Erdbeben Beispiel Schule

Dimensionierung eines vereinfachten Schulgebäudes in Italien als Stahlrahmen nach

EN 1998-1 (EC8: Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben)

Lehrveranstaltung: Erdbebeningenieurwesen

Dozent: Prof. Dr.-Ing. U. Dorka

Verfasser: Dipl.-Ing. N. Khanlou

Bearbeitungsstand: Mai 2013

Inhaltsverzeichnis

1 BAUWERKSBESCHREIBUNG .......................................................... 3

2 LASTANNAHMEN ................................................................................ 4

2.1 EIGENGEWICHT UND NUTZLAST ................................................................................... 4

2.1.1 Regelgeschoss: ................................................................................................ 4

2.1.2 Dachgeschoss .................................................................................................. 4

2.2 SCHNEE- UND WIND LAST ............................................................................................ 5

2.3 ERDBEBENLASTEN ....................................................................................................... 6

2.3.1 Elastisches Antwortspektrum ........................................................................... 6

2.3.2 Designspektrum ............................................................................................... 7

2.4 LASTFALLKOMBINATIONEN .......................................................................................... 8

3 SYSTEM MODELL ............................................................................... 9

3.1 WERKSTOFFEIGENSCHAFTEN ....................................................................................... 9

3.1.1 Baustahl ........................................................................................................... 9

3.2 BEANSPRUCHBARKEIT VON QUERSCHNITTEN .............................................................. 9

3.2.1 Klassifizierung von Querschnitten .................................................................. 9

3.2.2 Teilsicherheitsbeiwerte für die Grenzzustände der Tragfähigkeit ................... 9

3.3 ANZUSETZENDE SEISMISCHE MASSE ............................................................................ 9

3.4 STATISCHES SYSTEM .................................................................................................. 11

3.5 SAP2000 MODELL ..................................................................................................... 12

4 LINEARE NACHWEISVERFAHREN ............................................. 14

4.1 VEREINFACHTES ANTWORTSPEKTRUMVERFAHREN .................................................... 14

4.1.1 Gesamterdbebenkraft ..................................................................................... 14

4.1.2 Verteilung der horizontalen Erdbebenkräfte ................................................. 14

4.1.3 Die Schnittgrößenermittlung mit SAP2000 ................................................... 16

4.2 MODALES ANTWORTSPEKTRUMVERFAHREN .............................................................. 17

4.2.1 Berechnung des Anteilfaktors ........................................................................ 20

4.2.2 Wesentliche Modalformen ............................................................................. 21

4.2.3 Spektrale Designbeschleunigungen für die Modes 1, 2 ................................. 21

4.3 NACHWEISE FÜR LINEARE BERECHNUNG ................................................................... 22

2

4.3.1 Nachweis Stütze ............................................................................................. 24

4.3.2 Nachweis Träger ............................................................................................ 27

4.3.3 Anschluss Stütze- Riegel ................................................................................ 29

4.3.4 Durchstanzen: ................................................................................................ 30

4.3.5 Nachweis der Stirnplatte ............................................................................... 30

4.3.6 Rahmenknoten ............................................................................................... 32

5 NICHT-LINEARE NACHWEISVERFAHREN ............................... 33

5.1 DEFINITION DES NICHTLINEAREN SYSTEMS ................................................................ 33

5.1.1 Statisches System ........................................................................................... 33

5.1.2 Momenten-Rotations-Charakteristik ............................................................. 33

5.1.3 Eingabe in SAP2000 ...................................................................................... 40

5.2 NICHTLINEARE STATISCHE (PUSHOVER) BERECHNUNG .............................................. 42


5.2.2 Verteilung der Horizontalkräfte (EN 1998-1, 4.3.3.4.2.2) ........................... 42

5.2.3 Ermittlung der Kapazitätskurve .................................................................... 43

5.2.4 Kontrolle von Hand ....................................................................................... 44

5.2.5 Ermittlung der Zielverschiebung für die nichtlineare statische (pushover)

Berechnung................................................................................................................ 46

5.3 NICHTLINEARE ZEITVERLAUFSBERECHNUNG ............................................................. 49


5.3.2 Generierung der Bebenverläufe .................................................................... 49

5.3.3 Empfohlene Checks bei nichtlinearer Berechnung ........................................ 50

5.3.4 Nachweise ...................................................................................................... 53

6 KONSTRUKTIVE AUSFÜHRUNG .................................................. 55

6.1 KONSTRUKTIONSZEICHNUNG UND DETAILZEICHNUNGEN .......................................... 55

Dimensionierung eines Stahlrahmengebäudes

3

1 Bauwerksbeschreibung

Bei der hier vorliegenden Beispielaufgabe handelt es sich um ein in Celico (Italien)

stehendes Schulgebäude, welches nach verschiedenen Nachweisverfahren nach EC 8

dimensioniert werden soll.

