Epidemien–DasSIR-Modell · 2013. 7. 25. · Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen...

Geschichte der Epidemien Das SIR-Modell Anwendungen und Ausblick

Epidemien – Das SIR-Modell

Breiling Camillo, Elshazli Sherif, Eisner David, Köck Matthias

28. Juni 2013


Vortrags-Guideline

1 Geschichte der Epidemien

2 Das SIR-Modell

3 Anwendungen und Ausblick


Historischer Überblick

Was ist Epidemie?Beispiele:

viele Tropenkrankheiten (wie die Dengue)CholeraGrippeTyphusPestKinderlähmungSchwarzer Tod (im 14. Jhdt. – ca. 1

3 der Bevölkerung Europas,85 Millionen, starb)Plage von Athen (430-428 v.Chr. – rund 1 050-4 000 Soldateneiner Expedition verendeten)

Thucydides: genaue Dokumentation der KrankheitSymptome: Hitze im Kopf, Augenentzündung, stinkenderAtem, Heiserkeit mit starken Hustenausbrüchen, . . .


Historischer Überblick

Gründe für Krankheiten:verseuchter Wohnortdas jodarme Wasserdie Übertragung von Krankheiten durch die erste großeEpidemie in den USA: Gelbfieber in Philadelphia im Jahre 1793

1978 beschloss die UN das Programm »Health for All, 2000«wichtiger Aspekt der Krankheitsverbreitung: Überquerunginternationaler Grenzen → Ausbruch exotischer Krankheitenvier Hauptgruppen:

VirenBakterienPrasitenPilze


Modellbildung

interessantes Modell:1973 in Bari (Italien) von CapassoPaveri Fontana (1979) zur Cholera-Epidemie

interessantes mathematisches Modell von Bernoulli (1760)2 Arten von Modellen

Es gibt:Suszeptible SInfizierte Idie Ausgestoßenen/Geheilten RErgo: S → I → R – kurz: SIR-ModellS(t), I(t) und R(t) stehen für die Anzahl der Individuen jeder.


Vorstellung:

Das SIR-ModellDynamik:

dSdt = −αSI dI

dt = αSI − βI dRdt = βI

Parameterwerte:α > 0 β > 0

Anfangsbedingungen:

S(0) = S0 > 0 I(0) = I0 > 0 R(0) = 0


Eigenschaften der Modellfunktionen

Behauptung

S + I + R = konstant

Beweis: Addieren aller drei Gleichungen:

ddt(S + I + R

)=

dSdt +

dIdt +

dRdt

= −αSI + αSI − βI + βI

= 0

Definieren N := S + I + R



Behauptung

I(t) > 0 ∀t ∈ [0,∞)

Beweis: Integration der zweiten Gleichung:

dIdt = αSI − βI =⇒ dI

I = (αS − β)dt

ln |I| = −βt + α

∫ t

0S dt + c

I(t) = I0e−βt+α∫ t

0 S dt > 0

mit ec = I0 wegen I(0) = I0.



Behauptung

S(t) > 0 und dSdt < 0 ∀t ∈ [0,∞)

Beweis:Integration der ersten Gleichung:

dSdt = −αSI =⇒ S(t) = S0e−α

∫ t0 I dt > 0

analog zu vorhin.Wegen α, I, S > 0 =⇒ dtS < 0.



Behauptung

R(t) > 0 und dRdt > 0 ∀t ∈ (0,∞)

Beweis:dtR = βI > 0R ist monoton steigendWegen R(0) = 0 ist also immer R(t) > 0.



Behauptung

limt→∞

S(t) = S∞ > 0I(t) = 0

R(t) = N − S∞I ∈ L1(R+)

Beweisskizze: AusN = S + I + RS,R, I > 0

=⇒ die Grenzwerte existieren.S > 0 und dtS < 0 =⇒ ∃S∞ ∈ (0,N)

Entwicklungsgleichung für R, dtR = βI =⇒ I → 0R > 0 und dtR > 0 und vorherigem =⇒ R → N − S∞


Epidemie oder nicht?

