-1) ++A2+In) = Ini de aici c det(A+In)>0.

Cum Ak= A + Ini k este impar, concluzionm c det(A) > 0.(ii). Fie k un numar pari A = In. Egalitatea A

k = A + In esteechivalent cu (k--1)In = On. Deci

k--1 = 0. Deoarece f()=k--1

este continu, f(-)= i f(0) = -1 rezult c f admite o rdcin

0 < 0 i n acest caz A = 0In verific relaia Ak = A + In , dardet(A) = n0a < 0.

1.40. Deoarece matricele A, B, C comut ntre ele, putem scriec: M=A2+B2+C2-AB-BC-CA=(A+B+2C)(A+2B+C), cu rdcina

cubic a unitii (1). Astfel, det(M)=det(A+B+2C)det(A+2B+C)i, dac det(A+B+2C) = a+b+c2, atunci det(A+2B+C) =

= a+b2

+c (a, b, c) i astfel:


57/150

57

det(M)=(a+b+c2)(a+b2+c)=a2+b2+c2-ab-bc-ca0.

1.41. Fie X=A2+B2 i Y=AB+BA. Cum:X+Y=A2+B2+AB+BA=(A+B)2 i X-Y=A2+B2AB-BA=(A-B)2

obinem: det((A+B)2)+det((A-B)2)=2det(A2+B2)+2det(AB+BA)(conform problemei 1.35.), deci

( ) ( )[ ])det(2)det()det(2

1)det( 2222 BAABBABABA +--++=+

i cum det(AB+BA)0, rezult det(A2+B2)0.

1.42. Dac A este inversabil atunci putem scrie

In+AB=A(In+BA)A-1

i astfeldet(In+AB)=det(A)det(In+BA)det(A-1)=det(In+BA).

Dac A nu este inversabil, observm c exceptnd o

submulime finit x de elemente din avemdet[In+( xIn+A)B]=det[In+B(xIn+A)],

pentru orice . Cum cei doi determinani sunt polinoame n xegalitatea se menine i n x=0, deci din nou obinem cdet(In+AB)=det(In+BA).

Fie acum P de forma P=a(X-x1)(X-xn), cu a, x1, , xn.

Atunci P(AB)= =

-n

k

nkIxABa1

)( i P(BA)= =

-n

k

nkIxBAa1

)( i

astfel egalitatea det P(AB) = det P(BA) este imediat.

1.43. Se tie c dac A, BM2() atunci det(AB-I2)=det(BA-I2)i det(AB+I2)=det(BA+I2) (conform problemei 1.42.). Rezult c

det[(AB-I2)(BA-I2)] = det(AB-I2)2 = [det(AB-I2)]

20. (1)Dar (AB-I2)(BA-I2) = I2-(AB+BA) (deoarece B

2 = O2).

Analog det(I2+(AB+BA))0. (2).Folosind acum relaia: det(X+Y)+det(X-Y) = 2[det(X)+det(Y)],

pentru orice X, YM2() (conform problemei 1.35.), din (1) i (2)rezult

0det(I2-(AB+BA))+det(I2+(AB+BA))=2[det(I2)+det(AB+BA)]=

=2[1+det(AB+BA)], adic det(AB+BA)-1. Din B2=O2 rezult


58/150

58

det(B) = 0 deci 0 = 2[det(AB)+det(BA)] = det(AB+BA)+det(AB-BA) ifolosind prima inegalitate rezult a doua.

Observaie. Se poate demonstra de aici c

det(AB-BA)0det(AB+BA).

1.44. det(B2+I2) = 0 det(B+iI2) det(B-iI2) = 0.

Cum BM2(), avem det(B+iI2) = det(B-iI2) = 0.

Fie g:, g(x) = det(B+xI2). Avem g(x) = x2+x+, pentru

orice x, unde , , , =det(I2)=1, =det(B). Extinznd pe g la ,pentru x=i, avem:

(1) 0 = det(B+iI2) = -1+i+det(B), deci = 0 i det(B) = 1.Fie f:, f(x) = det(A+xB), pentru orice x. Atunci

f(x)=ax2+bx+c, pentru orice x, unde c = f(0) = det(A) i

)det(detlim)(

lim2

BBx

A

x

xfa

xx=

+==

.

Relaia din ipotez se scrie sub forma 0))1((0

=-=

n

k

kn

kCf .

innd seama de forma funciei f, se obine egalitatea:0)det()1()1()()det(

00

2 =++-+ ==

AnCbCBn

k

kn

kn

k

kn

(2) 0)det()1()det( 2 =++ AnCBnn .

