Entwurf und Erprobung schnelldrehender

Asynchronmaschinen

unter besonderer Berücksichtigung der magnetisch

aktiven Materialien

vorgelegt von Diplom-Ingenieur Matthias Centner

Von der Fakultät IV – Elektrotechnik und Informatik der Technischen Universität Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften - Dr.-Ing. -

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss: Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Uwe Schäfer Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. Rolf Hanitsch

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 20. Februar 2009

Berlin 2009 D 83

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Danksagung Ich bedanke mich bei Prof. Dr. Steffen Bernet für erste Ideen, bei Prof. Dr. Rolf Hanitsch und Prof. Dr. Uwe Schäfer für das stets offene Ohr und die kompetente Betreuung der vorliegenden Arbeit. Ich danke meinen ehemaligen Arbeitskollegen (in alphabetischer Reihenfolge) Dr. Thomas Brückner, Jürgen Federspiel, Dirk Fischer, Rayk Grune, Hildegard Hacker, Arno Hellemann, Elsayed Hemead, Robert Hermann, Dr. Kamran Jalili, Dr. Gholamreza Korouji, Nico Mock, Dr. Juriy Plotkin, Dr. Thomas Sadowksi, Dr. Christoph Saniter, Prof. Dr. Detlef Schulz, Dr. Wan-Tsun Tseng, Uwe Vollmer, Niels Weitendorf, Dr. Thomas Wörther, Winfried Wuttke, Harald Zutsch für das stets angenehme, unkomplizierte und von großer Hilfsbereitschaft geprägte Arbeitsklima am Fachgebiet. Mein Dank gilt weiterhin (wieder in alphabetischer Reihenfolge) Hao Ding, Serhat Ergun, Patrick Franzke, Patrick Gels, Jining Huang, Stefan Kender, El-Hassan Mohsine, Stephan Schwarzer, Falk Thederan, Jianping Wang und allen weiteren Studenten, die mich mit ihren Studien- und Diplomarbeiten bei dieser Arbeit und zahlreichen anderen Aktivitäten unterstützt haben. Für die Unterstützung mit Material bzw. Fertigungstechnologie danke ich insbesondere Daniel Kemper von der C.D. Wälzholz KG, Michael Gruner von der VEM Motors Group sowie der Fa. Menzel Elektromotoren Berlin. Nicht zuletzt gilt mein herzlicher Dank meinen Eltern und vor allem meiner Frau Stefanie, ohne deren Motivation, Geduld und praktischen Beistand die Fertigstellung dieser Arbeit nicht möglich gewesen wäre.

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Zusammenfassung

Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Entwurf und der experimentellen Untersuchung zweier wirkungsgradoptimierter Asynchronmaschinen für eine Nennleistung von 20 kW und eine Nenndrehzahl von 30.000 min-1. Der Schwerpunkt der Untersuchungen liegt auf der Quantifizierung des Einflusses des verwendeten magnetisch aktiven Materials. Es kommen zum einen ein hoch-siliziertes Blech (M270-35A) und zum anderen eine Kobalt-Eisen-Legierung (Vacoflux 50) zum Einsatz. Im ersten Abschnitt der Arbeit wird abgeleitet, wie sich Leistung und Verluste mit zunehmender Drehzahl verhalten und wo technologische Grenzen schnelldrehender Maschinen liegen. Im Anschluss werden zur detaillierten Berücksichtigung der Materialeigenschaften während des Maschinenentwurfs kombiniert analytisch-numerische Berechnungsmethoden entwickelt. Mit Hilfe dieser Methoden lassen sich Maschinen-parameter und Feldamplituden auch für analytisch schwer erfassbare Fälle, wie geschlossene Rotornuten, mit guter Genauigkeit vorausberechnen. Ergänzend wird ein einfach parametrierbares Modell des Rotors zur Berechnung der Eigenfrequenzen eingeführt. Die Erwärmung wird mit Hilfe eines thermischen Netzwerkmodells bestimmt. Das Vorgehen bei der Variantenberechnung zur Ermittlung der wirkungsgradoptimalen Maschine wird ausführlich erläutert. Beide Maschinen wurden im „back-to-back“ Verfahren experimentell untersucht. Die Gültig-keit der Berechnungsverfahren und die Performance der verwendeten Materialien werden anhand von Leerlauf- und Lastmessungen, Schwingungsmessungen und eines Erwärmungs-laufes überprüft. Ergänzend wurden Geräuschfrequenzmessungen durchgeführt.

Abstract This thesis deals with the design and experimental study of two efficiency-optimized induction machines with a nominal power of 20 kW and a nominal speed of 30.000 rpm. The focus of investigation is on examining the influence of the employed electrical steel. Two sorts of steel are being used: siliconized steel (M270-35A) and cobalt-iron (Vacoflux 50). In the first section of this work the dependence of power and losses from increasing speed is derived and technological speed limits are discussed. For detailed consideration of the material properties during machine design, combined analytic-numerical methods have been developed. With the help of these methods machine parameters and flux magnitudes could be predetermined with good precision, even in cases where no simple analytical methods exist, as for closed rotor slots. Additionally, a mechanical rotor model for the calculation of critical speeds is introduced, which is easy to parameterize. Motor temperatures are calculated with a thermal network-model. The evaluation of design-variants to find the most efficient design is discussed in detail. Both motors have been experimentally investigated in a back-to-back test. The validity of calculation methods and the performance of the employed materials is proved by no-load and load tests, vibration measurements and a temperature-rise run. Additionally, noise-frequency measurements have been taken out.

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Inhalt 1. Einleitung ........................................................................................................................... 5 2. Vorbetrachtungen ............................................................................................................... 8

2.1. Wachstumsgesetze ..................................................................................................... 8 2.2. Technologische Grenzen .......................................................................................... 11

3. Verlustmodell ................................................................................................................... 14 3.1. Oberwellenverluste................................................................................................... 15 3.2. Kupferverluste .......................................................................................................... 18 3.3. Ummagnetisierungs- und Wirbelstromverluste ....................................................... 19 3.4. Oberflächenverluste ................................................................................................. 22 3.5. Berechnung der Feldamplituden .............................................................................. 24 3.6. Luftreibungsverluste................................................................................................. 27

4. Mechanische Beanspruchung des Rotors ......................................................................... 29 4.1. Beanspruchung durch Zentrifugalkräfte................................................................... 29 4.2. Eigenfrequenzen....................................................................................................... 32

5. Thermisches Modell ......................................................................................................... 37 5.1. Berechnung der Temperaturverteilung..................................................................... 37 5.2. Auslegung der Lüftung............................................................................................. 45

6. Maschinenentwurf ............................................................................................................ 50 6.1. Entwurfsgang und Software ..................................................................................... 50 6.2. Eingesetzte Materialien ............................................................................................ 53 6.3. Untersuchte Varianten und Berechnungsergebnisse ................................................ 55 6.4. Konstruktive Gestaltung........................................................................................... 63

7. Messungen........................................................................................................................ 66 7.1. Prüfstand................................................................................................................... 66 7.2. Mechanische Messungen.......................................................................................... 70 7.3. Elektrische Messungen............................................................................................. 76 7.4. Thermische Messungen............................................................................................ 83

Zusammenfassung.................................................................................................................... 86 Literaturverzeichnis.................................................................................................................. 88 Anhang A – Materialeigenschaften.......................................................................................... 93 Anhang B – Das thermische Modell ........................................................................................ 94

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1. Einleitung

Die technische und ökonomische Bedeutung von Hochgeschwindigkeitsantrieben wird in den kommenden Jahren stark zunehmen. Neben konventionellen industriellen Applikationen von Hochgeschwindigkeitsantrieben wie z.B. Werkzeugmaschinen [1, 2, 3], Zentrifugen [4] und Kompressoren [5, 6, 7] erfordern auch schnell laufende Mikro- und Miniturbinen [8, 9, 10, 11], die zunehmend zur umweltschonenden dezentralen Energieerzeugung eingesetzt werden, zwingend Hochgeschwindigkeitsgeneratoren als kritische Basistechnologie. Einen Überblick über den derzeit abgedeckten Leistungs- und Drehzahlbereich gibt Bild 1. Für motorische Anwendungen höherer Leistung finden derzeit vor allem Asynchronmaschinen Verwendung [12], für rein generatorische Anwendungen wie z.B. in der Mikroturbine werden permanenterregte Sychronmaschinen genutzt. [11] Höchste Drehzahlen können aus Gründen der mechanischen Festigkeit nur mit Massivläufer-Asynchronmotoren erreicht werden. [13] Die hinter den einzelnen Anwendungen in Bild 1 stehenden Maschinentypen zeigt Bild 2.

0

100

200

300

400

500

0 50000 100000 150000 200000 250000n / min-1

P / kW

Spindeln

Zentrifugen

Forschung

Microturbinen

Kompressoren

Bild 1: Anwendungen von Hochgeschwindigkeitsantrieben

Nach ihrer starken Verbreitung in einer Vielzahl von Anwendungen im normalen Drehzahlbereich ist der Einsatz der permanenterregten Synchronmaschine mittlerweile aufgrund fehlender Kupferverluste und geringerer Eisenverluste im Rotor gerade in Hochgeschwindigkeitsantrieben mit prinzipiell hoher Verlustdichte interessant geworden und Gegenstand aktueller Untersuchungen. [14, 15] Dem gegenüber steht der robuste Aufbau, geringe Material- und Herstellungskosten sowie der einfache, geberlose Betrieb der Asynchronmaschine.

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0

100

200

300

400

500

0 50000 100000 150000 200000 250000n / min-1

P / kW

synch RM

ASM

PMSM

SRM

Bild 2: In Hochgeschwindigkeitsantrieben eingesetzte Maschinentypen

Zu Asynchronmaschinen für Drehzahlen bis ca. 60.000 min-1 existiert eine Reihe von Veröffentlichungen. Diese lassen sich im Wesentlichen in zwei Gruppen gliedern: Zum einen Veröffentlichungen aus der Industrie oder industrienahen Instituten, die lediglich der Präsentation von Ergebnissen dienen, ohne näher auf verwendete Materialen, Detailfragen der Konstruktion oder gar des Entwurfs einzugehen. [16, 17] Zum anderen Veröffentlichungen aus dem universitären Bereich. So wurden im deutschsprachigen Raum in den vergangenen Jahren einige Dissertationen zum Thema angefertigt. Eine der ersten größeren Arbeiten zu schnelldrehenden Asynchronmaschinen ist von Pasquarella. [18] Er führt den Maschinenentwurf einer Asynchronmaschine mit 100 kW bei 30.000 min-1 mit klassischen Methoden durch und stellt einige grundlegende Betrachtungen zu Massivläufern und thermischen Problemen an. Zur Überprüfung der berechneten Ergebnisse führt Pasquarella lediglich eine Leerlauf- und eine Kurzschlussmessung durch. Werth [19] untersucht in seiner Arbeit Asynchronmaschinen mit 10 kW bei 12.000 min-1. Er führt den Maschinenentwurf ebenfalls nach klassischen Methoden aus, wobei er korrigierte Verlustfaktoren für die Zusatzverluste gemäß seiner Messungen angibt. Greifenstein [14] stellt in ihrer Arbeit Asynchronmaschine und permanenterregte Synchronmaschine mit je 30 kW und 24.000 min-1 gegenüber und zeigt die deutliche Überlegenheit der Synchronmaschine hinsichtlich der Verluste und der damit verbundenen Erwärmung. Der Diskrepanz bei der Verlustberechnung mittels der üblichen analytischen Verfahren und der gemessenen Verluste geht Geisler [20] in seiner Arbeit nach, wobei er mit einem speziellen Teststand zwei Asynchronmaschinen mit Drehzahlen bis über 80.000 min-1 detailliert messtechnisch untersucht, ohne weitere Rückschlüsse auf Berechnungsverfahren zu ziehen. Eine groß angelegte Reihe von Untersuchungen zu elektromagnetischen, mechanischen und thermischen Aspekten schnelldrehender Antriebe findet sich noch in den Veröffentlichungen der Universität Helsinki. [21, 22, 13] Dort wurde in einem langfristigen Forschungsprojekt der Einsatz von kupferbeschichteten Massivläufermaschinen für Drehzahlen bis zu 300.000 min-1 untersucht.

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Die vorliegende Arbeit widmet sich dem Entwurf von schnelldrehenden Käfigläufer-Asynchronmaschinen unter besonderer Berücksichtigung des Einflusses der magnetisch-aktiven Materialien. Durch den Einsatz gleichzeitig hoch-polarisierbarer und verlustarmer Bleche wird es möglich, Asynchronmaschinen mit hoher Luftspaltflussdichte für hohe Drehzahlen zu entwerfen. Obwohl die Eisenverluste eine starke Rolle spielen, konzentriert sich ihre Verteilung bedingt durch den kleinen Schlupf vor allem auf den Ständer. Eine hohe Luftspaltflussdichte bedingt zwar auch einen höheren Magnetisierungsstrom, erlaubt gleichzeitig aber eine Reduzierung des Läuferstrombelages und führt auch zu einer weiteren Reduktion des Schlupfes, konstante Leistungsdichte vorausgesetzt. Damit gelingt es, sich den Verhältnissen der permanent-erregten Synchronmaschine weiter anzunähern, wobei die o.g. Systemvorteile des Asynchronantriebes erhalten bleiben. Wie im Kapitel Vorbetrachtungen gezeigt wird, spielen Eisen- und Zusatzverluste bei schnelldrehenden Maschinen eine große Rolle. Zur detaillierten Unterscheidung des Materialeinflusses auf die Verluste ist deshalb der rein analytische Ansatz [18, 19], der im Wesentlichen auf den Untersuchungen von Richter [23, 24] aus den 30er Jahren des vergangenen Jahrhunderts beruht, nicht geeignet. Es existieren daher verschiedene Ansätze zur rein numerischen Analyse und Optimierung auf Basis von Finite-Elemente-Modellen. [25, 26] Nachteilig dabei ist, das zum Ersten für die Finite-Elemente-Modellierung erst ein vollständiges Maschinenmodell existieren muss, das wiederum beim Käfigläufer mit einer fast unüberschaubaren Anzahl von Parametern bestimmt ist (z.B. Luftspaltweite, Ständernutzahl, Läufernutzahl, Ständernutbreite, Ständernuthöhe ...), zum Zweiten selbst mit großer Rechenleistung sehr lange Rechenzeiten nötig sind [26] und zum Dritten grundlegende Zusammenhänge nicht leicht aus der numerischen Analyse ersehen werden können. Der Nachweis eines globalen Optimums ist daher oft nicht möglich. [26] Deshalb wurde in dieser Arbeit ein Verfahren entwickelt, das die analytische Berechnung an gezielten Stellen um numerisch gewonnene Werte ergänzt. Das erfolgt besonders an solchen Stellen, wo der Materialeinfluss entscheidend aber komplex ist, wie z.B. bei der Berechnung der Rotorparameter wo die Sättigung eines Nutstreusteges zeitgleich zur Stromverdrängung des Läuferstabes zu betrachten ist, oder bei der Berechnung der Flusspulsationsamplituden in den Zähnen, abhängig von der Rotorposition und den magnetischen Durchflutungen. Der Vorteil der rein analytischen Methode ist, dass nach dem Programmieren der Gleichungen problemlos eine automatische Auswertung einer Vielzahl von Varianten im Sinne einer Optimierung möglich ist. Eine Bedingung an die entwickelten numerischen Modelle war daher die Möglichkeit der schnellen und zuverlässigen automatischen Generierung, ohne Notwendigkeit eines manuellen Eingriffs. Das magnetisch-aktive Material bestimmt neben dem elektromagnetischen Verhalten der Maschine auch maßgeblich die mechanischen und thermischen Eigenschaften. Die Untersuchung des mechanischen Verhaltens mit den Methoden der klassischen Rotordynamik [27, 28] liefert für die komplexe Struktur des Käfigläufers höchstens Anhaltspunkte. In der jüngeren Literatur finden sich daher einige Ansätze, die mechanischen Belastungen mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode zu berechnen. [29, 30] Das Problem dabei ist jedoch, das komplexe Modelle erstellt werden, die mit Hilfe von Messwerten parametriert sind, und deren Ergebnisse somit nur bei moderaten Abweichungen vom Referenzobjekt eine gewisse Allgemeingültigkeit bieten. Da für Rotoren der in dieser Arbeit betrachteten Leistungsklasse keine Messungen vorlagen, wurde stattdessen ein sehr einfaches FE-Modell erstellt, welches allerdings auf einer von Messungen bestätigten Annahme beruht, und gleichzeitig den Vorteil bietet, leicht parametrierbar und automatisch generierbar zu sein. Zur Berechnung des thermischen Verhaltens wird im Wesentlichen auf die Rechenvorschriften von Saari [22, 13] zurückgegriffen, in denen einige Formeln zu korrigieren waren. Die Gültigkeit der Berechnungsmethoden und -ergebnisse wird an zwei Maschinen überprüft.

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2. Vorbetrachtungen Bevor detailliert auf die Verfahren und Methoden des Entwurfs schnelldrehender Asynchronmaschinen eingegangen wird, werden an dieser Stelle allgemeine Betrachtungen zu schnelldrehenden Maschinen vorausgeschickt. Zum Ersten wird anhand überschlägiger, formeller Betrachtungen die deutlich andere Verlustaufteilung im Vergleich zu Maschinen im Netzbetrieb abgeleitet (Wachstumsgesetze) und zum Zweiten werden in Abhängigkeit der Drehzahl Grenzleistungen, resultierend aus Material- und Lagertyp, angegeben (technologische Grenzen).

2.1. Wachstumsgesetze

Im Folgenden wird die Verteilung der Verluste bei einer schnelldrehenden Maschine im Vergleich zu einer Maschine im Netzbetrieb abgeleitet. Alle geometrischen Größen werden zu einer charakterisierenden Länge L zusammengefasst. Dabei ist angenommen, dass der Durchmesser der Maschinen proportional mit ihrer Länge wächst.

322 ~~ LDkDlDV ⋅⋅=

L … charakterisierende Länge, D … Durchmesser, l … Länge, k … Proportionalitätsfaktor Zwischen der elektrischen Speisefrequenz und der mechanischen Drehzahl besteht ein proportionaler Zusammenhang, wobei der praktisch geringe Schlupf vernachlässigt wird.

nzzf pmechpelel ⋅⋅=⋅=⋅⋅= πωπω 22

Nach der allgemeinen Leistungsgleichung hängt die mechanische Leistung einer elektrischen Maschine vom Volumen des Luftspaltes, Induktion, Strombelag sowie der Drehzahl ab.

nLABnlDABP imech ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 322 ~~ π (2.1)

B … Induktion, A … Strombelag, n … Drehzahl Für die Ableitung der Wachstumsgesetze wird vereinfachend nur der durch Wirbelströme hervorgerufene Verlustteil der Eisenverluste betrachtet, da er für schnelldrehende Maschinen mit hoher Speisefrequenz klar gegenüber den linear von der Frequenz abhängigen Ummagnetisierungsverlusten (Hystereseverluste)1 dominiert. Für die Eisenverluste im Stator erhält man somit:

322

22

1 ~ˆ

ˆLnBV

f

f

B

BpP FeFe

bezbez

FeFe ⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅= ρ

pFe … spez. Eisenverluste angegeben für Bbez und fbez in W/kg, etwa proportional zu B² ρFe … Dichte des Eisens VFe … Eisenvolumen Die Eisenverluste im Rotor der Maschine fallen aufgrund der im Normalfall niedrigen Schlupffrequenz kleiner aus. 1 Im Gegensatz zu den Wirbelstromverlusten lassen sich die Hystereseverluste nicht für die einzelnen Feld-oberwellen getrennt betrachten. Tatsächlich ist der Zusammenhang daher bei vorhandenen Oberwellen nichtlinear, siehe z.B. [89]. Nichtsdestotrotz bleibt die Dominanz der Wirbelstromverluste bestehen.

9

3222

22

2 ~ˆ

ˆLnsBV

f

fs

B

BpP FeFe

bezbez

FeFe ⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅= ρ

Für die Eisenzusatzverluste, die die Oberflächenverluste sowie Pulsationsverluste in den Zähnen beinhalten, gilt prinzipiell dasselbe wie für die Eisenverluste. Maßgeblich wirken hier die Frequenzen der Nutharmonischen, so dass bei ähnlicher Größenordnung der Ständer- und Läufernutzahl kein wesentlicher Unterschied zwischen Ständer und Läufer auftritt.

322

22

~ˆ

ˆLnBV

f

fN

B

BpP FeFe

bezbez

FeFezus ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅= ρ

N … Nutzahl im Ständer/ Läufer Die Stromwärmeverluste in den Wicklungen sind nur abhängig vom elektrischen Leitwert des Leitermaterials und der Stromdichte, solange keine Stromverdrängung auftritt.

322

~ LSVS

VpP CuCuCuCu ⋅⋅=⋅=κ

mit ( )κκ

221 S

dA

dldAS

dldApCu =⋅=

dA dl … betrachtetes Volumenelement (dA … stromdurchflossener Querschnitt) S … Stromdichte κ … el. Leitfähigkeit VCu … Wicklungsvolumen Je nach Drehzahlbereich variiert der Exponent der Drehzahl bei der Berechnung der Luftreibungsverluste: Für kleine Drehzahlen genügt eine quadratische Abhängigkeit (s.a. [31]). Für größere Drehzahlen geht diese langsam über in eine kubische Näherung. Betrachtet man den Drehzahlbereich bis ca. 60.000 min-1 gilt nach Formel 3.4 mit guter Näherung ein Exponent von ca. 2,5 (Siehe Kapitel 3 Verlustmodell – Luftreibungsverluste, Formel 3.4).

45,2~ LnPLuftrbg ⋅

Da bei einer Vergrößerung der Abmessungen das Maschinenvolumen schneller als die Maschinenoberfläche wächst, steigt die stationäre Temperatur der Maschine gegenüber der Umgebung (Übertemperatur) proportional mit ihren Abmessungen.

A

VpVpü ⋅

⋅=

Λ⋅

=α

θ

p … spez. Verluste V … Verlustvolumen Λ … Wärmeleitwert α … Wärmeübergangszahl, A … Oberfläche Damit die Übertemperatur der Maschine bei Vergrößerung ihrer Abmessungen konstant bleibt, setzt man für Stromdichte S bzw. Strombelag A:

LS 1~

LA ~ Werden für das Drehzahl-Drehmomentverhalten nur die Kupfer-Verluste im Läufer berücksichtigt, ergibt sich für den Schlupf einen proportionaler Zusammenhang zur mechanischen Leistung:

mech

Cu

P

Ps 2≈

10

In Tabelle 2.1 sind die oben abgeleiteten Zusammenhänge quantifiziert. Dafür wurde die Leistung einer Maschine sowohl durch Vergrößerung ihrer Abmessungen bei konstanter Speisefrequenz als auch durch Erhöhung ihrer Speisefrequenz bei konstanten Abmessungen verzehnfacht.

Leistungssteigerung um Faktor 10 durch … Vergrößerung der

Abmessungen Erhöhung der

Frequenz / Drehzahl Speisefrequenz f/f0 1 10 Char. Länge L/L0 1,93 1 Luftreibungsverluste PLuftrbg / PLuftrbg0 13,9 316 Kupferverluste PCu / PCu0 3,7 1 Eisenverluste PFe / PFe0 7,2 100 Schlupf sn / sn0 0.37 0.1 Tabelle 2.1: In der Tabelle sind die Faktoren angegeben, um die sich die Größen in der

linken Spalte bei einer Leistungssteigerung einer Asynchronmaschine um den Faktor P/P0 = 10 durch Vergrößerung der Abmessungen oder durch Erhöhung der Speisefrequenz ändern

Für eine Abschätzung der praktischen Auswirkungen dieser Wachstumsgesetze wird ein für netzgespeiste Maschinen typischer Anteil der Eisenverluste an den Gesamtverlusten von etwa 25% zugrundegelegt. Damit wird deutlich, dass allein durch die starke Zunahme der Eisenverluste die schnelldrehende Maschine im Vergleich zur Maschine mit vergrößerten Abmessungen höhere Verluste und damit einen schlechteren Wirkungsgrad aufweist. Für kleine Drehzahlsteigerungen kann das Problem durch eine Erhöhung des Strombelags mit gleichzeitiger Verringerung der Luftspaltinduktion bei konstantem Produkt der beiden Größen begrenzt werden. Für größere Drehzahlsteigerungen ist diese Maßnahme jedoch kontraproduktiv, da sie die Problematik der Rotorverluste und der damit verbundenen Rotorerwärmung verschärft. Das ist zum einen nachteilig in Hinblick auf die Anwendung, z.B. in Werkzeugmaschinen, da es dort zu einer zusätzlichen thermischen Beanspruchung des Werkzeugs durch die Antriebsmaschine käme und zum anderen beim Einsatz einer mechanischen Lagerung, da Hochgeschwindigkeits-Spindellager empfindlich gegenüber starkem Temperaturgefälle zwischen Innen- und Außenring sind. Aus diesen Gründen muss für die Auslegung unbedingt auf verlustarme Elektroblechsorten zurückgegriffen werden. Da die Kupferverluste nur einen sehr geringen Anteil der Gesamtverluste ausmachen, sind auch andere, unkonventionelle Maßnahmen, wie die Vergrößerungen des Luftspaltes, sinnvoll. Dies führt zwar zu einem erhöhten Magnetisierungsstrombedarf, verringert aber die Eisenzusatzverluste in den Zähnen sowie an Ständer- bzw. Läuferoberfläche. [19] Zur Minimierung der dominanten Eisenverluste sollte die Frequenz so klein wie möglich sein, d.h. es sind zweipolige Maschinen anzustreben. Vergrößerte Kupferverluste durch ein ungünstiges Verhältnis zwischen Wickelkopflänge und Eisenlänge können dabei als zweitrangig angesehen werden.

