Frei6 und Hansestadr HsmbuqBehörde für Schule und Berufsbildung

Scn!ljahr20122013Realschulabschlussprofung

HaupttermlnLehrermateriatien Mathematik

4 Aufgaben, Erwartungshorizonte und Bewertungen

Erwartungshorizonl:

Kursiy gedrucLte Passage, sind Hinweise an die konigierenden Lehrkräfte. Sie sind nicht Bestandtei-le der erwarteten Schülerleistung.

Die Lösungsskizzen in den Erwartungshorizonten zu den einzelnen Aufgaben geben Hinweise aufdieerwarteten Schülerleistungen. Oft si d aber verschiedene Lösungsvarianten möglich, die in der Skizzenur zum Teil beschrieben werden konnten. Grundsätzlich gilt deshalb, dass alle mathematisch korrek-ten Va anten, die zu richtigen Lösungen führen, mit voller Punktzahl bewertet werden, unabhZingigdavon, ob die gewählte Variante in der Lösungsskizze aufgeführt ist oder nicht.

Bewertung:

Die erreichbare Prüfungsleistung behägt 100 Bewertungseinheiten (BWE), 34 BWE aus der Pflicht-aufgabe I sowie jeweils 22 BWE aus drei der Aufgaben II, IIl, IV, V. Es werden nur ganzzahligeBWE vergeben.

Arbeiten von Schülerinnen und Schülem des diesjährigen Prüfungsjahrgangs, die ihren Sekundarstu-fen-Bildungsgang aufeiner Haupt- oder Realschule begonnen haben, werden weiterhin nach dem 6-stufigen Notensystem der APO-AS (Noten I bis 6) benotet; Arbeiten von Prüflingen aus den cesamt-schulen werden weiterhin nach der 9-stufigen Notenskala der APO-iGS (A- und B-Noten) bewertet.Die Note B1 wird nur bei über die zu erwartenden Leistungsanforderungen hinausgehenden Arbeits-ergebnissen erteilt.

Bei der Festlegung der Prüfungsnote gilt die folgende Tabelle.

Be\rertrmgseinheiten

>90 I B2>85 I B2->80 2+ B3+>75 ) B3>70 2- B3->65 3+ B4+>60 3 B4>55 3 B4->50 4+ A2+>45 4 A2>40 4- 4,2>33 5+ A3>26 5

> l9 5 A5< 19 6 A6

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Lösungsskizze

Aufsabe Lösuns I Buchstate I II III

a) I h: 3600s C I

b) -12,5 +21= 8,5 D 1

c) I

I 125 m D 1

d) 1 000 : (-20) = -50 c 1

e) 3-7 4+5 = JO B I

0 60 o/o = 15

B 1

c) 1x+1=22 r=5 c

h) Wie viele Symmetrieachsen hatein Quadrat?

4 D I

l) l00 mm') : I cmz B I

) I r)'l-r, -

I4

1

k)30 oZ eines Vollwinkels ist... ein stumpfer

Winkel1

D 32 D I

m) Mit einem normalen Spielwürfel werdennacheinander die Zahlen ,,1", ,,2', ,,3", ,y'*und ,,5" gewürfelt.Wie gloß ist die Wah$cheinlichkeit, alsnächstes eine ,,6" zu witfeln?

1

i C

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Erwartungshorizont

Schuljähr 201z2o13Realschulab6chlusspütun9

HauptterminLehrermateriallen Math.mafl k

Seile 12 von 33

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Schuljahr 201212013Realschulabschlusspdfung

HauptterminLehrermaterlallen Mathematik

Lösungsskizze

Aüfpabe I Lö"unn Buchstabe I II III

n)

1t

Mit welcher Gleichung kann der Wert l,ennittelt werden?

l,B I

o) Verdoppelt man den Radius einesKreises, so ist der Flächeninhalt des riermal so groß D 1

P) Welches Dreieck mit den Seiten a, , und cist rechtwinklig? ö-6cm c I

q) Welcher mathematische Ausd.uck gehörtzu ,,Die Summe aus einer Zahl und derZahl 4 wird quadriert"?

(r+ l)' C 1

r) I5 € Startguthaben eines Handr.r'ertragesreichen bei einem Minutenpreis vonl0 Cent höchstens...