Din (1) i (2) deducem c1

)det( 2+

-=n

CA

nn .

1.45. (i)(ii). Dac p=1A=O2a=0, b, deci (i)(ii).Fie p*, p2, a.. Ap=O2 det(A

p)=(det(A))p=0, decidet(A)=0.


59/150

59

Lum A=

tz

yxA2-(x+t)A+det(A)I2=O2 A

2=(x+t)A i

prin inducie, Ap = (x+t)p-1A, pentru orice p* , deci (i)

=+

=

0

2

tx

sau

OA

.

Dac A = O2 a = 0 i b(ii).

Dac x+t = 0 t =-x A=

- xz

yxi det(A) = 0x2+yz = 0.

Lum x = acosb i y = a(1+sinb), z = a(-1+sinb), cu a, bi

astfel rezult (ii).(ii) (i). Dac a=0, b A=O2exist p=1 a.. A

p= A1=O2.

Dac a0, b A2=O2exist p=2* , p>1 a.. Ap= O2 .

1.46. Vom demonstra pentru nceput urmtoarea:Lem.Dacdoumatrici ptratice X, Y verificrelaia XY = In,

atunci ele sunt nesingulare, X-1 = Yi YX = In.

Demonstraia lemei se bazeaz pe faptul c XY = In implicdet(X) 0. Rezult c matricea X este inversabil. nmulind la stngarelaia XY = In cu X

-1 obinem Y = X-1 deci i YX = In.Lema se aplic astfel:

(i) (ii). Din relaia ABC = AB+BC deducem (In-A)B(In-C) ==(B-AB)(In-C) = B-BC-AB+ABC = B, deci (In-A)B(In-C)B

-1 = In.Conform lemei, avem i (In-C)B

-1(In-A)B=In, adic (B-1-CB-1)(In-

-A) = B-1

. Prin urmare, B-1

-B-1

A-CB-1

+CB-1

A = B-1

, deciCB-1A = CB-1+B-1A.

(ii) (i). Se demonstreaz analog.

1.47. ,,. Presupunem c ecuaia X-1Xt =A admite soluia

X=

dc

baM2(). Atunci X

-1 =

-

-

ac

bd

X)det(

1, Xt =

db

cai

deci


60/150

60

A = X-1 Xt =

--

--2

2

)(

)(

)det(

1

cadacb

dbcbad

X,

unde evident impunem condiia det(X)0adbc.

Deoarece AM2() i orice matrice AM2() verific ecuaiacaracteristic A2-tr(A)A+det(A)I2=O2, deducem c det(A) =

= det(X-1)det(Xt) = 1)det()det(

1= X

X i p

bcad

cbadAtr =

---

=222

)( .

Dac p=2 (b-c)2=0 b=c A=I2, obinem o contradicie. Deci

exist p\ {2} a.. A2-pA+I2 = O2 , unde p a fost definit mai sus.

,,. Dac exist p-{2) a. . A2

-pA+I2 = O2 i AI2,folosim faptul c A verific ecuaia caracteristicA2-tr(A)A+det(A)I2=O2, i prin scdere deducem c (tr(A)-p)A == (det(A)-1)I2, de unde p = tr(A) i det(A) = 1.

Prin urmare A se scrie sub forma

--+-=

upv

upuvu

A21 ,

cu u, v, v0 i deducem c sistemul ubcad

bad

=-- 2

,

upbcad

cad-=

-- 2

, vbcad

dbc=

-- )(

,v

upu

bcad

acb 1)( 2 --=

--

are soluie doar

dac p2, i anume dv

puua

2

2 1+-= , d

v

ub

1-= , d

v

puc

-+=

1,

unde d*i deci matricea X=

+-

-+-

vpu

u

v

puu

v

d

1

112

satisface ecuaia

X-1Xt = A.

1.48. Fie A=

qp

nm, A*=

-

-

mp

nq, d = mq-np, m, n, p,

q. Prin calcul direct avem: det(A+dA*) =mdqdp

dnqdm

+-

-+

)1(

)1(=

= d[(d-1)2

+(m+q)2

], iar condiia din enun devine d = 1 i m+q = 0.


61/150

61

Atunci det(A-dA*) = det(A-A*) =mqp

nqm

-

-

2

2=

= -(m+q)2+4(mq-np) = 4d = 4.

1.49. Matricea A verific ecuaia sa caracteristic, deci

A2-(a+d)A+(ad-bc)I2=O2. Presupunem c exist n1 a. . An = I2.

