Entwicklung von SimulationsmodellenWS 2007/08

Dr. Falk-Juri Knauft

Mittwoch 9.15 Uhr – 10.00 Uhr S25

Praktikum zur Entwicklung von Simulationsmodellen:Mittwoch 14.00 Uhr – 17.00 Uhr GEO CIP-Pool

Modul: 22ahttp://www.bayceer.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodelle

Entwicklung von Simulationsmodellen WS 2007/2008 – Überblick I

17.10.2007

Einführung, Ziele, Definition System, Model

24.10.2007

Systemanalyse vs. –simulation, Zustandsbeschreibung

31.10.2007

Diskretisierung, Auswertung der Excel-Simulation

07.11.2007

Programmierparadigmen

14.11.2007

Klassische Wachstumsmodelle

21.11.2007

Stabilität

28.11.2007

Delay, Delay-Modellanwendung Klee-Weidelgras

05.12.2007

12.12.2007

19.12.2007

http://www.bitoek.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodellehttp://www.bayceer.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodelle

Verzögerung

Problem: In unserem Modell ist die gesamte Population an der Reproduktion beteiligt, auch die Jungtiere!

Lösung: Eingabe einer zeitlichen Verzögerung (Delay)

Zuwachsrate_log := r* Bestand* K

Zuwachsrate_log(t) := r* Bestand(t-T)* K(t)

Diskrete Modelle mit Verzögerung

• Altersstruktur wird berücksichtigt• Nur ein Teil reproduziert sich in jedem

Teilschritt, Zeit bis zur Reife: T

Tttt NNfN ,1

• Beispiel:

K

NrNN t

Ttt 11

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Louie, K. et al. (2002): A delay model for the growth of ryegrass-clover mixtures: formulation and preliminary simulations. Ecological Modelling 155, 31-42

Mischweiden aus Gras und Klee wichtig für Landwirtschaft: • N-Verfügbarkeit im Mineralboden i.d.R. limitierend • Klee (Trifolium repens) bedeutender N2-Fixierer• Weidelgras (Lolium perenne) wächst schneller• Relative Anteile variieren sehr stark in der Zeit

Download: http://www.bitoek.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodelle/science.pdf(309 kB)

Modellansatz: implizite N-Dynamik• Mineralisches N schwer zu messen• N-Dynamik (Transport Pflanze-Boden) komplex• effektive Beschreibung ohne N als explizite Variable

Zustandsvariablen:

tC Klee-Biomasse (kg / ha Trockengewicht)

tR Gras-Biomasse (kg / ha Trockengewicht)

Als Monokulturen: logistisches Wachstum

Parameter:

RC gg , Wachstumsraten mm RC , Kapazitäten

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Modellansatz II Koexistenz:

• Weidelgras behindert Klee (lineare Abnahme)• Klee wird gefressen/geerntet/welk: „turnover“

tChteRC

tCg

dt

tdCC

mC

1 (A)

• Klee behindert Weidelgras (lineare Abnahme)• Weidelgras wird gefressen/geerntet/welk• „Turnover“ des Klees begünstigt das Gras: N aus frisch abgestorbenem Klee wird mineralisiert und steht eine Zeitlang zur Verfügung 12 TT

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Sättigungskurve: Michaelis-Menten-Typ

1

2

)(Tt

Tt

C duuChCT

bCT

aCT

1

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Delay-Gleichung für das Weidelgras

tRhtfC

bduuCh

duuCah

R

tRg

dt

tdRRTt

Tt

C

Tt

Tt

C

mR

1

2

1

211

(B)

Modell mit 12 Parametern:

aTTbhhfeRCgg RCmmRC ,,,,,,,,,,, 21

Integrodifferentialgleichung!

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Qualitative Diskussion: Integrodifferentialgleichungen

• der absolute Zeitpunkt ist wichtig

(keine Translationsinvarianz: kein Shuttle-Prinzip)

• kein Anfangswertproblem: die ganze Entwicklungs-

Geschichte geht ein (hier in endlichen Grenzen)

• wo ist der Ursprung der Zeit?

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Klee C

Weidelgras R

Input Klee Output Klee

Input Weidelgras Output Weidelgras

e

f

gC

gR

Cm

Rm

N aus KleeInput N Output N

T1 T2

hC

hR

a

b Klee-Weidelgras-Phasendiagramm

4,000

3,000

2,000

1,000

0

0 600 1200 1800 2400 3000 3600Klee C

Weidelgras R : Current

a = 3b = 1000e = 2.1e-005f = 6e-005gC = 0.1gR = 0.08hC = 0.01hR = 0.01Cm = 4000Rm = 5000Initial Klee C = 1000Initial Weidelgras R= 1000Initial N aus Klee = 0T1 = 80T2 = 150FINAL TIME = 5000

Gleichgewichtszustände

0dt

dR

dt

dCergibt 5 Möglichkeiten:

3. 0,1

RCg

hC m

C

C

mR

R Rg

hRC

1,02.

4./5.

ehCCgRE

G

E

F

E

FC

CmC //142

2,12,1

2

2

2,1

falls positiv: Koexistenz

1. 0RC leer

Monokultur Gras Monokultur Klee

GEF ,, im Paper S. 35

Lage hängt nur von ab12 TT

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Es kann zwei Zustände geben

Lineare Stabilitätsanalyse IStandardverfahren:

rRR

cCC

s

s

ansetzen und (A), (B) linearisieren

Ergebnisse:

1. Leerer Zustand stabil falls RRCC ghgh ,

(d.h. es wird mehr entnommen als nachwächst)

2. Monokulturen nur möglich falls leerer Zustand instabil

3. Monokulturen nur unter Bedingungen stabil

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Lineare Stabilitätsanalyse II

4. Bedingung für Koexistenz-Stabilität:

212 TT eeD

BA

• Stabilität, falls für jede Lösung 0Re

DBA ,, im Paper S. 37

• Abhängigkeit von den absoluten Werten 21,TT

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Simulationsbeispiele• Satz von Standardparametern fest eingestellt

21,TT variieren•

Tage4012 TT1.Nur ein instabiler Koexistenzzustand, Monokulturen stabil

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Louie et al. (2002), Fig. 3

Stabilitätsdiagramm

Phasenporträt IDelay-Modell für Klee und Futtergras

Simulationsbeispiele II2. Tage7012 TT

Tage4.651 T• Ein instabiler Koexistenzzustand • Ein stabiler Koexistenzzustand für • Ein Grenzzyklus für Tage132Tage4.65 1 T

• Klee-Monokultur instabil, Gras-Monokultur stabil

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Louie et al. (2002), Fig. 3

Stabilitätsdiagramm

Phasenporträt IIDelay-Modell für Klee und Futtergras

Tage10012 TT3.

Keine Koexistenz, Klee-Monokulturen instabil, Gras stabil

Louie et al. (2002), Fig. 3

Stabilitätsdiagramm

Delay-Modell für Klee und Futtergras

Simulationsbeispiele III

Phasenporträt IIIDelay-Modell für Klee und Futtergras

Zusammenfassung• Einfaches Modell mit sehr reichhaltiger Dynamik

• Zwei Koexistenz-Zustände je nach Anfangsgeschichte

• Management-Optionen (Beweidungsintensität usw.)

• Verbesserungen: Delay-Zeiten saisonabhängig

• globale Stabilität in Delay-Modellen unklar

Delay-Modell für Klee und Futtergras