2,s h R 1

s) Ein Quadrat mit dem Umfang 24 m istflächengleich mit einem Rechteck mit denSeitenlzingen... ,=l8m I

0 sin 90' : c 1

u) rß B

v) Zu welchem Funktionsterm gehörenausschließlich negative Funktionswerte?

C I

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Schuljähr 20122013Realschulabschlussprilfung

HauptterminLehrermaterialien Mathematik

Lösungssküz€

Aufsabe ] Lösunq I Buchstabe I II III

w) Das Ergebnis einer Klassenarbeit wird ineinem Kreisdiagramm dargestellt.

Welche wahre Aussage ergibt sichaus dem Diagrarnm?

Die Hälfte derKinder hat eine3 oder eine 4.

c 1

x) Ein Bakte um vermehft sich durch st?indi-ge gleichmäßige Zellteilung. Welche Funk-tionsgleichung kann zur Berechnung be- .f (t) =2' D 1

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S€Iuljahr20122013Realschulabscntussprof ung

HauptteminLehrermateriallen Mathematik

LösungsskizrcI I III

2. a) 4,s.( 4+2x)=0

-4'f2x:02x= 4

2

b) 5, _ l3 = (,+ 3). (_3)

5x-13=1x-98ir=4

.x = 0,5 2

c) -2x'+16:-4,-2r1+4]+16:o

x'-2x-8=0x,.z=1+^./i+trr.z : 1*3

\:4 \= 2

Andere Lösmge)ege (2. B. übet eihe Faktotisienmg odet mittelsquadratischer Elglifizltkg) sitld öglich. 2

3. Zeige, dass der Flächeninhalt der $auen Fläche kleiner als 16 cmz ist.

. Ap*tu =8 E- 64

. A.", ,,",,,,r."" = Ax-" = it 42 = l6E

. Z,*, 11a" = eu"a* - Ax* = 64 -lett

. Wegen I 6z > 48 ist der Flächeninhalt der grauen Fläche kleiner als 1 6 cm2. 4

Insgesamt 34 BWE 8 20 6

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Lösung$kizzeII III

a) d= 60 m, also / = 30 m

u=2.1t.30I = I88,495...

Der Umfang des Riesenrads behägt ungel)ihr 188,5 m.

b) I E8,5 r42 : 4,488...

Die Befestigungen sind etwa 4,5 m voneinander entfemt. 2

c) Öffnungszeiten von I I bis 21 Uhr: 10 h = 600 min

600 | 7 :85,714285...

Eine Gondelkann ca. 86-malam Tag benutzt werden.

Im Zeitmum vom 4. Mai bis einschließlich 8. Juli befirden sich 66 Ta8e.

86.66:s676Im gesamten Zeitraum sind 5 676 Gondelfahrten möglich.

Für eine vollsündig konehe Lösung müssen rlie A zahlen der Tage derMo ate Mai uid Juni gewusst werden.

Rmdet ein PrüJ:lihg die Anzahl der Gonderahrten pro Tag (aus sachkonteiua-len Gründen) aul85 ab, so ist dies als korrekt zu berreflen. Dasselbe gilt, y,enn

nicht das Zwischenergebnis, sondem erst das Endetgeb is gerundet wird. 2 2

d) In einer Gondel können l0 Personen sitzen, diejeweils 5 € zahlen, d. h. es sind50 € pro Condel möglich und das Riesenrad hat 42 Gondeln:

50. 42= 2100

Pro Fahrt sind also Einnahmen in Höhe von 2l00 € möglich.

Bei 5 676 Gondelfahrten:

s 676 . 2 100 = )1 919 600

Bei einer Vollauslastung wären Einnahmen von I I 919 600 € möglich.

Eine dreißigproTenrige Auslarlung filhr zü:

Ir =G.# = l1 919 600 .# =3 s7s 880

Die Einnahmen des Riesenradbetreibers betragen 3 575 880 €. 5

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Erwartungshorizont ff

Lehrermaterialien Mathematik

Schu!ähr2012l2013Realschulabschlusspüfung

Hauptlermin

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Schulahr 2012/2013Roalschulabschlussprufung

HauptterminLehrermaGrialien Malhematlk

LösungsskizzeIl III

e) Höhendifferenz i zwischen Riesenradachse und Gebäudedach: , = 35 - 19 = 16

. Berechnung der Länge des Seils s mit Hilfe des Satzes des P,,thagoras:

, : .,6i;l'iGt : 7 t,80s2s...