Rezult c (det(A))n =1, deci det(A){-1, 1}. Considerm polinoamele

f=X2-uX+v, g=Xn-1, unde u=a+d >2, iar v{-1, 1}. Ecuaia f(x)=0 arerdcinile x1, x2 reale deoarece =u

2-4v>0. Rdcinile x1, x2 nu pot firdcini ale ecuaiei g(x)=0, deoarece dac 011 =-

nx rezult |x1|=1 i

cum 0121 =+- vuxx , am avea |u|=|ux1|= vx +21 |x1|2+|v|=2,contradicie. Rezult c polinoamele f i g sunt prime ntre ele, deciexist polinoamele cu coeficieni reali P i Q a.. Pf+Qg=1. Aceastegalitate fiind o identitate polinomial, se pstreaz cnd nlocuim pe X

prin matricea A, deci P(A)f(A)+Q(A)g(A)=I2. Deoarece f(A)=g(A)=O2,aceast egalitate matriceal devine O2=I2, contradicie.

1.50. Fie f:

, f(x)=det(A

2

+B

2

+C

2

+BCx). Avem cf(2)=det[A2+(B+C)2] > 0 i f(-2) = det[A2+(B-C)2] > 0. S presupunemde exemplu c det(BC) = det(B)det(C) < 0.

Graficul lui f este o parabol, deci det(A2+B2+C2) = f(0) > 0.

1.51. Fie A=

tz

yxM2(), AO2, a. . A+A

t=aI2

=

+

a

a

ty

zx

tz

yx

0

0

x = t i z = -y A=

- xy

yx

. Din

AO2 rezult c det(A) = x2+y20, deci A este inversabil.

Fie B= Ayx

yx

x

yx

y

yx

y

yx

x

22

2222

2222 1

+=

++-

++.


62/150

62

Observm c 1

2

22

2

22=

++

+ yx

y

yx

x, deci exist

t[0, 2) a.. tyx

x cos22

=+

i tyx

y sin22

=+

B=

- tt

tt

cossin

sincos.

Se verific prin inducie dup m0, c Bm=

- mtmt

mtmt

cossin

sincos

i apoi pentru m0, deci pentru m.

Atunci Am + (At)m=m

yx

+ 22 (Bm+(Bt)m) =

=m

yx

+ 22

mt

mt

cos20

0cos2=bI2,

pentru b=2cos mtm

yx

+ 22 .

1.52. Dac Ak=

kk

kk

dc

ba, din A0Ak=AkA0 rezult

kkkkk

ad

ad

c

c

b

ba=

-

-==

0000

i cum A0aI2b0, c0, d0-a0 nu sunt toate

nule, avem bk=kb0, ck=kc0, dk=kd0+k, ak=ka0+k, aadar,

Ak=kA0+kI2, 1

k

n.(i). Dack=0, k{1,,n} atunci ( ) 22

1

2 IA k

n

k

k = =

b , deci

( ) 0)det( 221

2 = =

k

n

k

kA b .

Dac 02 = kaa , atunci

( ) ( ) ( ) )(2 022

0

2

0

22

APIAAA kkkkk =++= bbaa ,


63/150

63

P fiind un polinom de grad doi cu discriminantul:

( ) ( )( ) 0222 -=D kkkk baba .Rezult ))(()( 00 zzzzzP --= a , z0, de unde

))(()( 2002000 IzAIzAAP --= a , deci

0)det()(det2

2002

0 -= IzAAP a .

(ii). Din condiia A2aA1, pentru orice a, rezult1

2

1

2

b

b

a

a

adic


64/150

64

C-1S = I2, deci S = C. Ca urmare, matricele cutate sunt de forma:

-

0

0

a

a, *.

1.54. Fie P(X) = det(A + XIn)[X]. P(X) i Xn-2 nu sunt

prime ntre ele n [X]. ntr-adevr, presupunnd contrariul, exist

polinoamele R, S[X] a.. PR + (Xn-2)S = 1, de unde

( 1)2(2 = nn PR . Dar, din ipotez, 0)2( =nP , contradicie. Cum nsXn-2 este ireductibil n [X] (conform criteriului lui Eisenstein),deducem c (Xn-2) | P. Deoarece grad P = n i P este monic, rezultP = Xn-2. Deci det(A+XIn) = Xn-2 i obinem: det(A) = det(A+0In) = -2;det(A+In) = det(A+1In) = -1; det(A-In) = det(A+(-1)In) = (-1)

n-2.Rezult: det(A-In) = det(A)+(det(A+In))

n.