Für eine bessere Veranschaulichung des Gebäudes ist nachfolgende Skizze aufgeführt.

Abbildung 1: Skizze des Schulgebäudes, nicht maßstäblich (eigene Darstellung)

Folgende Daten sind zusätzlich über das Gebäude bekannt:

- 5-stöckiges Schulgebäude in Stahlrahmenbauweise mit Stahlbetondecken

- Ort: Italien, Celico

- Abmessungen: 8,00m x 20,00m

- Gebäudehöhe: 5 x 3,2m=16,00m

- Binderabstand: 5,0m

- Boden: mitteldicht, kohäsionslos


4

2 Lastannahmen

Die Ermittlung der Lastannahmen erfolgt nach DIN EN 1991-1-1, Tabelle 6.1 und 6.2. Der

Zuschlag für die Innenwand ist der DIN EN 1991-1-1: 6.3.1.2-(8) entnommen. Die

folgenden Abkürzungen ersetzen zu Eigengewicht, Nutzlast und Erdbebenlast:

DL Eigengewicht oder „Dead Load“

LL Nutzlast oder „Live Load“

EL Erdbeben Last „Earthquake Load“

2.1 Eigengewicht und Nutzlast

2.1.1 Regelgeschoss:

Eigengewicht

Stahlbetondecke/Riegel: 0,15m x 25kN/m³ = 3,75 kN/m²

Estrich: 0,05m x 23kN/m³ = 1,15 kN/m²

Innenwand: Zuschlag (<2kN/m²) = 0,80 kN/m²

gk = 5,70 kN/m²

Fassade: Zuschlag 14% von gk = 0,80 kN/m²

Eigengewicht für das Regelgeschoss und 1m Breite:

Nutzlast

Bestimmung der Nutzungskategorie und der Nutzlast erfolgt nach EN1991-1-1, Tabelle 6.1

und Tabelle 6.2)

Nutzungskategorie: C1

Anzusetzende Nutzlast:

2.1.2 Dachgeschoss

Eigengewicht

Stahlbetondecke/Riegel: 0,15m x 25kN/m³ = 3,75 kN/m²

Estrich: 0,05m x 23kN/m³ = 1,15 kN/m²

Asphaltplatten 0,04m x 20kN/m3 = 0,80 kN/m²

gk = 5,70 kN/m²

Eigengewicht für das Dachgeschoss und 1m Breite:


5

Nutzlast

Bestimmung der Nutzungskategorie und der Nutzlast erfolgt nach EN1991-1-1, Tabelle 6.9

und Tabelle 6.10)

Nutzungskategorie: H

Anzusetzende Nutzlast: qk=0,40 kN/m2 , Qk= 1,0 kN

Abbildung 2: Eigengewicht und Nutzlast des Rahms

2.2 Schnee- und Wind last

Entfällt. Begründung siehe 2.1.

Begründung für Wegfall von Schnee- und Windlasten:

Aufgrund der Kombinationsbeiwerte für Hochbauten für Schnee- und Windlasten

(beide gleich 0) entfallen die Schnee- und Windlasten für dieses Beispiel. Bei anderen

geographischen Gegebenheiten wären Schnee und Windlasten zu berücksichtigen.

Vergleich mit EN 1190, Tabelle A.1.1.


6

2.3 Erdbebenlasten

2.3.1 Elastisches Antwortspektrum

Ermittlung der Parameter Bodenbeschleunigung, Bauwerksbedeutung und Bodenklasse.

Referenz-Spitzenwert der Bodenbeschleunigung siehe Karte:

Ort: Celico, Italien

Abbildung 3: Gefährdungskarte von Italien, Wiederkehrperiode 475 Jahre

Bauwerksbedeutung

Schulen: Kategorie (EN 1998-1, Tabelle 4.3)

Bodenklasse nach Tabelle 3.1, EN 1998-1:

Boden: mitteldicht, kohäsionslos Baugrundklasse D

Celico


7

Tabelle 1: Parameterwerte zur Beschreibung der empfohlenen elastischen

Antwortspecktren vom Typ 1

Baugrundklasse )(sTB )(sTC )(sTD

D 1,35 0,20 0,8 2,0

Horizontales elastisches Antwortspektrum nach EN 1998-1 (3.2.2.2)

Vertikales elastisches Antwortspektrum

Vertikales elastisches Antwortspektrum nach EN 1998-1 (3.2.2.3)

Vertikale Beschleunigungen werden bei diesem statischen System nicht maßgebend!