Die Länge des Seils beträgt ungeführ 71,8 m.

tana=+=*a :12,875"...

Der Steigungswinkel des Seils beträgt ungel?ihr 1 3o 4 4

Insgesamt 22 BWE 7 tl 4

RA1-Ma-LM Seile 18 von 33

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Schuljahr 2012/2013Realschulabschlusspr(lfun9

HauptterminLehrermaterialien Mathematik

*Lösunesskizze _Jll II III

a) Ein Rohling hat die Höhe 12 cm (7 cm + 5 cm). Es gilt 96: 12:8.Es können also 8 Rohlinge hergestellt werden. 2

b) Es gtlt:VR"ht,ry: r . r'z h:7 5'1.12x942,48

Das Volumen des zylinderftirmigen Rohlings ist also ungelähr 942 cm3.

Die Höhe efues Rohlings bestiwtt sich enMeder aus der Abbildang(7 cm + 5 cm = 12 cm), aus der gegebenen Tatsache, dass aß dem Rundholzder LLinge 96 cm acht Rohlinge hetstellbar sind, oder aus dem Vofleat zü Aul-gabe teil c). 3

c) . Das Stehaufmännchen besteht aüs einer Halbkugel und einem Kegel.

. Zur Bestimmung des Gesamtvolumens sind die Volumina der Halbkugelund des Kegels zu bestimmen:

4.,1r_r 7 )t r " -261,79q918...'H"ht'4.t 2 1^', ;"',

Die Höhe des Kegels beträgt 7 cm.

-. I l,l/,."..- n.r'h - : r'r h- :7r.5j.7-t83,25q57...

V*,^,.u^,,.n,, - 1,",",",.. I l/,,* = 445.0589.... .445

Das Volumen eines Stehaufmännchen ist also tatsächlich ca.445 cm3.

50% des Rohlingsvolumens sind ca. 471 cm3. Olli hat also Recht. 2 5

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Schuljahr2012/2013Rea schulabschlussprofung

HauptterminLehrermaterialien Mathematik

LösungsskizzeI II III

d) Die Oberfläche ergibt sich als Summe aus der halben Kugeloberfläche und derMantelfl äche des Kegels.

Für die Berechnung des Flächeninhalts des Kegeimantels ist die Länge derMantellinie s zu bestimmen:

":Jtqs :8,602325...

Damir ergibt sich ftirden Manlel: M -,r'r s - 135.1250.....

!.6. ., _1-L _2o,- =2r.s: =157.07s63....2

Die Gesamtoberfläche ergibt sich aus der Summe der Teiloberflächen:l

o",,^^,"",," - - o*"., - M - 2s2. 20464... 1: 2922

Die Obedläche eines Stehaufmännchens beträgt also ca. 292 cm,. 5

e) Aus einem Rundholz lassen sich Rohlinge für 8 Stehaufmännchen herstellen.Für 40 Stehaufmännchen werden also 5 Rundhölzer benötigt.

Diese 5 Rundhölzer kosten 5.13,45€:61,25C.

40 Stehaufmännchen haben eine Gesamtoberfläche von ca.40 292 cm':11680 cm'?:1,168 m'.

Da eine Dose Spray ftir einen halben Quadratmeter ausreicht, müssen dreiDosen Spmy gekauft werden.

Diese kosten 3.10,89 €:32,67 €.

Daraus ergeben sich Kosten in Höhe von: 67,25 €. + 32,6 7 € : 99,92 €.

Wenn die Schülerinnen und Schüler 100 % Gewinn machen möchten. müssensie 2 99,92 €:199,84 € einnehmen, das entspricht einem Verkaufspreis pro

Slück von 19q,84 ( :40-4,as6t \ 5,00€.

Der Verkau.fspreis muss yom Prüling auf ganze Ce t gerundet werden.

Detailliertere Kctlkulationen (e6ra unter Belücksichtigu1g der Tatsache, dassbeim Lockiercn auch Lack an den Stehauffiönnchen rorbeigeht o. Ä.) sind nög-lich, aber nicht erJorderlich Modelliert ein Prü/ling die Situatio in demgenannten Stune detailliefier, ist bei ggf dan gemachten Fehlern grofrzügig zu

5

Insgesamt 22 BWE '7 10 5

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LösungsskizzeI II lII

a) 85,68: 1,19: 72

Der Preis des Sonnensegels ohne Mehrwertsteuer ist 72 €.