1.55. S notm cu ),...,,( 21 naaaA matricea din M determinat

de numerelen

aaa ,...,, 21 . Notm cu A1 = Ini pentru orice i{2, , n}Ai matricea determinat de aij = i,j-1. Se observ c

=

=n

i

iin AaaaaA1

21 ),...,,( . Facem convenia s identificm pe n+i cu i,

pe i cu n-i pentru 1in i pe 0 cu n. Se observ uor prin calcul c

AiAj = AjAi = Ai+j, pentru 1i, jn.

Fie =

=n

i

iiAaA1

i =

=n

jjj AbB

1

. Atunci:

)(1==

n

i

iiAaAB )(1=

n

jjj Ab = = =

n

ijiji

n

jAAba

1 1)( = = =

n

iijji

n

jAAba

1 1)( =

= =

n

j

jjAb1

)( BAAan

i

ii ==

)(1

.

Reciproc, s presupunem c matricea B comut cu orice matrice

AM. Atunci elementul aij al matricei A2 se poate scrie, innd cont deconvenia fcut, sub forma:


65/150

65

-=

-== - 11

,101,

jipentru

jipentrua jiij d .

Fie B=(bij)

1

i,j

nmatricea care comut cu orice matrice AM.

Deci BA2=A2B sau ==

+n

k

kjikb

1

1d =

=-

n

k

kjik b

11d

=+

n

k

jkikb

1,1d , de unde

rezult c bi,j-1= bi+1,j pentru orice 1i, jn.Facem pe rnd pe i=1, 2, , n i j=1, 2, , n i obinem:

12211 ... bbbb nn ==== ,

21,,12312 ... bbbbb nnn ===== - ,

..nnnn bbbbb ===== -1,32211 ... ,

de unde deducem c B = ),...,,( 21 nbbbA M.

1.56. Avem:On = AOn = A(aIn+bA+cB+dAB) = aA+bA

2+cAB+dA2B == aA+bA2-cBA-dABA=(aIn+bA-cB-dAB)A, deci aIn+bA-cB-dAB = On.

Rezult aIn+bA = On.

Dac b0, atunci a0 i nIb

aA -= deci

nOBb

aBAAB -=+

2, absurd, deci a = b = 0. Cum cB+dAB = On

implic cIn+dA = On rezulti c = d = 0.

1.57. (i). Considerm coloanele i1


66/150

66

aceste coloane care este nenul. Rezult c avem cel puin knC minori de

ordin k nenuli (putem alege knC sisteme de k coloane din n) i atuncinumrul total este cel puin 2n-1.

1.58. Fie PMn() o matrice inversabil astfel nct AP = PB.Atunci:

P = (zkj)k,j = (ukj+ivkj)k,j = U+iV, unde U, VMn().Din relaia A(U+iV) = (U+iV)B, separnd partea reali partea

imaginar, rezult c AU = UB i AV = VB.Fie polinomul cu coeficieni reali f(x) = det(U+xV). Deoarece

f(i) = det(P) 0, rezult c f este nenul i deci exist cuproprietatea c f() 0.

Atunci det(U+V) 0, adic U+V este o matrice inversabil

n Mn(). Dar A(U+V) = AU+AV = UB+VB = (U+V)B, deci A i

B sunt asemenea i n Mn().

1.59. Inversabilitatea matricei A+B+In este echivalent cu faptul

c singura soluie a sistemului liniar omogen (A+B+In)x = 0 este soluiabanal x = 0 (din n).

Presupunnd c v este o soluie, avem (folosind faptul cAB = BA i inducia matematic)

Bkv = (-1)k(In+A)kv.

Astfel, v = B1998X = (In+A)1998v.

Lem.Polinoamele P(X) = (X+1)1998-1 i Q(X) = X1997-1 suntprime ntre ele.

Demonstraie. Fie z0 o rdcin comun. Atunci |z0|=1 i|z0+1|=1. Prin urmare, 0, 1 i z0+1 sunt vrfurile unui triunghi

echilateral. Rezult de aici c arg(z0+1){-/3, /3}.

Deci z0+1=3

sin3

cospp

i+ sau z0+1=3

sin3

cospp

i- .

n ambele cazuri, 19970z 1, contradicie.

Conform lemei, exist dou polinoame R, S[X] cu

proprietatea c R[(X+1)1998

-1]+S[X1997

-1] = 1.