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2.2. Technologische Grenzen

Neben den erhöhten Verlusten, die hauptsächlich einen erhöhten Aufwand bei der Kühlung erzwingen, ergeben sich Grenzen aus der Festigkeit der verwendeten Werkstoffe, welche die maximale Leistung einer Maschine in Abhängigkeit der Drehzahl bestimmen. Weiterhin besteht bei schnelldrehenden Maschinen das Problem der Lagerung. Während Luft- und Magnetlager bis zu den höchsten Drehzahlen verfügbar sind, ergeben sich beim Aufbau mit Wälzlagern Begrenzungen. Formel 2.1 gibt die Abhängigkeit der Maschinenleistung vom Bohrungsvolumen, Strombelag und Induktion an. Der maximale Durchmesser bei einer bestimmten Drehzahl wird durch die konstruktive Gestaltung und die Eigenschaften der eingesetzten Materialien begrenzt. Die konstruktiv einfachste – und dabei stabilste – Lösung bei der Asynchronmaschine ist der Massivläufer. Es handelt sich dabei im einfachsten Fall nur um einen rotierenden Zylinder aus elektrisch und magnetisch gut leitfähigem Stahl. [32, 33] Optional kann der Zylinder geschlitzt oder beschichtet werden. [34] Die auftretenden mechanischen Spannungen am rotierenden Zylinder sind an der Innenseite am größten und nehmen nach außen hin ab. Um die Sprengung des Rotors zu vermeiden, muss die mechanische Auslegung so erfolgen, dass ein genügend breiter Außenring sich noch im elastischen Teil seiner Materialkennlinie befindet (siehe auch Mechanisches Modell). [35] Setzt man die analytischen Formeln [28] an, folgt daraus nach Umformung

n

KCD zul ~

2max ωσ

⋅= (vgl. [21])

Die Konstante C beinhaltet geometrische Faktoren und Materialeigenschaften. Der Faktor ist proportional der Oberflächengeschwindigkeit des Rotors. In [21] werden theoretisch erreichbare Maximalgeschwindigkeiten bis zu 550 m/s bei Einsatz spezieller Stahlsorten genannt. Für die maximale Leistung folgt damit und Formel 2.1 zunächst:

nlABP i

1~max ⋅⋅⋅

Durch entsprechend lange und schlanke Rotoren könnte die Leistung unabhängig von der Materialfestigkeit auch bei höchsten Drehzahlen gesteigert werden. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, dass bestimmte Drehzahlen mit den Biege-Eigenfrequenzen der Welle zusammenfallen können, so dass bei minimaler Anregung (die durch technologisch unvermeidbare Unwuchten praktisch immer auftritt) die Welle zu gefährlichen Schwingungen angeregt wird. Die Eigenfrequenzen komplexer Strukturen werden vorzugsweise numerisch bestimmt. [29, 30] Für die im Grenzbereich ohnehin notwendigen Massivläufer können die Eigenfrequenzen jedoch näherungsweise mit den Formeln für einen beidseitig eingespannten Stab [28] berechnet werden.

242

4

4

4

64l

DK

lD

DE

l

IE⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅=π

ρ

π

λµ

λω

E … Elastizitätsmodul, I … Flächenträgheitsmoment, λ … Ordnungszahl, ρ… Dichte, D … Durchmesser, l … Länge

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Da aber oben bereits gezeigt wurde, dass gilt Dmax~1/ω folgt weiterhin

ω1

~l

Hierbei ist es egal, ob der Motor ober- oder unterkritisch betrieben wird. Die Beziehung sagt nur aus, dass ein Motor, der an einer sicheren Stelle unterhalb oder zwischen kritischen Drehzahlen betrieben wird, bei einer angestrebten Erhöhung der Betriebsdrehzahl kürzer ausgeführt werden muss, um den sicheren Betriebspunkt beizubehalten. Die Berücksichtigung dieses Zusammenhangs in der Leistungsformel führt letztlich zum Ergebnis

2max

1~

nABP ⋅⋅

Der Proportionalitätsfaktor hängt dabei von den elektromagnetischen und mechanischen Eigenschaften der eingesetzten Materialien ab. Der Absolutwert der erreichbaren Leistung ist daher abhängig von den technologischen Möglichkeiten. In Bild 2.2 sind exemplarisch technologische Grenzen eingezeichnet. Man erkennt gut die Gültigkeit der hergeleiteten Beziehung im betrachteten Leistungsbereich. Soll die Maschine mechanisch gelagert werden, lässt sich eine Abschätzung der maximalen Leistung je Drehzahl wie folgt vornehmen: Nach Norm [36] wird Maschinen im Netzbetrieb je nach Bauhöhe und Drehmoment ein Wellendurchmesser zugeordnet. Übernimmt man diese Zuordnungen auch für schnelldrehende Maschinen, dann liegt der minimale Innendurchmesser des Lagers fest. Die zulässigen Lagerdrehzahlen unterscheiden sich je nach Schmiermittel. Bild 2.2 zeigt die sich ergebenden Grenzkurven.

1

100

10000

10000 100000 1000000n / min

-1

P / kW

Grenzleistungskurven ~1/n²

Lager mit Ölschmierung

Lager mit Fettschmierung

Bild 2.2: Technologische Grenzkurven für schnelldrehende Antriebe, die farbigen Punkte

bezeichnen ausgeführte Maschinen (♦ Asynchronmaschinen, permanenterr. Synchronmaschinen, Reluktanzmaschinen)

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Die Aufgabenstellung für den Maschinenentwurf lässt sich damit wie folgt zusammenfassen: Unter Auswahl eines geeigneten Materials soll eine zweipolige Maschine mit möglichst gleichzeitig minimierten Rotor- und Gesamtverlusten entworfen werden. Dazu soll die Maschine eine möglichst hohe Luftspaltinduktion bei gleichzeitig geringen Eisenverlusten haben. Zur Minimierung der mechanischen Beanspruchungen ist der Rotor mit geringem Durchmesser bei gleichzeitig dicker Welle so kurz wie möglich auszuführen. Da im Rahmen dieser Arbeit aus Gründen der Aufwandsbeschränkung Motoren mit Wälzlagern gebaut worden sind, ergab sich der Auslegungspunkt 20 kW bei 30.000 min-1.

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3. Verlustmodell Zur Evaluation der Maschinenleistung unter Berücksichtigung der eingesetzten Materialien ist eine genaue Berechnung der Verluste nötig. Entsprechend der für schnelldrehende Maschinen charakteristischen Aufteilung der Einzelverluste (siehe Kapitel Vorbetrachtungen) unterscheiden sich die Anforderungen gegenüber den Verlustberechnungsverfahren bei netzgespeisten Maschinen: Die Eisenverluste und da insbesondere die Pulsationsverluste an den Läufer- und Ständeroberflächen und in den Zähnen sind aufgrund der hohen Frequenzen dominierend. Ihre Größe hängt wesentlich von der eingesetzten Blechsorte ab. Ein weiterer wichtiger Punkt sind die Luftreibungsverluste an der Rotoroberfläche. Sie werden zum einen durch die Umfangsgeschwindigkeit und zum anderen durch die kühlungsbedingt auftretende axiale Strömung beeinflusst. Die Kupferverluste bleiben im Vergleich zur baugrößengleichen Maschine mit Netzspeisung theoretisch unverändert. Zu beachten sind hier jedoch aufgrund der hohen Speisefrequenz im Ständer und der höheren Schlupffrequenz im Läufer ggf. auftretende Stromverdrängungseffekte. Da schnelldrehende Maschinen praktisch ausschließlich mit Frequenzumrichtern betrieben werden, müssen auch durch den Oberschwingungsgehalt der Speisespannung verursachte Verluste berücksichtigt werden. Sowohl die durch eine gepulste Speisespannung als auch die durch räumliche Inhomogenitäten der Maschine hervorgerufenen Schwankungen des magnetischen Flusses lassen sich formal einheitlich durch Induktionsoberwellen beschreiben. Tabelle 3.1 zeigt nochmals die genannten Verluste formell gegliedert nach ihrer Art und Ursache der Entstehung. Verlustart Ursache

Kupferverluste Grundschwingungsstrom Oberschwingungsströme Eisenverluste Induktionsgrundwelle Induktionsoberwellen Reibungsverluste Lagerreibung Luftreibung durch Rotation Luftreibung durch axiale Strömung Selbstförderung („Pumpeffekt“) Tabelle 3.1: Formale Gliederung der Verluste in schnelldrehenden Maschinen

Zur Berechnung der Eisen- und Kupferverluste bieten sich grundsätzlich zwei Ansätze an: Die analytische Berechnung mit erprobten Prozeduren für netzgespeiste Maschinen [23, 31, 37] und alternativ die numerische Berechnung mit Hilfe der Methode der finiten Elemente z.B. in [38, 39, 40]. Die klassischen, analytischen Berechnungsmethoden haben den Nachteil, dass bei der Berechnung der Eisenverluste im Allgemeinen eine entsprechende Genauigkeit nur durch den Einsatz von erfahrungs- und anwendungsbasierten Korrekturfaktoren erreicht wird. Weiterhin sind die Verfahren insbesondere bei der Berechnung der Eisenzusatzverluste relativ unspezifisch hinsichtlich des eingesetzten Materials. Als Argument für den Einsatz der FEM wird die größere erreichbare Genauigkeit genannt. [38] Diesem steht der hohe Rechen- und Zeitaufwand gegenüber. Denn es ist zu berücksichtigen, dass zur Berechnung der Eisenverluste aufgrund der Oberfeldeinflüsse eine nichtlineare, transiente Analyse mit der ggf. oberschwingungshaltigen Speisespannung bei gleichzeitiger Rotation des Rotors zur Erfassung der räumlichen Harmonischen durchgeführt werden muss. Zur exakten Erfassung der Zahn- und Oberflächenpulsation muss weiterhin zumindest in der Nähe des Luftspaltes ein sehr feines Gitter gewählt werden. Ferner ist die erreichbare Genauigkeit auch stark von der Güte der vorhandenen Materialdaten abhängig.

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Neben der eingangs geforderten Genauigkeit ist auch die Schnelligkeit und Robustheit der eingesetzten Verfahren und Algorithmen entscheidend, um vollautomatisch und in möglichst kurzer Zeit eine Vielzahl von Maschinenvarianten im Sinne einer Optimierung auszuwerten. Deshalb wurde bei der Berechnung der Verluste im Folgenden ein Mittelweg beschritten: Dabei werden die erprobten Berechnungsverfahren [23, 31] aus dem klassischen Maschinenentwurf, deren prinzipielle Eignung auch für schnelldrehende Antriebe nachgewiesen wurde [18, 19] in ihren Grundzügen beibehalten. Die durch Speisung mit gepulster Spannung und räumliche Inhomogenitäten auftretenden Oberwellen werden in einem allgemeinen Oberwellenschema analytisch ausgewertet und die jeweils zu berücksichtigenden Effekte eingeschränkt. Um den Einfluss des magnetisch aktiven Materials genauer zu berücksichtigen werden aber die Amplituden der Induktionsoberwellen numerisch mit der FEM ausgewertet. Da dazu transiente, nichtlineare Berechnungen unabdingbar sind, wurden aus Gründen der Robustheit (automatische Modellgenerierung) und Schnelligkeit vereinfachte FE-Modelle zugrunde gelegt. Bei der Auswertung werden Stromverdrängungserscheinungen und reduzierte Eindringtiefe des magnetischen Flusses berücksichtigt. Die Berechnung erfolgt auf Basis der vom Hersteller zur Verfügung gestellten Materialdaten. Dabei wird die klassische Aufteilung in Hysterese- und Wirbelstomverluste beibehalten. Die Verlustfaktoren werden in Abhängigkeit der Frequenz und Induktion gemäß einem in [41] beschriebenen Verfahren aus den Messkurven ermittelt.

3.1. Oberwellenverluste

Die Ständerwicklung (hier eine symmetrische, dreiphasige Ganzlochwicklung) erzeugt bei symmetrischer Speisung mit einer oberschwingungsbehafteten Spannung (µ … Ordnungszahl der zeitlichen Oberschwingung)

( )∑ +⋅⋅=µ

µµµ ϕω tUtu sinˆ)( mit 1ωµωµ ⋅= für µ=1, 2, 3, …

unendlich viele räumliche Oberfelder der Luftspaltinduktion, die sog. Wicklungsoberwellen [42] mit der Ordnungszahl ν. Die Ordnungszahl der Grundwelle ist gleich der Polpaarzahl p.

( )µνµνν ϕων ,1 111cos),( −⋅−⋅⋅= txBtxb mit ( )11 61 gp ⋅+=ν für g1=0, ±1, ±2, ±3, …

Bν1 … Amplitude der ν-ten Oberwelle, ωµ … Frequenz der die ν-te Oberwelle hervorrufenden zeitlichen Oberschwingung, x … Umfangskoordinate im Luftspalt, φ … Phasenwinkel der Oberwelle Die Amplitude der Wicklungsoberwellen erhält man im magnetisch linearen Fall (nur Luftspalt wirksam) durch Überlagerung der entsprechenden Strombeläge. Dies ist zum ersten die von der Wicklung durch das System der symmetrischen Ständerströme I1 gebildete Ständerstrombelagsoberwelle und zum zweiten die als Reaktion auf die betrachtete Feldwelle durch Induktion im Käfigläufer hervorgerufene Strombelagsoberwelle (gebildet durch das symmetrische Mehrphasensystem der Maschenströme des Käfigläufers [43]).

( ) ( )111 ,1,11

1

0 1ννν ξ

νδµ

π M

i

s IIwm

B ′+⋅⋅⋅⋅=

ms … Strangzahl, µ0 … Permeabilität von Luft, δi … Luftspalt mit Berücksichtigung der Nutung, ξ … Wicklungsfaktor der entspr. Oberwelle, I’M,ν1…auf die Ständerseite bezogener Maschenstrom

16

Da die Umlaufgeschwindigkeit der Ständerwicklungsoberwelle 1/νωµ=xv abhängig von

räumlicher und zeitlicher Ordnungszahl ist, induziert i. A. jede dieser Oberwellen eine Spannung im Läufer mit einer anderen Frequenz.

( )sp

−−= 11

1

2

ωνω

ω µ

s… Grundwellenschlupf der Maschine Den Schlupf für jede Oberwelle erhält man entsprechend

( )sp

s −⋅−= 11

1 1

µν

νµ

Die im Läufer durch die induzierte Spannung angetriebenen Ströme wirken wiederum durch ein oberwellenhaltiges Feld auf den Ständer zurück. Die hier ausschließlich betrachtete Käfigwicklung erzeugt nur Nutharmonische.

( )

−⋅⋅

−⋅

⋅+−⋅⋅= 21

221212 1cos),(

2 ννν ϕωµν tsp

NgxBtxb mit 2212 Ng ⋅+=νν

für g2=0, ±1, ±2, ±3, … Die Amplitude der ν2-ten Feldwelle, hervorgerufen durch den Läuferstrombelag der Ordnung ν1 (als Reaktion auf die ν1-te Ständeroberwelle) erhält man zu

( )1

1

2

12,1,

,

,

1

2,11

2

02

1ν

ν

νν ξ

ξ

νν

ξνδ

µπνν M

K

K

i

s Iwm

B ′⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

Obwohl sich die reziproke Amplitudenabhängigkeit von der Ordnungszahl scheinbar rauskürzt, ist sie im Kopplungsfaktor der Käfigwicklung (s. [43]) noch enthalten. Die Frequenz der Läuferfelder ist unabhängig von der räumlichen Ordnungszahl des sie erregenden Ständerfeldes. Der Läufergrundstrom (g2=0) induziert im Ständer eine Spannung mit dessen Grundfrequenz ωµ, er bildet die Ankerrückwirkung. Alle Läuferoberströme, die sog. Restfelder des Läufergrundstromes, induzieren im Ständer jedoch Spannungen mit anderen Frequenzen entsprechend ihrer Ordnungszahl. Wenn Stator und Rotor der Maschine genutet sind, treten neben den Wicklungsoberfeldern noch Nutungsoberfelder mit folgenden Ordnungszahlen und Amplituden auf [42]:

111 Ngpn n ⋅+= für gn1= ±1, ±2, ±3, … bzw.

222 Ngpn n ⋅+= für gn2= ±1, ±2, ±3, …

( ) ( ) ( )pMz

i

snCNn IIw

p

mkB

p ,1,110

,11

11

11′+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−= ξ

δµ

πξ

( ) ( ) ( )pMz

i

sSchrnKCNn IIw

p

mkB

p ,1,110

2,,2

11

22′+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−= ξ

δµ

πξξ ν

kC … Cartersche Faktoren von Ständer bzw. Läufer Für die hier betrachteten dreisträngigen Ganzlochwicklungen und auch die Käfigwicklung sind die Ordnungszahlen der Nutungsoberfelder in den Ordnungszahlen der Wicklungsoberfelder enthalten. Die Nutungsoberfelder liegen in Gegenphase zum Magnetisierungsstrom.

17

Die Ständernutungsoberwellen schwanken mit der Frequenz des Magnetisierungsstromes

12 ωω =n . Auch für die Läufernutungsoberwellen ist die Frequenz des Magnetisierungs-

stromes entscheidend. Allerdings bewegen sich die Läufernuten mit Schlupffrequenz relativ zum Hauptfeld.

( )

−+⋅= s

p

Ngn 11 2

212 ωω

Für die Berechnung der Feldamplituden in einem magnetisch-linearen Maschinenmodell werden die Amplituden der Läuferstrombelagsoberwellen benötigt. Da sich diese aber erst durch Induktionswirkung aus den entsprechenden Feldoberwellen ergeben, erhält man unter Beachtung des linearen Zusammenhanges zwischen Feld und Strömen über die entsprechenden Induktivitäten folgendes Gleichungssystem:

( )

( ) ( ) ( )

′

′⋅

++′+′

−−+

++′+′

+++

=

∑>

1111111 ,

1,

1

,,,,

1,1,1,1,,,

1,1,1,1,

1,1,

,,1,1,1

,1,111

...

1011

0...0...

001

...

0

...

0

NNNNN M

M

hoMM

CNschrhCNschrhschrh

hoMM

schrh

schrhschrhhh

I

I

I

XjXjs

RkjXkjXjX

XjXjs

RjX

jXjXjXjXjXRU

ννννσν

ννννν

σν

ννν

νσ

σξξξξξ

σξ

ξξ

R1 … Ständerwiderstand, Xσ1 … Ständerstreuinduktivität, ξschr,ν … Oberwellenschrägungsfaktor, R’M, X’σM … auf Ständerseite bezogene Parameter der Käfigmasche [43], σo … Oberwellenstreukoeffizient Das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise verdeutlicht gut die physikalischen Zusammenhänge: • Sämtliche Oberwellen treten bei Grundschwingungsspeisung auf (linke Seite!) • Die Schrägung wird nur einseitig in der Rückwirkung wirksam. • Ohne Berücksichtigung der Nutung sind die einzelnen Oberwellen untereinander gar nicht

und mit dem Hauptfeld über die entsprechende Induktivität verkettet. • Eine Berücksichtigung der Nutung führt zu einer zuätzlichen Wirkung des Grundfeldes

auf das entsprechende Nutungsoberfeld. • Die durch die Läufstrombelagsoberwellen hervorgerufenen Feldoberwellen

(„Läuferrestfelder“) tauchen im Gleichungssystem lediglich in Form einer Streuung (Oberwellenstreukoeffizient σo) auf.

• Reduziert man die Ordnung der Läuferoberwellen auf 1 (Grundwelle des Läuferstrombelags), dann erhält man das übliche Gleichungssystem für die Asynchronmaschine bei reiner Grundwellenbetrachtung.

Die Berechnung sämtlicher Parameter sowie weitergehende Erläuterungen – jedoch nicht die Herleitung und das Gleichungssystem selbst – können [42] bzw. [43] entnommen werden. Unter Beachtung folgender Zusammenhänge kristallisieren sich aus der etwas unüber-sichtlichen Vielzahl der theoretisch in der Maschine existenten Felder die wesentlichen Effekte heraus: Der Schlupf für höherfrequente (µ>1) räumliche Grundfelder (ν=p) geht gegen 1. Weiterhin geht die Amplitude der Ströme mit 1/µ zurück, da alle Reaktanzen mit der Frequenz wachsen. Wie oben bereits stillschweigend vorausgesetzt, können daher Nutungsfelder hervorgerufen durch zeitliche Harmonische vernachlässigt werden.

18

Über das Grundwellenverhalten hinausgehende, wesentliche Effekte sind also vor allem von den räumlichen Feldoberwellen hervorgerufen durch die Stromgrundschwingung sowie von den Feldgrundwellen hervorgerufen durch ggf. vorhandene Stromoberschwingungen zu erwarten. Für die Berechnung der Eisenzusatzverluste bedingt durch Nutungs- und Wicklungsoberwellen können ggf. vorhandene Oberschwingungen in der Klemmenspannung also vernachlässigt werden und für die durch Wechselrichterspeisung verursachten Zusatzverluste ist eine Grundwellenbetrachtung ausreichend (s. a. [44]).

3.2. Kupferverluste

Für die Berechnung der Kupferverluste ist insbesondere die bei hohen Frequenzen auftretende Stromverdrängung zu beachten. Da die Ständerwicklung mit vielen parallel geschalteten Leitern aufgebaut ist, die zudem relativ nah beeinander liegen, können dort die Stromverdrängungserscheinungen (s.a. 24) vernachlässigt werden. Entscheidend, vor allem für die Berechnung der Wechselrichter-Zusatzverluste, ist die Stromverdrängungscharakteristik der Läuferstäbe. Für offene Läufernuten lässt sich diese gut auf semi-analytischem Weg für beliebige Stabformen ermitteln. [31] Anders bei geschlossenen Nuten, zumal wenn es auf die differenzierte Ermittlung der Effekte der eingesetzten Elektrobleche ankommt. Hier sind der Einfluss des Stabstromes (Sättigung des Streusteges) sowie der Einfluss der Frequenz (Stromverdrängung) zu berücksichtigen. Beide Effekte lassen sich im Rahmen einer nichtlinearen, zeitharmonischen FE-Analyse unter Berücksichtigung der Wirbelströme im Kupferstab berücksichtigen. Hier ist allerdings wieder der rechenleistungsabhängige Zeitaufwand zu berücksichtigen. Insbesondere der Streusteg und der Stab im äußeren Bereich verlangen eine feine Vernetzung und bei einer Berechnung von zehn Stromdichtewerten für zehn Frequenzen ist eine Berechnung des kompletten Rotors [45] für die Auswertung mehrerer Varianten ungeeignet. Vielversprechend erscheint ein in der Literatur (z.B. [46]) propagierter Ansatz zur Berechnung eines Rotorsektors entsprechend einer Rotornutteilung. Die dafür notwendige komplexe Formulierung der Symmetriebedingungen ließ sich jedoch in keinem der dem Autor zur Verfügung stehenden FE-Programme realisieren. Deshalb wurde hier ein anderer Weg eingeschlagen: Betrachtet wird nur die Rotornut und das Eisen im Bereich des Nutschlitzes bzw. der Streusteg bei geschlossenen Nuten inklusive des Luftspaltes um auch die Spaltstreuung zu erfassen (siehe Bild 3.1 a). Die Lösung des Feldproblems wird mit der FE-Methode herbeigeführt. Das Problem wird zeitharmonisch betrachtet, d.h. jeweils für nur eine Frequenz. Dies bringt im Fall des nichtlinear betrachteten Eisens naturgemäß Probleme mit sich, da es an der nichtlinearen Kennlinie zur Modulation kommt und damit zusätzliche Frequenzen auftreten. Dieses Problem und die dafür geeignete Näherungslösung sind ausführlich in [47] diskutiert. Der Freiheitsgrad in allen Elementen ist das magnetische Vektorpotenzial. Im Leitergebiet kommt zusätzlich zur quellenfreien Wirbelstromdichte noch die Quellstromdichte hinzu. [48] Dazu wird als zusätzlicher Freiheitsgrad der elektrische Spannungsabfall über der Leiterlänge (Gradient des elektrischen Skalarpotenzials senkrecht zur betrachteten Ebene) eingeführt. Aus der Lösung lässt sich leicht die Stabimpedanz ermitteln. [45] Da wie oben erläutert, vor allem die räumlichen Grundschwingungen der zeitlichen Harmonischen bestimmend sind, lassen sich die zusätzlichen Kupferverluste für eine beliebige Speisespannung nach einer Spektralanalyse mit einem Grundschwingungsersatzschaltbild (siehe Bild 3.1 b) im Frequenzbereich berechnen. [33; 44]

19

R1 ωµ σL 1 s ( ,f )I2 2µ µ σ2ω L´

R´2( ,f )I2 2ωµ µL ( )h 1,I -I2,µUµ

I1,µ I2,µ

sµ

Bild 3.1

a) FE-Modell zur Berechnung der Läufer-nutimpedanz

b) Ersatzschaltbild zur Berechnung der

Kupferverluste im Frequenzbereich

3.3. Ummagnetisierungs- und Wirbelstromverluste

Physikalisch existieren zwei Mechanismen, die zu Verlusten im Eisen führen: Ummagnetisierungsverluste und Wirbelstromverluste. Beide Verlustarten sind ausführlich in der einschlägigen Literatur diskutiert. [24, 31] Bei angenommener zeitlich sinusförmiger Feldschwankung sind die Ummagnetisierungsverluste direkt proportional der Frequenz f und abhängig von der Fläche der umlaufenen Hystereseschleife (typische Schleifenformen sind z.B. in [49] zu sehen). Der Flächeninhalt A der Hystereseschleife ist eine Funktion der

Induktionsamplitude B und kann gut mit folgender Formel beschrieben werden [41]:

( )Bhys BfA

ˆˆ ⋅+= βα

Für die spezifischen Ummagnetisierungsverluste (W/kg) erhält man unter Einführung des Verlustbeiwertes ε damit

Bhys BfP

ˆˆ ⋅+⋅⋅= βαε

Die Wirbelstromdichte S ist direkt proportional der Frequenz f und dem Betrag der im Blech induzierten Spannung und damit wiederum direkt proportional der Amplitude des sich sinusförmig ändernden Feldes B.

( ) ( ) xBjxExS ⋅⋅⋅⋅=⋅= ˆˆˆ ωκκ

x … Koordinate senkrecht zur Blechebene, κ … el. Leitfähigkeit des Bleches Den Verlauf der spezifischen Wirbelstromverluste über der Blechbreite erhält man allgemein zu:

( ) ( )ρκ ⋅⋅

=2

ˆ 2xSxPwirbel

( 3.1)

Die Integration über die Blechbreite führt auf die mittleren spezifischen Verluste durch Wirbelströme. Dabei wird von einer gleichmäßig über die Blechbreite verteilten Induktion ausgegangen, d. h. die Rückwirkung der Wirbelströme auf den Feldverlauf wird zunächst vernachlässigt.

20

Unter Einführung des Wirbelstromverlustbeiwertes σ ergibt sich letztlich die bekannte Formulierung für die mittleren spezifischen Wirbelstromverluste [31, 24]:

222222 ˆˆ6

1BfBfdP Bwirbel ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= σπ

ρκ

ρ … Dichte des Materials, dB … Blechdicke, f … Ummagnetisierungsfrequenz Für die Eisenverluste bei sich sinusförmig änderndem Feld erhält man damit (vgl. [41]):

22ˆ ˆˆ BfBfPPP BwirbelhysFe ⋅⋅+⋅⋅=+= ⋅+ σε βα

Die Verlustfaktoren ε und σ können einerseits mittels theoretischer Überlegungen aus den physikalischen Materialparametern (Formel 3.1, [31, 24]) gewonnen werden. Andererseits bietet es sich an, die Faktoren aus gemessenen Verlustkurven zu ermitteln. Dies ist in den Bildern 3.2a und b für die in dieser Arbeit untersuchten Materialien dargestellt. An den Abweichungen insbesondere bei höheren Frequenzen ist die begrenzte Genauigkeit der abgeleiteten Verlustformulierung zu erkennen.

