TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft2

Manuskripteingang: 29. l2. 1981

Erfahrungen bei der Realisierung eines Vemetzungsprogramms

auf einer EDVA. Die Generierung der Knotenkoordinaten

Helmut Horeschi, Günther Widdecke

1. Einleitung

Eine erfolgreiche und breite Anwendung eines Finite-

Elemente-Programmsystems in der Praxis wird sowohl

von seiner „Leistungsfähigkeit” als auch von seiner

„Nutzerfreundiichkeit” bestimmt. Hieraus ergibt sich,

daß der Entwicklung von Datengeneratoren, mit deren

Hilfe fiir konkrete Anwendungsbereiche eine schnelle

und fehlerfreie Datenbereitstellung vorgenommen wer-

den kann, eine große Bedeutung zukommt

Den Hauptanteil der Daten stellt das aufzubauende geo-

metrische Modell des zu untersuchenden Bauteiles. Der

Weg zur topologisci en Beschreibung des Bauteiles wurde

r

NEKOA=f(l.Jl

K: 1

RLKOA=

Bid l

Progemmablaufplan zur Durehflihrum einer geometrischai

Analyse einer Struktur

bereits in [3] aufgezeigt. In der vorliegenden Arbeit soll

an einem ausgewählten Beispiel das Grundkonzept und

die mathematische Formulierung des Problems zur

Durchführung einer geometrischen Analyse, die 'zum

Aufbau der Koordinatenmatrix führt, vorgestellt werden.

Weitergehende Erläuterungen über die Gesamtkonzep-

tion eines Datengenerators und die damit im Zusammen-

hang stehenden Fragen sind aus [l] und [2] zu entneh-

men.

2. Spezielle Anforderungen, Programmablauf—

plan und erforderliche Eingabedaten für ein

Vernetzungsprogramm

Es wurde bereits darauf hingewiesen, da13 die Durchfüh-

rung einer Spannungs- und Verformungsanalyse die rech-

nerinteme Abbildung des zu untersuchenden Bauteiles

erfordert. Hierzu ist es notwendig, neben der Erfüllung

einer Reihe von Forderungen für den Aufbau der Topo-

logie [3], eine größere Anzahl von Eingabedaten für die

Beschreibung der Geometrie zu erarbeiten. Diese für

zweidimensionale Probleme in der Regel einfache Auf-

gabe fiihrt bei einer dreidimensionalen Betrachtungs—

weise zu einer sehr zeitaufwendigen und fehleranfälligen

Arbeit. Deshalb sollte die Durchführung der geometri—

schen Analyse einem Rechenprogramm übertragen wer—

den, welches unter Berücksichtigung der Strukturnume-

rierung (Ergebnis der topologischen Beschreibung) auf

der Grundlage überschaubarer Basiswerte die Berechnung

der Knoten; oordinaten und den Aufbau der Koordina-

tenmatrix vornimmt. Um jedoch kompliziert geformte

Bauteile einer mathematischen Behandlung zugänglich

machen zu können, sind diese zunächst in geometrisch

einfache Strukturen zu zerlegen. Diese Vorgehensweise

setzt, wie bereits in [4] nachgewiesen, die Realisierung

der Substrukturtechnik im zur Verfügung stehenden

Finite-Elemente-Programm voraus. in Bild 1 ist der

Grobablaufplan für die Durchführung einer geometri-

schen Analyse einer Substruktur enthalten. Auf die Ein-

tragung der Felder, die für eine Zwischen-, Um- und Ab-

speicherung der Daten benötigt werden, wurde aus Grün-

den einer besseren Übersicht verzichtet.

Aus dem Bild ist zu entnehmen, dal5 die Berechnung der

Knotenkoordinaten in zwei aufeinanderfolgenden Schrit»

ten erfolgt. Zunächst wird nach Einführung eines auf die

Substruktur bezogenen lokalen Koordinatensystems

(NKOA-Anzahl der Koordinatenachsen) in den Opera-

tionsfeldcm NEKOA und RLKOA die Ermittlung der

Anzahl der Elemente und der Abstände der Knoten, aus-

gehend von einem frei wählbaren Bezugspunkt, in Rich-

tung der Koordinatenachsen vorgenommen. Hierzu sind,

entsprechend der Abarbeitungsstrategie die in den Ein—

gabefeldem definierten Größen

IANZB Anzahl der Bereiche, für die eine unterschied-

liche Vernetzung verwirklicht werden soll;

Länge des betrachteten Bereiches (z. B. RL XB)

und.