2.3.2 Designspektrum

Bestimmung des q-Faktors nach Bild 6.1 und Tabelle 6.2, EN 1998-1

q-Faktor für Stahlrahmen: 4 (Annahme: Duktilitätsklasse DCM)


8

Abbildung 4: Darstellung des elastischen Antwortspektrums und des Designspektrums

2.4 Lastfallkombinationen

Kombination 1

,,2

1

, ""i

iKiEd

j

jK QAG (EN 1990, 6.4.3.4)

Dach: (Tabelle A1.1, EN 1990)

andere:

Lastfallkombination Erdbeben (LFK1):

Die hier verwendeten Lasten sind im Abschnitt 3.12 zu finden.

Dachgeschoss:

Regelgeschoss:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5

Be

sch

leu

nig

un

g [g

]

Periode [Sec]

Elastisches Antwortspektrum

Designspektrum


9

3 System Modell

3.1 Werkstoffeigenschaften

3.1.1 Baustahl

Die Nennwerte der Streckgrenze fy und der Zugfestigkeit fu für Baustahl sind in der Regel:

S355: fy=355e6 N/m2 fu=510e6 N/m

2 (EN 1993-1-1, Tabelle 3.1)

Für Stahl ist eine Mindestduktilität erforderlich. (EN 1993-1-1, 3.2.2)

Die Gleichmaßdehnung u:

- 15%

- u > dabei ist y=fy / E

Für die in dem Teil des Eurocode 3 geregelten Baustähle sind in der Regel folgende Werte

für die Berechnung anzunehmen: (EN 1993-1-1, 3.2.6)

- Elastizitätsmodul E =210000N/mm²

- Schubmodul G = E/2(1+ )

- Poissonsche Zahl

3.2 Beanspruchbarkeit von Querschnitten

3.2.1 Klassifizierung von Querschnitten

HEA 450, HEA 360 und IPB 500 sind Querschnitte klasse 1 (EN1993-1-1, Tabelle 5.2)

3.2.2 Teilsicherheitsbeiwerte für die Grenzzustände der Tragfähigkeit

M0 = 1,0 (EN 1993-1-1, 6.1)

M1 = 1,1 (EN 1993-1-1, 6.1)

3.3 Anzusetzende seismische Masse

Nach EC 8, Abschnitt 3.2.4 (Gl. 3.17) ermittelt sich die Masse unter seismischer

Einwirkung wie folgt:

Die Werte für den Abminderungsfaktor (EC 8, Tabelle 4.2) und die

Kombinationsbeiwerte für Hochbauten (EN 1190, Tabelle A.1.1) ergeben sich für das

vorliegende Schulgebäude wie folgt:


10

Dach:

Regelgeschoss mit in Beziehung zueinander stehender Nutzung

Nutzungslast für Versammlungsräume:

Schneelast für Hochbauten <1000m über NN

Dach Kategorie H:

Für das Regelgeschoss (RG) und für das Dachgeschoss (DG) ergibt sich eine

Gewichtskraft von:

Die Masse der Fassade verteilen auf zwei Geschosse. Deswegen wird dem Träger des

Dachgeschoß es nur die halbe Masse der Fassade zugeteilet.

Das Gewicht berechnet sich zu einer Masse und

Stockwerksmasse Masse Beschreibung

M5 24900kg DG

M4 32370kg RG

M3 32370kg RG

M2 32370kg RG

M1 32370kg RG

Mges 154380kg Gesamtmasse des Bauwerks


11

3.4 Statisches System

An jedem Knoten des statischen Systems wird jeweils die Hälfte der Stockwerksmasse

angesetzt.

Abbildung 5: Das statische Modell mit den anzusetzenden Massen


12

3.5 SAP2000 Modell

In dieser Beispielaufgabe wird die Software SAP2000 verwende. Um ein

dimensionsgerechtes Arbeiten zu gewährleisten, wird in der Aufgabe das internationale

Einheitensystem verwendet. In der nachfolgenden Tabelle sind die Einheiten nochmals

aufgeführt. Alle anderen Größen werden mit Hilfe der Basisgrößen hergeleitet.

Tabelle 2: Verwendete Einheiten in SAP2000

Basisgröße Länge Masse Zeit Kraft

Einheiten M kg s N

Tabelle 3: Verwendete Element Parameters in SAP200

Element Nr. Profil Länge[m] Material End Position DL[N/m] LL[N/m]

1 bis 10 HEB 500 3,2 S355 Fixed 32490 15000

11 bis 12 HEA 450 8,0 S355 Fixed 32490 15000

13 bis 14 HEA 360 8,0 S355 Fixed 32490 15000

15 HEA 360 8,0 S355 Fixed 28500 4340

Abbildung 6 gibt einen Überblick über die Nummerierung der Elemente und der Knoten.