0,1

1

10

100

1000

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Induktion / T

spez

. Ver

lust

e / W

/kg

50 Hz 60 Hz

100 Hz 200 Hz

400 Hz 700 Hz

0,1

1

10

100

1000

10000

0 0,5 1 1,5 2 2,5Induktion / T

spez

. Ver

lust

e /

W/k

g

50 Hz

60 Hz

100 Hz

400 Hz

1 kHz

2 kHz

5 kHz

a) b)

Bild 3.2: Messpunkte [50, 51] und approximierte Verlustdaten für a) Blechsorte M270-35A (α=1.4, β=0.35) und für b) Blechsorte Vacoflux 50 (α=1.8, β=0.1)

Die approximierten Verlustdaten sind für eine sinusförmige Änderung der Feldamplitude bei einer bestimmten Frequenz gültig. In den folgenden Berechnungen werden alle Oberwellen gesondert betrachtet und die entstehenden Verluste überlagert. Dies führt bei der Berechnung der Ummagnetisierungsverluste durch Oberwellen jedoch zu Fehlern, da bei einer bestehenden Vormagnetisierung und einer überlagerten Induktionsschwingung kleine Hystereseschleifen, deren Ursprung sich am entsprechenden Wert der Vormagnetisierung befindet (siehe Bild 3.3) durchlaufen werden. Deren Fläche und die damit entstehenden Verluste stimmen nicht zwangsläufig mit den oben ermittelten Werten überein. Da aber insbesondere bei schnelldrehenden Maschinen die Frequenzen der Oberfelder sehr hoch sind, können die frequenzproportionalen Ummagnetisierungsverluste im Vergleich zu den quadratisch von der Frequenz abhängenden Wirbelstromverlusten ohne großen Fehler vernachlässigt werden.

21

H

B

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

Frequenz / kHz

Ver

lust

fakt

or

k m

nichtlin.

Theorie

linear

Bild 3.3: Schematisierte Darstellung der

Hystereseschleifen bei Vormag-netisierung

Bild 3.4: Reduktion der Wirbelstromverluste durch Skin-Effekt bei höheren Frequenzen

Für sehr hohe Frequenzen der Induktionswellen ist noch die Rückwirkung der Wirbelströme zu beachten. Sie führt zu einer Verminderung der Induktion im Blechinneren und damit zu einer Verminderung der Wirbelstromverluste. Man berücksichtigt sie durch Multiplikation der spezifischen Verluste mit einem Faktor km. [24, 44]

ξξξξ

ξ coscosh

sinsinh3

−−

⋅=mk ( 3.2)

wobei ξ eine dimensionslose Größe, die „reduzierte Blechstärke“ ist.

κµπξ fd Blech ⋅=

dBlech … Blechdicke, µ … Permeabilität, f … Frequenz, κ … el. Leitfähigkeit

( 3.3)

Man kann den Verlauf km(ξ) annähern durch km=1 für ξ ≤ 3 und km=3/ξ für ξ>3, wobei der maximale Fehler für km ca. 10% beträgt bei ξ=3. Die Rechnung ist allerdings nur für lineares Materialverhalten gültig (µ als konstant angenommen). Berücksichtigt man das nichtlineare Materialverhalten, dann fällt die Reduktion der Verluste deutlich geringer aus (Bild 3.4). Da die mittlere Induktion im Blech vorgegeben ist und durch die Sättigungscharakteristik nur beschränkte Induktionswerte am Blechrand möglich sind, ist die Eindringtiefe bei nicht-linearem Materialverhalten deutlich größer im Vergleich zum theoretisch-linearem Fall (Bild 3.5). In der praktischen Anwendung für die Berechnung der Wirbelstromverluste durch Oberwellen kann dennoch gut mit der Formel 3.2 gerechnet werden, da die Amplituden der Oberwellen praktisch relativ klein sind. Der Sättigungszustand ändert sich damit nicht wesentlich. In Formel 3.3 ist dann lediglich die differentielle Permeabilität je nach Vormagnetisierung durch die Grundwelle einzusetzen (Bild 3.6). Da für die verwendeten dünnen Bleche der Skineffekt im Bereich der vorliegenden Materialdaten (Bild 3.2) keine Rolle spielt, können die Verlustziffern und Grundwellenverluste wie beschrieben ermittelt bzw. berechnet werden. Für die Verluste durch Feldoberwellen ist dann der Reduktionsfaktor km bei der Berechnung der dabei ausschließlich betrachteten Wirbelströme zu berücksichtigen. Ein gegebenenfalls bei Ständer oder Läufer ausgeführte Schrägstellung der Nuten (Schrägung) hat keinen merklichen Einfluss auf die Eisenverluste, weil sich die Bedingungen für die Wirbelströmung in jedem einzelnen Blech nicht ändern. [31]

22

0,0

0,5

1,01,5

2,0

2,5

3,03,5

4,0

4,5

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

x / mm

Ind

ukt

ion

/ T

nichtlinear

linear

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 1000 2000 3000 4000 5000

H / A/m

B /

T

∆B

∆H

B

H

Bild 3.5: Verteilung der Induktions-

amplitude über die Blechdicke bei 5 kHz, B =1.5 T, lineares/ nicht-lineares Materialverhalten

Bild 3.6: Für Induktionsoberwellen wirksame,

differentielle Permeabilität H

Bd ∆

∆=µ

3.4. Oberflächenverluste

Bei der Bearbeitung der Bleche, insbesondere beim Stanzen aber auch beim Laserschneiden, kann es zur Gratbildung kommen. Des Weiteren leidet auch die Isolation der Bleche an den Bearbeitungsrändern. Am Rand können somit mehrere Bleche elektrisch leitend verbunden sein, die Wirbelstrombahnen schließen sich dann über mehrere Bleche. Es kommt zu den sog. „Oberflächenverlusten“. [24] Da sich die leitenden Oberflächen aus ungewollten Nebeneffekten der Fertigung ergeben, kann bei ansonsten geblecht ausgeführten Maschinen von geringen Schichtdicken (< 0,1 mm) ausgegangen werden. Die Eindringtiefe der Wirbelströme

κµπ ⋅⋅⋅=∆

f

1

ist damit für die hier eingesetzten Materialien (insbesondere unter Beachtung der nichtlinearen Materialcharakteristik) auch für die hohen Frequenzen der Nutharmonischen stets größer als die angesetzte Dicke der leitenden Oberfläche. Das Verlustvolumen wird daher durch die Schichtdicke bestimmt.

a): 500 Hz b) 10 kHz

Bild 3.7: Veranschaulichung der Wirbelströme (farbige Konturen) bei einer leitfähigen Schicht (Dicke 0,1 mm) an der Blechoberfläche (Bleche grau hinterlegt). Mit zunehmender Frequenz sinkt die Eindringtiefe, das Oberfeld (schwarze Feldlinien) wird stärker abgedämpft. (a: f=500 Hz, b: f=10 kHz)

23

Die in der leitenden Oberfläche induzierte Spannung wird durch den magnetischen Fluss Φν der ν-ten Feldwelle (Polteilung τp,ν) bestimmt. Die induzierte Spannung treibt in der leitfähigen Oberfläche einen Strom an. Alle Größen werden als sinusförmig angesetzt:

lB

lll

UES p ⋅⋅⋅⋅=

Φ⋅⋅=⋅=⋅= ν

νννν τπ

ωκ

ωκκκ ,

ˆ

2

1ˆˆˆ

l … axiale Länge der leitenden Schicht Aus den volumen-spezifischen Verlusten (vgl. Formel 3.1) erhält man unter Einbeziehung der Schichtdicke ∆ die auf die Oberfläche bezogene Verlustleistung pA der ν-ten Feldwelle:

22,

2222,2

2

ˆˆ82

ˆνννννν τωωτ

πκ

κBkB

Sp popA ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

∆⋅=∆⋅

⋅=

Der Ausdruck für die Oberflächenverluste wird in der Literatur [31, 24] ähnlich angegeben. Da dort aber die Schichtdicke gleich der Eindringtiefe des Feldes gesetzt ist, beträgt die Größe des Exponenten der Frequenz 1,5 statt 2. Weder die Eindringtiefe noch eine beliebig angenommene Schichtdicke sind für eine genaue Berechnung der Oberflächenverluste hilfreich. Da sich diese nach Fertigung des Rotors auch nicht auf einfache Art und Weise (zerstörungsfrei) bestimmen lässt, besteht an dieser Stelle eine offensichtliche Unsicherheit. Die gesamten Oberflächenverluste berechnet man mit OAO ApP ⋅= , wobei AO die gesamte

betrachtete Oberfläche ist. Bei beidseitiger Nutung ist die Oberfläche AO des verlustbehafteten Teiles geschlitzt und wird daher proportional reduziert. Für den Ständer der Asynchronmaschine gilt also

( ) ii

N

sNpoO lD

bBkP ⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅= ∑ π

ττ

των

ννν1

1122,

21

ˆ

und für den Rotor analog dazu

( ) ii

N

sNpoO lD

bBkP ⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅= ∑ π

ττ

των

ννν2

2222,

22

ˆ

Laut [24] wird die Oberflächenwärme unter Anwendung dieser Formeln erfahrungsgemäß zu reichlich berechnet, wobei das Hauptproblem nach Auffassung des Autors aber die Wahl eines geeigneten Verlustfaktors ist. Werth [19] gibt durch Rückrechnung ermittelte Verlustfaktoren in der Größenordnung 2 … 4 W/m2 an, wobei zu beachten ist, dass er analog zu [24] eine zugeschnittene Größengleichung ohne SI-Einheiten verwendet. Aber auch die oben dargestellte Bestimmung der Eisenverluste innerhalb der einzelnen Bleche ist mit starken Unsicherheiten behaftet, da entweder Materialparameter nur ungenügend genau bekannt sind, diese aber auch im Fall einer experimentellen Ermittlung an Proben durch die Fertigung der Maschine beeinflusst werden (Material- und Iso-lationsbeanspruchung besonders im Bereich der Zähne durch Stanzen oder Laserschneiden). Gratbildung im Bereich des Luftspaltes kann mit Hilfe der Oberflächenverluste erfasst werden. Aber auch im Bereich der Nuten kann der Grat zu erhöhten Wirbelströmen führen. Weiter zu nennen sind Unsicherheiten in der Blechisolation durch Ungleichmäßigkeiten in der Beschichtung und Schwierigkeiten bei der Erfassung der Verluste durch drehende Magnetisierung, da die Standard-Messeinrichtungen mit wechselnder Magnetisierung arbeiten [52], sowie Schwierigkeiten bei der Erfassung der Hystereseverluste bei nicht-sinusförmigem Feldverlauf. In der Literatur [24, 31] werden deshalb für die einzelnen Teile des magnetischen Kreises Zuschlagsfaktoren (bis zu 80%) angegeben, die im Wesentlichen auf Erfahrungswerten beruhen. Deshalb ist es nach Auffassung des Verfassers nur begrenzt

24

sinnvoll, die Eisenverluste mit komplexen FE-Modellen zu berechnen, zumal zur Berücksichtigung der Oberwellen transiente Simulationen unter Berücksichtigung der Drehung des Maschinenrotors notwendig wären. Die Berechnung der Feldverdrängung bei hohen Frequenzen sowie eine Berücksichtigung der Oberflächenverluste gelingt nur mit entsprechend fein vernetzten 3D-Modellen. Dieser große numerische Aufwand, der auch zur Berechnung vieler Varianten im Sinne einer Optimierung ungeeignet ist, zur Berechnung der Eisenverluste suggeriert unter Umständen eine Genauigkeit, die aufgrund o.g. Faktoren praktisch nicht erreicht werden kann. Deshalb wird im Folgenden ein Mittelweg begangen.

3.5. Berechnung der Feldamplituden

Über die Ordnungszahlen der Oberwellen des Luftspaltfeldes und deren Umlauf-geschwindigkeiten bzw. Frequenzen geben die im Abschnitt Oberwellen abgeleiteten Beziehungen Aufschluss. Zur Berechnung der Verlustleistungen mit den o.g. Formeln müssen noch die Amplituden der Induktionsoberwellen berechnet werden. Umfangreiche analytische Berechnungen dazu sind in [24, 53] dargestellt. Zur differenzierten Bestimmung des Materialeinflusses ist aber die Berücksichtigung der Magnetisierungskennlinie unabdingbar, was mit den dort dargestellten Beziehungen nicht gelingt. Der Einsatz zahlreicher, grafisch abgelegter Hilfsfunktionen, erschwert zudem eine numerische Auswertung per Software. Mit dem Ziel einer geringen Komplexität zur automatischen Generierung und schnellen Auswertung bei gleichzeitiger Berücksichtigung der wesentlichen Einflüsse zur Berechnung der Flusspulsationsamplituden in den Zähnen und an ihren Oberflächen werden FE-Modelle erstellt. Die Modelle (siehe Bilder 3.8 a und b) enthalten folgende Vereinfachungen:

• Abbildung des Kreissektors auf die Ebene, so dass die Eisenabmessungen erhalten bleiben (die Nutabmessungen ändern sich, spielen aber keine Rolle).

• Zur einfachen Realisierung der Bewegung wird das der betrachteten Seite gegenüberliegende Element stark abstrahiert: Nur Berücksichtigung des Nutschlitzes für Nutungsharmonische, bzw. glatte Eisenoberfläche mit (vorab berechneten) Strombelagsoberschwingungen für Nutharmonische.

• Da keine zeitabhängigen Größen betrachtet werden, ist es ausreichend, für jeden Bewegungsschritt eine (nichtlineare) statische Feldberechnung durchzuführen.

• Für geschlossene Nuten wird ein Ersatznutschlitz berechnet, der sich aus der Sättigung des Streusteges ergibt.

• Der Einfluss des Grundwellenfeldes wird durch ein aufgeprägtes Gleichfeld mit der mittleren Amplitude der Grundwelleninduktion nachgebildet.

Die Modelle umfassen je zwei Nutteilungen der betrachteten Seite, wobei nur der in der Mitte liegende Zahn betrachtet wird. Die Bewegung des gegenüberliegenden Teiles erfolgt über eine Polteilung der kleinsten zu erfassenden Harmonischen (Beispiel: Berechnung des Einflusses der Nutdurchflutungs- und Nutungsharmonischen des Läufers auf den Ständerzahn -τN2/2 ≤ x ≤ +τN2/2).

25

a) b) Bild 3.8: FE-Modell zur Berechnung der Flusspulsation a) im Ständerzahn hervorgerufen

durch Läufernutungsharmonische bzw b) im Läuferzahn hervorgerufen durch Ständernutharmonische

Zur Berechnung der durch Nutharmonische hervorgerufenen Pulsationen (lastabhängige Zusatzverluste) wird das Spektrum des Durchflutungsverlaufes bei Nennstrom analysiert. Im FE-Modell werden dann nur die Nutharmonischen bis zur 4. Ordnung berücksichtigt (siehe Bild 3.9 a und b).

Bild 3.9

a) Verlauf und Spektrum der Ständer-durchflutung (q=4, zp=1, N=24)

b) Verlauf und Spektrum der Käfigdurch-

flutung (N=16) Die Grundwellenfeldamplituden werden mit nichtlinearen, statischen FE-Analysen des vollständigen Maschinequerschnittes ermittelt. Diese Berechnungen sind ohnehin zur Ermittlung des Magnetisierungsstrombedarfs notwendig. Bei der zweipoligen Maschine ist dabei unbedingt die Flussentlastung des Rotorjochs durch die Welle zu berücksichtigen. Dies geschieht im Rahmen einer statischen FE-Analyse durch Vorgabe eines elektrischen Leitwertes und einer Winkelgeschwindigkeit für alle Wellenelemente. Alle Ergebnisse der Berechnungen sind im Abschnitt Maschinenentwürfe für die beiden Maschinen im Vergleich dargestellt. Tabelle 3.2 fasst alle zur Eisenverlustberechnung verwendeten Formeln zusammen.

26

Grundwellenverluste

Ständerrücken [ ] 121

21

ˆ

111ˆˆ

RRWRB

RHRFeR mBfkBfkP ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅+ σε βα

Läuferrücken ( )[ ] 22

2

2

11

ˆ

2112ˆˆ

RRWRB

RHRFeR mBfskBfskP ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= ⋅+ σε βα

Ständerzähne [ ] 121

21

ˆ

111ˆˆ

ZZWZB

ZHZFeZ mBfkBfkP ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅+ σε βα

Läuferzähne ( )[ ] 22

2

2

11

ˆ

2112ˆˆ

ZZWZB

ZHZFeZ mBfskBfskP ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= ⋅+ σε βα

Oberschwingungsverluste (Wechselrichterzusatzverluste)

Ständerrücken 1

2

1

1

2,11

ˆˆ

ˆRRmRWRFeR mB

U

UfkkP ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅= ∑

µ

µµµσ

Läuferrücken 2

2

2

1

2,22

ˆˆ

ˆRRmRWRFeR mB

U

UfkkP ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅= ∑

µ

µµµσ

Ständerzähne 1

2

1

1

2,11

ˆˆ

ˆZZmZWZFeZ mB

U

UfkkP ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅= ∑

µ

µµµσ

Läuferzähne 2

2

2

1

2,22

ˆˆ

ˆZZmZWZFeZ mB

U

UfkkP ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅= ∑

µ

µµµσ

Zahnpulsationsverluste

Ständerzähne 12

,12

,11ˆ

ZZmZFeZ mBfkP ⋅

⋅⋅⋅= ∑

ννννσ

Läuferzähne 22

,22

,22ˆ

ZZmZFeZ mBfkP ⋅

⋅⋅⋅= ∑

ννννσ

Oberflächenverluste

Ständeroberfläche ( ) ii

N

sNpoO lD

bBkP ⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅= ∑ π

ττ

των

ννν1

1122,

21

ˆ

Läuferoberfläche ( ) ii

N

sNpoO lD

bBkP ⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅= ∑ π

ττ

των

ννν2

2222,

22

ˆ

Tabelle 3.2: Zur Eisenverlustberechnung verwendete Formeln

27

3.6. Luftreibungsverluste

Die Luftreibungsverluste eines rotierenden Zylinders sind abhängig von der Größe seiner Oberfläche sowie der Umfangsgeschwindigkeit. Eine Rolle spielt weiterhin die Art der Strömung, die z.B. durch die Oberflächenbeschaffenheit sowie die Umgebung maßgeblich beeinflusst wird. Für die zur Überwindung der Reibungskräfte an der Zylinderoberfläche erforderliche Leistung gilt [13]

LRCP M ⋅⋅⋅⋅⋅= 43ωρπ

R … Zylinderradius, L … Zylinderlänge, ω … Winkelgeschwindigkeit, ρ … Dichte des den Zylinder umgebenden Mediums, CM … Leistungsbeiwert Rotiert der Zylinder in einem anderen, feststehenden, dann ist auch das Verhältnis ihres Abstandes zum Radius einflussgebend. Der Leistungsbeiwert CM ist wiederum abhängig von der Art der Strömung zwischen beiden Zylindern (Taylor-Couette-Strömung). Details zu den physikalischen und strömungstechnischen Vorgängen und eine umfangreiche Literaturübersicht sowie Darstellung der Ergebnisse können [13, 54] entnommen werden. Aus diesen Quellen sind folgende Beziehungen für den Leistungsbeiwert entnommen:

δ

δ

Re10

3.0

⋅=r

CM für Reδ < 64

6.0

3.0

Re2

δ

δ

⋅=r

CM für 64 ≤ Reδ < 500

5.0

3.0

Re03.1

δ

δ

⋅= rCM für 500 ≤ Reδ < 10000 ( 3.4)

2.0

3.0

Re065.0

δ

δ

⋅= rCM für 10000 ≤ Reδ

mit ν

δωδ

⋅⋅=

RRe

δ…Luftspalt, R … mittlerer Luftspaltradius, ω … Winkelgeschwindigkeit, ν … kinematische Viskosität des Kühlmediums Die in der Literatur angegebenen Leistungsbeiwerte variieren sehr stark. Annähernd die doppelten Luftreibungsverluste berechnet man mit dem Leistungsbeiwert nach Formel 3.5. [15] Im Bild 3.10 sind die angegebenen Leistungsbeiwerte gegenübergestellt. Abweichungen ergeben sich insbesondere für sehr kleine und sehr große Drehzahlen. Im Bereich um 50Hz sind die Werte ähnlich.

15.0Re035,0 −⋅= δMC ( 3.5)

Zusätzlich treten noch Verluste durch die tangentiale Beschleunigung der axial in den Luftspalt eintretenden Kühlluft auf, sowie Verluste durch radiale Förderung des Kühlmediums an den Kurzschlussringen nach außen (Pumpeneffekt). [13]

28

Die Lagerverluste fallen bei hohen Drehzahlen ebenfalls erheblich aus. Nach Möglichkeit sollte hier auf Berechnungen oder Daten des Herstellers zurückgegriffen werden. [15]

Bild 3.10: Gegenüberstellung der gemäß zweier Literaturangaben berechneten Reibungs-

beiwerte [13, 15]

29

4. Mechanische Beanspruchung des Rotors Die mechanische Modellierung der schnelldrehenden Asynchronmaschine in der vorliegenden Arbeit verfolgt zwei Ziele: Zum einen Berechnung der auf die Rotorkonstruktion wirkenden Belastungen durch die starken Zentrifugalkräfte um sicherzustellen, dass diese von den eingesetzten Materialien auch dauerhaft ausgehalten werden können. Zum anderen Berechnung der Biegeeigenfrequenzen („kritische Drehzahlen“) des Rotors um sicherzustellen, dass beim Betrieb in und ggf. unterhalb der Nenndrehzahl keine die Stabilität gefährdenden Schwingungen auftreten.

4.1. Beanspruchung durch Zentrifugalkräfte

Ziel der im Folgenden beschriebenen Modellierung ist es, den Festigkeitsnachweis für den Rotor zu erbringen. Dazu müssen die aus den Zentrifugalkräften resultierenden Beanspruchungen berechnet und mit den zulässigen Materialkennwerten verglichen werden. [28] Modelliert man die Rotorgeometrie in einem ersten Schritt vereinfachend als rotierenden Hohlzylinder, dann lassen sich die Beanspruchungen des Materials auf analytische Weise berechnen. Bei Drehung des Rotors mit der Winkelgeschwindigkeit wirkt auf jedes Masseelement, das sich im Abstand r zur Drehachse befindet, die (nach außen gerichtete) Zentrifugalkraft dF.

dAdrrdmrdF ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ρωω 22 ( 4.1)

Die Zentrifugalkraft wird durch die inneren Kräfte des Materials kompensiert. Bezieht man diese Kräfte auf die entsprechenden Flächenelemente, erhält man die im Material auftretenden Spannungen. In dem umlaufenden Hohlzylinder treten sowohl radiale σr als auch tangentiale Spannungen σt auf [28]:

−−+⋅⋅⋅⋅

+=

2

2

2

2

2

222 1

8

3)(

a

i

a

iar R

r

r

R

R

RRr ωρ

νσ

⋅

++

−++⋅⋅⋅⋅+

=2

2

2

2

2

222

3

311

8

3)(

a

i

a

iat R

r

r

R

R

RRr

νν

ωρν

σ

( 4.2)

Ri … Innenradius des Hohlzylinders, Ra … Außenradius des Hohlzylinders, ρ … Dichte des Zylindermaterials, ν … Querkontraktionszahl Die radiale und tangentiale Zugspannung sind in Bild 4.1 für einen Kurzschlussring aus Kupfer mit dem Innenradius Ri=16 mm und dem Außenradius Ra=34 mm dargestellt. Die Werkstoffkennwerte sind im Anhang A zu finden. Die Festigkeitswerte der Werkstoffe werden unter einachsigen Beanspruchungsbedingungen im Zugversuch ermittelt. [28] Der beim umlaufenden Hohlzylinder auftretende mehrachsige Spannungszustand muss daher mit einer Festigkeitshypothese in eine Vergleichsspannung umgerechnet werden. Für die verwendeten duktilen Werkstoffe kann die auf der äquivalenten Gestaltänderungsenergie beruhende v. Mises-Hypothese [28] verwendet werden. Wenn die v. Mises-Vergleichsspannung (Formel 4.4) den Wert der Streckgrenze2 Re erreicht, dann fängt der Werkstoff an zu fließen. Praktisch wird für Werkstoffe statt der Streckgrenze 2 max. Spannung die am Werkstoff auftreten kann, ohne das eine bleibende Dehnung zurückbleibt

30

Ri Ra

Ra

Ri

ω

Bild 4.1: Spannungsverteilung in Abhängigkeit des Radius eines Hohlzylinders die 0,2%-Dehngrenze (Spannung, nach deren Wegnahme eine 0,2%-Dehnung des Werkstückes verbleibt) angegeben.

trtrv σσσσσ −+= 22

σv … Vergleichsspannung, σr, σt … radiale und tangentiale Spannungen

( 4.3)

Um die Integrität der Rotorstruktur zu sichern, muss die Vergleichsspannung um den Sicherheitsfaktor SF kleiner als die 0,2%-Dehngrenze sein.