IL Anzahl der Elemente je Bereich

RL

bereitzustellen. .

Die berechneten Abstände der Knoten werden in einem

Hilfsfeld abgespeichert und dienen im weiteren “Verlauf

der Analyse als Grundlage für die Ermittlung der Koordi-

naten aller Knoten. Aus der Anzahl der Elemente in

Richtung der Koordinatenachsen wird in den Opera-

tionsfeldem

NKX = f(NEKOA), NKY = f(NEKOA) und NKZ =

f(NEKOA) die dazugehörige Anzahl der Knoten be-

stimmt. Diese Werte bilden bei der Abarbeitung des

zweiten Schrittes für die Laufvariablen I, J und K die

obere Grenze. Die in den Operationsfeldcm IO = f(I)

und K0 = f(I, J) enthaltenen Funktionswerte ergeben

sich aus dem Elementtyp, aus der die Substruktur aufge-

baut werden soll und aus der Art der Vernetzung. Sie

stellen von ihrem Wirkprinzip Schrittweitcnparameter

dar. Die Berechnung der Koordinaten aller Knoten er-

folgt unter Beachtung des entwickelten Algorithmus und

der im Hilfsfeld enthaltenen Werte in den Operationsfel-

dem XKOR (I, J, K), YKOR (I, J, K) und ZKOR

(I, J, K). Abschließend sei darauf hingewiesen, da5 die

Reihenfolge ihrer Abspeichemng, die zum Aufbau der

Koordinatenmatrix fiihrt, entsprechend der globalen

Strukturnumerierung, l. lokale Knoten und 2. externe

Knoten, zu erfolgen hat.

3. Programmtechnische Realisierung

Es ist einzusehen, dafi die einzelnen mathematischen Be-

ziehungen der im Programmablaufpian ausgewiesenen

Größen, in Abhängigkeit von der konkreten Aufgaben-

steilung, eine sehr unterschiedliche Form annehmen kön-

nen. Deshalb soll fiir die weitere Betrachtungsweise von

einer konkreten Substruktur ausgegangen werden. Im

Bild 2 ist eine Substruktur eines Bauteiles mit dem ge-

wählten iokalen Koordinatensystem und den fiir die

Durchführung der geometrischen Analyse notwendigen

Basiswerten dargestellt. In Abhängigkeit von der Anzahl

der aufzubauenden Elemente in z-Richtung soll gleich-

zeitig eine Netzvergröfierung in x-Richtung verwirklicht

werden.

_ _ A A A X

zk

- k

\

\\

llz

lY

N

W

“

/

Abschnitt 3

D

Abschnitt 2

Aunenkontur

95

l

Abschnitt 1 q,“

W4

Innenkontur_

RPL xi ' x

m2

Geometrie der aufzubauenden Struktur

Stellen RLXB, RLPlB und RLZB die Länge eines be-

trachteten Bereiches dar, so kann für die Distanz zwi-

schen den Knoten unter Einbeziehung der dazugehöri-

gen Anzahl der Elemente

=RLXP‚ _RLPIB _RLZBRin

45

aufgeschrieben werden. Da über die eingegebenen Basis-

werte RPL und RI sowie des zu berechnenden Winkels

RLPl = 2 RLPlj (2)

zwischen den Koordinatenachsen 1,01 und «.02 ein funk-

tioneller Zusammenhang besteht, ist die Größe RLPZm ax

max

Y0 = R1 + RPL * tan (RLleu)

x0 = RPL _ RI

CO = x0

\/ YO2 + X02

RLP2max = arcos (C0) (3)

zu berechnen.

Wird das aufzubauende Netz in Richtung der Koordi-

natenachse 302 durch die Anzahl der Elemente festge-

legt, so findet man für die Distanz zwischen den Knoten

dieses Abschnittes

RL1>2max _ RLPl

2*IL

RLP2j = m“ (4)

Bei der Eingabe der Werte für RPL und RI ist zu beach-

ten, daß die Bedingung

O < RI < RPL

erfüllt ist. Wird RI < RPL festgelegt, so kommt es zur

Einführung einer weiteren Koordinatenachse ([23, für die

sich die Distanz zwischen den Knoten aus

E—RLP22 max

RLP3J- =

2*IL

ergibt.