Tabelle 3 gibt den Parameter den Elementen.

Abbildung 6: Element- und Knotennummerierung aus SAP2000


Nachweisverfahren


14

4 Lineare Nachweisverfahren

4.1 Vereinfachtes Antwortspektrumverfahren

Vereinfachte Antwortspektrumverfahren nach EN 1998-1, 4.3.3.2.

Näherungsweise Bestimmung von 1T :

(EN 1998-1, 4.6)

für biegesteife räumliche Stahlrahmen

Gebäudehöhe

Zur Beschreibung der Gebäudeeigenform wird eine linear zunehmende

Horizontalverschiebung verwendet.

4.1.1 Gesamterdbebenkraft

(EN 1998-1, Gl. 4.5)

(Korrekturbeiwert für )

4.1.2 Verteilung der horizontalen Erdbebenkräfte

(EN 1998-1, 4.11)

Stockwerksmasse

Stockwerkshöhe


15

Lineare statische Berechnung:

Abbildung 7: Lineare statische Berechnung


16

4.1.3 Die Schnittgrößenermittlung mit SAP2000

Die Schnittgrößenermittlung mit SAP2000 liefert folgende Ergebnisse:

Abbildung 8: Schnittgrößen für das vereinfachte Antwortspektrumverfahren aus

SAP2000

Tabelle 4: Die Schnittgrößen für das vereinfachte Antwortspektrumverfahren

Stütze (A) Träger (B)

M [kNm] V [kN] N [kN] M [kNm] V [kN] N [kN]

DL+LL 87,6 27,4 777,8 206,5 166,0 42,7

EL 625,5 195,5 556,1 801,2 200,3 14,1

Sum 713,8 222,1 1333,9 1007,7 366,3 56,8

Moment

Axial force

Shear force


17

4.2 Modales Antwortspektrumverfahren

Abbildung 9: Statische System

Das Modale Antwortspektrumverfahren wird nach EN 1998-1, 4.3.3 gerechnet.

Nachfolgend aufgeführte Vorgehensweise ist in „Bauwerke und Erdbeben“ von Meskouris

im Abschnitt 3.1.1 zu finden.

Modalanalyse aus EDV (SAP2000):


18


19

Abbildung 10: Die verschiedenen Modalformen für Mode 1 bis 5


20

4.2.1 Berechnung des Anteilfaktors

Die nachfolgende Berechnung ist in „Bauwerke und Erdbeben“ von Meskouris et.al. im

Abschnitt 3.1.1. zu finden (siehe Anhang I).

(AI, Gl. 3.3)

Darin bedeutet:

Anteilfaktor der i-ten Modalform in [-].

der i-te Eigenvektor des Systems in [-].

M Massenmatrix in [kg].

r Richtungsvektor des Erdbebenangriffs in [-].

Die modale Masse Mi hat bei der im Programm SAP2000

enthaltenen Normierung den Wert Eins.


21

4.2.2 Wesentliche Modalformen

Berechnung der Modalen Masse:

Berechnung der effektiven Modalen Masse:

Einheit: [-] x [kg] = [kg] (AI, Gl. 3.14)

Der effektiven Modalmasse in [kg].

Anteilfaktor der i-ten Modalform in [-].

Die modale Masse

Der effektiven Gesamtmasse

Summe der effektiven modalen Massen vergleichbar mit der Gesamtmasse des Bauwerks.

Modalform 1und 2

4.2.3 Spektrale Designbeschleunigungen für die Modes 1, 2

Berechnung der Beteiligung der zu berücksichtigenden Eigenformen(Al, Gl,3.10).


22

Oder kann dividiert den Schubkraft ( )) zu den Schubkraft von SAP2000

FAKT1=25,81 FAKT2=1,01

Berechnung der modalen Schnittkräfte für die Stütze (mit Hilfe der Schnittgrößen-

ermittlung aus SAP2000):

Das Modale Moment für die Stütze der ersten Stücke

Abbildung 11: Modale Schnittgröße aus SAP2000

Tabelle 5: Modal Schnittgrößen aus SAP2000

Stütze A Träger B


Mode 1 17,5 5,5 14,9 22,1 5,5 0

Mode 2 65,6 20,4 17,7 39,5 9,9 0

Superposition 456,5 143,4 385 572,1 142,3 0

4.3 Nachweise für lineare Berechnung


23

Gegenüber Schnittgrößen aus dem vereinfachten Antwortspektrumverfahren(Tabelle 4)

und aus dem modalen Antwortspektrumverfahren(Tabelle 5):

Tabelle 6: Schnittgrößen aus dem vereinfachten Antwortspektrumverfahren und aus dem

modalen Antwortspektrumverfahren:

Träger

Vereinfachtes Antwortspektrum. Modales Antwortspektrum


DL+LL 206,9 166,0 42,7 206,9 166,0 42,7

EL 801,2 200,3 14,1 572,1 142,3 0

Summe 1008,1 363,2 55,9 800,61 314,06 41,8

Stütze

Stütze Vereinfachtes

Antwortspektrum.