67/150

67

Atunci R(A)[(A+In)1998-In]+S(A)[A

1997-In] = In n Mn().Aplicnd la cei doi membri pe v, obinem n stnga 0 i n dreapta v.Deci v = 0.

1.60. (i). Evident.(ii). Dac V este un K-spaiu vectorial de dimensiune n, atunci

| V | = pn. Interpretnd elementele lui GLn(K) drept mulimea aplicaiilorliniare inversabile pe V = Kn, se observ imediat c | GLn(K) | este egalcu numrul sistemelor ordonate (e1, , en) de elemente ale lui V ceconstituie baze ale lui V peste K. ns, pentru a alege o baz a lui V

peste K, putem alege mai nti pe e1 ca fiind orice element nenul al lui V(avem pn-1 posibiliti), apoi pe e2 ca fiind orice element al lui V ce nu

este de forma ae1, cu aK (avem pn-p posibiliti); apoi pe e3 ca fiind

orice element din V ce nu este de forma a 1e1+a2e2, cu a1, a2K (avempn-p2 posibiliti) etc.

Deci | GLn(K) | = (pn-1)(pn-p)(pn-pn-1).

(iii). Cum det(U) = det(V) = 1, deducem c U, VSL2().

Prin calcul direct se verific egalitile: U-1 =

-

10

11;

V-1 =

- 11

01; Uk =

10

1 k; Vk =

1

01

k, pentru orice k, precum

i egalitatea:

()

-

-

10

01= U-1V2U-1V2.

Fie acum M =

dc

baSL2() cu ad-bc = 1.

Vom demonstra prin inducie matematic asupra lui |c| c Mpoate fi scris sub forma cerut de enun. Dac |c| = 0, atunci ad=1 deci

a = d = 1 sau a = d = -1, astfel c M =

10

1 b= Ub, respectiv

M=

-

-

10

1 b=

-

-

10

01

-

10

1 b= U 1 V 2 U -1V 2U -b (inem cont de

()).


68/150

68

Presupunem acum c |c|0 i fie q, r astfel nct a=cq+r cu

0r


69/150

69

1.62.Avem:

n

nnnnnnn

bbbb

rnararaa

rnararaa

rnararaa

D

...

)1(...2

...............

)1(...2

)1(...2

321

1111111

2222222

1111111

------- -+++

-+++

-+++

=

113121

1111

2222

1111

...

)1(...2...............

)1(...2

)1(...2

bbbbbbb

rnrra

rnrra

rnrra

n

nnnn

---

-

-

-

=

----

1...

2

...

...............

...

...

)!1(

113121

1111

2222

1111

-

---

-=----

n

bbbbbbb

rrra

rrra

rrra

n

n

nnnn

n

nn

ccbbb

ra

ra

ra

n

...

0...0

...............

0...0

0...0

)!1(

3121

11

22

11

-

-=

--

= 0, (dezvoltnd pe D dup

ultima coloan).

1.63. Presupunem prin absurd c A2+pA+qIn=On. Atunci din

identitatea A2+pA+qIn= nn Iqp

Ip

A4

4

2

22 --

+ , rezult c

nn Iqp

Ip

A 4

4

2

22 -=

+ . Aplicnd determinantul n ambii membri


70/150

70

obinem

n

n

qpI

pA

-=

+

4

4

2det

22

. Membrul stng al egalitii este

pozitiv iar membrul drept al egalitii este strict negativ deoarece

p2-4q < 0 i n este un numr natural impar, deci am obinut ocontradicie. Rezult deci c A2+pA+qInOn.

1.64. Se obine A = B-In i condiia An = A se poate scrie

astfel: (B-In)n = (B-In)

sau nnnn

nn IBIBCB aa -=-++- - )1(...11 ,

sau nn

nnn

nn IIBBBCB )1()1(... 111 ---=--++- -- aa .

De aici putem scrie))1(())1(...( 11211 aa --=--++- +--- nnnn

nnn

n IIIBCBB , de unde

(1) nnnnnn

nn IIIBCBB =

----++-

+---

aa

11211

)1(

1))1(...( .

Am inut cont c1 i BnIn = InBn. Din relaia (1) rezult c

matricea B are invers la dreapta i datorit faptului c B comut cuorice putere a sa, rezult c aceast invers la dreapta este inversi la

stnga. Deci matricea B este inversabil.

1.65. Notm kkk xixz sincos += , k{1, , n}.

S observm ckp

kkp

z

za = i

ixxxixxxzzz nnn =+++++++= )...sin()...cos(... 212121 .