Die Abstände aller Knoten in Richtung der jeweiligen

Koordinatenachse können ausgehend von einem Bezugs-

punkt durch eine einfache Summation

= E RLXi; RLPj = E RLPlj + E RLP2j + 2 RLP3j

und

RLZk ERLZk <6)

berechnet werden.

Das auf der Grundlage der entwickelten Beziehungen er-

arbeitete FORTRAN-Programm Bild 3. Hier wurde

zum besseren Verständnis der Gesamtproblematik die

gewählte Vorgehensweise der Abspeicherung der Daten,

die zum Aufbau des Hilfsvektors führt, mit eingearbeitet.

Die in dem Hilfsvektor abgespeicherten Werte bilden die

Ausgangsbasis fiir die weiteren Betrachtungen. Dabei ist

zu beachten, da8 in Richtung der cp-Koordinaten zur Re-

alisierung der Geometrie der Substruktur, s0wohl eine

Netzverfeinerung als auch eine Netzvergrößerung not-

wendig wir'd. Deshalb macht sich eine Berechnung der x-

und y-Koordinaten der Knoten der Innen- und Außen-

kontur erforderlich. Im einzelnen gilt:

46

on

15

16

17

18

19

20

12

11

Bild 3

no 11 |=1‚4

O

FUER |=3 WIRD PMAG UND PMIG BERECHNET

O

xvz (In = M

RLIKR =MI

READ (5.2) IANZB

FORMAT (I 1m

0012 J=1‚IANZB

READ(5,3) IL.RL

FORMATH1E.F1fl-m

IF( I ‚50.1.1 GOTO 19

IFlI-Z) 15,16,17

NER = NER+ IL

GOTO 2E

NEP11 =

GOTO 2a

IF(J.GT.1) GOT018

NEP12 = NEP12+IL

RL=PMAG—PMIG

GOTO 2!!

NEP13 = NEP13+IL

RL=9ß.ß - PMAG

GOTO 2a

NEZ =NEZ.IL

lL=2u|L

RL: RLIIL

0012 K=1,|L

RLIKR=RLIKR+RL

xvzm) =RL|KR

CONTINUE

CONTINUE

NEP11¢ IL

Programm zur Berechnung der Koordinaten aller Knoten

der Struktur. Teil 1

Für die Innenkontur:

Abschnitt l

Eckknoten :

Seitenmittenknoten: P1 =

P1 = tan (RLPj)

tan +tan

2

x01 = RPL (7)

YOI = RPL * P1 (3)

Abschnitt 2

P0 z E * RLPJ- _ 1:1.leax

2 RLpzmx _ RLleax

x01 = RPL _ R1 as (1 _ cos(PO)) (9)

YOI = RPL as tan(RLP1m,x) + R1 as sin(P0) 1(10)

Abschnm 3

P1 = RLPj — 121492,,“x

’ g _RLP2max

x01 = (RPL _ RI).* (1 _ P1) (11)

YOI = R1 + RPL +e tan(RLP1m,) (12)

Für die Außenkontur:

XOA = (RPL + BLXI-mu) * cos (RLPj) (13)

YOA = (RPL + RLXimax) * sin (RLPj) (14)

Der gesuchte funktionelle Zusammenhang, der eine Er-

mittlung der Koordinaten aller Knoten gestattet, wird

unter Einbeziehung der Gleichungen (7) bis (14) und der

Werte des Hilfsvektors aus

C4 fixe/1. _ x01)2 + (YOA _ YOI)2

YOA V,— YOIC5:—

C4.

BIB = arcos (C5)

C4 RL .X = XOI+i*cos (BIB) (16)

'max

(14* BL ..Y = YOI+ ——X' *sin (BIB) (17)

' ax

z = 11sz (13)

gefunden.

Das auf der Grundlage der entwickelten Algorithmen er-

arbeitete FORTRAN-Programm ist im Bild 4 in verkürz-

ter Form dargestellt.