Modales Antwortspektrum.


DL+LL 87,6 27,4 777,8 87,6 27,4 777,8

EL 625,5 195,5 556,1 456,5 143,4 385

Summe 713,8 222,1 1333,9 574,56 178,95 -1181,92

Für die folgenden Nachweise werden die Schnittgrößen aus den vereinfachten

Antwortspektrumverfahren (übliche, aber meist unwirtschaftliche Vorgehensweise)

verwendet.


24

4.3.1 Nachweis Stütze

Der Nachweis Erfolgt nach EN 1993-1-1, 6.3.1.

Das Maximum Moment in den Stützen ist in den Stütze des ersten Geschoßes(Abbildung

8). Die Last Kombination ist präsentiert in Abschnitt 2.4 .

IPB500, S355: A=239e-4, Wy=4290e-6, Iy=1.072e-3, imin=7,27e-2 Wpl=4815e-6,

Iz=1,9150e-4

Die anzunehmende Form der Imperfektionen eines Gesamttragwerkes und örtlicher

Imperfektionen eines Tragwerks kann aus der Form der maßgebenden Eigenform in der

betrachteten Ebene hergeleitet werden.

globale Anfangsschiefstellung:

der Ausgangswert

der Abminderungsfaktor für Höhe h von Stützen

der Abminderungsfaktor für Anzahl der Stützen in einer Reihe


25

Durch Biegung und Druck beanspruchte Bauteile müssen in der Regel folgende

Anforderungen erfüllen. (EN 1993-1-1, Gl. 6.61)

die Bemessungswerte der einwirkenden Druckkraft und der einwirkenden

maximalen Momente um die y-y Achse.

die Momente aus der Verschiebung der Querschnittsachsen von Klasse-

4-Querschnitten nach 6.2.9.3 sind, siehe Tabelle 6.1.Für Klasse 1 sind

beide Null.

die Abminderungsbeiwerte für Biegeknicken nach 6.3.1.

der Abminderungsbeiwert für Biegedrillknicken nach 6.3.2.

die Interaktionsfaktoren.

Als (EN 1993-1-1, Tabelle 6.7)

Das ideale Biegedrillknickmoment Mcr kann der Literatur, z. B (Bautabellen für Ingenieure

3.3.2 a), entnommen werden

Momentenbeiwert für Gabellagerung an den Stabenden(Tafel 8.34a)

l=2,9 m Abstand der Gabellager

zp=h/2=0,25m Abstand des Angriffspunktes der Belastung vom Schwerpunkt, bei

rückdrehender Wirkung der Belastung positiv.

Drehradius des Querschnitts.

Torsionsflächenmoment 2. Grades (Tafel 8.73)

Wölbflächenmoment 2 Grades bezogen auf den

Schubmittelpunkt (Tafel 8.73)

Für planmäßig zentrisch belastete Druckstäbe ist in der Regel folgender Nachweis gegen

Biegeknicken zu führen:

(EN 1993-1-1 , Gl. 6.49)

(EN 1993-1-1, Gl. 6.50)


26

(EN 1993-1-1, Tabelle 6.1 , 6.2)

Interaktionsbeiwerte kyy:

(EN 1993-1-1 , Gl. 6.57)

(EN 1993-1-1 , 6.3.2.3)

(EN 1993-1-1 , Tabelle 6.3, 6.5)


27

4.3.2 Nachweis Träger

Der Nachweis erfolgt nach EN 1993-1-1, 6.3.1.

Das Maximum Moment ist in den Riegel das erste Geschoß(Abbildung 8). Die

Lastkombination ist präsentiert in Abschnitt 2.4 .

HEA 450 A=178e-4 Iy=63,72e-5, imin=7,29e-2 Wy=2900e-6 Wpl=3216e-6

Iz=9470e-8 , Mpl=1142 kNm Vpl=988 kN , Npl=6320 kN

CUT HEA 450

HEA 450 A=165e-4 Wel=2644e-6, Wpl=2952e-6

Mpl=1048 kNm Vpl=988 kN , Npl=5872 kN


28


29

4.3.3 Anschluss Stütze- Riegel

4.3.3.1 Nachweis der Schrauben

Schub:

Schubkraft wirkt gleichmäßig auf alle 24 Schrauben.