2,0pv RSF <⋅σ ( 4.4)

Für den umlaufenden Hohlzylinder ist dazu die Vergleichsspannung in Bild 4.1 eingetragen. Für das Kupfer der Endringe ist eine 0,2%-Dehngrenze von >200 N/mm2 angegeben (siehe Anhang A), damit ist der Sicherheitsfaktor stets größer als 2. Die Sicherheit ist praktisch noch höher, da die maximale Vergleichsspannung am inneren Radius auftritt. Dieses Phänomen ist ausführlich in [35] diskutiert. Grammel hat dort erklärt, dass selbst bei Überschreiten der zulässigen Spannung am inneren Radius keine Sprengung des Ringes eintritt, da der äußere Teil sich noch im elastischen Zustand befindet und den inneren Teil stützt. Das Modell des umlaufenden Hohlzylinders bildet die Verhältnisse im Fall des Massivläufers oder für Druckgusskurzschlussringe gut nach. Im Fall des Käfigläufers sind die Verhältnisse jedoch komplizierter: Der geblechte Rotorkörper wird durch den Käfig zusammengehalten, bei Verwendung von Backlack beschichteten Blechen sind diese zusätzlich untereinander verklebt. Zwischen dem Blechpaket und den Stäben gibt es keine Verbindung. Die Stäbe sind nur mit dem Ring gefügt (verschraubt oder kalt geschweißt). Während im Fall des massiven Ringes die Spannung am inneren Rand am höchsten ist und nach außen abnimmt, kann es durch die genutete Struktur von Blechen und Endring und den Einfluss der Stäbe jedoch zu erhöhten mechanischen Spannungen im Bereich der Nuten kommen. Im Maschinenbau ist es daher seit Jahren gängige Praxis, die konstruierten Teile mit Hilfe der Methode der finiten Elemente auf Beanspruchungen und Festigkeit zu untersuchen. Zeitgemäße CAD-Programme beinhalten derartige Werkzeuge oder stellen automatisierte Schnittstellen zur Verfügung. [55, 56] Die Grundlagen und Methoden der Analyse mechanischer Strukturen mit der Methode der finiten Elemente werden in der Literatur umfassend und detailliert dargestellt. [47, 57] Die folgende kurze Darstellung soll lediglich

31

den Aufbau des Modells sowie die Angabe der Belastungen und Randbedingungen verständlich machen. Zur Berechnung der mechanischen Spannungen einer Struktur unter Einfluss äußerer Kräfte wird diese mit drei- oder viereckigen Elementen diskretisiert. Als Unbekannte werden die Verschiebungen der Element-Eckpunkte (Knoten) eingeführt und im Bewegungsvektor u zusammengefasst. Über einen Energieansatz ergibt sich das zu lösende Gleichungssystem:

FuMuK =⋅+⋅ && ( 4.5) K … Elementsteifigkeitsmatrix, M … Elementmassenmatrix, F ... Knotenkräfte und Elementlasten, ü … Beschleunigungsvektor Über die Dehnungs-Verschiebungs-Matrix D erhält man den Zusammenhang zwischen den Dehnungen des Materials ε und den Knotenverschiebungen und schließlich über die Materialmatrix B die mechanischen Spannungen σ.

uDε ⋅= εBσ ⋅=

Zur Berechnung der Koeffizienten der Materialmatrix B und der Elementsteifigkeitsmatrix K werden Elastizitätsmodul E sowie Querkontraktionszahl ν, für die Koeffizienten der Elementmassenmatrix wird die Materialdichte ρ benötigt. Die Eigenschaften der für die Maschinenprototypen verwendeten Materialien sind im Anhang A aufgeführt. Wie auch für magnetische Berechnungen wird hier die Finite-Elemente-Software Ansys [58] verwendet. Die Rotorgeometrie wird mit 2D-4-Knoten-Elementen vernetzt. Alle Materialien werden linear und isotrop betrachtet, d.h. das Elastizitätsmodul E sowie die Querkontraktionszahl ν sind richtungsunabhängig. Unter Ausnutzung der Symmetrie der Anordnung ist es ausreichend, eine Nutteilung zu modellieren (Bild 4.3b). Die Verschiebungen in Winkelrichtung für die Knoten am inneren Rand der Struktur werden zu Null festgelegt. Jedes Element der Struktur wird gemäß Formel 4.1 nur durch Fliehkräfte belastet, alle Knotenkräfte und Elementlasten sind gleich 0. Die Belastung wird durch Angabe der entsprechenden Winkelgeschwindigkeit formuliert. Als Ergebnis der Analyse erhält man die Spannungen und Dehnungen des Materials. Zur Einschätzung der Festigkeit wird wieder die Vergleichsspannung (Formel 4.4) ermittelt. Bild 4.2 zeigt die Spannungsverteilung am Kurzschlussring (mit den entsprechenden Bohrungen und Stäben) im Vergleich mit dem oben analytisch ausgewerteten massiven Ring. Da der Einfluss der Fügung zwischen Stab und Ring auf die Festigkeit im Rahmen dieser Arbeit nicht Gegenstand der Untersuchungen ist, wurde ein ungünstiger Fall simuliert: Dabei wurde angenommen, der Stab befände sich locker in der Bohrung und drückt durch die Fliehkräfte gegen deren äußeren Teil. Praktisch sind verschiedene Szenarien denkbar: Da der Stab größtenteils von den gegenüber Kupfer zäheren Rotorblechen gehalten wird, ist auch denkbar, dass die Stabenden den Ring stabilisieren. Das Ergebnis der numerischen Berechnung im o.g. Szenario offenbart die ungleichmäßige Verteilung der Vergleichsspannung im Bereich der Bohrung. In der Detailansicht (Bild 4.3) werden die an den Seiten durch den Druck des sich verformenden und gegen den oberen Bohrungsrand drückenden Stabes sichtbar, sowie die Spannungserhöhung direkt über der Bohrung. Zusammenfassend wird deutlich, dass die Sicherheit in allen Bereichen stets größer 2 ist, womit die Festigkeit des Rotors nachgewiesen ist.

32

Bild 4.2

a) Vergleichsspannungen an der massiven Ringscheibe (vgl. Bild 4.1)

b) Vergleichsspannungen am Kurzschluss-

ring mit lose eingefügten Stäben

Bild 4.3

a) Detailansicht der Vergleichsspannungs-verteilung eines Kurzschlussring-Sektors.

b) Gitternetz der berechneten Struktur (ca.

1800 Elemente)

4.2. Eigenfrequenzen

Nach Erbringen des Festigkeitsnachweises für den Rotor gegenüber den durch die Zentrifugalkräfte wirkenden Belastungen (s. Kapitel 4.1), müssen die Eigenfrequenzen3 des Antriebes bestimmt werden. Durch konstruktive Maßnahmen muss unter allen Umständen vermieden werden, dass Eigenfrequenzen in den Betriebsdrehzahlbereich des Antriebes fallen, da im Resonanzfall Schwingungen auftreten, die zur mechanischen Beschädigung von Antriebselementen führen können. [27] Es werden Dreh- und Biegeschwingungen unterschieden. Erstere sind insbesondere für Kupplungselemente kritisch, zweite können dazu führen, dass der Rotor bei zu starker Auslenkung den Stator streift. Neben den Resonanzerscheinungen können auch Schwingungen mit kleiner Amplitude zu einer Überbeanspruchung des Materials (geringere Dauerschwingfestigkeit gegenüber der Dauerfestigkeit) und Maschinenlärm führen. 3 Die Eigenfrequenzen sind die Frequenzen, mit denen das mechanische System nach impulsförmiger Anregung ohne äußere Einwirkung schwingt.

33

Zur Berechnung der Eigenfrequenzen muss ein mechanisches Ersatzsystem des Rotors erstellt werden. [28] Es bieten sich u.a. folgende Möglichkeiten an:

• zweiseitig gelagerte, einfach-zylindrische Welle [59] • masselose Welle mit der in einer Scheibe konzentrierten Gesamtmasse (sog. Laval-

Läufer, siehe z.B. [27]) • Aneinanderreihung eindimensionaler Balkenelemente [28, 29] • komplexes 3D-Modell des Maschinenläufers [30]

Während für die ersten beiden Alternativen analytische Lösungsansätze existieren, werden die letzteren beiden vorteilhaft unter Verwendung einer FEM-Software numerisch gelöst. Durch die nicht zu vernachlässigende Rotormasse scheint der Wellenansatz aus [59] nicht geeignet. Durch die schlanke Rotorkonstruktion mit relativ starker Welle scheidet die Modellierung durch einen Laval-Läufer [27] jedoch ebenso aus. Während sich ein 3D-Modell erst einmal leicht mit der Software realisieren lässt, scheitert seine Parametrisierung: Prinzipiell wirken die Stäbe in den Nuten sowie die Reibung zwischen den Blechen je nach Anpressdruck stabilisierend und versteifen die Rotorkonstruktion. Da die Fertigungsparameter (z.B. Verbindung Käfig – Läuferbleche, Verbindung Läuferkörper – Welle) sich schwer quantifizieren lassen und auch zur Reibung zwischen den Blechen keine Untersuchungen vorliegen, lassen sich Parameter für das Modell kaum nachbilden. Möglich wäre ein adaptives Modell für dessen Parametrisierung aber eine Vielzahl von Rotoren untersucht werden müsste. Da schon die Fertigung eines einzelnen Rotors kosten- und zeitaufwändig ist, wurde der Einsatz des 3D-Modells verworfen und einem erweiterten Balkenmodell der Vorzug gegeben. Die Welle ist aus massivem Stahl und aus einem Stück gefertigt, damit lässt sie sich problemlos nachbilden. Da die Welle für Rotor-, Lager- und Kupplungssitze mehrere Absätze hat, wird sie aus mehreren Balkenelementen zusammengesetzt. Der Einfluss des Rotorkörpers wird durch eine im entsprechenden Bereich zusätzlich aufgebrachte Masse geltend gemacht. Der Einfluss der versteifenden Wirkung lässt sich durch Untersuchung der Extremfälle (unendlich steifer Rotorkörper – keine Durchbiegung und voll elastischer Rotorkörper) zumindest abschätzen. Die Elastizität der Lagerstelle wird durch ein entsprechendes Feder-Dämpfer-Element je Freiheitsgrad modelliert. Die gegeneinander gestellten Spindelkugellager verhindern eine Bewegung des Rotors in axialer Richtung (z-Koordinate). Die Steifigkeit (Federkonstante des Feder-Elements) ist abhängig vom Grad der Lagervorspannung (s. Kapitel 6). Zu Modellierung eines starren Lagers werden alle Freiheitsgrade an der Lagerstelle fixiert.

Bild 4.4

a) Modell des Rotors für Modalanalyse mit 3D Elementen (ca. 2400 Elemente)

b) Modell des Rotors für Modalanalyse mit

Balkenelementen (31 Elemente)

34

Die Berechnung der Eigenfrequenzen erfolgt ausgehend von Formel 4.5. Da die Eigenfrequenzen die Frequenzen sind, mit denen das System nach impulsförmiger Anregung ohne weitere Einwirkung äußerer Kräfte schwingt, wird F=0 gesetzt. Mit dem Ansatz einer ungedämpften Schwingung für alle Freiheitsgrade

( )t⋅⋅= ωcosAu

folgt nach zweimaligem Ableiten und Einsetzen:

( ) 02 =⋅⋅− uMK ω

Die Nullstellen der Determinante MK ⋅− 2ω sind die Eigenwerte („Eigenfrequenzen“) des

Systems. [57] Die Eigenfrequenzen lassen sich auf die oben beschriebene Art und Weise mit der FEM-Software mit einer „Modalanalyse“ bestimmen. Das oben erläuterte Balkenmodell wird mit der FEM-Software erzeugt. Die verwendeten Balkenelemente besitzen 6 Freiheitsgrade (3 translatorische und 3 rotatorische). Der Bewegungsvektor u lautet damit:

( )Tzyxzyx θθθ=u

Da die Welle rotationssysmmetrisch ist, erhält man bei einer Orientierung entlang der z-Koordinate jeweils doppelte Eigenfrequenzen für die Auslenkung in x- und y- Richtung bzw. für die Rotation um x- und y-Achse. Die Anzahl der Balkenelemente zur Modellierung der Welle ist prinzipiell frei wählbar. Die minimale Anzahl richtet sich nach der Anzahl der zu berechnenden Eigenfrequenzen (bei n gefragten Eigenfrequenzen pro Freiheitsgrad mindestens n+1 Balkenelemente) sowie nach der Anzahl der Abstufungen der Welle. Die Details zur Berechnung der Systemmatrizen für die Balkenelemente können [47] entnommen werden. Die für die Modellierung der Motorwelle relevanten Angaben sind in Tabelle 4.1 aufgeführt. Balkenquerschnittsfläche 2

4dA

π=

Flächenträgheitsmomente Iyy, Izz 4

64dII yyxx

π==

Balkenbreite und –höhe dhb == Tabelle 4.1: Parameter der Balkenelemente des FE-Modells

Bei schneller Rotation des Balkens wirkt die Kreiselwirkung seiner Auslenkung entgegen (sog. gyroskopische Dämpfung). Dazu ist weiterhin die Angabe der Kreisfrequenz nötig. Optional können die Balkenelemente mit einer zusätzlichen Masse versehen werden. Die versteifende Wirkung des Rotorkörpers (Blechpaket mit Käfig) wird durch Kopplung aller x- und y-Freiheitsgrade im relevanten Bereich modelliert. Die Ergebnisse der Modalanalyse für die hier verwendete Motorwelle mit als elastisch modellierten Spindellagern ohne eine versteifende Wirkung des Rotors sind in Tabelle 4.2 dargestellt. Neben den Frequenzen sind die Eigenvektoren zur Verbildlichung der Auslenkung dargestellt.

35

Frequenz / Hz (Eigenfrequenz)

Schwingungsform (Eigenvektor)

690

2140

2760

5390

Tabelle 4.2: Die ersten vier Biegeschwingungsformen der hier verwendeten Motorwelle

(Lagersteifigkeit 120 N/µm, keine versteifende Wirkung des Rotors) Bild 4.5 verdeutlicht den Einfluss elastischer Lager sowie der versteifenden Wirkung des Rotorkörpers. Die Einflüsse sind klar erkennbar:

• Ein steifer Rotor verschiebt die erste Eigenfrequenz deutlich nach oben, während der Einfluss der Lagersteifigkeit insbesondere bei elastischem Rotor eher gering ist.

• Je elastischer das gesamte System ist, desto näher liegen die Eigenfrequenzen beieinander.

Soll der Antrieb unterkritisch betrieben werden, dann muss die maximale Betriebsdrehzahl deutlich unterhalb der ersten Biegeeigenfrequenz liegen. Der Abstand ist möglichst groß zu wählen, da die Schwingungsamplitude bei gleicher Anregung mit Annäherung an die Resonanzfrequenz deutlich zunimmt. [27] Ist ein unterkritischer Betrieb nicht möglich, muss beim Hochlauf durch die Resonanzstelle gefahren werden. Der Antrieb ist dann je nach Ordnungszahl der Eigenfrequenz in der entsprechenden Anzahl der Ebenen so zu wuchten,

36

dass eine maximal zulässige Schwingungsamplitude eingehalten wird (siehe Kapitel 6, Konstruktion). Die in dieser Arbeit ausgeführten Maschinen werden unterhalb der ersten Biegeeigenfrequenz betrieben.

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 2 3

Ordnungszahl der Biegeeigenfrequenz (Mode)

Fre

qu

en

z /

Hz

Lager elastisch modelliert, Rotor wirkt nicht versteifend

Lagerstelle fest eingespannt, Rotor wirkt nicht versteifend

Lager elastisch modelliert, Rotor wirkt versteifend

Lagerstelle fest eingespannt, Rotor wirkt versteifend

Bild 4.5: Abhängigkeit der Biegeeigenfrequenzen von der Lagersteife sowie der

versteifenden Wirkung des Rotorkörpers

37

5. Thermisches Modell Die hohe Leistungsdichte schnelldrehender Antriebe bedingt auch bei guten Wirkungsgraden eine hohe Verlustdichte. Wie in Kapitel 2 „Vorbetrachtungen“ erläutert, ändert sich außerdem die Verteilung der Verluste grundlegend. So fallen an Rotor- und Statoroberfläche erhöhte Eisenzusatzverluste sowie im Luftspalt erhebliche Luftreibungsverluste an. Überschlagsrechnungen [22] zeigen, dass aus den genannten Gründen das Abführen der Verluste nur über den Stator zu sehr hohen Rotortemperaturen führt. Dies ist weniger in Bezug auf den robusten Käfigläufer als vielmehr für die verwendeten Spindellager kritisch. Deshalb wird für die in dieser Arbeit betrachteten Maschinen analog zu [13] eine Durchzugsbelüftung verwendet. Aus Gründen der Robustheit der Konstruktion wurde anstelle der üblicheren radialen Luft Ein- und Auslässe eine rein axiale Durchströmung gewählt. Bild 5.1 zeigt einen schematisierten Schnitt durch die Maschine mit den wichtigsten Kühlmittel- und Wärmeströmen. Ziel des thermischen Modells ist die Quantifizierung dieser Wärmeflüsse und die Dimensionierung eines Lüfters, so dass die zulässigen Temperaturen innerhalb der Maschine eingehalten werden.

Kühlluftstrom erzwungene Konvektion natürliche Konvektion Wärmeleitung Bild 5.1: Übersicht über die modellierten Wärmeübergangsvorgänge in der Maschine. Die

Pfeile geben Richtung und Art des Wärmeüberganges an. Der Kühlluftstrom wird durch den Luftspalt und axiale Kühlkanäle im Statorblechpaket geführt.

5.1. Berechnung der Temperaturverteilung

Nachdem die Maschinenverluste lokalisiert und berechnet sind (siehe Abschnitt Verlustmodell), können nach den Gesetzen der Wärmübertragung die Temperaturen berechnet werden. Die Grundlagen der Wärmeübertragung sind in der Literatur ausführlich behandelt [60] und sollen hier nur kurz umrissen werden. Für die in dieser Arbeit behandelten Maschinen sind nur die Mechanismen der Wärmeleitung und der Konvektion von Bedeutung. Wärmestrahlung spielt eine untergeordnete Rolle. Für den Fall der Wärmeleitung gilt das Fouriersche Gesetz: „Die Wärmestromdichte φ, die in einer bestimmten Richtung übertragene Wärme Q pro Zeit- und Flächeneinheit, ist proportional zum Temperaturgradienten in dieser Richtung.“ [60] Das negative Vorzeichen gibt an, dass Wärme immer vom Ort höherer Temperatur zum Ort niedriger Temperatur übertragen wird.

38

φ θλ grad⋅−=

λ … Wärmeleitzahl, θ … Temperatur

Wärmeleitung tritt auf, wenn die Wärme von einem festen Medium auf ein anderes übertragen wird, z.B. von der Wicklung über die Isolation auf die Zähne und das Joch. Für den Wärmeübergang an Oberflächen auf ein strömendes Gas ist der Vorgang der Konvektion bestimmend. Es gilt das Newtonsche Abkühlungsgesetz, wonach der Wärmeübergang durch einen Beiwert (Wärmeübergangszahl) sowie das Gefälle von Oberflächentemperatur θO zu Umgebungstemperatur θ∞ bestimmt wird.

( )∞−⋅= θθαϕ O

Da mit diesem Mechanismus alle erdenklichen Fälle von frei aufsteigender Luft bis zum Wärmeübergang zu einem an der Oberfläche stark verwirbeltem Gas erfasst werden, wird klar, dass die Schwierigkeiten in der Berechnung der Wärmeübergangszahl α verborgen liegen, während die Wärmeleitzahl λ eine Tabellen [28] zu entnehmende Stoffkonstante ist. Die Berechnung der Temperaturverteilung erfolgt im Fall der Wärmeleitung direkt mit Hilfe der aus dem Energieerhaltungssatz gewonnenen Wärmegleichung: „Die zu einem bestimmten Zeitpunkt in ein Volumen einströmende Energie und die in dem Volumen erzeugte Energie vergrößern die im Volumen gespeicherte Energie, während die ausströmende Energie die gespeicherte Energie reduziert.“ [60]

dt

dcq

dz

d

ydy

d

ydx

d

x

θρ

θλ

θλ

θλ =+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

& (5.1)

λ … Wärmeleitwert, θ … Temperatur, q& … spez. Wärmeleistung, ρ … Dichte, c … spez.

Wärmekapazität Bei der Betrachtung des statischen Falles wird die rechte Seite von Gleichung 5.1 zu Null. Ist weiterhin die innerhalb eines Volumenelementes erzeugte spez. Wärmeleistung q& gleich Null

und die Wärmeleitfähigkeit innerhalb dieses Volumenelementes konstant und isotrop, erhält man die einfache Potenzialgleichung. In Analogie zum elektrischen Feld gelangt man so zum Modellierungsansatz des thermischen Netzwerkes. Der Ansatz ist für den nichtstationären Fall erweiterbar (Analogie Wärmekapazität – Kondensator), gilt aber nur für den Fall, dass innerhalb des Elementes keine Wärme erzeugt wird. Ungünstigerweise ist diese Bedingung nur für einige wenige Teile des Elektromotors, wie z.B. das Gehäuse, gültig. Teile wie Wicklung und Blechpaket erzeugen Wärme (durch Kupfer- bzw. Eisenverluste) und leiten Wärme. Für die genannten Fälle müsste die Wärmegleichung dann entweder analytisch gelöst werden, was nur für einige einfache Geometrien mit vertretbarem Aufwand gelingt, oder mit Hilfe der Methode der finiten Elemente. Letztgenanntes erlaubt, ähnlich wie beim mechanischen Modell, eine Verarbeitung der Geometrie ohne größere Vereinfachungen, impliziert aber auch Schwierigkeiten. Zum einen muss ein relativ aufwändiges 3D-Modell der kompletten Maschine erstellt werden. Dabei müssen auch konstruktiv eher nebensächliche, thermisch aber bedeutende Details, wie kleine Spalte zwischen gefügten Teilen oder die Wicklungsisolation adäquat erfasst werden. Weiterhin besteht die Schwierigkeit, den komplizierten Vorgang der Konvektion im Luftspalt abzubilden. Deshalb wird hier ein dritter Weg gegangen: Die Geometrie wird im Sinne eines thermischen Netzwerkmodells grob diskretisiert. Für die einzelnen Elemente wird dann die Wärmegleichung analytisch gelöst. Aus der analytischen Lösung werden dann die mittleren Temperaturen der Elemente ermittelt. Schließlich wird ein einfaches Netzwerk für jedes Element gebildet, das die mittlere Temperatur abbildet. Die maximalen Temperaturen („hot spots“) sind aus der analytischen Lösung ebenfalls bekannt und können ggf. über Faktoren aus den mittleren Temperaturen ermittelt werden. Indem auch die Konvektionsvorgänge als

39

Netzwerkelemente modelliert werden, erhält man als Resultat ein Netzwerkmodell für die gesamte Maschine, das mit den üblichen numerischen Methoden (modifizierte Knotenspannungsanalyse [61]) gelöst werden kann. Das Verfahren wird in der Literatur behandelt [62] und von Saari [22, 13] auch für eine Asynchronmaschine angewendet. Allerdings variieren die in der Literatur zu findenden Beschreibungen und in [22, 13] sind einige Formeln fehlerhaft wiedergegeben. Deshalb wird hier der Berechnungsgang für zwei typische Elemente in abgekürzter Form dargestellt. Aus diesen lassen sich alle Elemente des thermischen Ersatzschalbildes ableiten. Zunächst lässt sich ohne größeren Aufwand der eindimensionale, statische Fall formulieren: Ein elektrischer Strom I erzeuge in einem stabförmigen Volumen V, dessen Mantelfläche thermisch isoliert ist, aufgrund seines elektrischen Widerstands R eine spezifische Wärmeleistung q& . (vgl. Bild 5.2a):

V

RI

V

Qq

2

==&

&

Bedingt durch unterschiedliche Temperaturen an den Stirnflächen ist es gemäß dem Fourierschen Gesetz einer Wärmeströmung ausgesetzt. Damit vereinfacht sich die allg. Wärmegleichung (Formel 5.1) zu:

02

2

=+λ

θ q

dx

d &

Durch Integration und Einsetzen der Randbedingungen erhält man mit ALqPQ V ⋅⋅== && den

Temperaturverlauf θ(x) und die mittlere Temperatur θm innerhalb des betrachteten Volumens:

112

2

22

2)( θ

θθλ

θ +−

+

−−= x

LL

x

L

xLqx

&

2122622121

2 θθλ

θθλ

θ+

+=+

+=A

LPLq Vm

&

(5.2)

Die mittlere Temperatur stellt sich ein bei Verwendung eines T-förmigen Ersatzschaltbildes: Zur Parametrisierung des Ersatzschaltbildes werden geeignete Bedingungen formuliert:

1. Findet keine Wärmeerzeugung statt, verhält sich das Element wie ein einfacher

thermischer Widerstand ALRx ⋅= λ . Die mittlere Temperatur beträgt θm=(θ1+ θ2)/2.

Ändert sich der Querschnitt A in Wärmeflussrichtung (wie z.B. bei radial durchströmten Zylindern), dann tritt die mittlere Temperatur natürlich nicht mehr genau in der Mitte auf.

2. Bei gleichen Endtemperaturen (z.B. θ1= θ2=0) stellt sich eine mittlere Temperatur θm nach Gleichung 5.2 ein.

40

Q

Qθ1

θ2

θm

LA

λ

a) b) R /2x R /2x

-R /6x

Q

θm

θ1 θ2 Bild 5.2: Thermisches Ersatzschaltbild (b) eines eindimensional durchströmten Stabes mit

Wärmeerzeugung (a) Die analytische Lösung der partiellen Differentialgleichung (Formel 5.1) für den mehrdimensionalen Fall bereitet einige Mühe und die Lösung lässt sich nicht so einfach als Ersatzschaltbild formulieren. In [63] wird durch Vergleich mit der exakten Lösung gezeigt, dass unter Annahme unabhängiger Wärmeflüsse in x- und y-Richtung sowie gleicher mittlerer Temperatur der mehrdimensionale Fall mit ausreichender Genauigkeit für praktische Anwendungen aus den Lösungen des eindimensionalen Problems konstruiert werden kann, indem den einzelnen Koordinaten direkt die passenden eindimensionalen Ersatzschaltbilder zugeordnet werden. Dieser vereinfachte Lösungsansatz kann sowohl für das Blechpaket (unter Berücksichtigung unterschiedlicher Wärmeleitwerte in radialer und axialer Richtung) sowie für massive Teile wie Welle und Gehäuse Verwendung finden. Bei der Modellierung der Wicklung muss neben der hohen axialen Wärmeleitfähigkeit des Kupfers die radiale Wärmeabführung durch die Isolation ins Blechpaket berücksichtigt werden. Im Allgemeinen variiert die Blechtemperatur in axialer Richtung. Exakt lässt sich das Problem nur dreidimensional unter Verwendung numerischer Methoden berechnen. In der Literatur [64] wird für die Modellierung im thermischen Netzwerk jedoch ein anderer Ansatz vorgeschlagen. Die radiale Wärmeabführung wird als zweidimensionale Wärmeleitung betrachtet. Dazu können nach o.g. Verfahren die eindimensionalen Wärmeströme in den Koordinaten der Blechebene (x, y) überlagert werden.

yx

yxE RR

RRR

+

⋅=

Der resultierende Wärmeleitwiderstand wird bei der eindimensionalen Berechnung der axialen Temperaturverteilung der Wicklung berücksichtigt. Die Differentialgleichung für den eindimensionalen Fall unter Berücksichtigung radialer Ableitung lautet:

0)(

2

2

=+−

−λλ

θθθ q

AR

x

dx

d

E

a &

Dabei ist θa die Temperatur des die Wicklung umgebenden Blechpaketes. Für die weiteren Betrachtungen wird diese Temperatur konstant gleich dem Mittelwert gesetzt, da im Ersatzschaltbild nur die Mittelwerte der Elementtemperaturen vorkommen. Es können jedoch auch Temperaturverläufe angesetzt werden, welche die Lösung weiter verkomplizieren. [65] Zusätzlich sind durch das Kühlverfahren bedingte unterschiedliche Endtemperaturen θ0, θL sowie natürlich die interne Wärmeerzeugung durch die Kupferverluste PV zu berücksichtigen. Die Lösung dieser Differentialgleichung ergibt den Temperaturverlauf θ(x) mit der dazugehörigen mittleren Temperatur θm.