Andere Rechefürege sind öglich. 2

b) 1t,9s+3 (2,49 + 2,9s) = 28,21

Das Material liir die Befestigung des Sonnensegels kostet insgesamt 28,27 €. 2

c) Berechnung der Höhe im gleichseitigen Dreieckmithilfe des Satzes des rythagoras:

h, +( , =a,

h- = o- \:)

4

taE2

Mit a :3,6ergibt sich:

h = 3,117 69 ...

Berechnung des Flächeninhalts:

2

A= 5,611...

Das Sonnensegelhat einen Flächeninhalt von ca. 5,61 m'?.

Sollte ein Prüfling die Fomel zo Berechnung der Höhe und/odet des Flächen-inhalts ei es gleichseitigen Dreiecks kennen, datf et diese oIMe weitere Begrün-

Es ist icht erforderlich, die Fomel in aller Allgemeinheit helzuleiten; einRechenweg mithire des gegebe ek Wertes füt a ist auch zu akzeptiercfi- 5

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E*"rtrng"horiaont I

Schuliahr20l2/2013R6alschulabschlusspnütung

HauptterminLehrermaterialien Mathemetik

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Freie und Hansesladt HamburgBshörde tur Schule und Berlisbildung

Schuljahr 2012/2013Realschulabschlussprilf un9

HauptterminLehrermaterialien Mathematik

LdsungsskizzeI II III

d)

schwache Brise:

starker Wind:

orkanartiger Sturm:

W,

wt

w"

1,89.5,4':=55,1I

1,E9 13,8']=359,93

1,89.32,6'z-2008,61

Windbeze ichnunsWindgeschwindigkeit y

wenigerals... +Winddruck(Serundet)

stille 0.2 0,08

leiserZug 1,5 4,25

leichte Brise 3,3 20,58

schwache Brise 5,4 55,11

mäßige Brise 7.9 117,95

frische Brise 10,7 216,39

starker Wind 13,8 359,93

steifer Wind 1',7,1 552,65

sfiirmischer Wind 20,7 809,85

Sturm 24,4 I t25,21

schwerer SfuIm 28,4 ) 524,40

orkanartiger Stum 2 008,62

Orkan 36,9 2 573,44

3

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schurjähr2012/2013Realschulabschlusspl(]lung

HauptterminLehrermatsrialisn Mathematik

LösungsskizzeI II III

e)

Vom PrüJling $ird eryartet, dass er die Achseneinteilmgen selbsttälig yor-nimmt Dabei müssen nichl zringend die hier gezeigten Skalierungen gewahhwe en. Wichtig istjedoch, dass alle llerte der Tabelle aus A lage I h .lieDdrstellung passe . Gruphen, die aufgrund der ge ählten Skalierung zu kleinsind md daher wexig Aussagekraft habe , werden nicht mit voller Punhzahl

Hat ein PtüJlW Aulgabenteil d) nicht kofteh bearbeitet und deshalb die ent-sprcchende Punlcte nicht odetJalsch eingezeichnet, ist dies als FolgeJehletohne P@thabz g in dieser Teilaufgüe zu bewerten. 2 3

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Schuljähr 20122013Realschulabschlussprüfung

HauptterminLehrermaterialien Mathematik

LäsutrgsskizzeII III

0 . Der Wind kann nicht weniger als gar nicht wehen, insofem ist eine negativeWindgeschwindigkeit sinnlos.

Die folgende Argumentation ist ebenfalls zu akzeptiercn: Ei negatives Vor-zeichen der ll/indgeschwindigkeit Lßst sich als Uükehrung der Windrich-tx g deuten. Dies ist aber fi die Frage des ll/inddrucks i t Zusaüfienhtmg

it der Belastung des Sottnensegels iflelerait.

o lto = 189 v'1

2700 =1.89 v2

, = .P t oie negati\ e Lösung ist im sachzusarnmenhang irrelerant.I r,8e

v =37,796...v = 3'7,'796

F.s eilt 37,796 ?=37,796 60.60:1000 *=136 *Ab einer Windgeschwindigkeit von ca. 136 + droht das Sonnensegel

zu zerreißen. 5

InsgeMmt 22 BWE 6 l1 5

Seile 28 von 33