= 15,13 kN

(Schneider)

Zug:

Zugkraft wirkt auf Schrauben in der Zugzone (hier: 12)

N

(Schneider)


30

Schub + Zug:

4.3.4 Durchstanzen:

/

Lochleibung:

Lochleibungswiderstand einer Schraube:

mit

Am Abtrag der Schubkraft sind alle Schrauben beteiligt.

4.3.5 Nachweis der Stirnplatte

Schraubenreihen oberhalb des Zugflansches

Die beiden Schraubenreihen werden zu einer äquivalenten Schraubenreihe

zusammengefasst, welche im Schwerpunkt der beiden Schraubenreihen liegt. Die

Berechnung erfolgt durch das T-Stummel-Verfahren. Es werden 2 Schrauben der

Schraubenreihe zu einem äquivalenten T-Stummel zusammengefasst. Insgesamt liegen 4

Schrauben vor. Darum muss das Ergebnis verdoppelt werden!


31

Es treten keine Abstützkräfte auf!

Innere Schraubenreihe

Vereinfachter Nachweis, der Steg wird beim Abtrag der Kräfte nicht berücksichtigt!

Es treten keine Abstützkräfte auf!

Nachweis

Zur Sicherstellung einer ausreichenden Überdimensionierung der Verbindung wird das

einwirkende Moment um 20% erhöht (s. EC8, 5.2.2.2).

Der Momentenwiderstand setzt sich zusammen aus den berechneten aufnehmbaren

Zugkräften der jeweiligen Schraubenreihen multipliziert mit deren Hebelarm zum

Druckpunkt (s. DIN EN 1993, 1-8, Bild 6.15)


32

4.3.6 Rahmenknoten

Erforderliche Tragfähigkeit der Verbindung (EN 1998-1, 6.5.5)

(6.1)

(EN 1998-1,6.2)

Der Anschluss in der Rahmenecke ist für ein Moment zu bemessen.

Bemessung der geschraubten Rahmenecke:

M27 10.9:

Schweißnaht umlaufend (Doppelkehlnaht):

Steg:

Flansch:

Kopfplatte:

Lastabtragsbreite:

Moment:

Dicke der Kopfplatte:


33

5 Nicht-lineare Nachweisverfahren

5.1 Definition des nichtlinearen Systems

5.1.1 Statisches System

Abbildung 12: Definition der plastischen Gelenke

5.1.2 Momenten-Rotations-Charakteristik

Für eine nichtlineare Berechnung mit der Software SAP2000 ist es möglich, die

plastischen Gelenkeigenschaften auf zwei unterschiedliche Arten zu definieren. Zum einen

kann eine

- Momenten-Rotationsbeziehung [M- ] und zum anderen eine

- Momenten-Krümmungsbeziehung [M- definiert werden.

Ein Zusammenhang zwischen der Rotation und der Krümmung ist bei Stäben durch das

Integral


34

gegeben.

H Die Höhe der Querschnitte in [m]

Die Verdrehung der Endquerschnitte im Bereich 0 bis h/2 in [rad]

Die Krümmung der Endquerschnitte im Bereich 0 bis h/2 in [-]

Der Integrationsbereich h/2 (EN 1993-1-1,5.6(b)) bezieht sich auf den Ort des plastischen

Gelenkes und entspricht der halben Trägerhöhe (vgl. Abbildung 13).

In diesem Beispiel werden die plastischen Gelenkeigenschaften über die Definition einer

Momenten- Rotationsbeziehung [M- ] durchgeführt.

Abbildung 13: Lage des plastischen Gelenkes

Die Einflüsse der Verformung der Anschlüsse auf die Schnittgrößenverteilung und auf die

Gesamtverformung des Tragwerks dürfen im Allgemeinen nicht vernachlässigt werden.

Bei der Ausführung einer ausgesteiften Ecke mit Kopfplatte sind diese jedoch klein im

Vergleich zur Rotation im plastischen Gelenk. Nichtlineareres Verhalten der Verbindung

wird durch Überdimensionierung (siehe S.30) ausgeschlossen.

Die Momenten-Rotationsbeziehung kann über drei charakteristische Punkte bestimmt

werden. Die Punkte 1, 2, 3 sind nachfolgend schematisch abgebildet.


35

Abbildung 14: Schematische Darstellung der Momenten- Rotationsbeziehung für die

Ausbildung des plastischen Gelenks

Punkt 1: Fließbeginn

Skizze:

Abbildung 15: Krümmungverteilung in der Regel


36

Annahme: Nährungsweise y= Konst im Bereich 0 bis h/2:

HEA 450:

IPB500:


37

Punkt 2: Übergang zum vollplastischen Moment

Skizze:


Diese nichtlineare Verteilung von im Bereich h/2 (plastisches Gelenk) wird in der

Näherung parabelförmig angenommen (Integrationstabelle 1/3)

HEA 450:


38

IPB500:

Annehme: M( y) Mpl


39

Punkt 3: Grenzbedingung

Für die Grenzbedingung wird die Bruchdehnung ( 0,15u)benötigt, diese wurde aus dem

Bautabellenbuch Schneider, 19. Auflage Tabelle 8.3 entnommen.