( ) ( ) ( ) ( )( )

−−−+

−+=L

xGR

GR

GR

L

xGRx ww

ww

wwFeFeLwwFeFe sinh

sinh

coshcosh)( 0

0

θθθθθθθθ

41

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )FeL

wwww

wwFe

wwww

wwFem

GRGR

GR

GRGR

GRθθθθθθ −⋅

⋅

−+−⋅

⋅

−+=

sinh

1cosh

sinh

1cosh0

In dem Term θFe sind die intern erzeugte Wärme PV sowie die mittlere Temperatur des die Wicklung umgebenden Eisens θZahn/Joch zusammengefasst.

JochZahnwVFe RP /1 θθ +⋅=

Exakt die oben ermittelte Temperatur stellt sich bei Verwendung folgender Ersatzschaltung ein:

a)

Qθm

θ1 θ2

θFe

Rw2

Rw3

Rw1

Rw2

yx

yxw RR

RRR

+=1

1

1

w

w RG =

CuCu

w A

LR

⋅=

λ

⋅⋅=

22tanh2

ww

w

ww

GR

G

RR

( ) 12sinh

1w

www

ww R

GRG

RR −⋅=

b)

Bild 5.3: Thermisches Ersatzschaltbild (a) und formelle Berechnung der Netzwerkelemente (b) des in den Nuten liegenden Teils der Wicklung

Die Wärmeleitwerte für die einzelnen Elemente können der Literatur [13, 66] bzw. Materialdatenblättern [67, 52] entnommen werden und sind für die verwendeten Materialien im Anhang A zusammengefasst. Während die Wärmeübergänge innerhalb des Stators und Rotors durch Wärmeleitung bestimmt werden, ist für den Wärmeübergang durch den Luftspalt und von der Maschine an die Umgebung die Konvektion entscheidend. Für die Modellierung des Wärmeübergangs durch Konvektion werden Wärmeübergangszahlen genutzt. Mit diesen lässt sich der Vorgang dann auch im thermischen Netzwerk durch einen Wärmewiderstand nachbilden.

A

1

⋅=

αkonvR

α … Wärmeübergangszahl, A … Oberfläche Zur Charakterisierung des Konvektionsvorganges dienen die dimensionslosen Kennzahlen der Ähnlichkeitstheorie. [60, 68] Mit ihrer Hilfe lassen sich an einem Modell ermittelte Parameter auf ein geometrisch ähnliches Problem übertragen. Damit ist es möglich, in der Literatur dokumentierte Erkenntnisse spezieller Versuchsaufbauten für die praktische Anwendung zu nutzen. Momentan scheint dies auch der einzig gangbare Weg zu sein, da die analytische Lösung der Strömungsgleichungen für praktische Fälle kaum gelingt. Numerische Verfahren (CFD) finden eine zunehmend stärkere Verbreitung, aber dem Verfasser sind noch keine erfolgreichen Anwendungen auf dem Gebiet der elektrischen Maschinen bekannt.

42

Zur Charakterisierung des Wärmeübergangs an ein strömendes Medium dient die dimensionslose Nusselt-Zahl Nu4. Die Art der Strömung wiederum wird durch Reynolds-Zahlen Re und im speziellen Fall der Strömung im Luftspalt bei rotierendem Rotor durch die Taylor-Zahl Ta5 beschrieben. Die freie Konvektion wird durch die Grashof-Zahl Gr bestimmt. Das Kühlmedium wird durch die ebenfalls dimensionslose Prandtl-Zahl Pr gekennzeichnet. Sie gibt das Verhältnis von dynamischer Viskosität und Temperaturleitfähigkeit des Kühlmediums an und ist damit eine (vor allem temperaturabhängige) Stoffkonstante. Im Folgenden werden für die einzelnen Konstruktionselemente die der Literatur entnommenen Formeln genannt.

Luftspalt Für den Wärmeübergang zum strömenden Gas im Luftspalt gilt

δλ

α ⋅= Nu

Nu … Nusselt-Zahl, λ … Wärmeleitwert Luft, δ … Luftspaltweite Für Aufbauten zweier durchströmter Zylinder mit rotierendem Innenzylinder und ggf. vorhandener Nutung liegen experimentell ermittelte Werte vor. [22, 69, 70] Es ist zu beachten, dass in den in der Literatur durchgeführten Experimenten der Wärmeübergang durch den Luftspalt vom Rotor auf den Stator untersucht wurde. In diesem Fall sind „zwei Widerstände in Reihe geschaltet“ und für die Nusselt-Zahl gilt demzufolge:

λδα ⋅

=2

Nu

Die Nusselt-Zahl wird in [69] in Abhängigkeit von der modifizierten Taylor-Zahl angegeben:

)1000000010000(409.0

)100001700(128.0

)1700(2

241.0

367.0

<<⋅=

<<⋅=

<=

mm

mm

m

TaTaNu

TaTaNu

TaNu

mit der modifizierten Taylorzahl Tam:

g

mm F

rTa

12

32

⋅⋅⋅

=ν

δω (Tkrit=1700) [69]

ω … Winkelgeschwindigkeit, rm … mittlere Luftspaltradius, δ … Luftspaltweite, ν … dynamische Viskosität der Luft, Fg …geometrischer Faktor, der das Verhältnis von Luftspalt zum Zylinderradius charakterisiert, prakt. ungefähr 1 Der Faktor Fg ist eine Funktion des Verhältnisses Luftspaltweite zu Luftspaltradius. Da dieses Verhältnis bei elektrischen Maschinen stets sehr klein ist, gilt mit guter Näherung Fg = 1. Bemerkenswert ist, dass die Strömungsgeschwindigkeit des Kühlmediums nicht in den Formeln für den Wärmeübergang berücksichtigt ist. Dieser Umstand ist näher in [13] 4 Eine Kennzahl aus der Ähnlichkeitstheorie, die die Verbesserung des Wärmeüberganges an ein strömendes Medium im Verhältnis zur reinen Wärmeleitung charakterisiert. 5 Die Taylorzahl dient der Charakterisierung der Strömung in zylinderförmigen Spalten. Ab einer Taylorzahl Ta > 41.3 bilden sich sog. Taylorwirbel aus. Dieser Vorgang ist z.B. in [13] erläutert. Die modifizierte Taylorzahl ist das Quadrat der Taylorzahl, deshalb gilt Tam,krit = 1700.

43

erläutert. Der Einfluss des strömenden Kühlmediums wird aber im thermischen Netzwerk berücksichtigt.

Welle – radial Nach [22] kann die radiale Wärmeabführung von der Welle folgendermaßen berechnet werden. Da der äußere Teil der Welle keiner definierten Strömung ausgesetzt ist, kann man von freier Konvektion ausgehen, die durch die Grashof-Zahl charakterisiert ist.

( )2

3

νθθβ wO dg

Gr⋅−⋅⋅

= ∞

β … Wärmeausdehnungskoeffizient, g … Erdbeschleunigung, ν … dynamische Viskosität, θO … Oberflächentemperatur, θ∞ … Umgebungstemperatur Die Rotation wird mit der Reynolds-Zahl berücksichtigt:

νω 2

Re wd⋅=

ω … Winkelgeschwindigkeit, dw … Wellendurchmesser, ν … dynamische Viskosität

( )[ ] 315.02 GrRe5.0Pr18.0Nu +⋅⋅⋅=⋅

=λ

α wd

[66] gibt für den „frei rotierenden“ Zylinder (nur für „zweiatomige Gase“) an:

νω

2Re

2w

u

d⋅=

νwa

v

dv ⋅=Re

Bei axialer Geschwindigkeit va=0:

8,025,0 Re024,0Gr46,0Nu uwd

⋅+⋅=⋅

=λ

α für Re < 1000000

Bei vorhandener axialer Geschwindigkeit va:

8,0Re024,0

2

75,01Nu ua

DvD

⋅⋅

⋅⋅+=

⋅=

ωλα

für 10000 < Rex < 1000000

Wellenende, Rotorenden – axial Zur Modellierung des Wärmetransfers von Rotor- und Wellenenden kann die Analogie zu frei rotierenden Scheiben genutzt werden, zu denen Untersuchungen vorliegen.

πλα

2RePr Ma CR

Nu ⋅⋅=⋅

=

mit

5.0Re

87.3

r

MC = (Rer < 300000)

44

2.0Re

146.0

r

MC = (Rer > 300000)

Bei der Reynoldszahl Re=300000 gibt es eine Diskontinuität in der mathematischen Darstellung, da sich die Nusselt-Zahl relativ abrupt ändert beim Übergang in den turbulenten Bereich. [71]

Bild 5.4: Nusselt-Zahl bei rotierenden Scheiben, vgl. [71]

νω 2

ReR

r

⋅=

Der Kurzschlussring befindet sich in definierter Entfernung vom Lagerschild. Abhängig vom Verhältnis Wandabstand zu Radius („s“) der Scheibe variiert die Nusselt-Zahl von 40% (s=0.01) bis 100% (s>0.2) bezogen auf den oben angegebenen Wert. Ähnliche Werte erhält man auch unter Benutzung folgender Beziehung [66]:

νπ 2

ReDn

u

⋅⋅=

8,0

1,0

ReD

s0135,0 u

DNu ⋅

⋅=⋅

=λ

α s … Abstand zum Gehäuse, für Reu > 20000

Wickelköpfe Die Innenseite des Ständerwickelkopfes und die Außenseite des Rotor-Endringes können analog zum Luftspalt modelliert werden. Lt. [22] können durch die raue Oberfläche die Werte um 40% – 70% vergrößert werden. Für die Außenseite des Ständerwickelkopfes wird das Modell der Rohrströmung für den speziellen Fall des Ringspaltes herangezogen. [66] Für die Rohrströmung6 gilt i. A.

νha dv ⋅

=Re

va … Strömungsgeschw., ν … dynamische Viskosität, dh … hydraulischer Durchmesser Der Umschlag zur turbulenten Strömung erfolgt bei Re>2300.

6 Strömung einer newtonschen Flüssigkeit (konstante Viskosität) in einem Rohr konstanten Querschnitts. Die Art der Strömung wird durch die Reynoldszahl gekennzeichnet. Der Druckverluste wird durch den Rohrreibungsbei-wert charakterisiert. Ausführliche Erläuterungen finden sich z.B. in [66].

45

Der hydraulische Durchmesser ist definiert als das Verhältnis aus viefachem, durchströmtem Querschnitt A zum benetzten Umfang U.

U

Adh

4=

Beim Ringspalt gilt für den hydraulischen Durchmesser dh=2δ.

43,03,0 PrRe15,0 ⋅⋅= vNu für Re<1000

43,0Pr⋅= mNu Re m 2000 5 2500 6,5 4000 13 6000 20

für 2000 < Re < 8000

43,8,0 PrRe02,0 0⋅= vNu für 8000 < Re

Zur Berechnung der durch Konvektion bestimmten Wärmewiderstände muss also die Strö-mung an den jeweiligen Oberflächen bekannt sein. Da die zulässige Erwärmung andererseits die Lüfterdimensionierung und damit die erreichbaren Strömungsgeschwindigkeiten bestimmt, wird klar, dass die Auslegung der Lüftung ein iterativer Prozess ist. Die Problematik wird zusätzlich dadurch verschärft, dass die Luftreibungsverluste neben der Oberflächengeschwindigkeit des Rotors auch von der axialen Luftgeschwindigkeit bestimmt werden. Die Berechnung der axialen Strömungsgeschwindigkeiten und daher die Auslegung der Lüftung ist somit ein integraler Bestandteil der Erwärmungsberechnung und wird im nächsten Abschnitt erläutert.

5.2. Auslegung der Lüftung

Der erforderliche Volumenstrom ergibt sich aus der pro Zeiteinheit vom Kühlmedium aufnehmbaren Verlustwärme Q.

θρ ∆⋅⋅⋅== cVPQ V&& ( 5.3)

V& … Volumenstrom [m3/s], ρ … Dichte des Kühlmediums, c … spez. Wärmekapazität des Kühlmediums, ∆θ … zulässige Erwärmung des Kühlmediums Die zur Erzeugung des Volumenstromes notwendige elektrische Ventilatorleistung erhält man mit

ηpV

Pvent

⋅=

&

η … Wirkungsgrad des Ventilators, p … Druckbedarf Der Druckbedarf ergibt sich aus der Summe aller Druckabfälle innerhalb der durchströmten Maschine sowie aller Zu- und Ableitungen. Die Druckabfälle entstehen aus Rohrreibungsverlusten im geraden Teil, Verlusten in Umlenkungen, Querschnittsänderungen und an Ein- und Austritten. Zur Berechnung der Druckabfälle bietet sich in Analogie zum magnetischen Kreis die Behandlung als hydraulischer Kreis an. Anstelle von magnetischen Feldlinien und Flussröhren spricht man von Stromfäden und ordnet den einzelnen, durchströmten Elementen der Maschine Stromröhren mit orthogonal zur Strömungsrichtung konstanten Mittelwerten zu.

46

[31] Jede Strömungsröhre wird durch einen Strömungswiderstand charakterisiert. Der Lüfter ist die Quelle im hydraulischen Kreis. Er wird i. A. durch eine Kennlinie im Druck-Volumenstrom-Diagramm charakterisiert. Ggf. muss noch eine Eigenförderung der Maschine beachtet werden, d.h., die Maschine erzeugt selbst einen gewissen Druckabfall und Volumenstrom. Solche Pumpeneffekte treten z.B. an den Stirnflächen rotierender Zylinder auf [22], spielen bei den hier betrachteten Maschinen jedoch keine praktische Rolle. Bedingt durch die strömungstechnisch meist ungünstige konstruktive Gestaltung einer elektrischen Maschine können die Strömungsvorgänge in allen Abschnitten innerhalb der Maschine als turbulente Rohrströmungen betrachtet werden. [31] Für den Druckabfall innerhalb eines Abschnitts gilt dann ein annähernd quadratischer Zusammenhang zwischen Druckabfall und Volumenstrom bzw. mittlerer Strömungsgeschwindigkeit [66]:

2

2

22

22 mvA

VVRp ⋅⋅=⋅⋅=⋅=∆

ρξ

ρξ

&&

ξ … Drosselbeiwert, R … Strömungswiderstand, ρ … Dichte des strömenden Mediums,

V& … Volumenstrom, A … durchströmter Querschnitt, vm … mittlere Strömungsgeschwindigkeit Der Drosselbeiwert ist eine Funktion der Abmessungen und deshalb nicht universell verwend-bar. Deshalb wird der – ebenfalls dimensionslose – Reibungs- oder Widerstandsbeiwert λ ein-geführt:

hdl

ξλ =

l… char. Länge des durchströmten Abschnitts, dh … hydraulischer Durchmesser Man erhält eine Größe, die – je nach Anordnung – nur durch charakteristische Eigenschaften der Geometrie (z.B. Wandrauigkeit bei Rohren) oder durch die Reynoldszahlen charakterisierte Art der Strömung beschrieben wird. Für die turbulente Rohrströmung (Re > 2300) erhält man den Rohrreibungsbeiwert durch iterative Lösung der Colebrook-White-Beziehung [84]

+

⋅⋅−=

71.3Re

51.2lg01.2

1 hdK

λλ

K … absolute Rauigkeit des Rohres, Re … Reynoldszahl, λ …Widerstandsbeiwert, dh … hydraulischer Durchmesser [m] In der praktischen Anwendung hat sich das Ablesen der entsprechenden Werte aus dem Colebrook-Diagramm (teilw. auch „Moody-Diagramm“) durchgesetzt, für die computerbasierte Auswertung lässt sich die Colebrook-White-Gleichung leicht numerisch lösen. Für die durchzugsbelüftete elektrische Maschine ist der Druckabfall im Luftspalt bedeutsam. Dort überlagern sich zwei Effekte: Durch den Druck des Lüfters tritt die Luft mit einer bestimmten axialen Geschwindigkeit in den Luftspalt ein. Da der Rotor sich mit hoher Geschwindigkeit dreht, erfährt die Luft eine Beschleunigung in radialer Richtung. Das Strömungsverhalten ist sehr komplex, es kommt unter bestimmten Voraussetzungen zum Auftreten von sog. Taylor-Wirbeln. Alle Details werden in der Literatur ausführlich diskutiert. [13, 72]

47

In den 1960er Jahren hat Yamada [72, 70] Untersuchungen mit verschiedenen Zylindern durchgeführt, deren Ergebnisse hier verwendet werden. Für den Widerstandsbeiwert gilt damit Folgendes:

38.022

24.0

Re2

Re

8

71Re26.0

⋅

+⋅⋅= − ωλ

Die Strömungsvorgänge in axialer und radialer Richtung werden jeweils durch die axiale und rotatorische Reynoldszahl beschrieben:

νδmv

=Re ν

δωνδ

ω⋅⋅

==Ru1Re

δ … Luftspalt, R … mittlerer Spaltradius, ν … kinematische Viskosität Neben den Druckverlusten in durchströmten röhrenförmigen Querschnitten führen auch Ein- und Auslässe zu einem Druckabfall (Druckverluste bei Querschnittsänderungen). [66, 31] Nach der Berechnung der einzelnen Strömungswiderstände wird das hydraulische Netzwerk erstellt. Bild 5.5 zeigt das Netzwerk für die hier eingesetzten durchzugsbelüfteten Maschinen. Man erhält folgendes nichtlineares Gleichungssystem:

( ) ( )( ) ( ) EAKKKKL

EAKKL

RVVRVVVp

RVVRVVVp

⋅++⋅=+

⋅++⋅=+22

22

δδ

δδδδ

&&&&&

&&&&&

δV& … Kühlluftstrom durch den Luftspalt, KV& … Kühlluftstrom durch die axialen Kühlkanäle

des Stators, pL … Lüfterdruck, R … Strömungswiderstände (Indizes siehe Bild 5.5)

Die Lüfterkennlinie ( )VpL& liegt auf Basis der Herstellerinformation in tabellarischer Form

vor. Weiterhin sind sowohl der Strömungswiderstand des Luftspaltes als auch der Strömungswiderstand der Kühlkanäle von der Strömungsgeschwindigkeit abhängig, die sich jedoch erst aus den berechneten Volumenströmen ergibt.

( )( )KK VfR

VfR

=

= δδ

Das Gleichungssystem wird auf numerischem Weg [73] gelöst.

RE

RA

RK Rδ

V

p (V)L

RE … Strömungswiderstand Einlass RA … Strömungswiderstand Auslass RK … Strömungswiderstand der axialen

Statorkühlkanäle Rδ … Strömungswiderstand des Luftspalts

Bild 5.5: Hydraulisches Ersatzschaltbild für eine durchzugsbelüftete Maschine mit zu-sätzlichen axialen Statorkühlkanälen

48

Als Ergebnis erhält man einerseits Auskunft über den Arbeitspunkt des Lüfters und andererseits die Strömungsgeschwindigkeiten in den einzelnen Abschnitten der Maschine. Mit diesen lassen sich nun auf Basis der Reynolds-Zahlen die Strömungen charakterisieren und im Ergebnis die Nusselt-Zahlen berechnen. Da damit alle Wärmeübergangszahlen bekannt sind, kann die Temperaturverteilung in der Maschine berechnet werden. Bild 5.6 zeigt die Ergebnisse der Auswertung der Strömungsverhältnisse (s. Bild 5.1) nach o.g. Rechenvorschriften. Die rote Linie ist die Arbeitskennlinie des Lüfters, grün das Volumenstrom-Druck-Verhältniss im Luftspalt und blau in den Kühlkanälen. Da im praktischen Aufbau zwei strömungstechnisch äquivalente Maschinen parallel an einem Lüfter betrieben werden, muss der Lüfter bei gleichem Druck den doppelten Volumenstrom einer Maschine liefern (vgl. eingetragener Arbeitspunkt). Gleichung 5.3 sagt aus, dass sich die Luft beim Durchströmen der Maschine durch Aufnahme der Verluste erwärmt. Diesem Umstand muss bei der Modellierung Rechnung getragen werden. In [74] wird ein einfaches Verfahren erläutert, welches sich auch problemlos in die Netzwerkanalyse integrieren lässt. Die Erwärmung des Kühlmediums wird mit Hilfe stromgesteuerter Spannungsquellen H (siehe Anhang B – Thermisches Modell) im Netzwerk berücksichtigt. Der Zweigstrom wird über den Umweg einer Spannungsquelle mit der Spannung 0 in der Knotenspannungsanalyse als Freiheitsgrad eingeführt. [61] Eine Vorwärmung des Kühlmediums durch den Verdichter kann mit einer Konstantspannungsquelle berücksichtigt werden. Bild 5.7 zeigt in einer grafischen Übersicht den Ablauf der Berechnungen zur Ermittlung der mittleren Temperaturen aller Maschinenelemente.

Bild 5.6: Kennlinie des Lüfters (rot) und die Belastungskennlinie einer Maschine. (Die

Berechnung erfolgte für zwei strömungstechnisch äquivalente parallel am Lüfter betriebene Maschinen.)

49

Einlesen Lüftercharakteristik

Startwerte für Volumenströme wählen

Berechnung der Widerstandsbeiwerte

Nichtlineare Auswertung der hydr. Ersatzschaltung

Berechnung des Lüfterarbeitspunktes

Berechnung der Strömungskennzahlen (Reynoldszahlen)

Berechnung der Nusselt-Zahlen und der Wärmeübergangszahlen

Einlesen der übrigen Maschinenverluste

Knotenspannungsanalyse des thermischen Ersatzschaltbildes

Berechnung der Luftreibungsverluste

Temperaturen Berechnung der Wärmeströme

Iter

iere

n

Ggf

.ite

rier

en

Bild 5.7: Ablaufdiagramm der thermischen Berechnungen

50

6. Maschinenentwurf Um die in den Kapiteln 3 bis 5 beschriebenen Methoden praktisch zu überprüfen, wurden zwei Maschinen berechnet, konstruiert und gebaut. Da die Verfahren zur Berechnung des elektromagnetischen Verhaltens und der Verluste im Hinblick auf die verwendete Blechsorte verfeinert wurden, sind für beide Maschinen unterschiedliche Blechsorten zum Einsatz gekommen: Eine Kobalt-Eisen-Legierung, die sich durch hohe Sättigungsinduktion bei gleichzeitig moderaten Verlusten auszeichnet und eine verlustarme Dynamoblechsorte mit relativ hohem Siliziumgehalt (Blech mit kleiner Verlustziffer). Im Folgenden wird zunächst der Entwurfsgang unter Hervorhebung einiger Besonderheiten dargestellt. Nach dem Gegenüberstellen beider Blechsorten werden die Ergebnisse der Variantenberechnung gezeigt und abschließend die Konstruktion der Maschinen erläutert.

6.1. Entwurfsgang und Software

Der Entwurfsgang folgt dem klassischen Muster (siehe z.B. [31, 37]): 1. Festlegung der Geometrie 2. Berechnung der Rotoreigenfrequenzen und der statischen Festigkeit 3. Berechnung der Magnetisierungskennlinie und Festlegung des Arbeitspunktes 4. Berechnung des Betriebsverhaltens 5. Berechnung aller Verluste 6. Auslegung der Kühlung 7. Berechnung der Temperaturverteilung Es wurde im Hinblick auf die im Sinne einer Optimierung vorgesehene Variantenberechnung versucht, die Anzahl der zu Beginn der Berechnung festzulegenden „freien“ Startparameter möglichst klein zu halten. Dies trifft insbesondere auf die Gestaltung der Nuten zu.

a) b) Bild 6.1: Exemplarisch ausgewählte Maßbilder einer Ständernut (a) bzw. Läufernut (b),

Quelle: Kienle+Spiess Online-Katalog, Blechschnitt SKS 328 Bild 6.1, das exemplarisch einem Katalog eines Blechschnittherstellers entnommen wurde, zeigt die Vielzahl der Maße zur Definition der Nut. Nach Ansicht des Autors ist es aus folgenden Gründen nicht sinnvoll, diese Maße einzeln als freie Startparameter festzulegen: Nach Wahl der Art der Ständerwicklung ergibt sich die Nutzahl. Entscheidend für den magnetischen Kreis ist die Zahnbreite. Bei gegebenem Bohrungsdurchmesser ist damit die Breite der Nut definiert. Die Nuthöhe erhält man weiterhin aus der angegebenen

51

Ständerstromdichte, die im Wesentlichen über die Kühlung definiert wird. Übrig bleiben Parameter, die durch technologische Faktoren bestimmt werden. Drahtdurchmesser und das Einlegeverfahren der Spulen entscheiden über die Nutschlitzbreite. Die Form des Nutgrundes bzw. die Radien am Nutkopf werden durch das verwendete Isolationsmaterial und einen angestrebten guten Füllfaktor bestimmt. Lediglich die Nutschlitzhöhe kann noch frei festgelegt werden. Sie beeinflusst die Nutstreuung und damit das Betriebsverhalten der Maschine. Für die Läufernut gelten ähnliche Zusammenhänge: Nach Wahl der Ständerwicklung ist die Zahl der Läufernuten nur innerhalb gewisser Grenzen wählbar. Einerseits sollen aus dem Oberwellengehalt des Luftspaltfeldes resultierende Geräusche und Pendelmomente vermieden werden. [23, 78, 75] Andererseits legt die Verwendung von Formstäben neben der Nutform in Zusammenhang mit der minimalen Zahnbreite und der zulässigen Läuferstabstromdichte auch die mögliche Nutzahl fest. Das Druckgussverfahren erlaubt prinzipiell eine freie Formgestaltung, was bei den hier betrachteten über Wechselrichter gespeisten Maschinen z.B. im Sinne einer Optimierung der Wechselrichterzusatzverluste ausgenutzt werden kann. [38] Zu beachten ist dabei jedoch der besonders bei zweipoligen Maschinen bedeutsame Fakt, dass die Nuthöhe durch die Läuferjochhöhe und den Wellendurchmesser begrenzt wird. Tabelle 6.1 listet alle Faktoren auf, welche die Geometrie des Blechschnittes beeinflussen. Einige Faktoren können nur alternativ gewählt werden, da z.B. bei festgelegtem Bohrungs-durchmesser die Läuferjochhöhe durch den Wellendurchmesser bzw. umgekehrt festgelegt ist. Die Anzahl der Faktoren lässt sich weiter reduzieren, wenn die zulässigen Zahn- bzw. Rückeninduktionen in Abhängigkeit der Luftspaltinduktion bzw. der Materialkennlinie fest-gelegt werden. Drehzahl und Spannungsebene wirken sich theoretisch nur auf die Windungszahl aus. Natürlich müssen für die praktische Realisierung auch der Füllfaktor je nach erforderlicher Isolation und die Festigkeit der Geometrie je nach Fliehkraft-beanspruchung berücksichtigt werden.