Anders formuliert: Ist dt I positiv oder negativ?

dIdt = αSI − βI = I · (αS − β)

Also:dIdt =

{> 0 ⇐⇒ S > β

α

< 0 ⇐⇒ S < βα

Schwellenparameter % :=β

α

S > % . . . es kommt zu einer EpidemieS < % . . . die Krankheit stirbt aus


(I , S)-Ebene

Dividiere erste beiden Gleichungen:

dIdtdSdt

=dIdS =

I (αS − β)−αSI =

β − αSαS =

β

αS − 1 =%

S − 1

Sie ist elementar integrierbar:

I(S) = % ln(S)− S + c

c = I0 + S0 + % ln(S0) folgt aus den Anfangsbedingungen⇒

I(S) = S − % ln( S

S0

)+ N


(I , S)-Ebene

Kurze Diskussion:

dIdS = 0 ⇐⇒ %

S − 1 = 0 ⇐⇒ S = %

Es ist ein Maximum:

d2IdS2

∣∣∣∣∣S=%

= − %

S2

∣∣∣∣∣S=%

= −1%< 0

Maximalzahl der Erkrankten:

Imax = I(%) = N + %− % ln(%

S0

)


(I , S)-Ebene


Die Ausscheidefunktion R

Dividiere erste und dritte Gleichung:

dSdtdRdt

=dSdR =

−αSIβI = −S

%

Auch sie ist elementar integrierbar:

S(R) = S0e−R/%

Dies erlaubt ein Umschreiben von dtR:

dRdt = β (N − R − S) = β

(N − R − S0e−R/%

)Sie ist in Parameterform lösbar, bei bekanntem (α, β,N, S0) leichtnumerisch.


Kermack-McKandrick-Modell (1927)

Kleine Epidemien ⇒ entwickle Exponentialfunktion:

e−R/% ≈ 1− R%+

12

R2

%2 + . . .

Einsetzen liefert mit

dRdt = β

[N −

(S0%− 1

)R +

S02%2 R2

]eine Riccati-Gleichung x = a + bx + cx2.


Kermack-McKandrick-Modell (1927)

Lösung dieser Gleichung:

R(t) = α2

S0

[ψ + φ tanh

(φβt2 − ϕ

)]mit

ψ =S0%− 1 ϕ =

artanh(ψ)φ

φ =

√ψ2 +

2S0(N − S0)

%2

Ausscheiderate:

dRdt =

βφ2%2

2S0sech2

(φβt2 − ϕ

)


Bombay Epidemie (1905-1906)

Die Skizze veranschaulicht das Ver-hältnis zwischen den realen Datenund der Theorie des Epidemienmo-dells

dRdt =

βφ2%2

2S0sech2

(φβt2 − ϕ

),

mit den konkreten Parametern

dRdt = 890 sech2(0.2t − 3.4

)


Epidemie Knabelschule (1978)

Die Skizze veranschaulicht so-wohl die zeitliche Entwick-lung der Infiziertenanzahl I(t)mit Einblendung der gemesse-nen Werte als auch die Ent-wicklung der Suszeptiblenan-zahl S(t).


Plage von Eyam (1665-1666)

Sie ist ein Beispiel für eine ernste, den Großteil der Populationerfassende Seuche.Modellierung mit dem SIR-Modell mit

S0 = 350 und S∞ = 83

Ist eine Seuche nicht von kurzer Dauer, dann solltedSdt = −αSI, die Gleichung für die Suszeptilen, die Geburten-und Sterberaten enthalten.Die natürliche Sterblichkeitsrate sollte in der Gleichung derInfizierten dI

dt = αSI − βI sowie der Gleichung derAusgeschiedenen dR

dt = βI enthalten sein.Im Falle einer langen Inkubationszeit kann diese als KlasseE (t) in unser Modell eingehen.


Modellierung sexuell übertragbarer Krankheiten

System:

dSdt = −SI∗ + aI dS∗

dt = −r∗S∗I + a∗I∗

dIdt = rSI∗ − aI dI∗

dt = r∗S∗I − a∗I∗

Anfangs- und Randbedingungen:

S(t) + I(t) = N S∗(t) + I∗(t) = NS(0) = S0 I(0) = I0

S∗(0) = S∗0 I∗(0) = I∗0

Reduzierte Gleichungen:

dIdt = rI∗(N − I)− aI

dI∗

dt = r∗I(N − I∗)− a∗I∗


Multigruppenmodell für GonorrhöAcht Gruppen von Patienten:

N1 + N3 + N5 + N7 = N2 + N4 + N6 + N8 = 1

Gonorrhö-Modell:

d(Ni Ii)dt︸︷︷︸

rate of newinfectives

=8∑

j=1Lij(1− Ii)Nj Ij︸︷︷︸

rate of new infectives (in-cidence)

− Ni IiDi︸︷︷︸

recovery ra-te of infecti-ves

Anfangsbedingung: Ii(0) = Ii0Kontrollmodell:

d(Ni Ii)dt =

8∑j=1

Lij(1− Ii)Nj Ij −Ni IiDi− CRi − EPi


Ein natürliches Ende . . .

Danke für eure Aufmerksamkeit!

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