Da der Bruch unter zyklischer Belastung eher eintritt, wird empfohlen (vorbehaltlich noch

ausstehender Normenregelungen), die statische Bruchdehnung um 20% zu mindern


HEA 450:


40

IPB500:

Übersicht über die berechneten Werte, die für die Definition des plastischen Gelenks

benötigt werden.

Tabelle 7: Für die Definition der plastischen Moment Gelenke benötigte Daten

Nr. Bezeichnung HEA 450 HEA360 HEB500

[rad] M [kNm] [Rad] M [kNm] [Rad] M [kNm]

1 Fließbeginn 1,69e-3 938,6 1,69e-3 670,95 1,69e-3 1522,95

2 Übergang zum

Vollplastischen

1,97e-3 1034,2 1,97e-3 720,2 1,97e-3 1691,64

3 Grenzbedingung 0,0411 1048 0,0411 741,24 0,0411 1708,4

5.1.3 Eingabe in SAP2000

Das plastische Moment Gelenke kann mit Link Element definieren. Wegen der

Beschränkung der Freiheitsgrade in der „Education Version“ von SAP2000 benutzen wir

den „Plastic Hinge“ im Modell. In diesem Fall, berücksichtigt SAP2000 die Momenten-

Rotationsbeziehung ohne die elastischen Anteile, das heißt, es werden lediglich die

plastischen Rotationsanteile in SAP2000 implementiert. Die elastischen Anteile sind von

den plastischen abzuziehen.

In Abbildung 19 ist die elastische wie auch die rein plastische Beziehung (welche in

SAP2000 verwendet wird) dargestellt. (Vgl. ebenso Handbuch SAP2000, Chapter VIII)

Abbildung 18: Definition der Momenten- Rotationsbeziehung für das Element


41

Abbildung 19: Eingebemaske aus SAP2000 zur Definition der plastischen Gelenke

Abbildung 20: Die Position des Hinges


42

5.2 Nichtlineare statische (pushover) Berechnung



5.2.2 Verteilung der Horizontalkräfte (EN 1998-1, 4.3.3.4.2.2)

1.) Verhältnisse der Kräfte (aus vereinfachtem Antwortspektrumverfahren)

2.) Verhältnisse der Kräfte (gleichmäßige Verteilung)


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Im Weiteren wird für das Beispiel nur Punkt 2 (Verhältnisse der Kräfte) untersucht.

Kapazitätskurve siehe EDV

5.2.3 Ermittlung der Kapazitätskurve

Abbildung 22: Verschiebung des Tragsystems aus SAP2000.


44

Abbildung 23: Kapazitätskurve aus SAP2000

5.2.4 Kontrolle von Hand

Die horizontale Achse ist normiert auf eine Dachverschiebung von 1m

Nachfolgend wird zur Kontrolle das Ergebnis aus SAP2000 (Fy=924kN) einer

Handrechnung gegenübergestellt.

Abbildung 24:Anzusetzende Horizontalkräfte und die plastische Kette


45

Innere Arbeit = Äußere Arbeit

Die maximale Tragfähigkeit des Rahmens

Die Momententragfähigkeit in Riegel in [kNm]


46

5.2.5 Ermittlung der Zielverschiebung für die nichtlineare statische (pushover)

Berechnung

Die nachfolgende Berechnung und die dazu angegebenen Gleichungen beziehen sich auf

den Anhang B der EN 1998-1.

Äquivalenter Einmassenschwinger (EN 1998-1, Anhang B.2, Gl. B.2)

Die Werte für sind aus SAP2000 entnommen. Hinweise: Es handelt sich um auf 1

normierte Werte.

Die Masse eines äquivalenten Einmassenschwingers m* berechnet sich zu( Gl.B.2):

t

Die Masse eines äquivalenten Einmassenschwingers in [t]

Berechnung des Transformationsbeiwertes (Gl. B.3):

Der Transformationsbeiwerte in [-]

Die Kraft und die Verschiebung des äquivalenten Einmassenschwingers berechnen

sich zu(Gl. B.4 und B.5):

Die Kraft des äquivalenten Einmassenschwingers in [kN]

Die Verschiebung des äquivalenten Einmassenschwingers in [m]


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ist die wirkliche Verformungsenergie bis zur Entstehung des plastischen Mechanismus

(siehe Legende im Abschnitt B. 3, EN 1998-1)

die wirkliche Verformungsenergie bis zur Entstehung des plastischen

Mechanismus in [kN.m]

Periode des idealisierten äquivalenten Einmassenschwingers (Gl. B.7)

Die Periode des idealisierten äquivalenten Einmassenschwingers in [s]

Ordinate des elastischen Beschleunigungsantwortspektrums für die Periode

Die Zielverschiebung des Tragwerks mit Periode und unbeschränkt elastischem

Verhalten ergibt sich aus: (Gl. B.8)

Darstellung des Antwortspektrums und der Kapazitätskurve in einem

Spektralbeschleunigungs- Spektralverschiebungsdiagramms.