Parameter Alternative Luftspaltleistung Ständer- und Läuferstrombelag Ständer- und Läuferstromdichte Luftspaltinduktion Bohrungsdurchmesser Bohrungslänge Luftspaltweite Ständerwicklung, Läuferwicklung (Strangzahl, Lochzahl, Polpaarzahl)

Läuferjochhöhe Wellendurchmesser Ständerjochhöhe Außendurchmesser Ständer- und Läuferzahnbreite max. Ständer- und Läuferzahninduktion Nutform und Nutstreustegbreiten Eisenstapelfaktor und Nutfüllfakor Tabelle 6.1: Parameter zur Festlegung der Blechgeometrie

Der Entwurfsgang wurde vollständig in eine Software umgesetzt. Diese erlaubt die übersichtliche Verwaltung der berechneten Varianten mit einer grafischen Benutzeroberfläche und integriert sowohl die analytischen als auch numerischen Berechnungen, die nach der Definition aller Varianten ohne weitere Interaktion automatisiert durchgeführt werden können. Nach der Festlegung der Blechgeometrie muss ausgehend von der Speisespannung und der gewünschten Luftspaltinduktion die Strangwindungszahl bestimmt werden. Dazu wird die Magnetisierungskennlinie des Blechschnittes mit einer FE-Berechnung mit Ansys [58]

52

bestimmt. Die FE-Berechnung ist zwar aufwändig, hat aber den Vorteil, dass sowohl der Einfluss der Materialkennlinie als auch die bei zweipoligen Maschinen stets auftretende Läuferjochentlastung durch die Welle leicht berücksichtigt werden können. Die Schwierigkeit besteht darin, dass die als Eingabegröße vorliegende Luftspaltinduktion prinzipiell das Ergebnis der Berechnung ist. Daher wurde folgender Ansatz gewählt: Eine analytische Magnetkreisberechnung liefert einen ersten Anhaltspunkt für den Magnetisierungsstrombelag. Für die Berechnung werden fünf äquidistante Werte innerhalb einer Spanne um den abgeschätzten Wert vorgegeben und je eine statische Magnetfeldberechnung durchgeführt. In Bild 6.2 sind das generierte Gitter, die angesetzten Randbedingungen sowie Feldlinienverlauf und Flussdichteverteilung dargestellt.

Bild 6.2: FE-Modell zur Berechnung der Magnetisierungskennlinie, Flussdichte- und

Feldliniendarstellung Nach der Auswahl der Windungszahl und der Festlegung des Arbeitspunktes erfolgt die Berechnung der Maschinenparameter (s. Kapitel 3) und des Betriebsverhaltens. Bild 6.3 zeigt die mit Hilfe einer zweidimensionalen, nichtlinearen, harmonischen FE-Rechnung bestimmten Läuferstabparameter. Der Widerstand zeigt in erster Linie eine starke Frequenzabhängigkeit. Nur bei sehr kleinen Strömen fällt die Frequenzabhängigkeit etwas

Vektorpotenzial Az=0

Winkelgeschwindigkeit der Welle ωz=ωSchlupf

Stromdichte Sz=SMagnetisierung

53

weniger stark aus, da dann, wie gut an der großen Streuinduktivität zu erkennen ist, keine Streustegsättigung eintritt und damit auch keine einseitige Stromverdrängung. Die Streuinduktivität fällt bei Ansteigen des Stabstromes durch Sättigung des Steges sofort ab. Die Frequenzabhängigkeit ist minimal.

Bild 6.3: Läuferstabwiderstand und -streuinduktivität in Abhängigkeit von Stabstromdichte und Frequenz

Alle weiterhin verwendeten Berechnungsverfahren und Methoden sind in Kapitel 3 erläutert. Die Berechnung der durch Wechselrichterspeisung verursachten zusätzlichen Verluste lehnt sich an das in [44] beschriebene Verfahren an.

6.2. Eingesetzte Materialien

Eisen-Kobalt-Legierung Zum Einsatz kam eine Legierung aus 49% Kobalt, 1,9% Vanadium und 49,1% Eisen, die von der Vacuumschmelze unter dem Produktnamen Vacoflux 50 vertrieben wird. [49, 76] Das Material zeichnet sich aus durch eine sehr hohe magnetische Sättigungspolarisation (ca. 2,3 T), moderate Ummagnetisierungsverluste und – bedingt durch den hohen Kobaltgehalt – einen hohen Preis. Das Material lag in Bandform mit einer Dicke von 0,2 mm vor. Die geringe Blechdicke sorgt einerseits für niedrige Verluste, bereitet aber in der Fertigung sowohl beim Laserschneiden als auch beim Stapeln und vor allem beim Einbringen der Läuferstäbe Probleme. Zum Erreichen der vom Hersteller angegebenen Materialkennwerte ist nach dem Schneiden der Blechschnitte eine Schlussglühung erforderlich. Zur Vermeidung von Materialoxidation hat diese in einer Wasserstoffatmosphäre bei ca. 820 °C zu erfolgen. Ein weiterer Vorteil der Schlussglühung liegt auch darin, dass alle fertigungsbedingten Gefügeveränderungen (besonders an den Schnittkanten) revidiert werden. Gemäß Herstellerangaben war das Material mit einer organischen Beschichtung mit einer Beschichtungsdicke von ca. 1 µm versehen. Nach erfolgtem Schlussglühen zeigte sich jedoch, dass keine ausreichende Isolation zwischen den Blechen gewährleistet war. Die Bleche wurden daher mit einem Sprühlack auf Silikonbasis (zur Gewährleistung hoher Temperaturbeständigkeit) nachisoliert. Praktischen Einsatz findet das Material vor allem in Luftfahrtanwendungen, wo Anforderungen an minimale Größe und Gewicht der Maschinen den Nachteil des teuren Materials überwiegen. [52, 49]

54

In den Bildern 6.4 und 6.5 sind die Magnetisierungskennlinien und Verluste gegenübergestellt. Eine komplette Übersicht der Materialeigenschaften findet sich im Anhang A. Blech mit Siliziumanteil Zum Einsatz kam weiterhin ein nicht-kornorientiertes Elektroblech der Sorte M270-35A von der Fa. C. D. Wälzholz GmbH & Co. KG mit ca. 4 % Siliziumanteil. Aus der Sortenbezeichnung gehen die spezifischen Verluste von ca. 2,7 W/kg bei einer Ummagnetisierungsfrequenz von 50 Hz und einer Induktionsamplitude von 1,5 T sowie die Materialstärke von 0,35 mm hervor. Das Blech wurde im schlussgeglühten Zustand geliefert und war beidseitig mit wasserlöslichem Backlack der Marke DuPont E 1175 beschichtet. Die Backlackbeschichtung bietet vor allem zwei Vorteile. Erstens werden Beschädigungen der Isolation an den Schnittkanten, die durch die hohen Temperaturen beim Laserschneiden zwangsläufig auftreten durch die Verflüssigung des Backlacks beim Backprozess wieder ausgeglichen. Zum anderen vereinfacht sich die Fertigung enorm, da Probleme wie das Aufblättern des Blechpaketes im Bereich der Nuten bei äußerer Verspannung durch die ganzflächige Verbindung der Bleche untereinander nicht auftreten. Um ein sicheres Verbacken zu gewährleisten, ist es wichtig, die Bleche über der gesamten Fläche mit dem im Datenblatt angegebenen Druck von 1-6 N/mm2 (wobei man sich eher am oberen Wert orientieren sollte) zu beaufschlagen. Die angegebene Verbackzeit von 90 Minuten ist nicht bedeutend, wichtig ist vielmehr eine komplette Durchwärmung des ganzen Paketes auf die angegebenen 200 °C. [77]

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

10 100 1000 10000 magnetische Feldstärke / A/m

m

agne

tisc

he P

olar

isat

ion

/ T

M270-35A

Vacoflux 50

Bild 6.4: Gegenüberstellung der Magnetisierungskennlinien bei 400Hz

55

Bild 6.5: Gegenüberstellung der Verlustkurven

6.3. Untersuchte Varianten und Berechnungsergebnisse

Mit den in Abschnitt 6.2 genannten Materialien wurden zwei Maschinen gleicher Leistung, Spannung und Drehzahl gebaut. Es erfolgte eine Optimierung hinsichtlich eines guten Wirkungsgrades, sodass die verlustärmsten Varianten für die Realisierung ausgewählt wurden. Auf Basis der in Tabelle 6.1 aufgelisteten, die Geometrie des Blechschnittes und damit das Maschinenverhalten beeinflussenden Parameter wurden Varianten definiert und berechnet. Resultierend aus den Vorbetrachtungen in Kapitel 2, aus praktischen Erwägungen und fertigungstechnischen Gründen sind folgende Parameter festgesetzt worden: Die Polpaarzahl wird auf eins festgesetzt, da höhere Polpaarzahlen die Frequenz entsprechend vervielfachen und das Eisenverlustproblem (quadratisch) verschärfen. Da beide Maschinen gekoppelt betrieben werden sollen, ist die Wellenhöhe gleichgesetzt, ebenso der Wellendurchmesser. Da ein Betrieb unterhalb der ersten kritischen Drehzahl angestrebt wurde, sind die Wellenabmessungen ohnehin auf bestimmte Mindestdurchmesser festgelegt. Bei gleicher Wellenhöhe bietet sich die Verwendung identischer Gehäuse an. Damit ist der Außendurchmesser des Ständerblechpaketes festgelegt. Der Läufer ist zur Vermeidung übermäßiger Jochsättigung und für möglichst kleine Lagerabstände für den unterkritischen Betrieb mit größtmöglichem Durchmesser auszuführen. Der Läuferaußendurchmesser wird dann durch die Fliehkraftbeanspruchung des Materials begrenzt. Ein gleicher Bohrungsradius und identischer Wicklungstyp beider Maschinen bieten zudem die Möglichkeit, identische Wickelkörper für die Spulen zu verwenden. Aus den genannten mechanischen und praktischen Erwägungen wurden beide Maschinen mit gleichem Bohrungsvolumen, gleichen Wellenabmessungen und gleichem Außendurchmesser ausgeführt.

56

Variiert wurden folgende Größen (vgl. Tabelle 6.2). Tabelle 6.3 zeigt die Parameter der je Blechsorte gerechneten 108 Varianten.

Parameter Variationsbereich Luftspaltinduktion (Strombelag) 0,4 … 0,9 T Luftspaltweite 0,5 … 1,5 mm Stabzahl / Läuferstromdichte 16 x 8mm

20 x 6mm Ständerstromdichte 4 … 8 A/mm2 Tabelle 6.2: Variierte Parameter

Reihe Luftspalt Läufer Ständer- Luftspaltinduktion

stromdichte a b c d e f V1 0,5 20 x 6mm 4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V2 0,5 20 x 6mm 6 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V3 0,5 20 x 6mm 8 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V4 0,5 16 x 8 mm 4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V5 0,5 16 x 8 mm 6 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V6 0,5 16 x 8 mm 8 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V7 1 20 x 6mm 4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V8 1 20 x 6mm 6 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V9 1 20 x 6mm 8 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V10 1 16 x 8 mm 4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V11 1 16 x 8 mm 6 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V12 1 16 x 8 mm 8 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V13 1,5 20 x 6mm 4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V14 1,5 20 x 6mm 6 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V15 1,5 20 x 6mm 8 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V16 1,5 16 x 8 mm 4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V17 1,5 16 x 8 mm 6 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V18 1,5 16 x 8 mm 8 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Tabelle 6.3: Variantendefinition Die Berechnungsergebnisse für alle Varianten sind in den Bildern 6.6 bis 6.9 gezeigt. Die Optimierung bezieht sich lediglich auf die elektromagnetischen Verluste. Dies ist damit begründet, dass die mechanischen Verluste im Wesentlichen durch vorab oder anderweitig festgelegte Parameter beeinflusst werden. So werden die Lüftungsverluste durch die Strömungsverhältnisse im Luftspalt und die Läuferoberflächengeschwindigkeit und damit den Läuferaußendurchmesser beeinflusst. Die Lagerreibung hängt zum einen natürlich mit der Lagergröße, aber auch wesentlich vom Schmierstoff, den Temperatur- und Einbaubedingungen zusammen. Die Interpretation der Berechnungsergebnisse führt zu folgenden Aussagen: • Die in Bezug auf den Wirkungsgrad optimale Maschine ist im betrachteten Wertebereich

der variierten Parameter enthalten, mit Ausnahme der Stromdichte. Eine weitere Verringerung der Stromdichte würde zu einer weiteren Reduzierung der Kupferverluste führen. Die dazu notwendige Vergrößerung der Nutfläche hat im betrachteten Wertebereich keinen nennenswerten Einfluss auf die Eisenverluste, da die Ständerjochbreite auch für zweipolige Maschinen sehr groß gewählt wurde (siehe Abschnitt 6.4)

57

Bild 6.6: Elektromagnetische Gesamtverluste der Varianten bei Verwendung der Blechsorte

M270-35A

Bild 6.7: Elektromagnetische Gesamtverluste der Varianten bei Verwendung der Blechsorte

Vacoflux 50

58

Bild 6.8: Elektromagnetische Läuferverluste der Varianten bei Verwendung der Blechsorte

M270-35A

Bild 6.9: Elektromagnetische Läuferverluste der Varianten bei Verwendung der Blechsorte

Vacoflux 50

59

• Da die Läuferverluste in erster Linie aufgrund der geringen Schlupffrequenz von den Kupferverlusten bestimmt werden, sind sie bei der maximalen Luftspaltinduktion jeweils am kleinsten.

• Die in Kapitel 6.2 gezeigten geringeren Eisenverluste des Vacoflux-Materials führen bei den jeweils günstigsten Varianten zu niedrigeren Gesamtverlusten.

• Aufgrund des großen Anteils der Eisenverluste im Ständer (s. Kapitel 2) dominieren bei hohen Luftspaltinduktionen die Eisenverluste die Gesamtverluste und verschlechtern den Wirkungsgrad. Auch der hohe Magnetisierungsstrom trägt dazu bei.

• Bei beiden Varianten macht sich der reduzierende Einfluss eines erweiterten Luftspaltes auf die Zusatzverluste besonders bei den geringeren Läuferverlusten bemerkbar (s.a. [19]).

• Ebenso deutlich zeigt sich der Einfluss der um ein Drittel geringeren Läuferstromdichte bei Verwendung der Läuferstäbe mit 8 mm Durchmesser. Der Einfluss der Läufer-kupferverluste ist wesentlich stärker als die Jochentlastung und die damit verbundene Reduzierung des Magnetisierungsbedarfes bei Verwendung von 6 mm Stäben.

• Die Vacoflux-Varianten zeigen außerdem, dass der kleinste Wert der Ständerstromdichte zu bevorzugen ist. Der Einfluss ist insbesondere bei Vacoflux so deutlich, da aufgrund der hohen Polarisierbarkeit eine Erhöhung der Ständerjochinduktion durch größere bzw. längere Ständernuten keinen merklichen Effekt zeigt.

• Die gute Polarisierbarkeit von Vacoflux führt weiterhin zu der Aussage, dass insbesondere bei kleinem Luftspalt auch Varianten mit hoher Luftspaltinduktion interessant sind, insbesondere in Bezug auf die Läuferverluste und die damit verbundene Erwärmung. Dieser Fakt ist bedeutsam für den Fall, dass eine abgeschlossene Maschine gebaut werden soll, deren Wärme fast komplett über den Ständer abgeführt werden muss. Die hier realisierten Maschinen sind durchzugsbelüftet.

Gegenüberstellung der jeweils verlustärmsten Varianten Zur Realisierung ausgewählt wurde die Variante V10c für die Blechsorte M270-35A und die Variante V10d für die Blechsorte Vacoflux. Die folgenden Bilder und Tabellen stellen die Varianten jeweils gegenüber. Die wichtigsten Zusammenhänge sind unter den Bildern stichpunktartig zusammengefasst. M270-35A V10c Vacoflux 50 V10d

Elektrische Grunddaten 20 kW, 230V, 30.000 U/min max. Luftspaltinduktion 0,55 T 0,64 T Strombelagsamplitude 328 A/cm 263 A/cm Ständerstromdichte 4 A/mm2 4 A/mm2 Läuferstromdichte 9 A/mm2 7,2 A/mm2 Strangwindungszahl 28 24 Schlupf 0,007 0,007 Ständerstrom i1 36,67A 38,45A Leistungsfaktor 0,817 0,771 Ständerverluste 517 W 330 W

Kupferverluste 143 W 145 W Eisenverluste 328 W 166 W Zusatzverluste 46 W 19 W Läuferverluste 147 W 143 W

Kupferverluste 118 W 120 W Eisenverluste < 1 W < 1 W Zusatzverluste 28 W 22 W Tabelle 6.4: Entwurfsdaten- und Betriebsparameter beider Varianten

60

a) M270 V10c b) Vacoflux V10d Bild 6.10: Ständerstromortskurven und Drehzahl-Drehmomentkennlinien der M270

Variante V10c (a) und der Vacoflux-Variante V10d (b) • Die verlustoptimalen Maschinen sind für beide Blechsorten sehr ähnlich. Die höhere

Polarisierbarkeit von Vacoflux 50 macht sich durch eine höhere Luftspaltinduktion bemerkbar.

• Die Windungszahlen pro Spule liegen bei den hier betrachteten Maschinen mit 6 bzw. 7 (vgl. Tabelle 6.4) im einstelligen Bereich. Die Werte der Luftspaltinduktion können deshalb nur annähernd eingestellt werden. Deshalb liegen die Luftspaltinduktionen bei beiden Maschinen nicht bei den in Tabelle 6.4 angesetzten Werten, sondern darunter (0,55T statt 0,6 bei M270 und 0,64T statt 0,7 bei Vacoflux).

• Das Kippmoment wächst proportional zum Luftspaltfluss. • Durch die höheren relativen Permeabilitäten von Vacoflux 50 (vgl. Bild 6.4) ist die

Magnetisierungsdurchflutung bezogen auf die höhere Luftspaltinduktion zwar kleiner, bei gleicher Speisespannung fließt jedoch aufgrund der kleineren Windungszahl ein größerer Magnetisierungsstrom. Der Leistungsfaktor ist deshalb bei der Vacoflux-Variante kleiner.

• Da beide Varianten fast die gleichen Läuferverluste aufweisen, laufen beide Maschinen bei gleichem Schlupf.

• Das konstruktionsbedingt schmale Läuferjoch führt dort zu hohen Induktionswerten. (s. Abschnitte 6.1 und 6.4)

• Die hohen Zahninduktionen im Läufer sind bei der verwendeten runden Stabform als weniger kritisch einzuschätzen, da sie nur in einem kleinen Bereich (an der engsten Stelle) auftreten.

• Gut erkennbar sind die geringen Werte der Ständerjochinduktion. (s. Abschnitt 6.4) • Die Schwankungen der Induktion fallen bei beiden Varianten in etwa gleich aus.

Unterschiede in den Zusatzverlusten sind bei den verwendeten Induktionen daher ausschließlich auf die unterschiedlichen Material-Verlustfaktoren zurückzuführen.

61

a) M270-35A V10c b) Vacoflux 50 V10d Bild 6.11: Rücken- und Zahninduktionen • Die Leerlaufschwankungen sind bei der Vacoflux-Variante entsprechend der höheren

Induktion etwas größer. • Die Leerlaufschwankungen in den Ständerzähnen sind durch die geschlossenen Läufer-

nuten sehr klein. • Die mittlere Induktion ist bei der Vacoflux-Variante entsprechend der größeren Luft-

spaltinduktion höher.

a) M270-35A V10c b) Vacoflux 50 V10d Bild 6.12: Induktionsschwankungen im Leerlauf durch Relativbewegung der genuteten

Stator- und Rotoroberflächen zueinander

62

a) M270-35A V10c b) Vacoflux 50 V10d Bild 6.13: Induktionsschwankungen bei Nennlast • Während die mittlere Induktion an der Oberfläche der mittleren Luftspaltinduktion

entspricht, ist die mittlere Zahninduktion durch die Flusskonzentration höher. • Während die Induktionsschwankungen an der Oberfläche direkt die Welligkeit des

Luftspaltfeldes abbilden, erscheinen sie in den Zähnen durch die Flusskonzentration nivelliert, was sich besonders bei größeren Schwankungen bemerkbar macht.

• Bezüglich der Mittelwerte gilt dasselbe wie bei den Oberflächenverlusten. • Da für die Berechnung drei Punkte aus dem unteren, mittleren und dem Joch zugewandten

Teil des Zahnes herangezogen wurden, ist die mittlere Zahninduktion in den Läuferzähnen anscheinend geringer als am Ständer. Bild 6.11 zeigt das Gegenteil, dort wurde allerdings nur der Induktionswert an der engsten Stelle des Zahnes betrachtet. Bei der runden Läuferstabform ist der Unterschied beträchtlich.

• Die Induktionsschwankungen bei Nennlast sind bei der Variante M270-35A durch den höheren Strombelag etwas größer (vgl. Leerlaufschwankungen).

• Die kleinere Anzahl an Läuferstäben bedingt größere Nutharmonische der Durchflutung im Vergleich zum Ständer. Deshalb fallen die Induktionsschwankungen im Lastfall im Ständer deutlich höher als im Läufer aus.

• Eine Nivellierung der Induktionsschwankungen in den Zähnen (vgl. Leerlauf) ist nicht zu beobachten.

• Die größere Läufernutteilung führt zu einem fast sinusförmigen Verlauf der Induktions-schwankungen im Ständer.

63

6.4. Konstruktive Gestaltung

Lagerung Für die Lagerung wurden zwei Präzisions-Spindelkugellager, Lagergröße 6205, gewählt. Unter Beachtung einer reduzierten Lebensdauer, die jedoch für Prototypen völlig ausreichend ist, können diese mit einem Spezialfett geschmiert werden. Die vor allem durch die Dichtungen konstruktiv viel aufwändigere Ölschmierung entfällt somit. Da es sich bei den Lagern um Schrägkugellager (Winkel 15°) handelt, müssen diese für den Betrieb elastisch vorgespannt werden. Hier wurde die Vorspannung mit Tellerfedern realisiert. Unter Beachtung der nichtlinearen Federkennlinie lässt sich durch geeignete Kombination (Stapelung oder Aneinanderreihung) die gewünschte Federcharakteristik erreichen.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

150

bezogener Federweg

Fed

erkr

aft

/ N

Bild 6.14: a) Kennlinie einer Tellerfeder

b) Anordnung der Federn für eine

Vorspannung von ca. 500N (schematisierte Darstellung)

Wellenhöhe / Außendurchmesser Neben den Gehäuseabmessungen bzw. Fuß- oder Flanschmaßen bestimmt der Außen-durchmesser des Ständerblechpaketes wesentlich die Wellenhöhe. Während aus elektromag-netischer Sicht 80 mm Wellenhöhe insbesondere bei Verwendung des Vacoflux-Materials völlig ausreichend sind, empfiehlt es sich, wie Erfahrungen an einem ersten Prototypen gezeigt hatten, zur Verringerung des elektromagnetisch verursachten Geräusches, die Rückenhöhe größer zu wählen. Die Problematik der elektromagnetisch verursachten Geräusche wird bei schnelllaufenden Drehfeldmaschinen durch die hohe Speisefrequenz verschärft. Dies soll im Folgenden kurz erläutert werden (ausführliche Erläuterungen finden sich u.a. in [78]): Eine wesentliche Ursache des Maschinengeräusches sind radiale Verformungen des Ständerblechpaketes durch umlaufende Radialkraftwellen. Vereinfacht ausgedrückt, das Blechpaket versetzt die Umgebungsluft ähnlich einer Lautsprechermembran in Schwin-gungen. Da die radiale Kraftwirkung unabhängig von der Richtung des Feldvektors die Reluktanz zu minimieren sucht, treten Kraftwellen mit der doppelten Ordnungszahl der sie verursachenden Feldwelle, beim Zusammenwirken mehrerer Feldwellen auch mit Summe und Differenz der Ordnungszahlen der Einzelwellen auf. Die zweipolige Grundwelle zieht das Blechpaket also diametral zusammen (siehe 1. Teilbild in Bild 6.15). Anregungen höherer Ordnung können durch entsprechende Radialkraftwellen erfolgen, die sich z.B. aus dem Zusammenwirken zweier beliebiger Wicklungsoberwellen ergeben, siehe auch. [78] Die Schwingungsformen des Ständerblechpaketes ebenso wie die Verformung lassen sich leicht

64

mit der Methode der Finiten Elemente nach dem in Abschnitt 4 gezeigten Verfahren ermitteln. Für eine genaue Analyse der Frequenzen und der Geräuschstärke ist aber eine komplette Modellierung mit Gehäuse unumgänglich.

r=2 r=3 r=4 Bild 6.15: Die ersten drei (Biege-)Schwingungsformen des Ständerblechpaketes Die mit Abstand stärkste auftretende Welle ist die Grundwelle. Diese regt im Fall der zweipoligen Maschine die Biege-Schwingungsform r=2 an. Dies ergibt für netzgespeiste Maschinen gemäß obiger Erläuterungen einen Ton mit der Frequenz von 100 Hz und für die hier betrachtete zweipolige, schnelldrehende Maschine einen Ton mit der Frequenz von 1000 Hz (bei einer Speisefrequenz von 500 Hz). Für die Einschätzung der Lästigkeit der Töne ist weiterhin die Physiologie des menschlichen Gehörs entscheidend. Die Empfindlichkeit ist für die Sprachfrequenzen (im Bereich um 3-4 kHz) am höchsten. Die Kurven in [78] dürften inzwischen von neueren Erkenntnissen überholt sein, geben aber den ungefähren Verlauf wieder. Der Ton mit der Frequenz von 1000 Hz wird vom Ohr viel lauter wahrgenommen als der Ton mit der Frequenz von 100 Hz [78], obwohl der gleiche Schalldruckpegel vorliegt. Während also bei netzgespeisten Maschinen unangenehme Geräusche eher durch bestimmte Oberwellen hervorgerufen werden, liegt bei schnelldrehenden Maschinen das Grundwellengeräusch (mit doppelter Drehfeldfrequenz) im gut hörbaren Bereich. Ebenfalls in [78] wird auf analytische Art und Weise der Zusammenhang zwischen Amplitude der Kraftwelle und Stärke der Auslenkung gezeigt. Dieser ist – wie direkt aus der Anschauung (s. Bild 6.15) folgt – bei kleinen Ordnungszahlen am größten. Eine höherpolige Ausführung der Maschine würde die Geräuschproblematik entschärfen, zu beachten sind allerdings die annähernd quadratisch mit der Frequenz wachsenden Eisenverluste (die auch durch reduzierte Kupferverluste bei kürzerem Wickelkopf nicht kompensiert werden).

a)

b)

Bild 6.16: Gehäuse mit Ständer (a) sowie Rotor (b) der Variante M270

100mm

65

Käfig Der Käfig wird aus presshartem Elektrokupfer gefertigt. Das kaltverformte Kupfer hat den Vorteil relativ hoher mechanischer Stabilität, die aufgrund der Fliehkraftbeanspruchungen erforderlich ist, lässt sich aber schlecht mechanisch bearbeiten. Die Stäbe werden durch mechanische Verformung mit dem Kurzschlussring kalt verschweißt. Hartlöten oder Schweißen kommt hier aufgrund der hohen thermischen Beanspruchung der Läuferbleche insbesondere im Fall des empfindlichen Vacoflux-Materials nicht in Betracht. Außerdem würde das aufgrund seiner hohen Festigkeit für die Kurzschlussringe verwendete pressharte Kupfer weich-geglüht.

a) b)

Bild 6.17: Läuferkäfig aus presshartem Elektrokupfer. Vor dem Zusammenbau (a) und Detailansicht zur Verbindung Stab-Ring

66

7. Messungen Zur Überprüfung der berechneten Ergebnisse wurden die im Kapitel 6 beschriebenen Maschinen gebaut und messtechnisch untersucht. Neben Messungen zur Bestimmung der elektrischen Parameter wurden auch mechanische Messungen zum Schwingungsverhalten sowie thermische Messungen durchgeführt. Beim Bau der Maschinen traten die im Folgenden genannten Probleme auf, die zu Modifikationen der in Kapitel 6 beschriebenen Maschinen führten:

• Nachdem sich der Nutfüllfaktor bei der Maschine M2707 zunächst als zu gering darstellte, war er nach Zugabe einiger paralleler Leiter letztlich etwas zu hoch. Da aber alle Spulen fertiggestellt waren, wurde die Spulenwindungszahl um eins reduziert, da es praktisch nicht möglich war, wieder einige parallele Drähte aus den gefertigten Spulen zu entfernen. Die Strangwindungszahl beträgt daher 24 statt 28. Zum Erzeugen der Nenn-Luftspaltinduktion wurde die Spannung in allen Versuchen entsprechend reduziert. Die den Messungen gegenübergestellten Berechnungsergebnisse sind eben-falls an die reduzierte Windungszahl angepasst.