0015 5:1, NKZ

ISTB = ZsaHIoZI/Z)

IFlI/2s2.NE.I)GOTG 11D

ISTA = 2

com 111

115 ISTA=1

111 0010 J=1‚NKP.ISTA

C o

c HIER FOLGT DER ALGORITHMUS ZUR

c BERECHNUNG DER GROESSEN xm.

c Yal.c1. UND BIB

C a

0011! K1.NKX.ISTB

1K1=-2

IFlJ/2n2.EO.J.OR.K„E0.NKX)GOTO117

121 lK1=IK1+1

1F1u<11117.11s.119

117 *XI=XYZ(IIl

GOTO1Zß

118 x1=(xvzuu+xyzumsr111/2

60To12fl

119 xn=1xvz(11.1sr1).xvz111.2.1sr1))/2

120 1:6=c4.x1/RLX

x =xm.cs«cos1313)

Y =Ym.cs»sm(B1B)

z = XYZ(KK)

IF(!K1.E0.-2)GOTO1¢

IF(l/2u2.NE.|.AND.|K1.EQ.¢)GOT01D

IF(l/2u2.EQ.|.AND.IK1.EO.1)GOTOW

GOTO 121 '

1B CONTINUE

Bad;

Programm zur Berechnung da Koordinaten alle Knoten

der Struktur. Teil 2

Die realisierte Form des Auffindens der im Hilfsvektor

abgespeicherten Werte, die zu einer Netzvergrößerung in

x-Richtung führt, ist aus dem Programm zu entnehmen.

4. Zusammenfassung

Bei der Anwendung des Programmsystems COSAR zur

Spannungs— und Verformungsanalyse von dreidimensio-

nalen Maschinenbauteilen erweist sich die Eingabe der

Knotenkoordinaten als aufwendig und fehleranfiillig. 0b-

wohl dem Nutzer mit dem Standardstrukturkatalog ein

sehr zweckmäßiges Hilfsmittel zur Verringerung der Zahl

der Eingabedaten zur Verfügung gestth wurde, gibt es

immer noch zahlreiche Bauteile, die sich nicht einordnen

lassen. Daher ist es eine wichtige Aufgabe, den Katalog

der Koordinatengenerierungsprogramme laufend zu er-

weitern. Alle diese Programme haben einen typischen

Aufbau. Sie erzeugen aus wenigen Basiswerten ein voll-

ständiges Netz. Als sinnvoll hat sich dabei eine zweistu-

fige Bearbeitung erwiesen. Im ersten Schritt sollten die

Grundkoordinaten (Basiswerte) berechnet und abge-

speichert werden. Anschließend erfolgt dann die Zuord-

nung der Basiswerte zu den Knoten und deren Abspei-

cherung in einem speziellen Koordinatenfeld. Diese Zu-

ordnung kann und wird in vielen Fällen noch eine Mo-

difizierung der Basiswerte einschließen.

Der Einbau solcher Programme, die gegebenenfalls auch

vom Nutzer des Programmsystems selbst entwickelt wer-

den können, ist im Programmsystem COSAR vorgese-

hen. Entsprechende Schnittstellen sind definiert und der

Einbau solcher Routinen ist bereits erfolgreich erprobt

worden.

LITERATUR

{11 Horeschi, H.: Aufgaben und Grundprinzipien des Daten-

generators fir das Programmsystem COSAR. Tagungsbe-

richt „Wissenschaftlich-technische Berechnungen und ihre

Anwendung in der Praxis”, Vratna Dolina, September

1977, S. 150 — 170.

[2] Ringers, M., Horesehi, H.: Datengenerierung und Datenkon-

trolle bei der Strukturierung räumlicher Bauteile. Z. Tech-

nische Mechanik 2 (1981), H. 1, S. 63 — 66.

{31 Horeschi, H., Widdecke, G.: Erfahrungen bei der Realisie-

rung eines Vemetzungsprogramms auf einer EDVA. Die

Generierung der Topologie. Z. Technische Mechanik 2"

(1981), H. 2.

[4] Horeschi, 1-1.: Probleme der Datengenerierung bei der An-

wendung der FEM auf dreidimensionale Aufgaben. Ta-

gungsbericht „4th Seminar about finite elemente method

and variational method”, Plzen, Mai 1981, S. 121 — 124.

Anschrift der Verfasser:

Din-Ins. Helmut Horeschi

Sektion Maschinenbau

Dr.-Ing. Günther Widdecke

Sektion Dieselmotoren, Pumpen und

Verdichter

Technische Hochschule „Otto von Guericke”

3010 Magdeburg, PSF 124

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