Formeln (3.2) – (3.5), EN 1998-1:


48

Abbildung 25: Graphische Bestimmung der Dachverschiebung für den äquivalenten

Einmassenschwinger (vgl. EN 1998-1Bild B.2) mit Hilfe von SAP2000.

Rechnerische und Graphische Ermittlung der Zielverschiebung stimmen überein.


49

5.3 Nichtlineare Zeitverlaufsberechnung



Die nichtlineare Zeitverlaufsberechnung wird im EN 1998-1 im Abschnitt 3.2.3.1

aufgeführt. Ebenfalls ist diese Methode in Meskouris et al. „Bauwerke und Erdbeben“ ab

S. 222 zu finden.

5.3.2 Generierung der Bebenverläufe

Die hier verwendeten Beschleunigungszeitverläufe sind mit dem Programm „Meskouris“

generiert worden. Siehe hierzu EN 1998-1 Abschnitt 3.2.3.1.3. (1).


50

Abbildung 27: Drei generierte Beschleunigungszeitverläufe für die nichtlineare

Zeitverlaufsberechnung

Die Abbildung 28 zeigt die drei generierten Beschleunigungsverläufe und das elastische

Antwortspektrum in Frequenz Bereich.

Abbildung 28: Generierte Beschleunigungszeitverläufe und das elastische

Antwortspektrum

5.3.3 Empfohlene Checks bei nichtlinearer Berechnung

Um zu entscheiden welches der drei generierten Erdbeben maßgebend wird, ist es möglich,

die maximale Dachverschiebung unter Einwirkung der drei Erdbeben zu ermitteln.

Eine Gegenüberstellung der maximalen Dachauslenkung ist der Tabelle 8 zu entnehmen.


51

Tabelle 8: Maximale Dachauslenkung der verwendeten Erdbeben

Beschreibung Maximale Dachverschiebung [m]

Erdbeben 1 0.384

Erdbeben 2 0.379

Erdbeben 3 0.296

Maßgebend in dem hier verwendeten Beispiel ist der Erdbebenverlauf 1.

Abbildung 29 gibt einen Überblick über die sich bildenden plastischen Gelenke. In der

aufgeführten Abbildung 29 sind noch nicht alle Gelenke platziert.

Abbildung 29: Ausbildung der plastischen Gelenke, aus SAP2000


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Die Farbcodierung der plastischen Gelenke erfolgt analog zu Abbildung 17. Zur

Farbskalierung der plastischen Gelenke:

Zur Kontrolle der Ergebnisse ist es erforderlich, dass sich die plastische

Rotationsbeziehung der Gelenke einstellen. Beispielhaft wurde hier die Abbildung 26 des

Gelenkes 11H1 (Erstes Geschoss, Links) gewählt.

Abbildung 30: Plastische Rotationskurve für das Gelenk 11H1 (Erstes Geschoss Links)

für die Riegel HEA 450


53

5.3.4 Nachweise

1- Die Zielverschiebung ist kleiner als die mögliche Verschiebung.

2- Lokale und globale Stabilität ist durch lokalen und globalen P- Effekt in der

Berechnung der Kapazitätskurve mit SAP2000 abgedeckt.

Tabelle 9: Plastische Rotation in den Riegeln und Stützen

Name Hinge Type Plastic rotation Remark

1H1 HEB_500 0 Elastic




















11H1 HEA_450 0,0207 Plastic




13H1 HEA_360 0,00488 Plastic

13H2 HEA_360 0,00488 Plastic

14H1 HEA_360 0,000183 Elastic-Plastic

14H2 HEA_360 0,000183 Elastic-Plastic

15H1 HEA_360 0 Elastic

15H2 HEA_360 0 Elastic

54

Konstruktive Ausführung

55

6 Konstruktive Ausführung

6.1 Konstruktionszeichnung und Detailzeichnungen

Abbildung 31 : Konstruktionszeichung des Schulgebäudes mit Angaben zum Riegel und

zur Stütze

56

Abbildung 32: Detailzeichnungen

Erdbeben Beispiel Schule

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