• Beim Abdrehen der Rotoren auf das Endmaß kam es zu Beeinträchtigungen der Rotoroberfläche, insbesondere im Bereich der Stege über den Rotorstäben. Als kritisch erwies sich in dieser Hinsicht vor allem das Vacoflux-Material, da es nach der Schlussglühung sehr weich wird. Zur Sicherheit wurde der Rotor der VF50 noch mit einer Glasfaserbandage versehen.

• Die Glasfaserbandage hat im ausgehärteten Zustand nach einer Oberflächenglättung noch eine Dicke von ca. 0,3 mm. Der für die Durchströmung zur Verfügung stehende Luftspalt beträgt damit bei der VF50 noch ca. 0,7 mm.

Bei den Messungen offenbarten sich weiterhin Probleme mit den Lagern der Motoren. Obwohl beide Maschinen Gehäuse und Lagersitz betreffend identisch (und maßhaltig) sind, war an der Maschine M270 während des Betriebes stets ein Lagergeräusch zu vernehmen, welches sich auch durch Wechsel der Lager nicht beseitigen ließ. Bei einer Drehzahl von 31.500 Umdrehungen pro Minute kam es dann zum Ausfall einhergehend mit der Zerstörung des betreffenden Lagers. Auch ein sofortiges Abstellen beider Motoren konnte nicht verhindern, dass Teile des Lagers durch die hohe Drehzahl in den Wickelkopf geschleudert wurden und dort zu Beschädigungen führten, die weitere Versuche mit dieser Maschine nicht möglich machten. Im Folgenden werden zunächst der Aufbau und das Prinzip des Prüfstandes näher erläutert. Dann werden nacheinander die mechanischen, elektrischen und thermischen Messungen dargestellt und ausgewertet.

7.1. Prüfstand

Das Prüfstandskonzept ist in Bild 7.1 dargestellt. Die Maschinen werden jeweils von einem dreiphasigen 2-Level-IGBT-Umrichter angesteuert. Beide Umrichter sind an einen gemein-samen Zwischenkreis geschaltet. Der Zwischenkreis ist über einen ungesteuerten Diodengleichrichter mit dem Netz verbunden. Die Leistung fließt über den Zwischenkreis und die beiden Wechselrichter im Kreis. Vom Netz werden lediglich die Verluste gedeckt.

7 Ebenso wie im Kapitel 6 werden die Maschinen mit ihrem Materialkürzel bezeichnet: Die Maschine mit der Blechsort M270-35A kurz als „M270“ und die Maschine mit dem Vacoflux 50 Blech kurz als „VF50“.

67

3~ 400V

f1 f2

iu,2

iv,2

uuw,2

uvw,2

iu,1

iv,1

uuw,1

uvw,1

fmechMotor 1 Motor 2

Generierung derPWM - Signale,

Messsignalerfassung

θθ

Leistungsmessgerät

Temperaturmessverstärker

Bild 7.1: Foto und schematische Darstellung des Prüfstandes

68

Die zur Steuerung der Umrichter benötigten pulsweiten-modulierten Signale werden mit einer Echtzeit-Schnittstelle [79] auf einem PC erzeugt. Die Bedienung erfolgt komfortabel über Software. Die Messung der Ströme erfolgt mit kompensierten Stromwandlern, die Spannungen werden direkt gemessen. Die Daten werden mit einem Leistungsmessgerät [80] erfasst. Die Temperaturen werden mit PT100 Widerstandsthermometern, die in der Ständerwicklung sowie den Wickelköpfen angebracht sind, gemessen. Die Messung erfolgt mit einer Schnittstellen-Hardware [81], die den Widerstandswert misst und über eine serielle Schnittstelle an einen PC übermittelt. Die Rückrechnung in den entsprechenden Temperaturwert erfolgt mit dem PC. Die Drehzahlerfassung sollte gemäß ursprünglicher Konzeption mit einem Resolver erfolgen. Mit der verwendeten Auswerteelektronik war es jedoch nicht möglich, das Resolversignal bei höheren Drehzahlen auszuwerten. Daher wurden induktiven Näherungssensoren zur Drehzahlmessung verwendet. Zwei induktive Näherungssensoren liefern jeweils zwei analoge Impulse pro Umdrehung, die – digitalisiert – von einem Frequenz-Messeingang der PC-Echtzeit-Schnittstelle [79] erfasst werden. Um eine Zuordnung zu den gemessenen Leistungsdaten zu ermöglichen, wird das Signal noch in analoger Form dem Leistungsmessgerät zugeführt.

Pmech

P =P +P +Pel,VF50 el,M270 V,VF50 V,M270Pel,M 270

PV,VF50 PV,M270

PV,WR1 PV,WR2

P +P +P +PV,WR1 V,WR2 V,VF50 V,M270

P +Pel,VF50 V,WR1 P -Pel,M270 V,WR2

MaschineM270

MaschineVF50

Bild 7.2: Leistungsflüsse, Maschine VF50 arbeitet im motorischen und Maschine M270 im

generatorischen Betrieb

69

Bild 7.2 zeigt den Leistungsfluss im Prüfstand. Da der Wechselrichter und sein Wirkungsgrad nicht Gegenstand der Betrachtungen ist, wurde auf eine Leistungsmessung im Zwischenkreis oder auf der Einspeiseseite verzichtet. Weil das Drehmoment nicht gemessen wird, müssen die Leistungen über das Einzelverlustverfahren nach IEC 60034-2 berechnet werden. Dieses Vorgehen wird weiter unten diskutiert. Beide Maschinen werden mit Drehstromsystemen verschiedener Phasenfolge angesteuert, eine im Rechts-, die andere im Linkslauf. Die absolute Phasenlage der Systeme zueinander spielt für den Maschinenbetrieb keine Rolle, da Asynchronmaschinen in beliebiger Richtung aufmagnetisiert werden können. Die Belastung erfolgt durch Veränderung der Frequenz eines oder beider Motoren. Die Drehzahl stellt sich – abhängig von der Steilheit der Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie – im Bereich zwischen den Speisefrequenzen ein. Bild 7.3 veran-schaulicht den sich einstellenden Arbeitspunkt in einem beliebig gewählten stationären Betriebspunkt. In Tabelle 7.1 sind die Formeln zusammengefasst. Frequenzbeziehungen ( ) 1121 1 fsfsffzf mechp ⋅+−=+⋅=

f1 … Statorfrequenz, fmech ... Drehzahl, f2 … Rotorfrequenz, s … Schlupf, zp … Polpaarzahl

elektrische Leistung 1,1,1,1 ZFeCu PPPPP ±±±= δ

P1 … elektrische Wirkleistung der Maschine, Pδ … Luftspaltleistung, PCu,1 … Kupferverluste im Ständer, PFe,1 … Eisenverluste im Ständer, PZ,1 … Reibungs- und Zusatzverluste im Ständer

Luftspaltleistung δδδ P

f

fP

f

fPPP mechmech

RotorVmech ⋅

−±⋅

=±=

11

, 1

Pmech … mechanische Leistung der Maschine, PV,Rotor … Läuferverluste

Tabelle 7.1: Formeln zum Leistungsfluss, das erste Vorzeichen gilt für den Motorbetrieb, das zweite für den Generatorbetrieb

f0,VF50

f0,M

fmech

Drehmoment

Frequenz

270

Differenzfrq.f -f1,M270 1,VF50

ffPP

2,M270

2,VF50

1,M270

1,VF50

1 2 3 4 5

Frequenz /Leistung

a) b)

Bild 7.3: Schematisierte Kennlinien zur Veranschaulichung der Verhältnisse im Arbeits-punkt (a) bzw. an charakteristischen Betriebspunkten (b)

70

Beim Ändern der Differenzfrequenz beider Drehstromsysteme und Durchfahren der Belastungsfälle lassen sich 5 charakteristische Punkte feststellen (vgl. Bild 7.3b). Erfolgt das Hochfahren des Maschinensatzes durch Speisung beider Maschinen mit gleicher Frequenz, dann befindet man sich anfangs im Zustand (3). Je nach Vorzeichen der Differenzfrequenz durchfährt man dann bei Erhöhung ebendieser nacheinander die Punkte (2) und (1) bzw. (3) und (4). ① Maschine VF50 befindet sich im Zustand zwischen generatorischem und motorischem

Betriebsverhalten, sie gibt gerade noch keine elektrische Leistung ab. Maschine M270 deckt alle im System auftretenden Verluste. Maschine VF50 bezieht lediglich die zur Magnetisierung nötige Blindleistung vom Netz.

② Maschine VF50 befindet sich im ideellen Leerlauf. Sie bezieht vom Netz die Magneti-sierungsblindleistung sowie die den Ständerverlusten entsprechende Wirkleistung. Maschine M270 liefert die Wirkleistung für die gesamten Reibungsverluste sowie die Rotorzusatzverluste von Maschine VF50.

③ Die Differenzfrequenz ist Null, der Schlupf beider Maschinen ist gleich. Beide Maschi-nen befinden sich im motorischen Betrieb. Jede Maschine bezieht ihren Magnetisierungsstrom sowie die Ständerverluste vom Netz. Die Rotorverluste teilen sich entsprechend der Steigung der Drehzahl-Drehmoment-Kennlinien auf. Dieser Betriebs-punkt unterscheidet sich somit vom praktischen Leerlauf der nicht gekoppelten Maschinen.

④ Maschine M270 befindet sich im ideellen Leerlauf. Sie bezieht vom Netz die Magneti-sierungsblindleistung sowie die den Ständerverlusten entsprechende Wirkleistung. Maschine VF50 liefert die Wirkleistung für die gesamten Reibungsverluste sowie die Rotorzusatzverluste von Maschine M270.

⑤ Maschine M270 befindet sich im Zustand zwischen generatorischem und motorischem Betriebsverhalten, sie gibt gerade noch keine elektrische Leistung ab. Maschine VF50 deckt alle im System auftretenden Verluste. Maschine M270 bezieht lediglich die zur Magnetisierung nötige Blindleistung vom Netz.

7.2. Mechanische Messungen

Den mechanischen Messungen wird hier viel Platz eingeräumt, da – wie sich während der Versuchsdurchführungen zeigte – mechanische Schwingungen und Geräusche die Versuchs-durchführung erschwerten bzw. sogar beeinträchtigten. Messung der mechanischen Eigenfrequenzen der Maschine im Stillstand Zur Messung der gemäß Kapitel 3 berechneten Eigenfrequenzen wird der Rotor gemäß [28] angestoßen und danach frei schwingen gelassen. Die Schwingungen werden mit berührungslos arbeitenden, induktiven Abstandssensoren erfasst. Der Rotor wird nicht, wie z.B. in [21] beschrieben im ausgebauten, sondern im eingebauten Zustand untersucht, da der Einfluss der Lagerung – wie in Kapitel 3 dargestellt – erheblich ist. Da die Sensoren eine sehr hohe Auflösung haben, sind auch geringfügige Amplituden im Mikrometer-Bereich gut messbar. Die Sensorausgangssignale wurden mit dem Oszilloskop aufgezeichnet und spektral analysiert. Bild 7.4 zeigt die Anordnung der Sensoren am antriebsseitigen Wellenende. Die im Bild 7.5 gegenübergestellten Messergebnisse beider Rotoren bei impulsförmiger Anregung zeigen eine Vielzahl auftretender Frequenzen.

71

Um diese Frequenzen den einzelnen Bauteilen besser zuordnen zu können, wurde die Maschine an den Lagerschilden, sowie am Gehäuse angeregt. Die Spektren der einzelnen Messpunkte sind für beide Maschinen in den Bilder 7.6 bis 7.7 gegenübergestellt.

1 … Welle 2 … Induktive Abstandssensoren 3 … Sensorträger

Bild 7.4: Anordnung der induktiven Abstandssensoren zur Schwingungsmessung

a) M270 b) VF50 Bild 7.5: Spektrum der Eigenschwingung der eingebauten Welle nach impulsförmiger

Anregung im Vergleich mit den in Kapitel 4 berechneten Werten (rot).

a) M270 b) VF50 Bild 7.6: Spektrum der Eigenschwingung des Maschinengehäuses nach impulsförmiger

Anregung

72

a) M270 b) VF50 Bild 7.7: Spektrum der Eigenschwingung des antriebsseitigen Lagerschildes nach

impulsförmiger Anregung

a) M270, Lagerschild NS b) VF50, Lagerschild NS Bild 7.8: Spektrum der Eigenschwingung des nicht-antriebsseitigen Lagerschildes nach

impulsförmiger Anregung

Die in Bild 7.5 eingetragenen Zahlenwerte, die sich aufgrund des betrachteten Intervalls sowie seiner zeitlichen Auflösung ergeben, sollen nicht darüber hinwegtäuschen, dass die Frequenzauflösung lediglich 100 Hz beträgt. Berücksichtigt man die niedrige Frequenzauflösung sowie Aliasing-Effekte, dann ergibt sich bei beiden Motoren ein recht einheitliches Bild: • Die erste Rotoreigenfrequenz, die auch bei Anregung des Stators sichtbar wird, liegt nach

Vergleich mit Bild 7.8 eher bei ca. 900 Hz (M270) bzw. ca. 800 Hz (VF50). Sie ist damit deutlich höher als der berechnete Wert (690Hz).

• Die höherliegende erste Rotoreigenfrequenz der Variante M270 ist mit hoher Wahrscheinlichkeit auf das verklebte und damit steifere Rotorblechpaket zurückzuführen.

• Alle Frequenzen unterhalb der ersten Rotoreigenfrequenz lassen sich eindeutig Gehäuseschwingungen zuordnen.

• Zweite und dritte Rotoreigenfrequenz stimmen relativ gut mit den berechneten Werten überein.

Messungen der mechanischen Schwingungen und der Geräusche im Betrieb Für die quantitative Bestimmung der Schallleistung wären kalibrierte Tonaufnehmer unab-dingbar und Messungen in speziellen, reflexionsarmen Laborräumen vorteilhaft. Der absolute

73

Pegel der hier aufgenommenen Geräusche hat daher nur geringe Aussagekraft. Interessant sind jedoch die im Signal enthaltenen Frequenzen, da sie Auskunft über die Geräuschursachen geben. Das mit dem Mikrofon aufgenommene Signal wurde mit einem Oszilloskop aufgezeichnet und auf einem PC spektral analysiert. Parallel dazu wurden mit der oben beschriebenen Sensorik Wellen- und Gehäuseschwingungen aufgezeichnet. Beim Durchfahren des Drehzahlbereiches ändert sich das Schwingungs- und Geräusch-verhalten ständig. Das ist ein Hinweis auf angeregte Gehäuse-Eigenfrequenzen bzw. eine günstige Schall-Abstrahlcharakteristik des Gehäuses für einzelne Frequenzen. Die Messung erfolgte stichprobenartig bei Drehzahlen, bei denen einzelne Töne oder Schwingungen beson-ders deutlich hervortraten. Die Bilder 7.9 bis 7.11 zeigen das Geräusch- bzw. Schwingungsspektrum über der Drehzahl, wobei die Schwingungsamplituden auf den Maximalwert normiert farblich dargestellt sind. Um den Zusammenhang zwischen Drehzahl und angeregten Schwingungen besser darzustellen, wurden folgende Hilfslinien eingezeichnet: • Durch Spannungspulsung des Wechselrichters hervorgerufene Spektralanteile bei den

Ordnungszahlen ( )0ffnm s ±⋅= mit fs … Schaltfrequenz, f0 … Grundfrequenz

• Ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz Das Maschinengeräusch ist bis zu Frequenzen von ca. 100 Hz fast unhörbar. Dominierend sind in diesem Betriebsbereich das bei Wechselrichterspeisung stets auftretende, schalt-frequenzabhängige Geräusch sowie das Rauschen von Maschinen- und Wechselrichterlüftern. Im Drehzahlbereich über 100 Hz treten allmählich zunehmend Geräusche tieferer Tonhöhe in den Vordergrund, angeregt durch die magnetische Grundwelle, die dann ab ca. 170Hz unangenehm laut werden. Bei den Wellenauslenkungen ist zu beachten, dass die Unrundheit der Welle schon zu einem Signal führt.

a) M270 b) VF50 Bild 7.9: In Abhängigkeit der Drehzahl angeregte Geräusche (fs … Wechselrichterschaltfrq.)

74

a) M270 b) VF50 Bild 7.10: In Abhängigkeit der Drehzahl angeregte Geräusche kleiner Frequenz Die Auswertung der Geräuschspektren lässt folgende Schlüsse zu: • Neben den Wechselrichterfrequenzen werden hauptsächlich Vielfache der Grundfrequenz

angeregt. • Das Hauptfeld verursacht Gehäuseverformungen mit der doppelten Ordnungszahl der

anregenden magnetischen Grundwelle ( pm ⋅= 2 ). Da auch Geräuschfrequenzen mit der

Ordnung der Polpaarzahl (m = p) enthalten sind, lässt das auf Rüttelkräfte schließen, die z.B. durch Rotorexzentrizitäten hervorgerufen sein können.

• Berücksichtigt man das stichprobenartige Messverfahren und die unterschiedliche Abstrahlcharakteristik des Gehäuses [78] für die einzelnen Frequenzen, dann erscheint der Schluss plausibel, dass besonders starke Amplituden bei Anregung einer der im Anstoßversuch gemessenen Gehäuseeigenfrequenzen bzw. einer ihrer Vielfachen entstehen (vgl. Bilder 7.5-7.7).

M270 VF50

Geräuschfrq. Gehäuse-Eigenfrq. Geräuschfrq. Gehäuse-Eigenfrq. 260 Hz 281 Hz 302 Hz 302-314 Hz 320 Hz 340 Hz 687 Hz 2*343 Hz

Bild 7.11: In Abhängigkeit der Drehzahl angeregte Wellenschwingungen a) M270 b) VF50

75

Die beim Anstoßen der Welle bestimmten Frequenzen spielen bei der Anregung im Betrieb – im betrachteten Drehzahlbereich – offenbar keine Rolle. Da die gemessenen dominanten Frequenzen eher wieder im Bereich der Gehäuseeigenfrequenzen liegen, ist es wahrscheinlich, dass auch bei den gemessenen Wellenschwingungen der Einfluss des Gehäuses groß ist. Da das Messverfahren keinen Rückschluss auf Ursache und Wirkung erlaubt, wäre es auch denkbar, dass sich Schwingungen des Gehäuses, die z.B. elektromagnetisch angeregt sein können, über das Lagerschild auf die Welle übertragen. Da insbesondere bei der Maschine M270 die Schwingungsmaxima alle erster Ordnung sind, ist eine Anregung durch die Restunwucht der Welle jedoch höchstwahrscheinlich. Zieht man ein Fazit, muss kritisch bemerkt werden, dass der Aufbau mechanisch zu „weich“ ausgelegt ist. Im Drehzahlbereich treten eine Vielzahl von Geräusch- und Schwingungs-erscheinungen auf, die sich mit hoher Wahrscheinlichkeit auf die Anregung von Eigen-frequenzen des Maschinengehäuses zurückführen lassen. Die Modellierung und Untersuchung allein des Rotors (auch mit elastischen Lagern) auf kritische Frequenzen und Drehzahlen sollte daher noch um die Analyse der Lagerschilde bzw. des gesamten Gehäuses erweitert werden.

76

7.3. Elektrische Messungen

Die elektrischen Messungen dienen der Überprüfung der berechneten Maschinenparameter und des Betriebsverhaltens. Es wurden drei verschiedene Versuche durchgeführt: Messungen im Stillstand, im Leerlauf sowie unter Last.

Kurzschlussmessungen Die Rotoren wurden mechanisch blockiert. Die Speisung erfolgt mit dem Wechselrichter bei reduzierter Zwischenkreisspannung. Damit kann auch bei den im Kurzschlussversuch notwendigen kleinen Spannungen ein moderater Aussteuergrad gewählt werden. Ein sehr kleiner Aussteuergrad, wie er sich bei voller Zwischenkreisspannung ergeben würde, birgt gleich mehrere Probleme in sich: Zum Ersten blendet die Wechselrichterlogik sehr kurze Impulse aus, was insbesonders nahe der Nulldurchgänge zu einer starken Stromverzerrung führt. Zweitens ist zwar der Messfehler der Spannungsmessung des verwendeten Leistungsmessgerätes [80] mit <1% von 0 bis 400 kHz angegeben. Der aus dem Aussteuergrad und gemessenem Strom zu erwartende Spannungswert sowie vergleichende Messungen mit einem Dreheisenmessgerät (Klasse 0,5) bei 50 Hz haben jedoch gezeigt, dass die Messung gepulster Spannungen mit wenigen, sehr kurzen Impulsen problematisch ist, siehe dazu auch. [82] Für die Lastversuche ist das aber unkritisch, da erstens die Aussteuergrade höher sind und zweitens die Betriebsparameter beider Maschinen sehr ähnlich sind und hier vor allem der Vergleich beider Maschinen untereinander interessiert. Zur Ermittlung der Grundwellenparameter ist es weiterhin wichtig, auch nur die Grundschwingungsgrößen zu erfassen. Eine Rechnung mit den vom Leistungsmesser ermittelten Effektivwerten liefert falsche Ergebnisse, da der der Strom aufgrund des ohmsch-induktiven Maschinenverhaltens wesentlich weniger verzerrt ist als die Spannung.

Bild 7.12: Auf die Ständerseite bezogene Gesamtstreuinduktivität a) M270 b) VF50 Aus der Grundschwingungsblindleistung lässt sich bei Stillstand mit guter Näherung die Gesamtstreuung des Motors berechnen. Die Messergebnisse sind den berechneten Werten im Bild 7.12 gegenübergestellt. Berücksichtigt man das einfache FE–Modell und die mit Hilfe von Streuleitwerten aus der Literatur berechneten Stirnstreuungen, dann ist die Übereinstimmung sehr gut. Insbesondere für die Variante M270 ist die Frequenzabhängigkeit der Streuung (sie nimmt mit steigender Frequenz leicht ab) stärker ausgeprägt als berechnet.

77

a) M270 b) VF50 Bild 7.13: Auf die Ständerseite bezogener Läuferwiderstand in Abhängigkeit der

Stabstromdichte und der Frequenz Die Übereinstimmung des Rotorwiderstandes mit den berechneten Werten ist auf den ersten Blick weniger gut (vgl. Bild 7.13). Die Zunahme der gemessenen Werte mit zunehmender Frequenz ist weitaus stärker als die leichte Zunahme der berechneten Werte aufgrund der Stromverdrängung. Da der Rotorwiderstand aus der gemessenen Wirkleistung unter Subtraktion des Ständerwiderstandes bestimmt wird, liegt folgende Erklärung nahe: Der scheinbar stark zunehmende Widerstand ist nur das Maß für die mit der Frequenz ansteigenden zusätzlichen Oberflächen- und Eisenverluste, hervorgerufen durch Durchflutungsoberwellen (einschl. der Grundwelle). Da der Rotor steht, treten keine Flusspulsationen durch Nutung auf. Auch die umgekehrt proportionale Abhängigkeit vom Strom ist verständlich: Der höhere Strom führt zu einer Sättigung der Streuwege, Durchflutungsoberwellen gleicher Amplitude führen im flachen Teil der Magnetisierungskennlinie zu kleineren Induktionsoberwellen (vgl. Bild 3.6).

Leerlaufmessungen Die Leerlaufmessungen dienen einerseits der Evaluation der Magnetisierungscharakteristik und andererseits der Ermittlung und Separation der Reibungs- und Eisenverluste („konstante Verluste“ gemäß IEC 60034-2). Die Maschinen werden ungekoppelt im Leerlauf betrieben. Die besonders bei höheren Drehzahlen relativ großen Lager- und Luftreibungsverluste sowie die Zusatzverluste an der Rotoroberfläche und in den Rotorzähnen bedingen einen kleinen Rotorschlupf und somit auch einen Rotorstrom. Der Schlupf ist praktisch aber so klein, dass der Einfluss des Rotorstromes vernachlässigt werden kann. Die am Ständer gemessene Blindleistung kann somit zur Bestimmung der Ständerinduktivität herangezogen werden. Bild 7.14 zeigt die ermittelten Verläufe. Ebenfalls aufgetragen ist die mit einer FEM-Rechnung ermittelte Magnetisierungs-kennlinie (s. Kapitel Maschinenentwurf). Die Übereinstimmung ist für die Maschine M270 sehr gut. Die gemessene Kennlinie der Variante mit dem Vacoflux-Blech zeigt im linearen Bereich der Magnetisierungskennlinie eine etwas günstigere Charakteristik, erfüllt jedoch die Erwartungen an die deutlich höhere Polarisierbarkeit nicht. Die Kennlinie verläuft im Sättigungsbereich sehr ähnlich zur Kennlinie der M270er Variante, der Magnetisierungsstrom bei Nennfluss ist daher deutlich höher als berechnet. Über die Ursachen kann nur spekuliert werden: Gemäß Herstellerangaben reagiert das Vacoflux-Material sehr empfindlich auf Bearbeitungsprozesse und mechanische Spannungen, die hier sowohl beim Presssitz des Statorblechpaketes im Ständergehäuse als auch beim Aufschrumpfen des Rotors auf die Welle auftreten. Das Material lag als Halbzeug vor, die endgültigen Eigenschaften werden erst nach

78

einem relativ aufwändigen Glühprozess erzielt. Dieser wurde gemäß Herstellerangaben vorgenommen. Nach dem Glühen waren Differenzen im Erscheinungsbild der Bleche zu erkennen, die auf die Anordnung und Stapelung im Ofen zurückgeführt werden konnten.