Atunci

nn

n

n

n

n

n

n

n

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

A

...

............

...

...

)det(

21

22

22

221

2

1

2

1

1

1

=


71/150

71

==

---

n

n

nn

nn

n

zzz

V

zzz

zzz 1,...,

1,

1

1...11............

1...

111...11

21

112

11

21 ,

unde Vn este determinantul Vandermonde de ordinul n (s-au dat factori

comuni z1, z2, ,zn pe linii inzzz

1,...,

1,

1

21

pe coloane). Avem aadar:


72/150

72

seama de faptul c matricele A i B comut, precum i de relaiile luiVite pentru ecuaia (1), putem scrie:

=

+-


73/150

73

ntr-adevr, dezvoltnd detA(t) dup linia i, avem:

ijijininijijii ttAataatA G=G+=G++G+++G= )0(det...)(...)(det 11 .

Procednd ca n cazul i), avem A*(t) = detA(t)(A(t))-1, pentru

t0 i (A*

(t))*

= (detA(t))n-2

A(t). Elementele lui A*

(t) sunt funciicontinue n t de grad cel mult unu, deci elementele lui (A *(t))* sunt

polinoame de grad cel mult n-1 n t. Atunci cnd t0 rezult celementele lui (A*(t))* tind ctre elementele lui (A*(0))*, acestea fiind

nule. Deci (A*)*= 0 A= 0. Contradicie, i prin urmare n acest cazA = 0.

iii) rang(A) < n-1. n acest caz A* = 0 (A*)* = 0 i deci

(A*

)*

= AA = 0.

1.68. Dac A, BMn() sunt simetrice (adic A = Ati B = Bt)

atunci:

i) Dac AB este simetric avem c (AB)t = AB BtAt = AB

BA = AB.ii) Dac AB = BA, atunci (AB)t = BtAt = BA = AB.

1.69. Prin calcul direct.

1.70. ,,. S presupunem c rang(A)1. Dac rang (A)=0,

avem aij=0, oricare ar fi (i, j){1, 2, , m}{1, 2, , n}, deci putemlua x1=x2==xm=y1=y2==yn=0. Dac rang (A)=1 exist un element

nenul akp, unde (k, p){1, 2, , m}{1, 2, , n} este fixat, iar toi

minorii de ordinul doi ai matricei date sunt nuli. Deoarece a kp*

,putem fixa xk

*, yp* astfel nct akp=xkyp. Pentru fiecare i{1, ,

m} vom nota 1-= pipi yax i pentru fiecare j{1, , n} vom nota1-= kkjj xay . Rezult aip=xiyp, i{1, 2, , m}, respectiv akj=xkyj,

j{1, 2, , n}. Fie acum i{1, 2,,m}-{k}, j{1, 2,,n}\{p}.Scriind c minorul de ordin doi obinut prin intersecia liniilor ki i cucoloanele p i j este nul rezult akpaij=aipakj. Aceast egalitate se scrie,

echivalent, xkypaij=xiypxkyj, i mprind prin xkyp*, obinem aij=xiyj .


74/150

74

Am demonstrat deci c aij=xiyj, oricare ar fi (i, j){1, 2, ,m}{1, 2, , n}.

,,. Dac exist x1, x2, , xm i y1, y2, , yn a. .

aij=xiyj, oricare ar fi (i, j){1, 2, , m}{1, 2, , n} se constat uor ctoi minorii de ordinul doi ai matricei date sunt nuli, deci rang(A)1.

1.71. Cum 021101

12=

-, rang(A)2.

Avem1101512

21

-

l

= 3-9. Pentru 3, rang(A) = 3, iar pentru

=3, rang(A) = 2.

1.72. rang(A) = 2.

1.73. Avem c rang(AB)min{rang(A), rang(B)}n


75/150

75

2. Spaii vectoriale.

2.1. (i). Se verific axiomele spaiului vectorial (elementul nulfiind 1).

(ii). Fie a > 1, a 1 ( deci a este nenul n V). Deoarece pentruorice xV (deci x > 0) exist a.. x = a = a ( i anume

= logax) deducem c {a} este sistem de generatori. Daca = 1,atunci a = 1 i cum a 1 deducem c = 0, adic {a} este liniar

independent peste . Deci {a} este o baz iar dimV = 1.

2.2. (i), (ii). Se verific axiomele spaiului vectorial.

2.3. Cum 0 exist-1 n K. Astfel obinem -1(x)=-1 0 = 0 (-1

Probleme Algebra

Documents

Transcript of Probleme Algebra