Bild 7.14: Magnetisierungskennlinie a) M270

b) VF50

Im Leerlaufversuch wurden die („konstanten“) Eisen- und Reibungsverluste gemäß IEC 60034-2 ermittelt (s. a. 23). Laut Norm gilt:

FereibCuleerkonst PPPPP +=−= 1, 2

0,

⋅=

N

FeFe U

UPP

(7.1)

Ausgehend vom Nennbetrieb wird die Spannung bei gleichbleibender Frequenz reduziert. Die Eisenverluste gehen quadratisch mit der Spannung zurück, bis schließlich für U0 die Reibungsverluste übrig bleiben. Die Spannung kann praktisch nur bis zum Erreichen des Kippschlupfes reduziert werden. Zu beachten ist weiterhin der bis dorthin ansteigende Strom und Schlupf. Die stromabhängigen Zusatzverluste nehmen daher ebenfalls zu. Augen-scheinlich funktioniert das Verfahren jedoch auch für schnelldrehende Maschinen, wie im Bild 7.15 zu sehen ist. Die Genauigkeit ist allerdings begrenzt. Erschwerend kommt bei Wechselrichterspeisung der im Punkt Stillstandsmessungen beschriebene Effekt der Abhän-gigkeit der Genauigkeit vom Aussteuergrad hinzu. Eine Messung im harmonischen Modus des Gerätes zur Ermittlung der Grundschwingungsgrößen, für die Formel 7.1 ausschließlich gilt, führt ebenfalls nicht zum Erfolg, da die Grundschwingungserfassung des Leistungs-messers für kleine Aussteuergrade ebenfalls problematisch ist. Bild 7.16 stellt die ermittelten Reibungsverluste für beide Maschinen gegenüber. Die Versuche wurden nur bis zu Frequenzen deutlich unter 400 Hz durchgeführt, da bei Annäherung an die 400 Hz sowohl Maschinengeräusch als auch Wellenschwingungen enorm zunahmen. Der gekoppelte Maschinensatz hingegen ließ sich problemlos bei 400 Hz betreiben. Die im Kapitel 3 vorgestellten Formeln zur Berechnung der Luftreibungsverluste zeigen die Bandbreite der Ansätze. Die Berechnungen in Kapitel 6 erfolgten auf Basis der Formeln nach. [13, 54] Lagerreibungsverluste wurden nicht berücksichtigt. Die berechneten Werte sind um Größenordnungen zu klein. Realistischere Ergebnisse erhält man, wenn man die Reibungsverluste nach [15] berechnet. Eine zusätzliche Berücksichtigung der Lagerreibungsverluste, die in [15] für Lager einer ähnlichen Größe mit bis zu 180 W bei 400 Hz angegeben sind, liefert bei 400 Hz mit ca. 400 W einen Wert in Größenordnung der

79

Messwerte. Angesichts der stark variierenden Leistungsbeiwerte der Luftreibung und der unbekannten Lagerreibung wird die Vorausberechnung immer mit starken Unsicherheiten behaftet sein. Der prinzipielle Zusammenhang zwischen verkleinertem Luftspalt und erhöhten Reibungsverlusten ist so auch in der Theorie zu beobachten, allerdings weit weniger stark.

Bild 7.15: Ermittlung der Reibungsverluste aus den Messwerten

Bild 7.16: Gemessene Reibungsverluste in Abhängigkeit der Statorfrequenz mit quadratischer Näherung

Messungen bei Belastung Beide Maschinen werden gekoppelt betrieben (siehe Bild 7.1). Zur Leistungsmessung wurde die Aronschaltung verwendet. Nach dem Einzelverlustverfahren werden von der aufge-nommenen elektrischen Leistung die Verluste subtrahiert, man erhält die mechanische Leistung sowie den Wirkungsgrad:

1

1

1

1

P

PP

P

P

PPP

Vmech

Vmech

−==

−=

η

ZusCuCureibFeV PPPPPP ++++= 2,1,

Die Eisen- und Reibungsverluste sind aus dem Leerlaufversuch bekannt. Rotoreisenverluste werden vernachlässigt. Die Verringerung der Eisenverluste durch Feldabsenkung bei Belas-tung wird in der Berechnungsvorschrift nicht berücksichtigt. Die Läuferkupferverluste ergeben sich aus der Luftspaltleistung:

( )1,12, CuFeCu PPPsP −−⋅=

Die lastunabhängigen Zusatzverluste (Pulsationsverluste durch Nutung) sind bereits in den im Leerlaufversuch bestimmten Eisenverlusten enthalten. Die lastabhängigen Zusatzverluste (Pulsationsverluste durch Strombelagsoberwellen) werden nach Norm folgendermaßen berücksichtigt:

2

,1

1,1%5,0

⋅⋅=

N

NZusI

IPP

An dieser Stelle wird deutlich, dass das Einzelverlustverfahren lt. Norm für schnelldrehende Maschinen modifiziert werden muss. Der Prozentsatz 0,5% ist letztlich ein erfahrungsba-

80

sierter willkürlich gewählter Wert, der zu praktisch brauchbaren Ergebnissen bei netzgespeisten Maschinen führt. Die in der Literatur vorgeschlagenen Messverfahren zur Ermittlung der Zusatzverluste [74] sind entweder für Käfigläufermaschinen ungeeignet oder ohne Drehmomentmessung schwer durchführbar. Von einer auf theoretischen Ergebnissen basierenden rechnerischen Aufteilung wurde hier Abstand genommen, da die Leerlaufverluste ohnehin stark von den berechneten Werten abweichen. Mit Hilfe einer präzisen Drehzahlmessung und einer Drehmomentmesswelle könnte die Trennung der Leerlaufverluste genauer erfolgen und eine weitere Aufteilung der Verluste gemäß der im Abschnitt Prüfstand dargestellten Theorie erfolgen. Eine ausführliche Diskussion zur Wirkungsgradermittlung laut IEC-Norm ist in [83] dargestellt. Aus den dargelegten Gründen werden die Lastmessungen folgendermaßen ausgewertet: Der Norm folgend wird die Luftspaltleistung aus der aufgenommenen Leistung durch Subtraktion der Ständerkupferverluste sowie den als konstant angenommenen Eisen- und Reibungsverluste ermittelt. Dass dieses Vorgehen berechtigt ist, zeigt die Gegenüberstellung der Summe der Leerlaufverluste beider Einzelmaschinen mit der Summe der Leerlaufverluste bei Belastung. „Leerlauf“ bedeutet im Belastungsversuch eine Differenzfrequenz von 0 Hz. Im Bild 7.17 sind die in den Leerlaufversuchen der ungekoppelten Maschinen ermittelten Eisen- und Reibungsverluste gegenübergestellt. Aus den oben dargestellten Gründen konnten nur Messwerte bis ca. 330 Hz aufgenommen werden. Im Bereich bis 300 Hz ist die Übereinstimmung aber sehr gut. Das spricht für eine gute Anwendbarkeit des Einzelverlustverfahrens.

Bild 7.17

Eisen- und Reibungsverluste beider Varian-ten

Bild 7.18

Eisen- und Reibungsverluste ermittelt aus den Einzelversuchen und dem gekoppelten Zustand

Der Theorie folgend würde man einen fast quadratischen Zuwachs der Eisen- und Reibungsverluste mit der Frequenz erwarten. Die Kurve der VF50-Variante zeigt jedoch eine deutliche Abflachung und die Daten aus dem Leerlauf der gekoppelten Maschinen lassen diese Abflachung auch bei der M270-Variante erwarten (vgl. Bild 7.18). Berücksichtigt man trotz der plausiblen quadratischen Frequenzabhängigkeit der Reibungsverluste (Bild 7.16) die Unsicherheiten bei der Verlustaufteilung, dann wären mögliche Ursachen entweder Lagerreibungseffekte oder strömungstechnische Effekte, die zu einem Absinken der Luftreibung führen. Der durch die Bandage bedingte kleinere Luftspalt bei der VF50-Variante könnte eine Ursache für das frühere Einsetzen des Effektes sein. Zieht man die Eisenverluste als Ursache heran, könnte das Absinken auf einer Verlustreduzierung durch Feldverdrängung

81

bei hohen Frequenzen beruhen. Da diese aber erst bei sehr hohen Frequenzen zu erwarten ist (keinesfalls bei 400 Hz – vgl. Kapitel 3) wären dann allerdings die Zusatzverluste der alleinige Verursacher. Eine Klärung kann nach Ansicht des Verfassers nur auf Basis einer exakten Verlustaufteilung mit einer Drehmomentenmesswelle erfolgen. Für die weiteren Auswertungen werden die im gekoppelten Zustand beider Maschinen ermittelten Eisen- und Reibungsverluste verwendet. Die Bilder 7.19 bis 7.21 stellen die ermittelten Wirkungsgrade, Leistungsfaktoren sowie die gemessenen Strangströme gegenüber. Es ist offensichtlich, dass die Unterschiede beider Varianten gering sind, wobei zu beachten ist, dass die Maschine M270 aufgrund der o.g. Modifikation der Windungszahl bei Betrieb mit Nennfluss und Strom eine geringere Leistung und daher bei gleicher Baugröße auch eine geringere Leistungsdichte hat. Die Variante VF50 hat bei größerer Leistung einen etwas besseren Wirkungsgrad. Hier macht sich die höhere Luftspaltinduktion positiv bemerkbar. Bei kleinen Spannungen / Frequenzen ist der Wirkungsgrad schlechter, da sich der Einfluss der Stromwärmeverluste stärker bemerkbar macht. Die 50Hz-Kurve weicht ab, da dort die Kompensation des Einflusses des Statorwiderstandes nur unvollkommen erfolgte. Dies äußert sich in verringertem magnetischen Fluss, einhergehend mit größerem Strom aber auch gesteigertem Leistungsfaktor. Die mit der Drehzahl ansteigenden Leerlaufverluste verursachen den ebenfalls ansteigenden Leerlaufstrom.

a) M270 b) VF50 Bild 7.19: Aus Messwerten ermittelter Wirkungsgrad

a) M270 b) VF50 Bild 7.20: Gemessener Effektivwert des Strangstromes

82

a) M270 b) VF50 Bild 7.21: Gemessener Leistungsfaktor der Grundschwingung

Wechselrichterzusatzverluste Die Maschinen wurden mit einer mitten-symmetrischen Pulsweitenmodulation mit Schaltfrequenzen von 9, 13 und 18 kHz bei verschiedenen Drehzahlen und Belastungs-zuständen betrieben. Leerlauf- und Lastmessungen ließen einen Trend erkennen: Eine höhere Schaltfrequenz führt zu geringeren Verlusten. Die Genauigkeit der gemessenen Leistungs-werte liegt jedoch im Bereich der Leistungsdifferenzen bei den gewählten Wechselrichterschaltfrequenzen (s. Tabelle 7.1).

Schaltfrequenz / kHz

Wechselrichterzusatz-verluste / W

7,5 69 13,5 51 18,5 43

Tabelle 7.1: Berechnete Wechselrichter-zusatzverluste

Bild 7.22: Spektrum der Strangstromober-schwingungen bei 315 Hz (Schaltfrequenz 13,5 kHz). Die Grundschwingungsamplitude ist nicht dargestellt.

In Bild 7.22 sind für einen willkürlich gewählten Lastpunkt ein gemessenes und zur Bestim-mung der Wechselrichterzusatzverluste vorausberechnetes Spektrum gegenübergestellt. Die Übereinstimmung ist recht gut. Auffällig sind noch Harmonische niederer Frequenzen im gemessenen Signal, die höchstwahrscheinlich aus der Referenzsignalübergabe der überge-ordneten Steuerung an die PWM-Einheit resultieren. Die übergeordnete Steuerung wird ebenfalls digital auf einem Signalprozessor ausgeführt, die Abtastfrequenz ist jedoch kleiner als die PWM-Frequenz. Das in [44] beschriebene Verfahren erlaubt auch die

83

Berücksichtigung dieser Einflüsse. Weiterhin ist die Pulsweitenmodulation asynchron, d. h. die PWM-Frequenz ist kein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz.

Eisenzusatzverluste

Bild 7.23: Berechnete und gemessene Zahnpulsationsamplituden Auf Basis der durchgeführten Messungen und der rechnerischen Verlustaufteilung in Zusam-menhang mit der Unsicherheit der bestimmten Einzelverluste hätte ein Herausrechnen der Zusatzverluste nur einen äußerst fragwürdigen praktischen Bezug. Da beide Motoren mit einer Messwicklung um einen Ständerzahn ausgestattet wurden, lassen sich jedoch gesicherte Aussagen zu den Frequenzen und Amplituden der Zahnpulsation machen. Dazu wurde das an der Zahnspule gemessene Spannungssignal integriert und der Induktionswert bestimmt. Die gemessenen Pulsationsamplituden sind im Bild 7.23 den berechneten gegenübergestellt. Mit dem im Kapitel 3 beschriebenen Modell werden die Zusatzverluste und damit die Pulsationsamplituden getrennt im Leerlauf sowie unter Last berechnet. Der bei 0 A eingetra-gene Wert entspricht der durch die Schwankung des magnetischen Leitwertes im Luftspalt hervorgerufenen Pulsation (Leerlauf), die übrigen Werte resultieren aus den Nutharmonischen des Durchflutungsverlaufes (Last).

7.4. Thermische Messungen

Die Erwärmung wurde bei einer Frequenz von 314 Hz und Nennlast für beide Maschinen bestimmt. Der Verlauf der Wicklungstemperaturen sowie der Temperatur von Zu- und Abluft ist für beide Varianten im Vergleich in den Bildern 7.24 und 7.25 dargestellt. Der thermische Beharrungszustand ist nach ca. 30 Minuten erreicht. Die Temperaturmesssignale sind bei Betrieb der Maschinen stark gestört, was vor allem auf die – aus Platzgründen gewählte – ungeschirmte Verlegung der PT100 Signalleitungen innerhalb der Nuten und des Wickel-kopfes zurückzuführen ist. Die steilen Spannungsflanken durch die Wechselrichter-ansteuerung induzieren entsprechende Störspannungen. Nach dem Abschalten der Maschinen entfällt die Störsignalquelle und der exponentielle Temperaturrückgang ist gut zu erkennen.

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a) M270 b) VF50 Bild 7.24: Gemessene Temperaturverläufe im Erwärmungsversuch bei 314 Hz in den

Wickelköpfen am Lufteinlass (DS), Luftauslass (NDS) und in den Nuten der Statorwicklung

a) M270 b) VF50 Bild 7.25: Gemessene Lufttemperaturverläufe im Erwärmungsversuch bei 314 Hz an

Lufteinlass und Luftauslass Die mit dem strömungstechnischen und thermischen Modell berechneten Temperaturen sind deutlich höher als die gemessenen. Dabei wurden die durch Bearbeitung bzw. Bandage ver-ringerten Luftspalte berücksichtigt und mit den gemessenen Verlusten gerechnet. Schätzt man den Druckabfall in der Maschine über die Temperaturerhöhung der Eintrittsluft ab, indem man den Verdichtungsvorgang durch den Kühler adiabatisch betrachtet, dann erhält man einen Druck von ca. 13 kPa. Die strömungstechnische Auswertung liefert einen Arbeits-punkt mit einem etwas geringeren Druck (siehe Tabelle 7.2). Die erreichten Endtemperaturen sind in Tabelle 7.3 zusammengefasst: M270 VF50 Druckabfall 10969 Pa 10969 Pa Volumenstrom im Luftspalt 0.014 m³/s 0.008 m³/s Volumenstrom im Statorkanal 0.012 m³/s 0.012 m³/s Tabelle 7.2: Volumenströme und Druckabfälle

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Übertemperaturen / K M270 VF50 (bez. auf 40°C am Lufteinlass) Messwert Rechengrößen Messwert Rechengrößen Wickelkopf Lufteinlass 35 40,5 32,2 51 57,2 45,6 Statorwicklung 35 52,6 41,1 51 73,5 57,8 Wickelkopf Luftauslass 40 57,6 47,2 64 85,2 69,9 Tabelle 7.3: Gemessene und rechnerisch ermittelte End-Übertemperaturen, Werte in Spalte

zwei der Rechengrößen ergeben sich durch Anpassung der Wärmeübergangszahl zur Umgebung an die praktischen Gegebenheiten

Überschlägt man die von der strömenden Luft aufgenommenen Verluste mit der gemessenen Lufterwärmung über

θρ ∆⋅⋅⋅= LuftLuftpV cVP ,&

wird deutlich, dass im Gegensatz zum Modell, wo 95 % aller Verluste über die Luft abgeführt werden, praktisch nur ca. 65 % über die Kühlluft, der Rest aber über das Gehäuse abgeführt wird. Werden die Verhältnisse im Modell durch Heraufsetzen der Wärmeübergangszahl an die Umgebungsluft angepasst, ergeben sich die Werte in Spalte 2 der Rechengrößen in Tabelle 7.3. Die Wärmeübergangszahl wurde dazu um den Faktor 40 (!) erhöht. Die Ursachen für diese starken Abweichungen sind folgende: • Das Modell berücksichtigt nur die Wärmeabführung radial über das Gehäuse. • Die Rippung des Gehäuses ist nicht im Modell berücksichtigt. • Die Temperaturabhängigkeit des Wärmeübergangswertes ist nicht im Modell berück-

sichtigt. Weiterhin bemerkenswert ist die praktisch identische mittlere Temperatur von lüfterseitigem Wickelkopf und der Statorwicklung. Dies könnte auch für einen guten axialen Wärmeübergang zum lüfterseitigen Blechpaketende sprechen. Zur Klärung der genannten Abweichungen sind weitere umfangreiche Temperaturmessungen, nach Möglichkeit ergänzt um Strömungsmessungen, unumgänglich. Das geht weit über das Ziel dieser Arbeit hinaus. Die Wicklungsisolation und Tränkung ist auf Wärmeklasse H ausgelegt. Eine weitere Erwärmung um bis zu 50K, wäre möglich. Zu beachten sind die ebenfalls steigenden Kupferverluste sowie die zulässige Lagerdifferenztemperatur.

86

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wurden Entwurf und Betriebsverhalten schnelldrehender Maschinen unter Verwendung verschiedener Elektroblechsorten untersucht. Zum einen kam ein mit Backlack beschichtetes, siliziumhaltiges Blech der Sorte M270-35A zum Einsatz. Eine zweite Maschine wurde mit einem kobalthaltigen Blech der Sorte Vacoflux 50 gebaut. Beide Maschinen sind für eine Leistung von 20 kW bei 30.000 Umdrehungen pro Minute ausgelegt. Leistung und Drehzahl wurden so gewählt, dass einerseits die für schnelldrehende Maschinen typischen Eigenschaften wie hohe Eisen- und Eisenzusatzverluste sowie hohe Leistungsdichte gut hervortreten, dass andererseits aber eine technisch einfache und kostengünstige Realisierung mit handelsüblichen Spindel-Kugellagern möglich ist. Zur elektromagnetischen, mechanischen und thermischen Auslegung beider Maschinen wurden auf die speziellen Anforderungen schnelldrehender Maschinen zugeschnittene Verfahren entwickelt oder adaptiert und in einer Software [84] zur automatisierten Berechnung von Entwurfsvarianten zusammengefasst. Zur messtechnischen Validierung der Berechnungen dient ein speziell für diesen Zweck konzipierter und realisierter Versuchsstand, bestehend aus Wechselrichter und Schalt- und Ansteuerlogik. Ziel der experimentellen Untersuchungen ist zum einen die Bewertung der Betriebseigenschaften der Maschinen in Abhängigkeit von der eingesetzten Elektroblechsorte und zum anderen Aussagen zur Brauchbarkeit der angewandten Methoden. Um den Einfluss der eingesetzten Blechsorte zu untersuchen, wurde die elektromagnetische Auslegung und Berechnung um numerische Methoden ergänzt, die eine exakte Berücksichti-gung der nichtlinearen Materialcharakteristik erlauben. Wie durch Messungen bestätigt werden konnte, lässt sich der Einfluss des Materials auf die Maschinenparameter und Flusspulsationen mit Hilfe der hier dargestellten Methoden gut nachbilden. Dass die Verlustberechnung trotzdem noch optimierungsbedürftig ist, ist in erster Linie auf die Problematik der Wahl der Verlustfaktoren bzw. Gültigkeit der spezifischen Verlustziffern zurückzuführen. Beispielsweise verdeutlicht allein die Bandbreite der in der Literatur veröffentlichten Berechnungsansätze zur Bestimmung der Reibungsverluste die Problematik. Der hier ursprünglich gewählte Ansatz, basierend auf der Übertragung von Ergebnissen nach den Gesetzen der Ähnlichkeitstheorie von veröffentlichten Versuchreihen an rotierenden Zylindern, lieferte zu geringe Werte. Die Maschinen konnten sicher unterkritisch betrieben werden. Durch die praktisch vorhandene versteifende Wirkung des Rotorblechpaketes lag die erste Rotoreigenfrequenz deutlich über der berechneten. Messungen der Eigenfrequenzen ergaben weiterhin eine Vielzahl von Frequenzen im Betriebsbereich der Maschine. Dies ist nach Ansicht des Autors vor allem auf die zu geringe mechanische Steifigkeit des Gehäuses zurückzuführen. Gehäuseschwingungen und eine genauere Analyse der Wellenschwingungen lassen sich nur mit einer kompletten mechanischen Schwingungsanalyse der gesamten Maschine, einhergehend mit einem weitaus komplexeren Modell, verwirklichen. Das thermische Modell liefert nach seiner Anpassung an die praktisch vorhandenen Verluste und Aufteilung der Wärmeströme gute Ergebnisse. Die gute Wärmeabführung über das Gehäuse sowie die relativ niedrigen sich einstellenden Temperaturen lassen eine geschlossene Ausführung mit Wellenlüftern im Innenkreis (z.B. IP 55) möglich erscheinen. Die geschlossene Ausführung ist für viele Anwendungen praktikabler als die durchzugsbelüftete Variante.

87

Der Vergleich der Elektroblechsorten lieferte folgende Ergebnisse: Aufgrund der gemäß Herstellerangaben höheren Magnetisierbarkeit und der dünneren Bleche hat die verlustoptimale Maschine mit dem Vacoflux-Material eine höhere Luftspaltinduktion. Daher konnte die Nut (bei gleicher Stromdichte) kleiner gewählt werden. Zähne oder wahlweise das Joch werden entlastet. Eine Verkleinerung des Jochdurchmessers würde Material sparen und den radialen Wärmeübergangswiderstand senken. Zu beachten ist allerdings, dass dann das Gehäuse aufgrund der Geräuschproblematik deutlich versteift werden muss. Ob daraus letztlich ein geringerer Außendurchmesser (und damit eine verringerte Wellenhöhe) resultiert, ist daher fraglich. Zur Verringerung der Schwingungs- und Geräuschproblematik wäre eine Entkopplung des Blechpaketes vom Gehäuse denkbar, allerdings muss auch dafür Bauraum vorgesehen werden. Die größere Zahl der im Betrieb auftretenden Schwingungen und Geräusche der VF50-Maschine zeigen, dass die Maschine mechanisch „weicher“ ist im Vergleich zur M270-Variante. Da die Konstruktion sonst gleich ist, resultiert die größere Steifigkeit der M270-Variante eindeutig aus dem mit Hilfe des Backlacks verklebten Blechpaket. Thermisch offenbaren sich bei beiden Materialien keine nennenswerten Unterschiede. Beide Materialien sind gut für den Einsatz in schnelldrehenden Maschinen geeignet. Das in der Anschaffung deutlich teurere Vacoflux-Material stellt große Anforderungen an die Blechpaketfertigung und an das Ausschöpfen seiner vom Hersteller zugesagten magnetischen Eigenschaften. Diese wurden hier nicht erreicht. Mit der spezifizierten Magnetisierungs-kennlinie wäre der hier ermittelte Wirkungsgradvorteil von ca. 2 % gegenüber der M270-Variante noch steigerbar. Das M270-Blech ist vergleichsweise preiswert, problemlos zu verarbeiten und bietet insbesondere mit der Backlackbeschichtung deutliche Vorteile beim Herstellen des Blechpaketes und dessen mechanischer Stabilität. [85]

88

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93

Anhang A – Materialeigenschaften

Ele

ktr

ob

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, M

27

0-3

5A

0,35

mm

dic

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40

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²

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94

Anhang B – Das thermische Modell

Ständer-zahn

Kurzschluss-ring

Wickelkopf

R13

Rg1

RK

jgR

sj1

Rsj3

Rsj

2R

st1

Rst2 Rsw1

Rsw

3

Rsw2R

10

R12

R12

Rswk1Rswk1

R1l

Rsw

k2

Rsw

k2

Rsw

k2

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Rsw2R

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1

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1

Rrkr4 Rrkr4

Rrk

r5

Rrkr3

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1

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5

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Rw

5

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RK

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RK

2w

r

Thermisches Ersatzschaltbild Asynchronmaschine* keine axiale Wärmeleitung im Statorblech* Kühlkanäle im Statorblechpaket* 2 unabhängige Luftströme: Stator aussen, Luftspalt

R14

PVWK PVWK

PVZ1PVW1

PVJ1

PVZ2 PVW2 PVERPVER

PVJ2

R1l

Rsw

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PVreib1 PVreib2PVreib2

Roto

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Geh

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elle

4

8

9

10

19 21

252423

26 27 28 29 30

37

38

39

41 42 43

3331

15

13

H2 H3 H4 H5H1

H6 H7 H8 H9 H10

1 2 3 5

14

1716

222018

32 34 35 36

7

6

11

12

40

R thermischer Widerstand

41 Knoten, an dem Temperatur ermittelt wird

40

4040 Knoten, der die mittlere Temperatur eines Elementesmit Wärmeerzeugung repräsentiert

18 Knoten zur Berücksichtigung der Erwärmung des Kühlstromes

Wärmequelle (Verlustleistung)

H gesteuerte Temperaturdifferenz zur Berück-sichtigung der Kühlstromaufheizung

Messeingang zur Erfassung des Wärmestromesfür gesteuerte Temperaturdifferenz

Bezugs- bzw. Umgebungstemperatur

Wickelkopf

Ständer-wicklung

Ständerjoch

Läufer-zahn

Kurzschluss-ring

Läuferjoch